Capitolul 3: NO IUNI DE BAZ ALE MODEL RII ÎN ELEMENT FINIT.

EXEMPLE

3.1. Introducere

Cuno tin ele prezentate în acest capitol arat cum se realizeaz trecerea de la formularea corect i complet a modelelor diferen iale în studiul diferitelor fenomene specifice ma inilor i transformatoarelor electrice la ceea ce se denume te modelul în element finit al acestor fenomene, respectiv modul în care se ob ine solu ia numeric în element finit a modelelor diferen iale. Se arat cum modelul numeric în element finit poate fi construit atunci când se cunoa te formularea varia ional echivalent modelului diferen ial al fenomenului, respectiv atunci când se aplic metoda reziduurilor ponderate.

Prezentarea a patru exemple de modele în element finit, dou unidimensionale i alte dou bidimensionale au scopul de a familiariza studentul cu tehnologia specific model rii în element finit, respectiv a construirii modelului numeric.

3.2. Formularea varia ional echivalent unui model diferen ial i modelul numeric în

element finit

Solu ia numeric în element finit a ecua iei sau setului de ecua ii care caracterizeaz modelul diferen ial al unui fenomen în condi ii de unicitate

definite, respectiv modelul numeric în element finit fenomenului, const dintr-un set de valori numerice discrete ale m rimii de stare caracteristice fenomenului în puncte definite de re eaua de discretizare a domeniului de calcul.

Se reaminte te c no iunea model diferen ial al unui fenomen include ecua ia satist cut de m rimea de stare, de exemplu poten ialul magnetic vector A al câmpului magnetic, domeniul de calcul Dc în care se dore te evaluarea acestei m rimi i condi iile de unicitate

a solu iei câmpului, care regrupeaz sursele câmpului, propriet ile fizice

ale diverselor regiuni ale domeniului de calcul, condi iile pe frontiera

domeniului de calcul, condi ii de trecere

la nivelul suprafe elor care separ regiuni ale domeniului de calcul cu propriet i diferite i condi ii initiale, care precizeaz structura câmpului în momentul de timp ini ial, în cazul unui câmp spa io-temporal.

Formularea varia ional a unui fenomen presupune stabilirea unui principiu varia ional capabil s furnizeze modelul diferen ial al fenomenului prin aplicarea condi iei de sta ionaritate a unei func ionale adecvate.

3.2.1. Formularea varia ional echivalent unui model diferen ial. Fie expresia:

dS)z,y,x(gdzdydx),z

V,

y

V,

x

V,V,z,y,x(f

cD

, (3.1)

denumit func ional asociat fenomenului

descris prin m rimea de stare V(x,y,z). M rimile V / x, V / y i V / z

sunt derivatele m rimii de stare. Pentru un fenomen al c rui model diferen ial este cunoscut integrandul f al primei integrale în (3.1) este o func ie cunoscut pe domeniul de calcul Dc al m rimii V, iar integrandul g al celei de a doua integrale este o func ie cunoscut pe frontiera a domeniului Dc.

Esen a formul rii varia ionale

a unui fenomen const în aceea c minimizarea expresiei (3.1) conduce la modelul diferen ial al acestuia, adic ecua ia diferen ial satisf cut de m rimea de stare i condi iile la limit .

Pentru o problem unidimensional (1D), în care m rimea de stare V depinde doar de coordonata x, i al doilea termen al rela iei (3.1) nu exist , se deduc în continuare propriet i ale

integrandului f. Fie un fenomen a c rei m rime de stare V(x) este definit în domeniul [x1, x2] i satisface condi iile la limit V(x1) = V1 , V(x2) = V2. Func ionala asociat fenomenului se

exprim printr-o integral de forma:

2

1

x

x

dx)'V,V,x(f , (3.2)

unde V este nota ia

derivatei dV/dx. Fie )x(V

o solu ie aproximativ a m rimii de stare, Fig. 3. 1. În raport cu solu ia exact V(x), solu ia aproximativ poate fi scris sub forma:

)x(V)x(V)x(V , (3.3)

unde V(x) este varia ia infinitezimal a solu iei V(x).

Sta ionarizarea integralei (3.2), respectiv valoarea minim a func ionalei corespunde anul rii varia iei

a func ionalei, corespunz toare varia iei V(x) a solu iei, respectiv rela iei:

0dx)'VV

fV

V

f(dx)x

x

f'V

V

fV

V

f(dxf

2

1

2

1

2

1

x

x'

x

x'

x

x

(3.4)

V1

V2

x1 x2

V(x)

V(x)

Solu ia aproximativ

Solu ia exact

V(x)

x

Fig. 3.1

M rimea x în rela ia (3.4) este nul deoarece se caut varia ia f a integrandului f pentru o valoare dat a variabilei x.

Integrând prin p r i ultimul termen al integrandului expresiei (3.4), se ob ine succesiv:

2 2 2

1 1 1

x x x

' ' 'x x x

f f dV f dV ' dx ( ) dx ( V) dx

V V dx V dx

2 2

1 1

x x

'x x

f d fV ( ) V dx

V ' dx V (3.5)

Expresia (1.4) devine:

22

11

xx

'xx

f d f f[ ( )] V dx V 0

V dx V V ' (3.6)

Deoarece varia ia V este arbitrar , fiecare termen al expresiei (3.6) trebuie s fie nul, adic :

'

f d f( ) 0

V dx V (3.7)

i

2

1

x

x

fV 0

V ' (3.8)

Rela ia (3.7) trebuie s corespund ecua iei diferen iale a modelului

diferen ial, iar rela ia (3.8)

condi iilor la limit ale acestui model.

Dac

: V(x1) = 0 i V(x2) = 0 , (3.9)

atunci rela ia (3.8) este îndeplinit . Aceasta presupune c valorile m rimii de stare V(x) la cele dou limite ale domeniului de calcul sunt definite, ceea ce corespunde condi iilor la limit de tip Dirichlet, denumite condi ii la limit for ate.

Dac m rimea de stare nu satisface condi ii la limit de tip Dirichlet, varia ia V fiind arbitrar , rezult c rela ia (3.8) presupune condi ia:

1 2

' 'x x

f f( ) ( ) 0

V V (3.10)

care este denumit condi ie la limit natural . Aceast condi ie la limit trebuie s fie îndeplinit de func ia f.

