Cap.3 - Functia de Utilitate

8/14/2019 Cap.3 - Functia de Utilitate

1/24

Funcia de utilitate

3.1 Noiuni generale

Noiunea de utilitate a aprut n secolul al XIX-lea. Iniial acestconcept era privit ca un indicator pentru a msura bunstarea generala unuiindivid. El avea o accepiune de cardinalitateprin care se atribuia o valoaredirecti exactacestei utiliti. n acest caz mrimea ecartului ntre nivelele

de utilitate asociate la dou pachete de consum avea o semnificaieimportant. Astfel numrul 30 corespunztor unui pachet semnifica c eleste de trei ori mai dorit dect pachetul a crui utilitate este cotatcu 10.n cazul alegerii optimale este necesar s se cunoasc care pachet este

preferat altuia, adic care are o utilitate mai ridicat, mrimea ecartuluineaducnd nici o informaie n plus privind aceastalegere, ceea ce a dus laabandonarea acestei accepiuni.

Utilitatea se numete ordinal dac numerele de utilitate atribuitepachetelor nu au altsemnificaie dect acela de a desemna rangul acestor

preferine din punctul de vedere al consumatorului.n analiza alegerii consumatorlui singurul lucru care contezeste selectareaacelui pachet ce are cea mai mare utilitate, mrimea ecartului ntre nivelelede utilitate neprezentnd nici un interes.

n economie termenul de utilitate este utilizat pentru a desemnainformaii de natursubiectiv, cum ar fi ndeplinirea dorinelor, satisfaciarezultatn urma consumului de bunuri.

Fie o funcie U definitpe mulimea pachetelor de consumXn

i cu valori n mulimea numerelor reale . Ipotezele asupra relaiilor depreferin, adicde completitudine, tranzitivitate, reflexivitate, nonsaietate,continuitate i convexitate sunt suficiente pentru reprezentarea numeric aordonrii preferinelor.

Definiie: O funcie real definit pe mulimea pachetelor deconsum, adic:

U:Xn se numetefuncie de utilitate:dacare proprietile:

a) U(x1

) = U(x2

) daci numai dacx1

x2

(adiccele doupachetesunt indiferente consumatorului);


2/24

Teoria microeconomica agenilor economici

b) U(x1) > U(x2) daci numai dacx1 f x2 (adicpachetulx1estepreferat luix2de ctre consumator).

n condiiile verificrii ipotezelor de completitudine, reflexivitate,tranzitivitate, mulimea pachetelor de consum poate fi partiionat n seturide indiferen, fiecare pachet aparinnd unui singur set. Verificarea

proprietii de continuitate este necesarn construirea unei funcii numericeU(x) pentru ordonarea preferinelelor, numit funcie de utilitate.Proprietatea de continuitate asigur faptul c curbele de indiferen vorintersecta n mod sigur prima bisectoare.

3.2 Construcia funciei de utilitate

Curba de indiferena consumatorului reprezintlocul geometric alpachetelor posibile de bunuri pentru care utilitatea (satisfacia)consumatorului rmne neschimbat. n construcia funciei de utilitate seine seama de faptul caceast curbde indiferen este descresctoare iconvex. Curba de indiferenmai este numiti curba de izoutilitate.

FieXmulimea consumurilor posibile ix0 X, un pachet fixat. Sedefinete mulimea de contur superior X0 = {x / x x0}, adic mulimeatuturor punctelor pentru carexeste preferat sau indiferent luix0.

Fie U : X0 astfel c U(x) este egal cu distana de la x0 lamulimea punctelor preferate sau indiferente luix.

Notm d( ) =0,xx 0xx - distana euclidiande la punctul laxx 0. Prin

distana de la un punct la o mulime se nelege cea mai micdistande lapunctul respectiv la fiecare punct al mulimii.Definim:

U(x0) =0

minXx

0xx = d( ) 00

minXx

0,xx

i fie C(x) = { / x} mulimea tuturor pachetelor de consum preferatesau indiferente lui luix (vezi figura 3.1).x x

x0

d( )0,xx x

xC(x)

Figura 3.1


3/24

Capitolul 3. Funcia de utilitate

Deoarece d( ) este o funcie continu, mrginitinferior i C(x)

este o mulime nchis, d( ) i atinge valoarea minimcnd C(x).

