1

Capitolul 4

Elemente de teoria funcţiilor complexe

Cuprins

I. Numere complexe

1. Forma algebrică a unui număr complex

2. Planul complex. Forma trigonometrică a unui număr complex

3. Topologia lui C

4. Şiruri şi serii de numere complexe

5. Exerciţii

II. Derivabilitatea funcţiilor complexe

1. Noţiunea de funcţie complexă

2. Limite şi continuitate

3. Derivata unei funcţii complexe. Condiţii Cauchy-Riemann

4. Exerciţii

III. Integrala complexa

1. Noţiunea de integrală complexă. Proprietăţi

2. Formulele integrale ale lui Cauchy

3. Exerciţii

IV. Serii de funcţii complexe

1. Serii de puteri

2. Serii Taylor

3. Puncte singulare izolate

4. Serii Laurent

5. Exerciţii

V. Reziduuri

1. Teorema reziduurilor

2. Aplicaţie la calculul integralelor trigonometrice

3. Exerciţii

2

I. Numere complexe

1. Forma algebrică a unui număr complex

Numerele complexe au apărut din necesitatea de a atribui o soluţie unei ecuaţii de gradul

al doilea cu discriminantul negativ.

Spre exemplu, să se rezolvăm ecuaţia x2 + x +1 = 0.

Avem = 1-4 = -3 < 0 ecuaţia nu are rădăcini reale. Dar notând 11:2

ii

2

3133

2,1

ixi

sunt rădăcinile ecuaţiei în mulţimea numerelor complexe

C: 1:,,| iRyxiyxz (1)

Definiţia 1. Expresia z:= x + iy , unde x, y R, se numeşte forma algebrică a numărului

complex z.

x este partea reală a lui z, notată x: = Re z, iar y este partea imaginară a lui z, notată y:

= Im z. Orice număr real este un număr complex cu Im z = 0, deci R C. Un număr complex se

numeşte imaginar dacă Re z = 0. Numărul complex iyxz se numeşte conjugatul lui z, iar

numărul real 22||: yxz este modulul lui z.

Fie z1:= x1 + iy1 şi z2:= x2 + iy2. Prin definiţie, z1 = z2 dacă x1 = x2 şi y1 = y2.

Pe C se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire prin

1221212121

212121

yxyxiyyxxzz

yyixxzz

. (2)

Teorema 1. Operaţiile (2) definesc pe C o structură algebrică de corp comutativ.

De asemenea, pe mulţimea numerelor complexe putem vorbi şi despre:

- produsul unui număr real cu un număr complex

z= x + i y , R;

- câtul a două numere complexe 0,||

22

2

12

22

12

2

1 z

z

zz

zz

zz

z

z.

Principalele proprietăţi ale operaţiilor cu numere complexe sun cuprinse în următoarea

propoziţie

Propoziţia 1. Oricare ar fi z, z1, z2 C, au loc

1. ;;;;2

1

2

121212121

zzz

z

z

zzzzzzzzz

2. ;zzRz

3. ;||||;00||2

zzzzzzz

3

4. ;ImRe||Re zzzz

5. ||;;||;||2121

2

1

2

1

21212121zzzz

z

z

z

zzzzzzzzz .

Exemple. 1. Determinăm Re z şi Im z pentru i

i

i

iz

32

74

32

13

.

i

ii

i

ii

i

ii

i

i

i

iz

1

13

26133926

32

)32)(74(

32

)32(13

32

74

32

13

22

Re z = 1 şi Im z = 1.

2. Rezolvăm ecuaţia z2 + 4(1 - i)z - 1 - 8i = 0.

4)818(4)81(4)1(16422

iiiiacb

1)1(22

2)1(42,1

ii

z iz 211

şi iz 232

.

Tema. Fie 2

6

21

24

i

i

i

iz . Determinaţi Re z şi Im z.

2. Planul complex. Forma trigonometrică a unui număr complex

Fie RyxyxP ,|,:2

planul euclidian şi reperul cartezian ortonormat xOy. Între

mulţimea numerelor complexe C şi planul euclidian 2 există o corespondenţă bijectivă şi

anume, oricărui număr complex z = x + iy , x, y R, îi corespunde un punct P(x,y) în planul

euclidian, numit imaginea lui z în 2 şi invers, oricărui punct P(x,y) 2 îi corespunde un

număr complex z = x + iy , numit afixul punctului P. Această corespondenţă bijectivă pemite

identificarea lui C cu 2.

Definiţia 2. Mulţimea C identificată bijectiv cu 2 se numeşte plan complex şi se notează cu (z).

Fie triunghiul dreptunghic OPM , (Figura 1).

|| zOP şi

x

y

cos

sin

(3)

sin

cos

y

x (4) (Figura 1)

)sin(cos iiyxz (5)

P(x,y)

x M

M

M

M

M

M

O

y

y

x

M

M

MM

M

4

Definiţia 3. Unghiul 0, 2) măsurat între direcţia pozitivă a axei Ox şi direcţia vectorului

OP , care se determină în mod unic ca soluţie a sistemului (3) se numeşte argumentul principal

al lui z, notat : = arg z.

Observaţia 1. În funcţie de imaginea lui z în reperul cartezian ortonormat xOy (Figura 2), avem:

1. x

yarctgzIcadranP arg ;

2. x

yarctgzIIIIIcadranP arg, ;

3. x

yarctgzIVcadranP 2arg . (Figura 2)

Argumentul numărului complex 0 este considerat nedeterminat, iar pentru numerele reale sau

imaginare avem:

4. dacă z R

zxz

zxz

arg0

0arg0;

5. dacă z = iy

2

3arg0

2arg0

zy

zy

.

Definiţia 4. Pentru orice z C \ {0} expresia (5) se numeşte forma trigonometrică a

numărului complex z.

Observaţia 2. În baza formulei lui Euler

sincos iei

, (5) conduce la forma exponenţială

a numărului complex z,

i

ez .

Exemple. Exemple

Scriem sub formă trigonometrică numărul complex iz 31 .

231|| z . Imaginea lui z este în cadranul IV, deci

3

5

32322arg

arctg

x

yarctgz . Rezultă

)3

5sin

3

5(cos2

iz .

Tema. Scrieţi sub formă trigonometrică numărul complex iz 1 .

Proprietăţile operaţiilor cu numere complexe în formă trigonometrică sunt conţinute în

următoarea propoziţie

Propoziţia 2. Fie z, zk C \ {0}, )sin(cos iz şi .2,1),sin(cos kizkkkk

Atunci

1. ))sin()(cos(21212121

izz ;

I II

III IV

5

2. ))sin()(cos(2121

2

1

2

1

i

z

z;

3. )sin(cos ninznn

;

4. ))sin()(cos(11

iz

;

5. 1,...,0),2

sin2

(cos

nkn

ki

n

kwz n

k

n

.

În proprietatea 5 de mai sus, apar rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex. Au

imaginile pe cercul cu centrul în origine şi rază n şi reprezintă vârfurile unui poliogon regulat

înscris în acest cerc.

În continuare vom exemplifica proprietăţile din propoziţia 2.

Exemple.

1. Fie 2

3

3

2

2

1

2

3)31(

2

3

2

1)1(

ii

ii

z . Determinăm arg z şi || z .

2

4

3

3

3

2

2

1

2

3

3

2

2

1

2

3)31(

2

3

2

1)1(

zz

zz

ii

ii

z

. Scriem pe rând numerele z1, z2, z3 şi z4 sub

formă trigonometrică, iar apoi utilizăm propoziţia 2.

iz 11

4sin

4cos2

1

iz

2sin

2cos2

2

1

iz .

2

3

2

12

iz 3

5sin

3

5cos

2

iz 5sin5cos

3

2iz .

313

iz

3

4sin

3

4cos2

3

iz

3

3z = 4sin4cos8 i .

2

1

2

34

iz 6

5sin

6

5cos

4

iz

3

5sin

3

5cos

2

4

iz .

3

2sin

3

2cos

4

1

3

5sin

3

5cos4sin4cos8

5sin5cos2

sin2

cos2

i

ii

ii

z

arg z = 3

2 şi || z =

4

1.

6

2. Determinăm 3

2

3

2

1i .

Fie 2

3

2

1iz = arg z =

3

4 şi = || z = 1.

3

2

3

2

1i 2,1,0,

3

23

4

sin3

23

4

cos

k

k

i

k

wk

.

9

4sin

9

4cos

0

iw ,

9

10sin

9

10cos

1

iw ,

9

13sin

9

13cos

2

iw şi

reprezintă vârfurile unui triunghi echilateral înscris în cercul cu centrul în origine

şi rază 1.

Tema. Determinaţi 41 i .

3. Topologia lui C

Pentru un studiu complet al funcţiilor complexe, trebuie introdusă pe C nu numai o

structură algebrică, ci şi o structură topologică care să permită definirea unor noţiuni precum

limită, continuitate, derivabilitate, integrabilitate, etc.