Este evident c rela ia (3.8) este satisf cut i în cazul în care la una din cele dou limite modelul diferen ial presupune o condi ie la limit natural , iar la cealalt o condi ie la limit for at .

Dac solu ia în element finit se bazeaz pe formularea varia ional al fenomenului, care presupune cunoa terea integranzilor f i g în func ionala (3.1), atunci condi iile la limit naturale sunt în mod automat incorporate în formulare i numai condi iile for ate trebuiesc impuse solu iei.

Exemplu: Modelul diferen ial Laplace 1D i formularea varia ional . Fie modelul diferen ial descris de ecua ia Laplace:

d2V/dx2 = 0 (3.11)

pe domeniul de calcul [x1, x2], cu condi ii la limite

: fie de tip Dirichlet V(x1) = V1, V(x2) = V2 , fie de tip Neuman omogen, V (x1) = 0, sau V (x2) = 0, fie de Dirichlet la una dintre limite i de tip Neuman omogen la cealalt limit .

Este u or de intuit c integrandul f al func ionalei (3.2) are expresia:

f(x, V, V ) = 1/2 (V )2 (3.12)

i c condi ii la limite de tip Dirichlet sau Neuman omogen satisfac egalitatea (3.8). Prin urmare, solu ia modelului diferen ial Laplace 1D corespunde minimiz rii func ionalei:

2

2

x

x

2

dxdx

dV

2

1 (3.13)

3.2.2. Modelul numeric EF bazat pe formularea varia ional . Solu ia numeric în element finit a unui fenomen descris de func ia necunoscut V(x,y,z), solu ie bazat pe formularea

varia ional , presupune aproximarea necunoscutei V(x,y,z) printr-o func ie global F(x, y, z, V1, V2, ....., Vn), unde V1, V2, ....., Vn sunt valorile necunoscutei în nodurile re elei de discretizare a domeniului de calcul. Integranzii f i g în func ionala (3.1) sunt astfel func ii de x, y, z, V1, V2, ....., Vn . Dup efectuarea integralelor în raport cu coordonatele spa iale x, z, y, func ionala (3.1) depinde doar de valorile nodale V1, V2, ....., Vn.

Minimizarea func ionalei (3.1) este echivalent cu sistemul de ecua ii:

n...,,2,1i,0Vi

(3.14)

Acest sistem conduce de regula la un sistem algebric liniar de forma:

]R[]V[M (3.15)

unde elementele matricei M i ale vectorului R sunt complet determinate prin integrale de volum i de suprafa , care nu depind decât de geometria domeniului de calcul. Vectorul [V] con ine

valorile nodale necunoscute, respectiv solu ia numeric a fenomenului.

3.2.3. Func ionalele asociate unor modele diferen iale în studiul ma inilor i

transformatoarelor electrice.

În aceast sec iune sunt definite formul ri varia ionale ale unor regimuri de câmp electromagnetic i al fenomenului conduc iei termice.

a) Func ionala câmpului electromagnetic

nesta ionar are expresia:

cD

v dxdydzVdd AJBHEDB

0

E

0

(3.16)

pe domeniul de câmp spa io-temporal Dc , în afara c ruia câmpul este nul.

M rimile HBED ,,, sunt vectorii asocia i câmpurilor electric i magnetic, A

poten ialul magnetic vector, definit prin legea fluxului magnetic, V poten ialul electric scalar, definit prin legea induc iei electromagnetice, J vectorul densit ii curentului electric de conduc ie i v densitatea de volum a sarcinii electrice. Prima parantez a integrandului este diferen a dintre densit ile de volum ale co-energiei electrice i energiei magnetice, iar cea de a doua este diferen a dintre densit ile de volum ale energiilor de interac iune dintre curentul de conduc ie i câmpul magnetic, respectiv dintre sarcina electric i câmpul electric. Energia interac iunii câmp - corpuri este egal cu lucrul mecanic efectuat de for ele câmpului pentru a aduce densitatea de curent, respectiv de sarcin electric din exteriorul domeniului Dc, unde se consider originea poten ialelor ( A

= 0, V = 0), în starea caracterizat prin valorile A

i V. În caz c vectorul densit ii curentului electric de conduc ie J nu poate fi definit în mod

explicit, fiind dependent de câmpul electromagnetic, densitatea de volum a energiei de

interac iune AJ din expresia (3.1) se înlocuie te cu A

AJ0

d .

Ecua iile de baz ale regimului general de câmp electromagnetic nesta ionar rezult din condi ia de sta ionaritate a integralei (3.16), denumit func ionala energetic a câmpului electromagnetic.

Formularea varia ional a unei probleme de câmp electromagnetic presupune:

particularizarea func ionalei (3.16) în concordan cu regimul de câmp electromagnetic specific problemei i cu propriet ile fizice ale domeniului de calcul;

încorporarea în expresia func ionalei a condi iilor specifice de unicitate a solu iei problemei.

a1) Func ionala câmpului electrostatic. Studiul regimului de câmp electrostatic în domeniul Dc presupune determinarea poten ialului electric scalar V care minimizeaz func ionala:

c N

1 v N N S

D S

(V) d V dxdydz g V d V dSE

0

D E , (3.17)

unde N reprezint eventuale zone ale frontierei domeniului de calcul Dc pe care se cunosc

condi ii la limit de tip Neuman neomogen, date prin func ia N

N

Vg

n, iar S eventuale

suprafe e de discontinuitate în domeniul Dc pe care se cunoa te densitatea superficial s a sarcinii electrice.

Prima integrala din (3.17) rezult din rela ia (3.16) în cazul particular al regimului de câmp electrostatic, respectiv pentru / t = 0, 0 = 0, = = JBH . Celelalte dou integrale, de suprafa , corespund condi iilor de unicitate ale câmpului electrostatic.

