Cinematic a 03

MECANICĂ. CINEMATICĂ 55

CAPITOLUL 3

CINEMATICA RIGIDULUI. MIŞCĂRI

PARTICULARE ALE RIGIDULUI

3.1. Mişcarea de translaţie

În figurile 3.1 şi 3.2 sunt prezentate două exemple de corpuri care au o mişcare a cărei particularitate va defini mişcarea de translaţie.

Definiţie. Un solid are o mişcare de translaţie dacă toate

punctele sale descriu traiectorii egale şi paralele.

Această definiţie implică după cum se poate vedea în figurile 3.1 şi 3.2 că orice dreaptă a solidului rămâne paralelă cu ea însăşi. Uneori această proprietate este luată ca definiţie a mişcării de translaţie. Proprietate. Mişcarea de translaţie este determinată dacă se cunoaşte mişcarea unui singur punct al sau. Într-adevăr, să presupunem că se ştie traiectoria (C) şi legea de mişcare a unui punct M. Mişcarea fiind de translaţie, orice dreaptă unind două puncte oarecare ale corpului se deplasează paralel cu ea însăşi. a) Traiectoria unui punct oarecare P se deduce din traiectoria (C)

printr-o translaţie determinată de vectorul →

MP .

Fig.3.1 Fig.3.2

56 VLASE SORIN

b) Spaţiul parcurs la timpul t de punctul P este egal cu spaţiul parcurs în acelaşi interval de timp de punctul M. Avem MM1 = PP1

(traiectoriile sunt paralele şi egale). c) Viteza la momentul t a punctului P este echipolentă cu viteza punctului M. Deoarece MM1 = PP1 avem:

t

PP

t

MM

tt ∆=

∆ →∆→∆

1

0

1

0limlim .

d) Aceeaşi proprietate rămâne valabilă şi pentru acceleraţii. Rezultă că toate punctele rigidului au,la un moment dat,aceeaşi viteză şi aceeaşi acceleraţie. Această concluzie poate fi justificată analitic. Din definiţia mişcării de translaţie rezultă că orice dreaptă rămâne tot

timpul paralelă cu ea însăşi, deci în particular şi axele sistemelor de coordonate Ox, Oy, Oz (fig.3.3). Versorii celor trei axe nu-şi vor schimba poziţia în timpul mişcării deci:

0;0;0 === kji&r&r&r ,

rezultând imediat ω = 0. Expresia vitezei punctului curent M devine:

00 vrvvM

rrrrr=×+= ω

iar a acceleraţiei: ( ) 00 arraaM

rrrrrrrr=××+×+= ωωε .

Fig.3.3


După traiectoria pe care o descrie un punct al rigidului, translaţiile se împart în: - translaţii rectilinii (fig.3.1) dacă traiectoria unui punct este o dreaptă; - translaţii curbilinii dacă traiectoria unui punct este o curbă oarecare în spaţiu (în particular dacă traiectoria este un cerc avem de-a face cu o translaţie circulară, fig.3.2).

3.2. Mişcarea de rotaţie cu axă fixă 3.2.1. Expresiile vitezei şi acceleraţiei

Definiţie. Un rigid are o mişcare de rotaţie cu axă fixă dacă în tot timpul mişcării, două puncte aparţinând rigidului, rămân

fixe în spaţiu.

Consideraţii generale elementare arată că toate punctele dreptei ce conţin cele două puncte fixe rămân de asemenea fixe. Această dreaptă poartă numele de axă de rotaţie. Alegem sistemul de coordonate fix astfel încât axa de rotaţie să fie axa Oz1 şi în acelaşi timp axa Oz. Matricea de rotaţie care face trecerea de la sistemul de referinţă mobil legat de rigid, la sistemul de referinţă fix, o notăm cu [R]. Dacă avem k

r versorul axei Oz, atunci în

timpul mişcării acesta rămâne neschimbat, deci:

[ ] kk =R Avem de-a face cu o rotaţie plană, în jurul axei Oz, de unghi θ iar matricea de rotaţie va avea aspectul:

[ ]

−

=

100

0cossin

0sincos

θθ

θθ

R

primele două coloane reprezentând componentele vectorilor i şi j .

