Capitolul 13_Dinamica rigidului_final1.pdf

390 MECANIC. TEORIE SI APLICATII

Capitolul 13 DINAMICA RIGIDULUI

Capitolul 13. Dinamica rigidului Equation Chapter 13 Section 13

Spre deosebire de aspectele tratate n capitolul unsprezece, intitulat Dinamica punctului material, n prezentul capitol se realizeaz o extensie asupra noiunilor i teoremelor fundamentale ale dinamicii, specifice unui corp sau sisteme de corpuri.

13.1 Consideraii generale

Aa cum rezult din primul capitol al staticii, corpul rigid este constituit

dintr-o infinitate de particule materiale, n fiecare particul material fiind integrat o

cantitate de mas elementar dm . Drept urmare, noiunile i teoremele

fundamentale se bazeaz, printre altele, pe integrale masice extinse pe ntregul

volum al corpului ocupat de mase elementare infinit mici i continuu distribuite.

Pentru definirea noiunilor i teoremelor fundamentale, mai nti se realizeaz un

studiu cu privire la cinematica, geometria maselor i sistemele de fore exterioare ce

imprim corpului o micare general.

Ca urmare, n Fig. 13.1 este reprezentat conturul geometric al unui corp

S , al crui studiu se realizeaz n raport cu dou sisteme de referin:

O x y z0 0 0 0 0 , considerat fix i respectiv n raport cu sistemul de referin,

Oxyz S considerat mobil, fiind invariabil legat de corp cu originea n punctul

arbitrar O al acestuia. Sistemul Ox y z0 0 0 0 , reprezentat n aceeai figur, este

un sistem cu originea n punctul O i a crui orientare se menine constant pe

toat durata micrii i identic cu a sistemului fix 0 , adic OR OR0 0 .

13.1.1 Studiul cinematic

Analiza corpului S , (a se vedea Fig.13.1), sub aspect cinematic i

dinamic se efectueaz, n cazul micrii generale, ale crei ecuaii cinematice au

fost prezentate detaliat n capitolul opt. Pentru a facilita studiul dinamic, n cadrul

acestei seciuni se prezint ecuaiile parametrice, specifice micrii generale,

conform cu (10.1), din capitolul zece, 10.2.1, rescris mai jos:

0 0 00

T

T

x t y t z tr tX t

t t t t

MECANIC. TEORIE I APLICAII 391


unde 0 0r r t exprim ecuaia vectorial a micrii de translaie rezultant, iar

vectorul de orientare t , coninnd setul de unghiuri Euler, exprim micarea de

rotaie rezultant, ambele fiind componente ale micrii generale a rigidului S .

Din aceleai considerente, privind facilitarea studiului dinamic este rescris, matricea de rotaie rezultant (8.4), vezi 8.1, sub forma urmtoare:

s R t R R z t R x t R z t0 ; ; ; .

x

y

z

0x

0y

0z

z

ck c

c

y

cj c

c

x

ci c

c

0k

N

0i

0i

0j

0j

0k

0x

0y

0O

0r

Cr

Mr

0z

s

i

s

1F

s

iF

s

nF

1A

iA

nA

s

c

CaR

a

a dm

C

sr

sr

0v

0a

;0 S

;0 S

0

dm

CM v

Cvv dm

v iu

1u

S

O

M

Fig. 13.1



s c s c c s c c c s s s

R c c s s c c c c s s c s

s s s c c

i reprezint n exclusivitate o funcie matriceal, de cele trei unghiuri Euler [N01].

Sub aspectul cinematicii instantanee, corpul S este caracterizat prin

urmtorii parametri: 0 0 0 0 0,v r a v r . Aadar, micarea de translaie rezultant

este exprimat din punct de vedere cinematic prin ecuaia vectorial 0 0r r t , prin

viteza absolut 0v i prin acceleraia absolut 0a , a originii O a sistemului de

referin mobil S . Micarea de rotaie rezultant se exprim prin cele trei unghiuri

Euler, incluse n componentele vectorului de orientare t i n matricea s R t0

prin viteza unghiular , respectiv prin acceleraia unghiular .

Determinarea vitezei unghiulare are la baz proprietile (8.69) i (8.70),

rescrise mai jos astfel:

0 0

0

0

0

z yT

z x s s

y x

R R ;

0 0

0

0

0

S Sz y

TS S Sz x s s

S Sy x

R R

0S S , arat c ntr-o micare de rotaie rezultant, vectorii vitez

unghiular i acceleraie unghiular nu sunt coliniari, avnd n comun doar

punctul O , n care se intersecteaz suporturile celor doi vectori.



13.1.2 Studiul geometriei maselor

Prezentul paragraf nu are drept scop analiza n detaliu a distribuiei

proprietilor de mas, dezvoltate n capitolul doi i nici a momentelor de inerie

mecanice, dezvoltate n capitolul doisprezece. Utiliznd aspectele cuprinse n aceste

capitole, n cele ce urmeaz se vor relua cteva proprieti ale geometriei maselor,

indispensabile studiului dinamic prin prisma noiunilor i teoremelor fundamentale.

Urmare a considerentelor specifice geometriei maselor, corpul S este

divizat ntr-o infinitate de particule elementare, infinitezimale, notate simbolic dm ,

distribuite n mod continuu n ntregul volum al corpului. Fiecare dintre aceste

particule, sub aspect geometric i cinematic, sunt asimilate conform ipotezelor

simplificatoare cu un punct material. Unul dintre acestea, notat M O , se

caracterizeaz prin ecuaia (8.5), ce exprim traiectoria de micare absolut:

SM Sr t r t r t r t R t r0

0 0 . (13.1)

Prin derivarea absolut, de ordinul nti n raport cu timpul, a ecuaiei (13.1) i prin

aplicarea proprietii (8.69), rezult expresiile urmatoare:

00S

M Sr r rR ; (13.2)

0v v r , (13.3)

unde v exprim viteza absolut a particulei materiale M , aparinnd rigidului S ,

fiind legea de distribuie a vitezelor n micarea general

Prin derivarea n raport cu timpul a ecuaiei (13.3), rezult:

0a a r r . (13.4)

unde a reprezint acceleraia absolut a particulei M i caracterizeaz legea de

distribuie a acceleraiilor n micarea general a rigidului S .

masa total a corpului S , este:

,M dm unde ; ;V A ldm dV dA dl (13.5)

iar , ,V A l semnific densitatea de volum, de suprafa sau liniar, fiind aadar

o funcie de forma geometric a corpului S .



Poziia centrului maselor pentru corpul S , n raport cu sistemul de referin fix

0 i respectiv n raport cu sistemul 0 , este:

M

C

r dmr

M, (13.6)

C

r dm

M. (13.7)

innd seama de ecuaiile matriceale de transfer, ntre vectorii Cr i C este evident

urmtoarea relaie vectorial:

00 0S

C C S Cr r r R (13.8)

unde S C este vectorul de poziie al centrului maselor cu proiecii pe sistemul mobil.

Sub aspect cinematic, centrul maselor, este un punct al corpului S ,

caracterizat prin viteza liniar Cv i acceleraia liniar Ca , acestea fiind rezultatul

derivrii n raport cu timpul de ordinul nti i doi a ecuaiei vectoriale (13.8), adic:

0C Cv v ; (13.9)

0C C Ca a . (13.10)

Aceste expresii pot fi aplicate i prin similitudine cu (13.3) i (13.4), substituind r

prin C , v prin Cv , respectiv a prin Ca .

n micarea de rotaie rezultant, proprietile de mas, sunt reprezentate

prin momentele de inerie mecanice.

Pentru corpurile cu form geometric regulat, la care se poate aplica

calculul prin integrale masice, momentele de inerie mecanice sunt valori cunoscute

n raport cu un sistem de referin avnd originea n centrul maselor.

Drept urmare, Fig.13.1 reliefeaz acest aspect, adic existena n centrul

maselor a dou sisteme de referin, dup cum urmeaz:

OR OR ORS0 0' , respectiv OR ORS S

.

Aadar, cele dou sisteme de referin pstreaz aceeai orientare cu

sistemul 0 , respectiv cu sistemul S . innd seama de aceast observaie,



particula material dm este repoziionat fa de sistemele cu originea n centrul

maselor prin vectorii de poziie, ntre care este evident urmtoarea relaie

matriceal:

Ssr t R t r0 . (13.11)

Urmare a expresiilor dezvoltate n 12.6 (din capitolul doisprezece), tensorul inerial

axial-centrifugal al corpului S n raport cu sistemul de referin S este

cunoscut prin valori numerice i are expresia (12.71), rescris mai jos:

T

SI r r dm

Aplicnd legea de variaie a tensorului inerial n raport cu axe concurente, se obine

tensorul inerial axial-centrifugal n raport cu sistemul de referin 0 , rescris:

0 0 .TS

S S S SI R I R

Dar, n studiul dinamic trebuie cunoscut tensorul inerial axial-centrifugal n raport cu

sistemul 0 , respectiv 0 . Iat de ce trebuie aplicat legea de variaie a

tensorului inerial (12.78), sub urmtoarea form:

,TT

S C C S SC SI r r dm M I I I (13.12)

respectiv T T

S C C S SI M r r I M r r I0 0 , . (13.13)

unde expresia (13.13) arat legea de variaie generalizat a tensorului inerial axial-

centrifugal n raport cu sistemul de referin fix 0 .



13.1.3 Studiul dinamic al forelor exterioare aplicate asupra corpului rigid

Micarea general a corpului S , vezi Fig.13.1, este consecina aciunii

unui sistem de fore exterioare, active, cu o distribuie spaial cunoscut (modul i

orientare) fa de sistemul de referin mobil S . Distribuia spaial a sistemului

de fore exterioare, este cunoscut, n form analitic, astfel:

; ; 1 1S Si iF i n n . (13.14) unde S iF

sunt forele exterioare, iar S i sunt vectorii de poziie ai punctelor de

aplicaie ale fiecrei fore n raport cu sistemul de referin mobil.