Prin explicitarea ecua iei constitutive generale D = D(E) rezult forme specifice. De exemplu, atunci când în domeniul de calcul se afl doar corpuri liniare, izotrope, omogene, f r polariza ie permanent , unde D = E,

fiind permitivitatea electric - constant scalar , func ionala câmpului electrostatic în coordonatele carteziene (x, y, z) are forma explicit :

c N

22 2

1 v N N

D

V V V(V) V dx dydz g (x, y, z) V d

2 x y z (3.18)

În problemele 2D plan-paralele în coordonatele carteziene (x, y) func ionala are expresia:

c N

22

1 v N N

D

V V(V) V dx dy g (x, y) V d

2 x y , (3.19)

iar în problemele 2D axisimetrice în coordonatele cilindrice (r, z):

c N

2 2

1 v N N

D

r V V(V) 2 r V dz dr 2 r g (z, r) V d

2 z r (3.20)

a2) Func ionalele câmpurilor electrocinetic i magnetostatic. Formul rile varia ionale asociate câmpurilor electrocinetic i magnetostatic (produs de magne i permanen i) se deduc direct din formularea câmpului electrostatic pe baza urm toarelor coresponden e duale:

,0,0,,,VV,, Svip EPJDEE

respectiv, .0,0,,,V,, Svrp BPBDHE

Astfel, pentru câmpul electrocinetic, în care m rimea de stare este poten ialul electric V, func ionala are expresia:

N

N

c

N

D

2 dVdxdydzd)V( nJEJE

0

(3.21)

iar pentru câmpul magnetostatic, a c rui m rime de stare este poten ialul magnetic scalar :

N

N

c

N

D

3 ddxdydzd)( nBHBH

0

(3.22)

În urma includerii ecua iilor constitutive i inând seama de coresponden ele duale se scriu cu u urin func ionale explicite de forma (3.19) - (3.21).

a3) Func ionala câmpului magnetic sta ionar. Func ionala asociat regimului de câmp magnetic sta ionar, produs de curen i electrici continui de densitate J i eventual de magne i permanen i, câmpuri al c ror model diferen ial utilizeaz poten ialul magnetic vector A, are expresia:

S

S

D

24 dSddxdydzdiv

2d)(

c

AJnAHAJABHAB

0

(3.23)

Primii doi termeni ai integralei pe domeniul de calcul Dc în (3.24) se ob in direct

din func ionala general (3.16) în condi iile regimului de câmp magnetic sta ionar, adic pentru / t = 0, 0 = 0, = = vDE . Integrala pe suprafa a

a domeniului de calcul în (3.9) corespunde

condi iile pe frontier care asigur unicitatea solu iei. Pe suprafa a

trebuiesc cunoscute fie componenta tangen ial a intensit ii câmpului magnetic H , fie componenta tangen ial a

poten ialului magnetic vector A .

Ultimul termen al func ionalei (3.23) corespunde condi iei de trecere SSSS xrot JHnH

pe o eventual suprafa de discontinuitate S din domeniul de calcul, pe care se cunoa te densitatea SJ a p turii curentului de conduc ie.

Prin termenul 2)div(2

A

din prima integral se impune condi ia de etalonare Coulomb,

div A = 0. Parametrul de penalitate ' are dimensiunea unei reluctivit i.

În cazul domeniilor de calcul cu corpuri fixe, liniare, izotrope, omogene i f r magnetizare permanent , reluctivitatea

este o constant scalar , iar induc ia remanent este nul , 0rB .

Forma func ionalei în coordonatele carteziene (x, y, z) i pentru 0SJ este:

c

22 2k k k

4 k kk x,y,zD

A A A( ) J A dxdydz

2 x y zA

N N NN

yx zx y z N

AA AA A A d

n n n (3.24)

În probleme 2D plan-paralele în coordonatele carteziene (x,y) func ionala (3.24) devine:

NN

D

22

4 dA)y,x(gdydxAJy

A

x

A

2)A(

N

, (3.25)

unde A(x,y) este componenta nenul , dup Oz, a poten ialului magnetic vector. În problemele 2D axisimetrice în coordonatele (r,z) :

NN

2 2

4 ND

(rA) (rA) (rA)(A) 2 J rA dz dr 2 (rA)d

2r z r r n, (3.26)

unde A(r,z) este componenta nenul , dup coordonata azimutala, a poten ialului magnetic vector.

a4) Func ionala câmpului electromagnetic cvasista ionar de tip magnetic. Aceast func ional se ob ine din rela ia general (3.16) în care se neglijeaz energia electric în raport cu cea magnetic i se admite c v = 0.

Se consider în continuare c în domeniul de calcul al câmpului se afl numai corpuri liniare din punctul de vedere al conduc iei electrice. Expresia densit ii curentului electric de conduc ie:

tt)t,(Vgrad 1

AJ

ArJ (3.27)

are doi termeni: componenta densitate a curen ilor de aduc ie J1 datora i surselor externe, definit în mod explicit în subdomeniile de tip conductor bobinat i componenta densitate a curen ilor indu i, prezent

în subdomenii de tip conductor masiv, exprimat în func ie de poten ialul magnetic vector A.

Abordarea numeric a formul rii varia ionale a câmpului cvasista ionar magnetic face necesar eliminarea derivatei temporale a poten ialului magnetic vector printr-o schem simpl

i stabil de discretizare în timp. Cea mai simpl aproximare a derivatei tA

în rela ia (3.27)

este:

tt

ttt

t

AAA (3.28)

unde t - t i t sunt dou momente de timp succesive. Expresia aproximativ a energiei specifice de interac iune a curen ilor indu i este:

A

0

A

0

AAAAAAAA

t

2

t 21

td)(

td

t , (3.29)

în care A

este poten ialul vector necunoscut la momentul de timp t, iar tA este poten ialul

cunoscut, calculat la momentul de timp anterior t - t. În mod uzual, m rimile ini iale 0A i

0tA

se consider nule.

În cazul domeniilor de calcul cu corpuri fixe, liniare, izotrope, omogene i f r magnetizare

permanent , reluctivitatea

este o constant scalar , iar 0rB . Forma specific a func ionalei

este asem n toare cu (3.24), m rimea Jk fiind înlocuit cu t

AJ k

k1 .

În probleme 2D plan-paralele în coordonatele carteziene (x,y) func ionala are forma explicit :

NN

D

A

0

1

22

4 dA)y,x(gdydxdAt

AAJ

y

A

x

A

2)A(

N

, (3.25)

unde A(x,y) este

componenta nenul , dup Oz, a poten ialului magnetic vector.

