1. Ce este simularea? Unde i cnd se aplic metode de simulare

Ea permite obinerea de informaii despre eficacitatea diferitelor politici adoptate sub diverse condiii i ipoteze. Cuvntul simulare deriv de la latinescul simulatio care nseamn capacitatea de a reproduce, reprezenta sau imita ceva. n matematic termenul simulare a fost folosit pentru prima dat de ctre J. von Neumann i S. Ulam, n anii 1940 - 1944 cu ocazia cercetrilor de fizic nuclear efectuate n SUA. Din cauza ambiguitilor generate de diversele sensuri ale cuvntului simulare, n vorbirea obinut este dificil s se precizeze o semnificaie general a termenului valabil pentru toate tiinele particulare. Astfel : - prin simulare se nelege o tehnic de construire a unei reprezentri a unui fenomen real care trebuie studiat, i de observare a comportamentului acesteia n locul fenomenului considerat; - simularea este o analogie a unui fenomen real bazat sau reprezentat de o tehnic ce permite studiul unor fenomene complexe reproduse pe modele n laborator sau pe teren; - simularea poate fi considerat o reprezentare dinamic a unei pri a lumii reale, realizat prin construirea unui model abstract i apoi prin micarea acestuia n timp; - este o metod de cercetare, bazat pe anticiparea rezultatelor unui ansamblu de ipoteze care au la baz elemente tehnice precum i relaiile dintre acestea; - o tehnic ce d o cale de testare, evaluare i manipulare a unui sistem fr a aciona direct asupra sistemului real; - o tehnic numeric pentru conducerea experimentelor pe un calculator numeric care implic anumite tipuri de modele matematice i logice care descriu comportarea unei afaceri sau a unui sistem economic n viitor; - o tehnic de studiere a anumitor laturi ale comportrii sistemului fr a aciona direct asupra lui, utiliznd analogiile fizice, chimice sau de calcul.

Cercettorii din domeniul matematicilor aplicate concep simularea ca pe o tehnic de constituire a unui model pentru un proces sau fenomen real, care se studiaz cu calculatorul iar rezultatele sunt folosite pentru a lua decizii fundamentate tiinific. O versiune simplificat a procesului de simulare este ilustrata n figura 1.2, unde modelul este reprezentat ca o cutie neagr.

Simularea este utilizat de obicei acolo unde problema de investigat este destul de complex pentru a fi tratat cu ajutorul modelelor analitice sau cu tehnicile numerice de optimizare, cum ar fi de exemplu programarea liniar. n cazul de fa, prin complexitate se nelege c problema sau nu poate fi formulat matematic (deoarece nu se pot face ipoteze) sau formularea nu implic o soluie practic sau economic.

Procesul de simulare const chiar n repetarea de mai multe ori a unui experiment, obinndu-se astfel o estimare a efectului total a unei anumite aciuni. n mai multe cazuri se poate efectua manual, dar un calculator este de regul, necesar.

2. Avantajele i limitele simulrii numerice

Acceptarea pe scar tot mai larg a simulrii la nivele manageriale nalte implic o serie de avantaje i dezavantaje. Avantaje:

1) Primul i poate cel mai important avantaj al simulrii este acela c ne permite s studiem sisteme globale reale sau situaii fr a efectua modificri n evoluia real a lor.

2) Simularea este folosit ndeosebi n studiul i realizarea unor sisteme sau procese a cror desfurare real ar conduce la catastrofe (pierderi de viei i valori materiale) oferind n final informaii asupra comportrii sistemelor reale date.

3) Simularea d posibilitatea schimbrii condiiilor de intrare n sistem la momentele de timp dorite i a studierii efectelor acestor modificri la ieire, lucru imposibil n cadrul sistemelor reale.

4) Simularea cere o analiz temeinic a problemei n scopul obinerii datelor necesare. Acest proces poate dezvlui relaii ascunse sau viitoare imperfeciuni necunoscute ale sistemului. 5) Modelul de simulare, privete n general ntreaga complexitate a problemei, dar nu este necesar s fie un model exhaustiv de la nceput. 6) Modelul de simulare este de obicei destinat ca baz pentru conducerea n perspectiv a sistemului i nu ca un expert managerial. Acest lucru este important n eventualitatea implementrii rezultatelor modelului. 7) Simularea poate fi un instrument eficient att pentru manageri ct i pentru angajai. 8) Simularea are un mare numr de aplicaii, mergnd de la probleme operaionale, ca cele de stocare, pn la probleme de planificare strategic. 9) Simularea ofer rezultate descriptive mai degrab dect rezultate prospective (optimul). Astfel, managerul are marea ans s obin rspuns la ntrebri "i dac?" prin analize de sensitivitate. 10) Un model exact de simulare necesit o cunoatere "intim" (amnunit) a problemei, astfel c este obligatorie o interfa constant a expertului cu managerul. 11) Modelul de simulare este construit pentru un caz particular i, n general, nu poate fi utilizat pentru rezolvarea oricrei probleme.

12) Managerul poate s fac experimente pentru diferite variabile pentru a determina importana acestora i pentru diferite politici i alternative experimentale pentru a determina care sunt cele mai bune.

13) Simularea, n general, permite includerea complexitilor realitii n probleme, simplificrile nefiind necesare. 14) Corespunztor naturii simulrii, poate fi realizat o important compresie a timpului, dnd posibilitatea managerului s observe n cteva minute efectul pe termen lung al diferitelor decizii. 15) Compresia timpului permite realizarea experimentelor cu o foarte mare exactitate (n special cnd sunt folosite calculatoarele). De aceea, la un cost relativ redus poate fi obinut mai mult acuratee. Dezavantaje:

1)Realizarea unui model de simulare, n special a modelului complex pe calculator, poate fi o problem foarte grea i costisitoare.

2)Cele mai multe modele de simulare cer calculatoare puternice pentru calcule. 3)Rezultatele modelului de simulare sunt de obicei foarte sensibile la modul de formulare a

modelului. 4)Simularea ofer rezultate descriptive pentru modele. De aceea, orice soluie optim (sau o

foarte bun soluie) nu poate fi garantat. 5) Simularea poate deveni un bun la toate pentru manageri. De aceea, unele tehnici analitice

care sunt mai simple i mai utile pentru a gsi soluii mai bune, pot fi trecute cu vederea. 6) Soluiile i concluziile unui studiu de simulare, de obicei nu sunt transferabile la alte probleme. Aceasta se datoreaz ncorporrii n model a unor factori specifici ai problemei. Pe lng avantajele i dezavantajele simulrii, trebuie s ne amintim bine proverbul: Cnd tot altceva nu-i reuete, simuleaz.