58 VLASE SORIN

Unghiul θ este unghiul făcut de axele Ox1 şi Ox iar mişcarea rigidului este definită de funcţia ( )tθθ = . Se notează cu M’ proiecţia lui M pe axa Oz1. În timpul rotaţiei, distanţa OM’ rămâne constantă, punctul M se va mişca pe un cerc aflat în plan paralel cu planul Ox1y1. Deci traiectoriile tuturor punctelor sunt cercuri cu centrul pe axa Oz1 (fig.3.4,b). Vectorul de poziţie r

r are expresia:

dOMMMOMrrr

+=+=→→→

'''

unde dr

este vectorul →

MM ' (vectorul distanţă al punctului M la axa Oz). Operatorul viteză unghiulară este:

[ ] [ ][ ]

−

=

−

−

−−

==

100

001

010

100

0cossin

0sincos

100

0sincos

0cossin

θθθ

θθ

θθ

θθ

θω &&TRR

deci vectorul viteză unghiulară este [ ] [ ]T100θω &= adică este un

vector orientat după axa Oz1 ( krr

ωω = ). Prin derivare, se obţine

Fig.3.4


vectorul acceleraţie unghiulară [ ]T100θε &&= , deci orientat de

asemenea după axa Oz1 ( kr

&rrεωε == ). Viteza punctului M va fi:

=

+×+=×+=→→→

MMOMvOMvv ''00 ωωrrrrr

dMMOMvrrrrr

×=×+×+=→→

ωωω ''0

deci dvrrr

×= ω şi dv ω= (întrucât drr

⊥ω ). Acceleraţia unui punct M va avea expresia:

=

××+×+=→→

OMOMaa ωωεrrrrr

0

( )=××+

+×+=→→

dMMOMarrrrr

ωωε ''0

( ) dddddrrrrrrrrr 22 ωεωωωε −×=−+×= .

Acceleraţia are două componente, o componentă

tangenţială darrr

×= ετ şi una normală darr 2ων −= . Valoarea

acceleraţiei este dată de:

( ) ( ) ( ) 42422222 ωεωεντ +=⇒+=+= dadaaa .

Se regăsesc formulele obţinute la mişcarea pe cerc a punctului material. 3.2.2. Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor Axa instantanee de rotaţie este data de:

kv

rrr

rrr

ωλωλω

ω=+

×=

20

deci este axa Oz. Axa instantanee de rotaţie este în acest caz o axă permanentă de rotaţie, adică în tot timpul mişcării poziţia ei va rămâne neschimbată. Viteza minimă a punctelor de pe axa instantanee este:

00min ==

ω

ωrr

vv .

60 VLASE SORIN

Relaţia obţinută anterior dvrrr

×= ω ne arată că toate punctele rigidului care au acelaşi vector distanţă d

r faţă de axa de rotaţie, au

acelaşi vector viteză. Dar aceste puncte sunt situate pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie. Deci putem formula următoarea proprietate:

- mulţimea punctelor situate pe o dreaptă paralelă cu axa de

rotaţie (au acelaşi vector distanţă dr

) au acelaşi vector viteză. Altă proprietate care rezultă din această relaţie este: - vitezele se găsesc într-un plan perpendicular pe axa de

rotaţie.

Relaţia care dă modulul vitezei dv ω= ne permite să formulăm a doua proprietate a câmpului de viteze:

- mulţimea punctelor situate la aceeaşi distanţă d faţă de axă au aceeaşi valoare a vitezei. Sau: toate punctele situate pe un

cilindru circular drept având ca axă axa de rotatie au aceeasi

valoare a vitezei. Altă proprietate care derivă din această relaţie este: - vitezele sunt direct proporţionale cu distanţa la axa de

rotaţie.

Aceste proprietăţi ne permit să vizualizăm distribuţia de viteze ca în fig.3.5.

Fig.3.5. Distribuţia vitezelor în mişcarea de rotaţie cu axă fixă


Relaţiile obţinute anterior pentru acceleraţii: ddarrrr 2ωε −×= şi

42 ωε += da ne permit să formulăm, la fel ca în cazul vitezelor, următoarele proprietăţi: - mulţimea punctelor situate pe o dreaptă paralelă cu axa de

rotaţie (au acelaşi vector distanţă dr

) au acelaşi vector acceleraţie.

- mulţimea punctelor situate la aceeaşi distanţă d faţă de axă au

aceeaşi valoare a acceleraţiei; sau: toate punctele situate pe un

cilindru circular drept, având ca axa axa de rotaţie, au aceeaşi valoare a acceleraţiei;

-acceleraţiile sunt direct proporţionale cu distanţa la axa de

rotaţie;

- acceleraţiile se găsesc într-un plan perpendicular pe axa de

rotaţie.

Aceste proprietăţi ne permit să vizualizăm distribuţia de acceleraţii ca în fig.3.6. Unghiul făcut de acceleraţie cu tangenta la traiectorie este dat de relaţia:

2ω

εβ

ν

τ

==a

actg .

