CAPITOLUL III

UTILIZAREA TEORIEI ORDONANȚĂRII ÎN CADRUL UNUI ANSAMBLU DE ACTIVITĂȚI ( PROCESE, OPERAȚII) ÎN CONDIȚIILE UNOR RESURSE

UMANE ȘI MATERIALE DATE

3.1 METODA C.P.M. (CRITICAL PATH METHOD)

3.1.1 Parametrii unui proiect C.P.M.

1) Termenul cel mai devreme de realizare a evenimentului j (tj)tj= (1)

(i,j) ГГ- reprezintă mulţimea activităţilor în sensul următor: dacă (i,j) este activitatea cu evenimentul iniţial i

şi evenimentul final j, atunci (xi,xj) Г cu valoarea dij.

2) Termenul cel mai târziu de realizare a evenimentului i (ti*)

ti*= (2)

Cele două relaţii (1) şi (2) permit calculul evenimentelor prin aplicarea unui algoritm care are două părţi:

termenele cel mai devreme se obţin parcurgând reţeaua în sens direct; (Parcursul direct);

Termenele cel mai târziu se obţin parcurgând reţeaua în sens invers (Parcursul invers).

Parcursul direct generează un program minorat al proiectului, iar parcursul invers un program majorat. Se obţin astfel două programe limită, unul inferior şi altul superior, însă ambele permit respectarea duratei minime a întregului proiect.

3) Rezerva de timp a evenimentului i

R(i) = ti* - ti (3)

Intervalul [ti, ti*] se numeşte intervalul de fluctuaţie al evenimentului i, reprezentând intervalul în care se va putea plasa evenimentul i fără a modifica timpul total de realizare a proiectului.

Evenimentele i cu R(i) > 0 pot avea loc în orice moment al intervalului lor de fluctuaţie, în timp ce evenimentele cu rezerva de timp nulă (evenimente critice) trebuie să aibă loc la data fixată t i* = ti, deoarece orice întârziere a lor se transformă în prelungirea întregului program.

Teoremă. O condiţie necesară şi suficientă pentru ca un eveniment să se situeze pe un drum critic este ca rezerva sa de timp să fie nulă.

4) Termenul cel mai devreme al începerii activităţii (i,j) este termenul cel mai devreme de realizare a evenimentului i:

λ (i,j) = ti (4)5) Termenul de terminare cel mai devreme a activităţii (i,j) va fi egal cu suma dintre termenul cel

mai devreme de începere şi durata activităţii: θ(i,j) = ti + dij (5)

6) Termenul cel mai târziu de terminare a activităţii (i,j) reprezintă termenul cel mai târziu al evenimentului j:

θ*(i,j) = tj* (6)

7) Termenul cel mai târziu de începere a activităţii (i,j) se obţine scăzând din termenul cel mai târziu de terminare durata activităţii:

λ *(i,j) = t*j - dij (7)

8) Rezerva totală de timp (marja totală) a activităţii (i,j) se defineşte prin:

Rt(i,j) = tj*- ti - dij (8)

Rezerva totală a activităţii (i,j) este timpul maxim cu care se poate mări durata activităţii fără să se afecteze durata totală a proiectului.Notă. În practică, rezerva totală a unei activităţi se poate utiliza în mai multe feluri, astfel:

- se dilată durata activităţii astfel ca să se consume, total sau parţial, rezerva sa. În acest caz rezultă o economie în consumul zilnic de muncă vie şi de alte resurse pentru această activitate, care se poate utiliza la alte activităţi ce au loc în aceeaşi perioadă, obţinându-se astfel o reducere a costului întregului program;

- se păstrează nemodificată durata activităţii, dar se amână începerea ei cât permite rezerva sa sau o parte a acesteia. În acest fel se pot aplatiza eventualele vârfuri ale necesarului de forţă de muncă şi utilaje solicitate de mai multe activităţi;

- se fracţionează activitatea, intercalându-se pauze care însumate să nu depăşească rezerva, urmărindu-se aceleaşi obiective ca la punctul 2.

9) Rezerva de timp liberă a activităţii (i,j) se defineşte prin:

Rl(i,j) = tj - ti - dij (9)

Rezerva de timp liberă este parte a rezervei totale de timp cu care se poate dilata durata de realizare a activităţii (i,j) fără să afecteze termenul cel mai devreme de realizare a evenimentului j, adică fără a consuma din rezervele de timp ale activităţilor care o succed.

10) Rezerva de timp sigură a activităţii (i,j) se defineşte prin:

Rs(i,j) = tj - ti*- dij (10)

Rezerva sigură de timp a activităţii (i,j) există dacă Rs(i,j) ≥ 0; dacă există, ea reprezintă intervalul de timp cu care se poate dilata sau se poate deplasa la dreapta (amâna) durata activităţii fără să afecteze fluctuaţia evenimentului de la extremitatea activităţii. Ea arată, totodată, intervalul în care poate fi plasată o activitate fără a consuma nici din rezervele de timp ale activităţilor ce o preced, nici din cele ale celor ce o succed.

