Concursul interjudeţean de matematică “Grigore Moisil”Ploieşti

ediţia a V-a – 28 martie 2009

Subiecte clasa a VII-a

La problemele 1-6 rezolvaţi şi alegeţi varianta corectă, haşurând în căsuţa de răspunsuri. 1. Fie mulţimea A = 𝑥 ∈ ℤ ∕ −2009 ≤ 𝑥 ≤ 2010 . Dacă notăm 𝑆1 suma elementelor din mulţimea

A, iar cu 𝑆2 suma modulelor elementelor din mulţimea A, atunci este adevărată relaţia :

a) 𝑆2=2𝑆1 b) 𝑆2+𝑆1=0 c) 𝑆2+𝑆1=2010 d) 𝑆2=𝑆12

2. Dacă a= ( 2+1)( 3- 2 )……( 2009 + 2008 )

b=( 2 -1)( 3+ 2 )……( 2009 - 2008), atunci are loc relaţia:

a) a+b=2 b) a+b < 2 c) a+b=1 d) a+b>2

3. Fie patrulaterul convex ABCD şi M,N,P,Q simetricele punctelor A,B,C respectiv D faţă de

punctele D,A,B respectiv C. Ştiind că aria patrulaterului MNPQ este 10 3 𝑐𝑚2, atunci aria

patrulaterului ABCD este:

a) 3

2 𝑐𝑚2 b)

3

4 𝑐𝑚2 c) 3 𝑐𝑚2 d) 2 3 𝑐𝑚2

4. Fie numărul 𝑎 = 1 ∙ 22 + 1 ∙ 2 ∙ 32 + 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 42 + ……+ 1 ∙ 2 ∙ …… ∙ 2008 ∙ 20092,

calculând 𝑎+2

1∙2∙3∙…..∙2009 se obţine:

a) 2008 b) 2009 c) 2010 d) alt răspuns

5. Fie mulţimea M={a∈ ℤ|3 𝑎+ 11

𝑎−3 11∈ ℤ}. Cardinalul mulţimii M este:

a) 11 b) 5 c) 6 d) 12

6. Rombul ABCD are latura de lungime 2 5 cm. O dreaptă variabilă ce trece prin punctul

A intersectează dreptele BC şi CD în punctele E, respective F. Atunci valoarea produsului

𝐵𝐸 ·|DF|, este:

a) 10 5 𝑐𝑚2 b) 20 𝑐𝑚2 c) 4 5 𝑐𝑚2 d) 10 𝑐𝑚2

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs

7. a). Determinaţi mulţimea soluţiilor ecuaţiei: 𝑛14+𝑛2

4+𝑛34+….+𝑛8

4= 2009, ştiind că numerele

𝑛1; 𝑛2;…..; 𝑛8 sunt întregi.

b). Fie a, b, c, d numere nenule pozitive astfel încât : 1

𝑎𝑏 +

1

𝑏𝑐 +

1

𝑐𝑑 = 2008.

Arătaţi că : 𝑎𝑏

𝑎3+ 𝑏3 +

𝑏𝑐

𝑏3+ 𝑐3 +

𝑐𝑑

𝑐3+ 𝑑3 ≤ 1004.

8. Fie triunghiul ABC oarecare şi punctul D𝜖 (BC). Se notează cu 𝐼1, 𝐼2 centrele cercurilor

înscrise în triunghiurile ADB, respectiv ADC. Demonstraţi că :

a). Dacă semidreptele (AD, (B𝐼2, (𝐶𝐼1 sunt concurente, atunci semidreapta (AD este

bisectoarea unghiului ∡BAC.

b). Dacă semidreptele (AD, (B𝐼1, (C𝐼2 sunt concurente, atunci semidreptele

(AD, (B𝐼2, (𝐶𝐼1 sunt concurente.

Notă: Subiectele de la 1 la 6 se notează cu câte 10 puncte fiecare, iar subiectele 7, 8 cu câte 20 de puncte fiecare.

Toate subiectele sunt obligatorii.

SUCCES!

Concursul interjudeţean de matematică “Grigore Moisil”Ploieşti

ediţia a V-a – 28 martie 2009

Subiecte clasa a VIII-a

La problemele 1-6 rezolvaţi şi alegeţi varianta corectă, haşurând în căsuţa de răspunsuri.