Fig.3.6

62 VLASE SORIN

3.3. Mişcarea elicoidală (de rototranslaţie)

3.3.1. Expresiile vitezei şi acceleraţiei

Se pot da ca exemplu de corpuri care efectuează o mişcare pe care o vom denumi elicoidală un burghiu în timpul operaţiei de găurire, un şurub în timpul mişcării (fig.3.7). Definiţie. Un rigid are o mişcare elicoidală dacă o dreaptă solidară cu el păstrează în timpul mişcării suportul fix (fig.3.7,b).

Dreapta respectivă se numeşte axa mişcării elicoidale. Pentru a studia această mişcare se alege sistemul de coordonate astfel încât axa Oz şi Oz1 să coincidă cu axa rotaţiei. Corpul are o mişcare de rotaţie în jurul axei şi în acelaşi timp originea sistemului de referinţă mobil are o translaţie de-a lungul acestei axe după o lege z0 = z0(t). Mişcarea de rotaţie este caracterizată la fel ca în cazul mişcării de rotaţie cu axă fixă prin unghiul de rotaţie ( )tθθ = care exprimă rotaţia axei Ox faţă de axa O1x1.

Prin acelaşi raţionament ca la mişcarea de rotaţie cu axă fixă va rezulta că viteza unghiulară şi acceleraţia unghiulară a corpului vor fi orientate de-a lungul axei O1z1, deci kk

r&

rrθωω == şi kk

r&&

rrθεε == iar

Fig.3.7


viteza şi acceleraţia sistemului de referinţă mobil vor fi de asemenea orientate de-a lungul acestei axe:

kakzakvkzvrr

&&rrr

&r

000000 , ==== .

Fig.3.8. Şuruburile execută la montaj o mişcare de rototranslaţie

Fig.3.9. Instrumente care execută o mişcare de rototranslaţie

Rezultă componentele vitezei:

0;; vvxvyvzyx

==−= ωω ,

iar ale acceleraţiei:

022 ;; aayxaxya

zyx=−=−−= ωεωε .

64 VLASE SORIN

Dacă între unghiul de rotaţie θ şi înaintarea corpului z există o relaţie lineară atunci avem de-a face cu un caz particular şi anume mişcarea de şurub, care este deosebit de des întâlnită în tehnică (şuruburi, prese, strunguri).

3.3.2. Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor Formulele scrise pentru viteze şi acceleraţii permit, la fel ca la mişarea de rotatie cu axă fixă, să reprezentăm distribuia vitezelor şi acceleraţiilor în mişcarea elicoidală. Se pot trage următoarele concluzii: - mulţimea punctelor situate pe o dreaptă paralelă cu axa de

rotaţie (au acelaşi vector distanţă dr) au aceeaşi vectori viteză,

respectiv acceleraţie;

- mulţimea punctelor situate la aceeaşi distanţă d faţă de axă au

aceleaşi valori ale vitezei, respectiv acceleraţiei. Sau: toate

punctele situate pe un cilindru circular drept având ca axă axa de

rotaţie au aceiaşi valoare a vitezei, respectiv a acceleraţiei.

Se pot reprezenta astfel distribuţiile vitezelor şi acceleraţiilor în cazul mişcării elicoidale (fig.3.8, fig.3.9). Se observă că nu există puncte de viteză sau acceleraţie nulă. Axa instantanee de rotaţie devine în acest caz tocmai axa mişcării elicoidale.

Fig.3.8 Fig.3.9


Am menţionat anterior un caz particular al mişcării elicoidale, frecvent întâlnit în practică, cel al mişcării de şurub. În această mişcare, la o rotaţie completă a şurubului, acesta va înainta de-a lungul axei cu o distanţă p numită pasul şurubului. Între unghiul de rotaţie θ şi deplasarea de-a lungul axei z va exista o legătură care în acest caz

este dată de o relaţie liniară: θπ2

pz = (vezi mişcarea pe elice a

punctului material). Prin derivare rezultă imediat: ωπ20

pv = şi

επ20

pa = .

3.4. Mişcarea plan-paralelă 3.4.1. Expresiile vitezei şi acceleraţiei

În figura 3.10 sunt prezentate câteva exemple care vor caracteriza mişcarea plan-paralelă. Definiţie. Un rigid are o mişcare plan-paralelă dacă are trei

puncte necoliniare care sunt conţinute în tot timpul mişcării într-

un plan fix.

Consideraţii geometrice elementare arată că toate punctele rigidului au traiectorii conţinute în plane paralele cu planul fix. Vom arăta că este suficient să studiem mişcarea într-un plan. Să luăm planul fix ca fiind planul de coordonate O1x1y1. Scriind:

Fig.3.10

66 VLASE SORIN

[ ] ρR+= 0rr

şi ţinând seama de definiţia mişcării va rezulta că în tot timpul coordonata z = ct, deci 0=z& . Apoi matricea [R] aplicată versorului k nu-l va modifica, deci:

[R]k=k.

