1

2

Colectivul de redacţie

Prof. Rodica Dimitrovici Prof. Florin Paiuc Prof. Gheorghe Avadanei Prof. Maria Maftei Prof. Popescu Viorica

Zidu Mihai - clasa IX-E Basescu Alexandru - clasa X-H Nita Ana Maria - clasa IX-E Popescu Ionut - clasa X-H

Colectivul de tehnoredactare computerizata

Prof. Florin Paiuc

Dobrin Gabriel - clasa IX-D Lefter Oana - clasa IX-D Ciovana Cristina - clasa IX-D Pirvu Cristian - clasa IX-D

Redactor: Sorin Paiuc

Revista aparuta cu sprijinul „Fundatiei Romane Sfantul Petru”

Nr. 22/2007

3

4

Cuprins: Cuprins: .............................................................................................................................. 4 Editorial .............................................................................................................................. 6

Un alt fel de editorial – Niţă Ana Maria, clasa a IX-a E ................................................... 6 La izvoarele matematicii ................................................................................................... 7

Leonhard Euler (1707-1783) - Prof. Rodica Dimitrovici .................................................. 7 Vechi probleme: Tarancile la targ - Prof. Rodica Dimitrovici .......................................... 8

Matematicieni romani ....................................................................................................... 8 Dan Barbilian (1895-1961) – Pascu Anca cl. IX-E ........................................................... 8 Omologiile Lui Barbilian - Prof. Rodica Dimitrovici ..................................................... 10

Sfatul profesorului ........................................................................................................... 11 Asupra unor ecuatii in Z - Prof. Margarit Diana ............................................................. 11 Monotonie si extreme - Prof. Gh. Avadanei ................................................................... 12 Greseli rezultate din aplicarea incorecta a unei teoreme – Prof. M. Maftei .................... 13

Aplicatii ale matematicii in alte domenii ........................................................................ 13 Aplicaţii ale matematicii în fizică - Guler Florin Cl. X-H .............................................. 13

Problema Elevului ........................................................................................................... 15 Teza mea la matematica – Lambe Andrei .cl. IX H ........................................................ 15 Calculul unei sume – Lambe Andrei .cl. IX H ................................................................ 17 Aplicatii la inductia matematica – Stoian Alina-Mirela cl- IX- D ................................. 20 Numere complexe - Bucuresteanu Alexandru clasa X-H ................................................ 23 Un Patrat – Popescu Ionut clasa X-H .............................................................................. 24

Impresii despre matematica ............................................................................................ 24 Ora de Matematica la laborator – Guler M. Florin,Antonia F. Toni clasa a-X-a H ........ 24

Subiecte propuse la bacalaureat –2007 .......................................................................... 25 Rezolvarea subiectului numarul 1: Matematica Informatica – Prof. Maria Maftei ......... 25

Probleme distractive propuse ......................................................................................... 29 Concursul Zrinyi -Ungaria – Mirea Silviu cl. X H .......................................................... 29

5

6

Editorial Un alt fel de editorial – Niţă Ana Maria, clasa a IX-a E Impactul matematicii asupra elevului care a terminat gimnaziul

Matematica, ca disciplină, este o materie care necesită mult studiu şi multă atenţie, dar ea nu este concepută de toţi elevii la fel, deoarece nu toţi dispun de acelaşi grad de perce pţie asupra materiei. Terminarea clasei a VIII-a a fost o perioadă grea în viaţa fiecărui elev, a însemnat mult efort intelectual, deoarece în paralel cu studierea materiilor de clasa a VIII-a elevii au trebuit să se pregătească şi pentru susţinerea examenului de capacitate. Noi, elevii, am fost obişnuiţi cu un alt mod de predare şi un altfel de comportament al profesorului. La liceu, pretenţiile profesorilor sunt mai mari în condiţiile în care materia este mai grea şi total diferită de ceea ce am studiat noi în gimnaziu. Dintotdeauna, matematica a fost considerată o materie grea şi de aceea mulţi elevi s-au temut de ea şi au preferat uneori să lipsească de la oră decât să ia o notă proastă. Tocmai

de aceea, profesorii de matematică ar trebui să ştie să-i apropie mai mult pe elevi şi să aibă o oarecare îngăduinţă, nu să îi sperie ameninţându-i cu acordarea unei note proaste, pentru că astfel se creează starea de teamă faţă de matematică şi chiar faţă de profesor, care are un impact important asupra personalităţii elevului de clasa a IX-a. Noi elevii, înţelegem că este nevoie de multă muncă suplimentară şi că trebuie să ne străduim să obţinem rezultate bune, atât pentru noi, cât şi pentru mulţumirea profesorului, dar acest lucru este posibil numai in cadrul unei bune colaborări elev-profesor. Începând de la această vârstă, elevii îşi formează o idee despre ceea ce vor să facă in viitor şi consider că impactul cu matematica este hotărâtor pentru viitorul fiecăruia. Impactul matematicii asupra elevului de clasa a IX-a poate fi bun sau rău, în funcţie de modul în care profesorul ştie să se facă înţeles, să facă ora plăcută, astfel încât indiferent de gradul de inteligenţă al elevului toţi să participe cu plăcere la ora de matematică.