Prin transfer matriceal, n conformitate (4.20) i (4.21), (vezi 4.1, din

capitolul patru), distribuia spaial a sistemului de fore exterioare devine cunoscut

fa de sistemul 0 i respectiv 0 , adic:

0 Si s iF R F (13.15)

00 0S

i i s ir r r R (13.16)

n conformitate cu proprietile torsorului de reducere al unui sistem de vectori (vezi 1.7, din capitolul nti), sistemul de fore exterioare este echivalent mecanic n

raport cu polul O , originea sistemului de referin 0 cu un torsor constituit din

vectorul rezultant R i momentul rezultant al sistemului de fore OM , adic:

1

nT

x y z ii

R R R R F dF a dm

, (13.17)

1

nT

O x y z i ii

M M M M F r dF r a dm

, (13.18)

unde dF a dm , reprezint o for elementar, component a vectorului rezultant al

forelor exterioare i care este aplicat asupra particulei materiale, de mas dm , avnd

la momentul t acceleraia a .

Prin aplicarea legii de variaie a momentului rezultant la schimbarea polului

din O n 0O , rezult:

0 01

n

O i i O Mi

M r F r R M r a dm

. (13.19)



innd seama c vectorul rezultant este invariant n raport cu polul de reducere,,

sistemul de fore exterioare devine astfel echivalent n polul O0 0 cu un torsor,

constituit din vectorul rezultant R i respectiv momentul rezultant OM .



13.2 Impulsul. Teorema micrii centrului maselor

n conformitate cu 11.1, impulsul sau cantitatea de micare este o mrime

fizic vectorial egal cu produsul dintre masa punctului material i vectorul vitez al

acestuia. Transfernd aceast noiune asupra masei elementare dm , aparinnd

corpului S , vezi Fig.13.1, a crei vitez v la momentul t este definit cu (13.3),

rezult impulsul elementar de forma:

dH v dm ; (13.20)

Extinznd aceast expresie asupra particulelor elementare (vezi 11.2 din

capitolul unsprezece) ce compun corpul S , se obine impulsul total H , definit prin

integrala masic:

H dH v dm . (13.21)

Substituind expresia vectorului vitez (13.3) n (13.21), se obine:

0 0v rH dm v dm r dm . (13.22)

innd seama de (13.5) i respectiv (13.7), ecuaia (13.22) se scrie sub forma:

0 CvH M (13.23)

Conform cu (13.9), paranteza din (13.23) reprezint viteza centrului maselor. Astfel,

se obine expresia final a impulsului total sub forma:

CH M v . (13.24)

Aadar, impulsul total n cazul unui corp rigid este produsul dintre masa total a

acestuia i viteza centrului maselor. Expresia (13.24) este echivalent ca form de

exprimare matematic cu expresia impulsului total n cazul unui sistem discret de

puncte materiale (11.10), cu observaia c n cazul unui corp vectorul Cv prezint

forme de exprimare n consonan cu micrile particulare ale acestuia.

Conform cu 11.5, pentru a evidenia cauza generatoare a micrii, adic sistemul

de fore exterioare aplicate corpului S , expresia (13.20) se deriveaz n raport cu

timpul i innd seama de expresia (13.17), rezult:



d dHdH d dHdt dt

,

dv dm a dm

dt , dH a dm (13.25)

H a dm R (13.26)

n expresia (13.26) acceleraia a a particulei elementare dm este substituita prin

(13.4) rezultnd:

0

0

a r ra dm dm

a dm r dm r dm

, (13.27)

unde integralele masice sunt substituite prin (13.5) i (13.7). Ca urmare se obine:

0 C Ca dm M a . (13.28)

Paranteza din membrul drept al expresiei (13.28) este, conform cu (13.10),

acceleraia centrului maselor, simbolizat prin Ca . Aadar, se obine expresia final:

, CH R M a R . (13.29)

Expresia (13.29) este cunoscut sub denumirea de teorema micrii

centrului maselor (teorema impulsului) i ea arat c produsul dintre masa total a

corpului i acceleraia centrului maselor este egal cu vectorul rezultant al forelor

exterioare aplicate corpului rigid aflat ntr-o micare general. Expresia (13.29) este

identic, ca form de exprimare matematic, cu aceea a unui sistem discret de

puncte materiale (11.69), cu observaia c expresia acceleraiei centrului de maselor

ia forme specifice micrilor particulare ale rigidului S .

Vectorul de poziie al centrului maselor definit cu (13.8) i derivata de

ordinul doi n raport cu timpul al acestuia (acceleraia centrului maselor), se

proiecteaz pe axele sistemului de referin fix 0 , rezultnd:

;T T

C C C C C C C C Cr x y z a r x y z . (13.30)

Substituind (13.30) n expresia (13.29) i innd seama de (13.17) se obine:

; ; .C x C y C zM x R M y R M z R (13.31)



Aadar, proieciile teoremei micrii centrului maselor pe axele sistemului de

referin fix 0 , reprezint ecuaiile difereniale specifice micrii de translaie

rezultant, component a micrii generale a corpului rigid. Drept urmare, se

recomand ca 0C , iar 0 Cr r , adic sistemul de referin mobil S s fie

aplicat n centrul maselor.

13.3 Teorema micrii centrului maselor pentru un sistem de corpuri

Lund n considerare aspectele tratate n 13.2, cu privire la cinematica,

geometria maselor i forele aplicate n cazul unui sistem de corpuri, expresia

impulsului total definit cu (13.24), ia urmtoarea form:

i i CiH M v (13.32)

unde Civ , reprezentnd viteza centrului maselor, este substituit prin

Error! Reference source not found., n care viteza unghiular i este exprimat

prin (10.73).

Teorema micrii centrului maselor, (vezi (13.29)), aplicat fiecrui corp

iS , devenit liber n urma aplicrii axiomei legturilor (4.72), se modific astfel:

i C i Li iM a R R (13.33)

unde acceleraia centrului maselor Cia este substituit prin expresia

Error! Reference source not found., iar n cadrul acesteia, termenii i i i sunt

substituii prin (10.73) i respectiv (10.74). n funcie de tipul legturii suprimate,

necunoscutele din sistemul de ecuaii difereniale (13.33) se refer pe de o parte la

parametrii independeni ce exprim micarea de translaie, iar pe de alt parte la de

forele de legtur.

13.4 Momentul cinetic

Plecnd de la ecuaia vectorial ce exprim momentul cinetic n cazul unui

punct material, (vezi (11.72) din 11.6), pentru corpul rigid S reprezentat n



Fig.13.1, mai nti se definete momentul cinetic corespunztor particulei materiale

de mas elementar dm , astfel:

O MdK r v dm ; (13.34)

ntruct rigidul S este constituit dintr-o infinitate de particule elementare, prin

analogie cu (11.76) din 11.6, momentul cinetic rezultant, n raport cu polul 0O ,

originea sistemului de referin fix, se exprim prin urmtoarea integral masic:

O MK r v dm . (13.35)

Substituind vectorul de poziie Mr , prin (13.1) i viteza v a particulei dm prin (13.3),

n (13.35), momentul cinetic rezultant devine:

0 0O r r v rK dm . (13.36)

Produsul vectorial din (13.36) se dezvolt, iar n conformitate cu (13.5) i (13.7),

rezult urmtorii termeni vectoriali:

0 0 0 0 0 0r v dm r v dm r M v ; (13.37)

0 0 Cr r dm r M . (13.38)

nsumnd (13.37) i (13.38) i innd seama de (13.9), reprezentnd viteza centrului

maselor, se obine:

00 0 0 0 0CC Cvr M v r M r M r M v . (13.39)

Urmtorii doi termeni ai produsului vectorial din (13.36) se dezvolt innd seama de

(13.12). Astfel, se obin urmtoarele expresii:

0 0 0Cr v dm r dm v M v ; (13.40)

T Sr r dm dm Ir r , (13.41)

unde SI este tensorul inerial, axial-centrifugal al corpului S fa de sistemul 0 .

Expresiile (13.39)-(13.41), se nlocuiesc n (13.36), rezultnd relaia:

0 0O C C sK r M v M v I . (13.42)

specific momentului cinetic al corpului S , aflat n micare general absolut.



Aplicnd urmtoarele particulariti: 0, 0,C CO C r r , adic

sistemul de referin mobil este aplicat n centrul maselor, iar ca urmare S SI I

devine tensorul inerial axial centrifugal n raport cu centrul maselor. Ca urmare,

expresia (13.42), ia forma urmtoare:

O C C S C C CK r M v I r M v K . (13.43)

Expresia (13.43) rezultat prin calcul integral, este identic, ca form de exprimare

matematic cu teorema lui Knig (11.88), dedus n cazul unui sistem discret de

puncte materiale. Diferenele ntre cele dou expresii sunt evidente, pe de o parte

datorit faptului c viteza centrului maselor ia forme specifice micrilor particulare

ale rigidului, iar pe de alt parte prin C SK I , adic momentul cinetic al corpului

S aflat n micare relativ de rotaie n jurul centrului maselor. n cazul sistemelor

de corpuri, simbolic reprezentate n Fig.13.2, expresia momentului cinetic (13.43),

are urmtoarea form de exprimare:

,i C i C i ii iK r M v I (13.44)

termenii coninui n expresia anterioar, avnd semnificaiile din 13.2.

Observaii:

Dac rigidul S execut o micare de translaie, vezi Fig.9.1, 9.1, din

capitolul nou, atunci 0 , iar expresia (13.43) se particularizeaz sub forma:

O C CK r M v (13.45)

Dac sistemul de referin mobil are originea n centrul maselor, atunci

urmtoarele particulariti cinematice devin evidente:

0 SSC Cr R r , respectiv C C Cv r r (13.46)

Substituind (13.46) n (13.43), momentul cinetic ia forma:

T

O C C S C C SK r M r I M r r I (13.47)



unde conform cu (13.13), T

C C S SM r r I I reprezint tensorul inerial

axial centrifugal al corpului S n raport cu sistemul de referin fix.

Drept urmare, expresia momentului cinetic n raport cu polul fix O , se rescrie:

O SK I (13.48)

i corespunde cazului n care rigidul execut o micare de rotaie.