În problemele 2D axisimetrice în coordonatele (r,z) func ionala are forma :

NN

A2 2

4 1 ND 0

(rA) (rA) A (rA)(A) 2 J rA rdA dz dr 2 (rA)d

2r z r t r n

(3.26)

Dac regimul cvasista ionar este de tipul armonic permanent, func ionalele se transcriu în

complex simplificat. Termenul energiei de interac iune a curen ilor indu i are expresia 2A2

j

pentru probleme 2D plan-paralele i 2Ar2

j pentru probleme 2D axisimetrice.

În problemele de refulare a curentului în conductoare masive, densitatea curentului Vgrad)t,(rJ1 nu mai este o dat a problemei, ea este necunoscut ca i poten ialul

magnetic vector A

i poten ialul electric scalar V. Dac în domeniul de calcul se afl i corpuri conductoare în mi care, expresia densit ii

curentului de conduc ie în acestea este:

AvA

JJ 1 rott

(3.27)

b) Formularea varia ional în studiul câmpului termic. Formularea varia ional asociat modelului diferen ial al conduc iei nesta ionare a c ldurii care satisface ecua ia:

)grad(divpdt

dc (3.28)

cu condi iile la limit

: de tip Dirichlet,

S1 S1(r , t) (t), pentru t 0 , (3.29)

unde S1 este temperatura local cunoscut a suprafe ei S1, de tip Neuman neomogen,

sp (t) , pentru t 0n

, (3.30)

unde ps este valoarea local cunoscut a fluxului termic specific la nivelul suprafe ei S2. Atunci când acest flux termic local este nul, condi ia este de tip Neuman omogen;

de tip mixt,

f( ), pentru t 0n

, (3.31)

unde

este coeficientul de transfer termic local prin convec ie la nivelul suprafe ei S3 c tre

mediul fluid ambiant având temperatura f , const în determinarea m rimii de stare (x,y,z,t) în domeniul de calcul Dc, care la orice moment de timp minimizeaz func ionala:

c 2 3

22 22

s 2 a 3

D S S

1( ) p c dxdydz p dS ( ) dS

2 x y z t 2

(3.32)

3.3. Metoda reziduri ponderate (Galerkin)

Analiza unui fenomen pe baza formul rii sale varia ionale presupune cunoa terea func ionalei asociate, situa ie care nu este întotdeauna posibil . Metoda descris în aceast sec iune permite solu ia numeric în element finit a unui model diferen ial oricât de complex ar fi acesta.

Fie forma general

urm toare a unei ecua ii cu derivate par iale:

0)z

V,

y

V,

x

V,V,z,y,x(D

(3.33)

M rimea de stare necunoscut V(x,y,z) se aproximeaz printr-o expresie de forma:

n

1iii )z,y,x(fC)z,y,x(V (3.34)

unde Ci sunt m rimi necunoscute, independente de coordonatele de pozi ie, iar fi func ii liniar independente cunoscute, alese astfel încât condi iile pe frontier ale modelului diferen ial s fie satisf cute. Întroducând aceast aproxima ie în ecua ia cu derivate par iale, se ob ine un rezultat în general diferit de zero, denumit reziduu:

0),y

V,

x

V,V,z,y,x(DR

(3.35)

Fie w F(R) o func ie ponderat a reziduului, unde w este ponderea, iar F(R) o func ie de reziduul R, astfel aleas încât F(R) = 0 atunci când reziduul este nul, R = 0, respectiv atunci când

aproxima ia V este solu ia exact V.

Criteriul de minim care determin solu ia este reprezentat de integrala :

cD

w F(R) dxdydz 0

(3.36)

referitoare la domeniul de calcul al m rimii de stare scalare V(x,y,z).

În formularea Galerkin, care în general d cea mai bun aproxima ie a solu iei, ponderile wi

sunt alese a fi tocmai func iile cunoscute fi care definesc solu ia aproximativ , iar func ia F are expresia F(R) = R. Cele n integrale ale reziduului ponderat egalate cu zero:

c

i

D

f R dxdydz 0, i 1, 2,....., n

(3.37)

reprezint o un sistem de n ecua ii având C1, C2, ...., Cn ca necunoscute.

3.4. Modele EF unidimensionale (1D)

Având în vedere simplitatea unei probleme 1D, în care variabila de stare depinde doar de o singur coordonat , se prezint în acest subcapitol dou exemple.

3.4.1. Exemplul 1: Câmpul electric produs de sarcina electric uniform distribuit între arm turile unui separator electrostatic - condensator plan. Atunci când distan a dintre arm turile unui condensator plan este mult mai mic decât dimensiunile acestora, câmpul electric respectiv poten ialul electrostatic V, depinde în spa iul dintre arm turi, exceptând marginile, depinde doar de coordonata perpendicular pe arm turi.

Admi ând c poten ialul celor dou arm turi este nul, intereseaz varia ia 1D a câmpului electric produs de o distribu ie uniform v a sarcinii electrice în spa iul dintre arm turi. Modelul diferen ial al aceste probleme fizice este caracterizat de ecua ia d2V/dx2 = - v/ 0 i de condi iile pe frontier care exprim valorile poten ialului celor dou arm turi.

În mod concret, fie ecua ia de tip Poisson

:

d2V/dx2 = - 2 (3.38)

satisf cut de m rimea de stare V(x) pe domeniul de calcul este [0, 1], cu condi iile la limit de tip Dirichlet V(0) = 0, V(1) = 0. Solu ia exact a acestui modelului diferen ial este:

V(x) = - x2 + x (3.39)

Solu ia în element finit (EF). Se consider discretizarea domeniului de calcul [0, 1] în dou elemente finite e1 i e2 de tip segment,

(e1): 0 x 0,5 i (e2): 0,5 x 1 (3.40)

Se aproximeaz necunoscuta V(x) prin varia ii liniare în raport cu x pe fiecare dintre cele dou elemente finite considerate, de forma :

V(1)m = a1

. x + b1, pentru x (e1) (3.41) V(2)

m = a2. x + b2 , pentru x (e2) (3.42)