Propoziţia 3. Aplicaţia d : C × C R+,

|,|),(2121

zzzzd 222111

, iyxziyxz C, (6)

defineşte o distanţă pe C.

Ţinând cont de definiţia modulului, ,||),(2

21

2

212121yyxxzzzzd adică

(6) este distanţa euclidiană pe 2. Deci, nu există nicio deosebire între spaţiile metrice (C,d) şi

(2,d).

Mulţimea C nefiind o mulţime ordonată, trebuie adăugat doar un singur număr impropriu,

notat pentru a obţine mulţimea numerelor complexe închisă CC .

Definiţia 4. Se numeşte

1. disc cu centrul în z0 şi rază r, mulţimea rzzCzrzU ||,),(00

, (Figura 3);

2. cerc cu centrul în z0 şi rază r, mulţimea rzzCzrzC ||,),(00

, (Figura 4);

3. disc închis cu centrul în z0 şi rază r, mulţimea rzzCzrzU ||,),(00

, (Figura 5);

4. coroana circulară cu centrul în z0 şi raze r şi R, mulţimea

RzzrCzRrzU ||,),,(00

, (Figura 6);

5. vecinătate a lui z0 C, mulţimea V C astfel încât U(z0 ,r) a.î. U(z0 ,r) V;

6. vecinătate a lui , exteriorul oricărui cerc rzCzV

||, ;

7. mulţime deschisă, o mulţime care este vecinătate pentru toate punctele sale;

7

8. punct de acumulare pentru mulţimea E C, un punct z0 C astfel încât V o

vecinătate a sa, V\{z0}E ≠ Φ.

9. mulţime conexă mulţimea E C cu proprietatea că oricare ar fi descompunerea

E = E1 E2 , E1 E2 ≠ Φ, E1 , E2 ≠ Φ,

cel puţin una dintre mulţimile E1 , E2 are punct de acumulare în cealaltă.

(Figura 3) (Figura 4) (Figura 5)

(Figura 6)

Exemple. Ca exemple de vecinătăţi ale lui z0 avem U(z0 ,r) şi ),(0

rzU . Exemple de

mulţimi conexe sunt: planul, planul din care s-a scos un număr finit de puncte,

interiorul unui cerc. Mulţimi neconexe sunt: un segment din care s-a scos un

punct, reuniunea a două discuri disjuncte.

Tema. Reprezentaţi în planul complex (z) mulţimile neconexe menţionate mai sus.

Definiţia 5. O mulţime D C deschisă şi conexă se numeşte domeniu.

Teorema 2. Mulţimea D C este conexă dacă oricare două puncte ale sale pot fi unite printr-o

linie poligonală conţinută în D.

În limbaj obişnuit, o mulţime conexă ,,este formată dintr-o singură bucată’’.

Fie (C) o curbă în planul complex (z) dată prin ecuaţiile parametrice reale

)(

)(

tyy

txx,

bat , , sau prin ecuaţia parametrică complexă )(tzz , bat , , unde )()()( tiytxtz .

Definiţia 6. Curba (C) se numeşte

1. simplă dacă nu se autointersectează, adică t1 , t2 (a,b), t1 t2 , z(t1 ) z(t2).

x=Rez

y=Imz

z0

r

U(z0,r)

O x=Rez

y=Imz

z0

r

C(z0,r) y=Imz

x=Rez O O

),(0

rzU

z0

r

z0

U(z0,r,R)

x=Rez

y=Imz

O

r

R

8

2. închisă dacă extremităţile ei coincid, adică z(a) = z(b).

Observaţia 3. Facem următoarea convenţie. Fie curba (C) simplă şi închisă. Dacă este parcursă

în sens trigonometric o notăm tot (C), iar dacă este parcursă în sens invers trigonometric o notăm

cu (C- ), (Figura 7).

(Figura 7) (Figura 8) – domeniu dublu conex

(Figura 9) – domeniu triplu conex

Definiţia 7. Domeniul D C se numeşte simplu conex dacă frontiera sa, notată Fr D, este

alcătuită dintr-o singură curbă (C) simplă şi închisă. Orice domeniu care nu este simplu conex

se numeşte multiplu conex.

Un domeniu multiplu conex poate fi transformat într-un domeniu simplu conex prin

introducerea unor frontiere suplimentare, numite tăieturi. Ordinul de conexiune al unui domeniu

multiplu conex este numărul minim de tăieturi necesare pentru a-l transforma într-un domeniu

simplu conex, plus o unitate, (Figura 8), (Figura 9).

Exemple. 1. Discul U(z0 ,r) este un domeniu simplu conex, frontiera sa este cercul

C(z0 ,r),

FrU(z0 ,r) = C(z0 ,r).

2. Coroana circulară ),,(0

RrzU este un domeniu 2 – conex. Printr-o singură

tăietură se transformă într-un domeniu simplu conex. Frontiera sa este

formată din cercurile C-(z0 ,r) şi C(z0 ,R),

FrU(z0 ,r,R) = C(z0 ,R) C-(z0 ,r).

3. Un domeniu n - conex D se transformă într-un domeniu simplu conex

C- 2

C1

9

prin (n-1) tăieturi şi are frontiera formată din n curbe simple şi închise,

)(...)()(11

nCCCFrD .

Tema. Reprezentaţi în planul complex (z) domenii n – conexe, pentru n = 1,2,3.

4. Şiruri şi serii de numere complexe

Definiţia 5. Se numeşte şir de numere complexe o aplicaţie

f : N C, n N f(n)=: zn C.

Vom folosi notaţia (zn )nN .

Definiţia 6. Şirul (zn )nN converge la

1. z, z , ( zzn

n

lim ), dacă ),()(..)(0 zUzNnîaNn ;

2. , (

nn

zlim ), dacă

VzNnîaNn

)(..)(0 .

Deoarece (zn )nN C, există şirurile de numere reale (xn )nN , (yn )nN R astfel încât zn

= xn +iyn . Aşadar, studiul şirurilor de numere complexe (zn )nN se reduce la studiul şirurilor de

numere reale (xn )nN şi (yn )nN.

Are loc următoarea propoziţie:

Propoziţia 4. Şirul (zn )nN C , zn = xn +iyn converge la z = x + iy dacă şi numai dacă şirurile

de numere reale (xn )nN şi (yn )nN coverg la x respectiv, y.

Definiţia 7. Se numeşte serie de numere complexe o expresie de forma

z1 + z2 +…+ zn +… ,

notată 1n

nz .

Fie Sn = z1 + z2 +…+ zn şirul sumelor parţiale.

Definiţia 8. Seria 1n

nz este convergentă şi are suma S dacă .lim SS

nn

Propoziţia 5. Seria 1n

nz ,( zn = xn +iyn), este convergentă şi are suma S = x + iy dacă seriile

numerice reale 1n

nx şi

1n

ny sunt convergente şi au sumele x respectiv, y.

Deci, şi studiul convergenţei seriilor de numere complexe se reduce la studiul

convergenţei a două serii de numere reale.

Exemple. 1. Calculăm limita şirului (zn )nN ,

n

niz

6

3

6

1.

Îl scriem mai întâi pe n

z sub formă trigonometrică:

n

niz

3

5sin

3

5cos

9

1

3

5sin

3

5cos

9

1 ni

nz

n

n .

10

Dar zn = xn +iyn şirurile reale

3

5sin

9

1

3

5cos

9

1

ny

nx

n

n

n

n

0lim

0lim

n

n

n

n

y

x

deoarece

sunt produsul a două şiruri, unul convergent la 0, iar celălalt mărginit,

( 09

1

n

n

, 13

5cos

n şi 1

3

5sin

n ). Deci 0lim

n

n

z .

2. Calculăm

n

n

i

22

3lim .

Fie

n

n

iz

22

3 care, scris sub formă trigonometrică este

n

niz

6

5sin

6

5cos

6

5sin

6

5cos

ni

nz

n .

zn = xn +iyn

6

5sin

6

5cos

ny

nx

n

n

n

nxlim şi

n

nylim nu există. Deci nu există

nn

z

lim .

Tema. Calculaţi

nn

z

lim , unde

n

n

iz

2

1.

5. Exerciţii

1. Fie 4

2

41

3

i

i

i

iz . Determinaţi Re z şi Im z.

2. Fie 3

2

2

3

2

1

2

3)1(

2

2

2

2)31(

ii

ii

z . Determinaţi arg z şi || z .

3. Calculaţi 31 i .

4. Calculaţi n

n

z

lim , unde

n

n

iz

3

1.

11

II. Derivabilitatea funcţiilor complexe

1. Noţiunea de funcţie complexă

Fie D o mulţime oarecare de numere complexe.

Definiţia 1. Se numeşte funcţie complexă orice aplicaţie f : D C care face ca fiecărui z D

să-i corespundă un număr complex f(z) = w C.

Din punct de vedere geometric, funcţiile complexe sunt transformări punctuale a unei

mulţimi din planul complex (z) în planul complex (w).