1. Ştiind că numerele x şi y verifică inegalitatea : 4y·(x-2y)+x·(20-3x)≥ 40, atunci media

geometrică a numerelor x şi y, este :

a) 1 b) 2 c) 2 d) 5

2. Dacă fracţia 𝑛2+3𝑛+1

𝑛4+6𝑛3+11𝑛2+6𝑛+2007 se simplifică cu k ∈ ℕ, atunci k este divizor al lui :

a) 2006 b) 2007 c) 2008 d) 2009

3. Valoarea expresiei 1+ 20092 +20092

20102+

2009

2010 este :

a) 2008 b) 2009 c) 2010 d) 4016

4. Dacă 𝑎 3 +𝑏 2

𝑏 3+𝑐 2 ∈ ℚ, unde a,b,c ∈ ℕ∗, atunci 𝑎2+𝑏2+𝑐2 este:

a) (a+b+c)(a+b-c) b) (a+b+c)(a-b+c) c) (a+b+c)(a-b-c) d) (a-b+c)(a+b-c)

5. Fie ABCA'B'C' o prismă triunghiulară regulată având muchia bazei de lungime 4 cm, iar

înălţimea egală cu 4 3 cm. Dacă punctul M este mijlocul segmentului CC', atunci distanţa

de la punctul A' la dreapta de intersecţie a planelor (ABC) şi (A'BM), este :

a) 8 cm b) 12 cm c) 8 3 cm d) 12 3 cm

6. În cubul ABCDA'B'C'D' distanţa de la A'D la AC' este 6 2 cm. Atunci distanţa de la

punctul B la planul (B'CA) este:

a) 6 cm b) 12 cm c) 6 3 cm d) 12 2 cm

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs

7. a) Demonstraţi că oricare ar fi numerele reale a,b,c,d are loc inegalitatea:

𝑎2+3·(𝑏2 + 𝑐2+𝑑2 ) ≥ 2a·(b+c+d). În ce caz are loc egalitatea?

b) Dacă 0<a<8, determinaţi minimul expresiei :

(1+ 1

𝑎)·(1+

1

8−𝑎)

8. În triunghiul ABC, m(∡B) ≠ 60º, BC=2AB, AC=3, iar (BE este bisectoarea unghiului ABC,

unde E∈(AC). Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara ED = 2009.

a) Să se arate că există două puncte distincte M şi N situate pe dreapta BC astfel încât

DM=DN= 2010;

b) Demonstraţi că una şi numai una din dreptele AM şi AN este perpendiculară pe

dreapta BD.

Notă: Subiectele de la 1 la 6 se notează cu câte 10 puncte fiecare, iar subiectele 7, 8 cu câte 20 de puncte fiecare.

Toate subiectele sunt obligatorii. SUCCES!

Concursul interjudeţean de matematică “Grigore Moisil”Ploieşti

ediţia a V-a – 28 martie 2009

Subiecte clasa a VI-a

La problemele 1-6 rezolvaţi şi alegeţi varianta corectă, haşurând în căsuţa de răspunsuri.

1. Dacă: 𝑎 − 1= 3+3 20132 43.....43434 şi 1271024127

1....

323

1

242

1

161

1

b

atunci produsul 𝑎 ∙ 𝑏 este egal cu:

a) 4 200 b) 4 197 c) 4 199 d) 4 201

2. Valoarea raportului 𝑎

𝑏 , astfel încât fracţia

7𝑥+11𝑏

5𝑥+13𝑎 să nu depindă de 𝑥, este :

a) 33

7 b)

44

83 c)

55

91 d)

66

101

3. Măsurile unghiurilor interioare unui triunghi sunt numere naturale proporţionale cu

trei numere pare consecutive . Atunci , numărul de soluţii ale problemei este :

a) 12 b) 14 c) 16 d) alt răspuns

4. Fracţia cu numărătorul şi numitorul minimi cuprinsă între 10000

10001 şi

10001

10002 este :

a) 20003

20004 b)

1001

1003 c)

20001

20003 d)

1991

1993

5. Fie numerele raţionale nenule a1 , a2 , ........ a2009 invers proporţionale cu numerele

1 , 2 , 3 , ........ , 2009 . Atunci , numărul raţional 𝑥 care verifică egalitatea :

2009 ∙ 𝑎2009 = 𝑥 ∙ ( 𝑎1

2+

𝑎2

3+ ……+

𝑎2009

2010 ) este :

a) 2008

2009 b)

2009

2008 c)

2009

2010 d)

2010

2009

6. Numărul perechilor de numere întregi 𝑥 ș𝑖 𝑦 care verifică egalitatea :

3𝑥 + 2𝑦 = 𝑥𝑦 , este :

a) 8 b) 6 c) 9 d) alt răspuns

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs

7. a) Dacă 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ∗ şi 𝑎

𝑏+

𝑎+1

𝑏+1+ ……+

𝑎+2008

𝑏+2008= 2009, arătaţi că 𝑎 = 𝑏.

b) Demonstraţi că : 1∙3∙5∙……….∙2007

2∙4∙6∙……….∙2008

2<

1

2009 .

