139

5. Construcii geometrice Prin probleme de construcie vom nelege acele probleme de geometrie n care se cere construirea unor figuri geometrice ce satisfac anumite proprieti, folosind numai rigla i compasul. nainte de a considera probleme de construcie cu rigla i compasul, Edwin Moise n lucrarea "Geometrie elementar" face cteva precizri:

i) Cnd vorbim de rigl i compas, nelegem o "rigl ideal" i un "compas ideal", care traseaz liniile drepte i cercurile exact. ii) Rigla nu are un marcaj pe ea. O putem utiliza pentru a desena drepte ntre dou puncte date, dar aceasta este tot ceea ce putem face cu ea. Nu o putem utiliza pentru a msura distanele dintre puncte sau pentru a vedea dac dou segmente sunt congruente. iii) Compasul se poate utiliza astfel. Fie un punct P i un punct Q n plan. Putem desena atunci cercul cu centrul n P i care trece prin Q. Aceasta este tot ce putem face cu el. Altfel spus, dndu-se un al treilea punct P' nu este permis s mutm vrful compasului n P' i apoi s desenm un cerc cu centrul n P' i de raz PQ. Din acest motiv compasul este numit nerigid; nu i se poate muta vrful deoarece "cnd ridici vrful de pe hrtie, compasul se nchide". 5.1. Construcia unor expresii algebrice 5.1.1. Construcia expresiilor ba + i ba )( ba > Considerm numerele pozitive a i b cu ba > . Pe o dreapt d considerm un punct O i trasm un arc de cerc de raz a, pn cnd ntlnete dreapta d n punctul A. Cu centrul n A trasm cercul de raz b care va intersecta dreapta d n punctele B i C (B ntre O i A). Lungimea segmentului OC reprezint expresia ba + , iar lungimea segmentului OB reprezint expresia ba .

d

CA

bBO

a

ba

140

5.1.2. Construcia expresiilor ba i ba

)( ba > i) Construcia expresiei ba Trasm dou semidrepte c i d cu originea comun O. Pe c trasm segmentul unitate OA i segmentul OB se lungime a. Pe semideapta d cu originea n O trasm segmentul OC de lungime b. Paralela prin B la AC ntlnete pe d n D. Cu teorema lui

Thales n OBD obinem: ODOC

OBOA = , de unde ba ==

OAOCOBOD .

ii) Construcia expresiei ba

Trasm dou semidrepte c i d cu originea comun n O. Pe semidreapta c lum segmentul unitate OA i segmentul OB de lungime b. Pe semidreapta d lum segmentul OC de lungime a. Prin A ducem paralela la BC care ntlnete pe c n D. n

OBC cu teorema lui Thales obinem: OBOA

OCOD = , de unde

ba==

OBOAOCOD .

5.1.3. Construcia mediei aritmetice, geometrice i) Construcia mediei aritmetice Considerm dou segmente de lungimi a i b )( ba > . Construim segmentului AB care reprezint suma ba + . Construim mediatoarea segmentului AB. Mediatoarea determin pe segmentul AB dou segmente congruente care reprezint numrul

2ba +

.

AO B

C

D

d

c

ab

b

1

b

a

a

AC D

B

a b

a

b

a b+2

141

ii) Construcia mediei geometrice Considerm dou segmente ce au lungimile ai b )( ba > . Construim segmentul AB care reprezint suma ba + . Construim un semicerc de diametru AB. Fie C punctul de pe [AB] cu AC=a. Ridicm n C o perpendicular pe AB care ntlnete semicercul n E. Cu teorema nlimii n triunghiul dreptunghic AEB (m(E)=90) obinem: EC2=ACCB sau EC2=ab, de unde ba =EC .

Aplicaie. Construcia expresiei a cu a>0. Este o aplicaie a construciei mediei geometrice pentru numerele 1 i a (a>0).

5.1.4. Determinarea a dou numere cnd se cunosc suma lor i media geometric Fie ai b numere pozitive cu suma bax += i media geometric aby = . Problema se reduce la construcia triunghiului dreptunghic cu ipotenuza x i nlimea y. Trasm diametrul AB reprezentnd numrul x. Construim semicercul de diametru AB. Trebuie s gsim interseciile acestui semicerc cu o paralel d dus la el de aceeai parte cu semicercul fa de AB situat la distana y. 1) Dac paralela d la AB intersecteaz semicercul n dou puncte distincte E i K, considerm proieciile acestor puncte pe AB, adic E' i K', obinem perechile de segmente AE' i E'B respectiv AK' i K'B, care sunt numerele cutate. 2) Dac paralela d la AB este tangent semicercului avem soluie unic, numerele sunt egale. 3) Dac paralela d la AB nu intersecteaz semicercul nu avem soluie.

a

bE

A C B

a b

a b

E

A C1 a b

a

E

A E' b

K

K'