7

La izvoarele matematicii Leonhard Euler (1707-1783) - Prof. Rodica Dimitrovici Anul acesta se implinesc 300 de ani, de la nasterea lui Leonhard Euler, un matematician elvetian devenit faimos pentru numeroasele descoperiri in teoria matematica, si pentru larga categorie de subiecte pe care le-a tratat. El a desfasurat o activitate prodigioasa cu toate ca a orbit la un ochi in 1735 si a devenit total orb in 1766. Euler a contribuit cu noi idei in: metode de calcul, geometrie, algebra, astronomie, teoria numerelor si probabilitati. De asemenea a lucrat in multe domenii de aplicare a matematicii, ca in acustica,si finante. Euler s-a nascut in 1707, Basel, Elvetia, si a ajuns profesor universitar la Petersburg. A elaborat numeroase lucrari continand cercetari in toate domeniile stiintei. Ca matematician a activat la Berlin si la Petersburg, fiind unul dintre cei mai mari savanti ai secolului al-XVIII-lea. A prezentat rezultatele fundamentale:in teoria numerelor, intuind teoria resturilor patratice si introducand notiunea de indicator. In geometrie reducand ecuatia conicelor, dand ecuatiile cilindrului, conului, suprafetelor de rotatie, introducand triedrul mobil in studiul curbelor:studiind curbura curbelor trasate pe o suprafata . In algebra, a formulat teorema fundamentala relativa la functiile omogene, diverse sumari, a introdus determinantul ortogonal. In analiza a studiat ecuatiile diferentiale lineare, functiile beta si gama. In seriile trigonometrice, a introdus notiunea de integrala dubla, a formulat teorema fundamentala in calculul variatiilor, a initiat teoria functiilor de variabila complexa a ecuatiilor cu derivate partiale integralele eliptice etc. A stabilit notatiile pentru PI , E, F(X). In 1739 Leonhard Euler evalueaza posibilitatea de percepere a auzului uman la opt octave. In mecanica a aplicat analiza matematica in studiul miscarii, a dezvoltat mecanica punctului material si a corpului solid sub actiunea unor forte oarecare in vid si in mediu rezistent. A studiat in special dinamica solidului cu un punct fix, a introdus notiunile de moment cinetical cantitatii de miscare. In 1736 apare la Petersburg, "Mechanica sive motus scientia analytice exposita "(Mecanica sau stiinta miscarii expusa analitic a lui Euler). Metoda de gasire a liniilor curbe care au proprietatile de maximum si minimum, fiind rezolvarea problemei izoperimetrice cosiderate in sensul cel mai larg al lui Euler. In aceasta lucrare este inserat si studiul 'Despre determinarea miscarii corpurilor aruncate intr-un mediu care nu opune rezistenta prin metoda maximelor si a minimelor. A studiat flambajul, problemele de hidrodinamica si de ciocniri. Pentru mecanica este de mentionat lucrarea 'Theoria motus corporum solidorum' (Teoria miscarii corpurilor solide ) (1775), celelalte lucrari fiind cuprinse in Opera „omnia” (opere complete). In 1744 savantul Euler publica lucrarea „'Theoria motum planetarum etcometarum” in care fundamenteaza matematic deplasarea in spatiu a acestor astrii. Tot in 1744 apare la Lausanne lucrarea 'Methodus inveniendi lineascurvas maximi,minimi sive proprietate guadentes sive solutio sensu cocepti'. Introduce in studiul miscarii corpului solid cu un punct fix unghiurile care ii poarta numele. In 1748 apare lucrarea 'Introductio Analysis infinitorum' in care introduce in analiza marimilor infinit mici a lui Euler cu rezultate fundamentale in teoria numerelor in algebra si analiza.

8

In 1749 apare la Petersburg 'Stiinta maritima” un tratat despre constructia corabiilor si conducerea lor, in care da definitia conceptului de stabilitate sub forma ecuatiilor flambajului cunoscute si astazi, sub numele de ecuatiile lui Euler la flambaj. In lucrarea 'Introctio Analysios infinitorum ' introduce in analiza marimilor infinit mici a lui Euler cu rezultate fundamentale in teoria numerelor in algebra si analiza. In 1770 apare cartea 'Theoria Motum Lunae ' (teoria miscarii Lunii) in care sunt indicate metodele de integrare prin aproximarea in ecuatiile diferentiale de ordinul I si al-II-lea. In 1783, Leonhard Euler moare lasand in urma o opera care a imbogatit patrimoniul umanitatii.

Vechi probleme: Tarancile la targ - Prof. Rodica Dimitrovici In lucrarea Vollständige Anleitung zur Algebra(1770), Leonhard Euler a formulat urmatoarea problema: Doua taranci s-au dus la targ sa vanda cele 100 de oua pe care le aveau impreuna si au incasat sume egale, desi n-au avut acelasi numar de oua. La inapoiere, una a spus celeilalte : “Daca as fi avut ouale tale, as fi incasat 15 creitari” iar insotitoarea i-a raspuns: “Eu, daca as fi avut ouale pe care le-ai vandut, as fi incasat pe ele 6Error! creitari”. Cate oua a avut fiecare taranca? Rezolvare aritmetica Presupunem ca, prima care a deschis discutia a avut de k ori mai putine oua decat a doua, dar cum au incasat aceeasi suma, inseamna ca ea le-a vandut de k ori mai scump. Daca le-ar fi schimbat intre ele, prima taranca ar fi vandut de k ori mai multe oua si de k ori mai scump, atunci ar fi incasat de k 2 ori mai mult decat a doua Error! . Cum au fost 100 oua, problema revine la a imparti suta in raportul Error! Error! Rezolvare algebrica Daca o taranca a avut x oua, cealalta a avut 100-x oua. Schimband ouale ipotetic intre ele se deduce ca, prima vinde ouale cu pretul Error!

Matematicieni romani Dan Barbilian (1895-1961) – Pascu Anca cl. IX-E

Matematician şi poet român (sub pseudonimul Ion Barbu, numele bunicului său), fiind greu de spus cine a fost mai mare, poetul

9

sau matematicianul. Dan Barbilian s-a născut la Câmpulung – Muscel, cursurile primare făcându-le la Câmpulung, Dămieneşti(Roman) şi Stâlpeni(Muscel), iar liceul la Piteşti, Câmpulung şi Bucureşti. Îndrăgostit de mic de matematică (gratie şi profesorului său din liceu Ion Banciu(1881-1940) pe care îl va lauda toată viaţa) este foarte apreciat cu ocazia unui concurs al Gazetei matematice de către Gheorghe Ţiţeica(1873-1939).

În 1914 intră la secţia de matematici a Facultăţii de Ştiinţe de la Universitatea din Bucureşti, având ca profesori pe: Gheorghe Ţiţeica, Dimitrie Pompeiu(1873 - 1954), David Emmanuel (1854 - 1941), Traian Lalescu (1882-1929) şi Anton Davidoglu (1876 - 1958)

Între 1916–1918 ia parte la război ca plutonier într-un regiment de pontonieri. În 1918 revine la studii şi în 1920 este licenţiat în matematica, an în care redactează primele

două lucrări matematice, urmate în 1921 de o încercare de axiomatizare a geometriei algebrice. Gheorghe Ţiţeica o apreciază anticipând gândurile şi preocupările ulterioare ale lui Barbilian pe care îl trimite cu o bursă de studii la Göttingen pentru specializare, unde profesa Edmond Landau(18877- 1930), specialist în teoria numerelor, pe care însă Barbilian nu l-a plăcut ca profesor. Perioada Göttingen i-a „umplut sufletul de atmosfera curat ştiinţifică, misterioasă”, venit să se informeze acolo unde au profesat celebrităţi ale matematicii ca: Gauss(1777-1855), Riemann(1826-1866), Dirichlet(1805-1859), David Hilbert(1862–1943), Felix Klein(1849-1925), Hurwutz(1859-1909), Minkowski(1864–1909)… Reîntors în ţară în 1924, este numit în 1925 profesor suplinitor secundar al liceul din Giurgiu.

