1. PLCI PLANE N COORDONATE CARTEZIENE. ECUAII GENERALE1.1. CONSIDERAII INTRODUCTIVE I IPOTEZEPlaca plan este un element structuralbidimensional, mrginit de dou suprafee S1i S2 (fig.1.1). Ea se caracterizeaz prin planul median i grosime. Locul geometric al punctelor egal deprtatedeceledousuprafeeS1i S2se numeteplanul median alplcii. Grosimeaplcii este distana dintre feele S1i S2, msurat pe normala la planul mediani senoteazcuh(se mai folosesc notaiile , t, g).Plcile plane fac parte din clasa corpurilor sauelementelor structurale la care dimensiunile din planul median sunt preponderente n raport cu grosimea. Trebuie menionat ns c teoriile de calculale acestorelemente structurale difer semnificativfuncie de direcia deFig. 1.1. Elemente de identificare ale unei plci planeaplicareaaciunilor n raportcu planulmedian. Astfel,dac planulforelor (aciuni i reaciuni) coincide cu planul median al elementului structural, atunci acestaseaflnstareplande tensiuneipoart denumirispecifice:perete structural, grind perete, diafragm, aib, element planar etc. Analiza strii de tensiune i de deformaie din astfel de elemente structurale s-a fcut la Teoria elasticitii, i nu face obiectul prezentei lucrri.n continuare se analizeaz elementele structurale de tip plac, la care aciunile sunt perpendiculare pe planul median. Prin urmare, n prezenta lucrare, ca i n literatura de specialitate a domeniului, cu neles mai restrns se folosete denumirea de plac pentru elementele plane solicitate la ncovoiere.Formele de plci cele mai frecvent ntlniten practic sunt: dreptunghiulare, circulare, inelare (fig. 1.2a, b, c), oblice (sub form de paralelogram), poligonale, triunghiulare etc.n funcie de raportul dintre dimensiuneaminim din plan (lmin= min(a,b)) i grosimeah, plcile plane se clasific pentru calculn dou mari clase:11- plci plane subiri, la care min5lh> ;- plci plane groase, la care min5lh< .Teoria de calcul are particulariti specifice pentru fiecare clas menionat, dar n prezenta lucrare se trateaz numai teoria plcilor subiri.a) b)c)Fig. 1.2. Forme frecvent ntlnite de plci planenconstrucii plcileplanesentlnesc la planee, acoperiuri plane, radiere, perei, cheuri, ecluze, rezervoare, decantoare, baraje etc.Sistemulde referin se alege astfel nctaxelexiys fie n planul median i s formeze un sistem drept. La plcile aezate n poziie orizontal axa z are direcia aciunilor gravitaionale (fig. 1.3 a).a) b)Fig. 1.3. a) Sistemul de referin; b) Semne convenionale pentru rezemarea laturilor12Modul de rezemare al plcilor poate fi:- continuu, pe tot conturul sau pe o parte a acestuia;- pe toat suprafaa, pe un mediu elastic;- discret, pe stlpi, piloi, coloane etc.n figura 1.3 b se arat semnele convenionale pentru marginea ncastrat, simplu rezemat i liber.Teoria de calcul a plcilor plane subiri este cunoscut sub denumirea de teoria clasic a plcilor plane (Classical Plate Theory CPT), i bazele ei au fost puse nc de la nceputul secolului al 19-lea de Lagrange (1811) i Germain (1821). Ea utilizeaz conceptul de ncovoiere pur a plcilor la dezvoltarea ecuaiilor, n care normalele la suprafaa median dinainte de deformare rmn drepte i normale la suprafaa median deformat[Qatu 2004].CPTeste oteorie simplificat a