La fel ca la mişcarea de rotaţie cu axă fixă rezultă că matricea [R] are doar cinci componente din care, ţinând seama de relaţiile de ortogonalitate, rămân două independente. Atunci vom putea nota:

θα cos11 = , θα sin21 = , θα sin12 −= , θα cos22 = . Rezultă, conform figurii 3.11:

−

+

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

100

0cossin

0sincos

0

0

0

1

1

1

θθ

θθ

.

Coordonatele z fiind constante în timp, rezultă că parametrii care vor descrie mişcarea vor fi x0, y0 şi θ. Rezultă că rigidul are trei grade de libertate. Traiectoriile vor fi definite de variaţia celor trei mărimi în timp. Ele vor fi curbe plane. Toate punctele situate pe o dreaptă paralelă cu Oz au aceeaşi traiectorie. Rezultă că în mişcarea plan-paralelă este suficient să se studieze mişcarea într-un plan (fig.3.12,b).

Fig.3.11


În planul O1x1y1 se alege sistemul de referinţă mobil Oxy care participă la mişcare împreună cu rigidul. Viteza unghiulară a rigidului va fi viteza de variaţie a unghiului θ în raport cu timpul. Relaţia anterioară poate fi scrisă:

−+

=

y

x

y

x

y

x

θθ

θθ

cossin

sincos

0

0

1

1 .

Prin derivare se obţine:

−

+

=

x

y

y

x

y

xθ&

&

&

&

&

0

0

1

1

sau: rvvM

rrrr×+= ω0 cu componentele:

0;; 00 =+=−=

zyyxxvxvvyvv ωω ,

unde jyixrk

rrrrr+== ;ωω .

Pentru determinarea acceleraţiei unui punct al rigidului în mişcare plan-paralelă, se utilizează relaţia obţinută în mişcarea generală a rigidului:

( ) ( ) rrrarraaM

rrrrrrrrrrrrrr 200 ωωωεωωε −+×+=××+×+= .

Ţinând seama de faptul că r

rr⊥ω rezultă kr

r&&rrrr

ωωεω === ,0 , deci:

rraaM

rrrrr 20 ωε −×+= ,

cu componentele: 0;; 2

02

0 =−+=−−=zyyxx

ayxaaxyaa ωεωε .

3.4.2.Baza şi rostogolitoarea Se pune problema axei instantanee de rotaţie şi translaţie pentru mişcarea plan-paralelă. Viteza minimă în punctele aparţinând A.I.R.T. este ( ) 0/0min == ωωvv

rr. În acest caz vorbim de axa instantanee de

rotaţie. Se caută deci punctele de viteză nulă. Din relaţia scrisă pentru

68 VLASE SORIN

componentele vitezei, rezultă că punctul de coordonate ξ, η, ζ cu viteza nulă trebuie să verifice relaţiile:

arbitrarvvyx

==+=− ςξωηω ;0;0 00

de unde:

arbitrarvv

xy ==−= ςω

ηω

ξ ;; 00 .

Rezultă că punctele rigidului de viteză zero se găsesc pe dreapta care are, faţă de sistemul de coordonate mobil, coordonatele determinate cu relaţiile scrise. Dreapta este doar axa instantanee de rotaţie fără a avea translaţie în lungul ei. Rigidul se comportă din punct de vedere al distribuţiei vitezelor ca şi cum s-ar roti instantaneu în jurul acestei axe (exact ca în rotaţia cu axă fixă). Locul geometric al A.I.R. în raport cu sistemul de referinţă fix şi mobil reprezintă cilindri, numiţi axoide (fig.3.12). Punctul de viteză zero din planul de coordonate Oxy se numeşte centru instantaneu de rotaţie (C.I.R.). Dacă facem o translaţie în centrul instantaneu de rotaţie cu relaţiile:

';';' zzyyxx =+=+= ηξ se obţin pentru componentele vitezei expresiile:

0;;' ==−= zyx vxvyv ωω ,

relaţii analoage cu cele din mişcarea de rotaţie cu axă fixă.

Definiţie. Locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie în

raport cu sistemul de referinţă mobil poartă numele de centroidă mobilă sau rostogolitoare. Locul geometric al centrului

instantaneu de rotaţie în raport cu sistemul de referinţă fix poartă numele de centroidă fixă sau bază.

Baza si rostogolitoarea reprezintă deci intersecţia axoidelor (cilindri) cu planul de coordonate. Ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei sunt date de:


ωη

ωξ xy vv

00 ; =−= .

Pentru a obţine ecuaţiile parametrice ale bazei este necesar să transformăm expresiile obţinute în sistemul de referinţă fix cu relaţiile:

.cossin;sincos 0101 θηθξηθηθξξ ++=−+= yx

Funcţiile ξ, η, ξ1, η1 depind de parametrul timp sau un alt parametru convenabil ales care depinde de timp.