0,xx0,xx x

Prin definiie U(x) = d( ) 0.)(

minxCx

0,xx

Minimul poate fi atins pentru mai multe puncte ale lui C(x). Notmcu M(x) mulimea acestor puncte, adic mulimea punctelor ce au aceeaiutilitate (mulimea de contur):

M(x) = C(x) {x / d( xx , )) = U(x)}.

Fie x M(x) atunci x C(x) i deci x x.

Teorema 1

Vectorul x M(x) are proprietatea c x ~x. Adicpachetele deconsum cu aceeai utilitate sunt indiferente consumatorului.

DemonstraiePresupunem x f x. Atunci, conform proprietii de convexitate

existun scalar (0, 1) astfel nct:

(1- )x + x0 xf

i deci:

d[(1 - )x + x0,x0] = || (1 - )x + x0-x0|| = || (1 - ) ( -xx 0) || =(1 - ) || -xx 0|| = (1 - ) d( ) = (1 - )U(x).0,xx

Dar pe de altparte U(x) corespunde distanei minime deci:

U(x) d[(1 - )x + x0

,x0

] = (1 - )U(x).

Reducem termenul U(x) i rezult -U(x) 0. Deoarece > 0nseamn c U(x) 0. Dar din definiia utilitii U(x) 0 rezultdeci, cU(x) = 0.

Acest fapt semnificci d( ) = 0 sau ||0,xx x - x0|| = 0 ceea ce

implic =xx 0. Avnd n vedere ipoteza fcut x0= x xxf 0 rezultdeci cx0 xf 0ceea ce nu se poate, deci presupunerea cx xf 0nu este

valabil, rmnnd ca ~x.x


4/24


Teorema 2

Fiex1,x2X. Dac: a)x1 x2 atunci U(x1) U(x2);b)x1 f x2 atunci U(x1) > U(x2).

Demonstraie

a) Fie x C(x 1) atunci x x1. Din proprietatea de nesaierex

1fx2rezultprin tranzitivitate cx x2deci x C(x2). Este clar cdin:

)(min

xCx d ) C( xx ,

)(min

xCx (x ) => U(x1) U(x2).

b) Vom presupune cx x2 plic U(x1) = U(x2).

lt

1f im

Din C(x1

)

C(x2

) rezu M(x1

)

M(x2

). Fie x

M(x1

), atuncieste evident c x M(x2). Conform teoremei precedente dac x M(x)atunci x ~ x. Deci x ~ x1 i x ~ x2 implicx1 ~ x2 ceea ce este ocontrad ie datorat faptului c presupus c U(xic am

funcie de utilitate. Trebuie s artm c esteadevr

nctului a) atunci(x2)

Observaiiefinitcu ajutorul conceptului de distaneste o funcie

3.3 Caracteristicile funciei de utilitate

satisfacia consumatoruluirezultdin modul de combinare a cantitilor

erioadunicde timp.i salturi).

o transformaremonotonatunci i V(x) = T(U(x)) este tot o funcie de utilitate.

1) = U(x2). Rmnevalabil cU(x1) > U(x2).

Funcia U este oat faptul crelaia U(x1) U(x2) implicx 1 f x2.Presupunem din contr c x2 x1, conform pu

U U(x1), ceea ce contrazice ipoteza.

Funcia Udcontinu. n cazul n care mulimeaXconine un punctx0considerat a fi celmai puin preferat, atunci n construcia funciei de utilitate X0 se ia

X0= {x / x x0} i se consider mulimea X. Dacnu avem un astfel de

punct se folosete teorema nesaierii locale i se construiete n prima parteo funcie unic.

bunurilor din vectorul de consumx.funcia de utilitate se definetepeo p

se considerceste o funcie continu(n realitate existtotu funcia de utilitate este unica transformare monoton.