Dac rotaia rigidului are loc n jurul unei axe fixe (vezi Fig.9.2, 9.2, din capitolul

nou), avnd particularitatea cinematic: k , expresia (13.48) ia forma:

0

0

x xy xz xz

O yx y yz yz

zx zy z z

I I I I

K I I I I

I I I I

, (13.49)

i reprezint momentul cinetic n cazul unui corp aflat ntr-o micare de rotaie n jurul unei axe fixe Oz .

Dac rigidul execut o micare de rotaie n jurul unui punct fix, vezi

Fig.9.10, 9.5, din capitolul nou, innd seama de particularitile cinematice

prezentate n (8.79), adic: 0k n k , atunci rezult expresia:

x xy xz x x xy y xz zx

O yx y yz y yx x y y yz z

zx zy z z zx x zy y z z

I I I I I I

K I I I I I I

I I I I I I

(13.50)

reprezentnd momentul cinetic n micarea de rotaie n jurul unui punct fix.

Dac rigidul S execut o micare plan-paralel, vezi Fig.9.7, 9.5, din

capitolul nou, iar originea sistemului mobil se afl n centrul maselor, atunci

particularitile cinematice, introduse n (13.43), conduc la expresia (13.48),

reprezentnd momentul cinetic n raport cu sistemul de referin fix.



innd seama c placa supus analizei se afl n planul micrii 0 0z ,

conduce la urmtoarele particulariti ale momentelor de inerie mecanice: 0xzI i

0yzI . Drept urmare, expresia (13.49) ia forma:

z zK I (13.51)

unde conform cu (13.13):

2 2z z C CI I M x y (13.52) Substituind (13.52) n (13.51), rezult:

2 2z z C CK I M x y (13.53) n conformitate cu proprietile (9.59), micarea plan-paralel este reductibil la o micare de rotaie n jurul centrului instantaneu de rotaie (CIR). n acest caz, se introduc urmtoarele particulariti cinematice:

Cr IC , iar Cv IC (13.54)

Ca urmare, expresia (13.47), ia forma:

T

CIRI S SK M IC IC I I

(13.55)

unde CIRSI reprezint tensorul inerial axial centrifugal n raport cu un sistem de

referin avnd originea n centrul instantaneu de rotaie.

innd seama de (13.51), expresia (13.55), ia urmtoarea form particular:

AIR I IK K I (13.56)

i reprezint momentul cinetic al plcii n raport cu axa instantanee de rotaie, iar I

I

fiind momentul de inerie mecanic axial n raport cu aceeai ax.



13.5 Teorema momentului cinetic

Utiliznd aceleai principii apelate n dinamica punctului material, (vezi

11.9 i 11.13), variaia n raport cu timpul a momentului cinetic pune n eviden

sistemul de fore, care imprim corpului rigid micarea mecanic.

Pentru nceput, se aplic derivata absolut de ordinul nti n raport cu

timpul asupra expresiei (13.34), obinnd:

;OO OdKd

K d dKdt dt

(13.57)

M M M M Md

r v dm r v dm r v dm v v dm r a dm r a dmdt

(13.58)

O MdK r a dm (13.59)

n consonan cu principiul conform cruia rigidul este constituit dintr-o infinitate de particule materiale, continuu distribuite n ntregul volum, asupra expresiei (13.59) se aplic integrala masic, rezultnd:

O MK r a dm . (13.60) Membrul drept din (13.60), n conformitate cu (13.19), reprezint momentul rezultant

al sistemului de fore exterioare n raport cu polul 0O . Drept urmare, se obine:

,O OK M (13.61)

reprezentnd teorema momentului cinetic n raport cu polul 0O .

Membrul stng al teoremei momentului cinetic (13.61) se dezvolt prin substituirea

vectorului de poziie Mr prin (13.1), respectiv a vectorului acceleraie a prin (13.4).

Astfel, se obine:

0 0O M r r a r rK r a dm dm . (13.62)

Produsul vectorial din membrul drept al expresiei (13.62) se dezvolt n consonan

cu (13.5) i (13.7), rezultnd:

0 0 0 0 0 0r a dm r a dm r M a ; (13.63)



0 0 0 cr r dm r r dm r M ; (13.64)

0 0 0 cr r dm r r dm r M . (13.65)

Cele trei expresii (13.63)-(13.65) se nsumeaz i considernd relaia de definiie pentru

acceleraia centrului maselor (13.10), astfel rezultnd:

0 0 0 0

0 0 0

C C

C C C

r M a r M r M

r M a r M a (13.66)

Urmtorii trei termeni ai dezvoltrii vectoriale din (13.62), innd seama de (13.5) i

(13.12) conduc la:

0 0 0Cr a dm r dm a M a ; (13.67)

T Sr r dm dm Ir r ; (13.68)

T Sr r dm dm Ir r . (13.69)

nlocuind (13.66)-(13.69) n (13.62), n final rezult expresiile:

0 0 ;O C C S SK r M a M a I I . (13.70)

0 0C C S S Or M a M a I I M . (13.71)

Expresia (13.71), reprezint teorema momentului cinetic (13.61), scris n form

dezvoltat, corespunztoare micrii generale absolute a corpului rigid S .

Observaii:

Expresia (13.70), reprezentnd membrul stng al teoremei momentului cinetic

(13.71), se poate demonstra prin aplicarea derivatei absolute n raport cu timpul

asupra momentului cinetic (13.42) al corpului S aflat n micare general

absolut. Drept urmare, rezult:

0 0 0 0O C C C C Sd

K r M v r M a M v M a Idt

; (13.72)

Explicitnd primul i al treilea termen din membrul drept din (13.72) se obine:

0 0 0C C Cr M v v M v v M v ; (13.73)

0 0 0;S

C S C C C CM v M vR ; (13.74)

innd seama de viteza centrului maselor (13.9), prin nsumarea expresiilor (13.73)

i (13.74) se obine:



0 0 0 0 0C C C Cv M v M v v M v v . (13.75)

Conform legii de variaie n raport cu sistemele de referin concurente,

0 i S , tensorul inerial axial centrifugal din (13.72), se rescrie:

0 0 0 0TT T TS S S

S S S S S SI r r dm R r r dm R R I R (13.76)

Ca urmare, ultimul termen din membrul drept al expresiei (13.72), devine

0 0 0 0 0 0TT TS S

S S S S S S S S S

dI R I R R I R R R

dt (13.77)

Pe baza proprietii (8.69) i respectiv (8.70), termenii din (13.77) se rescriu:

0 0 TSS S S SR I R I (13.78)

0 0 0 0 0 0 0

0 0

T TTS S STS S S S S S S S S

S S SS S

R I R R R R I R R

R I

. (13.79)

Substituind (13.75), (13.78) i (13.79) n (13.72), se obine:

0 0O C C S SK r M a M a I I ;

o expresie identic cu (13.70), reprezentnd membrul stng al teoremei momentului

cinetic al corpului S aflat n micare general absolut.

Comparnd (11.147) cu (13.61) se constat c teorema momentului cinetic pstreaz aceeai form de exprimare matematic fie c n analiz se afl un sistem discret de puncte materiale, fie un corp rigid. Deosebirea este evideniat prin forma dezvoltat n (13.71), care arat c n cazul unui corp rigid teorema momentului cinetic ia forme specifice micrilor particulare ale acestuia.

Introducnd particularitatea: 0, 0, ,C C S SO C r r I I , teorema momentului cinetic se modific dup cum urmeaz:

C C S S Or M a I I M , (13.80)

sau S S O C CI I M r M a (13.81)



n conformitate cu legea de variaie a momentului rezultant la schimbarea polului din

0O n C i innd seama de (13.29), membrul drept al expresiei (13.81), devine:

O C C O C CM r M a M r R M (13.82)

unde T

C x y zM M M M . Drept urmare, expresia (13.81) ia forma final:

S S CI I M . (13.83)

i reprezint teorema momentului cinetic n raport cu un sistem de referin 0 aplicat n centrul maselor i corespunztor micrii de rotaie, component a micrii

generale a rigidului S .

Dac rigidul execut o micare de translaie, atunci 0 i 0 , drept

urmare expresia teoremei momentului cinetic (13.71) se particularizeaz astfel:

C C Or M a M (13.84)

Dac sistemul de referin mobil are originea n centrul maselor, atunci se

introduc urmtoarele particulariti cinematice:

0 SSC Cr R r , iar C C Ca r r (13.85)

Acceleraia centrului maselor din (13.85) este substituit n (13.71), asupra creia se

efectueaz transformrile:

C C C C S S Or M r r M r I I M (13.86)

T T

C C C C S S OM r r M r r I I M (13.87)

T T

C C S C C S OM r r I M r r I M (13.88)

unde conform cu (13.13), T

C C SM r r I reprezint tensorul inerial axial

centrifugal n raport cu sistemul de referin fix.

Ca urmare, teorema momentului cinetic n raport cu sistemul de referin fix devine:

S S OI I M , (13.89)



aceast expresie corespunznd unei micri de rotaie.

Dac rigidul execut o micare de rotaie, n jurul unei axe fixe avnd

particularitile cinematice: k k , iar k k , teorema (13.89)

se transform astfel:

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

x xy xz xz

yx y yz yz

zx zy z z

I I I I

K I I I I

I I I I

, (13.90)

2

2

xz yzx

yz xz y

z z

I I M

I I M

I M

, (13.91)

Expresia (13.89) reprezint teorema momentului cinetic n raport cu sistemul de

referin fix, n cazul unui corp aflat n micare de rotaie n jurul unei axe fixe.

Dac rigidul execut o micare de rotaie n jurul unui punct fix (vezi Fig.9.10,

9.5, din capitolul nou), particularitile cinematice (8.76), (8.78), (8.94), i (8.97)

sunt rescrise astfel:

0k n k , J , J J , 0 (13.92)

Considernd c sistemul de referin mobil este un sistem de axe principale de

inerie, fa de care 0xy yz zxI I I , teorema momentului cinetic (13.89) se

particularizeaz astfel:

0

00 0

0 0 0

00 0

z yx x x x

y y z x y y

y xz z z z

I I

K I I

I I

, (13.93)

x x z y y z x

y y x z z x y

z z y x x y z

I I I M

I I I M

I I I M

(13.94)

Teorema momentului cinetic, astfel obinut n (13.94), poart denumirea de

ecuaiile dinamice Euler.



