COLEGIUL TEHNIC METALURGIC CATEDRA DE FIZIC

SLATINA - OLT

1

+Em

e

-Em

CURENTUL ALTERNATIV SINUSOIDAL Generarea tensiunii electromotoare alternative. Valori maxime i efective.

Curentul alternativ este foarte utilizat, att n industrie, ct i n consumul

casnic, prin faptul c prezint o serie de avantaje, fa de curentul continuu:

poate fi generat simplu i cu costuri reduse, se poate transporta la distane mari

uor i cu pierderi mici, se poate transforma. La baza producerii t.e.m.

alternative st fenomenul de inducie electromagnetic, descoperit de

M. Faraday. Rotirea uniform a unui cadru, format dintr-un numr de spire,

ntr-un cmp magnetic omogen sau rotirea uniform a unui cmp magnetic ntr-o bobin fix, permite

obinerea unei t.e.m. alternative. Avnd n vedere legile induciei electromagnetice, ntr-un cadru ce se

rotete uniform ntr-un cmp magnetic omogen, se induce o t.e.m. datorit variaiei fluxului magnetic prin

cadru (care conine N spire i are suprafaa S): =BNScos (1)

Unghiul este variabil n timp datorit rotaiei uniforme a cadrului: = t (2)

Fluxul magnetic prin cadrul rotitor va avea expresia urmtoare =BNScost (3)

Pe baza legii induciei electromagnetice, t.e.m. indus n cadru este: e = - / t (4)

de unde se obine, conform legii induciei electromagnetice: e = BNSsint (5)

innd cont de faptul c mrimile B, N, S, sunt constante, se poate face notaia urmtoare:

Em=BNS (6)

Tensiunea electromotoare indus n cadrul rotitor are expresia:

e=Emsint (7)

Din aceast expresie a t.e.m. rezult urmtoarele concluzii:

- t.e.m. indus este variabil sinusoidal n timp;

- t.e.m. indus are valori cuprinse ntre extremele Em i +Em numite valori

maxime ale tensiunii electromotoare.

Dac se aplic o astfel de tensiune unui circuit electric, se va stabili prin acesta un curent electric descris

de o funcie armonic de forma:

i=Imsint (8) Deoarece valoarea curentului electric este variabil n timp, n practic se folosete fie valoarea maxim

Im a acestuia, fie o valoare echivalent numit valoare efectiv Ief notat adesea numai cu I. Valoarea

efectiv a intensitii curentului alternativ reprezint intensitatea unui curent electric continuu care

produce acelai efect termic Q la trecerea prin acelai rezistor. Relaiile dintre valorile maxime i cele

efective sunt date de urmtoarele expresii de calcul:

, respectiv (9)

Pentru a cunoate elementele caracteristice sau pentru a opera cu mrimile alternative armonice,

se folosesc reprezentri convenionale ale acestora:

a) Reprezentarea analitic. Simpla scriere a mrimii respective n funcie de mrimile variabile (timp, faz etc.) poate furniza

informaii privind: valoarea instantanee, valoarea maxim, pulsaia, perioada, faza iniial a mrimii

reprezentate, de exemplu:

(10)

- intensitatea maxim este Im=100A

- pulsaia este 3

rad/s, iar perioada este T = 6 s

http://msabau.xhost.ro/?Fizic%E3:Electromagnetism:Induc%FEia_electromagnetic%E3http://ro.wikipedia.org/wiki/Michael_Faradayhttp://msabau.xhost.ro/?Fizic%E3:Electromagnetism:C%E2mpul_magnetic

COLEGIUL TEHNIC METALURGIC CATEDRA DE FIZIC

SLATINA - OLT

2

u

T 2T

t

U

0

i

u R

i

u

T 2T t

I

UR

u

u

i

t

L

IL

Diagrama fazorial

Diagrama fazorial mA

mA

t U

IL

i

Diagrama fazorial

U

- faza iniial este rad6

0

- valoarea instantanee se obine dnd variabilei timp t diverse valori. b) Reprezentarea grafic.

Prin reprezentarea grafic a unei mrimi alternative n funcie de un

parametru variabil care poate fi timpul t sau faza , se obin

informaii despre perioad, faza iniial, valoarea maxim, valoarea

instantanee.

c) Reprezentarea fazorial. La reprezentarea mrimilor alternative armonice se poate utiliza un vector numit

fazor, care are lungimea proporional cu valoarea maxim a mrimii, unghiul pe care

l face cu abscisa s fie egal cu faza iniial 0, proiecia lui pe ordonat egal cu

valoarea mrimii la momentul iniial sau la alt moment, vectorul se consider rotitor

cu o perioad egal cu cea a mrimii alternative.

Rezistor n curent alternativ.

Dac la bornele unui rezistor R se aplic o tensiune alternativ de tipul:

u =Umsint (11)

prin acesta va circula un curent electric a crui intensitate este obinut prin legea lui Ohm:

(12) sau, (12)

de unde: i = Imsint (13)

Din expresia tensiunii i intensitii curentului electric prin rezistor, rezult c intensitatea curentului este

n faz cu tensiunea la bornele acestuia, 0=0

Bobin ideal n curent alternativ (o bobin ideal nu are rezisten intern, R=0.)

