8. PLCI PLANE CU DEPLASRI MARI8.1. Ecuaii geometrice i fizicePlcile plane la care raportul se consider c au deplasri mari i efectul acestora asupra eforturilor nu mai poate fi neglijat. Condiiile de echilibru se exprim pe forma structural deformat. Fixarea marginilor la aceste plci are drept consecin apariia de deplasri n suprafaa median, care nu mai sunt neglijabile i, n consecin, se renun la ipoteza suprafeei mediane inextensibile.

Deplasrile i din suprafaa median fiind nenule, un punct oarecare din plac situat la distana z de suprafaa median, va avea deplasrile u i v ale cror expresii sunt:

(8.1)Deformaiile specifice din punctul considerat(generic) au forma:

(8.2)

Deformaiile din suprafaa median, considernd i gradientul deplasrilor, au urmtoarele expresii:

(8.3)n relaiile (8.3) de mai sus, se neglijeaz termenii n raport cu respectiv i, de asemenea, n raport cu Relaiile (8.3), din care se elimin termenii menionai se introduc n (8.2) i se obine:

(8.4)

Deformaiile specifice din planul median nu depind de coordonata z i sunt deci constante pe grosime avnd expresiile:

(8.5)

Deformaiile specifice satisfac urmtoarea ecuaie diferenial, care se verific cu uurin,

(8.6)

Ecuaia (8.6) este o condiie de continuitate a deformaiilor. De asemenea se constat c i deformaiile satisfac aceeai condiie de continuitate

(8.7)

Aspectul fizic este dat de legea lui Hooke, avnd forma urmtoare:

(8.8)

Ecuaiile fizice pun n eviden faptul c tensiunile se pot separa n dou: cele din planul median care corespund strii de membran i cele dependente de z, reprezentnd efectul ncovoierii i torsiunii

(8.9)8.2. Eforturi secionale

Eforturile, aa cum s-au definit la paragraful 1.4, rezult din relaiile de echivalen. Pentru i acestea sunt:

(8.10)Se introduc din (8.8), se integreaz n raport cu variabila z i se obine:

(8.11)

Prin urmare, eforturile sunt de ntindere sau compresiune, iar eforturile de lunecare.

Fie relaiile de echivalen care dau momentele ncovoietoare i momentul de torsiune:

(8.12)

n acestea se introduc respectiv din (8.8) i se integreaz n raport la z; se obin expresiile cunoscute ale eforturile

(8.13)

8.3. Ecuaii difereniale de echilibruUn element diferenial de plac este acionat de forele exterioare aferente, iar pe contur de eforturile reprezentnd interaciunea cu placa din care s-a detaat. n fig. 8.1a s-au reprezentat, pe elementul diferenial, eforturile din planul median, corespunztor strii de membran (ntindere sau compresiune i lunecare), iar n fig. 8.1b eforturile din starea de ncovoiere.

a)

b)Fig. 8.1. Element diferenial de plac plan cu eforturi: a) din starea de membran; b) din starea de ncovoiereCondiiile de echilibru se scriu pe elementul diferenial detaat din structura deformat, exprimndu-se prin ecuaiile de proiecii pe axele de coordonate i ecuaiile de momente n raport cu axele din planul elementului nedeformat.n fig. 8.2 sunt puse n eviden, pentru elementul diferenial deformat, deplasrile i pantele la suprafaa median i implicit poziia eforturilor de membran pe plac, dup deformarea acesteia.

Fig. 8.2. Element diferenial de plac cu deplasrile, pantele la suprafaa median i poziiile eforturilor de membran dup deformarea plciiDei echilibrul se scrie pe sistemul deformat, se poate totui admite c pantele sunt mici i unghiurile se pot lua egale cu sinusurile, respectiv cu tangentele lor,

(8.14)Cosinusurile acestor unghiuri se consider toate egale cu unu.