Dac rigidul execut o micare plan-paralel, vezi Fig.9.9, 9.4, din capitolul

nou, iar sistemul de referin mobil este aplicat n centrul maselor, atunci

particularitile cinematice introduse n (13.71) conduc la (13.89). innd seama c

placa supus analizei se afl n planul 0 0z , momentele de inerie mecanice

centrifugale devin 0xz yzI I . Introducnd aceste particulariti n (13.91), rezult:

z zI M , (13.95)

reprezentnd teorema momentului cinetic n raport cu axa 0z

O . Substituind (13.52)

n (13.95) teorema momentului cinetic n raport cu axa 0z

O devine:

2 2z C C zI M x y M (13.96) Lund n considerare particularitile cinematice i de geometria maselor, mai sus

prezentate, momentului cinetic n raport cu centrul maselor, ia forma particular:

z zI M (13.97)

Dac se ia n considerare proprietatea conform creia micarea plan-paralel este

reductibil la o micare de rotaie n jurul polului acceleraiilor (vezi 9.5.5), atunci se

introduc particularitile cinematice Cr JC , Ca JC JC n (13.71).

Aadar, prin transformri succesive, similar cu (13.86)-(13.90) se obine: AIA AIAS S CI I M JC R (13.98)

unde 0 0T

C J JM JC R M M (13.99)

iar T

AIAS SM JC JC I I (13.100)

n expresiile de mai sus JM reprezint momentul forelor exterioare n raport cu

polul acceleraiilor, iar AIASI tensorul inerial axial centrifugal n raport cu un sistem de

referin aplicat n polul acceleraiilor. Dar, innd seama de particularitile

geometrice i cinematice rezult n final:

J JI M (13.101)

reprezentnd teorema momentului cinetic n raport cu axa instantanee a

acceleraiilor, J

I fiind momentul de inerie mecanic axial n raport cu aceeai ax.



Ecuaia vectorial i diferenial a teoremei momentului cinetic (13.83) se

proiecteaz fie pe axele sistemului de referin fix 0 , fie pe axele sistemului de

referin mobil S , rezultnd un sistem de trei ecuaii difereniale scalare de

ordinul doi, dup cum urmeaz:

0

0

0

x xy xz x xy xz xz yx x

y z x y yyx y yz yx y yz

y xz z zzx zy z zx zy z

I I I I I I M

MI I I I I I

MI I I I I I

(13.102)

x x xy y xz z zx x yz y z z y

yx x y y yz z z x

yx x y y yz z x x xy y xz z z

yx x y y yz z x y

zx x zy y z z yx x y

I I I I I I

I I I M

I I I I I I

I I I M

I I I I I

y yz z x

x x xy y xz z y z

I

I I I M

(13.103)

innd seama de expresiile vitezei i acceleraiei unghiulare i (8.34) i (8.37) necunoscutele n sistemul de ecuaii difereniale (13.103) devin unghiurile lui Euler,

incluse n vectorul de orientare t (vezi (10.1), din capitolul zece).

Aadar, dinamica rigidului aflat n micare generala se poate studia prin aplicarea

celor dou teoreme fundamentale anterior demonstrate: teorema micrii centrului

maselor (teorema impulsului) (13.29) i teorema momentului cinetic n raport cu

centrul maselor (13.83). Prin integrarea celor ase ecuaii difereniale scalare de

ordinul doi (13.31) i (13.103), n anumite condiii particulare, se obin ecuaiile

parametrice ale micrii generale ale unui corp rigid.

13.5.1 Teorema momentului cinetic pentru un sistem de corpuri

n cadrul acestui studiu, sunt apelate noiunile din 13.2, precum i

expresiile de definiie ale teoremei momentului cinetic (13.71) i (13.83). Cele dou



expresii, aplicate asupra fiecrui corp iS , din ansamblul de corpuri:

1 , ,i nS S S se modific astfel:

i i C C i i S i i S i i Li i i i ip M a M a I I M M . (13.104)

i i i i i C Li iI I M M . (13.105)

unde LiM este momentul rezultant al forelor de legtur aplicate corpului iS , n

raport cu centrul maselor iC .

Studiul dinamic al sistemului de corpuri iS , necesit n funcie de numrul

necunoscutelor, aplicarea pentru fiecare corp n parte a celor dou ecuaii

fundamentale (13.33), reprezentnd teorema micrii centrului maselor i respectiv

(13.105), adic teorema momentului cinetic n raport cu centrul maselor. Reuniunea

ecuaiilor (13.33) i (13.105), iar apoi proiectarea lor pe axele sistemului de referin

fix, va conduce la un sistem de 6 n ecuaii difereniale scalare de ordinul doi.

Necunoscutele acestui sistem, sunt pe de o parte parametrii independeni, n numr

de k , numii coordonate generalizate (vezi (10.36) din capitolul zece), care exprim

n mod univoc micarea mecanica a sistemului de corpuri, celelalte 6p n k se

refer la forele de legtur.

13.6 Lucrul mecanic al forelor aplicate rigidului

Orice transformare sau schimbare de stare, n general se realizeaz printr-o

micare, a crei msur la un moment dat constituie energia. Lucrul mecanic

reprezint msura transferului de energie ntre dou stri (starea iniial i starea

final) ale unui sistem material. Altfel spus, este un proces fizic i real n decursul

cruia au loc transformri ale micrilor nemecanice n micri mecanice i invers.

Pentru determinarea lucrului mecanic al forelor exterioare, conform cu [V01] i

[V02], se ia n studiu corpul rigid S , (vezi Fig.13.1), aflat n micare general.

Micarea general a corpului rigid este rezultatul aciunii unui sistem de fore

exterioare cu distribuie spaial cunoscut. n studiu se introduc particularitile

geometrice: O C , 0C i 0 Cr r , adic sistemul de referin mobil S are

originea n centrul maselor corpului S .



La momentul t , punctul de aplicaie al forelor , 1iF i n , este

definit prin vectorul ir . Echivalentul mecanic al sistemului de fore exterioare, n

raport cu centrul maselor, este torsorul de reducere, constituit din vectorul rezultant

R , definit prin (13.17) i momentul rezultant n raport cu centrul maselor CM ,

rescris sub forma:

1

n

C i ii

M F r a dm . (13.106)

Introducnd particularitile de mai sus n (13.9), viteza centrului maselor i viteza

unghiular, definit cu (8.76) se rescriu sub forma:

0 ,SC SC C C Cdr d

v r R r rdt dt

iar C C Cdr v dt r dt ; (13.107)

d

dt

iar d dt . (13.108)

unde Cdr reprezint deplasarea elementar infinitezimal a centrului maselor, iar

d este vectorul ce exprim rotaia elementar infinitezimal a corpului S .

Aplicnd derivata absolut de ordinul nti asupra vectorului de poziie:

0 SSi C i C ir r r R , (13.109)

se obine vectorul vitez al punctului de aplicaie iA al forei iF , ce acioneaz

asupra rigidului, adic:

ii i C idr

v r vdt

, de unde i i C idr v dt v dt . (13.110)

Tabloul expresiilor cinematice (13.107), (13.110), corespunztoare

momentului t , n care poziia punctului iA este definit prin vectorul ir . La

momentul t dt , noua poziie a punctului de aplicaie va fi prin vectorul i ir dr ,

unde idr reprezint deplasarea elementar infinitezimal corespunztoare timpului

elementar dt .

n conformitate cu (11.157, vezi 11.15.1 ) lucrul mecanic elementar al

forelor iF , aplicate asupra rigidului S este:

, 1i i i i i i C idL F dr F v dt F v r dt unde i n (13.111)



Lucrul mecanic elementar, corespunztor aciunii celor n fore exterioare n intervalul de

timp elementar dt este:

1 1

n n

i i C ii i

dL F dr F v dt

(13.112)

Prin dezvoltarea expresiei (13.112) se obine:

1 1

n n

i C i ii i

dL F v dt F dt (13.113)

Primul termen al membrului drept din (13.113), conform cu (13.17) i (13.107), devine:

1 1

n n

i C i C Ci i

F v dt F dr R dr

(13.114)

unde Cdr reprezint deplasarea elementar infinitezimal a centrului maselor.

Al doilea termen din (13.113), conform cu (13.106) i (13.108) este:

1 1

n n

i i i i Ci i

F dt F dt M d

(13.115)

Substituind (13.114) i (13.115) n (13.113) se obine lucrul mecanic elementar

rezultant al forelor aplicate asupra corpului S n micarea general:

T TC C C CdL R dr M d R dr M d (13.116)

unde a doua form de exprimare corespunde algebrei matriceale, simbolul T avnd

semnificaia de transpusa unei matrice (vector coloan).

Observaii:

Dac rigidul execut o micare de translaie, (vezi Fig.9.1, din 9.1, capitolul

nou), atunci 0 i 0d , iar expresia lucrului mecanic elementar rezultant

(13.116), devine:

0T

C x y z C C C x C y C z CdL R dr R dr R R R dx dy dz R dx R dy R dz .(13.117)

Deplasarea elementar infinitezimal Cdr a centrului maselor, considerat origine

a sistemului de referin mobil, este substituit prin (13.107) n expresia de definiie a lucrului mecanic elementar rezultant (13.116), adic:

C C C CdL R dr dt M d r R dt M d . (13.118) Substituind (13.108) n (13.118), rezult:

C CdL r R M d . (13.119)



Conform cu (13.82), paranteza din (13.118) este momentul rezultant al sistemului de

fore exterioare n raport cu polul fix 0O , adic: O C CM r R M . Drept urmare,

lucrul mecanic elementar rezultant, ia forma:

OdL M d . (13.120)

aceast expresie corespunznd unei micri de rotaie a corpului rigid S sub

aciunea forelor exterioare. Dac rigidul execut o micare de rotaie n jurul unei axe fixe, (vezi Fig.9.2, din 9.2, capitolul nou), atunci:

O zM M k , iar d d k (13.121)

Astfel, lucrul mecanic corespunztor unei micri de rotaie n jurul unei axe fixe devine:

zdL M d (13.122)

Dac rigidul S execut o micare de rotaie n jurul unui punct fix, (vezi

Fig.9.10, din 9.5, capitolul nou), atunci vectorii ce compun lucrul mecanic elementar (13.120), se particularizeaz astfel:

0

0

1 0

x

y

z

d c s s d

d d s c s d

c dd

(13.123)

Substituind (13.123) n ecuaia de plecare (13.120) rezult: x x y y z zdL M d M d M d

(13.124)

x y zM c d s s d M s d c s d M d c d

adic lucrul mecanic al rigidului aflat n micare de rotaie n jurul unui punct fix.

