CLASA a V-a - neutrino.ro · CLASA a V-a 7p 1. Într-o familie de 4 persoane, suma vârstelor...

www.neutr

ino.ro

MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAAŢŢIIEEII,, CCEERRCCEETTĂĂRRIIII ŞŞII IINNOOVVAARRIIII INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CARAŞ-SEVERIN

Strada Ateneului Nr.1, 320112 REŞIŢA-ROMANIA Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042

e-mail: [email protected] wwwwww..ccss..iissjj..eedduu..rroo

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ - 14.02.2009

CLASA a V-a 7p 1. Într-o familie de 4 persoane, suma vârstelor acestora este de 97

de ani. Băiatul s-a născut când tatăl avea 23 de ani, iar fata s-a

născut când mama avea 22 de ani şi fratele său 4 ani.Puteţi găsi

ce vârstă are fiecare acum ?

Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa

7p 2. Să se găsească mulţimile A şi B care au fiecare câte 3 elemente, numere naturale, ştiind că satisfac următoarele proprietăţi : a) 4 ;A B∈ ∩ b) 2x A x B∈ ⇒ ∈ ; c) suma elementelor mulţimii B este triplul sumei elementelor mulţimii A. Prof. Marius Şandru, Reşiţa

7p 3. Arătaţi că diferenţa dintre jumătatea lui 574 şi sfertul lui 2816 este

divizibilă cu 14, iar suma dintre treimea lui 459 şi 2927 este

divizibilă cu 10. Prof. Emilia-Dana Schiha, Berzasca 7p 4. Considerăm mulţimea tuturor numerelor naturale care împărţite la

101 dau câtul egal cu restul. Arătaţi că dublul sumei elementelor

acestei mulţimi se poate scrie ca produsul a trei numere naturale

consecutive.

Prof.Vasile Chiş, Reşiţa.

NOTĂ: • TIMP DE LUCRU 2 ORE. • TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

www.neutr

ino.ro

MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAAŢŢIIEEII,, CCEERRCCEETTĂĂRRIIII ŞŞII TTIINNEERREETTUULLUUII INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CARAŞ-SEVERIN




CLASA a VI-a 7p 1. Se consideră numerele 1 1 1 1

...4 5 6 2009

A = + + + + şi

3 4 5 2008...

4 5 6 2009B = + + + + .

a) Arǎtaţi că A B+ este număr natural ; b) Demonstraţi că 1003 2006B A< − < .

Prof. Delia şi Adrian Dragomir, Caransebeş

7p 2. a) Arǎtaţi cǎ numǎrul ( ) ( )90 93 46 91 92 452 2 4 : 2 2 4n = + + + + este mai mic decât 4. b) Stabiliţi care dintre numerele 902a = şi 623b = este mai mare . Prof.Adriana şi Lucian Dragomir, Oţelu – Roşu

7p 3. Fie ( ) 090m AOB > şi (OC o semidreaptă situată în interiorul unghiului AOB, iar ( ) ( ) 0180m AOB m AOC+ = . a) Arătaţi că bisectoarea (OX a unghiului BOC este perpendiculară pe dreapta OA. b) Dacă ( ) ( )5m AOB m BOC= ⋅ , determinaţi măsurile unghiurilor AOB, AOC şi XOY, unde (OY este bisectoarea unghiului AOC. Prof. Monica Moţco, Reşiţa. 7p 4. Pe latura [OX a unghiului XOY cu măsura de 60º se consideră

punctul P . Dacă punctele R şi S sunt pe latura [OY astfel ca

OR=8 cm iar RS = 2 cm, atunci determinaţi perimetrul

triunghiului OPS ştiind că el este echilateral. Realizaţi un desen

corespunzător.

Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa


www.neutr

ino.ro





CLASA a VII-a

7p 1. a) Arătaţi că nu există pătrate perfecte de forma 4 2k + , oricare ar fi numărul natural k. b)Arătaţi că numărul 1 28 5 11 5 5 6 \ ,n n nx n+ += ⋅ + ⋅ + + ∈ ∀ ∈ .

Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa

7p 2. Fie 1 1 1 1 12 ...1 4 2 6 3 8 48 98 49 100

y = + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Calculaţi valoarea lui y. Prof. Monica Moţco, Reşiţa. 7p 3. Considerăm triunghiul ABC şi un punct M situat în interiorul triunghiului. Dacă E şi F sunt simetricele punctului M în raport cu mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [AC], arătaţi că M se află pe înălţimea din A a triunghiului ABC dacă şi numai dacă segmentele [CE] şi [BF] sunt congruente. Prof. Vasile Chiş, Reşiţa 7p 4. Fie ABCD un paralelogram în care AD BD, AD =6cm, M mijlocul lui (CD), N mijlocul lui (AB), AM BD = şi CN BD = . Dacă EF = 6 cm, aflaţi aria paralelogramului ABCD. Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa. NOTĂ:

• TIMP DE LUCRU 3 ORE. • TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

www.neutr

ino.ro





CLASA a VIII-a 7p 1. Sǎ se determine numerele întregi nenule a şi b pentru care 1 1a b

b a+ −

= şi 3 4 2a b+ = .

Prof. Ovidiu Bǎdescu, Reşiţa 7p 2. Fie numărul ( 1)( 2)( 3)( 4) ,a x x x x x= + + + + ∈ .

a) Arătaţi că 1a + este pătrat perfect; b) Arătaţi că, dacă 5 ,x n n= ∈ , atunci 2009a + este un numǎr iraţional.