Diferenţa dintre rezerva totală şi rezerva liberă reprezintă:

Rt(i,j) - Rl(i,j) = tj* – ti – dij – tj + ti + dij = tj* – tj, (11)adică diferenţa dintre Rt şi Rl este egală cu fluctuaţia evenimentului cu care se încheie activitatea.

Diferenţa dintre rezerva liberă şi rezerva sigură va fi:

Rl(i,j) - Rs(i,j) = tj – ti – dij – tj + ti* + dij = ti*– ti, (12)

adică diferenţa dintre Rl şi Rs este egală cu fluctuaţia evenimentului cu care începe activitatea.

Relaţia dintre Rt, Rl şi Rs este următoarea:

Rt(i,j)≥ Rl(i,j) ≥ Rs(i,j) (13)

Drumul critic reprezintă succesiunea activităţilor dintre nodul de început şi nodul final al grafului reţelei, care au rezerva Rt egală cu zero. El este cel mai lung drum din graf şi reprezintă durata minimă de realizare a proiectului.

Cea mai importantă particularitate se obţine de-a lungul drumului critic; din faptul că pentru orice activitate (i,j) a acestui drum avem ti = ti*, tj = tj* şi tj – ti = dij rezultă Rt(i,j)= Rl(i,j) = Rs(i,j) = 0

3.1.2 Deosebirile esenţiale dintre intervalul de fluctuaţie al unui eveniment i şi rezervele de timp pentru o activitate (i,j)

1) Intervalul de fluctuaţie pentru un eveniment „i” reprezintă întârzierea care poate fi tolerată în ceea ce priveşte realizarea lui „i”, fără a perturba datele fixate ale evenimentelor critice şi a evenimentului final corespunzător realizării proiectului.

2) Rezerva totală pentru activitatea (i,j) reprezintă întârzierea maximă care poate fi adăugată acestei activităţi fără a perturba data de realizare cea mai devreme a evenimentului j.

3) Rezerva liberă pentru activitatea (i,j) reprezintă întârzierea care poate fi adaugată începerii acestei activităţi fără a afecta data de realizare cea mai devreme a evenimentului j.

4) Rezerva sigură pentru activitatea (i,j), dacă există, nu poate afecta fluctuaţia evenimentelor de la extremităţile activităţii deoarece operaţiile care intervin pentru calculul acestei rezerve au loc în intervalul [ti , ti*]

Dacă Rs(i,j) < 0, atunci se spune că activitatea (i,j) nu are rezervă sigură, iar aceasta se întâmplă (relaţia 12) când rezerva liberă este mai mică decât fluctuaţia evenimentului i.

Intervalele de fluctuaţie şi rezervele libere măsoară elasticitatea unui program; cu cât acestea sunt mai mici, cu atât programul este mai rigid.

3.1.3 Implicaţiile care le au dilatarea sau amânarea unei activităţi (i,j) asupra rigidizării programului

Presupunem Rt, Rl şi Rs iniţiale.Cazul 1. Dilatăm durata activităţii (i,j) cu rezerva sigură a acesteia

dij’= dij + Rs(i,j)

R’t(i,j) = tj

* – ti – d’ij = tj

* – ti – (dij + Rs(i,j))Dar, Rs(i,j) = tj – ti*– dij

R’t(i,j) = tj

* – ti – dij – tj + ti*+ dij

R’t(i,j) = tj*– ti - tj+ ti

* = (ti*– ti)+( tj*– tj)= Rl(i,j) – Rs(i,j) + Rt(i,j) – Rl(i,j) = Rt(i,j) – Rs(i,j)

R’l(i,j) = tj - ti - d’

ij = tj – ti – (dij + Rs(i,j))R’

l(i,j) = tj - ti – dij – tj + ti* + dij = ti*- ti = Rl(i,j) – Rs(i,j)Aşadar,

R’s(i,j) = tj – ti

* – dij - tj + ti* + dij = 0

iti

ti*

dij’

jtj

tj*

Rezultă că dilatarea activităţii cu o durată egală cu rezerva sa sigură lasă neschimbate fluctuaţiile la dreapta şi la stânga, dar reduce cu rezerva sigură valorile Rt şi Rl ale acestei activităţi.

Cazul 2. Dilatăm durata activităţii (i,j) cu rezerva liberă a acesteia dij’= dij + Rl(i,j)

R’t(i,j) = tj

* – ti – d’ij = tj

* – ti – (dij + Rl(i,j))Dar, Rl(i,j) = tj – ti– dij

R’t(i,j) = tj

* – ti – dij – tj + ti+ dij = tj*– tj = Rt(i,j) – Rl(i,j)

R’l(i,j) = tj - ti - d’

ij = tj – ti – (dij + Rl(i,j))R’

l(i,j) = tj - ti – dij – tj + ti + dij = 0

Dilatarea unei activităţi cu o durată egală cu rezerva sa liberă reduce cu rezerva liberă valoarea lui R t iar R’

l(i,j) = 0Aşadar:

R’s(i,j) = tj – ti

* – dij - tj + ti + dij= ti - ti* = Rs-Rl

Cazul 3. Dilatăm durata activităţii (i,j) cu rezerva totală a acesteia dij

’= dij + Rt(i,j)

În acest caz dilatăm la maximum durata activităţii

R’

l(i,j) = tj - ti - d’ij = tj – ti – (dij + Rt(i,j))

Dar Rt(i,j) = tj* – ti– dij

R’l(i,j) = tj – ti – dij – tj

* + ti+ dij = tj – tj

* = Rl(i,j) – Rt(i,j)

R’s(i,j) = tj - ti

* - d’

ij = tj – ti*

– (dij + Rt(i,j))R’

s(i,j) = tj - ti* – dij – tj

* + ti + dij = tj – tj

*+ ti – tj* = Rl – Rt + Rs– Rl = Rs – Rt

R’t(i,j) = tj

* - ti - d’

ij = tj* – ti – (dij + Rt(i,j))

R’t(i,j) = tj

* - ti – dij – tj

* + ti + dij = 0

Aşadar:

Cum R’t(i,j) = 0 şi Rt(i,j)> Rl(i,j) > Rs(i,j) rezultă că şi R’

s(i,j) şi R’l(i,j) = 0

Deci, când dilatăm o activitate cu rezerva sa totală prin ea trece cel puţin un nou drum critic.

3.2 METODA M.P.M. ( Metra Potential Method )

1ti

ti*

dij’

2tj

tj*

1ti

ti*

dij’

2tj

tj*

3.2.1 Generalităţi

Este denumită, pe scurt, metoda potenţialelor.La fel ca şi metoda C.P.M., singurul parametru analizat este timpul, iar durata fiecărei activităţi

reprezintă o constantă.În principiu, nu există nicio deosebire principală între etapele, subetapele şi fazele de aplicare ale

metodei C.P.M. şi celei ale metodei potenţialelor. Singura deosebire între C.P.M. şi M.P.M. constă în faptul că prima utilizează o reţea cu activităţile pe arce, iar a doua o reţea cu activităţile pe noduri (utilizează procesul AON – Activities On Nodes)

Reţelele C.P.M. se întemeiază pe corespondenţa biunivocă între elementele proiectului (activităţi şi evenimente) şi cele ale modelului (arce şi noduri). Metoda M.P.M. se bazează pe corespondenţa biunivocă între activităţile proiectului şi nodurile reţelei.

Pornindu-se de la premisa unui unic element primordial al proiectului, şi anume activitatea, se evită conceptul de eveniment, care nu este necesar pentru construirea modelului. Se obţine astfel o relaţie clară model-obiect, bazată pe un bogat suport intuitiv şi capabilă de a reflectă cu uşurinţă unele particularităţi de o mare însemnătate practică, în special proprietăţi de succesiune temporală.

Modelarea unei probleme utilizând metoda M.P.M. impune următoarele reguli de construcţie a grafului reţea, astfel:

1. fiecărei activităţi a proiectului i se asociază un nod al grafului;2. un nod se reprezintă printr-un dreptunghi;3. ficărui nod i se asociază o valoare, dată de durata activităţii pe care o reprezintă;4. condiţionarea dintre două activităţi se reprezintă printr-un arc orientat în sensul succesiunii de la o

activitate la alta; 5. fiecărui arc i se asociază o valoare, reprezentând timpul întârziere al începerii sau terminării unei

activităţi faţă de altă activitate.

Faţă de C.P.M., metoda M.P.M. oferă următoarele avantaje principale:1. elaborarea reţelei este simplificată prin înlăturarea evenimentelor şi a activităţilor fictive;2. modificările se fac cu uşurinţă, introducerea sau anularea unor activităţi neantrenând alterarea

restului reţelei;3. există posibilităţi de a se reprezenta în mod firesc unele categorii de restricţii temporale, cum sunt

continuitatea, suprapunerea sau decalarea activităţilor;4. calculul programului este mai puţin laborios, obţinându-se pe calea cea mai scurtă principalii

parametri (termenele şi rezervele activităţilor)

3.2.2 Reguli de construire a reţelei AoN

O activitate este reprezentată printr-un dreptunghi şi acesta este un nod în diagrama asociată proiectului:

A

O interdependenţă între activităţi este dată în figura de mai jos, unde activitatea B depinde de activitatea A.

Dependenţele între mai multe activităţi se reprezintă astfel:

A B

Activitatea K depinde de activitatea A, iar activitatea L depinde de activităţile A şi B.Reţelele AoN au avantajul că nu necesită introducerea activităţilor fictive. Excepţie face nodul de

start şi nodul final care reprezintă activităţile fictive cu durata zero.Totodată, într-o reţea AoN nu sunt acceptate circuitele şi nodurile suspendate, considerându-le ca

situaţii imposibile.O activitate (nod) este suspendată dacă nu este o activitate finală şi nu implică nici un succesor.

Activitatea K depinde de activitatea A, activitatea L depinde de activităţile A şi B iar activitatea M depinde de activitatea B.