Astfel, dac U(x) este o funcie de utilitate i T


5/24


Observaii

Toate transformrile monotone ale funciei de utilitate reprezinti preferine ca cele iniiale.

perioare le corespund valori

i de a determina pe ea distanele fade

Pen ia legtura ntre funcia de utilitate i seturile dediferenvom considera mulimea pachetelor de consum ce satisfac relaia

independente ce determineeai

3.4 Funcii de utilitate aditive i multiplicative

ocuratdeconsumul dintr-un bun este independent de satisfacia procurat de

le dou bunuri i un agent economic ce are

xaxaxx

acelea

Funcia de utilitate permite atribuirea de valori curbelor deindiferenastfel nct curbelor sumai mari.Un mod simplu de a construi funcia de utilitate este acela de atrasa prima bisectoareorigine ale cror valori sunt egale cu valoarea utilitii. Datoritfaptului c preferinele sunt monotone, fiecare curb deindiferen nu va intersecta dect ntr-un singur punct aceast

bisectoare.

tru a evidenin

U(x) = U0, unde U0este o constantfixat.Pachetele de consum ce verific aceste relaii sunt seturi de

indiferen. Mulimea valorilor variabilelorac valoare a funciei se numete mulime de contur. Deci seturile deindiferenreprezintmulimi de contur ale funciei de utilitate.

O funcie de utilitate aditivindicfaptul csatisfacia pr

consumul din cellalt bun. Cantitile de bunuri (la acest tip de funcii) suntprezente ntr-o manieraditivi separabil. Consumatorul descris de acesttip de funcie de utilitate nu este nevoit s consume concomitent din celedoubunuri pentru a avea un nivel de utilitate pozitiv. Urmtorul exempluva clarifica aceastnoiune.

Presupunem c avem o economie cu dou bunuri, x1 i x2 fiindcantitile consumate din cefuncia de utilitate de forma:

(U 221121 ), += .

Aceast funcie de utilitate msoar satisfacia consumatorului prinsumarea numrului de uniti consumate din bunul 1 i din bunul 2.n


6/24


Satisfacia provocatde consumul a a1x1uniti de bun 1 este independentde consumul a a2x2uniti de bun 2, ceea ce nu se ntmpl n cazul uneifuncii de utilitate multiplicativ.

Astfel, dacfuncia de utilitate a consumatorului are forma:

21121 ),( xxaxxU =

atunci satisfacia procuratde consumul ax1uniti de bun 1 depinde directe numrul de uniti de bun 2 pe care acesta le consum. Avem deci o

3.5 Utilitatea marginal

Gossen a artat c suplimentul detilitate furnizat de cantiti cresctoare dintr-un bun se va diminua pn

ieSe numete utilitate marginal a unui bun, suplimentul de utilitate

adus de o unitate suplimentarde bun atunci cnd cantitile consumate din

dfuncie de utilitate multiplicativ. Se observ c agentul economic nu arenici o satisfacie dac nu consum simultan cantiti din cele doubunuri(dacx1= 0 saux2= 0 atunci U(x1,x1) = 0) i deci cele doubunuri nu sunt

prezente n funcia de utilitate ntr-o manier separabil. Nu putem spunecare dintre cele dou tipuri modeleaz ct mai conform cu realitateacomportamentul consumatorului, dar se poate afirma c funcii de utilitatediferite au consecine diferite n ceea ce privete comportamentulconsumatorului.

n 1843 psihologul germanucnd va deveni nul n punctul de saiere. Cu alte cuvinte, suplimentul desatisfacie adus de consumarea unei uniti suplimentare dintr-un bun numit utilitate marginal descrete pe msur ce cantitile consumatecresc. Utilitatea marginaleste o msura senzitivitii utilitii n condiiilen care se modific cantitatea dintr-un bun, celelalte cantiti rmnndnemodificate.

Defini

celelalte bunuri rmn neschimbate.Fie doubunuri. Notm cu )( 1xUm utilitatea marginala bunului 1.

Conform definiiei:

)()1()( 111 xUxUxUm += .

Considerm exemplul numeric din tabelul 3.1:


7/24


Cantitateaconsumatde

Utilitatea asociatconsumului de bun1

Utilitatea marginala bunului 1

Tabelul 3.1

bun 1 U(x1) Um(x1)

0 0 12

1 12 8

2 20 7

3 27 6

4 33 3

5 36 26 38 1

7 39

Se cutilitatea m ala bunului 1 se diminueazodatu creterea cantitii consumate din acest bun. Este ceea ce se numete

2. Conform definiiei:

observ arginclegea descreterii utilitii marginale.