plcilor plane, ncare sefolosesc urmtoarele ipoteze:- materialul constitutiv este continuu, omogen i izotrop;- pentru ncrcrimoderate (cum sunt cele de serviciu ale exploatrii normale) placa se comport elastic i este valabil legea lui Hooke;- materialul are acelai modul de elasticitate la ntindere i compresiune;-se admite c deformaiile sunt mici, decipot fi neglijate n raportcu unitatea;- se consider c deplasrile sunt mici n raport cu grosimea (raportul dintre deplasarea maxim normal pe planul median i grosime este mai mic dect 1/5) i echilibrul se poate scrie pe forma nedeformat; aceast ipotez nu se folosete n calculul de ordinul doi i de stabilitate, pentru care echilibrul se scrie pe forma deformat;- la deformarea plcii, nu se produc deformaii liniare i de lunecare n planul median: (x)z=0 = 0, (y)z=0 = 0, (xy)z=0 = 0, adic un element diferenial din planul medianal plcii nedeformateseregsete caformi dimensiuni pe suprafaa median a plcii deformate.- ipoteza segmentului normal: un segment de dreapt normal pe planul median al plcii nedeformate, rmne rectiliniu, inextensibil i normal la suprafaa median deformat. Aceast ipotez aparine lui Kirchhoff i constituie o generalizare a ipotezei lui Bernoulli, admis la ncovoierea barelor [Precupanu 1982]. Consecinele admiterii ipotezei segmentului normal sunt c deformaiile specifice n direcia grosimii,z, i lunecrile din planele transversale xz, yz se pot neglija i prin urmare z = 0, xz = zx = 0, yz = zy = 0.Ultima ipotez acceptatconduce la unele contradicii care vor fi menionate la locul cuvenit.131.2. ASPECTUL GEOMETRIC AL DEFORMRII PLCILORSub aciunea ncrcrilor normale pe planul median, o plac se deformeaz i punctele sale se deplaseaz n spaiu. Conform ipotezei segmentului normal inextensibil rezult:0zwz (1.1)Urmeazc suprafaa mediandeformat a plciinu depinde dezi deci:w = w(x,y) (1.2)Aceasta nseamn c punctele unei plci de pe un segment normalpe planul median vor avea aceleai deplasri w. De asemenea, condiiile xz = zx = 0 i yz = zy = 0 (consecine ale ipotezei segmentului normal) se scriu:0u wz x + ,0v wz y + (1.3)sauu wz x ,v wz y (1.4)Prin integrarea acestora n raport cu z se obine:12( , )( , )wu z f xyxwv z f xyy + +(1.5)ntruct n suprafaa median deformaiile specifice liniare i lunecrile sunt nule, deci:( ) ( )( )0000000, 0,0x yzzzzxyzzu vx yu vy x _ _ , , _ + ,(1.6)urmeaz c f1(x,y) i f2(x,y) sunt constante, adic pentru z = 0, u = u0, v = v0 i f1 = u0, f2 = v0, iar u i v au forma:0wu z ux +,0wv z vy +(1.7)n particular, dac punctele din planul median se deplaseaz normal pe acesta u0 = 0 i v0 = 0, iar deplasrile u i v au expresiile:14wu zx ,wv zy (1.8)Rezultatul obinut arat cdeplasrileuivdinplanul plcii sunt determinate de deplasrile w, normale pe acest plan. n continuare se pot obine imediat deformaiile specifice din planul plcii:22xu wzx x (a)22yv wzy y (b) (1.9)22xyu v wzy x xy + (c)Aceste deformaii au o variaie liniar pe grosime, fiind nule n suprafaa median i maxime pe suprafeele S1 i S2.Relaiile (1.8) pot fi deduse i direct, din considerente geometrice, rezultate ca urmare a ipotezelor admise.Printr-o plac, solicitat de fore normale pe planul median, se face o seciunenormal, paralel cuplanul xOz(fig.1.4a). nfig. 