CLASE SI TIPURI DE ELEMENTE FINITE

CLASE SI TIPURI DE ELEMENTE FINITE

Solutia exacta

z)y,u(x,

(u)ai

iiuNzyxu ),,(

Clase de continuitate

C0 – functia necunoscuta u este continua la granita dintre elemente; prima derivata este continua pe element dar discontinua la granita dintre elemente; derivatele de ordin superior, daca exista, nu au neaparat o valoare finita.

C1 - functia necunoscuta u si primele derivate sunt continui la granita dintre elemente; a doua derivata nu este continua dar este finita.

Cn - functia necunoscuta u si derivatele sale pana la ordinul "n" sunt continue la granita dintre elemente.

METODA ELEMENTELOR FINITE – L4 Catedra de Constructii Hidrotehnice

1

Exemplu:

continuitatea asigurata de functii de interpolare (respectiv elemente finite) de clasa C0 la granita dintre elemente


elements

elements

elements

elem.i elem.j

discontinuous but finite

not continuous

u

x

u

2x

u

2

elem

ent

boun

dary

elemente

elemente

elemente

discontinuă dar finită

discontinuă

Gra

niţă

elem

ente

2

Clasa de continuitate necesara depinde de ordinul derivatei functiei necunoscute u, din expresia generala a principiului variational:

ee

dx

uuGdD

x

u

x

uuFE

D n

n

e ,...),(),...,(

S-a demnonstrat ca, pentru un ordin de derivare dat n, solutia aproximativa converge catre solutia exacta prin reducerea dimensiunii elementului daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

- conditia de compatibilitate – la granita dintre elemente este asigurata o clasa de continiitate Cn-1;- conditia de completitudine – in interiorul elementului este asigurata o clasa de continuitate Cn.

Problemele eforturilor unitare si deformatiilor specifice, ale campului termic si infiltratiilor in regim permanent sunt probleme de clasa C0.


3

Numarul GDL pe nod depinde de semnificatia fizica a problemei. Functia necunoscuta u poate fi un scalar (temperatura, sarcina hidraulica) sau un vector cu mai multe componente (deplasare, viteza).

Functiile de aproximare se aleg in mod obisnuit ca polinoame: lineare, patratice, cubice …

- pentru spatiul unidimensional (1D)

Elemente finite lineare

xaaxu 21)(

- pentru spatiul bidimensional (2D)

xyayaxaayxu 4321),(

- pentru spatiul tridimensional (3D)

xyzazxayzaxyazayaxaazyxu 87654321),,(


4

1

2

12

3

4

1

2

3

1

2

3

45

8

16

7

2

3

4

5

6

1

2

3

4

a.

b.


Elemente finite de uz general lineare utilizate in analize structurale:a.spatiu 2D (2 GDL/nod - deplasari)b.spatiu 3D (3 GDL/nod) – deplasari)

In cazul analizelor de camp (termic, infiltratii) necunoscuta principala este un scalar (temperatura, sarcina hidraulica), rezulta 1 GLD/nod indiferent de dimensiunea problemei (2D sau 3D). 5

Elemente finite patratice

yxaxyayaxaxyayaxaayxu 28

27

26

254321),(

1

2

3

12

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

56

789

10

. 11

12

13

14

15

1617

18

19

20

.

Concluzie: elementele finite pot fi clasificate in functie de clasa de continuitate si de ordinul polinomului functiei de interpolare.

Primul aspect afecteaza numarul gradelor de libertate pe nod, in timp ce al doilea numarul nodurilor pe element.


6

Cerinte referitoare la completitudine

Pentru a obtine o convergenta monotona cate solutia exacta prin cresterea numarului GLD, trebuie indeplinite doua conditii suplimentare :

1. Compatibilitatea elementelor in discretizare – elementele raman in contact in lungul laturilor acestora (fara suprapuneri sau desprinderi); pentru elemente de placa curba subtire, tangenta la suprafata deformata trebuie sa fie aceeasi pentru elementele adiacente (fiind necesara o clasa de continuitate C1);

2. Functia de interpolare nu trebuie sa induca directii preferentiale de comportare a elementului.

A doua conditie este echivalenta criteriului de completitudine.


7

x

y

1x

1y

A (x,y) (x1,y1)

p

Daca pentru definirea functie de interpolare se utilizeaza un polinom de ordinul p, acesta trebuie sa fie un polinom complet (conform definitiei data de triunghiul lui Pascal)

xyayaxaayxd 4321),( 2

82

72

62

54321),( yaxyayxaxaxyayaxaayxd

THE FINITE ELEMENT METHOD – L6 Civil Engineering Department IIIMETODA ELEMENTELOR FINITE – L4 Catedra de Constructii Hidrotehnice

8

Cerinte ale convergentei referitoare la functiile de interpolare

Criteriul 1 – functiile de interpolare sa nu determine aparitia deformatiilor specifice atunci cand deplasarile nodale corespund miscarii de solid rigid.