La aplicarea unei tensiuni alternative la bornele unei bobine, fenomenul este mai complicat datorit

faptului c un curent variabil prin bobin produce fenomenul de autoinducie, cu tensiunea autoindus:

(14)

Considernd un circuit care

conine o bobin ideal, la

bornele creia se aplic o

tensiune alternativ de forma

rel. (11) i aplicnd legea

a II-a lui Kirchhoff pe ochiul

respectiv, rezult: u + u' = 0.

nlocuind expresiile celor dou tensiuni, se obine urmtoarea relaie:

i U

http://ro.wikipedia.org/wiki/Georg_Simon_Ohmhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Gustav_Robert_Kirchhoff

COLEGIUL TEHNIC METALURGIC CATEDRA DE FIZIC

SLATINA - OLT

3

u

i

C

u

i U

IC

t

R L C

u U

0

UL

UC UR I

UL-UC

Diagrama fazorial

mA

i

Diagrama fazorial

(15)

Considernd c intensitatea curentului electric este de form armonic: i = Imsin(t+0), nlocuind n relaia tensiunilor, se obine urmtoarea ecuaie: Umsint = ImLcos(t+0)

Din aceast relaie rezult c:

(16) i (16)

unde s-a fcut notaia: (17) numit reactan inductiv .

Cu acestea, expresia intensitii curentului electric prin bobin devine:

de unde se trage concluzia c intensitatea curentului electric prin bobin este defazat cu /2 n urma

tensiunii, 0=/2

(18)

Condensator ideal n curent alternativ(un condensator ideal nu are rezisten intern, R=0).

Dup cum se cunoate, ntre

armturile unui condensator este

un strat izolator numit

dielectric, ce nu permite

trecerea curentului electric prin

el. ntr-un circuit de curent

alternativ, condensatorul are o

comportarea diferit, deoarece el se ncarc i se descarc electric periodic, determinnd prezena unui

curent electric prin circuitul exterior lui. Dac tensiunea aplicat condensatorului are expresia rel. (11)

atunci, curentul de ncrcare i descrcare al condensatorului este: t

qi

unde q este sarcina electric variabil de pe armturile condensatorului.

innd cont c sarcina este: q = Cu, rezult q = CUmsint, iar intensitatea este i =CUmcost sau:

(19)

Se face notaia: (20) numit reactan capacitiv.

Se constat c intensitatea curentului electric printr-un circuit cu condensator este defazat cu /2 naintea

tensiunii sau c tensiunea la bornele condensatorului este n urma curentului cu /2, 0=-/2 Din cele

prezentate mai sus, rezult c att bobina ct i condensatorul se comport, n curent alternativ, ca i

rezistorul, numai c ele introduc defazaje ntre tensiune i intensitate cu +/2 respectiv -/2 .

Circuit RLC serie n c.a. (circuit cu rezistor, bobin i condensator serie, n curent alternativ).

Gruparea unor elemente rezistive, inductive i capacitive nct curentul electric s fie unic i cu aceeai

valoare, constituie circuitul RLC serie de curent alternativ.

La bornele fiecrui element de circuit se va

regsi cte o tensiune corespunztoare, conform

legii lui Ohm:

UR = RI, UL = XLI, UC = XCI, unde

XL = L i XC = 1/C. (rel. (17) i (20))

COLEGIUL TEHNIC METALURGIC CATEDRA DE FIZIC

SLATINA - OLT

4

mA

Din reprezentarea fazorial a celor trei tensiuni, defazate corespunztor fiecrui element de

circuit, rezult c exist o defazare 0 dintre tensiunea aplicat U i intensitatea I a curentului electric:

(21), sau (21)

Aplicnd formula lui Pitagora n triunghiul tensiunilor, se obine:

U2 = UR

2 + (UL - UC)

2 (22)

sau:

(22)

Facem notaia: (23)

care se numete impedana circuitului RLC serie.

Iar cu notaiile de mai sus se poate scrie legea lui Ohm n curent alternativ:

U = IZ (24)

Rezonana circuitului RLC serie, (rezonana tensiunilor): Dac n funcionarea circuitului RLC serie se realizeaz condiia: UL = UC rezult:

XL = XC, impedana Z = R (minim), curentul Irez = U/R (maxim), iar defazajul tg0=0.

Raportul notat:

(25)

Se numete factor de calitate, sau de supra tensiune al circuitului i ne arat de cte ori este mai mare, la

rezonan, tensiunea la bornele bobinei sau condensatorului dect tensiunea generatorului.

Mrimea:

(26)

Se numete impedan caracteristic. Dependen dintre factorul de calitate Q i impedana caracteristic

Z0 este dat de relaia:

(27)

La rezonan, circuitul se comport rezistiv, prin el circulnd un curent electric maxim, spunndu-se

c circuitul este n rezonan cu sursa de curent. Condiia pentru a se realiza rezonana este impus

de egalitatea:

XL = XC (28) sau (28).