Aproxima iile (3.41) i (3.42) care îndeplinesc condi iile la limit V(1)(0) = 0, V(2)(1) = 0 i condi ia de continuitate a variabilei de stare la trecerea de la elementul (e1) la elementul (e2), respectiv condi ia V(1)(0,5) = V(2)(0,5), conduc la b1 = 0, b2 = - a2 i a2 = - a1. Prin urmare, aproxima iile liniare, Fig. 3.2, care satisfac condi iile precizate au forma:

V(1)m = a x , pentru x e1 (3.43)

V(2)m = a(1 - x) , pentru x e2 (3.44)

În formularea varia ional

functionala asociat modelului diferen ial de tip Poisson are expresia:

21

0

1 dV4V dx

2 dx (3.45)

Fig. 3.2

Înlocuind aproxima iile (3.43), (3.44) în (3.45) se ob ine:

0,5 12 2 2

0 0,5

1 1 1a 4ax dx a 4a 4ax dx a a

2 2 2 (3.46)

Sta ionarizarea func ionalei (3.28) presupune:

0a

(3.47)

Rezolvând ecua ia (3.47) se ob ine a = 0,5 , respectiv solu ia în element finit

V = 0,5x , pentru x [0, 0,5] i (3.48) V = 0,5(1 - x) , pentru x [0,5 , 1]. (3.49)

Se observ , Fig. 3.2, c pentru x = 0,5 solu ia aproximativ EF este aceea i cu solu ia analitic (3.49). De notat c pe m sur ce num rul de elemente finite cre te, solu ia EF se apropie din ce în ce mai mult de solu ia analitic , de i pe fiecare element varia ia m rimii de stare este una liniar , aproximativ .

Prin metoda reziduurilor ponderate, formularea Galerkin corespunde formei integrale:

1 12

20 0

d V d dVw 2 dx w 2 dx 0

dx dx dx

(3.50)

unde w(x) reprezint setul ponderilor. Integrând prin p r i se ob ine: 1 1

0 0

1V w Vw dx 2w dx 0

0x x x

(3.51)

Se înlocuie te în (3.51) func ia V cu aproxima ia (3.43), (3.44) i se consider ponderile w egale cu func iile de form ale celor dou elemente,

x

V

0 1 0,5

0,25

(e1) (e2)

0,5a

V(x) = - x2 + x

solu ie EF cu a necunoscut

w = x, pentru x (e1), respectiv w = (1 - x), pentru x (e2) (3.52)

Primul termen din (3.51) se anuleaz întrucât ponderile w se anuleaz în 0 i 1. Ecua ia (3.51) devine:

0,5 0,51 1

0 0,5 0 0,5

a dx a dx 2x dx 2(1 x)dx 0 ,

rela ie care conduce la a = 0,5 , rezultat

identic cu cel ob inut prin formularea varia ional .

3.4.2. Exemplul 2: Evaluarea înc lzirii unui conductor liniar parcurs de curent. Acest exemplu prezint modelul în element finit destinat varia iei temperaturii în lungul unui conductor cilindric de diametru d i de lungime 2L, Fig. 3.3, în care se cunoa te densitatea volumic p = J2 a puterii produs prin efectul Joule al curentului ce parcurge conductorul, m rime ce are aceea i valoare în tot volumul conductorului. Sursa p a înc lzirii este func ie de rezistivitatea

a materialului conductorului i de densitatea J a curentului. Transferul termic prin convec ie are loc prin suprafa a conductorului c tre mediul ambiant de temperatur a

cunoscut . Valoarea

a coeficientul de transmisie a c ldurii este o m rime cunoscut a modelului numeric. Se cunosc de asemenea valoarea conductivit ii termice

a materialului conductorului i temperatura 0 a capetelor extreme, x = 0 i x = 2L.

Diametrul conductorului este suficient de mic i conductivitatea termic suficient de mare pentru ca temperatura s fie considerat constant în sec iunea transversal a conductorului.

Conform descrierii de mai sus a problemei fizice, m rimea de stare - temperatura

depinde doar de coordonata x în lungul conductorului, Fig. 3.3, func ia (x) fiind simetric în raport cu coordonata x = L.

L

x

1

2

0

(1) (2) L

x = 0 x = L

Fig. 3.3

Modelul diferen ial al problemei fizice descris

mai sus presupune ecua ia diferen ial :

d dp 0

dx dx (3.53)

pe domeniul de calcul [0, L] , cu condi iile pe frontiere (0) = 0 (Dirichlet) i x L

d0

dx

(Neuman omogen). Func ionala asociat modelului diferen ial, care include i fenomenul de transfer termic c tre

mediul ambiant prin suprafa a cilindric de diametru d a firului, are expresia:

2x L x L22

a

x 0 x 0

d d 1( ) p dx ( ) d dx

2 dx 4 2 (3.54)

Etapele solu iei în element finit în formularea varia ional

sunt dup cum urmeaz :

Divizarea domeniului de calcul

[0, L] în Ne elemente finite; pentru simplitate se consider

doar 2 elemente. Func ii de form . Se presupune ca aproxima ie a variabilei de stare

în fiecare element,

dependen a liniar :

xaa)x( )e(2

)e(1

)e(

(3.55)

Notând cu xi, xj coordonatele a dou noduri succesive i cu i , j temperaturile

corespunz toare, sistemul celor dou ecua ii:

i)e(

2)e(

1i xaa += , j)e(

2)e(

1j xaa +=

conduce la expresia:

i ij(e) (e) (e)i1 2

j jj i j i

x - x -x x(x) [ ] [f f ]

x - x x - x (3.56)

Func iile f1(e) , f2

(e) , liniar dependente de x , sunt func iile de form ale elementului (e). Pentru cele dou elemente (1) i (2) din figura 3.3, rezult :

1

0

1

0)1(2

)1(1

)1(

2/L

x

2/L

x-2/L]ff[)x( (3.57)

2

1

2

1)2(2

)2(1

)2(

2/L

x2/L

2/L

x-L]ff[)x( (3.58)

Asamblarea elementelor. Derivata func ionalei (3.54) corespunz toare elementului unidimensional (e) cuprins între xi i xj în raport cu temperatura necunoscut k are expresia:

dx4

d]p)

x(

x[

2

k

)e()e(x

x k

)e(

k

)e( j

i

dxd)(k

)e(

a)e(

x

x

j

i

(3.59)

Sta ionarizarea func ionalei (3.54) presupune rela iile :