Fig.3.12

Fig.3.13

70 VLASE SORIN

Pentru determinarea centrului instantaneu de rotaţie se pot utiliza şi metode geometrice. Acestea prezintă în anumite cazuri avantajul simplităţii. Se utilizează în acest scop proprietăţile distribuţiei de viteze. Mişcarea este din punct de vedere al vitezelor ca o mişcare de rotaţie în jurul C.I.R. Viteza unui punct este perpendiculară pe dreapta care uneşte punctul respectiv cu C.I.R. (perpendiculară pe raza) şi proporţională cu ea. Deci, dacă se cunosc direcţiile vitezelor a două puncte A şi B în mişcare plană, atunci C.I.R, se află la intersecţia perpendicularelor pe direcţiile vitezelor. Mărimea vitezei punctelor A şi B este dată de relaţiile: IAvA ⋅= ω şi IBvB ⋅= ω . Rezultă că dacă se

cunoaşte vA se poate afla ω cu relaţia IAvA /=ω (IA măsurat pe figură) şi vB cu relaţia IAIBvv AB /= (fig.3.13). Dacă suporţii vitezelor celor două puncte sunt paraleli, atunci cele două normale nu au punct de intersecţie. În acest caz C.I.R. se află la infinit, iar mişcarea este cea de translaţie plană.

Un caz special este când se cunosc direcţiile vitezelor a două puncte, perpendiculare pe dreapta care uneşte cele două puncte (fig.3.14). În acest caz este necesar să se cunoască şi valorile vitezelor. Folosindu-se proprietatea de variaţie liniară a vitezelor se determină C.I.R. la intersecţia dreptei care uneşte cele două puncte cu dreapta ce uneşte extremităţile vitezelor. Exemple 1.Problema lui Cardan. O bara de lungime 2l se mişcă astfel încât capătul A glisează pe axa O1x1 cu viteza constantă v, iar B

Fig.3.14


pe axa O1y1. Să se determine viteza şi acceleraţia barei şi centroidele ei (baza şi rostogolitoarea) (fig.3.15).

i) Soluţie analitică. Componentele vitezei pe axele sistemului de referinţă mobil sunt: θcos0 vv x = ; θsin0 vv

y−= iar θω &= . Viteza

punctului B este dată de relaţia:

( ) jlilvABvv AB

r&

r&

rrrθθθθω sin2cos2 −−=×+=

→

.

Condiţia ca viteza punctului B să fie orientată după axa Oy dă:

θωθ

cos2l

v==& . Prin derivare se obţine acceleraţia unghiulară a

barei:

θ

θθθ

θωε

32

2

2 cos4

sinsin

cos2 l

v

l

v=== && .

Coordonatele C.I.R. în raport cu sistemul mobil de coordonate vor fi:

;2sinsincos2

cos2

sin0 θθθ

θ

θ

ωξ ll

l

v

vv y===−=

Fig.3.15 Fig.3.16

72 VLASE SORIN

( ).2cos12

cos2

cos2

cos 20 θθ

θ

θ

ωη +====

ll

l

v

vv x

Eliminând parametrul θ între cele două relaţii ţinând seama de expresia: 12sin2cos 22 =+ θθ se obţine ecuaţia rostogolitoarei:

( ) 222ll =−+ ηξ ,

adică ecuaţia unui cerc cu centrul în centrul barei şi cu raza egală cu jumătate din lungimea barei. Coordonatele C.I.R. în raport cu sistemul de referinţă fix vor fi date de:

;sin2sincossin21 θθηθξθξ ll =−+= .cos2cossin1 θθηθξη l=+=

Se elimină θ prin ridicare la pătrat şi adunare şi se obţine ecuaţia bazei sub forma:

,4 221

21 l=+ηξ

adica un cerc de raza 2l şi cu centrul în originea O1. În timpul mişcării cercul mobil se rostogoleşte fără alunecare pe cercul fix (fig.3.16). ii) Soluţie semianalitică. Ducând perpendicularele pe vectorii viteză în punctele A şi B se obţine punctul I. Coordonatele acestuia în sistemul fix de referinţă sunt: θξ sin21 l= ; θη cos21 l= . Dacă se proiectează I pe axele sistemului mobil de coordonate se obţine:

θθθξ cossin2sin' lIAAI === ; θθη 2cos2cos" lIAAI === , adică rezultatele obţinute la punctul i). Ţinând seama că

θωω cos2lIAvvA === se obţine viteza unghiulară ω. iii) Soluţia geometrică. În cazul construcţiei de la punctul ii), figura O1AIB este un dreptunghi. Faţă de bara unghiul I este întotdeauna drept. Punctul I se va afla atunci pe cercul circumscris dreptunghiului de diametru AB = 2l. Distanţa O1I = AB = ct. ca diagonale ale dreptunghiului şi atunci faţă de sistemul de referinţă fix punctul I se mişca pe cercul de rază egală cu O1I = 2l şi cu centrul în O1.


