Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

1

STATISTICĂ APLICATĂ ÎN CONTROLUL CALITĂŢII LOTURILOR DE PRODUSE

Statistica matematică aplicată reprezintă un instrument indispensabil în controlul şi asigurarea calităţii, datorită capacităţii sale de a furniza informaţii asupra stabilităţii fabricaţiei, a capabilităţii proceselor de producţie, precum şi a preciziei de realizare a caracteristicilor de calitate controlate.

Cercetarea statistică porneşte de la o colectivitate, numită şi populaţie, formată din elemente care se diferenţiază prin diverse atribute şi care poartă numele de unităţi ale populaţiei sau indivizi.

Studiul statistic al unei populaţii se poate face cercetând o anumită caracteristică măsurabilă sau calitativă pe care o posedă unităţile populaţiei, care poate fi asimilată cu o variabilă aleatoare X considerată pe populaţia aflată în studiu. Această variabilă poartă numele de variabilă aleatoare asociată populaţiei.

Numărul unităţilor de populaţie care iau o anumită valoare poartă numele de efectivul acelei valori.

Indicatori statistici ai legii de repartiţie Studiul repartiţiei statistice a unei variabile aleatoare X şi utilizarea ei

pentru modelarea comportării caracteristicilor de calitate presupun cunoaşterea indicatorilor statistici ai legii de repartiţie. Printre cei mai importanţi astfel de indicatori se numără:

� media aritmetică a rezultatelor obţinute:

1

1 n

i ii

x x nn =

= ⋅∑ , (1)

S-au notat: i - numărul de ordine al măsurătorii; n - numărul total de

măsurători; ni - numărul de măsurători la care s-a obţinut rezultatul xi.

� dispersia:

2 2

1

1( )

n

i ii

x x nn

σ=

= ⋅ − ⋅∑ (2)

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

2

� abaterea medie pătratică (denumită şi abatere standard):

2σ σ= (3)

� amplitudinea împrăştierii:

max minR x x= − (4)

� mediana Me: valoarea care ocupă locul central în şirul ordonat al valorilor caracteristicii. Ea se calculează astfel:

• dacă n este impar:

1

2

nMe x += (5)

• dacă n este par:

1

2 2

1

2 n nMe x x+

= +

(6)

� modul (modulul) Mo: valoarea observată care are frecvenţa cea mai

mare (valoarea cea mai probabilă a variabilei). Histograma şi diagrama cumulativă Statistica matematică se foloseşte de asemenea de reprezentări

grafice cu rolul de a oferi o imagine sugestivă asupra repartiţiei statistice a variabilei aleatoare analizate. Printre cele mai utilizate reprezentări grafice se numără histograma şi diagramele cumulative.

Dacă xi reprezintă valorile variabilei aleatoare, iar ni efectivul acestora, se spune că perechile (xi, ni) formează o serie statistică.

Funcţia de repartiţie a acestei serii reprezintă funcţia care asociază valorii xi numărul total de unităţi statistice inferioare acelei valori:

( )i

ix x

F x n≤

= ∑ (7)

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

3

Reprezentarea grafică a funcţiei de repartiţie poartă numele de diagramă cumulativă a efectivelor şi are alura unei funcţii crescătoare spre valoarea maximă, care corespunde efectivului de 100%.

Histograma reprezintă o formă particulară de grafic, din care se pot

extrage informaţii referitoare la distribuţia şi dispersia unei variabile. Distribuţia caracterizează, într-o formă generală, modul de repartizare

al unei variabile într-un câmp dat, iar dispersia oferă informaţii despre zona din acest câmp pe care o ocupă efectiv.

Pentru construirea unei histograme se recomandă ca efectivul total al seriei statistice analizate să fie suficient de mare. De regulă n>50, dar se acceptă n≥30.