8. În triunghiul dreptunghic 𝐴𝐵𝐶 (𝑚 ∢𝐴 = 90𝑜) fie 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 , 𝐷 ∈ (𝐵𝐶) şi 𝑀, 𝑁

mijloacele segmentelor 𝐴𝐷 , respectiv 𝐶𝐷 . Dacă 𝑚 ∢𝐴𝑁𝐵 = 500 şi

𝑚 ∢𝐴𝐵𝑀 = 200 , aflaţi măsurile unghiurilor ∢𝐴𝐵𝐶 şi ∢𝐴𝐶𝐵. Notă: Subiectele de la 1 la 6 se notează cu câte 10 puncte fiecare, iar subiectele 7, 8 cu câte 20 de puncte fiecare.

Toate subiectele sunt obligatorii.

SUCCES!

Concursul interjudeţean de matematică “Grigore Moisil”Ploieşti

ediţia a V-a – 28 martie 2009

Subiecte clasa a V-a

La problemele 1-6 rezolvaţi şi alegeţi varianta corectă, haşurând în căsuţa de răspunsuri.

1. Câte numere de forma abcba sunt divizibile cu 101 ?

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80

2. Fie numerele:

a = 022 3625128 b= 125 0425 75:64 c= 3258 34 d= 256 75

Câtul obţinut prin împarţirea numărului a + b la numărul c – d este egal cu:

a) 400 b) 600 c) 1200 d) 1500

3. Dacă a şi b sunt numere naturale care verifică egalitatea : 261333 22 baba ,

atunci a 22 b este egal cu :

a) 13 b) 17 c) 10 d) 25

4. Restul împărţirii numărului 19952009

+ 2009 la numărul 133 este :

a) 6 b) 11 c) 14 d) 17

5. Cel mai mare număr natural cu care se poate simplifica fracţia 47

73

n

n este:

a) 43 b) 61 c) 37 d) 101

6. Fie a = yx 32 . Dacă numărul 2 a are cu doi divizori mai mult decât a , iar numărul

3 a are cu şapte divizori mai mulţi decât a , atunci a este egal cu :

a) 96 b) 288 c) 432 d) 192

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs

7. Fie numărul: N=1019 + 1029 +1039 +….+ 2009 + 2009.....102110201019 .

Determinaţi suma ultimelor 240 de cifre ale lui N .

8. Demonstraţi că: N

33333

22222222

2009120082.......320072200812009

20102009.....433221

Notă: Subiectele de la 1 la 6 se notează cu câte 10 puncte fiecare, iar subiectele 7, 8 cu câte 20 de puncte fiecare.

Toate subiectele sunt obligatorii.

SUCCES!

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

“GRIGORE MOISIL” Ediţia a V-a, 28 martie 2009

SUBIECTE - CLASA A III-A

Rezolvaţi şi alegeţi varianta de răspuns corectă, haşurând în căsuţa de

răspunsuri pentru problemele 1-6

1. Produsul dintre factorul 5 şi o sumă de doi termeni este 945. Dacă la unul dintre

termenii sumei se va adăuga 8, atunci noul produs va fi:

a) 953 b) 965 c) 985 d) 961

2. La paginarea unei reviste s-au folosit 159 de cifre. Revista are:

a) 86 pagini b) 80 pagini c) 84 pagini d) 90 pagini

3. Aflaţi cu cât este mai mare suma numerelor a şi b decât diferenţa numerelor b şi c,

dacă:

a : 7 = 9 rest 6 68 : b = 8 rest 4

[ 32 – ( 124 – 62 x c ) x 15] : 2 : 4 + 4 = 8

a) 71 b) 77 c) 6 d) 69

4. Scăzând din suma a 3 numere consecutive pare suma numerelor impare cuprinse

între ele, se obţine diferenţa 16. Suma celor 3 numere este:

a) 80 b) 32 c) 48 d) 38

5. Ştiind că aceeaşi literă reprezintă aceeaşi cifră, aflaţi ce număr “se ascunde” în

spatele cuvântului “CARTE”

CARTE +

ARTE a) 2 736 b) 82 236 c) 72 736 d) alt răspuns

TE

8 5 5 0 8

6. “Un arici ducând în spate / Şapte mere pădureţe / Şi-alte câte şapte peste cele

şapte, / Se-ntâlneşte pe cărare / Cu alţi şapte aricei obosiţi ca vai de ei, / Ducând toţi

pe ţepi în spate / Şapte mere şi-alte câte şapte peste cele şapte.