Dac rigidul S execut o micare plan-paralel (vezi Fig.9.7, 9.5, din capitolul

nou), atunci conform cu (9.47) i (9.51), n (13.116) se introduc urmtoarele

particulariti cinematice:

d d k , 0C Cv v , de unde 0C Cdr dr dt (13.125)

De asemenea, innd seama c planul micrii este 0 0z , sistemul de fore

exterioare se particularizeaz, conform cu:

0 ;T

x yR R R 0 0T

C zM M (13.126)

Substituind (13.125) n (13.116) i innd seama de (13.107), rezult:

0 0C C C CdL R dr R dt M d R dr R M d (13.127)



unde 0C C zR M M M k (13.128)

reprezint momentul forelor exterioare ce imprim micarea relativ de rotaie n

jurul axei zO . (vezi Fig.9.7). Substituind (13.128) n (13.127) i innd seama de

vectorul diferenial de rotaie d din (13.125), rezult:

0 0 0 0O x y zdL R dr M d R dx R dy R dz (13.129)

Expresia (13.129) exprim lucrul mecanic elementar al unui sistem de fore care

aplicate unui corp rigid imprim acestuia o micare plan-paralel.

13.7 Puterea mecanic

Puterea mecanic reprezint o mrime scalar ce caracterizeaz lucrul

mecanic produs n unitatea de timp. Ca urmare, expresia de definiie este:

dL

Pdt

(13.130)

adic, puterea mecanic, se exprim prin raportul ntre lucrul mecanic elementar i

timpul elementar corespunztor acestuia. Unitatea de msur, n sistemul

internaional este W (wattul), iar ca unitate de msur tradiional, se folosete CP

(calul putere). ntre cele dou uniti de msur, exist urmtoarea relaie:

1 736 0,736CP W kW

de unde: 1 1,36kW CP (13.131)

Observaii:

n cazul unui rigid aflat ntr-o micare de translaie, lucrul mecanic elementar

rezultant se substituie n ecuaia de definiie a puterii mecanice prin (13.117) i rezult:

0Cdr dr

P R Rdt dt

(13.132)

0CP R v R v (13.133)

adic:

x C y C z CP R x R y R z (13.134)

Dac rigidul execut o micare de rotaie n jurul unei axe fixe, atunci innd seama de (13.122), expresia puterii mecanice se particularizeaz conform cu:



z z zd

P M M Mdt

(13.135)

Pentru un corp rigid, care execut o micare de rotaie n jurul unui punct fix,

expresia de plecare pentru puterea mecanic (13.130) se particularizeaz n

consonan cu expresia lucrului mecanic elementar, specific acestei micri

(13.124) i expresia vitezei unghiulare (13.108) i (13.123). Drept urmare se obine:

O Od

P M M Mdt

(13.136)

x x y y z zP M M M (13.137)

adic: x y zP M c s s M s c s M c

n cazul rigidului, care efectueaz o micare plan-paralel, lucrul mecanic

elementar corespunztor acestei micri (13.129), este substituit n ecuaia de

definiie (13.130). Ca urmare, puterea mecanic corespunztoare acestui tip de

micare mecanic devine:

0 0O Odr d

P R M R v Mdt dt

(13.138)

sau: 0 0 0x y z zP R x R y R z M (13.139)

n aplicaiile specifice rotoarelor (corpuri aflate n micare de rotaie cu ax fix),

este utilizat, n mod curent urmtoarea expresie pentru puterea mecanic:

30m

nP M (13.140)

unde mM este momentul motor, iar n reprezint numrul de rotaii pe minut,

executate de rotor.

13.8 Randamentul mecanic

Asupra unui corp rigid acioneaz pe de o parte un sistem al forelor exterioare (active), iar pe de alt parte un sistem al forelor rezistente (de legtur). Lucrul

mecanic motor mL este rezultatul aciunii sistemului al forelor active, n timp ce



lucrul mecanic rezistent pL se datoreaz n exclusivitate forelor rezistente, aplicate asupra corpului. Aadar, lucrul mecanic motor este constituit din:

,m u p m u pL L L sau P P P (13.141)

unde uL este lucrul mecanic util, necesar punerii n micare a sistemului mecanic.

Randamentul mecanic este o mrime adimensional, simbolizat prin i reprezint funcia de transfer a lucrului mecanic sau a puterii, printr-un sistem mecanic, adic:

m p m pu

m m m

L L P PLsau

L L P (13.142)

innd seama de (13.142), se introduce notaia: p p

m m

L P

L P reprezentnd

coeficientul de pierderi. Ca urmare, expresia randamentului (13.142) se rescrie astfel:

1 1 (13.143)

i arat c randamentul mecanic este o funcie de transfer, subunitar, influenat fiind de coeficientul pierderilor datorate forelor de rezisten din sistemul mecanic.

13.9 Energia cinetic

n capitolul unsprezece (vezi 11.6), s-a artat c energia cinetic este o

mrime fizic scalar, strict pozitiv, care msoar capacitatea micrii mecanice de

transformare ntr-o alt micare de natur nemecanic. n cazul unui punct material

sau a unui sistem discret de puncte materiale, energia cinetic (Rankine, sec XIX)

se determin cu expresiile (11.170) i (11.171) rescrise mai jos:

21

2CE m v , respectiv

21

1

2

n

C i ii

E m v

Aa cum reiese din 13.1.2 i n conformitate cu aspectele prezentate n Fig.13.1, solidul rigid este constituit dintr-o infinitate de particule elementare, de mas dm , fiecare particul fiind caracterizat prin viteza v , definit cu (13.3). Drept urmare energia cinetic elementar, corespunztoare particulei dm , se exprim cu o expresie de forma (11.170), adic:

21

2CdE v dm (13.144)

Energia cinetic total, a corpului rigid S , va reprezenta integrala masic aplicat asupra expresiei (13.144), rezultnd:



21

2C CE dE v dm (13.145)

Considernd (13.145) ca ecuaie de plecare, n cele ce urmeaz se va demonstra teorema lui Knig pentru energia cinetic, precum i aplicarea cestei teoreme n cazul micrilor particulare ale rigidului. n partea a doua a seciunii, se va arta forma explicit i matriceal a energiei cinetice, specific micrii mecanice a sistemelor materiale.

13.9.1 Teorema lui Knig pentru energia cinetic

Pentru dezvoltarea expresiei (13.145), se consider c rigidul S , (vezi

Fig.13.1) execut o micare general. Asupra rigidului S , se aplic urmtoarele

particulariti: 0; 0;C CO C r r , adic sistemul de referin mobil,

simbolizat prin S , este aplicat n centrul maselor. Poziia particulei dm n raport

cu acest sistem de referin este dat prin vectorul S r . De asemenea, se

cunoate S S

I I , reprezentnd tensorul inerial axial-centrifugal n raport cu centrul

maselor (12.71). innd seama de aceste particulariti, viteza particulei elementare dm se modific astfel:

Cv v r (13.146)

innd seama de (13.146), ptratul vitezei din (13.145) devine

2T

TC Cv v v v v v r v r

(13.147)

Substituind (13.147) n (13.145), energia cinetic specific unui corp n micare

general devine:

1 12 2

TT

C C CE v v dm v r v r dm (13.148)

Produsul scalar de sub operatorul integrala din (13.148) se dezvolt i rezult patru termeni care se prezint n continuare. Primul termen rezultat n urma acestei dezvoltri este:

2 21 1 1 1

2 2 2 2

T TC C C C C Cv v dm v dm M v M v v (13.149)

n conformitate cu particularitile geometrice i masice, mai sus precizate, dar i n consonan cu (13.7), rezult urmtoarea identitate:



0Cr dm M (13.150)

Ca urmare, urmtorii doi termeni din (13.148) sunt:

1 10

2 2

1 10

2 2

T TC C

T T

C C

v r dm v r dm

r v dm r dm v

(13.151)

Pentru dezvoltarea matriceal a ultimului termen din (13.148), se scriu transformrile:

;T

T T TTr r r r r

(13.152)

innd seama de (13.152), ultimul termen al dezvoltrii din (13.148) devine:

1 12 2

T TTr r dm r r dm (13.153)

adic:

1 12 2

TT

Sr r dm I (13.154)

Substituind (13.149), (13.151) i (13.154) n (13.148) se obine expresia n form

final a energiei cinetice n cazul unui corp rigid S aflat n micare general:

21 1 1 1

2 2 2 2

T T TC C S C C SE M v I M v v I

(13.155)

Expresia (13.155), este cunoscut sub denumirea de teorema lui Knig pentru energia

cinetic. Aa cum se poate observa din (13.155), energia cinetic reprezint suma a

dou componente: prima caracterizeaz energia cinetic n micarea de translaie, iar a

doua component constituie energia cinetic n micarea de rotaie rezultant, ambele

micri compunnd micarea general a rigidului.