Valorile seriei statistice vor fi împărţite într-un număr N de clase, determinat cu ajutorul formulei:

N n= , (8)

cu N rotunjit la valoarea impară (pentru ca histograma să aibă un

interval central). În continuare, se aleg valorile limită superioară ES şi inferioară EI ale

seriei statistice şi se calculează diferenţa acestora:

D = ES - EI (9) Se determină lungimea intervalului pe care este definită clasa, numit

interval de variaţie a caracteristicii:

Dl N= (10)

Domeniul D, reprezentat pe axa orizontală, se divizează în N

segmente corespunzătoare intervalelor de lungime l. Pe verticală, în dreptul fiecărui asemenea interval, se reprezintă sub

formă de dreptunghi frecvenţa de apariţie, care poate fi absolută (numărul de indivizi care se încadrează in limitele clasei respective) sau relativă (raportul dintre frecvenţa absolută a clasei şi numărul total de indivizi). Graficul obţinut reprezintă histograma caracteristicii studiate.

Un exemplu de histogramă este prezentat în figura 1. Este evident că aria histogramei este constantă, egală cu aria dreptunghiului ales drept unitate înmulţită cu efectivul n al populaţiei.

Figurile 2 şi 3 prezintă exemple de diagrame cumulative la care frecvenţele de apariţie au fost reprezentate absolut şi procentual.

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

4

Fig. 1 Exemplu de histogramă

Fig. 2 Exemplu de diagramă cumulativă (frecvenţa cumulată este exprimată

în valori absolute)

Fig. 3 Exemplu de diagramă cumulativă (frecvenţa cumulată este exprimată

în procente)

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

5

Dreapta de regresie

Atunci când se doreşte să se stabilească dacă există o relaţie între două mărimi se utilizează seriile statistice de două variabile (xi, yi).

Dacă perechile de puncte (xi, yi) se reprezintă grafic, se obţine diagrama de dispersie. Forma norului de puncte rezultat (fig. 4) ne oferă o primă informaţie despre existenţa unei corelaţii între variabilele aleatoare X şi Y. Dacă norul de puncte (xi, yi) are o formă aproximativ rectilinie alungită (fig. 4 a-d), se poate determina dreapta de regresie Y = a·X + b.

Y

X

a)

Y

X

b)

Y

X

d)

Y

X

c)

Y

X

e) Fig. 4 Exemple de diagrame de dispersie: a) corelaţie puternic pozitivă; b)

corelaţie slab pozitivă; c) corelaţie puternic negativă; d) corelaţie slab negativă; e) nu există corelaţie

Coeficienţii dreptei de regresie au următoarele expresii:

� panta dreptei de regresie:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )1 1

2 2

1 1

1

1

n n

i i i ii i

n n

i ii i

y y x x y y x xna

x x x xn

= =

= =

− ⋅ − − ⋅ −= =

− −

∑ ∑

∑ ∑ (11)

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

6

� ordonata la origine:

b y a x= − ⋅ (12) Valoarea:

( ) ( )1

1( , )

n

i ii

Cov X Y y y x xn =

= − ⋅ −∑ (13)

poartă numele de covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y. Cu această notaţie, relaţia (13) se rescrie:

2

( , )

( )

Cov X Ya

Xσ=

(14)

Se defineşte coeficientul de corelaţie liniară între variabilele aleatoare X şi Y:

( , )

( ) ( )

Cov X Yr

X Yσ σ=

⋅ (15)

Cu cât r este mai apropiat de 1, corelaţia între variabilele aleatoare X

şi Y este mai puternică. Dacă 1r = se spune că variabilele aleatoare se află

în relaţie de dependenţă liniară totală. În mod practic se consideră că există

corelaţie dacă 2 34r > .

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

7

FIŞA DE RĂSPUNSURI Student: Grupa: Data:

Aplicaţia 1 Se efectuează 30 de măsurări ale diametrelor unor arbori prelucraţi

într-o anumită secţie şi se obţin următoarele valori:

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

di 30,02 30,01 29,95 30,03 29,93 29,96 30,01 30 30,04 29,98

xi 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

di 30,03 30,05 30 30,06 29,94 29,94 29,92 30,07 30,04 30,01

xi 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

di 30,01 30,03 30,02 29,98 30,02 29,98 30,03 30,03 29,94 29,98

1. Să se construiască tabloul statistic (xi, ni), unde xi reprezintă valorile

variabilei aleatoare, iar ni efectivul acestora. 2. Să se calculeze media, dispersia şi abaterea medie pătratică. 3. Să se determine mediana şi modul acestei serii statistice. 4. Dacă valoarea prescrisă a acestor diametre este 30±0,05, să se

calculeze procentul de piese conforme Pc[%]. 5. Să se construiască histograma acestei serii statistice. 6. Folosind clasele determinate anterior, să se construiască diagrama

cumulativă a acestei serii statistice.