2. Biela. Ne propunem să determinăm baza şi rostogolitoarea pentru biela din mecanismul bielă-manivelă (fig. ).

ααβα sin)/(1coscoscos 2

1 lrlrlrxACx C −+=+=== αtgxICy C==1

αcos/CxAI =

rAIBI −=

)sin(;)cos( βαβα +=+= BIyBIx

74 VLASE SORIN

Fig. . Baza şi rostogolitoarea pentru bielă. Scările după cele două

axe sunt diferite. 3.4.3. Polul acceleraţiilor Se pune problema punctelor de acceleraţie nulă. Dacă ξ’, η’ şi ζ sunt coordonatele unui astfel de punct ele vor trebui să îndeplineasca condiţiile:

oarecareaayx

==−−=−− ζηωξεξωηε ;0'';0'' 20

20 .

Rezultă:

oarecareaaaa xyyx =

+

+=

+

−= ζ

εω

εωη

εω

εωξ ;';'

24

002

24

002

.

Mulţimea punctelor de acceleraţie nulă se găseşte pe o dreaptă perpendiculară pe planul director. Punctul din planul sistemului de referinţă mobil de acceleraţie zero şi coordonate ξ’, η’ poartă numele de polul acceleraţiilor (centrul acceleraţiilor). Coordonatele polului acceleraţiilor faţă de sistemul de referinţă fix se obţin ca în cazul C.I.R. în care ξ, η, ξ1, η1 se înlocuiesc cu ξ’, η’, ξ’1, η’1. Distribuţia de


acceleraţii va fi identică cu cea din mişcarea de rotaţie cu axă fixă, ca şi când corpul s-ar roti în jurul dreptei perpendiculare pe planul director ce trece prin polul acceleraţiilor. Ca şi în cazul vitezelor, dacă facem translaţia ';';' zzyyxx =+=+= ηξ se obţin componentele acceleraţiei sub forma:

0;'';'' 22 =−=−−=zyx

ayxaxya ωεωε ,

identice cu cele din mişcarea de rotaţie. În figura 3.17 sunt prezentate centrul instantaneu de rotaţie şi polul acceleraţiilor pentru o roată care se rostogoleşte fără alunecare pe planul orizontal. Se observă că cele două puncte nu coincid, în general.

3.4.4. Proprietăţi în mişcarea plan-paralelă (Cercurile lui Bresse)

a) Locul geometric al punctelor pentru care viteza şi acceleraţia sunt doi vectori colineari este un cerc numit cercul inflexiunilor. b) Locul geometric al punctelor pentru care viteza şi acceleraţia sunt doi vectori perpendiculari este un cerc numit cercul de rebrusment. Se demonstrează cele două proprietăţi în felul următor: Expresia vitezei unui punct este:

rvvrrrr

×+= ω0 , iar a acceleraţiei:

rraarrrrr 2

0 ωε −×+= .

Fig.3.17

76 VLASE SORIN

Condiţia ca vectorii viteză şi acceleraţie să fie colineari revine la a pune condiţia: 0=× va

rr, iar condiţia ca cei doi vectori să fie

perpendiculari revine la: 0=⋅ varr

. Efectuând calculele se obţine, în ambele cazuri, ecuaţia unui cerc. 3.5. Mişcarea rigidului cu punct fix

3.5.1. Expresiile vitezei şi acceleraţiei Se consideră un rigid care în timpul mişcării are fixat un punct O (fig.3.18). Originea sistemului de referinţă mobil şi a celui fix se alege

în punctul O. Viteza şi acceleraţia acestui punct sunt zero. Viteza unui punct oarecare al rigidului este dată de relaţia:

rrvvM

rrrrrr×=×+= ωω0 .

Componentele vitezei sunt:

;yzvzyx

ωω −=

;zxvxzy

ωω −=

.xyvyxz

ωω −=

Fig.3.18 Fig.3.19


Se caută punctele de viteză nulă. Expresia vectorială a vitezei indică faptul că punctele situate pe dreapta ωλ

rr=r au viteza nulă.

Această dreaptă va fi axă instantanee de rotaţie. Distribuţia de viteze va fi identică cu cea din mişcarea de rotaţie cu axă fixă, ca şi cum rigidul s-ar roti în jurul axei instantanee de rotaţie.