01

)2(

1

)1(

1

, 02

)2(

2

)1(

2

, (3.60)

Prin înlocuirea expresiilor func ionalelor (1), (2), aferente celor dou elemente, rezult :

dxdfffdx4

dfp

x

f

x

f

x

f )1(2

2/L

0

a1

0)1(2

)1(1

22/L

0

)1(2

)1(2

1

0)1(

2)1(

1

0dxdfffdx4

dfp

x

f

x

f

x

f )2(1

L

2/L

a2

1)2(2

)2(1

2L

2/L

)2(1

)2(1

2

1)2(

2)2(

1

(3.61)

0 0dxdfffdx4

dfp

x

f

x

f

x

f )2(2

L

2/L

a2

1)2(2

)2(1

2L

2/L

)2(2

)2(2

2

1)2(

2)2(

1

Dup înlocuirea expresiilor celor patru func ii de form f1(1), f2

(1), f1(2), f2

(2) ale celor dou elemente finite i efectuarea integralelor, rezult un sistem de dou ecua ii cu necunoscutele

1

i 2.

Elemente finite de ordinul 2. Rela ia (3.55) corespunde elementelor în care aproxima ia temperaturii pe element este liniar , denumite elemente de ordinul 1. Se poate utiliza în locul rela iei (3.55) aproximarea de forma p tratic :

2)e(3

)e(2

)e(1

)e( xaxaa)x( (3.62)

În acest caz, domeniul [0, L] se poate constitui într-un singur element de ordinul 2, rezultând rela ia echivalent expresiei (3.39):

2

1

0

321)1( ]fff[)x()x( (3.63)

Sistemul de dou ecua ii cu necunoscutele 1 i 2 este în acest caz rezultatul prelucr rii rela iilor:

0,02

)1(

21

)1(

1

(3.64)

3.5. Modele EF bidimensionale (2D)

Se prezint în acest subcapitol dou exemple de modele în element finit în care variabila de stare depinde de dou coordonate. Problemele fizice corespondente sunt caracterizate de câmpuri bidimensionale (2D) plan-paralele, dependente de coordonatele (x, y).

3.5.1. Exemplul 3. Evaluarea parametrilor în curent alternativ ai unei c i de

curent de tip conductor masiv. O cale de curent are proprietatea de conductor masiv atunci când dimensiunile sec iunii sale transversale sunt comparabile sau mai mari decât adâncimea de

p trundere a câmpului electromagnetic corespunz toare frecven ei curentului alternativ ce o str bate. Reparti ia curentului alternativ în sec iunea transversal a conductorului este neuniform i dependent de valoarea frecven ei. Parametrii electrici rezisten i reactan ai unui conductor masiv au valori care depind de frecven , de rezistivitatea i permeabilitatea materialului conductorului, de forma sec iunii transversale i de structura electromagnetic a mediului care înconjoar conductorul.

C i de curent conductor masiv pot fi barele coliviei rotorice ale ma inilor asincrone sau înf ur rile transformatoarelor.

Evaluarea parametrilor R, X ai unui conductor masiv presupune determinarea câmpului electromagnetic generat de curentul I care parcurge conductorul sau de tensiunea U aplicat la

bornele acestuia, apoi calculul m rimilor integrale putere activ P i putere reactiv Q, urmat de

aplicarea rela iilor de calcul ale R, X în func ie de P, Q, U, I.

Conductorul bar dreapt de sec iune constant din Figura 3.4, are rezistivitatea

i

permeabilitatea magnetic

i este parcurs de un curent alternativ de frecven

f. Mediul din

vecin tatea conductorului este neconductor i nemagnetic. Fiind cunoscut c derea de tensiune pe unitatea de lungime a conductorului, respectiv valoarea gradientului dV/dz al poten ialului electric, se prezint în continuare modelul în element finit bazat pe formularea varia ional destinat determin rii structurii spa iale a câmpului electromagnetic, respectiv între altele a câmpul densit ii de curent în sec iunea transversal a conductorului i a curentului I.

1

x

z

y

I

Fig. 3.4. Bar dreapt parcurs de

curent alternativ

Modelul diferen ial. In condi iile precizate

mai sus, vectorul gradient al imaginii în complex

a poten ialului electric are orientarea axei Oz, Fig. 3.4, gradV

= kdz

Vd. Vectorul densit ii de

curent J[0, 0, J(x,y)] i poten ialul magnetic vector A[0, 0, A(x,y)] au de asemenea orientarea axei Oz, componenta lor diferit de zero depinzînd de coordonatele x i y. Aceste propriet i corespund unui câmp electromagnetic 2D plan-paralel.

Densitatea de curent în conductor are expresia :

J =

grad V

- j A (3.65)

iar m rimea de stare A(x, y) a câmpului satisface ecua ia:

divgradA

- j A

- dV/dz = 0 , (3.66)

Sursa dV/dz a câmpului electromagnetic este reg se te în ultimul termen al ecua iei (3.66). Domeniul de calcul Dc al necunoscutei A

(x,y) este m rginit de conturul 1 , Fig. 3.4,

suficient de dep rtat de conturul

al sec iunii transversale a conductorului pentru ca condi ia pe frontier de tip Dirichlet A = 0 s fie admis pe frontiera 1.

Formularea varia ional . Modelul diferen ial al problemei este echivalent cu minimizarea func ionalei:

c 1

2 22

D

1 dV dA[grad A A 2 A]dxdy ( ) A ds

2 dz dn (3.67)

unde s-a notat 2 = j , iar dA/dn este derivata m rimii de stare în raport cu normala local în puncte ale conturului 1, al c rui element este ds.

Într-adev r, varia ia elementar ( A) a func ionalei, corespunz toare unei varia ii

elementare A a necunoscutei, are expresiile succesive:

c 1

2

D

dV dA[grad A grad A A A ( ) A]dxdy ( ) A ds

dz dn

c 1

2

D

dV dAdiv( Agrad A) Adiv( grad A) A A ( ) A]dxdy ( ) A ds

dz dn

c

2

D

dV- [divgrad A - A ( )] A dxdy

dz

Varia ia A

fiind arbitrar , rezult c anularea varia iei

a func ionalei, respectiv sta ionarizarea func ionalei, este echivalent cu ecua ia (3.66).