Observaii: Dac rigidul execut o micare de translaie, (vezi Fig. 9.1 din 9.1, capitolul

nou), atunci 0 i drept urmare viteza unghiular este 0 . Expresia

energiei cinetice (13.155) se particularizeaz dup cum urmeaz:

21

2C CE M v (13.156)



Dac rigidul execut o micare de rotaie n jurul unei axe fixe, (vezi Fig. 9.2 din

9.2, capitolul nou) atunci particularitile cinematice (9.10) i (9.13) se rescriu:

k k , iar C Cv r , (13.157)

unde Cv reprezint viteza centrului maselor.

ntruct, expresia general a energiei cinetice (13.155) conine ptratul vitezei

centrului maselor, n continuare se fac urmtoarele transformri:

0 0T TS S

C C CS Sv R v R r (13.158)

0 0 0T

T TT T TS T S S S T

C C C CS S Sv R r R r R r

(13.159)

0 0

TT TS S S

C C CS Sv R r R r

(13.160)

0 02 ;

TT TS T S S T S

C C C C CS Sv v v R r R r

0 02 .

TTS T SC C CS S

v R r r R (13.161)

Substituind ptratul vitezei centrului maselor din (13.161) n (13.155) rezult:

0 012

TTS T S SC C C SS S

E M R r r R I (13.162)

Legea de variaie generalizat a tensorului inerial axial centrifugal (13.13) se

proiecteaz pe sistemul de referin mobil i rezult:

0 0

0 0

TTSS C CS S

TS S S S SS CS S CS SS S

I R M r r R

I R I R I I I

(13.163)

unde SS

I reprezint tensorul inerial axial centrifugal (vezi (12.62), din 12.52,

capitolul doisprezece ) al rigidului n raport cu sistemul de referin fix, cu originea n punctul fix O . Drept urmare, energia cinetic n cazul micrii de rotaie se determin cu expresia:

1

2

S T S SC SE I (13.164)

n cazul micrii de rotaie n jurul unei axe fixe, viteza unghiular din (13.164) este

nlocuit cu (13.157) i rezult



2 20

1 1 10 0 0

2 2 2

S S Sx xy xz

S S S S SC yx y yz z z

S S Szx zy z

I I I

E I I I I I

I I I

(13.165)

Dac axa de rotaie este ; ;u x y z , atunci energia cinetic specific micrii de rotaie n jurul unui ax fix se caracterizeaz prin:

21

2

SC uE I (13.166)

Dac rigidul execut o micare de rotaie n jurul unui punct fix, (vezi Fig. 9.10 din 9.5, capitolul nou), atunci particularitile cinematice (8.83) i (8.86) sunt rescrise dup cum urmeaz:

0 ;T

S S S S S S S S S Sx y zk n k J (13.167)

De asemenea, se introduce ipoteza conform creia sistemul de referin mobil este un sistem de axe principale de inerie. Ca urmare, momentele de inerie mecanice centrifugale se anuleaz, adic:

0S S Sxy yz zxI I I (13.168)

Introducnd aceste particulariti n (13.164), energia cinetic specific unei micri de rotaie se transform dup cum urmeaz:

0 0

1 10 0

2 20 0

S Sx x

S T S S S S S S SC S x y z y y

S Sz z

I

E I I

I

(13.169)

de unde 2 2 212

S S SC x x y z zE I I I (13.170)

Expresia (13.170) este stabilit n urma aplicrii particularitilor (13.168) i reprezint energia cinetic n cazul unui rigid aflat n micare de rotaie n jurul unui punct fix (micare sferic).

n cazul n care rigidul execut o micare plan-paralel, (vezi Fig. 9.9 din 9.4,

capitolul nou), iar sistemul de referin mobil S cu originea n central maselor i

axa Cz Oz perpendicular pe planul micrii 0 0z , atunci particularitile

cinematice (9.47) i (9.51), iau forma (13.157). n conformitate cu observaiile din

9.4, capitolul nou, micarea plan-paralel a rigidului este complet definit dac se



cunoate micarea plcii , rezultat la intersecia rigidului cu planul micrii

0 0z . Respectnd aceast observaie, momentele de inerie mecanice

centrifugale ale plcii, care conin planul 0z se anuleaz adic:

0S Sxz yzI I (13.171)

Aplicnd aceste particulariti, componenta de rotaie a energiei cinetice (13.155) se transform dup cum urmeaz:

20 0

1 1 10 0 0 0

2 2 20 0

S Sx xy

S T S S S S SS yx y z

Sz

I I

I I I I

I

(13.172)

Aadar, n cazul unei placi, situate n planul 0 0z , aflat n micare plan-paralel, energia cinetic se determin cu expresia:

2 21 1

2 2

SC C zE M v I

(13.173)

unde S zI este momentul de inerie mecanic n raport cu axa Cz , normal pe planul

plcii (de micare) n centrul maselor.

Lund n considerare proprietatea (9.59), (vezi 9.4.3, din capitolul nou), conform creia micarea plan-paralel este reductibil la micarea de rotaie n jurul centrului instantaneu de rotaie (C.I.R), viteza centrului maselor din (13.173) se poate exprima cu relaia:

2

2 2; ,C C Cv IC v IC iar v IC (13.174)

Substituind viteza centrului maselor (13.174) n relaia (13.173) rezult:

221

2

SC zE M IC I

(13.175)

n conformitate cu teorema lui Steiner (12.33), (vezi 12.5, din capitolul doisprezece), rezult:

2S S

z iM IC I I (13.176)

unde S iI este momentul de inerie mecanic n raport cu axa instantanee de rotaie.



Aadar, expresia (13.173), specific energiei cinetice a unui corp rigid aflat n

micare plan-paralel, se rescrie sub urmtoarea form final:

21

2

SC i

E I (13.177)

Aadar, aplicnd proprietatea (9.59), energia cinetic a unui corp aflat n micare plan-paralel se poate determina conform (13.177) cu o expresie specific unei micri de rotaie cu observaia c axa fix este substituit prin axa instantanee de rotaie.

13.9.2 Energia cinetic sub form matriceal

Acest studiu are ca deziderat stabilirea formei matriceale a energiei cinetice pentru dou

situaii distincte, n conformitate cu [N01]. Mai nti se va considera un sistem discret de

puncte materiale, dup care studiul, se va extinde asupra unui sistem de corpuri.

Pentru nceput, studiul se oprete asupra unui sistem discret de puncte materiale,

caracterizat prin urmtoarea distribuie.

; ; ; 1 ; , 1i i i i j i iM m r r q j k v r i n ; unde im este masa fiecrui punct material, ir reprezint vectorul de poziie n raport cu

un sistem de referin fix, jq este coordonate generalizata (vezi (7.7) din capitolul

apte, sau (10.37), din capitolul zece), k este numrul gradelor de libertate ale

ntregului sistem material, iar iv este viteza fiecrui punct material. n conformitate cu

(11.171) (vezi capitolul unsprezece), energia cinetic a sistemului material este:

2

1 1

1 1

2 2

n nT

C i i i i ii i

E m v m v v

(13.178)

unde 1 1

;T Tk k

T T i ii i j i m

j mj m

r rv r q v q

q q

(13.179)

1 1 1 1

1 1

2 2

Tn n k kT i i

C i i i i j mi i j m j m

r rE m v v m q q

q q

. (13.180)

Pentru i j i i m rezult: 0i i

j m

r r

q q

. Ca urmare, energia cinetic devine:



1 1 max( ; )

1

2

Tk k nm m

C m i ji j m i j i j

r rE m q q

q q

; (13.181)

unde max( ; )

Tn

m mij ji m

m i j i j

r rM M m

q q

(13.182)

innd seama de notaiile (13.182), expresia matriceal a energiei cinetice este :

1 1

1 1 11 1

12 2

k k T

C ij i j i ij ji j

i nE M q q q i n M q j n

j n

.(13.183)

unde iq poart denumirea de vitez generalizat, iar termenii ijM sunt inclui ntr-o

matrice ptrat ce pune n eviden influena maselor i a crei semnificaie se va arta

n continuarea acestei seciuni.

Studiul energiei cinetice, sub form explicit i matriceal, se extinde asupra unui sistem de corpuri, reprezentat simbolic n Fig.13.2 i a crui descriere este n consonan cu 10.3, din capitolul zece i 13.2, din prezentul capitol. Expresia de definiie (13.145) energiei cinetice se rescrie pentru sistemul de corpuri sub urmtoarea form:

1 1

2 2

T TC i i i iE v v dm Trace r r dm ; (13.184)

unde i iv r reprezint viteza absolut a elementului de mas infinitezimal dm

aparinnd corpului , 1iS i n . Simbolul Trace , conform cu (4.34) din 4.2, capitolul patru, reprezint urma unei matrice ptrate. n conformitate cu aspectele prezentate n Fig.13.2, vectorul de poziie i transpusa acestuia al masei elementare dm se exprim cu:

0 iii C ii

r r R r , 0 TT T i Tii C ii

r r r R . (13.185)

unde ir , reprezint vectorul de poziie al masei elementare n raport cu sistemul de

referin cu originea n centrul maselor. Asupra expresiilor (13.185), se aplic derivata absolut de ordinul nti n raport cu timpul, rezultnd viteza particulei elementare dm i forma transpus a acesteia:

0 iii C ii

r r R r , 0 TT T i Tii C ii

r r r R . (13.186)

Utiliznd proprietatea (8.69), vezi 8.4 din capitolul opt, al doilea termen al membrului drept din (13.186) devine:



0 0 0 0 TTi ii ii ii i i i i iR r R R R r r r (13.187)

0 00 0T T TTi T i T Ti ii ii i i i

TT T

Ti i i i i i

r R r R R R r

r r r

(13.188)

Substituind (13.186)-(13.188) n (13.184), energia cinetic se exprim cu relaia:

0

0

1 1

2 2

1 1

2 2

TT i TiC C C C ii i i

Ti T T T

i i C i i i ii

E Trace r r dm Trace r r dm R

Trace R r dm r Trace r r dm

(13.189)

innd seama c C Ci ir v reprezint viteza absolut a centrului maselor corpului

iS , primul termen din membrul drept al expresiei (13.189) se scrie sub forma:

1 1

2 2

T i T iC C i C Ci i i i

Trace r r dm M v v (13.190)

unde conform cu Error! Reference source not found., Civ , adic viteza centrului

maselor este:

1 1 101

i

j jj j jji i C i Ci iCi j

p vv v v

ntruct sistemul de referin iS are originea n centrul maselor iC , proprietatea urmtoare, conform cu (13.150) este evident:

0i T i T

i i Cir dm M r (13.191)

Drept urmare, termenii doi i trei din membrul drept al expresiei (13.189) se anuleaz. Ultimul termen al membrului drept din aceeai expresie (13.189) se transform dup cum urmeaz:

1 1

2 2

1 1

2 2

T TT TT T

i i i i i i i i

TT Ti i i i i i i

Trace r r dm r r dm

r r dm I

(13.192)

Substituind (13.190)-(13.192) n (13.189) se obine:



2 *1 1 1

11 3 2 2

M i i i i ii T TMC i C C i i iMi i

M

E M v v I (13.193)

unde 1; ; 0; ; 1;M Micare general Micare de translaie Micare de rotaie .