Aceeai lege este n mod egal verificat de bunul 2. Notm cu

)( 2xUm utilitatea marginala bunului

).()1()( 222 xUxUxUm +=

n exemplul considerat, bunurile 1 i 2 au fost considerateindivizibile (consumul lor este dat de un numr ntreg de uniti). Dar cum afost acceptat ipoteza conform creia bunurile care alctuiesc pachetul deconsum sunt bunuri perfect divizibile (deci susceptibile de a varia ntr-o

manier continu) atunci suplimentul de utilitate dU rezult din variaiainfinitezimaldx1, dx2a consumurilor din bunurile 1 i 2. Difereniind totalpe Uobinem:

22

11

dxx

Udx

x

UdU

+

= .

Variaia utilitii ce rezultdintr-o variaie mica consumului de

un 1 atunci cnd consumul din bunul 2 r mne constant este:

U

)( 1xb


8/24


11

xx

UU

.

Dac variaia consumului este egal u unitatea )1( 1 =xc se poateonsidera csuplimentul de utilitate este aproximativ egal cuc .

1x

U

Suntem

astfel condui la a considera1x

U

ca fiind utilitatea marginal a bunului 1.

Legea de descreterii a utilitii marginale a bunului 1 se exprimprin aceea

c

1

Use diminueazatunci c x

xnd 1crete i deci .02

1

2

< U

Analog pentru

bunul 2.Fiind dato funcie de utilitate ),..,( 1 nxxU onsummator ce

***

x

a unui c

folosete n bunuri n cantitile 21 nxxx i ce obin o utilitate),...,,(

),...,,( **2*1

*nxxxUU = atunci

i

n

x

xxU

,( 21 soar rata de variaie a

satisfaciei produse de variaia ca esupunnd cantitile diniind nesc dac consumul din bunul i

atunci sat torului va crete cu:

x ),..., *** m

ntitii xi prhimbate. Astfel,

crete cu uniti, isfacia consuma

celelalte bunuri ca f

ix

i

i

n xx

xxxUU

),...,,( **2*1 .

Punnd se constatc1= ix i

nx

x

xxU

),...,,( **2*1 msoarvariaia lui

atunci cndxicrete cu o unitate.

pozitivUi

U

Utilitatea marginala bunului ieste =ix

U

> 0 deoarece

dac ntr-un pachet de consum crete cantitatea xi, pachetul devine maiprefera maivariaia te e

t de ctre consumator, adic utilitatea lui este mare i deciutilitii este pozitiv. Aceast proprietate es chivalent cu

proprietatea de nesaiere a preferinelor.Descreterea utilitii marginale (prima lege a lui Gossen) este

ilustratn figura 3.2.

Figura 3.2


9/24


3.6 Rata marginalde substitu

Ipoteza de strictconvexitate implic faptul cpentru a rmne pecurba ntr-un bun trebuie s fieompensate de creteri infinitezimale din cellalt bun.

0 x

0

U(x)

Cantitatea de bun xconsumat

x

Utilitateatotal

Cantiti suplimentare

Utilitateamarginal

Um = 0 ( unct de satura ie)

ie

de indiferen, reduceri infinitezimale dic Dacconsiderm aceste modificri la limit, n cazul unei economiicu doubunuri, avem:

cstudx

dx2

=1

=1

2x01

limxx

.


10/24


Raportul1

2

x

x

reprezintrata medie a schimbrii luix2cux1. Dac

ne deplasm spre dreapta pe curba de indiferen valoarea absolut a

derivatei crete.

DefiniieSe numete rat marginal de substituie a bunului 2 cu bunul 1

mrimea :

RMS21= -cstu

dx

dx

=1

2 .