3. Clasificarea modelelor de simulare

Dup natura fizic a elementelor modelului avem: Modelele fizice sunt modele ale cror elemente sunt de natur fizic Modelele abstracte sunt modele ale cror elemente sunt variabile i ale cror legturi sunt

relaii funcionale ntre variabile (modelele economico-matematice). Acestea pot fi calitative i cantitative.

Modele abstracte calitative sunt modele care includ numai specificarea formei unor relaii funcionale.

Modele abstracte cantitative sunt modele formate exclusiv din funcii matematice particularizate. La rndul lor modelele abstracte cantitative pot fi deterministe, statistice, stochastice, fuzzy (vagi) sau mixte.

o Modelele deterministe cuprind exclusiv funcii matematice particularizate, deduse prin aplicarea unor legi generale i n care nu intervin variabile aleatoare.

o Modelele statistice cuprind cel puin o relaie dedus prin prelucrarea statistic a unor date experimentale (modelele econometrice de cretere). n general relaia obinut se consider determinist.

o Modelele stochastice implic utilizarea variabilelor ntmpltoare pentru descrierea funcionrii sistemului, obiectivul simulrii constnd n determinarea parametrilor statistici ai mrimilor de ieire.

o Modelele fuzzy implic utilizarea variabilelor fuzzy pentru a reflecta imprecizia unor fenomene care au loc n procesele economice .

o Modelele mixte includ variabile ntmpltoare pentru descrierea relaiilor din sistem, iar obiectul simulrii const n determinarea parametrilor statistici ai mrimilor de ieire precum i n determinarea unor funcii matematice (exemplu: modelele de dinamic industrial).

Modelele hibride cuprind att elemente fizice ct i elemente abstracte, presupunnd interaciunea dintre un sistem format din elemente fizice i un calculator electronic numeric programat corespunztor . Dup natura matematic a relaiilor din model avem: Modelele liniare sunt acele modele n care att restriciile ct i funcia (funciile) obiectiv sunt de gradul nti. n general aceste modele reprezint cea mai simpl cale de aproximare a realitii economice iar valabilitatea rezultatelor obinute cu ajutorul lor este limitat.

Modelele neliniare sunt acele modele n care restriciile i/sau funcia obiectiv sunt de grad mai mare

ca unu (modelele de programare ptratic, funciile de producie Cobb Douglas, Cess etc.) Dup natura evoluiei sistemului modelat avem:

Modelele statice sunt acele modele n care parametrii sunt independeni de timp. Modelele dinamice sunt descrise prin funcii de timp. Majoritatea fenomenelor economice se

preteaz a fi modelate cu ajutorul acestor modele care aproximeaz mai fidel realitatea obiectiv. Dup obiectul cercetrii avem:

Modelele microeconomice au ca obiect de analiz procese economice elementare precum i procese social economice examinate relativ izolat de mediul de realizare.

Modelele macroeconomice au ca obiect studiul proceselor economice agregate la nivelul economiei naionale, regiunii (zonei) sau ramurei economice. Dup natura variabilelor avem:

Modelele discrete sunt cele n care intervin variabile care pot fi puse n coresponden cu mulimea numerelor naturale sau cu o submulime finit a acestor numere.

Modelele continue conin variabile cu puterea continuului (mrimi ce pot fi puse n coresponden cu punctele din intervalul [0,1] sau mai mare). Aceste modele sunt utilizate pentru modelarea fenomenelor macroeconomice.

4. Tehinici de simulare-clasificare a. Dup natura echipamentului utilizat avem:

Simularea analogic este o tehnic de simulare care folosete sisteme (dispozitive) ale cror legi de conduit sunt aceleai cu legile de conduit ale sistemului studiat. Simularea analogic se poate clasifica n:

Simularea analogic direct const n stabilirea unei analogii directe ntre sistemul original i sistemul (dispozitivul) cu ajutorul cruia se efectueaz simularea (denumit de obicei simulator). Dup natura dispozitivelor utilizate, simularea analogic direct poate fi fizic, chimic, biologic etc.

Simularea analogic indirect const n folosirea unor elemente analogice modulare (sumatoare, integratoare, amplificatoare etc.) interconectate astfel ca legea de funcionare a acestui ansamblu s fie aceeai cu a sistemului economic original.

Simularea numeric denumit i digital sau matematic const n analiza i studiul sistemelor economice utiliznd analogiile de calcul. Se poate efectua manual , cu ajutorul calculatoarelor de birou , sau cu ajutorul calculatoarelor electronice. Simularea electronic numeric prezint avantajul preciziei i vitezei ridicate, precum i cel al universalitii.

Simularea numeric se clasific n:

Simularea de tip joc const n ataarea la un sistem economic a unui model astfel conceput nct s descrie dependenele logice dintre variabile i parametrii acestui sistem.

Metoda Monte Carlo asociaz problemei reale un model probabilist i prin generarea unor variabile aleatoare legate funcional de soluie se realizeaz experiene pe model, furnizndu-se informaii asupra soluiei problemei deterministe.

Simularea hibrid denumit i analog digital const n conectarea unui simulator analogic sau alte ansamble funcionale tipice simulrii analogice i un calculator numeric. Un calculator hibrid modern este un sistem numeric de baz care utilizeaz o unitate central rapid ce controleaz n paralel un procesor analogic.

b. Dup natura algoritmilor utilizai simularea poate fi: Simularea determinist (dirijat) este un procedeu de simulare n care att variabilele (n

cadrul fiecrui ciclu de simulare) ct i parametrii (de la un ciclu de simulare la altul) capt valori deterministe, fie date, fie rezultate dintr-un algoritm care furnizeaz rezultatele predeterminabile.

Simularea ntmpltoare (Monte Carlo) este un procedeu de simulare n care cel puin o variabil sau un parametru capt valori ntmpltoare sau cvasintmpltoare (pseudoaleatoare).

Simularea determinist cu perturbaii ntmpltoare include pe lng variabile deterministe i mrimi ntmpltoare care nu sunt n msur s schimbe evoluia general a funcionrii sistemului, dar confer un grad mai mare de realism soluiilor modelului de simulare.

c. Dup raportul de simulare

Simularea n timp real este un procedeu n care raportul de simulare este echiunitar. Exist, n unele

cazri, posibilitatea ca timpul de simulare s fie egal cu timpul n care fenomenele simulate se petrec n

sistem real. n aplicaiile economice acest lucru este practic imposibil.