În 1926 este chemat asistent la catedra lui Ţiţeica unde va funcţiona până în 1932, în paralel fiind şi profesor secundar la liceele „Spiru Haret” şi „Dimitrie Cantemir”.

În 1929 devine doctor în matematica la Facultatea de Ştiinţe din Bucureşti cu teza principală Reprezentarea canonică a adunării funcţiilor ipereliptice şi cu teza secundară Grupuri finite discontinue în faţa unei comisii formate din David Emmanuel, Dimitrie Pompeiu şi Gheorghe Ţiţeica. În 1932 devine conferenţiar de matematici generale şi geometrie descriptivă, titularizat în 1935. Pentru ca în 1938 să devină profesor titular la catedra de matematica elementara şi axiomatică. Ca profesor universitar va funcţiona la Facultatea de Ştiinţe până în 1959 când se îmbolnăveşte.

Apreciat în străinătate, a ţinut diferite conferinţe legate de preocupările sale la Hamburg sau Göttingen, unde şi-a făcut prieteni printre reputaţii: oameni de ştiinţă ai vremii.

Lucrările sale ştiinţifice(peste 100 de memorii şi articole şi peste 30 de conferinţe), înmănunchează preocupări şi rezultate remarcabile din domeniul geometriei, în special al geometriei algebrice, din cel al algebrei moderne sau din domeniul axiomatizării ştiinţelor deductive. Studiile sale numeroase şi remarcabile asupra metrizării unor mulţimi(pe care le-a numit geometrii oscilante) au condus la introducerea unor spaţii denumite ulterior Spaţii Barbilian sau Geometrie Barbilian. A extins unele rezultate ale lui Galois(1811-1832). A arătat că ipoteza relaţiei de perpendicularitate este absolut suficientă pentru reducerea geometriilor Hilbert – Lendemann la cea a lui Lobacevski(1937). Tot aici a dat pentru prima dată un sistem de axiome (şapte la număr) consistent şi categoric pentru geometriile Hilbert – Lendemann. A generalizat noţiunea binară de diviziune echianarmonică şi a introdus analogia teoriei figurilor echiproiective, arătând totodată că orice corelaţie din spaţiu admite o generare discontinuă, cu ajutorul unei construcţii cinematice. A generalizat conceptul de nilpotenţă şi multe alte idei şi concepte algebrice.

Opera sa ştiinţifică, bogată cantitativ dar mai ales calitativ, va influenţa timpurile. Preocupările sale au lăsat multe probleme deschise şi mulţi matematicieni străini şi români au pornit la studiu în domeniile deschise de Barbilian.

Atât în poezie cât şi în matematică, Barbilian a rămas ca o figură aparte. Mintea scăpărătoare, intelectual de înaltă clasă, Barbilian avea un verb care ustura(uneori prea mult) dar şi atunci el rămânea matematicianul poet, omul de cultură vast, cu o imaginaţie fecundă, puţin firească. Discuţiile sale erau pline de perle şi dacă cineva ar fi putut să-i urmărească spontaneitatea şi mai ales s-o consemneze, ar fi putut aduna la un loc idei şi răspunsuri dintre cele mai variate, ele însele perle ale literaturii.

10

Ca profesor, a fost apreciat şi admirat de unii şi contestat de alţii, din diverse motive. El a rămas în ştiinţă şi cultură ca un reper la care se fac referinţe dintre cele mai diverse, opera matematică constituind un nesecat izvor de idei pentru cercetările viitoare.

În anul 1928, într-un articol din Universul literar Barbilian dă o definiţie sugestivă geometriei diferenţiale şi anume: „Ca să ţineţi o idee despre obiectul ramurii acesteia de matematici, închipuiţi-vă o tablă mare de zinc. Un soare permanent ar îndoi-o, încălzind-o, faţa de zinc ia forma unei suprafeţe mai complicate. Geometria diferenţială studiază deformările de linii şi măsuri într-un arc de cerc foarte mic din acea suprafaţă. Lucrurile se prezintă acolo mai simplu. Din studiul acesta local, rezultă mai multe consecinţe pentru suprafaţa întreagă”.

Odată, la un examen, Barbilian dădea un verdict după o logică implacabilă spunând ”Mulţumesc domnişoară. Ai învăţat!… Dar Dumnezeu nu ţi-a binecuvântat această învăţătură. Nu-ţi este iertat dumitale să nu ştii ce este rangul unei matrice. După cum într-un produs e de ajuns ca unul din factori să fie zero ca întreg produsul să fie nul, tot astfel anumite răspunsuri date anulează toată ştiinţa dumitale!…”

Pornind de la teorema lui Pompeiu de geometrie elementară care spune că „distanţele de la un punct la cele trei vârfuri ale unui triunghi echilateral sunt laturile unui triunghi”, Barbilian a elaborat un interesant memoriu intitulat Excurs über Die Dreieck (Die Hilbert – Lindemannschen Geometrie).

A publicat articole despre Ţiţeica(1928, 1939) şi Pompeiu (1932, 1937). Vorbind despre matematică şi poezie, Barbilian sublinia că: „Matematicile pun în joc puteri

sufleteşti care nu sunt mult diferite de cele solicitate de poezie şi arte”. Se spune că după război când nu prea găseau mulţi cu ce să se încălzească acasă, se întâmpla ca

la cursurile lui Dan Barbilian să asiste şi alte persoane decât studenţii matematicieni, acestea intrând în aula universitară cu singurul scop să stea la căldură. La un astfel de curs, Barbilian avea nevoie în expunere de noţiunea de grup pe are orice student la matematică ar fi trebuit să o ştie. I-a cerut unei persoane din sală să dea definiţia. Cum acesta a rămas mut la adresarea întrebării, un vecin, student matematician, a încercat să-i motiveze neştiinţa prin neapartenenţa la acea facultate la care Barbilian a replicat: „Bine, bine, nu este student la matematică, dar trebuie să ştie ce este măcar grupul!”