Raportul1

2

x

x

reprezint panta dreptei MM1, n valoare absolut

(vezi figura 3.3). Dar cum se au n vedere variaii ale consumului infinit demici, dreapta MM1tinde sse confunde cu tangenta la curba de indiferenn punctul M1. n consecin, pentru variaii infinitezimale dx1 i dx2 care

las satisfacia consumatorului neschimbat, raportul1

2

dx

dx reprezint

panta (n valoare absolut) a curbei de indiferenn punctul considerat.

Figura 3.3

2x

1x

M1

M

x2

x1

Pentru cazul a nbunuri, deoarece de-a lungul curbei de indiferenfuncia de utilitate este constant, U(x) = U0, difereniala de-a lungul acesteicurbe va fi nuli deci:

0....22

11

=

++

+

= n

n

dxx

Udx

x

Udx

x

UdU .


11/24


Dac considerm c numai consumul din bunurile 1 i 2 variaz,

cantitile x3, x4,, xn fiind constante, atunci dxi = 0 ni ,3)( = , iar ratamarginalde substituie a bunului 2 cu bunul 1 este egalcu:

RMS21 =

2

1

1

2

x

U

xU

dx

dx

ctU

==

.

Deci rata marginal de substituie poate fi exprimat ca raportulutilitilor marginale ale celor doubunuri.Se poate da o interpretare mult mai intuitivi utilcurburii ctre origine acurbelor de indiferen. Considerm pachetul ape curba de indiferenC1

din figura 3.4.

Figura 3.4

Dacscdem o unitate din cantitatea de bun 2, cte uniti de bun 1va trebui s-i dm consumatorului pentru al menine pe aceeai curb de

indiferen. Pe grafic aceastcretere a bunului 1 i diminuare a cantitii debun 2 deplaseazconsumul agentului de la pachetul a la pachetul b. Daceste cantitatea de bun 2 la care renun consumatorul i este

cantitatea de bun 1 cerut pentru a compensa pierderea suferit atunci2x 1x

1

2

x

x

reprezinto msura ceea ce economitii numesc rata marginalde

substituie a luix2cux1.

C1

b

a

x2

2x

0 1x x1

Rata marginal de substituie este rata la care un agent economic,

dintr-un punct particular al hrii de indiferen (mulimea curbelor de


12/24


indiferen), va fi dornic sschimbe un bun cu altul; este rata de schimb cemenine agentul la nivelul su originar de utilitate.

Panta curbei de indiferenn orice punct constituie o msura rateimarginale de substituie cnd 1x i 2x sunt infinitezimale, adiccndse apropie de zero. Pe baza ipotezei de convexitate rata marginal desubstituie descrete de-a lungul curbei de indiferen.

1x

Pentru diferite tipuri de bunuri avem diferite rate de substituie.Astfel pentru bunurile ce nu au nici un fel de utilitate pentru agentuleconomic (curbe de indiferenparalele cu axa orizontal) rata marginaldesubstituie nu are sens pentru cnu existnici o cantitate de bun 1 care ssubstituie o pierdere din cantitatea de bun 2 (vezi figura 3.5).

x2

x1

Figura 3.5

n ceea ce privete bunurile perfect substituibile (a cror curbe deindiferen sunt drepte descresctoare) putem spune c indiferent de

pachetul ales, aceeai cantitate de bun 1 este necesar pentru a puteacompensa pierderea unei uniti de bun 2 pentru ca agentul economic ssimtaceeai satisfacie la trecerea la un nou pachet (vezi figura 3.6).

x2

- 2x

- 2x

0 1x 1x x1

Figura 3.6


13/24


Pentru bunurile perfect complementare (curbe de indiferen nunghi drept) putem spune cadugarea oricrei cantiti dintr-un singur bunnu mrete utilitatea consumatorului.

Proprieti1. Rata marginal de substituie nu depinde de forma funciei de

utilitate.Fie T o transformare monoton asupra funciei de utilitate

V(x) = T[U(x)].

Atunci:

2

1

2

1

2

1

1

221

x

Ux

U

x

U)U(T

x

U)U(T

x

)x(Vx

)x(V

dxdxRMS

=

=

== .