Expresia (13.193) este identic, ca i form de exprimare matematic, cu (13.155),

i reprezint teorema lui Konig pentru energia cinetic a corpului iS , parte integrant a sistemului de corpuri reprezentate simbolic n Fig.13.2. Pentru a stabili forma matriceal a energiei cinetice, se utilizeaz ca ecuaie de

plecare (13.184), cu observaia c vectorul de poziie al centrului maselor este

substituit n (13.185) prin Error! Reference source not found., rescris mai jos,

sub urmtoarea form:

0 iC i i Ci ir p R

Viteza centrului maselor i transpusa acesteia sunt substituite n (13.186) prin:

0 iC i i Ci ir p R 0 TT i T

C i C ii ir p R (13.194)

unde, conform cu (10.84), (vezi 10.2.3, din capitolul zece), viteza liniar absolut a

sistemului i este:

1 1 101

i

j jj j jjij

p vp v

innd seama de observaiile mai sus scrise, expresia (13.184) a energiei cinetice,

se aplic pentru ntregul sistem de corpuri sub forma:

0 0

1

1

1

2

1.

2

n Ti i T i i Ti iC i i C Ci i

i

nT

i ii

E Trace R r r dm dm R

Trace p p dm

(13.195)

Utiliznd proprietatea tensorului inerial demonstrat n 12.5.2 din capitolul doisprezece, prima integral masic din membrul drept al expresiei (13.195) este:



2

2

2

ii

Ti i i i i i i

p i i i i i iii

i

ii i i i i

ii i i i i

ii i i i i

x

I r r dm y x y z dm

z

x dm x y dm x z dm

y x dm y dm y z dm

z x dm z y dm z dm

(13.196)

Pe diagonala principal, conform cu (12.2), sunt momentele mecanice de inerie planare, iar simetric i pozitiv definite, fa de acestea, sunt momentele de inerie mecanice centrifugale, conform (12.5). Astfel, se obine expresia matriceal:

i i ixx xy xz

Ti i i i i i

p i i yx yy yzi

i i izx zy zz

I I I

I r r dm I I I

I I I

(13.197)

i reprezint, conform cu [N01], tensorul inerial planar-centrifugal al corpului iS ,

n raport cu sistemul de referin iS aplicat n centrul maselor. Drept urmare, expresia (13.195) a energiei cinetice, se rescrie sub forma:

0 01 1

1 1

2 2

n nTi i i T Ti iC pi i C C i ii i

i i

E Trace R I M R Trace p p dm

(13.198)

unde i i i T ipi i C C pii iI M I (13.199)

reprezint tensorul inerial planar centrifugal al corpului iS , fa de sistemul de

referin iS . Lund n considerare simbolul din (13.199), al tensorului inerial,

expresia (13.198), specific energiei cinetice se rescrie din nou, sub forma:

0 01 1

1 1

2 2

n nTi Ti iC pi i i

i i

E Trace R I R Trace p p dm

(13.200)

ntruct studiul se efectueaz asupra unui sistem de corpuri, derivatele n raport cu

timpul din expresia (13.200), se dezvolt prin luarea n considerare a

particularitilor cinematice din 10.2.1, vezi capitolul zece. Aceste particulariti

sunt completate prin ipoteza conform creia, sistemul mecanic de corpuri este un

sistem olonom i subordonat legturilor de clasa a cincea, drept urmare vectorului



coloan al coordonatelor generalizate (10.38) se adaug vectorul coloan al

vitezelor generalizate, adic:

, 1

, 1

T

j

T

j

t q t j n

t q t j n

(13.201)

Astfel, derivatele n raport cu timpul din (13.200), se stabilesc cu expresiile:

0 0

1 1

Ti iT

ii j ij jj jj

R R q A R qq

(13.202)

unde j jq q t sunt coordonate unghiulare independente ale sistemului mecanic

de n corpuri. n conformitate cu [N01], simbolul ijA R reprezint o matrice

diferenial de ordinul nti, care se stabilete cu expresia:

0 0 0 ji j iij j j

j

A R R R k Rq

(13.203)

unde operatorul j are semnificaia (10.39), din capitolul zece, iar

0

jk

reprezint matricea antisimetric asociat versorului ce exprim orientarea axei

specifice coordonatei unghiulare jq t .

Utiliznd proprietatea (8.51), (vezi 8.3, din capitolul opt), dar i aspectele din

[N01], conform creia matricea de rotaie devine o funcie exponenial de matrice,

expresia (13.203) a matricei difereniale se rescrie sub forma urmtoare:

10 00 0

00

0

exp

exp .

j

iij k k k j j ij ikj

i

ij l l ll j

A R R k q k A R Rq

unde A R k q

(13.204)

Pentru scrierea sub forma matriceala a vitezei liniare a originii sistemului i , din

10.2.1, vezi capitolul zece se apeleaz (10.57), reprezentnd vectorul de poziie al

originii sistemului i , rescris sub forma:

0 11 11

, 1i

ji j jj i j

j

p p p q t j iR

(13.205)



Aplicnd derivata absolut de ordinul nti n raport cu timpul asupra expresiei

(13.205), rezult viteza originii sistemului i sub forma:

1 1

Ti iT Ti

i j ij jj jj

pp q A p q

q

(13.206)

unde iijj

pA p

q

(13.207)

reprezint matricea diferenial de ordinul nti, corespunztoare vectorului de poziie. n conformitate cu aspectele din [N01], vectorul de poziie (13.205), se poate scrie sub forma unei funcii exponeniale astfel:

1 (0)

01

expi j

ki k k jkj

p k q b

(13.208)

unde

03

0 0 0 0 0

1

1 .

j j j j jj

T

j j j j jj j j j j

b I s q k c q

k k q s q p k k

(13.209)

n urma aplicrii asupra expresiei (13.208) a derivatei pariale n raport cu variabila

generalizat j jq q t , se obine matricea diferenial (13.207) sub form exponenial:

1 (0) 0 0 0

0

(0) 0

exp 1

exp ,

j

kij k k j jj j jk

i

l l l ijil j

A p k q p k k

k q p A p

(13.210)

unde 1 (0)

0

exp ;j

kij j k k ijk

A p k q A p

(13.211)

1 (0)

1

exp ;i l

mij m m m ll j m j

A p k q b

(13.212)

respectiv 0 , 1 ; 1 , .m m j m i (13.213)

Lund n considerare (13.202)-(13.213), expresia (13.200) a energiei cinetice pentru

ntregul sistem de corpuri este scris sub forma:



1 1 1

1 1 1

1;

2

1.

2

n i ii T

C ij pi im j mi j m

n i iT

ij im j mi j m

E Trace A R I A R q q

Trace A p A p q q dm

(13.214)

Avnd n vedere, pe de o parte semnificaia operatorului Trace , precum i (13.182),

iar pe de alt parte aspectele din [N01], n (13.214) se introduc termenii:

max ;

.

nk T k T T

ij ki pk kj ki k C kjkk i j

k T Tki k C kj ki k kjk

M Trace A R I A R A p M A R

A R M A p A p M A p

(13.215)

n conformitate cu noiunile matriceale, difereniale i proprietile de mas

dezvoltate n [N01], expresia (13.215) este echivalent cu:

max ;

nk T

ij ki psk kjk i j

M Trace A I A

(13.216)

unde

k kk k T kpk k Ck k k kk

psk k Tk Tk C kk k

I Mr r dm r dmI

M Mr dm dm

(13.217)

iar

0 0 0 0

ki j ki j

ki j

A R A pA

(13.218)

respectiv

0

0

0

0

Tki jT

ki j

Tki j

A RA

A p

(13.219)

Simbolul k pskI reprezint o matrice 4 4 simetric, pozitiv definit i numit

tensor pseudoinerial, iar ki jA reprezint matricea diferenial de ordinul nti,

corespunztoare vectorului de poziie i matricei de rotaie. Astfel expresia (13.214)

se transform dup cum urmeaz:



1 1 1 1

1

1 1;

2 2

1, 1 ; 1

2

11; 1 ; 1

12

n n n n

C ij i j i ij ji j i j

n T

i ij ji

T

i ij j

E M q q q M q

q M j n q j n

i nq i n M q j n

j n

(13.220)

unde ; 1 ; ; 1T T

j iq j n q i n (13.221)

1

1

nk T

ij ji ki psk kjn n k i

i nM Matrix M M Trace A I A

j n

(13.222)

Expresiile (13.221), caracterizeaz vitezele generalizate corespunztoare gradelor de libertate ale sistemului de corpuri (vezi (10.37) i (10.38), din 10.2.1, capitolul zece), n timp ce (13.222) reprezint o matrice ptrat, simetric i pozitiv definit,

numit matricea maselor (matricea de inerie a energiei cinetice). Prin termenii ijM ,

aceast matrice pune n eviden influena proprietilor de mas k pskI asupra

comportamentului dinamic al sistemului de corpuri. innd seama de (13.221) i (13.222), expresia (13.220) se rescrie n form final:

1;2

TCE M (13.223)

i consfinete forma matriceal a energiei cinetice n cazul unui sistem constituit din n corpuri materiale.