Spuneţi voi, copii voioşi, / Câte mere-s pe ţepoşi?”

a) 343 b) 392 c) 448 d) alt răspuns

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs:

7. a) Să se determine perechile de numere a şi b, ştiind că dacă din a se scade 1, iar

lui b i se adaugă 2, produsul noilor numere este 12.

b) Cea mai mare valoare a lui b reprezintă dublul încincitului numărului n. Să se

afle n.

c) Folosind toate valorile lui a o singură dată şi diferite operaţii aritmetice învăţate,

obţineţi 18.

8. Suma a patru numere naturale este 277. Aflaţi numerele, ştiind că al doilea este

jumătatea celui de-al treilea, primul este cu 5 mai mic decât al doilea, iar al patrulea

este cu 3 mai mare decât un sfert din al treilea.

Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Primele 6 probleme se punctează cu câte

10 puncte, iar ultimele două cu câte 20 de puncte. Total – 100 puncte. SUCCES!

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

GRIGORE MOISIL

EDIŢIA a V - a, 28 MARTIE 2009

SUBIECTE PENTRU CLASA a IV - a

Rezolvaţi şi alegeţi varianta de răspuns corectă, haşurând în căsuţa de răspunsuri pentru

subiectele 1 – 6:

1. Penultima cifră a numărului N = 123 × 234 × 345 × 456 × 567 × 678 × 789 este:

a) 0; b) 4; c) 2; d) 6;

2. A câta parte din lungimea unui creion a rămas nefolosită, dacă o jumătate din partea rămasă

reprezintă 3

1 din partea folosită?

a) 3

1; b)

3

2; c)

5

3; d)

5

2;

3. Un număr natural cuprins între 100 şi 200 îndeplineşte simultan condiţiile:

a) suma cifrelor sale este 6;

b) numărul nu este par.

Problema are:

a) 5 soluţii; b) 6 soluţii; c) 3 soluţii; d) 9 soluţii;

4.

1) 2) 3)

Figurile plane 1), 2) şi 3) au împreună:

a) 6 axe de

simetrie;

b) o infinitate de

axe de simetrie;

c) 4 axe de

simetrie;

d) 12 axe de

simetrie;

5. 10 picături de apă au volumul de 1 ml. Care va fi, exprimată în litri, cantitatea de apă

risipită printr-un robinet defect care pierde 150 de picături pe minut, în decursul lunii aprilie?

a) 648; b) 900; c) 648000; d) 21600;

6. Un biciclist parcurge un drum în trei etape: în prima etapă parcurge cu 3 km mai puţin

decât 4

1 din drum; dacă ar mai fi mers 6 km, în a doua etapă ar fi parcurs

7

2 din restul

drumului. În a treia etapă parcurge 11

5 din restul drumului şi încă 36 km. Biciclistul a parcurs

în prima etapă:

a) 108 km; b) 24 km; c) 81 km; d) 84 km;

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs:

7. A = 3 + 5 + 7 + ... + 1993 + 1995 – 2 – 4 – 6 – ... – 1994

B = 1 + 2 + 3 + ... + 1000 – 501 – 502 – ... – 1002

C = 100 × 99 – 99 × 98 + 98 × 97 – 97 × 96 + ... + 4 × 3 – 3 × 2 + 2 × 1

Calculaţi diferenţa dintre numărul B şi suma numerelor A şi C.

8. Dacă împărţitorul este un număr de două cifre, restul are suma cifrelor 17, aflaţi

deîmpărţitul, ştiind că este un număr cuprins între 300 şi 400.

NOTĂ:

Subiectele 1-6 corect rezolvate se punctează cu câte 10 puncte. Subiectele 7 şi 8 corect rezolvate se punctează cu câte 20

de puncte.

TIMP DE LUCRU: 120 minute.

Succes!