Simbolul pentru un nod ( activitate ) este următorul :

EST – termenul cel mai devreme de începere ( Earliest Start Time )LST – termenul cel mai târziu de începere ( Latest Start Time )EFT – termenul cel mai devreme de terminare ( Earlist Finish Time )LFT – termenul cel mai târziu de terminare ( Latest Finish Time )

Relaţiile utilizate în calculul termenelor sunt următoarele :

EFT = EST + dLFT = LST + d

Rt = LST – EST = LFT – EFT

Durata totală a unui proiect ( TPT = total project time ) reprezintă intervalul cel mai scurt în care proiectul poate fi terminat, aceasta fiind determinată de secvenţele activităţilor ( drumul critic ).

A K

B L

A K

B M

L

ESTdEFTDenumire (cod) activitateLSTRtLFT

Începutul

activităţii

Sfârşitul

activităţii

Pentru a calcula durata totală a unui proiect ( TPT ) se efectuează „mersul înainte” în reţeaua proiectului şi se calculează pentru fiecare activitate termenul de începere cel mai devreme ( EST).

Pentru mai multe activităţi care converg într-un nod, termenul EST al activităţii următoare este cea mai mare sumă dinte termenul EST al activităţii precedente şi timpul de dependenţă ( în mod asemănător metodei C.P.M. ). Pentru că activitatea de final are durata zero, termenul EST pentru această activitate reprezintă intervalul de timp cel mai devreme în care poate fi terminat proiectul. Drumul critic poate fi determinat efectuând „mersul înapoi” în reţeaua priectului, calculând termenul cel mai târziu de începere LST pentru fiecare activitate. Mersul înapoi începe cu finalul reţelei, adică de la activitatea finală. Atribuim activităţii finale un termen LST egal cu termenul EST al acesteia; acest fapt este echivalent cu declaraţia că proiectul va fi terminat cel mai repede posibil ( LST = EST = TPT ).

Pentru activităţi succesive, termenul LST pentru activitatea precedentă se calculează scăzând timpul de dependenţă din termenul LST al activităţii succesoare. Pentru mai multe activităţi care converg într-un nod în mersul înapoi, termenul LST al activităţii precedente va fi cea mai mică diferenţă între termenele LST ale activităţilor concurente şi timpii de dependenţă. Drumul critic este dat de acele activităţi pentru care termenul EST şi termenul LFT este acelaşi.

3.2.3 Diagrame de precedenţă

Sistemul de activitate – nod ( AoN ) evidenţiază ca esenţială relaţia dintre activităţi: startul unei activităţi depinde de starturile activităţilor precedente. Începând cu 1960, sunt utilizate multiple dependenţe incluse în „reţele de precedenţă” sau “diagrame de precedenţă”

Există patru tipuri de dependenţă :

a) FINISH – TO – START ( ”Sfârşit – Început” )

Reprezintă tipul de dependenţă normal, redat astfel :

Activitatea B nu poate începe decât după cel puţin α unităţi de timp după terminarea activităţii A. Dacă activitatea B poate să urmeze imediat după activitatea A atunci α = 0 şi, de obicei, este ignorat.

Considerăm următorul exemplu :

Se dau : dA = 5, dB = 10 , dC = 15 , dQ = 20.

A Bα

A

B

C

Q

10 5 15

62 52 67

12 10 22

60 48 70

14 15 29

51 37 66

43 23 63

80 37 100

13

10

14

Q nu poate începe decât după cel puţin 13 u.t. după terminarea activității A , după 10 u.t. după terminarea activităţii B şi 14 u.t. după terminarea activităţii C.Totodată se cunosc: EST (A) = 10, EST (B) = 12, EST (C) = 14.

EFT(A) = 10+5 = 15EFT(B) = 12+10 = 22EFT(C) = 14+15 = 29EST(Q) = max( 15+13; 22+10; 29+14 ) = max(28; 32; 43) = 43EFT(Q) = 43+20 = 63

Se cunoaşte că LFT(Q) = 100 u.t.LST(Q) = 80LFT(A) = 80-13 = 67LFT(B) = 80-10 = 70LFT(C) = 80-14 = 66LST(A) = LFT(A) – d(A) = 67-5= 62LST(B) = 70-10 = 60LST(C) = 66-15 = 51Rt(Q) = 100-63 = 80-43 = 37Rt(A) = 62-10 = 67-5 = 52Rt(B) = 60-12 = 70-22 = 48 Rt(C) = 51-14 = 66-29 =37

b) START – TO – START ( ”Început – Început” )

O astfel de dependenţă este redată în figura de mai jos:

Activitatea B nu poate începe decât după cel puţin β unităţi de timp de la începerea activităţii A. În situaţia când β > 0, începutul activităţii B este întârziat după începutul activităţii A. Această dependenţă mai este numită şi relaţie ”întârziere – start” (lay – start).Dacă β = 0, acesta este ignorat şi cele două activităţi pot începe simultan.Reluăm exemplul anterior cu dependenţe de tip Start – to – Start:

A Bβ

EST(Q) = max( 10+13; 12+10; 14+14) = max(23; 22; 28) = 28LST(A) = 80-13 = 67LST(B) = 80-10 = 70LST(C )= 80-14 = 66LFT(A) = 67+5 = 72LFT(B) = 70+10 = 80LFT(C) = 66+15 = 81Rt(Q) = 80-28 = 100 – 48 = 52Rt(A) = 67-10 = 72-15 = 57Rt(B) = 70-12 = 80-22 = 58Rt(C) = 66-14 = 81-29 = 52

c) FINISH – TO – FINISH ( “Sfârşit – Sfârşit” )

O astfel de dependenţă este redată ca în figura de mai jos:

Activitatea B nu se poate termina decât după cel puţin γ unităţi de timp după terminarea activităţii A. În situaţia când γ>0 terminarea activităţii B este întârziată după terminarea activităţii A. Această dependenţă mai este şi numită relaţie ”întârziere – finish” (lay – finish).Dacă γ = 0, acesta este ignorat şi cele două activităţi se pot termina simultan.Reluăm exemplul dat cu dependenţe Finish – to – Finish:

A

Q

10 5 15

67 57 72

B12 10 22

70 58 80

C14 15 29

66 52 81

28 20 48

80 52 100

13

10

14

A B

γ

EFT(Q) = max(15+13; 22+10; 29+14) = max(28; 32; 43)= 43EST(Q )= EFT(Q) – d(Q) = 43-20 = 23LFT(A) = 100-13 = 87LFT(B) = 100-10 = 90LFT(C) = 100-14 = 86LST(A) = 87-5 = 82LST(B) = 90-10 = 80LST(C) = 86 -15 = 71Rt(Q) = 80-23 = 100-43 = 57Rt(A) = 82-10 = 87-15 = 72Rt(B) = 80-12 = 90-22 = 68Rt(C) = 71-14 = 86-29 = 57

d) START – TO – FINISH ( “Început – Sfârşit” )

O astfel de dependenţă este redată ca în figura de mai jos:

Din figură rezultă că cel puţin δ unităţi de timp trebuie să se scurgă de la începutul activităţii A până la terminarea activităţii B.

Reluăm exemplul analizat ţinând cont de dependenţele Start- to- Finish.

A

Q

10 5 15

82 72 87

B12 10 22

80 68 90

C14 15 29

71 57 86

23 20 43

80 57 100

13

10

14

A B

δ

EFT(Q) = max( 10+13; 12+10; 14+14) = max(23; 22; 28) = 28EST(Q) = EFT(Q) – d(Q) = 28-20 = 8LST(A) = 100-13 = 87LST(B) = 100-10 = 90LST(C) = 100-14 = 86LFT(A) = 87+5 = 92LFT(B) = 90+10 = 100LFT(C) = 86+15 = 101Rt(A) = 87-10 = 92-15 = 77Rt(B) = 90-12 = 100-22 = 78Rt(C) = 86-14 = 101-29 = 72

3.3 METODA P.E.R.T. (PROGRAMM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE)

3.3.1 Repartiții utile în metoda PERT3.3.1.1 Repartiţia normală

O variabilă aleatoare X este repartizată după o lege normală generalizată, notată ,

dacă are o funcţie densitate de probabilitate de forma

,

Funcţia densitate de probabilitate este reprezentată prin curba densităţii de probabilitate, astfel:

A

Q

10 5 15

87 77 92

B12 10 22

90 78 100

C14 15 29

86 72 101

8 20 28

80 72 100

13

10

14

Funcţia de repartiţie prezintă următoarea formă:

Grafic, funcţia de repartiţie se prezintă astfel:

O repartiţie normală este unic determinată de medie şi de dipersie (varianţă).O mare importanţă o are repartiţia normala standard (Z) de forma:

O variabilă aleatoare Z urmează o lege de repartiţie normală standard, se notează , dacă

funcţia densitate de probabilitate este dată de relaţia:

f(xi)

xi m x

F(xi)

1

2

F(x)

F(xi)

xi x

,

Proprietăţile funcţiei densitate e probabilitate sunt următoarele:

1.

2.

3.

4.

Observaţie. Parametrii repartiţiei normale standard sunt şi .Funcţia de repartiţie a unei repartiţii normale standard va fi:

În practică, se impune calcularea unor probabilităţi pe baza funcţiei de repartiţie ale cărei valori se obţin cu ajutorul tabelelelor Gauss - Laplace. Aceste tabele dau valorile pentru funcţia

, ,

numită funcţia integrală a lui Laplace.Cum pentru această funcţie nu se poate găsi o expresie analitică convenabilă, valorile funcţiei sunt tabelate.

3.3.1.2 Repartiţia Beta

Spunem că o variabilă aleatoare X are o repartiţie beta de parametri a şi b dacă densitatea sa de repartiţie este

unde şi

Ţinînd cont de acest lucru, repartiţia Beta se mai poate scrie şi astfel:

Alura repartiţiei este redată în figura de mai jos:

3.3.2 Bazele metodei P.E.R.T.

Metoda PERT ( Programm Evaluation and Review Technique ), denumită Tehnica de evaluare şi revizuire a programului, datează din anul 1958 când marina americană a realizat programul de înzestrare al flotei cu rachete Polaris.Proiectul, realizând circa 50.000 de activităţi, a fost executat de catre Special Project Office U.S. Navy în colaborare cu Loockend System Revision şi societatea de consultanţă Booz – Allen & Hamilton, conducând la reducerea cu doi ani a timpului prevăzut pentru lansarea rachetelor.