Simularea n pseudotimp const n folosirea unui raport de simulare diferit de unu. Timpul de

funcionare al simulatorului este n majoritatea cazurilor mai rapid sau mai ncet dect timpul real de

funcionare.

d.Dup momentul efecturii simulrii avem:

Antesimularea reprezint experimentul de simulare ce se efectueaz nainte de a avea loc

funcionarea real a sistemului modelat. n general aceast tehnic este folosit la proiectarea sistemelor

economice i n efectuarea de prognoze economice. Postsimularea se folosete pentru dobndirea unei experiene n conducerea unor fenomene i

procese din sisteme economice care funcioneaz n practic. Experiena dobndit poate conduce uneori la perfecionarea sistemului economic existent.

5. Numere aleatoare, numere pseudoaleatoare. Proprieti ale irurilor de numere

pseudoaleatoare

n simularea proceselor economice este necesar, de multe ori, generarea cu calculatorul a unor mulimi

de numere aleatore avnd o repartiie de probabilitate dat. Procesul de generare a variabilelor aleatoare

ocup o pondere relativ mare n timpul total de rulare (a calculatorului).

Generarea artificial a secvenei de numere aleatoare, totdeauna dup reguli precise, n calculatoarele

electronice, afecteaz ntructva caracterul aleator i de aceea secvena de numere obinut se va numi

pseudoaleatoare. Uneori se pot utiliza iruri de numere care au doar anumite proprieti statistice utile

experimentrii fr a fi aleatoare sau pseudoaleatoare, n acest caz ele se numesc cvasialeatoare.

Generarea repartiiilor, bazate n primul rnd pe generarea secvenei de numere aleatoare sau

pseudoaleatoare, este una din operaiile cele mai importante n construirea simulatoarelor. Secvenele

obinute sunt pseudoaleatoare, deoarece la generarea lor se folosesc algoritmi care asigur corelaia

aproape zero, dar fiind vorba de algoritmi de generare i seriile fiind reproductibile, caracterul pur aleator

este afectat.

Numerele pseudoaleatoare trebuie s satisfac urmtoarele condiii:

1. s fie repartizate uniform ntr-un interval dat. Pentru intervalul standard [0,1] funcia de repartiie

uniform se definete astfel:

2. s fie statistic independente (ceea ce se poate confirma sau infirma cu ajutorul testelor);

3. s fie reproductibile (pentru a testa diverse programe sau a efectua comparaii ntre diferite

variante);

4. repartiia funciei s fie stabil, adic s nu se schimbe n timpul rulrii programului de generare a

irului cu ajutorul calculatorului;

5. irul generat s aib o perioad de repetiie mare i predeterminat;

6. Generarea irului s se poat efectua cu vitez mare i consum redus de memorie intern.

irurile de numere pseudoaleatoare aproximeaz irurile de numere aleatoare. Cu ct primele cinci

condiii sunt mai riguros respectate cu att aproximaia este mai corect.

Metodele cunoscute de generare asigur, n general, o apropiere suficient de mare ntre cele dou

tipuri de numere. De aceea se poate folosi fr a grei prea mult, denumirea de numere aleatoare (chiar

dac de fapt ne referim la numere pseudoaleatoare).

6. Metode de generare a irurilor de numere pseudoaleatoare:

metoda mijlocului ptratului, metoda congruenial aditiv, metoda congruenial

multiplicativ, metoda congruenial mixt (formula de calcul, condiii pentru ca

lungimea irului generat s fie maxim, exemple)

Metoda mijlocului ptratului

S presupunem c folosim o reprezentare n baza b a numerelor ntregi cu care lucrm (de obicei baza

este 2 sau 10) i c toate aceste numere au 2a cifre (a = 1,2...)(cel puin dup completarea adecvat cu cifre

zero n faa numrului).

Fiind dat numrul pseudoaleator ntreg Un, urmtorul numr pseudoaleator Un+1 se definete dup von

Neumann ca fiind format din cifrele prii de mijloc a ptratului lui Un. Ridicnd la ptrat pe Un se obine

un numr cu 4a cifre, lundu-se cele 2a cifre de la mijlocul irului de 4a cifre ale lui se obine numrul

Un+1.

(3.1) unde[u] partea ntreag a lui u.

Metoda cere numai o singur valoare iniial U0 i are la baz o relaie simpla de calcul (3.1). Se

recomand ca 2a = 8 i c la cel puin dou cifre ale numrului s fie diferite de zero i anume prima

cifr obligatoriu 0 i cel puin una pe la mijlocul numrului.

Ea este ns o surs slab de numere pseudoaleatoare deoarece prin acest procedeu de calcul anumite

numere se reproduc. De exemplu, cnd a = 2, b = 10 numrul 3792 se reproduce 37922 = 14379264

Condiiile de repetabilitate sunt stabilite prin studierea ecuaiei diofantice

x2 - bax = r + b3a k

unde innd seama de condiiile de repetabilitate avem:

Printre metodele recurente de generare a numerelor aleatoare, cele care au fost studiate riguros din

punct de vedere teoretic i au condus practic la rezultate bune, sunt metodele congrueniale.. Aceste metode

utilizeaz teoria claselor de resturi i sunt cele mai rspndite.

Datorit faptului c ntr-un calculator un numr real poate fi reprezentat numai cu un anumit numr

de zecimale, vom genera de fapt numere ntregi xn cuprinse ntre 0 i un numr oarecare dat m i apoi cu

ajutorul relaiei:

vom obine numere aleatoare cuprinse ntre zero i unu. De obicei m este dimensiunea cuvntului de

calculator (adic numrul de valori distincte ce pot fi memorate ntr-un cuvnt de calculator) i prin urmare,

xn poate fi considerat drept coninutul ntreg al unui cuvnt de calculator cu punctul bazei poziionat n

dreapta iar un poate fi considerat coninutul aceluiai cuvnt cu punctul bazei poziionat n stnga.

Naylor (1966) clasific metodele congrueniale n: metode congrueniale aditive, multiplicative i

mixte.