1.4bsearat seciunea nainte i dup deformarea plcii.Fig. 1.4. Seciune normal printr-o plac plan cu indicarea deplasrii u la cota zUn punct, situat la distana z de planul median, se va deplasa n sensul negativ al axei x cu cantitatea u, i din figura 1.4 rezult:tanxwu z zx (1.10)Printr-un raionament similar se obine:15tanywv z zy (1.11)Aceste relaii (1.10 i 1.11) sunt o consecin direct a ipotezei segmentului normal i sunt identice cu (1.8).Deformaiile specifice x, y i xy, exprimate prin relaiile (1.9) reprezint aspectul geometric al deformrii plcilor plane subiri, artnd c, ntr-o prim aproximaie,aceste deformaiivariaz liniar pe grosimea plcii, iar suprafaa median este strat neutru.Deplasrilefiindmici, ntr-unpunct al suprafeei medianecurburile plcii deformate n direciile axelor de coordonate pot fi exprimate aproximativ dup cum urmeaz:221xxwx ,221yywy (1.12)n care ,x y sunt razele de curbur ale suprafeei mediane deformate. S-a luat semnul minus, centrele de curbur fiind n sensul negativ al axeiz. De asemenea expresia:21xyxywxy (1.13)se numete torsiunea suprafeei deformate n punctul considerat.Deformaiile specifice (1.9), innd cont de (1.12) i (1.13) se pot scrie:x xz ,y yz ,2xy xyz (1.14)1.3. TENSIUNI N PLCILE PLANEinnd cont de ipotezele fcute i neglijnd presiunile dintre straturi ca fiindnesemnificative(0z , consecinalui0z ), legea lui Hookese scrie:1( )x x yE ,1( )y y xE ,2(1 )xy xyE +(1.15)Exprimnd tensiunile n raport cu deformaiile specifice rezult:162( )1x x yE +,2( )1y y xE +,2(1 )xy xyE +(1.16)Deformaiile specifice din (1.9) se introduc n (1.16), obinndu-se urmtoarele expresii pentru tensiunile , , :x y xy 2 22 2 21xEz w wx y _ + ,(a)2 22 2 21yEz w wy x _ + ,(b)(1.17)21xyEz wxy + (c)Dac n ecuaiile (1.16) se nlocuiesc deformaiile specifice , ,x y xy n funciedecurburileitorsiunea suprafeeimediane deformate din (1.14),se obine:( )21x x yEz +( )21y y xEz +(1.18)1xy xyEz +Din expresiile (1.17), respectiv (1.18), rezult c tensiunile normale x, yi tensiunile tangenialexy, se distribuie liniarpe grosime,fiind nule n suprafaa median i avnd valori maxime pe suprafeele S1 i S2 ale plcii (fig. 1.6).17Fig. 1.6. Distribuiile tensiunilor normale i tangeniale pe grosimea plciiDac se examineaz ecuaiile difereniale de echilibru din teoria elasticitii, se constat c pentru a fi satisfcute trebuie luate n considerare i tensiunilexz zx ,yz zy iz, care n raionamentele precedente au fost neglijate. Aceste tensiuni pot fi determinate din ecuaiile difereniale de echilibru, dar prezena lor este n contradicie cu ipotezele geometrice admise iniial. Din aceast cauz teoria clasic a plcilor plane apare ca fiind contradictorie. Totui, la plcile plane subiri, erorile care se fac, pot fi neglijate din punct de vedere practic.ntruct axa zeste n direcia acceleraiei gravitaionale, componentele X i Y ale intensitii forelor masice se pot considera nule i, din primele dou ecuaii difereniale de echilibru,0, 0yx xy y zyx zxx y z x y z + + + + (1.19)innd cont i de (1.17), rezult:3 32 3 23 32 2 311yxzx xzy xy yEz w wz x y x xyEz w wz x y x y y _ + , _ + ,(1.20)Integrnd n raport cu z se obin , ,zx zy 182 3 312 3 22 3 322 2 3( , )2(1 )( , )2(1 )xz zxyz zyEz w wt xyx xyEz w wt xyx y y _ + + , _ + + ,(1.21)Funciile 1( , ) t xy i 2( , ) t xy se determin scriind c pe suprafeele S1 i S2, deci pentru/ 2 z h t , tensiunile 0xz yz , din care se obin:2 3 312 3 22 3 322 2 3( , )8(1 )( , )8(1 )Eh w wt xyx xyEh w wt xyx y y _ + , _ + ,(1.22)nlocuind 1( , ) t xy i 2( , ) t xyn (1.21) rezult expresiile (1.23):2 2 2 22 2 22 2 2 22(1 ) 4 2(1 ) 4xzE h w w E hz z wx x y x _ _ _ + , , ,2 2 2 22 2 22 2 2 22(1 ) 4 2(1 ) 4yzE h w w E hz z wy x y y _ _ _ + , , ,Relaiile (1.23) arat cpegrosimea plcii tensiunilexziyzse distribuie dupolegeparabolic (fig.1.6) (analogcudistribuia tensiunilor tangeniale lagrinzile cu seciune dreptunghiular solicitate la ncovoiere cu forfecare).n cazulunor aciunidistribuite pe plac,presiunile dintre straturinu sunt nule, cum s-a admis, putnd fi determinate din a treia ecuaie diferenial de echilibru,fr considerarea forei masice, dar la plcile subiri valorile lor sunt n general neglijabile.Not: O teorie exact a plcilor plane se poate dezvolta, fr simplificrile admise, plecnd de la ecuaiile teoriei elasticitii, dar calea este prea complex pentru a putea fi folosit n practic.1.4. EFORTURI N PLCILE PLANESe consider o seciune normal la axax, pe care apar tensiunile , ,x xy xz i o seciune normal la axa y, pe care apar tensiunile , ,y yx yz (fig. 191.7).Fig. 1.7. Seciuni ortogonale normale prin plac i ilustrarea tensiunilor pe un element de arieEfectele globale ale acestor tensiuni pe unitatea de lungime din seciune i petoat grosimea plcii, redusela centrul degreutate al seciunii1h , formeaz un torsor de reducere (o rezultant for i un moment rezultant), ale cror componente se numesc eforturi.Sumnd tensiunile x pe unitatea de lungime i pe toat grosimea plcii se obine componenta xN:2 2/ 2 / 22 2 2/ 2 / 21h hx xh hE w wN dz zdzx y _ + , (1.24)Datorit distribuiei antisimetrice a tensiunilorxfa de axay, rezultantaacestora este nul (xN= 0).Acestfapteste confirmatde anularea integralei reprezentnd momentul static al suprafeei 1h fa de o ax central.Momentul forei elementarexdzfadeaxayeste(xdz)zi prin sumarea pe suprafaa 1h se obine momentul de ncovoiere xM,2 2/ 2 / 222 2 2/ 2 / 21h hx xh hE w wM zdz zdzx y _ + , (1.25)Integrala are valoareah3/12, reprezentnd momentul de inerie al suprafeei 1h fa de axa y.20Se face notaia:3212(1 )EhD(1.26)caresenumeterigiditateaplcii lancovoieresaurigiditatea cilindrica plcii.Cu notaia precedent, momentul ncovoietor xM are expresia:2 22 2xw wM Dx y _ + ,(1.27)Sumnd tensiunile tangeniale xy pe suprafaa 1h rezult:2/ 2 / 2/ 2 / 21h hxy xyh hE wN dz zdzxy + (1.28)Evident, fora de lunecare este nul (0xyN ).Momentul forei elementarexydz fa de axaxeste (xydz )z, iar momentul xyM al tuturor forelor elementare se obine prin integrare:2/ 2 / 22/ 2 / 23 2 21(1 )12(1 )h hxy xyh hE wM zdz zdzxyEh w wDxy xy + + (1.29)xyM este moment de torsiune pentru seciunea cu baza unu i nlimea h.Prin sumarea tensiunilor tangeniale xz se obine fora tietoare Vx,2/ 2 / 22 2 22/ 2 / 22(1 ) 4h hx xzh hE hV dz w z dz D wx x _ , (1.30)Analog se determin Ny = 0, My, Nyx = 0, Myx, Vy. Dualitatea tensiunilor tangeniale conduce la egalitatea Mxy = Myx = Mt (notat cu T n Eurocoduri). De notat c n literatura de specialitate mai veche, pentru forele