Omologiile Lui Barbilian - Prof. Rodica Dimitrovici Fie triunghiurile ABC si A’B’C’ echilaterale, de acelasi centru si cu varfurile notate in acelasi sens de rotatie. Se considera:

Sa se arate ca triunghiurile ABC si C’B’A’ sunt omologice (adica punctele H,D,L, sunt coliniare sau dreptele corespunzatoare varfurilor celor doua triunghiuri AC’,BB’,CA’, sunt concurente). Mai exista doua omologii (ABC,A’C’B’) si (ABC,B’A’C’). Demonstratie: se foloseste teorema lui Menelaus pentru demonstrarea coliniaritatii punctelor H,D,L.

Consideram ΔOAA’=ΔOBB’=ΔOCC’=>AA’=BB’=CC’ ΔJAA’ = ΔDBB’=ΔGCC’=>AJ=BD=CG => GA=JB=DC ΔAHJ = ΔBDK= ΔCEK =>AH=BK=CE =>HC=KA=EB

'A'BBCD,'A'CACH,BCABL '' ∩=∩=∩=

1LABL

DBCD

HCHA

=⋅⋅

11

Pentru congruenta triunghiurilor s-a folosit faptul ca unghiul de rotatie de la centru se intalneste si intre laturi ΔAOA’= Δ BOB’ = Δ COC’= ΔAHA’= Δ BKB’= Δ CHC’ In ΔABC cu secanta B’C’ scriem teorema lui Menelaus si inlocuim segmentele congruente: I A’ A J H O K C’ F B E C L B’

Sfatul profesorului Asupra unor ecuatii in Z - Prof. Margarit Diana Fie ecuatia axy+bx+cy+d = 0 a,b,c,d ∈ Z., a ≠ 0. 1. Cum se rezolve in Z2 ? 2. Ce conditie exista intre coeficienti astfel incat ecuatia sa aiba o infinitate de solutii ? 3. In cazul in care are un numar finit de solutii , care este numarul maxim ? Rezolvare. (1) axy + bx + cy +d = 0 | ⋅ a a2xy +abx+acy+ad = 0 | +bc a2xy +abx+acy+bc = bc – ad ay ( ax+ c) + b ( ax+ c) = bc – ad (2) (ax+ c) (ay+ b) = bc – ad Notam Δ = bc – ad ∈ Z. Cazul I. daca Δ ≠ 0 fie { 1 =d1, d2,... dn = Δ} divizorii naturali ai lui Δ; atunci ecuatia (2) poate fi verificata in urmatoarele moduri:

11 =⋅⋅⇒=⋅⋅EBAH

BDDC

LABL

EBCE

GCAG

LABL

12

(3) Error! Error!... Error! Error! Error!... Error! Cele 2n sisteme de ecuatii liniare admit cate o solutie, dar nu neaparat toate intregi, deci ecuatia (1) are cel mult 2n solutii intregi. Cazul II. daca Δ = 0 atunci ecuatia (2) devine: {ax+c=0, ay+b≠ 0 sau {ax+c ≠ 0, ay+b=0 ⇔ Error! sau Error! Sunt solutii daca a / c sau a / b ,deci cazul Δ=0 admite o infinitate de solutii intregi. Aplicatie (exercitii propuse) 1. 2xy+x+y-52=0

Monotonie si extreme - Prof. Gh. Avadanei 1. Proprietatea “f ’(x) < 0 ⇒ f este strict descrescatoare”, este valabila doar pe intervale, nu si pe reuniuni de intervale. Intr-adevar daca Error! definita pe ( -∞ , 0) ∪ (0, ∞ ) are derivata f ‘ (x) = Error!<0 Si totusi f nu este strict descrescatoare pe R – {0}, ci pe fiecare subinterval dupa cum se vede din desenul de mai jos: f (x2) ( x1 < x2 ; totusi f (x1) < f (x2) ) x1

x2

f (x1) 2. Pentru ca f sa admita in x0 punct de extrem, anularea derivatei in x0 nu este nici necesara si nici suficienta. Intr-adevar : a) f : R → R , f (x) = | x | are in x0 un minim, cu toate ca f nu este derivabila in 0; b) f : R → R , f (x) = x 3 nu are extrem in x0 = 0 cu toate ca derivata se anuleaza in acest punct. (Vezi si graficele celor 2 functii)

13

a) b) f (x) = | x | f (x) = x 3

3. Functia f (x) =min ( | sin x | , | cos x | ) are o infinitate de minime si maxime si totusi derivata nu se anuleaza in nici unul din aceste puncte. 4. Daca f este derivabila, anularea derivatei este conditie necesara pentru existenta extremului, nu insa si suficienta (vezi 2b).

Greseli rezultate din aplicarea incorecta a unei teoreme – Prof. M. Maftei Consideram functia f : R – {0}→ R , f (x) = arctg Error!+ arctg x. Cum f ‘(x) = 0 ⇒ f (x) = constant ∀ x ∈ R – {0}. Dar f (1) =Error! ]i f (-1) = - Error!. De unde provine contradictia ? Raspuns. Functia nu este constanta pe domeniul ei de definitie deoarece acesta nu este interval.

Aplicatii ale matematicii in alte domenii Aplicaţii ale matematicii în fizică - Guler Florin Cl. X-H

Sunt multi elevi, unii destul de buni la matematică carora nu le place fizica chiar, dacă o învaţă

o fac dintr-o obligaţie. Cert este că fizica, sau cel puţin o mare parte din ea, la nivelul liceului, poate fi prezentată într-un mod mai atractiv, alături de matematică. Este foarte important să ştim să punem cunoştinţele de fizică în strânsă legătură cu matematica, în viata de zi cu zi, să privim evoluţia acestora prin prisma aplicaţiilor lor şi a vieţii oamenilor.

14

Scopul urmărit al acestui referat este de a aprofunda cunoştinţele de matematică şi fizică predate în şcoală, inclusiv de a învăţa lucruri noi, într-un mod cât mai agreabil. Istoria fizicii şi a matematicii confirmă faptul că nu puţine sunt cazurile cand pornind de la probleme distractive, în aparenţă “uşoare” , s-a ajuns la concluzii de interes ştiinţific şi tehnic foarte importante.