De unde: (29) sau (29), sau (29),

ultima, cunoscut i sub numele de relaia lui Thomson.

Transferul de energie de la surs la circuitul RLC se va face n regim de rezonan numai dac

frecvena curentului alternativ este egal cu frecvena proprie o a circuitului, care depinde de

elementele L i C.

Puterea pe circuitul RLC serie (rezonana tensiunilor) :

COLEGIUL TEHNIC METALURGIC CATEDRA DE FIZIC

SLATINA - OLT

5

Pr

L

R

C

IC I

0 0

Pr

P

S

P 0

IC-IL

S

Triunghiul puterilor Diagrama fazorial

IL IR

Triunghiul puterilor

L

C

Dac laturile triunghiului tensiunilor (diagrama fazorial) se amplific cu intensitatea I a curentului, se

obine un triunghi asemenea cu cel iniial, dar avnd ca laturi valori ale unor puteri:

- puterea activ: P=URI P=RI2 [P]SI=1W (30)

- puterea reactiv: Pr=(UL-UC)I Pr=(XL-XC)I2 [Pr]SI=1VAR (30)

- puterea aparent: S=UI S=ZI2

[S]SI=1VA (30)

Factorul de putere se definete prin relaiile urmtoare:

(31) sau (31)

care depinde de elementele R, L, C i frecvena a curentului alternativ.

Circuit RLC paralel, n curent alternativ

Gruparea elementelor R, L, C este n

aa fel nct tensiunea la bornele lor s

fie comun iar curenii s fie rezultatul

ramificrii curentului debitat de sursa

de curent alternativ.

Intensitile curenilor prin fiecare ramur au expresiile urmtoare:

, respectiv . (32)

Aplicnd teorema lui Pitagora n triunghiul curenilor, din diagrama fazorial,

se obine: I2 = IR

2 + (IC-IL)

2, de unde:

Fcnd notaia :

legea lui Ohm devine: (34)

Defazajul curentului fa de tensiune este dat de relaiile urmtoare (din diagrama fazorial):

, (35) sau (35)

Rezonana circuitului RLC paralel (rezonana curenilor): Considerm un circuit paralel LC. Circuit ideal, R=0 Condiia de rezonan XL = XC

impune anularea intensitii curentului total prin circuit:

(36)

Deci, impedana circuitului paralel LC, la rezonan tinde ctre infinit:

(33)

(31)

COLEGIUL TEHNIC METALURGIC CATEDRA DE FIZIC

SLATINA - OLT

6

u

(37)

Pentru un circuit real, R0, Z=R este maxim, iar este minim.

Exemple de probleme rezolvate

1. La un generator de curent alternativ cu tensiunea la borne de 10 V, se conecteaz un circuit serie format dintr-un condensator de capacitate15,91 F (=5/ 10

-5 F) i o bobin cu

inductana 636,6 mH (=2/) i o rezisten de 40 . S se determine:

a) intensitatea curentului din circuit, dac frecvena curentului alternativ este 100 Hz; b) Unghiul de defazaj; c) frecvene curentului alternativ, pentru care are loc rezonana tensiunilor; d) Intensitatea curentului prin circuit la rezonan; e) Factorul de calitate al circuitului; f) Impedana caracteristic.

REZOLVARE. R L C

i

XL = L , C

XC

1 , =2 i

i

Efectund calculele se obine: I = 33 mA; =arctg7,5; I0 =Irez.= 250 mA ; 0=50Hz; Q=5; Z0=200

2. Un circuit serie, format dintr-o bobin de inductan 95,5 mH i rezisten 16 i un condensator de capacitate 177 F, este alimentat de la o reea de curent alternativ cu tensiunea efectiv

220 V i frecvena = 50 Hz. S se calculeze:

a) impedana circuitului; b) intensitatea curentului prin circuit; c) factorul de putere al circuitului; d) puterile activ, reactiv i aparent.

REZOLVARE

22 CL XXRZ , Z

UI , XL = L,

CX C

1 , =2,

P = UIcos = I

2R, Pr = UIsin = I

2(XL - XC), S = UI, respectiv

U

RIcos

Efectund calculele se obine: Z = 20 , I = 11 A, cos = 0,8

P = 1936 W, Pr = 1425 VAR, S = 2420 VA

U =10 V

C =15,91 F

L = 636,6 mH

R = 40

= 100 Hz

I = ?

=?

0 = ?

I0 = ?

Q=?

Z0=?

L = 95,5 mH

R = 16

C = 177 F

U = 220 V

= 50 Hz

Z = ?

I = ?

cos = ?

P, Pr, S = ?

COLEGIUL TEHNIC METALURGIC CATEDRA DE FIZIC

SLATINA - OLT

7

Bibliografie:

1. R.P.Feynman, Fizica modern, Vol II, Ed. Tehnic, Bucureti,1970. 2. E.M.Purcell, Electricitate i magnetism, Ed. Did. i Ped., Bucureti, 1982. 3. http://msabau.xhost.ro/?Fizic%E3

http://msabau.xhost.ro/?Fizic%E3