Metoda congruenial aditiv

Se dau r numere iniiale: x1, x2, ... , xr i se genereaz numere ntregi pseudoaleatoare prin formula

recursiv:

xi (xi-1 + xi-r) (mod m), i {r+1, r+2, ..}, m N*, unde m este o constant ntreag, numr prim foarte

mare, sau

xr+1 (x1 + x2 + ... + xr) (mod m)

xr+2 (x2 + x3 + ... + xr+1) (mod m)

xr+3 (x3 + x4 + ... + xr+1 + xr+2) ( mod m)

:

:

:

n general aceast metod d rezultate slabe.

Metode congrueniale multiplicative, au la baz sistemul de numere magice : [x0, a, 0, m] unde:

m, - modulul; m > 0

a, - multiplicatorul; 0 a < m

x0, - termenul iniial; 0 x0 < m

Generarea numerelor pseudoaleatoare consecutive se face dup relaia

xi+1 a xi (mod m), i {2,3,..}

Metode congrueniale mixte

Aceasta metod are la baz sistemul de numere [x0, a, c, m] unde x0, a i m sunt mrimile definite

anterior iar c o constant ntreag. Numerele generate folosesc clasele de resturi modulo m dup relaia:

xi+1 = (axi + c) (mod m), i {2, 3, ... , 4}

irul obinut cu ajutorul acestei relaii se numete ir congruenial liniar.

Dac m=10 i x0 = a = c = 7 irul obinut va fi 7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0, ....

Aa cum se observ, sinul generat nu este "aleator" pentru orice alegere a lui m, a, c i x0, existnd

principii teoretice i practice riguroase de alegere corespunztoare a celor patru numere. Exemplul

ilustreaz faptul c, ntotdeauna, irurile congrueniale liniare vor intra ntr-o bucl. Aceast proprietate

este comun tuturor irurilor care sunt de forma xn+1=f(xn). Ciclul care se repet se numete perioad. Un

ir suficient de aleator va avea ntotdeauna o perioad relativ mare.

O generalizare a relaiei de recuren a metodei congrueniale mixte este:

xn+k = (akxn + (ak - 1).c/b)(mod m)

k 0, n 0, b = a-1.

Scopul fiecrui generator de numere aleatoare este de a obine iruri de numere a cror perioad s

aib lungime maxim. Urmtoarea teorem d o caracterizare riguroas a situaiilor n care poate fi

realizat perioada de lungime maxim.

Teorema A

irul congruenial liniar definit de [x0, a, c, m] are perioada de lungime maxim dac i numai dac:

i) c i m sunt dou numere ntregi prime ntre ele;

ii) b = a-1 este un multiplu de p, pentru orice numr prim p care divide pe m;

iii) b este multiplu de 4 dac m este multiplu de 4.

Demonstraia teoremei este dat n lucrarea "Tratat de programare a calculatoarelor" de Donald E.

Knuth, Editura tehnic, Bucureti 1983.

n cazul generatorilor multiplicativi (c = 0) procesul de generare al numerelor aleatoare este mai rapid,

lungimea maxim a perioadei numerelor generate este relativ mic.

Realizarea unei perioade suficient de mari, presupune ndeplinirea anumitor condiii de ctre

multiplicatorul a.

Fie (m) ordinul unui element primitiv, adic maxim posibil modulo m.

Dac a i m sunt dou numere prime ntre ele, atunci cel mai mic numr ntreg pentru care a 1 (modulo

m) este numit, prin convenie ordinul lui a modulo m. Orice astfel de numr a care are ordinul modulo m

maxim posibil este numit element primitiv modulo m.

Din teorema lui Euler rezult c (pe) este un divizor al numrului pe-1(p-1). n acest caz (2) = 1, (4) =

2, (2e) = 2e-2 dac e 3; (pe) = pe-1(p-1), dac p> 2, (p1e1 ... piei) = c.m.m.m.c. ((p1e1), ... , (piei))

Teorema B [R.D. Carmichael].

Lungimea maxim posibil a perioadei pentru cazul n care c = 0, este (m) definit ca mai sus.

Perioada de lungime maxim este realizat dac:

i) x0 i m sunt prime ntre ele;

ii) a este element primitiv modulo m.

Dac m este numr prim, atunci putem obine o perioad de lungime m-1, aceast valoare este doar

cu o unitate mai mic dect lungimea maxim a perioadei i, prin urmare, o astfel de perioad este potrivit

oricrui scop practic.

7. Descrierea general a metodelor Monte-Carlo: tripletul (SR)-(MS)-(C)

In proiectarea, realizarea si conducerea sistemelor complexe cu evolutie dinamica, simularea probabilistica sau de tip Monte- Carlo ( SMC) are un rol ce nu mai poate fi contestat, dovada amploarea cercetarilor stiintifice in acest domeniu. Un sondaj efectuat la 1000 dintre cele mai mari companii din S.U.A. arata ca (SMC) este una dintre tehnicile cantitative cele mai folosite in management. Aceasta larga utilizare poate fi motivata de o lista foarte lunga de situatii in care (SMC) ofera posibilitatea fundamentarii unei decizii, in timp ce alte metode esueaza.

Tripletul (SR)(MS)(C) Utilizarea metodei Monte-Carlo pentru cercetarea stiintifica a unui sistem real (SR) presupune mai intai stabilirea scopului cercetarii sistemului real, construirea unui model de simulare (MS) adecvat scopului stabilit si apoi experimentarea artificiala a modelului real prin implementarea (MS) si rularea lui pe computer (C) , adica efectuarea experimentelor de simulare. In elaborarea (MS) se stabilesc datele de intrare constante si variabilele aleatoare caracteristice ale sistemului real si datele de iesire corespunzatoare scopului definit al cercetarii. Modelul matematic care sta la baza (MS) trebuie sa fie relativ simplu dar trebuie sa tina seama de interdependentele dintre caracteristicile sistemului real. (MS) se misca in timp prin modificarea valorilor posibile ale variabilelor aleatoare date de intrare si produce astfel datele de iesire care sunt apoi prelucrate statistic si permit stabilirea unor decizii pentru proiectarea unui (SR) eficient.

Modelul de simularea (MS) este privit ca un sistem echivalent cu cel aflat sub observatie (SR), a carui comportare poate fi analizata cu efort mai mic din parte cercetatorului decat cea a (SR). Concluziile rezultate in urma analizei (MS) trebuie sa fie valabile atat pentru (SR) cat si pentru orice alt sistem analog.