Proiectnd eforturile din starea de membran (fig. 8.2) pe axele Ox i Oy se obine:

(8.15)Dup efectuarea reducerilor rezult urmtoarele ecuaii difereniale:

(8.16)

n continuare se proiecteaz pe axa z eforturile din suprafaa median deformat.

a. Eforturile de ntindere din direcia axei x:

(8.17)

b. Eforturile de ntindere din direcia axei y:

(8.18)

c. Eforturile de lunecare:

(8.19)d. Se proiecteaz pe axa z forele tietoare i ncrcarea distribuit normal pe planul median:

(8.20)Sumnd proieciile de mai sus (a, b, c, d), innd cont de (8.14), efectund reducerile i neglijnd infiniii mici de ordin superior se obine:

(8.21)

Termenii din parantezele rotunde, de pe lng i sunt zero conform relaiilor (8.16) i dxdy fiind nenule, rezult:

(8.22)Ecuaiile de momente n raport cu axe trecnd prin centrul elementului, paralele cu x i y, conduc la relaiile difereniale cunoscute:

(8.23)

Din ecuaiile difereniale (8.23), innd cont de expresiile momentelor (8.13) se deduc, de asemenea, expresiile cunoscute ale eforturilor i pentru plci plane de grosime constant:

(8.24)

8.4. Ecuaii difereniale rezolvente ale plcilor n calculul de ordinul doi

n relaiile (8.24) se deriveaz n raport la x i n raport la y i se introduc n (8.22) care devine:

(8.25)

Ecuaia (8.25), avnd necunoscute funciile , , , , este insuficient pentru a obine soluii. n continuare se utilizeaz i ecuaia de continuitate (8.6).

Deformaiile se pot exprima n raport cu tensiunile din suprafaa median, din ecuaiile (8.11), respectiv n raport cu eforturile de membran,

(8.26)

Deformaiile se deriveaz corespunztor i se nlocuiesc n (8.6), iar cu ajutorul ecuaiilor de echilibru se elimin termenii care depind de coeficientul lui Poisson. Dup efectuarea acestor operaii se obine urmtoarea ecuaie diferenial:

(8.27)

Se introduce funcia de tensiune F(x,y), astfel nct s genereze eforturile cu ajutorul operaiilor:

(8.28)Se nlocuiesc i din (8.28) n ecuaiile difereniale (8.25) i (8.27) i se obine un sistem de ecuaii difereniale cu derivate pariale, avnd ca funcii necunoscute w(x,y) i F(x,y):

(8.29)

Acest sistem de ecuaii neliniare, dedus de Krman, poate fi exprimat mai compact cu ajutorul unor operatori:

(8.30)unde s-a introdus, pe lng operatorul dublu laplacian , aplicat lui w respectiv F, i operatorul care este produsul scalar al vectorului tensiunilor de membran , tensiuni exprimate prin intermediul funciei de tensiune (), cu vectorul curburilor suprafeei mediane a plcii deformate, . Operatorul se obine din nlocuind F cu w.

Prin integrarea sistemului (8.29) mpreun cu condiiile la limit se obin w(x,y) i F(x,y) cu care se determin toate eforturile.

Soluii exacte ale ecuaiilor (8.29) sunt dificil de obinut i de aceea se folosesc metode aproximative (variaionale, diferene finite, elemente finite).

PAGE 104

_1347904103.unknown

_1361033174.unknown

_1361042112.unknown

_1361044015.unknown

_1361044718.unknown

_1362199821.unknown

_1362200949.unknown

_1362204788.unknown

_1362205597.unknown

_1362202907.unknown

_1362199972.unknown

_1361095360.unknown

_1361095428.unknown

_1361090021.unknown

_1361045200.unknown

_1361044365.unknown

_1361044401.unknown

_1361044280.unknown

_1361043596.unknown

_1361043678.unknown

_1361043840.unknown

_1361043631.unknown

_1361043129.unknown

_1361043560.unknown

_1361042380.unknown

_1361039346.unknown

_1361041167.unknown

_1361041876.unknown

_1361039386.unknown

_1361038365.unknown

_1361038936.unknown

_1361039184.unknown

_1361033300.unknown

_1347971836.unknown

_1347973437.unknown

_1347975291.unknown

_1349557773.unknown

_1349557801.unknown

_1349557825.unknown

_1347975531.unknown

_1347975556.unknown

_1347974605.unknown

_1347974745.unknown

_1347974471.unknown

_1347972231.unknown

_1347972808.unknown

_1347972206.unknown

_1347916732.unknown

_1347971708.unknown

_1347971736.unknown

_1347917023.unknown

_1347904191.unknown

_1347916593.unknown

_1347904158.unknown

_1347898252.unknown

_1347898859.unknown

_1347903683.unknown

_1347904073.unknown

_1347903604.unknown

_1347899105.unknown

_1347899883.unknown

_1347898672.unknown

_1347898733.unknown

_1347898452.unknown

_1347897704.unknown

_1347898070.unknown

_1347898115.unknown

_1347896698.unknown

_1347896718.unknown

_1347896943.unknown

_1347895926.unknown