Modelul EF, respectiv solu ia numeric în element finit. Domeniul de calcul al câmpului electromagnetic se divizeaz în subdomenii de form triunghiular - elemente finite, Fig. 3.5. Re eaua de elemente finite con ine noduri, c rora l-i se asociaz valorile necunoscute Ak ale

m rimii de stare.

Func ionala

, rel. (3.67), în care ultimul termen este nul ca urmare a condi iei la limit A

= 0, se exprim ca o sum a contribu iilor celor Ne elementelor finite:

eN

1e

)e( (3.68)

unde )e(

este integrala din primul termen al expresiei (3.67) referitoare la suprafa a elementului finit (e).

Valorile Ak

ale poten ialului în cele N noduri ale re elei de elemente finite rezult în urma

construirii i rezolv rii sistemului:

N,...,2,1k,0Ak

(3.69)

1

x

y

D

1

3

(e)2

1 - numerotare local

- numerotare global

1 2

3O

Fig. 3.5. Domeniul de calcul i re ea de elemente finite

Se aproximeaz pe fiecare element finit m rimea de stare prin varia ia liniar de forma :

ycxba)y,x(A eee)e( , (3.70)

care corespunde la elemente finite 2D de ordinul 1. Sistemul:

)e(3A

3eyec

3exebea

)e(2A

2eyec

2exebea

)e(1A

1eyec

1exebea

(3.71)

conduce la expresii ale coeficien ilor ae, be , ce în func ie de valorile m rimii de stare în cele trei noduri ale elementului finit:

)e(3

)e(2

)e(1

321

321

321

)e(

e

e

e

A

A

A

S2

1

c

b

a

(3.72)

M rimea S(e) este aria elementului (e), iar j, j, j , j = 1, 2, 3 sunt m rimi ale c ror expresii depind de coordonatele celor trei noduri ale elementului (e)

Rela ia (3.70) poate fi rescris sub forma:

)e()e(

)e(3

)e(2

)e(1

)e(

e

e

e)e( A)y,x(f

A

A

A

)y,x(fyx1

c

b

a

)y,x(A (3.73)

unde:

T

)e(333

)e(222

)e(111

T

)e(3

)e(2

)e(1

)e(

S2/)yx(

S2/)yx(

S2/)yx(

)y,x(f

)y,x(f

)y,x(f

)y,x(f (3.74)

Func iile )y,x(f),y,x(f),y,x(f )e(1

)e(2

)e(1 sunt func iile de form ale elementului finit (e).

Derivata func ionalei asociat elementului (e) în raport cu necunoscuta Ak are forma:

e

(e) (e) (e) (e)(e) (e)2 (e) (e) (e)

k k k kD

A A dV A[grad A grad A ( ) ]dxdy

A A A dz A (3.75)

În conformitate cu rela ia (3.73) rezult urm toarele expresii de calcul pentru componentele integrandului din rela ia (3.75):

)e()e(

3)e(

2)e(

1)e(

Ax

f

x

f

x

f

x

A

)e(e

3e

2e

1)e(

Ay

f

y

f

y

f

y

A

(e)(e) k

k

fA , dac nodul k apar ine elementului ( e)( ) xx A

0 , dac k (e)

(e)(e) k

k

fA , dac nodul k apar ine elementului ( e)

( ) yy A

0 , dac k (e)

(3.76)

eek

k

f , dac k (e)A

A 0 , dac k (e)

Dup efectuarea integralelor, rela ia (3.75) poate fi pus sub forma:

ek)e(

3ek

)e(2ek

)e(1ek

k

)e(

u ApAnAmA

(3.77)

Prin urmare, derivata k

)e(

A

este o rela ie de dependen liniar între valorile necunoscute ale

poten ialului vector în cele trei noduri ale elementului finit (e).

Derivata func ionalei

în raport cu valoarea necunoscut a poten ialului vector într-un nod oarecare, notat cu 1 în figura 3.6, este o expresie liniar de forma:

bAaAaAaAaAaAaAaA 77665544332211

1

(3.78)

care con ine poten ialul A1 i toate celelalte poten iale necunoscute, care caracterizeaz

elemente finite adiacente nodului 1. Coeficien ii a1 . a7 i b

depind de coordonatele nodurilor

1 ... 7, de propriet ile de material ale elementelor finite (1) ... (6) i de sursa câmpului electromagnetic.

5

3

(3)

(2)

(1)

(6)

(5)

(4)

6

7

2

4

1

Fig. 3.6. Explicativ pentru asamblarea elementelor din jurul unui nod

Cele N rela ii de forma (3.78 ) formeaz un sistem liniar neomogen, prin a c rui rezolvare rezult solu ia numeric în element finit a problemei.

3.5.2. Exemplul 4. Câmpul electromagnetic cvazistationar armonic de tip magnetic într-o ma in de curent alternativ. Modelul EF 2D plan-paralel pe baza formul rii Galerkin. În majoritatea ma inilor electrice rotative, exceptând zonele frontale din afara miezurilor magnetice statoric i rotoric, câmpul electromagnetic are o structur bidimensional plan-paralel , depinzând doar de coordonatele x, y în plan perpendicular pe axul ma inii Densitatea de curent în zonele parcurse de curent electric are orientare axial (Oz), iar vectorul câmp magnetic nu are component axial , B (Bx, By, 0). Aceea i orientare axial o are i poten ialul magnetic vector A[0, 0, A(x, y)]

Modelul diferen ial. Atunci când propriet ile permeabilitate magnetic

i conductivitate electric

sunt m rimi constante, independente de câmp - cazul problemelor liniare i când sursele de câmp au varia ie armonic în timp, caracterizat de pulsa ia

= 2 f, toate m rimile câmpului variaz armonic în timp i se reprezint prin imaginile lor în complex. Imaginea în complex A(x, y) a componentei nenule a poten ialului magnetic vector A(x, y, t) - m rimea de stare a câmpului, satisface ecua ia:

2 2

12 2

A AJ j A

x y (3.79)

Domeniul de calcul al câmpului Dc poate con ine regiuni magnetice, neconductoare i f r surse ( = 0, J1 = 0), regiuni surs , nemagnetice i f r curen i indu i (J1 0, = 0, = 0) cum sunt bobinele de tip filiform, sau regiuni f r surse i cu curen i indu i, de regul nemagnetice (J1 = 0,

0, = 0). Condi iile pe frontiera

a domeniului de calcul pot i de tip Dirichlet sau Neuman omogen. Pot exista condi ii aparte, specifice ma inilor electrice, denumite condi ii de periodicitate. Periodicit ile ciclice sau anticiclice leag între ele prin valori egale sau opuse ale m rimii de stare puncte de pe dou segmente ale frontierei domeniului de calcul.