Prin intermediul (MS) se executa exercitii de simulare in diferite circumstante, prin modificarea valorilor variabilelor de intrare si se obtin concluzii in anumite intervale de incredere. Computerul(C) faciliteaza reproducerea comportamentului (SR) intr-un timp relativ mic (timp condensat).

Prin intermediul (MS) se realizeaza experimentarea alternativelor viitoare ale evolutiei (SR). Prin modificarea modelului matematic sau a schemei de functionare in sensul maririi complexitatii sale, printr-o noua simulare se poate determina reactia (SR) la aceste schimbari. Observand desfasurarea experimentelor de simulare, cercetatorul are imaginea desfasurarii in timp a procesului de evolutie a (SR). Modelul de simulare a unui proces economic complex imita functionare unui sistem economic dinamic in aceeasi masura in care un simulator de zbor imita zborul real al unui avion. Spre deosebire de alte metode analitice de optimizare cunoscute ca cele de cercetari operationale,de exemplu, (SMC) nu presupune determinarea unei solutii optime prin rezolvarea unui sistem de ecuatii ce caracterizeaza (SR), ci reproducerea evolutiei (SR) pe o perioada data si in conditii specificate. Modificare starii curente a sistemului este provocata de realizarea sau nonrealizarea unor evenimente posibile.

8. Etapele principale in studiul (SR) printr-o tehnic Monte-Carlo

Pas 1: Se formuleaza problema;

Se defineste scopul cercetarii;

Se studiaza (SR) si dupa o buna intelegere a acestuia se modifica eventual scopul

cercetarii;

Pas 2: Se aduna date numerice si se realizeaza modelul sau schema de functionare ( exprimarea

matematica si/sau logica a relatiilor dintre variabilele sistemului, relatii ce reflecta structura

procesului real);

Recomandari:

o A se porni de la un model redus care sa fie completat treptat pana la complexitatea

dorita;

o A se specifica ce aspecte ale functionarii sau descrierii (SR) au fost neglijate, ce

aproximatii au fost facute si cu ce eroare; Observatie: Se recomanda ca la acst pas

echipa de cercetare sa tina permanent legatura cu beneficiarul care este sursa unor

informatii importante.

Pas 3: Se proiecteaza (MS): algoritmul de calcul, eventual schema logica a programului ce

urmeaza a fi implementat. Se verifica daca (MS) este corect: corectitudinea si complexitatea

algoritmului proiectat;

Pas 4: Se valideaza (MS) utilizand una dintre urmatoarele tehnici:

(T1): Se utilizeaza date reale, istorice (cunoscute) in cazul in care se cunosc performantele (SR).

Performantele (MS) sunt comparate cu performantele (SR) si daca rezultatele (MS) constitue o buna

aproximatie a rezultatelor reale, observate si inregistrate ale (SR), atunci se declara (MS) valid.

(T2): Se modifica cel putin un parametru care produce o variatie cunoscuta a unei variabile de iesire.

Daca reactia (MS) la aceasta modificare este corecta, atunci se declara (MS) valid si se trece la pasul

5. In caz contrar, se revine la pasul 2;

Pas 5: Se proiecteaza experimentul de simulare ( se stabilesc valorile variabilelor de intrare si ale

parametrilor (MS) pentru care se va rula programul);

Se realizeaza experimentul de simulare ( se ruleaza programul pentru valorile stabilite ale

variabilelor de intrare si ale parametrilor (MS);

Pas 6 ( Simularea propriu-zisa): Reproducerea evolutiei in timp a (SR) prin intermediul unor

seturi de valori posibile ale unor variabile de intrare ale (MS), rularea programului pentru aceste

seturi de date si inregistrarea valorilor datelor de ieire ale (MS);

Pas 7: Analiza statistica si interpretarea economica a datelor de ieire;

Observaie: Acest pas trebuie s stabileasc, printre altele i dac simularea efectuat raspunde

scopului cercetrii. Dac nu, se revine la pasul 5.

9. Variabilele si parametrii modelului de simulare

(MS) utilizeaza urmatoarele tipuri de variabile:

o Varibile de intrare, variabile exogene care pot fi controlabile sau nu;

De exemplu, intr-un model de gestiune a stocurilor cererea pentru un anumit produs poate fi

constanta r=300t/saptaman sau aleatoare, de exemplu o variabila aleatoare de tip discret cu

repartiia r: (150 200 3200,3 0,5 0,2

). n primul caz variabila de intrare este controlabil (determinist)

iar n cel de al doilea caz, varabila de intrare este necontolabil.

Observaie: Varialilele de intrare deterministe pot fi citite de pe calculator sau de pe un mediu

extern sau daca este nevoie determinate cu ajutorul unor formule matematice. Modelele cu

toate variabilele de intrare deterministe se pot rezolva analitic.

Daca cel puin o variabil de intrare este aleatoare, atunci simularea probabilistic (de tip Monte-

Carlo) este metoda adecvata de abordare. Valorile posibile ale variabilelor aleatoare se vor

genera prin anumite procedee specifice care depind de legea de probabilitate a variabilei.

o Parametrii (MS) sunt variabile de intrare crora li se dau valori constante pentru un exerciiu de

simulare.

Observaie: Complexitatea proceselor economice poate fi descris cu ajutorul unui numar foarte

mare de parametrii. ntr-un (MS) sunt reinui o parte dintre acetia n funcie de anumite criterii

de apreciere i de apartenea la una dintre clasele:

Parametrii clasa I care au u mare importan fa de scopul simulrii i sunt reinui n (MS)

Parametrii clasa a II-a care au importan medie fa de scopul simulrii i a cror selecie

pentru a fi reinui n (MS) se face introducnd criterii de apreciere. Pentru fiecare astfel de

parametru se rein numai valoarea maxim, cea mai probabil i valoarea minim

Parametrii clasa a III-a care au importan relativ mic fa de scopul simulrii i a cror

selecie pentru afi reinui n (MS) se face introducnd criterii de apreciere dar pentru care se

rein valoarea medie i abaterea medie ptratic;

Observaie: Selecia parametrilor de clasa a II-a i a III-a se face cu scopul de a reduce timpul de

simulare i costul, far a denatura problema.

o Variabilele de stare, n general sunt incluse n ecuaiile modelului i descriu starea sistemului.

o Variabilele de ieire furnizez rezultaul de interes al cercetrii. Ele depind de variabilele i

parametrii de intrare. Dependena dintre ele este dat de structura logic a (SR), de relaiile

funcionale cu ajutorul crora se specificce operaii trebuie efectuate asupra variabilelor de

intrare pentru a le obine pe cele de ieire.