tietoare, notate cu Vx, Vy dup Eurocoduri, se mai ntlnesc notaiile Tx, Ty sau Qx, Qy.nconsecin, eforturilecareapar nplcileplanencrcatecufore normale pe planulmedian sunt: momentele ncovoietoareMx,My, momentele de torsiune Mxy = Myx = Mt, forele tietoare Vx, Vy, i se determin cu relaiile:212 22 2xw wM Dx y _ + ,(a)2 22 2yw wM Dy x _ + ,(b)2(1 )twM Dxy (c)(1.31)xV D wx (d)yV D wy (e)unde s-a folosit notaia 2 222 2x y + (operatorul lui Laplace).Momentele, fiind definite pe unitatea de lungime din seciune, au aceleai uniti de msur ca i forele: N(Nm/m), kN, MN; forele tietoare se msoar n uniti de for pe unitate de lungime: N/m, kN/m, daN/cm etc.1.5. EXPRIMAREA TENSIUNILOR CU AJUTORUL EFORTURILORComparndrelaiile(1.17ai b), caredautensiunilexiy, cu relaiile (1.31 a i b), care dau momentele ncovoietoare Mx i My rezult:331212x xxy yyM Mz zh IM Mz zh I (1.32)n care 31 / 12 I h este momentul de inerie al suprafeei 1h, fa de axa n jurul creia se produce ncovoierea.Aceste expresii sunt similare cu cele corespunztoare grinzilor ncovoiate de seciune dreptunghiular (Navier).Valorile maxime,n modul,ale tensiunilorxiyse obin pentru / 2 z h tmax max2 266); )y yx xx yM MM Ma bh W h W 22(1.33)n care,W = 1h2/6 este modulul de rezisten al suprafeei1h , fa de axa n jurul creia se produce ncovoierea.Din relaiile (1.17c) i (1.31c) se obine expresia tensiunilorxy, generate de momentul de torsiune tM312txyMzh (1.34)Tensiunile xy maxime n valoare absolut rezult pentru/ 2 z h tmax26txyMh (1.35)Expresiile tensiunilorxziyznraport cuforele tietoareVxi respectiv Vy se obin comparnd relaiile (1.23) i (1.31d, e):2232236464xxzyyzV hzhVhzh _ , _ ,(1.36)Aceste expresii sunt similare cucele obinute folosindformula lui Juravski lagrinzi cuseciunedreptunghiular. Pentruz=0rezultvalorile maxime ale tensiunilor xz, yz:maxmax3232xxzyyzVhVh (1.37)Existena tensiunilor tangeniale n suprafaa median i deci a deformaiilor unghiulare nucorespunde cuipotezele iniiale, dar la plcile subiri efectele lor sunt neglijabile.1.6. RELAII DIFERENIALE DINTRE EFORTURI I NCRCRI. ECUAIA DIFERENIAL A SUPRAFEEI MEDIANE DEFORMATE23Pentru a determina relaiile difereniale dintre eforturii ncrcri,se detaeaz din plac un element diferenial, avnd dimensiunile dx, dy n planul median al plcii i grosimea h.Pe feele laterale ale acestui element se introduc eforturile de conexiune cu placa din care s-a extras, anume: pe feele obinute prin secionare cu planele x= constant i y= constant se introduc eforturile din punctul (x,y) al planului median, iar pe feele x+dx = constant i y+dy = constant, eforturile din punctul (x,y) corectate cu creterile corespunztoare aproximate prin difereniale (fig.1.8).Fig. 1.8. Element diferenial de plac i eforturi pe feele saleFolosindregulaurubului se stabilesc sensurile vectorilormomentde ncovoiere i de torsiune.Sarcina distribuitp(x,y) este normal pe planul median al plcii nedeformate, avnd direcia axeiz. Pentru poziia orizontal a plcii, n p(x,y) se poate include i greutatea proprie.Forele i cuplurile, ce acioneaz elementul diferenial de plac, formeaz un sistem n echilibru. Forele sunt paralele cu axa z, iar cuplurile au 24vectorii corespunztori n planul Oxy (fig. 1.8d) i deci, din cele ase ecuaii de