ncovoierea barelor drepte. Deformaii

Capitolul 3

NCOVOIEREA BARELOR DREPTE

- IV -

3 .4. Deformaiile barelor drepte solicitate la ncovoiere 3.4.1. Generaliti Dac se accept ipoteza seciunilor plane, studiul se reduce la determinarea formei pe care o ia axa barei cnd se curbeaz sub ncrcare. Axa deformat este numit fibr medie deformat.

Bara este raportat la un sistem de axe central i principal (Fig. 3.24), fa de care, o seciune poate avea dou deplasri liniare sau sgei (v i w) i dou deplasri

unghiulare sau rotiri (y i z ).

Fig.3.24 Fig. 3.25

n cazul unei bare care se deformeaz n planul vertical (Fig. 3.25), fibra medie

deformat este definit de o funcie a sgeilor )(xww .

Unei sgei w pozitive (n sensul axei z) i corespunde o rotire y negativ, iar

legtura aproximativ dintre cei doi parametri de deformaie se deduce din schema prezentat n figura 3.25:

dx

dwtg yy . (3.65)

n planul orizontal xy, o sgeat pozitiv este asociat cu o rotire z de asemenea

pozitiv. Ca urmare, relaia similar cu (3.65) este de forma

dx

dvtg zz . (3.66)

3.4.2. Metoda integrrii ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate

Forma deformat asociat ncovoierii cu momente yM pozitive (Fig.3.25) arat c

funcia )(xw este convex, deci curbura (inversa razei de curbur ) trebuie s fie negativ.

n plus, rotirile sunt foarte mici, deci ptratul pantei )( ytg 2 este neglijabil fa de 1. Ca

urmare, din expresia curburii cunoscut din geometria diferenial se obine

ncovoierea barelor drepte. Deformaii

w

w

tg

w

w

w

yy

23

223

223

2111

1

. (3.67)

n paragraful 3.3, la deducerea relaiei lui Navier (vezi relaia (3.53)), s-a artat c:

y

y

IE

M

1 .

innd seam de (3.67), rezult ecuaia diferenial a fibrei medii deformate:

)(

)()(2

2

xIE

xM

xd

xwd

y

y

(3.68)

Conform (3.68), pe un interval de bar, dup ce s-a stabilit expresia momentului

ncovoietor, la o prim integrare a ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate se deduce expresia rotirii, iar la a doua integrare se obine funcia sgeii:

1CdxEI

M

dx

dw

y

yy

, (3.69)

21 CxCdxdxEI

Mw

y

y

. (3.70)

Constantele de integrare se determin din condiii la limit (valori nule ale deplasrilor

n reazeme simple i articulaii, respectiv valori nule ale deplasrilor i rotirilor n ncastrri) i din condiii de continuitate (exprimate n sgei i n rotiri) impuse n seciunile de trecere de la un interval la altul. Se poate constata c metoda integrrii ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate este laborioas n cazul barelor cu ncrcri complexe (cu multe intervale de integrare). 3.4.3. Metoda Mohr-Maxwell

Sistemul de referin este central i principal iar bara este masiv, astfel c efectul forelor tietoare asupra deplasrilor se poate neglija.

Deplasarea generalizat K a unei seciuni oarecare K a unei bare solicitate la

ncovoiere se poate calcula cu metoda Mohr-Maxwell (prin generalizarea principiului metodei descris n Cap.2- Solicitarea axial a barelor drepte):

dxEI

xmxMn

i l iy

iiK

i

1

. (3.71)

Se consider c bara studiat const din n tronsoane cu lungimea il , pe care

rigiditatea la ncovoiere iy

EI este constant. Pentru simplificarea scrierii, nu s-a mai scris

indicele y la simbolurile momentelor ncovoietoare. Cu yMM s-a notat momentul din

sistemul primar (sarcinile date) iar cu ymm , momentul ncovoietor din sistemul secundar (

o sarcin unitate aplicat n seciunea a crei deplasare/rotire se determin, pe direcia acesteia).

ncovoierea barelor drepte. Deformaii

Pentru nelegerea principiului metodei, se consider bara din figura 3.26,a. Se vor determina

sgeata n seciunea a ( aw ) i rotirea seciunii b ( b ).

n figurile 3.26,b i 3.26,c se prezint schemele de calcul corespunztoare. Se poate constata c n ambele cazuri, sistemul primar i diagrama de momente

ncovoietoare M sunt identice. Sistemul secundar este ns diferit. Pentru a determina sgeata, s-a aplicat o for

unitate n seciunea a , crei sgeat se calculeaz (Fig. 3.26,b). Pentru a determina rotirea,

un moment egal cu unitatea a fost aplicat n seciunea b a crei rotire se cere (Fig.3.26,c).

(a)

(b)

(c)

Fig.3.26

ncovoierea barelor drepte. Deformaii

6.4.3. Calculul numeric al integralelor de forma dxmM

il

ii

Se admite c pe intervalul i de lungime sidii xxl ,, (Fg.3.27) bara are seciune

constant i momentele Mi i mi nu i schimb legile de variaie.

Fig.3.27 Conform formulei lui Vereciaghin, integrala se poate evalua ca produs ntre aria

diagramei Mi pe intervalul analizat i valoarea momentului mi n seciunea n care este plasat centrul de greutate al ariei respective (fig. 3.27), adic

GM

l

iii mAdxmMI

i

. (3.72)

Dac bara este ncrcat numai cu fore i cupluri concentrate i cu sarcini distribuite

uniform, se poate aplica formula de integrare a lui Simpson, n varianta

ddccssi

l

iii mMmMmMl

dxmMI

i

46, (3.73)

sau

ddssds

ids

i

l

iii mMmMmmpl

MMl

dxmMI

i

46

2

. (3.74)