Prof. Mariana Drăghici, Reşiţa

7p 3. Fie cubul cu vârfurile A,L,G,E,B,R,I,C în care suma dintre lungimea unei muchii, a diagonalei unei feţe şi a diagonalei cubului este1 8 2 15 7 2 10+ + − − . Arătaţi că distanţa de la punctul A la planul BEL este mai mică decât 0,(6). Prof. Irina Avrămescu, Reşiţa 7p 4. Triunghiul echilateral ABC şi triunghiul dreptunghic isoscel DBC ( )( )090m D = , se află în plane diferite, măsura unghiului dintre ele fiind de 30o . a) Dacă P este proiecţia punctului D pe planul (ABC) şi M este mijlocul lui [BC], arătaţi că punctele M, A, P sunt coliniare. b) Stabiliţi poziţia punctului P în raport cu ΔABC. Prof. Vasile Chiş, Reşiţa NOTĂ:

• TIMP DE LUCRU 3 ORE. • TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

www.neutr

ino.ro





Clasa a IX a

1. Sǎ se demonstreze cǎ dacǎ ( ), , 0,x y z∈ ∞ şi 1x y z⋅ ⋅ = , atunci :

1 1 1 3 2 .4x y z y z x z x y

+ + <+ + + + + +

Lucian Dragomir, Oţelu- Roşu

2. a) Sǎ se arate cǎ nu existǎ numere reale x pentru care 2 1.2x x⎡ ⎤ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

b) Sǎ se determine numerele reale y pentru care 2.2y y⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

Lucian Dragomir, Oţelu- Roşu, articol RMCS 25/2008

3. Sǎ se arate cǎ numǎrul 13 2 1n

na n+= + + este divizibil cu 4 , oricare ar fi n∈ . Marin Chirciu, Piteşti, RMT 4/2008

4. Pentru orice triunghi ABC se noteazǎ , ,AB c BC a CA b= = = , iar I este

centrul cercului înscris, iar G este centrul de greutate. Sǎ se arate cǎ:

a) ( )1 ;GI a GA b GB c GCa b c

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅+ +

b) dacǎ 3, 4, 5c b a= = = , atunci IG este paralelǎ cu .AC Gabriel Popa, Iaşi, GM 3/2008


www.neutr

ino.ro

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVARII

INSPECTORATUL ŞCOLAR AL JUDEŢULUI CARAŞ-SEVERIN Strada Ateneului Nr.1, 320112 REŞIŢA-ROMANIA

Tel: 0255/214238; Fax: 0255/216042 e-mail: [email protected]

wwwwww..ccss..iissjj..eedduu..rroo


Clasa a X a

1. Sǎ se determine numerele naturale n pentru care existǎ z∈ cu 1z = şi 1 0.nz z+ + =

GM 4/2008

2. Sǎ se determine x∈ pentru care 4 4 1 2 12

xx

x

xx

+ += −

+.

GM 2/2008 3. Sǎ se determine funcţiile injective :f → cu proprietatea cǎ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x f y xf y yf x f xy x y= + − ∀ ∈ .

Iacob Didraga, RMCS 23 4. Sǎ se determine numerele naturale m şi n pentru care egalitatea

2 3 2m n n mx x x x x⋅ ⋅ ⋅ = este adevǎratǎ pentru orice 0, 1.x x> ≠ RMCS ,enunţ modificat puţin


www.neutr

ino.ro





Clasa a XI a

1. a) Sǎ se dea un exemplu de matrice ( )A∈ 2M , 2 2,A O A I≠ ≠ , pentru care

existǎ , 2p p∈ ≥ astfel încât pA A= ; b) Sǎ se arate cǎ dacǎ , , , 2n p n p∈ ≥ şi ( )nA∈M astfel încât 1pA A+ = ,

atunci ( ) ( )pnrang A rang I A n+ − = .

RMCS 24, articol 2. Un determinant D de ordinul 3 are elementele de pe diagonala principalǎ egale

cu 12

, iar suma elementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloanǎ este

egalǎ cu 1. Sǎ se arate cǎ : 0.D > * * *

3. Fie ( )1 0,1x ∈ şi şirul ( )n nx ∗∈

definit prin 3 21 1 , 1n n nx x x n+ = − + ∀ ≥ .Sǎ se arate cǎ

şirul ( )n nx ∗∈

este convergent şi să se calculeze ( )1 2lim ... nnx x x

→∞⋅ ⋅ ⋅

* * *

4. Sǎ se calculeze 0

3 5lim .2

ctgxx x

x→

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

GM 10/2007


www.neutr

ino.ro





Clasa a XII a

1. Fie ( ): 0,f → ∞ o funcţie bijectivǎ.Sǎ se studieze dacǎ existǎ funcţii

[ ): 0,g → ∞ care admit primitive pe şi satisfac relaţia g g f= . RMCS 26

2. Dacă G este un grup multiplicativ în care,pentru orice , ,x y z G∈ , avem: 2 2xy z x y z= ⇒ = ,să se arate că :

a) { }2 , \x e x G e≠ ∀ ∈ ; b) G este abelian ; c) Orice grup cu proprietăţile a) şi b) are proprietatea din enunţ.

Prof. Marian Andronache, Bucureşti,RMCS 3. Fie ( ),G ⋅ un grup cu proprietatea că 2 ,x e x G= ∀ ∈ .Să se arate că pentru orice funcţie

:f G G→ şi orice ,a G a e∈ ≠ ,funcţia :g G G→ , ( ) ( ) ( )g x f x f ax= nu este injectivă. * * *

4. Sǎ se determine 2

21 , .

1arctgxx x e dx x

x+ +

⋅ ∈+∫

NOTĂ: • TIMP DE LUCRU 3ORE. • TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

CLASA a V-a - neutrino.ro · CLASA a V-a 7p 1. Într-o familie de 4 persoane, suma vârstelor...

Documents

Transcript of CLASA a V-a - neutrino.ro · CLASA a V-a 7p 1. Într-o familie de 4 persoane, suma vârstelor...