Dacă z:= x + iy şi w: = u + iv, cu x, y, u, v R, atunci

f(z) = u(x,y) + iv(x,y).

Aşadar, f este cunoscută când se cunosc funcţiile reale u(x,y) şi v(x,y), unde u(x,y) = Ref(z) şi

v(x,y) = Imf(z).

Exemple. 1. f(z) = z f(z) = x+iy u(x,y) = x şi v(x,y) = y.

2. zizzzzzzf 32)(2

2

)()(3)())(()(2)(22

iyxiiyxiyxiyxiyxiyxzf

yixiyxyixyxyxyixyx 332242222222

)36(322

yxxyiyxy

u(x,y) yxy 322

şi v(x,y) = yxxy 36 .

Tema. Fie zzzzzzzf 2

2)( . Determinaţi Ref(z) şi Imf(z).

Observaţia 1. Invers, atunci când îi ştim pe u(x,y) şi v(x,y), construim f(z, z ) = u(x,y) + iv(x,y)

luând 2

zzx

şi

i

zzy

2

.

Exemple. Fie u(x,y) yx 242 şi v(x,y) = yx 24 . Construim pe f(z, z ).

2

zzx

şi

i

zzy

2

f(z, z ) = u(x,y) + iv(x,y) = yx 242 +i( yx 24 )

i

zzi

zzi

i

zzzz

22

24

22

24

2

zzziizzzzz 322

2.

12

Tema. Determinaţi f(z, z ) ştiind că u(x,y) yxyx 42 şi v(x,y) = 2

3 yx .

Definiţia 2. Funcţia f : D C se numeşte

1. multiformă dacă face să-i corespundă lui z cel puţin două valori distincte, numite

ramurile funcţiei.

2. uniformă dacă face să-i corespundă lui z o singură valoare bine determinată.

În continuare, vom exemplifica funcţiile multiforme şi uniforme prin cîteva funcţii

elementare.

i. Funcţia radical nzzf )( .

Ţinând cont de formula care dă rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex,

(propoziţia 2,(pct. 5) din secţiunea Numere complexe), avem

1,...,0,)2

sin2

(cos)(

2

nken

ki

n

kzzf n

ki

nnn

,

deci este o funcţie multiformă, cu n ramuri 1,...,0,)(

2

nkezf n

ki

nk

.

ii. Funcţia exponenţială zezf )( .

Fie z = x + iy ).sin(cos)( yiyeeezfxiyxz

Este o funcţie uniformă şi

periodică de perioadă principală 2i, ( f(z+ 2i)=f(z)). Într-adevăr,

f(z+ 2i) = f(x+ i(y + 2)) = )2sin()2cos( yiyex = f(z).

iii. Funcţia logaritm zzf log)( .

Mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei zew defineşte o aplicaţie multiformă numită

logritmul complex, notată logz.

ivuiivuiw

ieeeeeez

ez

ivuw

Zkkv

u

Zkkv

eu

,2

ln

,2

Zkkiwzf ),2(ln)( .

Deci,

Zkkzizzzfk

),2(arg||lnlog)( .

Exemple. Calculăm log (

2

2

2

2i ).

z = 2

2

2

2i 1z şi arg z =

4

3.

Deci, log (2

2

2

2i ) = Zkkiki ),2

4

3()2

4

3(1ln

.

13

Tema. Calculaţi log ( i

2

1

2

3 ).

iv. Funcţiile trigonometrice

Din formula lui Euler,

zize

zize

iz

iz

sincos

sincos

i

eez

eez

iziz

iziz

2sin

2cos

sunt funcţii uniforme şi

periodice de perioadă principală 2.

Noţiunile care vor fi prezentate în continuare se vor referi numai la funcţii uniforme.

2. Limite şi continuitate

Noţiunile de limită şi continuiatate din cazul real se extind în cazul complex, aşa cum

vom vedea în cele ce urmează.

Definiţia 3. Fie f : D C C, z0 , l C şi z0 punct de acumulare al mulţimii D. f are limita l

în z0 ,( lzfzz

)(lim0

) dacă:

V o vecinătate a lui l, U o vecinătate a lui z0 a.î. z (U\{z0})D , f(z) V.

Observaţia 2. Dacă z0 , l C, atunci

.|)(|,||,..0,0)(lim0

0

lzfzzcuDzialzfzz

Teorema 1. Fie z0 = x0 + iy0 , l = a + ib şi f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Are loc

byxvayxulzf

yy

xx

yy

xxzz

),(lim,),(lim)(lim

0

0

0

00

.

Definiţia 4. Fie f : D C C , z0 D. f este continuă în z0 dacă are limita în z0 , l=f(z0),

( )()(lim0

0

zfzfzz

).

Limitele şi continuitatea funcţiilor complexe pot fi caracterizate ca şi în analiza reală şi

prin şiruri.

3. Derivata unei funcţii complexe. Condiţii Cauchy-Riemann

Fie D o mulţime deschisă de numere complexe, (D C), f : D C, f(z) = u(x,y) +

iv(x,y), u,v : D R2 R.

Definiţia 5. Funcţia complexă f este derivabilă în z0 D (sau monogenă în z0 ) dacă există şi

este finită limita

0

0

0

)()(lim)('

0 zz

zfzfzf

zz

. (1)

14

Numărul complex f’(z0) se numeşte derivata funcţiei f în z0. Dacă f este derivabilă în

orice punct z D, atunci f este derivabilă pe D (sau olomorfă pe D), caz în care se poate forma

funcţia f’ : D C numită derivata funcţiei f. O funcţie olomorfă pe C de numeşte funcţie

întreagă.

Deoarece relaţia (1) are aceeaşi structură formală ca în analiza reală, se deduc şi pentru

funcţii complexe, exact aceleaşi reguli de derivare ca la funcţiile reale, (pentru sumă, produs,

raport, etc.).

Un rezultat cunoscut şi în cazul real:

Teorema 2. Dacă f este derivabilă în z0 , atunci f este continuă în z0.

Observaţia 3. Funcţiile complexe elementare sunt derivabile pe domeniul lor de definiţie.

Reamintim din cazul funcţiilor de două variabile reale, noţiunea de diferenţiabilitate:

Definiţia 6. Funcţia u : D R2 R este diferenţiabilă în (x0,y0) D dacă , R şi

: D R2 R a.î.

Dyxyx

yyxxyxyyxxyxuyxu

yy

xx

),(,0),(lim

,)()(),()()(),(),(

0

0

2

0

2

00000

Observaţia 4. Dacă u(x,y) este diferenţiabilă în (x0,y0) D, atunci admite derivate parţiale în

(x0,y0) şi ),(00

yxx

u

iar ),(

00yx

y

u

.

Teorema 3. Fie z0 = x0 + iy0 D . Următoarele afirmaţii sunt echivalente

1. f este derivabilă în z0 .

2. u,v sunt diferenţiabile în (x0,y0) şi au loc condiţiile Cauchy – Riemann

),(),(

),(),(

0000

0000

yxx

vyx

y

u

yxy

vyx

x

u

. (2)

În aceste condiţii,

),(),(),(),()('

000000000yx

y

viyx

y

uiyx

x

viyx

x

uzf . (3)

Exemple. Determinăm punctele în care funcţia )2(2)(3

yxyixyxzf este derivabilă.

)2(2)(3

yxyixyxzf u(x,y) xyx 23 şi v(x,y) = yxy 2 care sunt

funcţii elementare, deci diferenţiabile. În punctele z0 = x0 + iy0 de derivabilitate, f

satisface condiţiile Cauchy-Riemann (2). Dar,

,23),(0

2

000yxyx

x

u

000

2),( xyxy

u

,

15

000),( yyx

x

v

, 2),(

000

xyx

y

v.

(2)

00

00

2

0

2

223

yx

xyx

2

08103

0

0

0

2

0

yx

yy

cu soluţiile 3

4,

3

200 yx

şi 2,100 yx . Deci punctele în care funcţia este derivabilă sunt

iz3

4

3

20

şi iz 210

.

Ca aplicaţie la (3), calculăm acum

ix

vi

x

uif

3

4)

3

4,

3

2()

3

4,

3

2()

3

4

3

2('

şi

ix

vi

x

uif 21)2,1()2,1()21('

.

Tema. Determinţi punctele z0 = x0 + iy0 în care funcţia

)433(2)(22

yxxyiyxyxzf

este derivabilă. Calculaţi )('0

zf .

Din condiţiile Cauchy-Riemann se deduce imediat

Teorema 4. f este derivabilă în z0 dacă şi numai dacă 0)(0

z

z

f. În aceste condiţii,

)()('00

zz

fzf

. (4)

Observaţia 5. În virtutea teoremei precedente, se deduce imediat că f : D C este olomorfă pe

D dacă nu depinde de z .

Exemple. Fie funcţia zizzzzzzf )75(23),(2

2 . Determinăm punctele în care este

derivabilă.

În baza teoremei 4, determinăm punctele z0 = x0 + iy0 a. î. 0)(0

z

z

f.