Metoda a fost introdusă în Europa în anul 1961.Chiar din 1958, B. Roy de la S.E.M.A a pus la punct metoda MPM, aplicând-o cu ocazia construirii unei centrale nucleare.

Metoda CPM admite ipoteza că durata fiecărei activităţi este suficient de exact evaluată printr-un singur număr. Această ipoteză este administrată în cazul unor activităţi bine cunoscute, care s-au repetat deseori în trecut şi ale căror durate prezintă o variabilitate statistică neînsemnată. În practică, în foarte multe programe, duratele activităţilor sunt insuficient cunoscute sau sunt chiar incerte. Pentru aceste proiecte a fost conceput sistemul PERT.

Metoda PERT abordează problema programării proiectelor din punct de vedere probabilist; duratele activităţilor sunt considerate variabile aleatoare, caracterizate prin media şi dispersia lor.

Metoda PERT a fost elaborată independent de metoda CPM; cu timpul însă ambele metode şi-au asimilat reciproc caracteristicile cele mai valoroase, astfel că astăzi s-au atenuat mult deosebirile dintre ele.

Trăsăturile principale ale metodei PERT sunt următoarele:- durata unei activităţi este evaluată prin trei estimări: pesimistă, cea mai probabilă şi optimistă;- programul obţinut prin metoda PERT conţine aceleasi elemente ca şi metoda CPM; în plus, se

poate evalua probabilitatea de realizare a termenelor planificate.Experienţa practică, a condus pe creatorii metodei PERT să admită că durata unei activităţi are o

distribuţie Beta.Distribuţia Beta satisface următoarele condiţii care au un suport practic puternic, bazat pe

numeroase observaţii, astfel :- intersectează axa absciselor în două puncte aij

şi bij, corespunzatoare duratei minime şi respectiv maxime ( figura de mai jos ) :

m b

f(x)

a x

- este unimodală, adică există o singură valoare maximă mij; care reprezintă durata cea mai probabilă;

- valoarea ( bij – aij ) reprezintă intervalul de variaţie al distribuţiei şi indică într-o oarecare masură gradul de împrăştiere al duratelor posibile.

Valorile caracteristice aij , mij si bij pot fi evaluate de specialiştii care conduc activitatea respectivă, carora li se cere să satisfacă urmatoarele estimări :

1. durata optimistă (aij) este durata minimă de execuţie a unei activităţi ( i, j), respectiv cazul când există cel mai favorabil complex de împrejurări, condiţiile generale fiind însă cele normale. Întelegem prin condiţii normale acele conditii care permit executarea activităţii cu cel mai bun randament;

2. durata cea mai probabilă (mij) este estimaţia cu cea mai mare şansă de realizare în condiţii normale de lucru;

3. durata pesimistă (bij) este intervalul de timp maxim de realizare a activităţii (i,j) atunci când există imprejurările cele mai defavorabile de execuţie, excluzând catastrofele sau situaţiile cu totul ieşite din comun.

Cu ajutorul celor trei estimări se calculează media şi dispersia duratei unei activităţi astfel :

(1)

(2)

În Anexa nr.1 se demonstrează că formulele de mai sus, utilizate de metoda PERT în calculul metodei şi dispersiei duratei unei activităţi, corespund unor valori particulare ( , ) ale parametrilor distribuţiei Beta.

Dispersia este o masură a gradului de nesiguranţă în estimarea duratei activităţii (i,j); o valoare

mare a dispersiei indică o mare nesiguranţă în privinţa duratei reale de execuţie. Metoda PERT admite următoarele ipoteze referitoare la durata unui proiect :

1. Drumul critic este identic cu acela care rezultă din revenirea la un model determinist. Altfel spus, drumul critic al modelului determinist are o lungime suficient de mare, probabilitatea ca alt drum sa devină critic fiind neglijabilă.

2. Durata totală a proiectului este o variabilă aleatoare cu distribuţie normală a cărei medie şi

dispersie sunt:

f(tj)

mij bijaij

tij

(3)

(4)

Formula (3) arată că durata proiectului (termenul minim al evenimentului final) este egală cu suma duratelor medii ale activităţilor critice, pe când formula (4) arată că dispersia duratei proiectului este egală cu suma dispersiilor activităţior critice. Aceasta a doua ipoteză se bazează pe teoria limită centrală din calculul probabilităţilor care precizează că dacă o variabilă aleatoare T este suma unui mare număr de variabile aleatoare independente, fiecare variabilă având o pondere mică în sumă, atunci distribuţia lui T este foarte apropiată de cea normală.