Observaie: Dac o variabil de intrare are comportare probabilistic, atunci cel puin o variabil

de ieire are comportare probabilistic. Pentru a caracteriza variabilele de ieire cu comportare

probabilistic este nevoie de un studiu statistic riguros al valorilor sale obinute n urma

executrii exerciiului de simulare.

10. Mersul la ntmplare n plan: formularea problemei, comparaie ntre

experimentarea real i cea artificial, pasii experimentului artificial (Monte-Carlo)

-caz particular utilizand un exercitiu statistic Enunt: Se da o portiune din harta unui oras

E | | | | --------------------------------------- N Px -----> S --------------------------------------- | | | |

V In punctul P se afla un turist, iar acesta doreste sa ajunga pe strada principala. Acesta poate doar sa mearga inainte sau sa faca stanga atunci cand intalneste o intersectie. t1 - timpul necesar ajungerii la prima intersecti

se cere timpul mediu necesar sosirii pe strada principala Decizie: inainte N -> S la stanga V -> E Modalitati de rezolvare:

Experimentare reala

Experimentare artificiala

E. reala E. artificiala

Pas 1: Pregatirea experimentului Conditii:

Nu cunoaste orasul

Actioneaza conform strategiei

Nu are informatii Obs. : Este nevoie si de fonduri pentru experiment Pas 2: executarea experimentului

Operatia 1: individul 1 este plasat in punctul p si se face experimentarea reala

Operatia 2->n: Se repeta prima operatie cu alti indivizi

Rezultatele experimentului sunt reprezentate de media timpilor obtinuti de fiecare individ si abaterea standard

Pas 1 : Pregatirea simularii P punct de decizie x-------------------------------->x P(A)=P(B)=1/2 Experiment statistic : aruncarea unei monezi P(cap)=P(stema)=1/2 Pas 2:

Operatia 1 :simulez decizia unui individ executand experimentul statistic

Operatia 2->n : se repeta prima operatie pentru n indivizi

Rezultatele experimentului sunt reprezentate de media timpilor obtinuti prin simulare de fiecare individ si abaterea standard

11. Calculul aproximativ prin simulare Monte-Carlo al unei integrale Riemann: algoritm

general, exemplu numeric.

Presupunnd c este continua si integrabil Riemann. S se

calculeze:

(6.1)

S admitem pentru simplitate c integrala (6.1) corespunde suprafeei haurate din dreptunghiul

ABCD unde:

aa cum se vede din figura urmtoare:

Pasul 1. Se consider dou variabile independente, X,Y uniform repartizate pe [0,1]. Se vor genera iruri

de valori posibile ale acestora i se vor reine primii n termeni:

Pasul 2. Se noteaz mulimea punctelor ale

dreptunghiului ABCD.

Se fac schimbrile de variabil:

pentru a genera puncte .

Pasul 3.

Operaia k.

Dac: Atunci codific punctul cu 1, n caz contrar codific punctul cu 0,

Daca n (elementele uniform genrate) e suficient de mare atunci e adevarata relatia:

(1)

unde n(1) numar de codificare cu 1.

Aria S= ()

()

max f(x)

Exemplu:

S se estimeze valoarea integralei definite:

Dei superioritatea metodei Monte Carlo n raport cu metodele clasice de integrare, apare n cazul

integralelor multiple, se va exemplifica metoda n cazul integralei date a crei valoare este

.

Calculele implicate de parcurgerea primilor trei pai pentru n=30 sunt sistematizate n urmtorul

tabel:

Rezult n(1)=13 deci:

obinut cu o eroare e1=0,9852, destul de mare deoarece valoarea lui n este mic.

12. Metoda transformatei inverse pentru generarea unui ir de numere

pseudoaleatoare avnd o repartiie teoretic dat- cazul variabilei aleatoare

continue

n simularea proceselor economice este necesar, de multe ori, generarea cu calculatorul a unor mulimi

de numere aleatore avnd o repartiie de probabilitate dat. Procesul de generare a variabilelor aleatoare

ocup o pondere relativ mare n timpul total de rulare (a calculatorului).

Generarea artificial a secvenei de numere aleatoare, totdeauna dup reguli precise, n calculatoarele

electronice, afecteaz ntructva caracterul aleator i de aceea secvena de numere obinut se va numi

pseudoaleatoare. Uneori se pot utiliza iruri de numere care au doar anumite proprieti statistice utile

experimentrii fr a fi aleatoare sau pseudoaleatoare, n acest caz ele se numesc cvasialeatoare.

Generarea repartiiilor, bazate n primul rnd pe generarea secvenei de numere aleatoare sau

pseudoaleatoare, este una din operaiile cele mai importante n construirea simulatoarelor. Secvenele

obinute sunt pseudoaleatoare, deoarece la generarea lor se folosesc algoritmi care asigur corelaia

aproape zero, dar fiind vorba de algoritmi de generare i seriile fiind reproductibile, caracterul pur aleator

este afectat.

Numerele pseudoaleatoare trebuie s satisfac urmtoarele condiii:

2. s fie repartizate uniform ntr-un interval dat. Pentru intervalul standard [0,1] funcia de repartiie

uniform se definete astfel:

2. s fie statistic independente (ceea ce se poate confirma sau infirma cu ajutorul testelor);

3. s fie reproductibile (pentru a testa diverse programe sau a efectua comparaii ntre diferite

variante);

4. repartiia funciei s fie stabil, adic s nu se schimbe n timpul rulrii programului de generare a

irului cu ajutorul calculatorului;

5. irul generat s aib o perioad de repetiie mare i predeterminat;

6. Generarea irului s se poat efectua cu vitez mare i consum redus de memorie intern.

irurile de numere pseudoaleatoare aproximeaz irurile de numere aleatoare. Cu ct primele cinci

condiii sunt mai riguros respectate cu att aproximaia este mai corect.

Metodele cunoscute de generare asigur, n general, o apropiere suficient de mare ntre cele dou

tipuri de numere. De aceea se poate folosi fr a grei prea mult, denumirea de numere aleatoare (chiar

dac de fapt ne referim la numere pseudoaleatoare).

Metoda transformatei inverse

In general repartitia exponentiala este repartitita intervalelor de timp dintre aparitiile

successive ale unor evenimente intamplatoare independente rare si prin urmare exista o

dualitate intre repartitita exponentiala in parametru si repartitia Poisson de paramentru .