07543)( 000

izzz

z

f 0)1(75

00 yix 5

0x şi 1

0y .

Deci funcţia ete derivabilă doar în punctul z0 = 5 + i.

Din 4 izziz

fif

i

25)32()5()5('

5.

Tema. Determinţi punctele z0 = x0 + iy0 în care funcţia

zzzzzzzzf 3),(2

2

este derivabilă. Calculaţi )('0

zf .

16

Exemple. Determinăm valorile lui b R pentru care funcţia

zzbzbzzbzzf 2)1()1(2)1(3)(2

322

este întreagă.

Deoarece f este întreagă, în baza teoremei 4, condiţia 0)(

z

z

f are loc ()zC.

Rezultă

01)1(4)1(3)(32

bzbzbz

z

f, z C b = 1.

Tema. Determinţi valorile constantelor a, b, c R pentru care funcţia

f(z) = x + ay + i(bx + cy)

este întreagă.

Dăm în continuare câteva proprietăţi ale funcţiilor olomorfe, consecinţe ale condiţiilor

Cauchy-Riemann.

Definiţia 7. Funcţia u : D R2 R, u C

2 (D) se numeşte funcţie armonică dacă

02

2

2

2

y

u

x

uu .

Teorema 5. Dacă f este olomorfă pe domeniul D şi u,v C2 (D) atunci u şi v sunt armonice pe

D.

Exemple. Funcţia 3)( zzf este întreagă, (nu depinde de z ). Conform teoremei 5, u(x,y) şi

v(x,y) sunt funcţii armonice. Verficăm acest lucru.

Determinăm mai întâi pe u(x,y) şi v(x,y).

)3(3)()(322333

yyxixyxiyxzzf

32

23

3),(

3),(

yyxyxv

xyxyxu.

xyy

u

yxx

u

6

3322

xy

u

xx

u

6

6

2

2

2

2

2

2

2

2

y

u

x

uu 0.

2233

6

yxy

v

xyx

v

yy

v

yx

v

6

6

2

2

2

2

2

2

2

2

y

v

x

vv 0.

Tema. Verificaţi dacă Ref(z) şi Imf(z) sunt funcţii armonice, unde f(z) = sin z.

17

Următoarea teoremă ne dă o metodă de construcţie a unei funcţii olomorfe pe un domeniu

simplu conex, când se cunoaşte partea sa reală sau imaginară.

Teorema 6. Fie D un domeniu simplu conex şi u : D R2 R o funcţie armonică pe D.

Atunci există funcţia armonică v astfel încât funcţia f = u + iv este olomorfă pe D.

Exemple. Fie u(x, y) = x4 - 6x

2 y

2 + y

4 şi determinăm v(x,y) astfel încât f = u + iv şi

f(0) = 0.

Conform teoremei 6., u(x, y) trebuie să fie armonică.

32

23

412

124

yyxy

u

xyxx

u

22

2

2

22

2

2

1212

1212

yxy

u

yxx

u

u 0 v(x,y) a.î. f = u + iv este olomorfă

x

v

y

u

y

v

x

u

32

23

412

124

yyxx

v

xyxy

v

32

33

412

)(44),(

yyxx

v

xcxyyxyxv

32

32

412

)('412

yyxx

v

xcyyxx

v

0)(' xc kxc )(

kxyyxyxv 33

44),( )44i(+6-)(334224

kxyyxyyxxzf .

Dar, condiţia f(0) = 3i ikif 3)0( k = 3.

Deci, )344i(+6-)(334224 xyyxyyxxzf .

Tema. Fie v(x, y) = ex sin y. Găsiţi funcţia u(x,y) astfel încât f = u + iv să fie olomorfă

şi f(0) = 2.

4. Exerciţii

1. Determinţi punctele z0 = x0 + iy0 în care funcţiile

a) )3(4)(22

yxiyxyxzf

b) zzzzzzzf 2

2)( sunt derivabile. Calculaţi )('

0zf .

2. Determinţi valorile constantelor a, b, c R pentru care funcţia

18

f(z) = ax2 - 2y

2 + bx + i(cxy - y) este întreagă.

3. Fie u(x, y) = ex cos y. Găsiţi funcţia v(x,y) astfel încât f = u + iv să fie olomorfă şi

f(0)=1.

19

III. Integrala complexă

1. Noţiunea de integrală complexă. Proprietăţi

Fie curba (C) în planul complex (z) dată prin ecuaţia parametrică complexă )(tzz ,

bat , , unde )()()( tiytxtz .

Definiţia 1. Curba (C) se numeşte

1. netedă dacă x(t), y(t) C1 [a,b];

2. netedă pe porţiuni dacă x(t), y(t) C0 [a,b], iar x’(t), y’(t) au un număr finit de puncte

de discontinuitate de speţa întâi.

Observaţia 1. O curbă netedă pe porţiuni este reuniunea unui număr finit de curbe netede.

Facem notaţiile

(C+):= curba (C) parcursă în sensul de creştere al parametrului t [a,b];

(C -):= curba (C) parcursă în sens invers, adică t [b,a].

În cazul unei curbe simple şi închise, (C+), notat (C), este sensul trigonometric, iar (C

-)

este sensul invers trigonometric.

Fie (C) D o curbă netedă pe porţiuni, unde D este un domeniu din planul complex (z)

şi f : D C continuă pe curba (C), ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y), u,v : D R2 R).

Pentru funcţia f şi curba (C) se construieşte o integrală în complex, în acelaşi mod ca în

cazul real.

Se consideră o diviziune d a intervalului [a,b]:

a = t0 < t1 < … < tn = b,

cu norma

)(max)(1

1

kk

nk

ttd .

Acestei diviziuni îi corespund pe curba (C) punctele Mk de afixe zk = z(tk ), k = 0,1,..,n,

(Figura 1).

O

(Figura 1)

În fiecare subinterval ],[1 kk

tt

se alege un punct arbitrar k

căruia îi corespunde pe arcul

Mk-1 Mk punctul Pk de afix k

. Asociem curbei (C) şi diviziunii d suma Riemann

M0

Mn

M1

Mk-1

Mk

Pk(k)

x

y

20

n

k

kkkdzzff

1

1))(()( .

Definiţia 2. Funcţia f se numeşte integrabilă pe curba (C) dacă există numărul complex I cu

proprietatea

Işidcudîadk

,),()(..0)(,0 .

Numărul I se numeşte integrala (curbilinie) complexă a funcţiei f pe curba (C) şi se

notează

)(

)(:

C

dzzfI . Dacă (C) este o curbă închisă, atunci

)(

)(:

C

dzzfI .

Propoziţia 1. În condiţiile date,

)( )()(

.),(),(),(),()(

C CC

dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf (1)

Privind formula (1) putem observa două integrale curbilinii de speţa a doua. Acest fapt

motivează denumirea integralei complexe ca integrală curbilinie complexă.

Ţinînd cont de formula de calcul a unei integrale curbilinii de speţa a doua şi de (1), se

obţine

Propoziţia 2. În condiţiile date,

b

aC

dttztzfdzzf .)('))(()(

)(

(2)

Exemple. 1. Calculăm )( C

dzz

z, unde (C): it

etz )( , ,0t .

Curba (C) este semicercul cu centrul în O

şi rază egală cu 1 pentru că ,0t şi

1z .

Aplicăm formula (2):

it

it

it

ietz

e

etzf

)('

))((

)( C

dzz

z = )1(

3

1

3

3

0

3

3

i

it

o

it

o

it

it

it

ei

eidteidtie

e

e

= 3

13sin3cos i=

3

2 .

2. Calculăm

)(

)(

C

ndzaz , unde (C): raz .

Curba (C) este cercul cu centrul în a şi rază r. Ecuaţia parametrică complexă

a cercului (C) este it

reatz )( , 2,0t .

it

n

iretz

ertzf

)('

))((int

)(

)(

C

ndzaz =

2

)1(1

2

int

o

itnn

o

itndteirdtireer

(C)

x

y

21

=

1,

1,)1(

2

0

2

0

)1(

1

ndac ăti

ndac ăin

eir

itn

n

=

1,2

1,1

1)1(2

ndac ăi

ndac ăn

er

ni

=

1,2

1,0

ndac ăi

ndac ă

.

Tema. Calculaţi

)(

2)(

C

dzizz , unde (C): ietzit 3)( , 2,0t .

În continuare, enunţăm câteva proprietăţi ale integralei complexe

Propoziţia 3.

1.

)()(

)()(

CC

dzzfdzzf ;

2.

)()()(

)()()()(

CCC

dzzgdzzfdzzgzf ;

3. );()()(,)()()(21

)()()( 21

CCCundedzzfdzzfdzzf

CCC

4. MLdzzf

C

)(

)( , unde |)(|sup)(

zfMCz

, iar L este lungimea curbei (C).

