Capitolul 1

Cap. 1Noțiuni fundamentale de propagare a câmpului

electromangnetic

Capitolul 1

Cuprins

●Ecuații Maxwell

●Ecuaţii d'Alembert și Helmholtz pentru medii

omogene, izotrope şi infinite

●Unde electromagnetice plane

●Linii bifilare

Capitolul 1

1.1. Ecuaţii Maxwell sub formă diferenţială

pentru un mediu infinit, omogen, izotrop şi linear●ecuaţii de evoluţie

●ecuaţii de stare

●fazor complex , cu componente

●mărime fizică A●prin abuz de notaţie deseori

∇×E=−∂B∂ t

∇× H=∂D∂ tJ

∇⋅D=

∇⋅B=0

Ar , t Ai∈ℂ

r , t =ℜAr , t

Ar =Ar , t

Capitolul 1

1.2. Ecuaţii Maxwell

● pentru un mediu infinit, omogen, izotrop şi linear- ecuaţii de evoluţie

(1.1)

(1.2)

- ecuaţii de stare(1.3)(1.4)- ecuaţia de continuitate

- relaţii constitutive- forţa electromagnetică

∇×E=−∂B∂ t

∇× H=∂D∂ tJ

∇⋅D=

∇⋅B=0

∇⋅J∂∂ t=0

D=E , B=H , J=EF=q Ev×B

Capitolul 1

1.2. Ecuaţii Maxwell● permitivitatea dielectrică a spaţiului liber (vid)

● permeabilitatea magnetică a spaţiului liber (vid)

● viteza luminii

● pentru un mediu polarizabil

(1.5)

(1.6)

● funcţie de mărimile mediul este omogen – neomogen, izotrop – anizotrop, variant - invariant

0=8,854×10−12≃ 10−9

36F /m

0=4×10−7 H /m

c= 1

00 1/2≃3×108m / s

D=0r E=0EP=0 1e E

B=0rH=0

H M=0 1m H

r=0

, r=0

, , , e ,m

Capitolul 1

1.3. Ecuaţii d'Alembert

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

o E= ∂E∂ t1∇

o H= ∂H∂ t

o A=−J

o=−/

o =−1P

Capitolul 1

1.4. Ecuaţii Helmholtz

câmpuri armonice

(1.12)

ecuaţiile Maxwell devin staţionare

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

E=ℜ E r e j t , H=ℜ H r e j t prin abuz se notează E≡E r , H≡ H r ş.a.m.d.

∇×H= j DJ

∇×E=− jB

∇⋅D=

∇⋅J j=0

∇⋅B=0

Capitolul 1

1.4. Ecuaţii Helmholtz

Ecuațiile de propagare devin:

(1.18)

unde

(1.19)

Relaţiile de mai sus se numesc ecuaţiile Helmholtz neomogene pentru câmpuri monocromatice; ele devin omogene pentru medii fără sarcini electrice și fără pierderi.

∇ 2 Ek 2 E= j E1∇

∇ 2 Hk 2 H= j H

k=k n=− j , k 2=2

Capitolul 1

1.5. Unde plane. Mod de propagare

în cazul undelor plane, câmpul electromagnetic nu are componente pe direcţia de propagare şi modul de propagare este transversal electromagnetic – TEM

(1.20)care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi )

(1.21)şi din ecuaţiile Maxwell de evoluţie

(1.22)

arătând ortogonalitatea vectorilor

(1.23)impedanţa caracteristică a mediului

(1.24)

pentru vid

E r , t =E e j t−kz , H r , t = H e j t−kz

E=− k× HE , H , k

E⋅k=0, H⋅k=0

E⋅H=0

= EH=

0=120≈377

Capitolul 1

1.5. Unde plane. Constanta de propagarepentru un mediu cu pierderi (1.25)care au soluţii de forma (pentru un mediu fără pierderi)

(1.26)

vectorul de undă are modulul

(1.27)

uzual se lucrează cu constanta de propagare

(1.28)

(1.29)

α măsoară atenuarea la propagarea undei prin mediul disipativ, numindu-se constantă de atenuareβ măsoară defazajul datorat propagării, numindu-se constantă de fază

c=− j='− j ' '=0r

' 1− j tan

∇× H= jc E

k 2=2c=k 02 1− j

, k 0

2=2

= j k= j

E r , t =E e− z e j t−kz , H r , t = H e− z e j t−kz

Capitolul 1

1.6. Linii de transmisie bifilare

Capitolul 1

1.6.1. Elemente de circuit distribuiteparametri lineici (mărimi raportate la unitatea de lungime):

(1.30)

elementele concentrate de circuit din schema echivalentă a elementului infinitezimal dz au valorile

valorile tensiunii şi intensităţii curentului la capetele diportului sunt legate prin

(1.31)

L0 [H /m ] , C0 [F /m ] , R0 [/m ] , G0 [S /m ]

L0 dz , C 0dz , R0 dz , G0dz

u zdz , t =u z , t ∂u z , t ∂ z

dz

i zdz , t =i z , t ∂ i z , t ∂ z

dz

Capitolul 1

1.6.2. Ecuațiile telegrafiștilorpentru cazul armonic :

(1.32)

numite ecuaţiile telegrafiştilor în domeniul frecvenţă (ecuaţii de propagare)prin decuplarea ecuaţiilor (1.32) se obţine

