Laborator L-06-DSCComanda ne-optimala pentru miscarea longitudinala a B747 -

Solutia Pseudo-Inversa cu metoda clasica vs. modificata

c© s.l. Bogdan D. CiubotaruDepartamentul de Automatica si Ingineria Sistemelor

Facultatea de Automatica si Calculatoare, Universitatea ”Politehnica” din Bucuresti, RomaniaE-mail: bogdan.ciubotaru@acse.pub.ro

I. PRELIMINARII

Obiectivul acestui laborator este acela de a ıntelege doua metode de control aproximativ, prima bazata pe metoda pseudo-inversa (PIM), si a doua bazata pe metoda pseudo-invers˘a modificata (MPIM), ambele dintre ele avand dificultatiın a asigurastabilitatea ın bucla-ınchisa pentru anumite scenarii de avarie.

Totusi, extensia lui PIM, mai precis MPIM, evita instabilitatea ın bucla-ınchisa post-defect prin restrictionarea calcululuimatricii de control acomodate astfel ıncat sa se garanteze stabilitatea sistemului avariat ın acelasi timp cu atingerea uneiperformante ın calitate cat mai buna posibil ın regimul post-defect.

II. PARTEA TEORETIC A

A. Functionarea avariata - Context

Considerati doua regimuri de functionare ale aceluiasi sistem, cel nominal descris prin perechea(An,Bn) si cel avariatdescris prin perechea(Af ,Bf ) - concentrati-va atentia asupra celui afectat de defecte structurale si ale elementelor de executie.

Metoda de acomodare exacta urmareste proiectarea unei legi liniare de control

uf (t) = −K f x(t) , (1)

pentru operarea sistemului post-defect care este modelat˘a de

M f : x(t) = Af x(t)+Bf uf (t) , (2)

astfel ıncat comportamentul ın bucla-ınchisa rezultat sa se suprapuna peste cel al modelului de referinta

M∗n : x(t) = A∗

nx(t) . (3)

Solutia suprapunerii exacte a unui model de referinta ın situatia avariata presupune rezolvarea ecuatiei matriciale

Af , Af −Bf K f = A∗n , (4)

iar aceasta solutie este data de(KPIM

f ≡) K f = B†f (Af − A∗

n) . (5)

B. Metoda Pseudo-Inversa Clasica

Cand suprapunerea exacta de model este imposibila(

Af 6= A∗n

)

, o solutie aproximativa poate fi calculata prin minimizareacriteriului

Jf (K f ) = ‖Ef ‖F , cu Ef = (Af −Bf K f )− A∗n , undeEf =

m

∑j=1

cf j Ef j , (6)

unde‖.‖F este norma-Frobenius a argumentului-matricial, i.e.,‖X‖F =√

∑i, j x2i, j , si se poate arata faptul ca legea de control

K∗f = arg minK f Jf (K f ) este ın continuare obtinuta prin relatia bazata pe pseudo-inversa din cazul avariat (5) si caJf (K∗

f ) = 0daca si numai daca se verifica urmatoarea conditie de compatibilitate din cazul cu defect

Im(

Af − A∗n

)

⊆ Im(

Bf)

. (7)

C. Metoda Pseudo-Inversa Modificata

Astfel, presupunand ca solutia PIM determina sistemulın bucla-ınchisa post-defectAf sa fie instabil, problema se modificaın determinarea luiK f astfel ıncat sa se minimizezeJf din (6) ın constrangerile de stabilitate din (12).

Asadar, data matricea de controlKPIMf calculata cu metoda PIM, noua matrice de controlKMPIM

f modificata cu metodaMPIM rezolva problema de reconfigurare a controlului cu garantia stabilitatii ın situatia post-defect, fiind calculata ca

kMPIMfi, j = kPIM

fi, j , daca|kPIMfi, j | ≤ δ PIM

f , sau (8)

kMPIMfi, j = sgn

(

kPIMfi, j

)

δ PIMf , altfel, (9)

unde sgn(.) reprezinta functia-semn a argumentului-real.Atunci, Af este stabila daca

|cf j | <1

σmax(

∑mi=1 |Xfi |

) , δ fZK , pentru j = 1,2, . . . ,m, (10)

pentru care se definesteXfi ca

Xfi = (ETfi Xf + Xf Efi )/2 = [Xf Efi ]S, pentrui = 1,2, . . . ,m,

ın careXf este solutia ecuatiei LyapunovAT

f Xf + Xf Af +2In = 0, (11)

iar σmax reprezinta cea mai mare valoare singulara,|X| indica argumentul-matricial cu toate elementele ın valoare absolutasi [X]S denota partea-simetrica a argumentului-matricial, i.e., [X]S =

(

X +XT)

/2.Atunci cand se utilizeaza conditiile de mai sus drept conditii pentru stabilitatea ın bucla-ınchisa post-defect si se alege

drept margine de stabilitateδ f sa fie partea dreapta a lui (10), restrictia

|kfi, j | ≤ δ PIMf , pentrui = 1,2, . . . ,m, pentru j = 1,2, . . . ,n, (12)

garanteaza stabilitatea luiAf , undeδ PIMf = δ PIM

f − εPIMf , pentru un anumitεPIM

f relativ mic.�

III. PARTEA APLICATIV A (5P = 5× 1P)

Sa se rezolve urmatoarele puncte:

(1) Pentru sistemul nominal B747-SP, sa se aleaga acelasi defect de tipul multiplicativAf = (1−γ f )An si Bf = (1−τ f )Bn,pentruγ f ∈ (0,0.1) si τ f ∈ (0,1), ca cel ales ın L-02-DSC, si sa se obtina solutia de control stabil / instabil cu metodaPIM, unde modelul ideal de referinta se alege drept sistemul ın bucla-ınchisaA∗

n care probeaza parametrii dinamicide Nivel 1 (ωSP,ζSP) = (3,0.6) pentru perechea ideala de valori proprii complex-conjugate Λ(A∗

n) = {−1.8± 2.4ı}alocate cu instructiuneaplace.

(2) Sa se realizeze simularea comportamentului ın bucla-ınchisa obtinut la pasul (1).

(3) Sa se obtina solutia de control stabilizant cu metoda MPIM, unde marginea de stabilitate robusta se gaseste cu ajutorulinstructiuniisvd.

(4) Sa se realizeze simularea comportamentului ın bucla-ınchisa obtinut la pasul (3).

(5) Sa se refaca pasii (3-4), daca se ınlocuieste marginea de stabilitate Zhou-Khargonekarδ fZK cu cea Yedavalliδ fY , adica

|cf j | <1

supω≥0 ρ(

∑mi=1 |(ıω I −Af )−1Efi |

) , δ fY , pentru j = 1,2, . . . ,m, cum> 1, (13)

|cf j | <1

supω≥0 ρ(

(ıω I −Af )−1Efi

) , δ fY , candm= 1, (14)

undeρ(.) este raza spectrala a argumentului, adica magnitudinea celei mai mari valori proprii.

IV. TEMA SUPLIMENTAR A

Sa se rezolve urmatorul punct:

(1) Sa se implementeze explicit partea aplicativa pentrusistemul B747-LON.