2. Formulele integrale ale lui Cauchy

Scopul acestei secţiuni este de a vedea noutatea pe care o aduce integrala complexă şi,

posibilitatea de a reduce considerabil calculele integalelor complexe.

Teorema 1. (Teorema lui Cauchy pentru domeniu simplu conex) Fie D C un domeniu simplu

conex, (C) D o curbă simplă, închisă şi netedă pe porţiuni şi f : D C. Dacă f este

olomorfă pe D atunci

0)(

)(

C

dzzf . (3)

Exemple. 1. Calculăm

)(

24cos

C

zdzzze , unde (C): 2z .

Curba (C) este cercul cu centrul în O şi rază egală cu 2, iar

zzezfz 24

cos)( este olomorfă în interiorul acestui cerc, adică în discul

U(0 ,2). Aplicând teorema 1. rezultă

)(

24cos

C

zdzzze =0.

2. Calculăm ,]1

cossin2[

C

dzz

zzz unde ,3

1: iezC

it ]2,0[ t .

22

Curba (C) este cercul cu centrul în punctul de afix i şi rază egală cu 3

1,

iar

C

dzz

zzz ]1

cossin2[

CC

dzz

zzdzz )1

cossin(2 . Conform teoremei

1,

C

dzz

zz )1

cossin( = 0 deoarece z

zz1

cossin este olomorfă în U(i , 3

1),

(z = 0 nu se găseşte în U(i , 3

1)). Deci,

C

dzz

zzz ]1

cossin2[

C

dzz2

2

3

1)

3

1(2

o

ititdtieie

2

)3

1(

3

2

o

itdtiei

9

4

3

2

9

4 2

0

ie

i

i it

.

3. Calculăm

12

)4(

3

z

iz

dzzz

e.

Curba de integrare este cercul cu centrul în z0 = 2 şi rază r = 1. Numitorul

funcţiei )4(

3)(

zz

ezf

iz

se anulează în z = 0 şi z = -4, dar aceste puncte nu

se găsesc în U(2 ,1). Deci f este olomorfă în U(2 ,1) şi în baza teoremei 1.

rezultă 0)4(

3

12

z

iz

dzzz

e.

4. Calculăm

)(

2

3

)4)(2(

2sin

C

dzzz

zz, unde (C) este MAB , M(0,1), A(-2,-1),

B(2,-1).

Numitorul funcţiei )4)(2(

2sin)(

2

3

zz

zzzf se

anulează în z = -2 şi iz 2 , dar aceste

puncte nu se găsesc în interiorul MAB .

Deci f este olomorfă în interiorul MAB

În baza teoremei 1. rezultă

)(

2

3

0)4)(2(

2sin

C

dzzz

zz.

Tema. Cât este

1

3

)3)(2(z

z

dzzz

ze? Justificaţi răspunsul.

Folosind teorema 1. şi propoziţia 3. rezultă

M(0,1)

A(-2,-1) B(2,-1)

x

y

O

23

Propoziţia 4. Fie D C un domeniu simplu conex, (AMB) şi (ANB) D două arce de curbă şi

f : D C. Dacă f este olomorfă pe D atunci

.)()(

)()(

ANBAMB

dzzfdzzf (4)

Relaţia (4) arată că integrala unei funcţii olomorfe într-un domeniu simplu conex D,

calculată pe orice curbe deschise (care nu sunt închise), cu aceleaşi extremităţi, conţinute în D,

dă o singură valoare. Vom vedea concret acest lucru pe câteva exemple.

Exemple. 1. Calculăm )( 1C

dzz şi )( 2C

dzz , unde y

(C1): titz , 1,0t ;

(C2): ittz2

, 1,0t .

Curbele (C1) şi (C2) au aceleaşi extremităţi,

originea şi punctul A(1,1). x

.12

)1()1)((

1

0

21

0

2

)( 1

t

idtititdzz

C

1

0

32

1

0

2

)(

)2()21)((

2

dttittdttiittdzz

C34

232

1

0

41

0

31

0

2itt

it

.

Deci am obţinut valori diferite, lucru care este justificat de faptul că zzf )(

nu este funcţie olomorfă.

2. Calculăm )(

2

1C

dzz şi )(

2

2C

dzz , unde

(C1): it

ez , ,0t ;

(C2): tz , 1,1 t .

Curbele (C1) şi (C2) au aceleaşi extremităţi,

A(1,0) şi B(-1,0).

Deorece funcţia 2

)( zzf este olomorfă, trebuie să obţinem aceeaşi valoare

pentru ambele integrale. Într-adevăr,

3

2

30

3

0

2

)(

2

1

i

eidtieedzz

it

itit

C

şi .3

2

3

1

1

31

1

2

)(

2

2

t

dttdzz

C

Tema. Calculaţi )(

3

1C

dzz , (C1): tz , 2,2 t . Fără a calcula, spuneţi cît este

)(

3

2C

dzz , (C2): it

ez 2 , ,0t .

A(1,1) (C1)

(C2)

(C1)

(C2) B(-1,0) A(1,0)

y

x

24

Teorema 2. (Teorema lui Cauchy pentru domeniu n - conex) Fie D C un domeniu n - conex

cu )(...)()(11

nCCCFrD şi f : D C. Dacă f este olomorfă pe D atunci

)()()()( 121

)(...)()()(

nCCCC

dzzfdzzfdzzfdzzf . (5)

Exemple. Calculăm

3

2

1

z

dzz

.

Cercul (C): 3z conţine în interior punctul

z = 2. Înconjurăm punctul z = 2 cu un cerc

de rază foarte mică, (C1) : 2z astfel

încât să fie complet conţinut în discul U(0,3). Obţinem un domeniu dublu

conex în care 2

1)(

zzf este olomorfă. Deci putem aplica (5) pentru n =2:

)()( 1

)()(

CC

dzzfdzzf

3

2

1

z

dzz

=

2

2

1

z

dzz

= i2 .

Tema. Cât este

41

1

1

z

dzz

? Justificaţi răspunsul.

Prezentăm în continuare câteva consecinţe ale teoremei lui Cauchy pentru domenii

simplu conexe.

Teorema 3. (formula integrală a lui Cauchy) Fie D C un domeniu simplu conex, (C) D o

curbă simplă, închisă şi netedă pe porţiuni astfel încât (C) =Fr , unde D este un domeniu

şi f : D C. Dacă f este olomorfă pe D atunci

adzaz

zf

iaf

C

,)(

2

1)(

)(

Exemple. Calculăm

2)1)(3(

z

iz

dzzz

e

.

z = -3 şi z= -1 sunt punctele în care numitorul

funcţiei )1)(3(

)(

zz

ezf

iz

se anulează. Doar

z = -1 este în interiorul cercului (C): 2z .

Înconjurăm pe z = -1 cu un cerc de rază foarte mică, (C1): 1z astfel

încât să fie complet conţinut în discul U(0,2). Obţinem un domeniu dublu

(C)

(C- 1)

2

(C)

(C- 1)

-1

y

3 x

2 3 x

y

25

conex în care )1)(3(

)(

zz

ezf

iz

este olomorfă. Aplicăm (5) pentru n =2:

)()( 1

)()(

CC

dzzfdzzf

2

)1)(3(z

iz

dzzz

e

=

1)1)(3(

z

iz

dzzz

e.

Pentru a calcula integrala

1)1)(3(

z

iz

dzzz

e folosim teorema 3.

Fie 3

)(

z

ezh

iz

care este olomorfă în interiorul lui (C1): 1z , deci în baza

teoremei 3.,

11

)(

2

1)1(

z

dzz

zh

ih )1(2

1

)(

1

ihdzz

zh

z

1)1)(3(

z

iz

dzzz

e= )1(2 ih = i

ei

i

22 .

Deci, idzzz

e

z

iz

2

)1)(3(.

1. Calculăm

2)(1

sin

z

dzizz

zz .

z = 1 şi z= -i sunt punctele în care numitorul

funcţiei )(1

sin)(

izz

zzzf

se anulează. Amândouă

sunt în interiorul cercului (C): 2z . Le încon-

jurăm cu cercuri de rază foarte mică, (C1): 11 z

şi (C2): 2 iz astfel încât să fie conţinute în

întregime în discul U(0,2). Se obţine un dome-

niu triplu conex în care )(1

sin)(

izz

zzzf

este olomorfă. Aplicăm formula (5)

pentru n =3, adică

)2()()(

)()()(

1 CCC

dzzfdzzfdzzf

2)(1

sin

z

dzizz

zz =

11

)(1

sin

z

dzizz

zz +

2

)(1

sin

iz

dzizz

zz.

Integrala s-a redus la calculul integralelor

11

)(1

sin

z

dzizz

zz şi

2

)(1

sin

iz

dzizz

zz.

2

i 1

(C)

(C- 1)

C- 2

x

y

26

Fie iz

zzzg

sin)( care este olomorfă în interiorul lui (C1): 1

1 z , deci în

baza teoremei 3.,

111

)(

2

1)1(

z

dzz

zg

ig )1(2

1

)(

11

igdzz

zg

z

.