În figura de mai jos se reprezintă curba referitoare la durata totală a unui proiect cu durata medie tn

şi cu abaterea medie patratică σ.

Ne propunem să calculăm probabilitatea de realizare a duratei planificate (Tpl) a unui proiect. Din figură rezultă că această probabilitate este egală cu aria haşurată. Funcţia integrabilă a lui Laplace prezentată la pct. 1.2.2 avea forma

,

iar valorile funcţiei sunt tabelate.

T

f(T)

Tp

Tabelul cu valorile funcţiei serveşte la calculul P(T≤T pl), adică probabilitatea ca durata proiectului să fie mai mică sau cel mult egală cu Tpl. Variabila redusă se numeşte în metoda PERT factor de probabilitate şi are expresia:

(5)

Calculând, cautăm apoi valoarea corespunzătoare lui z în tabel şi aflăm pe P(T≤Tpl).

Exemplu: Dacă media şi dispersia duratei unui proiect după calculele PERT sunt şi

, atunci pentru calculul probabilităţii P(T≤106) se determină mai întâi:

Din tabel (Anexa nr.2), valorii 3 îi corespunde probabilitatea de 0,9987, deci 99,87%. În mod corespunzător, pentru Tpl = 104 rezultă z = 2 şi P = 0,9772, deci aproximativ 98%. În cazul când Tpl = 98 zile, atunci z = -1 şi P = 0,1587, deci o probabilitate de circa 16%. În metoda PERT durata medie tn are o probabilitate de realizare de 50%.

Calculând probabilitatea P(T≤Tpl), sau ceea ce înseamnă acelaşi lucru, se dau

următoarele interpretări rezultatelor obţinute:

a) dacă probabilitatea este mai mică decât 0,25, adică sub 25%, există un mare risc ca

proiectul să nu se realizeze la termenul planificat şi este necesară revizuirea duratelor de execuţie ale activităţilor în sensul urgentării acestora;

b) dacă probabilitatea este de 0,5, adică de 50%, programarea este justă;

c) dacă probabilitatea este mai mare decât 0,6 (60%), programarea utilizează excesiv

de multe resurse.

Calculul unui program PERT se face respectand următorii paşi:1. se trasează reţeaua proiectului. Reţeaua PERT utilizează pentru un proiect oricare din cele

două reprezentări: activitate – arc (CPM) sau activitate – nod (MPM), 2. se evaluează durata fiecărei activităţi prin trei estimări: optimistă, cea mai probabilă şi

pesimistă;3. se calculează termenele activităţilor reţelei PERT, considerând duratele activităţilor

deterministe şi egale cu mediile lor, utilizând metoda corespunzatoare reprezentării CPM sau MPM.Duratele medii se calculează cu relația (1);

4. se calculează durata totală de execuţie a întregului proiect ( ) şi dispersia cu formulele

(2);(3);(4);5. se calculează probabilitatea de realizare a termenului final prestabilit ( în cazul când acesta

există) folosind formulele (2), (4), (5) şi tabelul funcţiei Laplace;6. se face analiza, în final, conform probabilităţilor de realizare a proiectului dând interpretări

rezultatelor obţinute în modul în care s-a precizat mai sus. Dacă rezultatele obţinute nu sunt acceptabile, se revizuieşte programul. Dacă se doreşte să se urmarească anumite activităţi pentru care sunt date termenele planificate de execuţie, atunci se calculează probabilitatea ca fiecare activitate să fie executată la termenul planificat, utilizand relaţia (5) şi tabelul funcţiei lui Laplace.

Observaţie: Unii analişti întocmesc calculele de la pct.3 prin introducerea termenului planificat ca

termen maxim pentru evenimentul final, deci adoptă .

3.3.3 Asemănări şi deosebiri între metodele PERT şi CPM

3.3.3.1 Caracteristicile şi scopul metodelor PERT/CPM

a) Caracteristicile metodelor PERT/CPM

Aceste metode au foarte multe caracteristici, dintre care sunt prezentate următoarele:- formează baza planificării şi predicţiei proiectului şi furnizează conducerii proiectului

posiblitatea de a găsi cea mai bună folosinţă a resurselor în scopul obţinerii unui rezultat cunoscut, într-un timp limitat şi având costuri limitate;

- permit o viziune schematică a proiectului şi totodată controlul asupra proiectelor unice;- ajută echipa de management a proiectului să rezolve probleme de necertitudine care pot apărea

în desfăşurarea proiectului, prin găsirea răspunsurilor la întrebări de genul: Cum va fi afectată terminarea proiectului de o întârziere pentru anumite elemente (activităţi, evenimente) ale sale? Unde există rezerve de timp între elemente? Care elemente sunt determinante pentru respectarea termenului proiectului? Aceste răspunsuri furnizează conducerii proiectului mijloace de evaluare a alternativelor/opţiunilor la îndemână pentru redresarea situaţiei;

- utilizează o aşa numită analiză de tip reţea a timpului drept metodă de bază pentru determinarea forţei de muncă, a materialelor şi a echipamentelor şi, totodată, pentru furnizarea mijloacelor de verificare a progresului făcut în desfăşurarea proiectului;