Bazat pe aceasta observatie se pot genera valori ale unei variabile aleatoare discrete

distribuite Poisson de parametru utilizand metoda transformatei inverse.

Generatorul ptr distributia Poisson este :

Functia care realizeaza generarea de numere aleatoare cu repartitie Poisson are urmataoare forma

(din cursuri)::

Pentru a obtine un sir de numere pseudo-aleatoare repartizare conform cu repartitia var. aleat. X in

general se parcurg urmatoarele 2 faze:

Faza 1 : Se genereaza cel putin un sir U U.D/[0.1]

Faza 2: Se aplica anumite transformari termenilor sirurilor Um de mai sus ptr a obtine valori de

selectie artifciciale ale v.a X.

Metoda transformatei inverse

Cazul1: X v.a continua cu densitatea de probabilitate

Definim v.a (X()->R)

Atunci F(x)=P(X

Relatia 1 privita ca ecuatie in necunoscuta X1 conduce la X1=1(2) (1)

Operatia 2 : y2 apartine [0,1) => x2=1(2)

..

..

Operatia N : yn apartine [0,1) =>1()

Se vor genera N termini in functie de cate valori de selectie ale variabilei X trebuie considerate in

aplicatie.

Metoda se poate aplica ori de cate ori 1 poate fi calculate usor de calculator (eficient in timp si

memorie)

EX : Sa se genereze 4 valori posibile ale v.a X cu =3CLIENTI/min care reprezinta numarul de client

sositi intr-un timp sistem de seriile observate.

Pas 1 : Yn=U.D/[0,1] , N=4, Yn= 0,12 , 0.48, 0,92, 0,42

Pas 2 : Op1 : Y1=0,12

Rezolvam ecuatia : F(x1)=y (1) => F(x1)=0,12

F(x1) = 1-e 1

Op 2 op3 op4

13. Metoda transformatei inverse pentru generarea unui ir de numere

pseudoaleatoare avnd o repartiie teoretic dat- cazul variabilei aleatoare

discrete

X v.a Discreta(1 0

)

In general valorile posibile sunt x0 x1, xn dar pentru a usura intelegerea consideram, fara a

restrange generelaitatea ca valorile posibile sunt 0,1,2 .. N.

Metoda tranformatei inverse lucreaza cu F functia de repartitie a variabilei aleatoare X:

F(n+1)= F(n) + P(n+1) (1)

. n apartine 0

Cum se genereaza un sir de valori posibile alea v.a X. Acest sir este un sir de valori de selectie

artificiale

Faza 1 : Se genereaza Y n u.d/[0,1]

14. Metoda respingerii (The rejection method)

John von Neumann propune, n 1951, o metod prin care se genereaz valori posibile ale variabilei

aleatoare X, dac aceasta, ndeplinete urmtoarele condiii:

- valorile posibile sunt n intervalul [a,b], dac a

15. Metode de generare a numerelor pseudoaleatoare avnd repartiia N(m,):

a)Metoda de generare a valorilor posibile pentru repartiia N(m,) utiliznd Teorema limit

central (TLC) (Lindenberg-Levy)

Fie Xm)nN un sir de variabile aleatoare(v.a.) independente si identic repartizate care admit

momente de ordin 1 si 2 , M(), 2() <

( )nN este un sir de v.a al carui termen general e definit prin:

= =1 ( )

=1

( )=1

Atunci 00 Z N(0,1)

Convergenta avand loc in repartitie, adica (Ie)

lim00

() = lim P(00

< )=1

2

2

2

00 dy ( oricare ar fi xR)

Se considera cazul x=u (uniforma pe [0,1])

OBS: Sir de v.a. independente , identic repartizate:

X1......Xm -> selectia de volum asupra var X

X1......Xn -> independente identic repartizate cu XU[0,1]

XU[a,b] (x uniforma pe [a,b]=> M(x)=a+b/2

2 (x)=()2

12 ; XU[0,1] -> M(x)=1/2; 2(x)=1/12

Teorema limita centrala poate fi folosita pentru generarea valorilor posibile ale unei v.a N(0,1).

O valoare convenabila lui n este evident n=12 , deoarece in acest caz, v.a y=U1+....+Un are

2()=1

M(y)=n/2; 2()=n/12

S-a constatat ca daca volumul selectiei satisface conditia n>10 atunci var Z=(y-n/12)//12 -

> N(0,1)

Obs: Aceasta met de generare a valorilor pentru normaliz de medie 0 si abatere 1 este deci o

metoda aproximativa care preia insa avanajul de a fi rapida.Exista si alte metode exacte de

generare a unor val de selectie artificiala pt normala de 0 si 1 bazate pe aceeasi teorema limita

centrala precum: metoda polara, metoda lui Batcher, metoda lui Teichroew

CONSECINTA TLC

Din TLC rezulta ca prin insumarea unui nr relativ mare de numere pseudoaleatoare u.d./

[0,1] se obt nr repartizate normal

Daca se tine seama de faptul ca in cazul var. aleatoare uniform distribuite pe [0,1]

dispersia e 1/12=> facilitati de calcul daca se considera 12 nr pseudoaleatoare u.d./[0,1]

Pt a genera val posibile pt N(m,) se utiliz. urmatorul algoritm :

PAS 1 : Se generaza 12 nr pseudoaleatoare u.d/[0,1]

PAS 2 : Se calculeaza nr U=(U1+U2+.....Un-6)/1

PAS 3 : se genereaza nr Xk, utilizand relatia : Xk=m+ xU

Pas 4: Se repeta pasii 1,2,3, pana cand se genereaza nr total de val. posibile pt N(m,) necesar in

experimentul de simulare

b) Metoda compunerii-renunrii pentru generarea a valorilor posibile pentru repartiia N(m,)

y o v.a f:R->R, f(y)={2

0 , 0

2

2 , y >=0

Sa se genereze o selectie artificiala y1,......,yn (valori posibile ale v.a. y)

Obs: y=|x|, unde x N(0,1);

f(y)=|f(x)|; unde f densit. de repartitie a v.a X

Deci val y1....yn pe care dorim sa generam pot fi privite ca : Yi=|xi| , x1,.....,xi,.....xn sunt valori

posibile pt x mediu N(0,1)

Obs2: Functia f:R->R, densitatea de repartitie a v.a. y poate fi descendent dupa formula f(y)= =1