Deci

11)(1

sin

z

dzizz

zz= )1(2 ig = 0 .

Fie 1

sin)(

z

zzzh

care este olomorfă în interiorul lui (C2): 2

iz şi aplicând

din nou teorema 3. avem

2

1

)(

2

1)(

iz

dzz

zh

iih .

Rezultă

)(2)(1

sin

2

iihdzizz

zz

iz

shi12 .

Deci,

2)(1

sin

z

dzizz

zz = shi 120 = shi12 .

Tema. Calculaţi

1

)12)(2(z

dzzz

z.

Teorema 4. Fie D C un domeniu simplu conex, (C) D o curbă simplă, închisă, netedă pe

porţiuni astfel încât (C) = Fr , unde D este un domeniu şi f : D C. Dacă f este

olomorfă pe D atunci f este indefinit derivabilă pe D şi

.*,,

)(

2

!)(

)(

1

)(Nnadz

az

zf

i

naf

C

n

n

Exemple.

Calculăm

21

2)2(

3

z

dzzz

z.

z = 0 şi z= 2 sunt punctele în care numitorul

funcţiei 2

)2(

3)(

zz

zzf se anulează. Ambele

sunt în interiorul cercului (C): 21 z .

Le înconjurăm cu cercuri de rază foarte mică, (C1): 1z şi (C2): 2

2 z

astfel încât să fie complet conţinute în discul U(1,2). Obţinem un domeniu

(C)

(C- 1)

-1 1 2

(C- 2)

3 x

y

27

triplu conex în care 2

)2(

3)(

zz

zzf este olomorfă. (5) cu n =3 este

)2()()(

)()()(

1 CCC

dzzfdzzfdzzf

21

2)2(

3

z

dzzz

z =

1

2)2(

3

z

dzzz

z +

22

2)2(

3

z

dzzz

z.

Deci avem de calculat integralele

1

2)2(

3

z

dzzz

z şi

22

2)2(

3

z

dzzz

z.

Fie 2

)2(

3)(

z

zzg care este olomorfă în interiorul lui (C1): 1

z , deci în baza

teoremei 3.,

1

)(

2

1)0(

z

dzz

zg

ig )0(2

)(

1

igdzz

zg

z

.

Deci

1

2)2(

3

z

dzzz

z= )0(2 ig = i

2

3.

Fie z

zzh

3)(

care este olomorfă în interiorul lui (C2): 2

2 z şi aplicând

teorema 4. cu n=1, avem

22

2)2(

)(

2

1)2('

z

dzz

zh

ih .

Dar 2

3)('

zzh

4

3)2(' h . Obţinem

)2('2)2(

3

22

2ihdz

zz

z

z

i2

3 .

Deci,

21

2)2(

3

z

dzzz

z = i

2

3i

2

3 =0.

Tema. Calculaţi

2

2)1(

sin

z

dzz

z.

3. Exerciţii

Calculaţi următoarele integrale complexe:

1.

)(

2)2(3

C

dzizz , unde (C): ietzit

24)( , 2,0t ;

2.

)( 1

)2(

C

dzz , (C1): tz , 1,1t . Fără a calcula, spuneţi cît este

)( 2

)2(

C

dzz , (C2):

itez , 2,t . Justificaţi răspunsul.

28

3.

11

22

3

cos3

z

dzz

zz;

4.

)(

2)22)((

2cos

MAB

dzizziz

z, M(0,1), A(-1,0), (1,0);

5.

2

2

1z

zi

dzz

ze

;

6.

31

21

z

dzz

z;

7.

2

2)()1(

2

z

dzizz

z

29

IV. Serii de funcţii complexe

1. Serii de puteri

Fie {fn}nN , fn : D C C un şir de funcţii complexe şi z0 D . {fn(z0 )} nN este un

şir numeric convergent sau divergent.

Fie A := {z D | {fn(z )} nN este un şir numeric convergent}. A se numeşte mulţimea

de convergenţă a şirului de funcţii {fn}nN . Considerăm şi f : A C.

Definiţia 1. Şirul de funcţii {fn}nN

1. converge punctual în A către f dacă

|)()(|),(..),(0, zfzfzNnîazNAzn

;

2. converge uniform în A către f dacă

.|)()(|,),(..)(0 zfzfAzNnîaNn

Fie seria de funcţii complexe

....)(...)()()(21

1

zfzfzfzfn

n

n , (1)

şirul sumelor parţiale

)(...)()()()(21

1

zfzfzfzfzSn

n

k

kn

(2)

mulţimea de convergenţă a şirului de funcţii (2)

E := {z D | {Sn(z )} nN este un şir numeric convergent}

şi funcţia S : E C astfel încât ).()(lim zSzSn

n

Definiţia 2. Seria de funcţii (1) este

1. punctual convergentă în E către S, dacă şirul de funcţii (2) converge punctual pe E către

S ( în z E, )()(

1

zSzf

n

n

);

2. uniform convergentă în E către S, dacă şirul de funcţii (2) converge uniform pe E către S

( )()(

1

zSzf

n

n

, z E );

3. absolut convergentă dacă seria

1n

nf este convergentă.

Din cele prezentate până acum, nu sunt diferenţe semnificative între cazul real şi complex

al şirurilor şi seriilor de funcţii. Mai mult, pot fi stabilite criterii de convergenţă similare cu cele

din cazul real: criteriul Weierstrass de convergenţă uniformă, criteriul general de convergenţă al

lui Cauchy.

30

Definiţia 3. Seria de funcţii

....)(...)()()(10

0

n

n

n

n

nazcazcazcazc (3)

se numeşte serie de puteri centrată în a C, unde z, cn C, n N.

Observaţia 1. Prin notaţia := z - a, seria (3) se reduce la seria de puteri n

n

nc

0

. Deci studiul

seriilor (3) se reduce la studiul seriilor centrate în 0:

.

0

n

n

nzc

(4)

Teorema 1. (Teorema lui Abel) Fiind dată seria de puteri (4), există numărul R (0 R ),

numit raza de convergenţă astfel încât (4) este

1. absolut convergentă în discul |z| < R şi divergentă exteriorul său, (adică |z| > R).

2. uniform convergentă în discul |z| r, unde 0 r R.

Observaţia 2. Raza de convergenţă se determină cu formulele

n

nn

cR

||lim

1

sau ||

||lim

1

n

n

n c

cR (5)

Ca şi în cazul real, teorema lui Abel nu afirmă nimic despre natura seriei (4) în punctele

|z| = R. Aceste puncte vor fi de convergenţă sau de divergenţă.

Exemple. Determinăm razele de convergenţă pentru seriile

1. n

n

zn

n

0

2

)!2(

)!(.

||

||lim

)!2(

)!(

1

2

n

n

n

n

c

cR

n

nc

.41

)12(2lim

)!1(

)!22(

)!2(

)!(lim

2

2

n

n

n

n

n

nR

nn

2. n

n

n

zin

in

0 21.

nn

n

n

n

cR

in

inc

||lim

1

21 .2

41

1lim

1

21lim

1

2

2

n

n

in

inR

nn

Tema. Determinaţi razele de convergenţă ale seriilor

n

n

zn

0 !

1, n

n

n

zn

n

0

1.

31

2. Serii Taylor

Definiţia 4. Fie funcţia olomorfă f : D C C şi a D. Seria de puteri

n

n

n

azn

af)(

!

)(

0

)(

(6)

se numeşte seria Taylor a lui f în jurul punctului a.

Pentru a = 0, (6) se numeşte seria Mac-Laurin.

Observaţia 3. Aplicând teorema lui Abel seriei Taylor (6), rezultă că aceasta este absolut

convergentă in discul U(a,R) D.

Apare întrebarea dacă seria Taylor (6) converge către f în discul U(a,R)? Răspunsul ne

este dat de următoarea teoremă:

Teorema 2. Relativ la seria de puteri (3) avem:

1. suma ei este o funcţie olomorfă f : U(a,R) C, adică

n

n

nazczf )()(

0

; (7)

2. în U(a,R), ea poate fi derivată şi integrată termen cu termen, iar seriile care se obţin au

acelaşi disc de convergenţă, U(a,R).

3. coeficienţii cn sunt unic determinaţi prin

.0,!

)()(

nn

afc

n

n (8)

Înlocuind (8) în (7) rezultă n

n

n

azn

afzf )(

!

)()(

0

)(

. Deci seria Taylor (6) converge către f în

discul U(a,R).

Este adevărată şi reciproca, adică

Teorema 3. Dacă f : D C C este olomorfă pe D şi a D, atunci f se poate reprezenta în

orice disc U(a,R) prin seria Taylor (6).

Teoremele 2. şi 3. ne dau o condiţie necesară şi suficientă de olomorfie şi anume,

Teorema 4. f este olomorfă în U(a,R), a C, R > 0, dacă şi numai dacă f se reprezintă în

U(a,R) printr-o serie Taylor.