Axa instantanee de rotatie şi translaţie se poate determina şi cu relaţia obţinută în capitolul 2:

ωλω

ω rrr

r+=

20v

r ,

deci o dreaptă care trece prin O. Toate punctele de pe această axă au viteza:

00min ==

ω

ωrr

vv ,

aşadar este o axă de rotaţie fără translaţie. Deoarece în orice moment A.I.R. trece prin punctul O, rezultă: - locul geometric al A.I.R. în raport cu sistemul de referinţă fix este un con cu vârful în O1 numit conul herpolodic; - locul geometric al A.I.R. în raport cu sistemul de referinţă mobil este tot un con cu vârful în O numit conul polodic (fig.3.19). Cele două conuri poartă numele de conurile lui Poinsot. În timpul mişcării conul polodic se rostogoleşte fără alunecare pe conul herpolodic, fix. Cele două conuri sunt tangente. Acceleraţia este dată de relaţia:

( ) ( )rrrraaM

rrrrrrrrrrrr××+×=××+×+= ωωεωωε0 ,

cu componentele:

( ) ( ) ( ) ;22 zyxayzxzyxzyx

εωωεωωωω ++−++−=

( ) ( ) ( )xzyazxyxzyxzy

εωωεωωωω ++−++−= 22 ;

( ) ( ) ( )yxzaxyzyxzyxz

εωωεωωωω ++−++−= 22 .

78 VLASE SORIN

Pentru a determina distribuţia de acceleraţii facem observaţia că dacă în relaţia care exprimă acceleraţia unui punct schimbăm pe r

r cu

rr

λ rezultă:

( ) ( ) ( )[ ] arrrrarrrrrrrrrrrr

λωωελλωωλε =××+×=××+×= .

Rezultă că de-a lungul unei drepte care trece prin origine, vectorul acceleraţie variază linear. Se caută şi alte puncte de acceleraţie nulă în afara punctului fix, astfel punând condiţia 0=a

r se

obţine sistemul:

( ) ( ) ( ) ;0 22 zyxyzxzyxzy

εωωεωωωω ++−++−=

( ) ( ) ( )xzyzxyxzyxz

εωωεωωωω ++−++−= 220 ;

( ) ( ) ( )yxzxyzyxzyx

εωωεωωωω ++−++−= 220 .

care este linear omogen cu determinantul:

( )( )

( )=

+−+−

−+−+

+−+−

22

22

22

yxxyzyxz

xzyxzzxy

yzxzyxzy

ωωεωωεωω

εωωωωεωω

εωωεωωωω

( ) ( ) ( )[ ] ( ) .2222εωεωεωεωεωεωεωrr

×−=−+−+−−=xyyxzxxzyzzy

În general ∆ ≠ 0, deci punctul de acceleraţie zero este originea O, x = y = z = 0. În cazul când ω

r şi ε

r sunt coliniari, atunci ∆ = 0, deci

există o dreapta pe care acceleraţia este zero (spre exemplu, cazul rotaţiei cu axă fixă).

3.5.2. Unghiurile lui Euler Rotaţia sistemului de referinţă mobil faţă de sistemul de referinţă fix este caracterizată de cei nouă cosinuşi directori ai matricei de rotaţie [R] care s-a văzut că sunt legaţi prin şase relaţii. Se pot alege deci trei cosinuşi independenţi care să descrie rotaţia rigidului, ceilalţi şase putând fi exprimaţi funcţie de aceştia. O astfel de modalitate de


studiu a problemei este deosebit de greoaie. Pot exista diverse modalităţi de a alege trei parametri independenţi care să descrie rotaţia finită a rigidului, cei nouă cosinuşi directori fiind exprimaţi în funcţie de aceştia. O modalitate mult mai uzitată mai ales datorită suportului ei intuitiv este de a utiliza ca parametri independenţi unghiurile lui Euler. În acest fel rotaţia globală este obţinută prin intermediul a trei rotaţii plane, aplicate succesiv sistemului de referinţă mobil. Reprezentând sistemul de referinţă fix şi pe cel mobil, unghiurile lui Euler se obţin în felul următor: se intersectează planul Oxy cu planul O1x1y1. Dreapta de intersecţie este ON. Unghiul ψ făcut de Ox1 cu ON poartă numele de unghi de precesie , iar unghiul ϕ făcut de Ox cu ON poartă numele de unghi de rotaţie proprie. Al treilea parametru care va defini poziţia referenţialului Oxyz este unghiul θ, numit unghi de nutaţie. Se prezintă modalitatea în care cele trei unghiuri definite anterior pot fi utilizate ca parametri independenţi pentru definirea matricei de rotaţie.