echilibru rmn semnificative numai trei: ecuaia de proiecie a forelor pe axa z i ecuaiile de momente n raport cu axele x i y.Ecuaia de proiecie a forelor pe axa z se scrie:( , ) 0yxx x y yVVV dy V dx dy V dx V dy dx pxydxdyx y _ _ + + + + + , ,(1.38)Dup reducerea termenilor asemeneai deoarecedxdyeste factor comun diferit de zero se obine:( , ) 0yxVVpxyx y+ + (1.39)Ecuaia de momente n raport cu o dreapt paralel cu axa y, care trece prin centrul elementului infinitezimal de plac are expresia:02 2yxxx x yx yxxx xMMMdy M dx dy Mdx M dy dxx yV dx dxV dy V dx dyx _ _ + + + + , , _ + ,(1.40)Reducnd termenii asemeneai neglijnd infiniii mici de ordin superior, se obine:0yxxxMMVx y+ (1.41)Analog, fcnd momentul fa de o dreapt paralel cu axa x, care trece prin centrul elementului infinitezimal de plac rezult:0xy yyM MVx y + (1.42)Se deriveaz ecuaia (1.41) n raport la x i ecuaia (1.42) n raport la y,2220yxx xMM Vx xy x + (a)2 220xy y yM M Vxy y y + (b)25(1.43)Se adun (1.43a) i (1.43b) i innd cont de (1.39) se nlocuiete yxVVx y _ + , cu p(x,y), obinndu-se:22 22 22 ( , ) 0yx tMM Mpxyx xy y + + + (1.44)EforturileMx,My,Mtse nlocuiesc cu expresiile lordin (1.31a,b, c), exprimate n raport cu derivatele de ordinul doi ale funciei deplasrilor w(x,y)2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 (1 )( , ) 0w w wD Dx x y xy xyw wD pxyy y x 1 _1 + 11 , ] ] 1 _ + + 1 , ](1.45)sau2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 222 ( , )w w wD D Dx x xy xy y yw w wD D D pxyx y xy xy y x _ _ _ + + + , , , 1 _ _ _ + + 1 , , , ](1.46)S-a obinut astfel ecuaia diferenial a suprafeei mediane deformate a plcilor plane.Dac rigiditatea plcii D este constant, paranteza dreapt se anuleaz i ecuaia (1.46) devine:4 4 44 2 2 4( , )2w w w pxyx x y y D + + (1.47)care reprezint ecuaia diferenial a suprafeeimediane deformate a plcilor plane de grosime constant, fiind cunoscut i sub denumirea de ecuaia Sophie-Germain-Lagrange.Folosindoperatorul de cmpalui Laplace(2 )ecuaia (1.47)se poate scrie i sub una din urmtoarele forme compacte:262 2( , )( , )( , )( , )pxywxyDpxywxyD (1.48)Ecuaia diferenial cu derivate pariale (1.47), respectiv (1.48), poate fi exprimat echivalentprintr-un sistem de dou ecuaiidifereniale cu derivate pariale de ordinul II. Astfel, adunnd Mx cu My din (1.31a i b) se obine:2 22 2(1 )x yw wM M Dx y _ + + + ,(1.49)Se face notaia:1x yM MM++(1.50)i ecuaia (1.49) devine:2Mw wD (1.51)nlocuind 2w din (1.48) cu M/D rezult o a doua ecuaie:2M M p (1.52)n unele cazuri se pot obine mai uor soluiile, folosind formele (1.51) i (1.52), numite i ecuaiile dedublate ale plcii.1.7. EFORTURI N SECIUNI NCLINATE FA DE PLANELE PARALELE CU AXELE DE COORDONATEntr-un punct de pe suprafaa median a plcii se consider cunoscute eforturile, , , , ,x xy x y yx yM M V M M Vpe seciuni paralele cu planele de coordonate.Momentele ncovoietoare i de torsiune de pe aceste seciuni formeaz un tensor simetric de ordinul doi:x yx x tMxy y t yM M M MTM M M M _ _ , ,27(1.53)Momentele ncovoietoare nM i de torsiune nsM dintr-un punct, situat pe o seciune nclinat fa de planele de coordonate, se pot exprima n funcie de elementele tensorului MT, iar fora tietoare nV n raport cu forele tietoare xV, yV. n acest