Criteriul 2 - functiile de interpolare sa determine un camp ale deformatiilor specifice constant in cazul in care incarcarile nodale sunt compatibile cu deformatii specifice constante.

Criteriul 3 – functiile de interpolare sa determine valori finite ale deformatiilor specifice la granita dintre elemente.


9

FUNCTII DE INTERPOLARE IN COORDONATE GLOBALE

Deplasarea unui punct interior elementului finit M de coordonate x si y, are expresia

xyayaxaayxd 4321),(

x

yM (x,y)

12

3

4

1

2

3

4


4

3

2

1

δ

vectorul deplasarilor nodale

10

444434214

334333213

224232212

114131211

yxayaxaa

yxayaxaa

yxayaxaa

yxayaxaa

a CM

4

3

2

1

4444

3333

2222

1111

4

3

2

1

1

1

1

1

a

a

a

a

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

aCδ M

δCa 1M

δCM1]1[),( xyyxyxd


Functia de interpolare (aproximare) rezulta

11),( MCN xyyxyx

11

ELEMENTE FINITE IN COORDONATE NATURALE

Procedeul de definire a functiilor de interpolare in coordonate globale are unele dezavantaje importate. Uneori, inversa matricii [CM] nu exista, sau, pentru elemente distorsionate, devine foarte greu de evaluat.

Proprietatile generale ale functiilor de interpolare utilizate in relatia de baza

n

nNNN

...... 2

1

21d

indica doua caracteristici importante:

- functiile de interpolare Ni au valoare unitara in nodul i si devin zero pentru toate celelalte noduri ale elementului (Ni = 0 pentru orice nod j ≠ i);

- criteruil de convergenta implica relatia 11

n

iN


12

ELEMENTE FINITE IN COORDONATE NORMALIZATE (NATURALE)

Coordonatele naturale sunt definite astfel incat elementul finit se extinde intre limitele (coordonatele) –1 si 1 si are muchii drepte, indiferent de forma si dimensiunile elementului in sistemul global de coordonate

1 2

34

a a

b

b

x

y

cx

cys

t a

xxs c

a

dxds

b

yyt c

a

dydt


13

1

2

34

(1,-1)

x

ys

t

2

3

(1,1)4

1(-1,-1)

(-1,1)

s

t

Relatiile de transformare intre sistemul de coordonate local (s, t) si sistemul de coordonate global (x, y) au urmatoarea forma

4321 )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(4

1xtsxtsxtsxtsx

4321 )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(4

1ytsytsytsytsy


14

In forma condensata

ii xLx 4

1ii yLy

4

1

)1)(1(4

1iii ttssL

Elementul patrulater referentiat in coordonate naturale este intotdeauna un patrat de latura 2 (elementul de referinta)

Daca se definesc functiile de interpolare (aproximare) in coordonate naturale, acestea pot fi transferate in sistemul global prin relatii de transformare. Diferite alte expresii la nivelul elementului finit pot fi si ele transformate in sistemul global.


15

1

2

3

4

(-1,1,-1)

x y

st

2

7

(-1,-1,1)

4

1(1,1,-1)

(1,-1,-1)

5

6

7

8

z

r

s t

r 6

(-1,1,1)

8

(1,-1,1)5

3

La definirea functiilor de aproximare in coordonate normalizate (naturale) proprietatile enuntate anterior, precum si cerintele referitoare la convergenta, trebuie indeplinite.


16

Familia functiilor de aproximare

Setul de functii de aproximare in coordonate naturale este dat de expresiile:

- Elemente lineare (4 noduri)

tsN 114

11

tsN 114

12

iii ttssN 114

1…

cu si, ti = 1

Se observa ca Ni = 1 and Nj = 0 pentru orice nod i, i j si 1iN


17

- Elemente patratice (8 noduri)

colturi: 1114

1 iiiii ttssttssN cu si, ti = 1

mijloc latura: ii ttsN 112

1 2 unde si = 0, ti = 1

2112

1tssN ii unde si = 1, ti = 0

- Elemente cubice (12 noduri):

colturi: 22101132

1tsttssN iii cu si, ti = 1

pe latura: iii sssttN 911132

9 3 unde si = ±1/3; ti = ±1

iii tttssN 911132

9 3 unde ti = ±1/3; si = ±1


18

ELEMENTE IZOPARAMETRICE

Elementele izoparametrice utilizeaza sistemul natural de coordonate pentru definirea functiilor de aproximare si integrarea numerica pentru evaluarea matricelor caracteristice.

Pentru aceste elemente finite avem:

- Doua ecuatii ce definesc geometria patrulaterului in coordonate normalizate (functiile de transformare);

- Doua ecuatii ce definesc campul deplasarilor prin intermediul functiioor de aproximare, exprimate de asemenea in coordonate naturale.