Voi prezenta în continuare două probleme mai interesante, de circulaţie: Problema 1

Un conducător auto circulând pe o şosea rectilinie şi orizontală, oprit de un agent de circulaţie pentru că nu ar fi respectat viteza legală în localităţi, v=50km/h, susţine că ar fi circulat regulamentar. În automobil, agentul de circulaţie a gasit un vas în formă de cilindru circular drept , fixat rigid prin baza sa, de podeaua automobilului,care avea diametrul bazei d=40 cm, înălţimea h=50 cm şi apă până la jumătate. Punctul cel mai înalt al peretelui interior udat al vasului era h1=22 cm deasupra apei. După începerea frânării automobilul a mai parcurs s=15 m până la oprire, ceea ce s-a putut constata prin urmele lăsate de cauciucuri pe şosea. Cine a avut dreptate: şoferul sau agentul de circulaţie? Soluţia problemei 1 Pentru stabilirea adevărului, trebuie să constatăm că în timpul frânării intervine forţa de inerţie Fi , iar suprafaţa apei (oglinda acesteia) din vas ia forma A1B1 ( vezi figura) astfel că punctul cel mai înalt B1 al peretelui interior udat al vasului este definit prin cota BB1=h1 , deasupra apei. Pentru a lua

drept bună indicaţia dată de nivelul atins de apă în timpul frânării este necesar ca h1+h ≤h ⇒h1≤2h

,

deoarece în caz contrar apa curge din vas, chiar dacă vasul are o poziţie fixă. Se observă că această

condiţie este îndeplinită de datele numerice de pe ‘teren’ h1 = 22 cm < 2h = 25 cm. Este de asemenea

de presupus că nu s-a intervenit asupra vasului de nici o persoană din cele aflate în discuţie sau eventual de alte persoane ce s-ar fi aflat în maşină. O particulă de apă, de masa m, aflându-se în echilibru dinamic pe suprafaţa A1B1, rezultanta

→→→

+= FiGF = m( →→

+ ag ) este perpendiculară pe suprafaţa A1B1. Rezultă că

tgα = GF i ⇒ a = g* tgα (1)

Conform formulei lui Galilei, viteza cu care circula automobilistul în momentul în care a început frânarea era: v= as2 (2) .

Înlocuind (1) în (2) şi ţinând seama că, potrivit figurii, tg α = OB

B B1 =

2

1

dh =

dh1

2 avem v =2

dsg h1 .

Numeric, rezultă că v≅ 18m/s =64, 8 km/h > v= 50 km/h, deci agentul de circulaţie a avut dreptate. Problema 2

Se povesteşte următoarea anecdotă despre fizicianul american Robert William Wood ( 1868-1955).

15

Într-o zi a trecut cu autoturismul său la o intersecţie de străzi când semaforul arăta culoarea roşie. Când poliţistul a vrut să-l amendeze, fizicianul ar fi spus că viteza autoturismului era aşa de mare încât culoarea semaforului roşu s-a transformat în verde. Ştiind că lungimea de undă a luminii roşii este λ r

=687 nm, iar a luminii verzi este λ v=527 nm , ne punem firesc întrebarea: care ar fi trebuit să fi

fost viteza autoturismului condus de R.W.Wood, astfel încât afirmaţia acestuia să fi fost adevărată?

Soluţia problemei 2

Pentru a da răspuns la această întrebare, ne amintim că în conformitate cu efectul Doppler, dacă observatorul se mişcă faţă de sursa de lumină cu vitezaV, iar viteza undei (a luminii) în mediul respectiv este c, atunci în cazul apropierii observatorului, frecvenţa percepută de

acesta va fi : (1) f’ = f0(1+cv ) , în care f0 reprezintă frecvenţa undei percepute de un observator în repaus.

Dar f’ = λ v

c , iar f0=λ r

c (2) .

2 Înlocuind (2) în (1) şi explicitând viteza V( în cazul nostru V reprezintă viteza autoturismului

condus de R.W.Wood ) avem V= c(λλ

v

r -1) . Înlocuind numeric, obţinem

V= 3*108(527687 -1) = 3*108*0, 3036 m/s sau V≅ 91000 km/s.

Concluzia ce se despride este că într-adevăr savantul putea fi amendat pentru... această viteză nepermis de mare!

Problema Elevului Teza mea la matematica – Lambe Andrei .cl. IX H

1. Fie functia ƒ : ℝ ⇨ ℝ , ƒ (x) = x² - 7x + 10 . a) Aflati coordonatele punctului de extrem b) Calculati radacinile functiei c) Determinati intervalele de monotomie

d) Rezolvati inecuatia 1)(

−xxf

< 0.

2. Fie ƒ : ℝ ⇨ ℝ , ƒ(x) = 3

1+−

mm

x – 2. Aflati m ε ℝ a.î. f sa fie descrescatoare .

3. Fie ecuatia x² + 6x – 1 = 0 cu radacinile x1 si x2 . Fara a calcula radacinile ,

aflati valoarea expresiei E= 21

12121

xxxxxx

++

⋅+ .

16

4. Daca sin a = 31

, cos b = - 41

, a,b ε ( 2π

; π ) , calculati cos a , sin b , tg a

si cos (a – b) .

5. Calculati cos 12π

6. a) Aratati ca tg ∝ + ctg ∝ = α2sin2

.

b) Simplificati aaaa

3coscos3sinsin

++

.

REZOLVARE

1 . a) ƒ(x) = x² - 7x + 10 ; V ( aab

4;

2Δ−−

) = V ( 49;

27 −

)

b) x1,2 = 237 ±

= 2 si 5

c) pentru x ε ( -∞; 27

) , ƒ strict descrescatoare

pentru x ε ( 27

; + ∞ ) , ƒ strict crescatoare

d) E = 1)(

−xxf

< 0

2. ƒ(x) = 3

1+−

mm

x – 2 ⇘ = 3

1+−

mm < 0

3. x² + 6x – 1 = 0

X

- ∞ 1 2 5 + ∞

X² - 7x + 10

+ + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + +

X – 1

- - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + +

E

- - - - - - ▌+ + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + +

X - ∞ 1 2 5 + ∞

X² - 7x + 10

+ + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - 0 + + + +

X – 1

- - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + +

E

- - - - - - ▌+ + + + + 0 - - - - - - - - - - 0 + + + +

17

x1 + x2 = ab−

= - 6 ⇔ E = 21

12121

xxXXxx

++

⋅+ = 6

116

−+

−−

⇨

x1 · x2 = ac

= - 1 = 66

– 61

= 6

136 − = 6

35 .