2. Rata marginalde substituie nu este constant iar valoarea sadepinde de poziia de pe curba de indiferen.

Cnd consumatorul se deplaseazde-a lungul curbei de indiferenutilitatea sa rmne neschimbat, dar el opereazo substituire a celor dou

bunuri. Rata marginal poate fi asimilat cu panta tangentei la curba deindiferen, iar aceste pante difer de-a lungul curbei de indiferen (vezifigura 3.7).

Bunul 2(x2)

Bunul 1 (x1)

b

a

Figura 3.7


14/24


ObservaiiEste necesarcunoaterea formei funciei de utilitate pentru a vedea

comportamentul ratei marginale de substituie. Astfel pentru bunuri perfectsubstituibile rata marginalde substituie este egalcu -1 iar pentru bunurile

neutre 0.

3.7 Curbe de indiferen

Suntem acum n msursdescriem instrumentul principal folosit nanaliza microeconomic: curbele de indiferen. Curba ce unete toate

pachetele de consum ce sunt la fel de preferate (sau indiferente)

consumatorului, se numete curbde indiferen.

3.7.1 Forma curbelor de indiferen

Curbele de indiferen au o form particular: ele descresc spredreapta, sunt curbate ctre origine i sunt descresctoare. Aceast form

provine din ipotezele de nesaiere i de convexitate fcute asupra relaiei depreferin pe mulimea pachetelor de consum. Aa cum vom arta n

continuare, curbele de indiferennu pot avea o pantcresctoare(aceastproprietate este datde ipoteza de nesaiere). Fie aun pachet de doubunurireprezentat n plan, n figura 3.7:

0 Bunul 1 (x1)

Bunul 2(x2)

a

E

C

D

B

Figura 3.7


15/24


Pachetul a mparte cadranul nti al planului n patru regiuni. Vomamplasa curba de indiferen n acest spaiu. Fie un alt pachet bindiferentlui a. Svedem unde l putem poziiona. Un astfel de pachet nu se poate aflan regiunea B (deoarece b a) i nici n D (deoarece b a). n concluzie,

el nu poate fi plasat dect n regiunile E sau C, i deci curbele de indiferentrebuie s traverseze aceste regiuni de unde rezult c ele suntdescresctoare ctre dreapta.

Curbele de indiferennu se pot intersectaAceast proprietate se bazeaz pe ipotezele de tranzitivitate i

nesaiere ale relaiei de preferin sau indiferen definit pe mulimeapachetelor de consum realizabile.

Presupunem prin absurd cs-ar putea intersecta (vezi figura 3.8).

Bunul 2(x2)

0 Bunul 1 (x1)

c

b

a

Figura 3.8

Dar a ~ b i a ~ c folosindu-ne de tranzitivitatea relaiei deindiferenrezultcb c. Dar bconform proprietii de nesaiere (coninebunuri n cantiti mai mari) va fi strict preferat lui c: b cceea ce intrncontradicie cu b c.

Curbele de indiferenmai ndeprtate de origine au un nivel deutilitate mai ridicat, proprietate dat de ipoteza de nesaiere i de ceaconform creia curbele de indiferennu se pot intersecta.


16/24


Fie a, w, dou pachete de consum pe dou curbe de indiferen(conform figurii 3.9). Cum wconine cantiti mai mari de bun 1 i 2 dect

pachetul a, conform ipotezei de nesaiere, rezultcwai deci curba deindiferen corespunztoare lui w va avea un nivel de utilitate mai ridicatdect al curbei pe care se afl a. Cum curbele de indiferen nu se potintersecta, rezult c orice punct de pe curba ce trece prin w va avea outilitate mai mare i deci utilitatea crete odatcu ndeprtarea curbelor deindiferende origine.

Curbele de indiferensunt curbate ctre origine,proprietate datde ipoteza de convexitate i de proprietatea conform creia curbele deindiferenmai ndeprtate de origine au un nivel de utilitate mai ridicat.

Descreterea curbelor de indiferenctre dreapta poate avea loc ndoumoduri diferite, conform graficelor din figura 3.10.

