CAPITOLUL IVTENSIUNI l DEFORMAII SPECIFICE

4.1. Eforturi unitare. Tensorul tensiunilor

Considerm, ca i ntr-un capitol precedent un corp supus aciunii unor fore, n echilibru, pe care l-am secionat cu un plan oarecare, obinndu-se dou pri din care se ndeprteaz una.

n orice seciune a corpului solicitat apar fore interioare care sunt distribuite pe toat suprafaa seciunii.

Pe suprafaa (S), n jurul unui punct N se consider un element de suprafa dA definit de versorul normalei (fig.4.1). Dac elementul este suficient de mic efortul poate fi considerat uniform distribuit pe suprafaa acestuia, iar rezultanta poate fi aplicat n centrul de greutate al elementului.

Fig. 4.1 Eforturi unitare

Mrimea efortului distribuit, aplicat pe unitatea de suprafa din aria seciunii se numete tensiune (efort unitar). Expresia tensiunii este dat de relaia (4.1):

(4.1)

Tensiunea este una dintre mrimile fundamentale ale Rezistenei Materialelor.

Unitatea de msur rezult din definiie. Uzual se folosesc N/m2; N/mm2; daN/cm2; kN/m2 iar n ncercrile mecanice daN/mm2; N/mm2.

Tensiunea are aceeai direcie cu fora elementar . Mrimea sa este determinat att de mrimea forei elementare , ct i de orientarea acestei fore n raport cu suprafaa dA. Avnd o direcie oarecare, tensiunea se descompune n dou componente, dup normala la suprafa () i dup o direcie coninut n planul suprafeei () obinndu-se dou componente:

- efort unitar sau tensiune normal;

- efort unitar sau tensiune tangenial.

Tensiunea , dup sensul pe care l are, va avea un efect de ntindere sau de compresiune, exercitat de ctre partea de corp nlturat asupra celei rmase. Tensiunea are asupra seciunii un efect de tiere, forfecare sau alunecare.

n baza figurii 4.1, ntre componentele tensiunii se poate scrie relaia (4.2):

(4.2)

Notaii pentru tensiunea se utilizeaz un singur indice i acesta se refer la normala la seciune (axa perpendicular pe faa respectiv a elementului de volum, de exemplu x, y sau z); pentru tensiunea se utilizeaz doi indici, primul se refer la axa cu care este paralel efortul unitar, iar al doilea la normala pe seciunea n care este coninut efortul; De exemplu, reprezint tensiunea tangenial de pe faa elementului de volum perpendicular pe axa 0x (primul indice), orientat n direcia axei 0y (al doilea indice).

Convenie de semne se consider pozitiv cnd trage de seciune i negativ n sens contrar

se consider pozitiv cnd este orientat n sens contrar sensului pozitiv al axelor dup care acioneaz.

Printr-un punct din interiorul unui corp se pot duce trei plane perpendiculare ntre ele (fig. 4.2.a). Pe fiecare dintre acestea exist un efort unitar total cu trei componente (fig.4.2.b) de unde rezult c starea spaial de tensiune ntr-un punct este caracterizat de 9 componente (spre deosebire de un vector caracterizat spaial de 3 componente). n consecin, tensiunea este o mrime mai complicat dect fora, numit mrime tensorial.

Fig. 4.2 - Starea spaial de tensiune ntr-un punct

Cele 9 componente reunite sub forma unui tablou poart numele de tensor al tensiunilor notat cu T.

(4.3)

n funcie de forma tensorului tensiunilor, starea de tensiune poate fi: Stare spaial (triaxial) de tensiune, avnd tensorul tensiunilor dat de expresia general (4.3), reprezentat n fig.4.2.b.

Stare plan (biaxial) de tensiune, reprezentat n fig.4.3, avnd tensorul tensiunilor:

(4.4)

De exemplu, o plac plan solicitat de fore coplanare n planul de simetrie al

plcii se afl n stare plan de tensiune.

Fig. 4.3 - Starea plan de tensiune Stare monoaxial de tensiune, cu tensorul tensiunilor:

(4.5)

De exemplu, o bar dreapt solicitat de fore coliniare cu axa longitudinal a barei.

Fiecare coloan a relaiei (4.3) conine cele trei componente ale tensiunii totale corespunztoare unuia din cele trei plane duse prin punctul considerat, componente definite de versorii , , , deci putem scrie:

(4.6)

Fr a mai demonstra, se face precizarea c exist legea dualitii tensiunilor tangeniale, care se enun astfel:

Pe dou plane ce fac ntre ele un unghi de 90, componentele tensiunilor tangeniale perpendiculare pe muchia comun a celor dou plane sunt egale ntre ele ca mrime i sunt fie divergente, fie convergente fa de muchie.