4. cos a = ± a²sin1− = ± 911− = ± 9

8= - 3

22

sin b = ± b²cos1− = ± 1611+

= 415

1615

=

tg a = ba

cossin

= 322

31

= - 221

= -42

cos(a-b) = cos a · cos b + sin a · sin b = 1215

62

415

31)

41(

222

+=⋅+⋅ .

5. cos 2π

= cos 26π

= ± 2

2cos1 π

+ = 2

231+

= 232 +

6. tg x + ctg x = x2sin

2 ⇔ x

xcossin

+ xx

sincos

= xsin2

⇔ xx

xxcossin

²cos²sin⋅+

= xsin2

⇔ xx cossin1⋅ = x²sin

2 ⇔ 2 sin x · cos x = sin 2x

Calculul unei sume – Lambe Andrei .cl. IX H

Sa se calculeze S :

18

S =

)5)(4)(3(1

)4)(3)(2(1

)3)(2)(1(1

)2)(1(1

)1()1(1

++++

++++

++++

+++

+⋅+ aaaaaaaaaaaaaaa.

Rezolvare :

1)1()1)(1()1(11)2()1(

1=−+−+++⇔

+++

−=

+⋅−aCaaaBaAa

aC

aB

aA

aaa

∀ x ∈ ℝ

pentru a = 0 ⇒ -B = 1 A = 21

pentru a = 1 ⇒ 2A = 1 ⇔ B = - 1 ⇒

pentru a = -1 ⇒ 2C = 1 C = 21

⇒ 121

11

21

)1()1(1

++

−+

−=

+⋅− aaaaaa

121

11

21

)1()1(1

++

−+

−=

+⋅− aaaaaa

2

21

112

1

)2)(1(1

++

+−=

++ aaaaaa

3

21

21

121

)3)(2)(1(1

++

+−

+=

+++ aaaaaa

421

31

221

)4)(3)(2(1

++

+−

++++ aaaaaa

19

5

21

41

321

)5)(4)(3(1

++

+−

+=

+++ aaaaaa ⇔

Adunam pe diagonala

⇔ S = )5

14

111

1(21

521

421

21

121

++

+−−

−=

++

+−−

− aaaaaaaa .

20

Aplicatii la inductia matematica – Stoian Alina-Mirela cl- IX- D

1) . Demonstrati:

Etapa I de verificare: P(1) =1 Etapa II de demosnstratie:

Presupunem: P(k):A

Sa demonstram ca P(k+1) : A

P(k+1) = P(k) + (k+1)2

P(1+1) =P(1) + (1+1)2

P(2) = 1 + 22

P(2) = 5

P(n): 1

2 +2 2 +32 + … +n2 =

n(n+1)(2n+1)

6

12 =

1 · 2·3

6

= 1 (A)

P(k):

1

2 +22 +32 + ….+ k2= k (k+1)(2k+1)

6

P(k +1):

12 +2

2+32 +….k2 + (k+1)2 = k(k+1)(2k+1)

6 + (k+1)2

P(k +1):

(k+1)(k+2)(2k+2+1)

6

21

P(2) = 5 D in etapele I si II => P(n) A ,n apartine lui N 2 ). Aratati ca:

Etapa I de verificare:

A

Etapa II de demonstratie: Presupunem ca P(k):A

Demonstram ca P(k+1) : A

P(k +1):

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

P(2) = P( 1+1):

(1+1)(1+2)(2*1+3)

6

P( 2):

2 *3* 5

6

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3 +

….…. +

1

2n >13

24 ; n ≥

2

P(2):

1

3

+

1

4

>

13

24

8 + 6

24 >13

24

P(k):

1

k+1

+

1

k+2

+

….…. +

1

2k >13

24 ; k ≥ 2

P(2) = 5 D in etapele I si II => P(n) A ,n apartine lui N 2 ). Aratati ca:

Etapa I de verificare:

A

Etapa II de demonstratie: Presupunem ca P(k):A

Demonstram ca P(k+1) : A

P(k +1):

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

P(2) = P( 1+1):

(1+1)(1+2)(2*1+3)

6

P( 2):

2 *3* 5

6

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3 +

….…. +

1

2n >13

24 ; n ≥

2

P(2):

1

3

+

1

4

>

13

24

8 + 6

24 >13

24

P(k):

1

k+1

22

P(k+1):

1

k+2

+

1

k+3

+

….…

+ 1

2k

+1

2k+1

+1

2k+2

>13

24

P(k+1):

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+

….…

+1

2k

+1

2k+1

+1

2k+2 -

1

k+1

>

13

24

P(k+1):

=

P(k)

+

1

2k+1

+ 1

2k+2 -

1

k+1

>13

24

P(k+1):

>

13

24

+ 1

2k+1

+ 1

2k+2 -

1

k+1

>13

24

13

24

+ 1

2k+1

+ 1

2k+2 -

1

k+1

>13

24

1

2k+1

+ 1

2k+2 -

2)1

k+1

> 0

1

2k+1

+ 1

2(k+1) -

2

2(k+1)

> 0

2(k+1)) 1

2k+1 -

2k+1)1

2(k+1)

>

0

2k+2-2k-1

(2k+1)(2k+2)

> 0

1

(2k+1)(2k+2) >

0

(A) k≥2

=>

P(k+1)

>

13

24

=>

P(n)

> 13

24

3)Aratati ca pentru n ≥ 10, atunci 2n > n3 Etapa I, verificare:

P(10) : 210 > 103 => 1024 > 1000 A

23

Etapa II de demonstratie:

Presupunem P(k) : A 2k > k3

Sa demonstram P(k+1) : A

2k+1 > (k+1)3

Evaluam: 2k+1=2k · 2 > 2 · k3 > (k+1)3

Sa aratam ca: 2 · k3 > k3+3k2+3k+10k2 = 3k2+3k2+4k2 => 2k+1 > (k+1)3

din etapa I.II => P(k+1) A

=> P(n):A

Numere complexe - Bucuresteanu Alexandru clasa X-H

Fie R∈x . Sa se arate ca modulul numarului complex xixi

−+

11 este 1 si reciproc,

sa se arate ca orice numar complex de modul 1 poate fi scris sub forma precedenta.

a)

1)1()1(

)1(4

11

12

11

121

1)1(

11

22

22

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

=++

=

=+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=+

++−

=++−

=++

=−+

xx

xx

xxi

xx

xx

xxix

xxi

xixi

b1) Fie =+

+−=

++

+

−=+=⇒=∈

21

22

21

21

22

21

21

sincos1,C2

2

22

2

ttg

titgttg

ttg

ttgittg

ttgtitzzz

xixi

titg

titg

titgtitg

titg

ttgi

titg

−+

=−

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11

21

21

21

21

21

21

21

2

22

2

notand Error!

b2) Dac` yixz += cu 11R, 22 =+⇒=∈ yxzyx

Dac` i1i1z

λ−λ+

= inseamna ca x se poate determina in mod unic din relatia de mai sus.