0

Bunul 2(x

2)

Bunul 1 (x1)

w

a

Bunul

2x2

0

Bunul 1 (x1)

b

a

0

Bunul 2

(x2)

Bunul 1 (x1)

Figura 3.10

Figura 3.9


17/24


Vom arta cprima situaie nu se poate realiza.Fie a, b dou pachete de consum pe aceeai curb de indiferen

(amndousunt la fel de preferate de ctre consumator). Conform ipotezeide convexitate a mulimii pachetelor de consum rezult c pachetul

a+ (1-) beste preferat att lui act i lui b, ceea ce nseamncel vaavea o utilitate mai mare. Totodatpachetul a+ (1-) bse afldin punctde vedere geometric pe segmentul de dreapt ce unete a cu b. Curba deindiferen fiind concav nseamn c pachetul se va afla sub curba deindiferen ce trece prin a i b. Conform creterii utilitii, odat cundeprtarea pachetului de origine obinem c utilitatea pachetuluia + (1-) b este mai mic dect utilitatea lui a. Am obinut astfel ocontradicie.

3.7.2 Tipuri de curbe de indiferen

Curbele de indiferen platedescriu bunurile ce nu produc nici unfel de utilitate. Orict s-ar consuma din bunul 1, utilitatea (satisfacia) nu seschimbi deci putem spune cnu existnici o cantitate suficientde bun 1

pentru a compensa o pierdere de bun 2 (vezi figura 3.11).

Figura 3.11

Bunul 2(x2)

Bunul 1 (x1)

Curbele de indiferen reprezentate printr-o dreapt descriubunurile perfect substituibile. Oricare ar fi cantitatea de bun 1 i 2consumat, daci lum consumatorului o anumitcantitate din bunul 2 , vatrebui s i-o compensm prin aceeai cantitate de bun 1 pentru a se puteamenine pe curba de indiferen(vezi figura 3.12).


18/24


Figura 3.12

Curbele de indiferen n unghiuri drepte descriu bunurile perfectcomplementare. Creterea utilitii consumatorului se face crescnd

proporional ambele cantiti de bunuri. Creterea exclusiva unui bun nuconduce la creterea satisfaciei consumatorului (vezi figura 3.13).

b

c

a

0

Bunul 2

(x2)

Bunul 1 (x1)

2x

2x

1x

0

Bunul 2

( 2)

Bunul 1 ( 1)

1x1x

Figura 3.13

3.8 Forme ale funciei de utilitate

Funciile de utilitate pot fi:- quasi-concave (stricte sau nestricte);- concave (stricte sau nestricte).


19/24


Definiie

FieXn mulimea pachetelor de consum ale unui consumator.O funcie de utilitate U: X este quasi-concav nestrict dac

pentr oricare ar fixi Xcu U(xx 1

) U(x) i (0, 1) avem U[x + (1- ) ] U(x).x Condiia necesari suficientca o funcie de utilitate sfie quasi-

concaveste ca minorii bordai ai matricei hessian saibsemne alternate,adic:

(-1)k

0...

... ......

...

1

1

1111

k

kkkk

k

UU

UUU

UUU

0 ( ) k= 2,.., n

unde:

Ui=ix

U

Uij=

ji xx

U

2.

Dacinegalitatea este strictatunci Ueste strict quasi-concav.Orice funcie cresctoare sau n form de clopot este o funcie

quasi-concav. Pentru a nelege mai bine aceastnoiune vom face graficulunei funcii quasi-concave definitpe .

Fiey=f(x) o funcie cresctoare pe al crui graficesteprezentatn figura 3.14.

f(x)

x

*x

)( *xf

)}()(/{ *xfxfx )}()(/{ *xfxfx

Figura 3.14


20/24


Pentru orice ,*x )= ,)}()(/{ ** xxfxfx este o mulime

convex n . Deci f(x) este quasi-concav. De altfel i( ** ,)}()(/{ xxfxfx = este o mulime convexn . Pe acestinterval funcia este quasi-convex. n consecino funcie cresctoare estetotodat quasi-concav i quasi-convex. Se poate spune acelai lucrudespre o funcie descresctoare.

x x

)}()(/{ 1xfxfx

Figura 3.15

Pentru funcia n formde clopot (vezi figura 3.15), pentru oricex1existunx2cu proprietatea cf(x1) =f(x2).