Se consideră sistemul de referinţă fix O1x1y1z1 şi sistemul de referinţă care s-a rotit odată cu rigidul, Oxyz (fig.3.20). Trecerea de la sistemul de referinţă fix la cel rotit se face în următorii trei paşi: - se execută o rotaţie plană de unghi ψ a sistemului de referinţă în jurul axei Oz1 considerată fixă; sistemul de referinţă are o nouă poziţie definită de axele Ox’y’z’, Oz ≡ Oz’. Axa Ox’ se mai notează şi ON şi poartă numele de axa nodurilor; - se menţine axa ON ≡ Ox’ fixă şi se execută în jurul ei o rotaţie plană de unghi θ; sistemul de referinţă are o nouă poziţie definită de axele Ox”y”z”, Ox’ ≡ Ox”;

80 VLASE SORIN

- se menţine axa Oz” fixă şi se roteşte în jurul ei sistemul de referinţă cu unghiul ϕ; se obţine sistemul de referinţă care defineşte poziţia finală a rigidului Oxyz, Oz” ≡ Oz. Pentru prima operaţie avem deci o rotaţie plană de unghi ψ care va fi definită de matricea de rotaţie [Rψ]. Legătura între coordonatele unui vector exprimată în cele două sisteme de referinţă O1x1y1z1 si Ox’y’z’ este:

−

=

'

'

'

100

0cossin

0sincos

1

1

1

z

y

x

z

y

x

ψψ

ψψ

sau: [ ] '1 rRr ψ=

A doua rotaţie în jurul axei nodurilor, de unghi θ,este exprimată prin matricea de rotaţie [Rθ], iar legătura între componentele unui vector exprimate în cele două sisteme de coordonate este data de relaţia:

Fig.3.20


−=

"

"

"

cossin0

sincos0

001

'

'

'

z

y

x

z

y

x

θθ

θθ sau: [ ] "' rRr θ= .

A treia rotaţie în jurul axei nodurilor, de unghi ϕ,este exprimată prin matricea de rotaţie [Rϕ], iar legătura între componentele unui vector exprimate în cele două sisteme de coordonate este dată de relaţia:

−

=

z

y

x

z

y

x

100

0cossin

0sincos

"

"

"

ϕϕ

ϕϕ

sau [ ] rRr ϕ=" .

În final se poate scrie:

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] rRRRrRRrRr ϕθψθψψ === "'1 .

Matricea care reprezintă rotaţia este:

[ ] [ ][ ][ ]ϕθψ RRR=R .

Facând calculele se obţine:

[ ]R =

− − −

+ − + −

−

=

cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin

sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin cos

sin sin sin cos cos

ψ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ θ ψ θ

ψ ϕ ψ ϕ θ ψ ϕ ψ ϕ θ θ ϕ

θ ψ θ ψ θ

[ ]kji= .

Versorii i, j, k au componentele, exprimate în sistemul fix de coordonate:

82 VLASE SORIN

;

sinsin

cossincoscossin

cossinsincoscos

+

−

=

ψθ

θϕψϕψ

θϕψϕψ

i

−=

−

+−

−−

=

θ

ϕθ

θψ

ψθ

θϕψϕψ

θϕψϕψ

cos

cossin

sinsin

;

cossin

coscoscossinsin

coscossinsincos

kj .

Rezultă de aici componentele versorilor i, j, k definite în sistemul de referinţă fix.

Dacă considerăm că rotaţia finală se obţine prin succesiunea a trei rotaţii de unghiuri ψ, θ, ϕ într-un interval de timp foarte mic ∆t şi dacă se consideră că rapoartele dintre unghiuri şi timp reprezintă vitezele unghiulare de rotaţie în jurul celor trei axe, atunci viteza unghiulară a rigidului poate fi reprezentată ca suma vectorială a celor trei viteze unghiulare:

kek ϕθψω &&& ++= '1 . Ţinând seama că: ψψ sincos' 11 jie += , iar k este definit anterior în cadrul matricei de rotaţie avem componentele vitezei unghiulare în sistemul de referinţă fix:

;cossinsin

;sinsincos

1

1

ψθϕψθω

ψθϕψθω

&&

&&

−=

+=

y

x

.cos1 θϕψω && +=z Bineînţeles că aceste componente se puteau obţine dacă se aplica pentru operatorul viteză unghiulară relaţia definită în capitolul 2. În acest caz ar fi fost însă de efectuat un număr ridicat de calcule. Componentele vitezei unghiulare în sistemul de referinţă local se obţin cu relaţiile:

[ ] ωΩT

R= , de unde:

;sincossin

;cossinsin

ϕθϕθψω

ϕθϕθψω

&&

&&

−=

+=

y

x

.cosθψϕω && +=z

Cinematic a 03

Documents

Transcript of Cinematic a 03