În formularea Galerkin echivalent a modelului diferen ial

descris mai sus, aproxima iei Aa a poten ialului îi corespunde reziduul:

2 2a a

a12 2

A AR J j A

x y , (3.80)

iar criteriul de minim care determin solu ia prin metoda reziduurilor ponderate este reprezentat de expresia :

cD

0dxdyRw , (3.81)

unde w reprezint func ia de ponderare a reziduului.

Prin înlocuire se ob ine expresia:

c c c

2 2a a

a 12 2D D D

A Aw dxdy j wA dxdy w J dxdy

x y (3.82)

Integrând prin p r i, primul termen al rela iei (3.82) devine:

c c

2 2a a a a a

2 2D D

A A w A w A Aw dxdy dxdy w ds

x y x x y y n (3.83)

unde n este normala exterioar la conturul , iar ds este elementul de contur. Solu ia în element finit implic discretizarea în elemente finite a domeniului de calcul Dc.

Integralele de suprafa pe acest domeniu se exprim print-o sum a integralelor pe fiecare domeniu element finit De, a a încât expresia (3.82) se scrie sub forma:

e ee e e

e ee ee ee e e ea aa 1e e

N ND D D

w A w A Adxdy j w A dxdy w ds J w dxdy

x x y y n

(3.84)

unde Ne este num rul de elemente finite ale domeniului de calcul. M rimile e , e , e1J au

valori constante pe elementul finit De. Integrala de linie din rela ia (3.84) se evalueaz numai pe elementele care au o latur comun

cu conturul

al domeniului de calcul. Termenul care con ine aceast integral este în mod implicit nul în cazul unei frontiere cu condi ie la limit natural , adic Neuman omogen , A/ n = 0.

Fie un element finit triunghiular (e), Fig.3.7, cu nodurile i, j, k de coordonate (xi, yi), (xj, yj), (xk yk) i valorile necunoscute ale m rimii de stare Aai , Aaj , Aak în aceste noduri.

j

(e)

i

k

x

y

Fig. 3.7

Se presupune c m rimea de stare variaz pe elementul (e) liniar, de forma:

Aa(x,y) = C1 + C2x + C3y (3.85)

ceea ce înseamn element finit de ordinul 1. Scriind rela ia (3.85) în cele trei noduri ale elementului finit,

C1 + C2xi + C3yi = Aai ; C1 + C2xj + C3yj = Aaj ; C1 + C2xk + C3yk = Aak (3.86)

se ob in expresiile m rimile C1 , C2 , C3 în func ie de coordonatele celor trei noduri i de valorile m rimii de stare în cele trei noduri. Prin înlocuirea acestora în (3.85) se ob ine

dependen a m rimii de stare la nivelul elementului finit în func ie de valorile acesteia în cele trei noduri ale elementului:

j j ji i i k k ka i j k

a b x c ya b x c y a b x c yA (x, y) A A A

2 2 2 (3.87)

unde ai = xjyk - xkyj , bi = yj - yk , ci = xk - xj , iar este aria triunghiului element finit. Form matricial a rela iei (3.87) este:

Aa(x,y) = [fi(x,y) fj(x,y) fk(x,y)]

ak

aj

ai

A

A

A

(3.88)

Coeficien ii fi , fj , fk ai m rimii de stare în noduri din expresia (3.87) se numesc func ii de form ale elementului.

În formularea Galerkin ponderile sunt identice cu func iile de form :

we(x,y) =

)y,x(f

)y,x(f

)y,x(f

k

j

i

(3.89)

Considerând derivatele:

ak

aj

ai

ek

ej

ei

ea

ak

aj

ai

ek

ej

ei

ea

A

A

A

ccc2

1

y

A

A

A

A

bbb2

1

x

A (3.90)

ek

ej

eie

ek

ej

eie

c

c

c

2

1

y

w

b

b

b

2

1

x

w (3.91)

primul termen al p r ii din stânga a rela iei (3.84), e

e ee ea a

D

w A w Adxdy

x x y y, devine:

e

e2 e2 e e e e e e e ei i i j i j i k i k aie ee ee e e e e2 e2 e e e ea a

aji j i j j j j k j k

D e e e e e e e e e2 e2aki k i k j k j k j j

b c b b c c b b c c Aw A w A 1

dxdy b b c c b c b b c c Ax x y y 4

Ab b c c b b c c b c

(3.92)

S-a inut cont de faptul c

eD

dxdy . Deorece metoda elementului finit a fost dezvoltat în

mecanic , matricea coeficien ilor în rela ia (3.92) este uneori denumit matrice de rigiditate. Al doilea termen al p r ii din stânga a rela iei (3.84) devine:

e e

ai aii eee e e ea aj aje e j i j k

D Dak akk

f (x, y) A A211j

j w A dxdy j f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) A dxdy 1 21 A12

11 2A Af (x, y)

(3.93)

Matricea coeficien ilor în (3.93) este uneori denumit matrice de mas .

Deoarece 2

ycxbadxdy

2

ycxbadxdy)y,x(f mimii

D

iii

D

i

ee

, unde xm =(xi + xj + xk)/3

i ym =(yi + yj + yk)/3 sunt coordonatele centrului de greutate al triunghiului element finit, dup

înlocuiri rezult 3/dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(feee D

k

D

j

D

i . Prin urmare, termenul

surs , cel din dreapta al rela iei (3.84), rezult :

e

ee e 1e1e

D

1J

J w dxdy 13

1

(3.94)

Procesul de constituire a matricei globale a sistemului necunoscutelor care sunt valorile m rimii de stare în toate nodurile re elei de discretizare a domeniului de calcul, este denumit asamblarea elementelor. Fiecare matrice a unui element finit are linii i coloane care corespund nodurilor elementului respectiv.

This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com.The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.