Atunci acest interval [ ]211 ,)}()(/{ xxxfxfx = este un intervalconvex.

Definiie

FieXn mulimea pachetelor de consum ale unui consumator.O funcie de utilitate U: X se spune c este concav dac

oricare ar fixi Xi [0, 1] avem:x

U[x+ (1 - )x ] U(x) + (1 - ) U(x ).

Interpretare: Utilitatea unui pachet ce conine bunuri n cantiti cesunt combinaii liniar convexe de bunurile din pachetele x i este maimare dect orice combinaie convexde utilitile pachetelorxi .

x

x

O funcie este strict concavdacn loc de avem >.


21/24


Condiia necesari suficientca o funcie de utilitate de douoriderivabil, s fie strict concav este ca matricea hessian H s fie negativdefinit.

Fie matricea hessian asociatfunciei Ueste:

H=

nnn

n

UU

UU

...

...

1

111

unde Uij=ji xx

U

2

( ) i, j= . Matricea hessian este negativ definit

dacminorii ei principali au semne alternate:

___

,1 n

(-1)i

iii

i

UU

UU

...

...

1

111

0, ( ) i= 1,...n

Observaiin cadrul analizei microeconomice funcia de utilitate trebuie sfie:

continu, cresctoare, derivabilcel puin de ordinul doi i concav.Presupunem cX este mulimea pachetelor admisibile formate din

dou bunuri. n acest caz vom demonstra urmtoarele propoziii (care ipstreazvalabilitatea i pentru un spaiu al bunurilor de dimensiune >2):

Propoziia 1Fie U: X 2o funcie de utilitate concavbidimensional.

Atunci Ueste o funcie de utilitate quasi-concav.

DemonstraieFie dou pachete admisibile cu proprietatea c

Deoarece Ueste o funcie de utilitate concavvom avea:Xyx ,

).()( yUxU

)()()1()()()1()())1(( xUxUtxtUyUtxtUyttxU =+++


22/24


ceea ce nseamncUeste quasi-concav.Propoziia 2

Fie U: X 2 o funcie de utilitate bidimensional. Atunciurmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) funcia de utilitate este strict quasi-concav;b) rata marginalde substituie a bunului 2 cu bunul 1 este funcie

descresctoare de bunul x1.

DemonstraiePentru n = 2 quasi-concavitatea funciei de utilitate se reduce la

condiia ca minorul principal de ordinul trei :

0

02

1

2

22

12

1

21

11>U

U

U

U

U

U

U

U

deoarece cel de ordin doi este ntotdeauna negativ oricare ar fi formafunciei de utilitate:

000

2

1

1

2

11 = UUUUUUU .

Se tie c:

1

2

2

121 dx

dx

U

URMS == .

Difereniind rata marginalde substituie rezult:


23/24


22

2221211212111222

211221 U

)dxUdxU(U)dxUdxU(U

U

dUUdUUdRMS

++=

=

.

mprind prin obinem:1dx

=

+

=22

1

2221211

1

2212112

1

21

U

dx

dxUUUU

dx

dxUUUU

dx

dRMS

=

+

=2

2

2

1221211

2

1212112

U

U

UUUUU

U

UUUUU

.02

32

222

112121122

32

222

1212112121122 0 (satisfacia crete dac sporete cantitatea

consumat dintr-un bun) rezult c 0dx

dRMS

1

21 < deci rata marginal de

substituie este funcie descresctoare dex1. n aceastteoremse regseteconfirmarea echivalenei dintre funcia de utilitate quasi-concavi curbelede indiferenstrict convexe.

Propoziia 3

Fie U: X 2 o funcie de utilitate bidimensional strictconcav. Atunci utilitile marginale sunt funcii descresctoare de x1,respectivx2.

DemonstraieDeoarece U este strict concav, matricea hessian asociat este

negativ definit, adic primul minor principal este negativ, iar al doileapozitiv:

011


24/24


.0212221122

12

21

11 >= UUUU

U

U

U

Din pozitivitatea minorului de ordin doi obinem: darcum rezultci

,2122211 UUU >011

Cap.3 - Functia de Utilitate

Documents

Transcript of Cap.3 - Functia de Utilitate