Pentru elementul patrulater in coordonate normalizate, functiile de aproximare si functiile de transformare sunt aceleasi.


19

Elementele patrulatere de ordin superior, pentru care campul deplasarilor este detaliat (prin definirea lui utilizand functii de ordin superior), in timp ce geometria ramane aceeasi - elemente superparametrice

Elementele patrulatere a caror geometrie este mai detaliata (prin expresii de ordin superior), in timp ce campul deplasarilor ramane linear - elemente subparametrice


20

Campul deplasarilor in raport cu valorile nodale ale acestuia se exprima prin

44332211),( uNuNuNuNtsu

44332211),( vNvNvNvNtsv

Transformarea coordonatelor din sistemul global (x, y) in sistemul natural (s, t) este data de aceleasi expresii

44332211),( xNxNxNxNtsx

44332211),( yNyNyNyNtsy

sau, in forma matriceala

4

4

1

1

4321

4321 ...0000

0000

),(

),(

y

x

y

x

NNNN

NNNN

tsy

tsx


21

Se poate verifica faptul ca nodul i din sistemul global de coordonate corespunde cu nodul i din sistemul natural de coordonate.

Spre exemplu, pentru nodul 1, with s = 1, t = 1, functiile de aproximare sunt N1 = 1, N2 = N3 = N4 = 0, rezultand x(s1, t1) = x1


22

INTEGRAREA NUMERICA

Pentru evaluarea campului deformatiilor specifice si a eforturilor unitare sunt necesare derivatele partiale ale functiilor de aproximare in coordonate globale (x, y). Pentru calculul matricelor si vectorilor caracteristici

Ve

T dVEBBk

ddVdVdV TT

eVe

TTeVe

TTeVe

TTe pNδfNδEεBδ σBδr 00

forma explicita a integralelor nu este disponibila (sau, uneori sunt dificil de explicitat). Din acest motiv se utilizeaza integrarea numerica.

Practica standard este sa se utilizeze Integradrea Gauss, care necesita un numar redus de puncte de integrare, pentru acuratetea ceruta a rezultatelor.


23

Integrarea numerica unidimensionala

Evaluarea numerica a integralei definite a unei functii de o singura variabila se face cu expresia generala

)()(1

1 1i

n

i sfHdssfI

+1 0 -1

22 ),( Hsf

1s s

11),( Hsf

)(sf

2s 2l

unde si sunt n puncte selectate (puncte de integrare) in intervalul [ -1, 1] si Hi sunt coeficienti numerici care depind de numarul intreg n (numiti ponderi)


24

• Cuadratura Newton - Cotes, in care punctele si sunt selectate la intervale egale.

Pentru n = 2 (regula trapezului)

)1()1(2

)1()1(ffl

ffI

+10-1

f(s)

f(+1)f(-1)

s

Pentru n = 3 (regula treimii medii)

)1()0(4)1(3

1fffI


25

• Cuadratura Gauss, in care punctele si si coeficientii de integrare Hi sunt alese astfel incat sa conduca la o aproximare cat mai buna.

Primele trei relatii de integrare numerica unidimensionala sunt:

1

1

)0(2)( fdssf

)3/1()3/1()(1

1

ffdssf

)5/3(9

5)0(

9

8)5/3(

9

5)(

1

1

fffdssf

- 1 punct de integrare

- 2 puncte de integrare

- 3 puncte de integrare


26

Considerand o expresie polinomiala pentru functia f(s), se observa ca pentru n puncte de integrare rezulta 2n necunoscute (Hi si si). Astfel, un polinom de gradul (2n - 1) poate fi definit si integrat analitic (exact).

Considerand n = 2 puncte de integrare, gradul expresiei polinomiale va fi 3 (2n - 1 = 3).

33

2210)( sasasaasf

dssasasaaI

1

1

33

2210

Integrand termen cu termen, rezulta


Exemplu:

27

0210

1

10 2aHHadsa

01

1

221111

sHsHasdsa

2

1

1

222

2112

22 3

2asHsHadssa

01

1

322

3113

33

sHsHadssa

Prin rezolvarea sistemului algebric de ecuatii rezulta pozitia (coordonatele) punctelor de integrare si valoarea ponderilor:


28

0,577...1 s 0,577...2 s 0 +1 -1

)( 2sf

s

)( 1sf

f(s)


29

121 HH3

11 s

3

12 s

3

11

3

11)()(

1

1 1ffsfHdssfI i

n

i

Integradea numerica bidimensionala

t

s

+1

-1 +1

-1

0,577...s

0,577...t

0,577...s

0,577...t 12 , ts 12 , ts

22 , ts 11, ts

),(dd),(1

1 1 1

1

1

jij

n

i

n

ji tsfHHtstsfI


30

CLASE SI TIPURI DE ELEMENTE FINITE

Documents

Transcript of CLASE SI TIPURI DE ELEMENTE FINITE