13.9.3 Teorema energiei cinetice

Studiul privind variaia elementar i finit a energiei cinetice, precum i semnificaia fizic a acestei variaii, a fost efectuat n cazul unui sistem discret de puncte materiale, conform aspectelor din 11.18, din capitolul unsprezece. Astfel, au fost obinute expresiile (11.184) i (11.185), care exprim teorema energiei cinetice n form diferenial, respectiv n form integral sau finit. Cunoscnd faptul c un corp rigid este constituit dintr-o infinitate de puncte materiale, ntre care distanele se menin constante, rezult n conformitate cu (11.169), din 11.15.3, c lucrul

mecanic elementar al forelor interioare devine zero, adic: 0i ij ijdL F v dt .



Aadar, expresiile difereniale i integrale a teoremei energiei cinetice (11.184) i (11.185), n cazul unui rigid se particularizeaz, dup cum urmeaz:

122 1,C C CdE dL adic E E L (13.224)

i caracterizeaz teorema energiei cinetice n form diferenial i integral n cazul

unui corp rigid, unde dL i 12L reprezint lucrul mecanic elementar i respectiv

lucrul mecanic finit al forelor exterioare aplicate corpului rigid luat n studiu.

Dac expresia CdE dL se constituie ntr-o diferenial total, adic sunt

ndeplinite condiiile Cauchy, (vezi (11.161) i (11.162) din 11.15.1, capitolul unsprezece), atunci prin integrarea acestei expresii difereniale, se obine forma integral (finit) a teoremei energiei cinetice. Iat de ce, forma diferenial a acestei teoreme are un caracter general.

n cele ce urmeaz, se va demonstra caracterul general ala acestei teoreme n form diferenial, de aceasta rezultnd prin transformri difereniale celelalte dou teoreme fundamentale ale dinamicii corpului rigid. n expresia diferenial (13.224), energia cinetic este substituit prin (13.156), iar lucrul mecanic prin (13.116), aceasta din urma rescris sub forma:

T S T SC CdL R dr M d . (13.225)

Expresia integral a energiei cinetice n forma (13.155) se difereniaz i rezult:

21 1

2 2

S T S SC C SdE d M v I

(13.226)

Primul termen din membrul drept al expresiei (13.226) se dezvolt astfel:

21

2

TC C Cd M v M v d v (13.227)

innd seama de expresiile (13.9) i (13.10), cu privire la viteza i acceleraia

centrului maselor, n (13.227) se introduc: ,C C C Cdv a dt v dt dr . Ca urmare,

expresia (13.227) ia forma final:

21

2

T TC C C C Cd M v M a v dt M a dr (13.228)

A doua diferenial a membrului drept din (13.226) se refer la componenta rotaional a energiei cinetice, adic:

1 1 1

2 2 2

S T S S S T S S S T S SS S Sd I d I I d (13.229)



ntruct tensorul inerial S SI , (vezi (12.62) din capitolul doisprezece) este o matrice

ptrat i simetric, termenii din membrul drept al din (13.229) sunt identici, rezultnd:

1

2

S T S S S T S SS Sd I d I (13.230)

Asupra expresiei difereniale (13.230) se efectueaz cteva transformri bazate pe proprietile vitezei i acceleraiei unghiulare, vezi (8.79), (8.84), (8.87)-(8.93) din 8.4, capitolul opt. Aceste proprieti se rescriu dup cum urmeaz:

S

d

dt (13.231)

0 0; ;T TS SS SR R (13.232)

S S SS S Sd

t dt t, 0S Sunde (13.233)

innd seama de (13.231), expresia acceleraiei unghiulare (13.233) se rescrie:

S S SSd d

dt t dt (13.234)

Din (13.234) se expliciteaz difereniala vitezei unghiulare cu proiecie pe sistemul

de referin S , rezultnd:

S S S Sd d (13.235) n expresia diferenial (13.230) se nlocuiete transpusa funciei vectoriale (13.235) sub forma:

T

S T S T S Sd d (13.236)

Termenul al doilea din membrul drept al relaiei (13.236) se scrie astfel:

T

T TS S S S S T Sd d d (13.237)

Drept urmare (13.236) se nlocuiete n (13.230), sub forma:

S T S T S T Sd d (13.238) Aadar, difereniala componentei rotaionale a energiei cinetice (13.230) devine:

S T S S S T S S S T S S SS S Sd I I d I (13.239) Primul termen din membrul drept al diferenialei (13.239), se transform astfel:

T T T

S T S S S S S S S S S S SS S S SI I I dt I d (13.240)

Al doilea termen din (13.239) este echivalent cu:



T

S T S S S S S S SS Sd I I d (13.241)

Aadar, difereniala componentei rotaionale a energiei cinetice, ia forma final:

12

TS T S S S S S S S S

S S Sd I I I d

(13.242)

Expresiile (13.228) i (13.242) se nlocuiesc forma difereniala a teoremei energiei cinetice (13.226) i rezultnd:

TT S S S S S S T S T S

C C S S C CM a dr I I d R dr M d (13.243)

0TT S S S S S S S

C C S S CM a R dr I I M d (13.244)

Studiul s-a efectuat asupra unui corp rigid (vezi Fig.13.1) aflat ntr-o micare

general, cu observaia c, originea sistemului de referin mobil S coincide cu centrul maselor. Drept urmare, micarea general este definit prin ase parametri independeni, conform cu (10.1) (vezi 10.2.1, din capitolul zece), reprezentnd ecuaiile parametrice de micare, rescrise sub forma:

C Cr r t i t (13.245) Aadar, funciile vectoriale (13.245) i diferenialele acestora sunt independente ntre ele, ceea ce conduce la aplicarea principiului suprapunerii efectelor. Astfel, n identitatea (13.244), introducnd:

0Sd , respectiv 0Cdr rezult expresia:

CM a R (13.246)

0Cdr i 0Sd , se obine expresia:

S S S S S S

S S CI I M (13.247)

Comparnd expresiile (13.246) cu (13.29), i respectiv (13.247) cu (13.83) se constat o identitate perfect. Aadar, prin transformri succesive aplicate asupra teoremei energiei cinetice n forma diferenial, au fost deduse teorema micrii centrului maselor (13.246) i respectiv teorema momentului cinetic n raport cu centrul maselor (13.247). Astfel, s-a demonstrat caracterul general al teoremei energiei cinetice n form diferenial.

Observaii: Aceeai concluzie se desprinde, n cele ce urmeaz, prin extinderea studiului supra sistemului de corpuri simbolic reprezentate n Fig.13.2. Din mulimea

corpurilor componente ale sistemului mecanic se analizeaz corpul iS , aflat ntr-o micare general n raport cu sistemul de referin fix, conform cu expresiile:



0 T

C i C C Ci i i i

i Ti i i i i

r t x t y t z tX

t t t t

; (13.248)

n care sistemul de referin mobil iS are originea n centrul maselor corpului iS . n conformitate cu [N01] i [N03], teorema energiei cinetice n form

diferenial, corespunztoare corpului iS , este scris sub forma:

1 1

2 2

i T i i T i i i i i ii C C i i i i C i ii i i

d M v v I F d r N d ; (13.249)

n membrul stng este scris, difereniala energiei cinetice, exprimat cu (13.226) n

timp ce n membrul drept este scris id L , adic lucrul mecanic elementar al forelor

exterioare, echivalente mecanic cu o for rezultant i iF i un momentul rezultant,

simbolizat prin i iN n raport cu sistemul iS aplicat n centrul maselor. Parcurgnd transformrile difereniale de forma (13.227), i (13.228), primul

termen al diferenialei din membrul stng corespunztor componentei de translaie a energiei cinetice ia forma final:

1

2

i T i i T ii C C i C Ci i i i

i T i i T i i T ii C C i C C i C Ci i i i i i

d M v v M v d v

M v v dt M v v dt M v d r

; (13.250)

Prin similitudine cu transformrile difereniale (13.229)-(13.242), difereniala

componentei rotaionale a energiei cinetice, specifice corpului iS ia forma final dup cum urmeaz:

1

2

i T i i i i T i i i i T ii i i i i i i i i i

Ti i i i i i

i i i i i i

d I I dt I d

I I d

. (13.251)

unde i ii i , reprezint acceleraia unghiular absolut a corpului S . Expresiile (13.250) i (13.251) sunt nlocuite n ecuaia diferenial a

teoremei energiei cinetice (13.249), rezultnd:

T Ti i i i i i i i

i C C i i i i i ii i

i T i i T ii C i ii

M v d r I I d

F d r N d. (13.252)



Separnd termenii dup vectorii difereniali de micare n spaiul cartezian, expresia

(13.252) se rescrie astfel:

0T T

i i i i i i i i i ii C i C i i i i i i ii i

M v F d r I I N d (13.253)

ntruct i Cir i i sunt vectorii, care conin parametrii independeni ai micrii generale

a corpului iS , prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor, ecuaiile (13.253) se

transform dup cum urmeaz:

pentru 0 ; 0 , 0 ; 0i i i iC i C ii ir iar d r d rezult:

i ii C iiM v F ; (13.254)

unde, conform cu (10.88) i Error! Reference source not found. acceleraia centrului

maselor se exprim prin:

0 00ii i i i i i i

C i i C i i Ci i iv R a v +

iar, conform cu (13.33), fora rezultant este echivalent cu:

i i ii i LiF R R (13.255)

pentru 0 ; 0 , 0 ; 0i i i iC i C ii ir iar d r d rezult:

i i i i i ii i i i i iI I N . (13.256)

unde conform cu (13.105), momentul rezultant este echivalent cu:

i i ii C Li iN M M (13.257)

Observaii: Expresia (13.254), identic cu (13.33) (vezi 13.3.1), reprezint

teorema micrii centrului maselor, fiind cunoscut sub denumirea de ecuaia lui

Newton, iar expresia (13.256), identic cu (13.105) (vezi 13.5.1), reprezint

teorema momentului cinetic n raport cu sistemul *i , aplicat n centrul maselor, fiind, de asemenea, cunoscut ca ecuaia lui Euler. Aadar, se desprinde o

concluzie fundamental cu privire la faptul c teorema general n dinamica

sistemelor este teorema energiei cinetice sub form diferenial.

Capitolul 13_Dinamica rigidului_final1.pdf

Documents

Transcript of Capitolul 13_Dinamica rigidului_final1.pdf