- furnizează structura de bază pentru prezentarea rapoartelor de informare;- evidenţiază interdependenţele dintre elementele sale;- identifică cel mai lung traseu sau drumul critic;- permite stabilirea termenelor pentru efectuarea analizelor de risc.

b) Scopul metodelor PERT/CPM

Scopul principal al folosirii metodelor PERT/CPM îl reprezintă identificarea corectă a activităţilor critice şi furnizarea către manager a cel puţin următoarelor informaţii:

- care activităţi sunt critice;- care activităţi sunt necritice;- ce rezervă de timp au activităţile necritice pentru a nu deveni critice.Managementul prin excepţie presupune exercitarea controlului doar asupra activităţilor critice (la

proiecte foarte mari, care implică mii de activităţi, nu se pot supraveghea toate acestea, ci numai cele care au o importanţă determinată asupra duratei de timp necesară terminării proiectului).

3.3.3.2 Asemanări şi deosebiri între metodele PERT/CPM

- metoda PERT este o metodă probabilistă. Ea foloseşte trei estimări ale timpului, cu ajutorul cărora calculează probabilistic o durată estimată;

- metoda CPM este o metodă deterministă. Ea foloseşte doar o singură estimare a timpului, ceea ce duce la o precizie mai bună;

- metoda PERT permite calculul riscului în ceea ce priveşte terminarea proiectului, în timp ce metoda CPM nu permite aceasta;

- ambele metode pemit folosirea activităţilor fictive pentru construirea reţelei;- metoda PERT se foloseşte mai ales în cazul proiectelor de cercetare dezvoltare, unde riscurile

în calculul duratelor de timp au o mare variabilitate. Îndeplinirea totală a proiectelor de cercetare- dezvoltare este aproape imposibil de determinat , cu excepţia unor evenimente intermediare;

- metoda CPM se foloseşte mai ales în cazul proiectelor de construcţii care sunt dependente de resurse şi se bazează pe estimări de timp foarte exacte. La aceste proiecte îndeplinirea

procentuală se poate determina cu o acurateţe rezonabilă, iar taxarea clientului se poate face pe baza procentajului de îndeplinire a proiectului;

- extensii ale acestor metode permit coordonarea şi optimizarea resurselor (forţă de muncă, utilaje/echipamente).

3.3.3.3 Avantajele metodelor PERT/CPM

- planificarea detaliată sub forma unei reţele. Echipa de management a proiectului este obligată să planifice lucrările în detaliu şi să definească tot ce trebuie efectuat pentru atingerea la timp a obiectivului proiectului. Crearea reţelelor şi analiza drumului critic evidenţiază interdependenţele şi zonele cu probleme care nu sunt nici evidente, nici bine definite prin alte metode de planificare;

- comunicarea eficientă între membrii din cadrul organizaţiei şi cu participanţii externi la proiect, precum şi delegarea clară a responsabilităţilor privind timpii de execuţie a activităţilor;

- controlul şi monitorizarea eficiente, prin depistarea activităţilor critice şi orientarea pe urmărirea lor. Aceste metode determină unde anume trebuie făcut efortul maxim astfel încât termenul de execuţie al proiectului să fie respectat;

- evaluarea efectelor schimbărilor în program;- identificarea aspectelor cu potenţial de a produce dificultăţi (activităţi critice sau în apropierea

condiţiilor critice);- utilizarea adecvată a resurselor, prin redistribuirea celor excedentare în zonele cu probleme;- replanificarea, în scopul reducerii întârzierilor, prin depistarea şi corectarea devierilor de la

planificarea iniţială ;- percepţie uşoară a desfăşurării proiectului prin vizualizarea sa sub formă schematică şi

întelegerea facilă a succesiunii elementelor componente de către decidenţi/executanţi;- implementarea pe calculator-avantajoasă mai ales la proiecte mari;- suport pentru adaptarea deciziilor. Metodele permit verificarea eficacităţii altor variante de

execuţie ( cu rapoarte diferite între timpi şi costuri);- metoda PERT permite specificarea probabilităţilor de realizare la termen, în avans sau

întârziere;- metoda CPM permite evaluarea compromisului timp-cost (efectul costului mărit pentru

reducerea timpului de execuţie faţă de costul în condiţii normale pentru unele/toate activităţile).

3.3.3.4 Dezavantajele metodelor PERT/CPM

Din păcate, aceste metode nu sunt şi lipsite de dezavantaje.Complexitatea lor se adaugă problemelor de implementare. Prin urmare, de cele mai multe ori

aceste metode devin foarte costisitoare şi greu de folosit în cazul proiectelor complexe, de mare anvergură.Alte dezavantaje în folosirea metodelor PERT şi CPM sunt:

- efort mare în ceea ce priveşte munca şi timpul necesare aplicării lor;- reducerea posibilităţii de a lua decizii la nivelul conducerii superioare;- lipsa datelor istorice pentru estimarea costurilor;- existenţa unei nevoi prea mari pentru detalii;- premisa resurselor nelimitate poate fi neadevărată.