(alfa)k =0; fk-densitate de prob. Definite pe [a,b] qk:[a,b]->[0,1]

fk-> au prop ca inversa functiilorr de repartitie 1 se calc fara eroare sau cu erori mici(metoda transformatei inverse)

PAS 1: n,k,qk(y)

PAS 2: Pt n=1 aceasta identif: k=1; y=0 1 f1(y) g1(y)

Pt y>= 0 f(y)=2

2

2 =2

22+1+21

2 =2

(1)2

2 1

2 =2

(1)2

2

PAS 3: U,V v.a indep uniform distribuite pe [0,1] si T v.a u.d/[0,1]. Fie u1,...... Un u.d/[0,1] si

v1,....,vn u.d/[0,1] Fie t1.....tn u.d/[0,1]. Sirul tn va fi folosit

Daca t1,......,tn u.d/[0,1] at (ti-1/2) este un semn aleator, oricare ai fi i=1,.......n

PAS 4: consideram u1,v1,t1

f1(y)==> F1(y)=1-, y>= 0

Se aplica metoda transformarii inverse u1=F1(y1)=>u1=1-1=>1=1-u1=> -y1=ln(1-u1)=> y1=-ln(1-u1)

Calc : g1(y1) acceptam g1(y1) si (*)x1v1 => se respinge g1(y1) si se trece la tripletul urmator(u2,v2,t2) si se revine la pasul 4.

Obs: Formula * reprezinta formula de calcul pentru x1 a v.a X

c) Metoda de generare a valorilor posibile pentru repartiia N(,) atunci cand nu se

cunosc i

Se utilizeaza cand Mx si x sunt necunoscuti,metoda apartine unei clase de metode pentru care f,F

sunt approximate prin polinoame pe [a,b] sau pe subintervale.

Pp X apartine N (mx, x _)

Estimam mx, x

Astfel : rezolvam sistemul

Mx-K x =a

Mx-K x=b

Pentru K fixat => Mx=a+b/2 (1)

x x=b-a/2k (2)

Pas 1 :

Fie y u.d/[0,1] si y1, y2, yn u.d/[0,1] o selectie artificiala a v.a y

(3) z= x mx / x (z) apartine N(0,1) functia lui Laplace

Tabele (z) sau la puterea -1

Observam L Din formula de definire exista Z1 astfel incat

Y1= (z1)

Aplicam metoda transformatei inverse si la puterea -1 (y1)=z1 Apoi calculam cu (3)

X1= x Z1+mx (4)

Obs, LA pert se consider 3=k

Pas k : Se reia algoritmu de la pasu 1 si se genereaza Xk

Pas n: Se genereaza Xn cu formulele de la pasul 1 evident inlocuim y1 cu yn

16. Algoritm de generare a numerelor pseudoaleatoare avnd repartiia Poisson, Po().

Variabila ateatoare discreta are o repartitie Poisson

de parametru daca functia sa de frecventa are forma urmatoare:

Se poate constata cu ugurinta ca media si dispersia variabilei Poisson sunt:

, si respectiv .

Repartifia Poisson este considerata repartitia evenimentelor rare si apare frecvent in modelarea unor probleme practice, cum ar fi: procesele de servire in masa, firele de asteptare, studiul uzurii echipamentelor etc. Mai precis, X reprezinta numarul de evenimente rare care apar pe unitatea de timp (de exemplu, numarul de sosiri intr-un sistem de asteptare). Se poate arata ca intervalul de timp dintre apartliile consecutive a doua astfel de evenimente este o variabila exponenliala negativa de parametru . Deci pentru a genera X trebuie sa, generam intervale de timp de sosire astfel incat suma lor sa acopere intervalul de timp egal cu unitatea; numarul k al acestor variabile va fi o valoare de selectie a variabilei Poisson. In concluzie k satisface conditia:

sau,

unde ui(0,1) sunt uniform distribuite.

In concluzie, generarea variabilei aleatoare Poisson discrete X, de parametru se

poate face cu urmatorul algoritm.

Algoritm

Pasul l.Se inilializeaza generatorul G de numere aleatoare in (0,1). Se introduce parametrul

si se calculeazd . Se initializeaza k=0; P=1;

Pasul 2. Se genereaza si se ia

Pasul 3: Daca PL se ia k= k+1 si se trece la pasul 2, in caz contrar se trece la pasul 4; Pasul 4: Valoarea variabilei Poisson generatA este X=k. Se repeta pasii 2 si 3 pana se genereaza lungimea dorita a sirului de valori distribuite Poisson.

Algoritmul este eficient cand , este mic, iar cand este mare si deci este mic, algoritmul converge foarte lent (cu probabilitatea L).

17. Algoritm de generare a numerelor pseudoaleatoare avnd repartiia exponenial

negativ exp()

18. Metoda PERT:ipoteze, algoritm de calcul,drum de criticabilitate maxim

Durate deterministe (P) graf(CPM(A x A)) retea(MPM(A x N)) => Drum critic , valoarea drumului critic= durata minima de executie a proiectului (P).OBS: Drumul critic nu este neaaparat unic. Soft-uri utile in met PERT:M.P.M , QM, Wingslo Ipoteze PERT: Conditii indeplinite de v.a. 1.d -> f() (f unic) , f-densit de probl

2.,3.,4. => I {! a> durata optimista

! m> durata cea mai probabila ! b> durata pesimista

5. d A, .. ,.. d M sunt v.a. independente 2 cate 2 6. Nr activitatiilor critice trebuie sa fie foarte mare 7. Nici o activitate critica nu trebuie sa aiba durata mai mare de 15% din drumul critic 8. Drum complet: cel mult 90% din valoarea drumului critic Metoda PERT Stabilirea drumului de criticabilitate maxim

(P-proiect)->(I-activ)-> f() ( e v.a. cu densitatea de probabilitate f)

Generez valori posibile ale{: (1)()( < > ()

Aplic PERT =>{

()

Pentru orice activitate din (P) => de cate ori I apare pe drumul critic=probabilitatea ca activitatea I sa fie critica OBS: Daca I este activitate critica in toate cele n drumuri (P(I)=1) atunci I se numeste ABSOLUT CRITICA -Se ordoneaza activitatiile proiectului (P) descrescator dupa probabilitatea ca ele sa fie critice (indice de criticabilitate) -Se construieste drumul de criticabilitate max -Se allege o activitate incident exterioara , care are indicele de criticabilitate maxim.