Asta nsemn c:

(4.7)

4.2 Relaii de echivalen ntre eforturi i tensiuni

S cutm relaiile de echivalen ntre eforturi i tensiuni n seciunea transversal a unei bare.

Pentru aceasta considerm o bar secionat din care se pstreaz numai o parte. Pe suprafaa secionat se consider un element de suprafa infinitezimal dA. ntr-un punct P, situat pe dA, acioneaz tensiunea normal i tensiunile tangeniale i (fig. 4.4). Pe elementul de suprafa dA acioneaz forele elementare dA ,

dA i dA .

Astfel de fore elementare sunt distribuite pe toat suprafaa seciunii transversale a barei. Reducndu-le n centrul de greutate al seciunii, se obin relaiile de echivalen ntre eforturi i tensiuni. Acestea exprim cele ase componente ale torsorului forelor interioare n funcie de tensiunile de pe elementul de suprafa dA, definit n jurul punctului de coordonate y i z.

Fig. 4.4 Eforturi i tensiuni ntr-o seciune

Echivalena se exprim prin relaii provenite din ecuaii de proiecii i respectiv de sume de momente:

(4.8)

4.3. Deformaii specifice. Tensorul deformaiilor

Rezistena Materialelor studiaz corpurile innd seama de faptul c acestea se deformeaz sub aciunea sarcinilor exterioare sau a unor factori cu efect analog (de exemplu variaiile de temperatur). Deformaiile depind de forma i dimensiunile corpului, de mrimea i modul de aplicare a sarcinilor, precum i de anumite caracteristici mecanice ale materialelor corpurilor. Atta timp ct tensiunile produse n material sunt inferioare unei anumite valori, numit limit de elasticitate, deformaiile sunt mici i elastice, disprnd o dat cu cauza care le-a produs.

n fig.4.5. s-a reprezentat o bar dreapt, de dimensiuni iniiale supus la ntindere prin aplicarea forei F. Bara se lungete, ajungnd la lungimea .

Fig. 4.5 Alungirea unei bare

Se definesc: Deformaie liniar total

(4.9)

Raportul dintre deformaia a barei i lungimea ei iniial se numete deformaie (lungire) specific liniar i se noteaz cu . Indicele x reprezint direcia dup care are loc deformaia; Deformaie specific liniar:

(4.10)

n cazul solicitrii de compresiune, mrimile i sunt negative i se numesc scurtare, respectiv scurtare specific.

Pentru un element de volum (fig.4.6) cu laturile dx, dy, dz, deformaiile specifice liniare sunt:Fig.4.6 Element de volum (4.11)

Deformaie specific unghiular (lunecare specific) - vezi fig. 4.7.Fig.4.7 Deformaia specific unghiular (4.12)

n cazul general, al strii triaxiale de tensiune, starea de deformaie se caracterizeaz prin 3 deformaii specifice liniare: , , i 6 deformaii specifice unghiulare, egale dou cte dou, ca urmare a principiului dualitii tensiunilor tangeniale: = , = , = . Aceste deformaii specifice definesc aanumitul tensor al deformaiilor:

(4.13)

Coeficienii lui semnific planul n care are loc lunecarea specific, primul indice fiind cel al axei paralele cu cateta opus unghiului , iar n al doilea cel al axei paralele cu cateta alturat lui .68

_1476871876.unknown

_1477204317.unknown

_1477221036.unknown

_1477221122.unknown

_1477221155.unknown

_1477221187.unknown

_1477221392.unknown

_1486193929.unknown

_1477221255.unknown

_1477221168.unknown

_1477221140.unknown

_1477221083.unknown

_1477221103.unknown

_1477221046.unknown

_1477221057.unknown

_1477204484.unknown

_1477218673.unknown

_1477204414.unknown

_1476871995.unknown

_1477204049.unknown

_1477204105.unknown

_1477204096.unknown

_1476872036.unknown

_1477204037.unknown

_1476871913.unknown

_1476871931.unknown

_1476871895.unknown

_1476862941.unknown

_1476869684.unknown

_1476869842.unknown

_1476871597.unknown

_1476871554.unknown

_1476871569.unknown

_1476871541.unknown

_1476869699.unknown

_1476868291.unknown

_1476869671.unknown

_1476868939.unknown

_1476867161.unknown

_1476771078.unknown

_1476771127.unknown

_1476781346.unknown

_1476771144.unknown

_1476771279.unknown

_1476771026.unknown

_1476770755.unknown

_1476602337.unknown

_1476770393.unknown