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

8

1. Tabloul statistic al variabilei analizate:

xi 29,92 29,93 29,94 29,95 29,96 29,97 29,98 29,99

ni

xi 30 30,01 30,02 30,03 30,04 30,05 30,06 30,07

ni

2. Prelucrarea rezultatelor :

x σ2 σ Me Mo Pc[%]

3. Histograma şi diagrama cumulativă:

Număr

clasă Inclusiv Exclusiv Efectiv

Efectiv

cumulat

Efectiv

cumulat

(procentual)

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

9

Histograma: Diagrama cumulativă: 4. Concluzii :

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

10

Aplicaţia 2

În urma unui proces de debitare se obţine următorul tablou statistic:

Interval lungimi Număr bucăţi

[59,95 – 59,97) 5

[59,97 – 59,99) 22

[59,99 – 60,01) 32

[60,01 – 60,03) 18

[60,03 – 60,05] 3

1. Să se construiască diagrama cumulativă. 2. Câte piese au lungimea strict mai mică decât 60,01mm ? 3. Presupunând că in interiorul unei clase valorile sunt uniform

repartizate, câte piese au lungimea cel mult egală cu 60mm ? (Pentru rezolvarea acestei cerinţe se va recurge la regresie liniară).

4. În aceleaşi ipoteze, să se determine valoarea lx pentru care 80% din piese au lungimea mai mică sau egală cu lx.

Rezolvare: Prelucrarea rezultatelor:

Interval lungimi Număr bucăţi Efectiv cumulat Efectiv cumulat

(procentual)

[59,95 – 59,97) 5

[59,97 – 59,99) 22

[59,99 – 60,01) 32

[60,01 – 60,03) 18

[60,03 – 60,05] 3

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

11

Dreapta de interpolare are expresia: y = a·x+b. În intervalul [59,99 – 60,01): y = a1·x+b1. În intervalul [60,01 – 60,03): y = a2·x+b2.

a1 b1 a2 b2 npl≤60 lx

Diagrama cumulativă: Concluzii:

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

12

Aplicaţia 3

Media diametrelor arborilor Φ20±0,05 prelucraţi pe un anumit strung a

variat pe parcursul mai multor zile, astfel:

Ziua Z 1 2 3 4 5

Media d 19,97 19,99 20 20 20,02

1. Să se calculeze coeficientul de corelaţie liniară al seriei statistice. 2. Să se determine dreapta de regresie liniară d=f(Z). 3. După câte zile este obligatoriu să se refacă reglajul strungului ? Rezolvare: Prelucrarea rezultatelor:

� 1

1 n

ii

Z Zn =

= ∑

� 2

1

1( ) ( )

n

ii

Z Z Zn

σ=

= ⋅ −∑

� 1

1 n

ii

d dn =

= ∑

� 2

1

1( ) ( )

n

ii

d d dn

σ=

= ⋅ −∑

� ( ) ( )1

1( , )

n

i ii

Cov Z d Z Z d dn =

= − ⋅ −∑

� ( , )

( ) ( )

Cov Z dr

Z dσ σ=

⋅

Z σ(Z) d σ(d) Cov(Z,d) r

Statistică aplicată în controlul calităţii loturilor de produse

13

Dreapta de regresie liniară are expresia: d = a·Z+b, unde:

� 2

( , )

( )

Cov Z da

Zσ=

� b d a Z= − ⋅

a b

Pentru a se obţine piese conforme este necesar să fie îndeplinită

condiţia maxd d≤ , unde dmax reprezintă valoarea maximă admisibilă a diametrelor arborilor.

Numărul de zile zmax după care trebuie refăcut reglajul se obţine înlocuind valoarea dmax în ecuaţia dreptei de regresie liniară.

dmax zmax