1−≠z

=++−

+−=

++−+

=+−

=λ⇔+λ=−⇔λ+=λ−)1x(iy

yi1x)yix1(i

1yix)z1(i

1z)z1(i1zi1ziz

24

R)1x(y

)1x(yy2)1x(y

)1x(y)1xy(iy2

)1x(y)1x(y)1x(iiy)1x(y

)1x(y)]1x(iy)[yi1x(

2222

22

22

22

22

∈λ=++++

=++

++−+−=

=++

++−−−−−=

+++−−+−

=

dar R∈=+ yxyx , 122 Deci R)( ∈λ∃ unic cu proprietatea de mai sus.

Un Patrat – Popescu Ionut clasa X-H Fie patratul ABCD si M ∈ (CD). Bisectoarea unghiului BAM intersecteaza BC [n N. Sa se arate ca AM = BN + DM. Rezolvare. Notam m(BAN) = x , AB = a ⇒m(AMD) =2x A D BN= a tg x , DM= a ctg 2x , Error! x x ⇒ BN + DM = Error! = Error! 2x = Error! = AM. M N

Impresii despre matematica Ora de Matematica la laborator – Guler M. Florin,Antonia F. Toni clasa a-X-a H O sa incep prin a spune ca lectiile efectuate pe calculator, in laborator mi se par mai usoare decat cele facute in clasa. Lectia pe calculator este mult mai atractiva decat cele facute in clasa. Lectia pe calculator este mult mai atractiva decat cea facuta in clasa la table.Elevii inteleg mai bine problemele de geometrie cu ajutorul lectiilor online predate prin programul AEL. Toate calculatoarele functioneaza fara problem Fiecare elev are contu lui in sistemul AEL, prin care ne este prefata lectia. Intrarea in cont sau logarea se face foarte rapid prin simpla introducere a numelui elevului si a unei parole generale pe care o avem cu totii. Dupa ce am intrat in cont , lectia este incarcata pe fiecare calculator si incepe rezolvarea problemei. Spre exemplu , la geometrie daca avem o problema cu un triunghi caruia trebuie sa-I determinam aria, este mult mai usor de construit si studiat triunghiul pe calculator decat pe caiet in clasa.

25

Rezolvarea problemei este destul de simpla, luam datele problemei , le notam in caiet si rezolvam problema, iar apoi pe calculator numai introducem rezultatele finale ale problemei si verificam daca problema este corect rezolvata. Un alt lucru care mi-a placut foarte mult, este ca domnul profesor trece pe la fiecare elev si ii explica cerintele problemei, iar apoi il ajuta sa rezolve. Lectia facuta in clasa este un pic mai dificila deoarece desenul nu este perfect reprezentat ca pe calculator si nu avem optiunile pe care le avem la calculator. Fiecare problema are optiunea de verificare, lucru care mi-a placut foarte mult deoarece stii imediat daca ai rezolvat problema bine sau nu. Dupa verificare se incarca alta problema, care de asemenea trebuie rezolvata, dar cu ajutorul optiunii “Verifica” problemele sunt foarte usor de rezolvat. Toti elevii clasei a-X-a H sunt de parere ca lectiile facute in laborator fata de lectiile facute in clasa sunt mai usor de inteles si mai atractive. O sa termin prin a spune ca orele de matematica efectuate in laborator sunt mult mai interactive si mult mai usor de inteles decat cele facute in clasa.

Subiecte propuse la bacalaureat –2007 Rezolvarea subiectului numarul 1: Matematica Informatica – Prof. Maria Maftei

I. a) )9,6,4( −vr

d: 9

365

42 −

=−+

=− zyx

b) 1cossin 22 =+ αα

c) ⎩⎨⎧

==−−

yxyx

50852 22

9610

962

962

3322845

85252

2

22

±=

±=

±=±=⇒=

=−⋅

y

x

yy

yy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

9610;

962

9610;

962

B

A

d) 0211 =−+=⋅wv rr

26

e) 12332Im

136946

2332

=−+

⇒=−++

=−+

iiiii

ii

II. 1. a) 1)45( 3 =−=S

b) 241234!1!43

4 =⋅⋅⋅==A

c) 00)3( =⇒= Pf

d) [ ] 642 =

e) 0=n 0000 6253 +=+ A 1=n 6253 +=+ A 2=n 2222 6253 +=+

364259 +=+ F 3=n 3333 6253 +=+ 216812524 +=+ F

21

42==P

2. a) )()1(

11

11 xfxx

xxxx

=+−+

=+

−

b) 22 )1(12)(

+−−

=′xxxxf

c) 43)1(

1)1()(lim

1−=′=

−−

→

fx

fxfx

d) ( )34ln

21ln

32ln

1ln1lnln

111(

2

1

2

1

2

1

2

1

=−=+

=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−== ∫∫ x

xxxdxxx

dxxfA

e) ( ) ( ) ( )1

111

11...31

21

211...21

+−=

+−++−+−=+++

nnnnfff

11

11lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

∞→ nn

III. a) 1det −=A 1=rangA

b) 101012 =+=+= FFF

211123 =+=+= FFF

c) 22

1001

0111

1112

0111

0111

IAA +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

esPr 11 −+ += KKK AAA Dem KKK AAA += ++ 12 111112 )( −++−++ +=⇒+=⋅+=⋅= nnnKKKKKK AAAAAAAAAAA