sens, n vecintatea punctului se detaeaz o prism elementar cu dou fee laterale paralele la planele de coordonate, avnd lungimile dx, dy i o fa nclinat cu unghiul respectiv / 2, + fa de axa y (fig.1.9). nlimea prismei este egal cu grosimea plcii h.Elementul diferenial de plac, ncrcat cu forele interioare i exterioare corespunztoare, se afl n echilibru. Condiiile de echilibru exprimate prin ecuaiile de momente n raport cu direcia seciunii nclinate i cu normala la aceast seciune conduc la urmtoarele relaii:2 2cos sin 2 sin cosn x y xyM M M M + +2 2( ) sin cos (cos sin )ns x y xyM M M M (1.54)2 2sin cos 2 sin coss x y xyM M M M + sn nsM M 28Fig. 1.9. Element diferenial de plac (prism elementar) cu eforturi pe feeProiectnd forele tietoare pe direcia normal la suprafaa median i neglijndinfiniii mici deordinsuperior (forelemasicei desuprafa) se obine:cos sinsin cosn x yn x yV V VV V V + +(1.55)Se constat c eforturile pe seciuni nclinate se pot determina n mod univoccunoscnd eforturile pedou seciuni ortogonale (duseprinacelai punct al planului median).Se remarc o asemnare cu starea plan de tensiune din jurul unui punct al unui corp solicitat.Momentele ncovoietoare principale ntr-un punct al planului median , apar pe dou seciuni ortogonale, normale la planul median, pe care momentele de torsiune sunt nule, i au valori extreme.Unghiurile1i2,care determin seciunile principale rezultdin relaiile:1,22tan 2xyx yMM M (a);1,21,2tanxxyM MM(b)(1.56)Momentele ncovoietoare principale se calculeaz cu expresiile:2 21,21( ) 42 2x yx y xyM MM M M M+ t +(1.57)Peseciuni nclinate la / 4 fadeceleprincipale, momentele de torsiune au valori extreme, anume:2 21 2maxmin1( ) 42 2ns x y xyM MM M M M t + t(1.58)iar momentele ncovoietoare sunt egale cu semisuma momentelor principale. Se remarc faptul c n s x yM M M M + + este un invariant.1.8. CONDIII PE CONTUR LA PLCILE PLANESoluia reprezentnd suprafaa median deformat a uneiplci plane, poatefi precizat(individualizat) numai dacsunt satisfcutecondiiilede 29rezemare i, eventual, alte constrngeri de natur fizic.Fie o margine rectilinie de direciesi normaln. Aceast margine poateficonsideratncastrat, simplurezematsauliber. nparticular pot exista rezemri elastice sau de alt natur (vscoelastice, cu deformri plastice limitate, elastoplastice etc.). Pe contur pot exista ncrcri (fore i cupluri).Margine ncastrat. Pe zona ncastrat a conturului (fig. 1.10) deplasrile(sgeile) i rotirile n direcia normal la margine sunt zero (w = 0,/ 0 w n ).nlungul laturii ncastrate momentele de torsiune sunt nule.Fig. 1.10. Latur (margine) ncastratntruct rotirea / 0 w n , deci nu depinde des, urmeaz c / ( / ) 0 s w n i implicit momentul de torsiune este nul. n concluzie, condiiile de contur pe o latur ncastrat se scriu:( ) ( )0 ; 0ww a bn (1.59)Omargine ncastrat poate avea o tasarew0uniform sau liniar 0w w as + (a fiind o constant ce poate fi interpretat ca o rotire).Margine simplu rezemat. Pe marginea simplu rezemat deplasarea w i momentul ncovoietor Mn sunt nule (fig. 1.11).( ) ( )0 ; 0nw a M b (1.60)Condiia de moment ncovoietor nul conduce la:2 22 20w wn s + (1.61)ntruct dup deformarea plcii marginea simplu rezemat rmne rectilinie, are deci curbur nulFig. 