Observaţia 4. Seria Taylor a unei funcţii întregi are raza de convergenţă infinită, R = . Spre

exemplu ez, sin z, cos z, sh z =

2

zzee

, ch z = 2

zzee

sunt funcţii întregi, deci dezvoltarea lor

în serie Taylor se face în discuri cu centrul în a şi raza .

Exemple. 1. Dezvoltăm în serie Taylor funcţia f(z) = ez în U(a,), a C.

znezf )(

)(, nN, a

ne

nc

!

1

32

...

!...

!2!11

2

n

azazazee

n

az .

Pentru a = 0 seria Mac-Laurin

...!

...!2!1

1

2

n

zzze

n

z, z C. (9)

2. Dezvoltăm în serie Mac-Laurin funcţiile sin z şi cos z în U(0,).

Seriile Mac-Laurin ale acestor funcţii se pot găsi ca în exemplul anterior, dar

putem şi altfel şi anume utilizând formulele

i

eez

eez

iziz

iziz

2sin

2cos

şi (9).

....

!4!3!2!11

....!4!3!2!1

1

432

432

zzi

zzie

zzi

zzie

iz

iz

...!5!3!1

sin

....!4!2

1cos

53

42

zzzz

zzz

, z C.

3. ......11

1 2

nzzz

z, 1z .

Tema. Dezvoltaţi în serie Mac-Laurin funcţiile sh z şi ch z în U(0,).

3. Puncte singulare izolate

Fie funcţia f : D C C şi a C.

Mulţimea }{\: aVV

se numeşte vecinătate punctată a lui a. Spre exemplu, o vecinătate

punctată a lui a este coroana circulară de centru a

RazCzaRaU ||0,}{\),( .

Definiţia 5. Punctul a se numeşte punct ordinar sau regulat al funcţiei f dacă există V o

vecinătate a lui a astfel încât f se reprezintă în V D printr-o serie Taylor. În caz contrar, a se

numeşte punct singular izolat.

Deci dacă a este punct singular izolat atunci f nu este olomorfă în V, dar există

V în care

f este olomorfă. Există mai multe tipuri de puncte singular izolate.

Definiţia 6. Punctul singular izolat a al funcţiei f se numeşte:

1. aparent sau eliminabil dacă există şi este finită limita

,0,)(lim00

cczfaz

;

2. pol simplu dacă există, dar este infinită limita

33

)(lim zfaz

;

3. pol de ordinul k dacă

)(lim zfaz

şi k

k

az

czfaz

)()(lim ,

,0k

c ;

4. esenţial dacă nu există )(lim zfaz

.

Exemple. 1. z = 0 este punct singular aparent pentru funcţia z

zzf

sin)( . Într-adevăr,

z

z

z

sinlim

0

=1.

2. Fie 3

)1)(2()(

zz

ezf

z

.

z = 2 este pol simplu (

32 )1)(2(

limzz

ez

z

), iar z = -1 este pol de ordinul 3,

(

31 )1)(2(

limzz

ez

z

, )()1(lim3

1

zfzz

ez

ez

z 3

1

2lim

1

).

3. z = 0 este punct singular esenţial pentru funcţia z

zf1

cos)( deoarece

zz

1coslim

0

nu există.

Tema. Găsiţi punctele singulare izolate ale funcţiilor z

zf1

sin)( şi )2(

sin)(

2

zz

zzf şi

precizaţi tipul lor.

4. Serii Laurent

Vom vedea câteva caracterizări ale punctelor singulare izolate cu ajutorul seriilor

Laurent.

Seria

n

n

n

n

n

n

n

n

nazazaz )()()(

01

(10)

este suma a două serii:

1. n

n

naz )(

0

, seria după puterile pozitive ale lui (z - a)n, n N, adică o serie Taylor.

Aceasta se numeşte partea Taylor a seriei (10) şi este convergentă în U(a,R);

2.

11 )()(

n

n

nn

n

naz

az

, seria după puterile negative ale lui (z - a)n, n Z – N. Se

numeşte partea principală a seriei (10).

34

Notând az

1

111 )()(

n

n

n

n

n

nn

n

naz

az

, adică o serie Taylor care

este convergentă în discul U(0,R’) sau în exteriorul discului U(a,r). Într-adevăr, '|| R

rR

az :'

1|| , 0'R .

Comparând razele de convergenţă r şi R şi aplicând Teoremele 2. şi 3. rezultă că seria

(10) este convergentă în coroana circulară U(a,r,R), (r < R), suma seriei fiind o funcţie olomorfă

în U(a,r,R) şi reciproca.

Definiţia 7. Fie f : D C C o funcţie olomorfă în U(a,r,R), a D. Seria

n

n

nazc )(

(11)

unde coeficienţii cn sunt daţi de

dzaz

zf

ic

C

nn

)(

1)(

)(

2

1

, (C) : || az , ),( Rr , n Z, (12)

se numeşte seria Laurent a funcţiei f în jurul punctului a.

Teorema 5. Funcţia f : U(a,r,R) C, olomorfă în U(a,r,R) se poate reprezenta în mod unic

sub forma unei serii Laurent (11),

n

n

nazczf )()(

,

unde coeficienţii n

c sunt daţi de (12).

Teorema 6. Fie z = a un punct singular izolat al funcţiei f. Atunci

1. z = a este aparent dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în

V nu

are parte principală, adică

n

n

nazczf )()(

0

, z

V ;

2. z = a este pol de ordinul k dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în

V are k termeni în partea principală, adică

n

n

nk

kazc

az

c

az

czf )(...

)()(

0

1

, z

V ;

3. z = a este esenţial dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în

V are în

partea principală o infinitate de termeni, adică

n

n

nk

kazc

az

c

az

czf )(...

)(...)(

0

1

, z

V .

Exemple. 1. Funcţia zezf

1

)( are pe z = 0 punct singular esenţial.

Înlocuind pe z cu z

1 în (9) dezvoltarea Laurent

35

Taylorparte

principal ăparte

n

z

zzzne .....1

1

!1

11

!2

1...

1

!

1...

2

1

care are în partea principală o infinitate de termeni. Deci z = 0 este punct singular

esenţial.

Menţionăm şi valoarea coeficientul 1

c din aceată dezvoltare. Acesta este

1!1

11

c .

2. )1(

1)(

zzzf

are polii simpli z = 0 şi z = 1.

În 10 z ,

......11

...)...1(1

)1(

1 2

nnzz

zzzz

zzz.

Avem 11

c .

În 110 z avem

...)1()1(1

1

1

)1(1

1

1

11

1

1

)1(

1 2

zz

zzzzzzz

Şi aici, 11

c .

3. z

zzf

cos)( .

z = 0 este punct singular izolat. Ţinând cont de dezvoltarea în serie Mac-Laurin a

funcţiei cos z, avem

...!4!2

1....

!4!21

1cos342

zz

z

zz

zz

z, care este o serie Laurent cu un

singur termen în partea principală. Deci z = 0 este pol simplu. În plus, 11

c .

4. Dezvoltăm în serie Laurent în jurul punctului singular z = 0 funcţia

zzf

sin

1)( .

Avem,

...

!7!5!31...

!7!5!3!1sin

642753zzz

zzzzz

z

...!7!5!3

1

11

sin

1)(

642

zzzzz

zf .

Funcţia

...!7!5!3

1

1

642

zzz

neavând pe z = 0 punct singular izolat, se dezvoltă

în serie Taylor în jurul său. Deci,

36

...1

...!7!5!3

1

11)(

2

210642

zazaazzzzz

zf

1...!7!5!3

1...

642

2

210

zzzzazaa

1...)!5!3

()!3

()!3

(402

4

31

3

20

210 z

aaaz

aaz

aazaa

,.....360

7,0,

!3

1,0,1

43210 aaaaa

...360

7

6

11)(

3 zz

zzf .

Dezvoltarea lui )( zf în jurul lui z = 0 are un singur termen în partea principală,

rezultă că z = 0 este pol simplu, iar 11

c .

Tema. Arătaţi că z = 0 este punct singular esenţial pentru funcţia z

zzf1

sin)( .

Aşa cum s-a putut vedea în exemplele prezentate, coeficienţii seriilor Taylor şi Laurent

nu au fost determinaţi cu formulele (8) şi (12) din cauza calculelor dificile, ci s-au folosit diverse

procedee care au redus problema, la dezvoltarea în serie a unor funcţii cunoscute. De o mare

importanţă este coeficientul 1

c din dezvoltarea în serie Laurent a unei funcţii jurul unui punct

singular izolat.

5. Exerciţii

Dezvoltaţi în serie Laurent în jurul punctelor singulare izolate următoarele funcţii:

1. zz

zf1

cos1

)( ; 2. zezzf

1

3)( ; 3.

z

zzf

sin)( ; 4. ctgzzf )( .