27

d) 1=n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01

12

0111

FFFF

A A

esPr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−+

+

11

2

KK

KKK

FFFF

A

Dem ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

+++

KK

KKK

FFFF

A1

121

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=

−

++

−

++

KKK

KKK

KK

KKKK

FFFFFF

FFFF

AAA1

11

1

11

0111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

+

+

++

1

1

1

12

nn

nnn

KK

KK

FFFF

AFF

FF ∀ 1≥n

e) ( )nn AA detdet =

( ) ( )( )n

nnnnn

nnnnn

nnn

FFFAA

FFFFFFF

A1

1det1det

det 211

211

1

1

−=−⋅⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=⇒−=

−⋅==−+

−+−

+

1≥∀n

f) mnmn AAA +=⋅

111

1

1111

1111

1

1

1

1

−++−++

+++

−−−+

−+++

−

+

−

+

⋅+⋅=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

mnmnmnnmmn

mnmn

mnmnnmmn

mnmnmnmn

mm

mm

nn

nn

FFFFFFFFF

FFFFFFFFFFFFFFFF

FFFF

FFFF

g) Dem prin inductie

( ) 111

11121

2

=⋅

=⋅

−⇒=

FFn A

FF

⇒= 12

1

Presup ca ( )∑

= ++

+

=⋅

−p

K p

p

KK

K

FF

FF1 11

11

Dem ca ( )∑

+

= +

+

+

=⋅−1

1 2

1

1

1p

K p

p

KK

K

FF

FF

( ) ( ) ( )

( )A

FF

FFF

FFFedinFF

FFFFF

FFF

p

p

pp

p

pppp

p

K pp

ppp

pp

p

p

p

KK

K

⇒=⋅

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−⋅⇒⋅

−+⋅=

⋅−

+=⋅−

+

+

++

+

+++

+

= ++

++

++

+

++∑

2

1

21

21

1212

1

1 21

12

21

1

11

1)..

111

IV. a) ( )1

11

1+−

=−+

=′x

xx

xg

b) ( )∞∈ ,0x ( ) 0<′ xg gx ⇒∀ ( ) ( ) ( )0,0.. gxgpeds <⇒∞ ⇒∀x

28

( ) 0<⇒ xg ( )∞∈∀ ,0x

c) ( ) 01ln <−+ xx ( )∞∈∀ ,0x | x:

( ) ( ) 1011ln

<⇒<−+

⇒ xfx

x ( )∞∈∀ ,0x

d) ( ) xx <+1ln ( )∞∈∀ ,0x | x⋅ ( ) 21ln xxx <+⋅⇒ ( )∞∈∀ ,0x

( )∫ ∫ ==<+⋅⇒1

0

1

0

31

0

2

31

31ln xdxxdxxx

e) ( ) ( ) 11

11ln limlimlim0

00

'00=

++

=→→→

= xxxxf

xHlxx

( ) 0

111ln limlim =+

=+

∞→

∞∞

∞→ xxx

xx

f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=+

⋅−+

⋅=⋅−⋅

→→→=

∫x

axax

bxbaaxfbbxfdxx

dttf

xxHl

bx

ax

x

1ln1ln1 limlimlim

00

00

'0

( ) ( ) 2222

0

1ln1lnlim abax

axabx

bxbx

−=+

⋅−+

⋅=→

g) ( )( ) ( ) ( )

( )11ln11ln

122 +

++−=

+−+=′

xxxxx

x

xx

x

xf

( ) ( ) ( )1ln1 ++−= xxxxh

( ) ( ) ( ) 01ln1ln11 <+−=+−−=′ xxxh ( )∞∈∀ ,0x

h⇒ descr pe ( )∞,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒<′⇒<++−⇒<⇒ 001ln10 xfxxxhxh ..... nfdsf ⇒⇒

x 0 ∞ ( )xf 1 0

( ) 10 <<⇒ xf x∀

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )axbxbxfdttfaxbxaxfbxftfaxfbxtaxbx

ax−<<−⋅⇒<<⇒<< ∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )x

abxbxfx

dttf

xabxaxf

bx

ax −<<

−⋅⇒ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01

1ln limlimlim =+

⋅−+

⋅−=−⋅∞→

∞∞

∞→∞→= ax

aabx

axababaxfxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01

1ln limlimlim =+

⋅−+

⋅−=−⋅∞→

∞∞

∞→∞→= bx

babx

bxababbxfxxx

( )0lim =⇒ ∫

∞→ x

dttfbx

ax

x

29

Probleme distractive propuse Concursul Zrinyi -Ungaria – Mirea Silviu cl. X H 1) Adriana face pentru musafiri budinca de vanilie, capsuni si ciocolata. Fiecare pahar are aranjate diferit cele trei straturi de budinca. Ea a pregatit atatea pahare cati invitati are. Cate pahare a pregatit? 2) Bucatarul face intr-un minut 5 clatite. In momentul in care incepe sa faca urmatoarele cinci, 4 clatite au fost deja mancate. In cate minute reuseste, in aceste conditii sa faca 77 de clatite? 3) O lumanare, arzand intr-una se termina intr-o ora si jumatate. Se aprind 10 lumanari. In cate ore se vor termina aceste lumanari? 4) Bogdan are la bicicleta un lacat cu cifru, format din trei cifre. El a uitat cifrul, dar mai tine minte prima cifra. Cate incercari trebuie sa faca pentru a deschide lacatul? 5) Sandu se trezeste intr-o zi cu foame, atunci a doua zi se trezeste cu sete, a treia zi cu lene, a patra zi bataios, a cincea zi dragut, a sasea zi iarasi cu foame. Cum se trezeste pe 25 februarie 2000, daca pe 1 februarie 2000 se trezeste cu foame? 7) In tara Inghetatei, la o receptie, regele cere fiecarui musafir sa scrie pe o foaie ordinea in care se vor servi cele 6 portii de inghetata care i se pot oferi. Se poate alege inghetata de ciocoalata, vanilie sau capsuni, dar cu urmatoarele conditii: i) Dupa o portie de ciocolata sa poata cere doar o inghetata de ciocolata; ii) nu se poate cere prima portie de inghetata de vanilie; iii) fiecare musafir trebuie sa manance cel putin doua portii de inghetata de ciocolata. Stiind ca nu au existat doua cereri identice (aceleasi inghetate si in aceeasi ordine) sa se determine numarul maxim de musafiri.

30