1.11. Latur simplu rezemati (2 2/ 0 w s ), condiia de mai sus devine 2 2/ 0 w n .30Curburile nule simultan, fac ca pe marginea simplu rezemat s se poat scrie condiiile:( ) ( ) ( )2220 ; 0 0ww a b sau w w cn (1.62)Momentul detorsiuneMnsestengeneral nenul. Dacseadmitec Mns=0 urmeaz c/ w n nu depinde de s, adic / ( / ) 0 s w n , ceea ce n general nu se realizeaz.O margine simplu rezemat poate avea o tasare uniform w0 sau liniar (w0+as).n cazul unei margini simplu rezemate pe care acioneaz un moment distribuit m(s), condiiile pe contur devin:( )( )( )220 ;msww a bn D (1.63)Margineliber. Pemarginea liber(nerezemat i nencrcatfig. 1.12), condiiile pe contur sunt:( ) ( ) ( )0 ; 0 ; 0n ns nM a M b V c (1.64)Relaiile (1.64) sunt n exces, consecin a ipotezelor simplifica- toare adoptate.Dac pe marginea liber existncrcri, condiiile pe contur devin:Fig. 1.12.Margine liber (nerezemat i nencrcat)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ;n n ns ns n nM M s a M M s b V V s c (1.65)nbaza principiului lui Saint-Venant, ultimele dou condiii sepot nlocuiechivalentcu una singur. Momentulde torsiune,de intensitatensM, sumat pe o distan infinitezimalds,are valoarea( )nM s dsi se poate consideracaun cupluformat din dou fore paralele,egale iopuse,avnd mrimeansMi braulds(fig. 1.13).Trecnd de la coordonataslas+dsse modific intensitatea momentului:31( ) ( )nsns nsMM s ds M s dss+ +(1.66)Fig. 1.13. Ilustrarea transformrii condiiilor (1.65 b, c) n for tietoare generalizatRezultanta momentului pe urmtorul element diferenial ds va fi:( )nsnsMM s ds dss _+ ,(1.67)care se poate interpreta, de asemenea, ca un cuplu, fora fiind:( )nsnsMM s dss+(1.68)Sumnd forele ce formeaz cuplurile pe distana infinitezimalds rezult:ns nsns nsM MM M ds dss s + + (1.69)Intensitatea acestei fore este nsMs care se sumeaz cu nV i se obine*nsn nMV Vs +(1.70)La extremitile laturiirmn dou fore concentrate de valoarensM. 32MrimeansMssemainumetefora adiionala lui Kirchhoff.ncazula dou margini simplu rezemate ce se ntlnesc n unghi drept, reaciunea concentrat din col are valoarea nsM i creaz tendina de ridicare a acestuia (confirmat experimental).innd cont de relaiile (1.31), se obine pentru *nVexpresia:2* 22 3 322 3 2(1 )(1 ) (2 )nwV D wn s nsw w wD w Dn s n ns 1 _ + 1 , ] 11 + + 11 ] ](1.71)Dac latura liber este nencrcat, condiiile pe contur devin:( ) ( )0 ; 0n nM a V b (1.72)sau( ) ( )2 2 3 31 12 2 3 20 ; (2 ) 0w w w wa bn s n ns + + (1.73)n colul unei plci format de dou laturi adiacente ncastrate, momentul de torsiune fiind nul, nu apar reaciuni concentrate.Lao placcu doulaturiadiacente,ortogonale libereinencrcate, reaciunea din col este nul, deci 0nsM i 20.nsMnsncazul plcilor dreptunghiulare direciilenisdevinxiy. Ca exemplu se consider o plac dreptunghiular,avnd o latur ncastrat,una liber i dou laturiparalele simplu rezemate,pe una dintre ele acionnd un moment uniform distribuit de intensitate m0(fig. 1.14).Condiiile de contur se exprim dup cum urmeaz:- latura ncastrat (x = 0)0, 0wwx - latura liber (x = a)332 22 23 33 20 00 (2 ) 0xnw wMx yw wVx xy + ' + - laturile simplu rezemate (y = 0 i y = b)Fig. 1.14. Exemplificare condiii pe contur- latura y = 020 020,yww M m D my - latura y = b220, 0 0yww My .34