37

V. Reziduuri

1. Teorema reziduurilor

Fie z = a, a C, un punct singular izolat al funcţiei f : D C C. În coroana circulară

de centru a,

RazCzaRaU ||0,}{\),( ,

funcţia f este olomorfă. Aşadar, în baza teoremei 5, f se poate reprezenta printr-o serie Laurent

n

n

nazczf )()(

, (1)

cu coeficienţii

dzaz

zf

ic

C

nn

)(

1)(

)(

2

1

, (C) : || az , ),0( R , n Z. (2)

Definiţia 1. Se numeşte reziduul funcţiei f în punctul a, notat rezf(a), coeficientul lui az

1 din

dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în }{\),( aRaU .

Luând n = -1 în (1) se obţine

rezf(a) = dzzfi

c

C

)(

1)(

2

1

, (C) : || az , ),0( R , (3)

sau echivalent

dzzf

C

)(

)( = 2i rezf(a) = 1

2

ic , (C) : || az , ),0( R , (4)

relaţie care reduce calculul unei integrale complexe pe curba (C) la determinarea coeficientului

1c din (1).

În cazul unui punct singular aparent, întotdeauna 01

c . Dacă z = a este punct singular

esenţial coeficientul 1

c se determină numai din dezvoltarea în serie Laurent (1), iar dacă z = a

este pol de ordinul k atunci, există şi altă posibilitate.

Propoziţia 1. Dacă z = a este pol de ordinul k atunci

rezf(a)

.)()(lim!1

1 )1(

kk

az

zfazk

(5)

Demonstraţie. Deoarece z = a este pol de ordinul k , z }{\),( aRaU avem

...)(...)()(...)(

)(2

210

1

n

nk

kazcazcazcc

az

c

az

czf ,

echivalentă cu

...)(...)()()(...))((1

10

1

1

nk

n

kkk

k

kazcazcazcazccazzf

Dervând de (k-1) ori, obţinem

38

...))(2)...(1)((...)(!)!1())((1

01

)1(

n

n

kkaznknkncazkckcazzf .

Trecând la limită când z a, rezultă (5).

Exemple. z = 1 este pol de ordinul 2 pentru funcţia2

)1(

2)(

zz

zzf . Calculăm rezf(1).

Din (II.5.5) avem

rezf(1)

22

lim2

lim)1(

2)1(lim

!12

1

21

'

1

'

2

2

1

zz

z

zz

zz

zzz

.

Tema. Calculaţi rezf(0), unde )1(

2)(

3

zz

zzf .

Propoziţia 2. Dacă z = a este pol simplu al funcţiei f şi )(

)()(

zh

zgzf , unde g şi h sunt funcţii

olomorfe pe o vecinătate a lui a, atunci

Rezf(a) )('

)(

ah

ag . (6)

Demonstraţie. Pentru k = 1, (5) devine rezf(a) )(

)()(lim)()(lim

zh

zgazzfaz

azaz

. Dar,

0)( ah deoarece z = a este pol simplu al funcţiei f . Deci, se poate aplica regula l’Hospital:

rezf(a) )('

)(

)('

)(')()(lim

)(

)()(lim

zh

zg

zh

zgazzg

zh

zgaz

azaz

.

Exemple. z = 0 este pol simplu pentru funcţia2

)1(

2)(

zz

zzf . Calculăm rezf(0).

Din (6) avem

rezf(0)

2)1(2)1(

2

)1(

2

0

2

0

'2

zz

zzz

z

zz

z.

Tema. Calculaţi rezf(-1), unde )1(

2)(

3

zz

zzf .

Teorema 1. (Teorema reziduurilor) Fie f o funcţie olomorfă într-un domeniul D şi (C) o curbă

simplă, închisă conţinută în D, (C) D. Dacă în interiorul domeniului mărginit de curba (C)

funcţia f are un număr finit de puncte singulare izolate a1, a2, …, an, atunci

n

k

k

C

arezfidzzf

1)(

)(2)( . (7)

Demonstraţia acestei teoreme se bazează pe teorema lui Cauchy pentru domeniu n-conex.

De fapt, teorema reziduurilor este o traducere convenabilă a teoremei lui lui Cauchy pentru

39

domeniu n-conex, cu ajutorul reziduurilor. Utilitatea sa constă în faptul că, după cum am văzut,

reziduurile se calculează relativ simplu.

În continuare vom calcula câteva integrale complexe cu ajutorul teoremei reziduurilor.

Considerăm mai întâi un exemplu în care punctele singulare izolate a1, a2, …, an sunt poli.

Exemple.

Calculăm

2

22)4(

1

iz

dzzz

z.

z1 = 0 este pol de ordinul 2, iar iz 23,2

sunt poli

simpli. Curba de integrare este cercul cu centrul în

i şi de rază 2. Doar z1 = 0 şi iz 22 sunt în interi-

orul cercului (C): 2 iz . Conform teoremei

reziduurilor,

2

22)4(

1

iz

dzzz

z= 2i [rezf(0) + rezf(2i)].

rezf(0) =

'

20

'

22

2

0 4

1lim

)4(

1lim

!12

1

z

z

zz

zz

zz

14

42lim

2

2

0

z

zz

z

.

rezf(2i) = 16

2

16

12

2)4(2

1

)4(

1

2

32

2

'22

i

i

i

zzz

z

zz

z

iziz

.

Deci, 8

)14(

)4(

1

2

22

iidz

zz

z

iz

.

Tema. Calculaţi

2

2)1(

3

z

dzzz

z.

Considerăm acum un exemplu în care punctele singulare izolate a1, a2, …, an sunt şi puncte

esenţiale.

Exemple.

Calculăm

21

1

1z

z

dzz

ze.

z1 = 0 este punct singular esenţial, iar 12z este

pol simplu, ambele se găasesc în interiorul cercului

(C): 21 z . Conform teoremei reziduurilor,

(C)

z1=0 z2=1

3 x

y

(C)

z1=0

i

3i

z2=2i

z3= -2i

-i

x

iy

40

21

1

1z

z

dzz

ze= 2i [rezf(0) + rezf(1)].

z1 = 0 fiind punct singular izolat, rezf(0) se obţine din dezvoltarea în serie

Laurent în 1||0,}0{\),0( zCzRU . Avem,

z

zezf

z

1)(

1

...

1

!

1...

1

!2

11

!1

11...)...1(

2

2

n

n

znzzzzzz ,

din care ne interesează coeficientul lui z

1. Rezultă

rezf(0) = 2!1

11...

!

1...

!3

1

!2

11

een

c .

12z este pol simplu, deci

rezf(1)

eze

z

ze

z

z

z

z

1

1

1

'

1

11.

21

1

1z

z

dzz

ze= 2i [rezf(0) + rezf(1)] ieei 4)2(2 .

Tema.

Calculaţi

2

1

sin

z

dzz

z

.

2. Aplicaţie la calculul integralelor trigonometrice

Calculul mai multe tipuri de integrale reale se simplifică prin aplicarea teoremei

reziduurilor. Prezentăm doar reducerea integralelor trigonometrice la integrale complexe.

Fie integrala

2

0

)cos,(sin dxxxR , (8)

unde R este o funcţie raţională de sin x şi cos x.

Prin schimbarea de variabilă ixez , când x parcure intervalul 2,0 , z descrie cercul 1z o

singură dată, în sens trigonometric. Din formulele

i

eex

eex

ixix

ixix

2sin

2cos

iz

z

i

zzx

z

zzzx

2

1

2sin

2

1

2cos

21

21

41

şi din ixez

iz

dzdx . Astfel, integrala (II.5.8) se reduce la integrala complexă

1

22

2

1,

2

1

ziz

dz

z

z

iz

zR , (9)

căreia i se poate aplica teorema reziduurilor.

Exemple.

Calculăm

2

0sin35

1dx

x.

Prin schimbarea de variabilă ixez , rezultă

iz

zx

2

1sin

2

şi iz

dzdx . Deci,

2

0sin35

1dx

x=

1

2

2

135

1

ziz

dz

iz

z

1

23103

2

z

dzizz

.

Rezolvând ecuaţia 31032

izz = 0 găsim polii simpli iz 31 şi

32

iz . Dar,

doar 3

2

iz este în interiorul cercului (C): 1z . Avem,

2

0sin35

1dx

x=

1

23103

2

z

dzizz

= 2i rezf(3

i)

3

'2)3103(

22

iz

izzi

2106

22

3

i

ziz

i .

Tema. Folosind teorema reziduurilor, calculaţi

2

0cos2

sin1dx

x

x.

3. Exerciţii

1. Folosind teorema reziduurilor, calculaţi următoarele integrale complexe:

a)

2

2)3()1(

1

z

dzzzz

z; b)

3

282

z

dzzz

iz; c)

2

sin

iz

dziz

z; d)

3

2)1(

1

iz

dzzz

e)

2

11

1

1sin

z

dzz

zz

; f)

21

221

1

iz

dz

z

z.

(C): |z|=1

z2=i/3

1 x

iy

42

2. Transformaţi integrala

2

0cos35

1dx

x într-o integrală complexă. Calculaţi-o cu teorema

reziduurilor.