(1.33)

unde este constanta de propagare în linia ce transmisie

u z , t =U z e j t , i z , t = I ze j t

d U zdz

R0 j L0 I z =0

d I z dz

G0 jC0 U z =0

d 2U z dz2 −2U z =0

d 2 I z dz2 −2 I z =0

= j =[ R0 j L0 G0 jC 0 ]1/2∈ℂ

Capitolul 1

1.6.3. Unde incidente, unde reflectate, impedanță caracteristică

Soluţiile generale ale ecuaţiilor de propagare (1.33) sunt

(1.34)

termenii cu exp(-γz) reprezintă propagare în direcţia crescătoare a coordonatei z, iar cei cu exp(+γz) – propagare în direcţia -z

Impedanţa caracteristică a liniei

(1.35)

din (1.32) se găseşte

(1.36)

tensiunea „reală” în linie este

U z =U i e− zU r e

z

I z =I i e− z I r e

z

Z 0= [ R0 j L0

G0 jC0 ]1/2

I z =U i

Z 0e− z−

U r

Z 0e z , I i=

U i

Z0, I r=−

U r

Z 0

u z , t =ℜ [U ze j t ]=∣U i z∣e− z cos t− zi∣U r z∣e

z cos t zr

Capitolul 1

1.6.4. Constantă de propagare, lungime de undă, viteză de fază

constanta de propagareconstanta de atenuareconstanta de fazăviteza de fază

linia fără pierderi (ideală)

(1.37)

= j

v ph== f

R0=0,G0=0=0

=0 , =L0C 01/2

Z 0=L0/C01/2∈ℝ

v ph=L0C0−1/2

=2

L0C01/2

Capitolul 1

1.6.5. Structura câmpului electromagnetic

Capitolul 1

1.6.5. Structura câmpului electromagnetic

Caracteristici importante:mod de propagare

transversal electromagnetic (TEM)

sistem de propagare nedispersiv, fără frecvenţă

criticăsistem de propagare radiativ („disipativ”)

Corespondenţa

U⇔EI⇔H

Capitolul 1

1.6.7. Linii de lungime finităÎn linia de transmisie uniformă şi infinită există doar unde progresive de la

generator la receptor

Orice discontinuitate în linia de transmisie produce unde reflectate

Discontinuităţile se traduc în variaţii de impedanţă în linie

Liniile de transmisie reale sunt linii de lungime finită

O linie de lungime infinită poate fi simulată prin înlăturarea reflexiilor

O linie de transmisie uniformă adaptată poate fi considerată ca linie de lungime

infinită

Discontinuităţile din linia de transmisie sunt localizate la

generator

sarcină (receptor)

traiectul sistemului de transmisie

Cea mai importantă discontinuitate din punct de vedere teoretic este cea a sarcinii

l≫

Capitolul 1

1.6.7. Sarcina unei linii de transmisieAxa de propagare Oz se găseşte în sarcină şi este dirijată spre generatorEcuaţiile de propagare (1.5) îşi schimbă semnul la exponent:

(1.38)

pentru o coordonată dată, linia din partea dreaptă constituie sarcină pentru linia din stânga coordonatei

U z =U i e zU r e

− z

I z =I i e zI r e

− z

Capitolul 1

1.6.7. Coeficient de reflexie la sarcinăUndele de tensiune şi curent în linie au expresiile

(1.39)

Impedanţa sarcinii poate fi scrisă ca

Coeficientul de reflexie în tensiune la sarcină se defineşte prin

(1.40)

iar coeficientul de reflexie în curent

(1.41)

U z =U i e zU r e

− z

I z =U i

Z0e z−

U r

Z 0e− z

Z s=U 0I 0

=U iU r

U i−U rZ 0 ⇒ U r=

Z s−Z 0

Z sZ 0U i

s=U r 0U i 0

=Z s−Z 0

Z sZ 0; s=∣ s∣e

js

si=

I r 0I i 0

=− s

Capitolul 1

1.6.7. Coeficient de reflexie în linie; minime, maxime

Coeficientul de reflexie în linie (fără pierderi) este

(1.42)

Modulul coeficientului de reflexie este constant şi egal cu cel dat de sarcină, iar faza variază cu distanţa l faţă de sarcină.

Relaţiile (1.39) se pot scrie

(1.43)

unde incidente + unde reflectate = unde staţionare

tensiune maximă:

tensiune minimă:

U z =U i e j z s e− j z =U i e

j z 1 s e−2 j z

I z=U i /Z 0 e j z− s e− j z =U i /Z 0 e j z 1− s e

−2 j z

s l =U r l U i l

=U r e

− j l

U iej l = s e

−2j l=∣ s∣ejs−2jl=∣ s∣e

j l

l=s−2 l

l=2n , n∈ℕ ; U M=∣U z ∣max=∣U i z∣1∣ s∣l=2n1 , n∈ℕ ; U m=∣U z ∣min=∣U i z∣1−∣ s∣

Capitolul 1

1.6.7. Factor de undă staţionară, cazuri particulare

voltage standing wave ratio (VSWR):

(1.44)

linie scurtcircuitată:

linie în gol:

linie adaptată:

sarcină reactivă:

sarcină rezistivă:

=U M

U m=

1∣ s∣1−∣ s∣

Z s=0 ⇒ s=−1,∣ s∣=1, s= , =∞

Z s=∞ ⇒ s=1,∣ s∣=1, s=0, =∞

Z s= jX s ⇒ s=jX s−Z 0

jX sZ 0, ∣ s∣=1, s=−2arctan Xs

Z 0

Z s=RsZ 0 ⇒ s=Rs−Z 0

RsZ 0, ∣ s∣=

Rs−Z 0

RsZ 0, s=0, =

Rs

Z 0

Z s=RsZ 0 ⇒ s=−Rs−Z 0

RsZ 0, ∣ s∣=

Rs−Z0

RsZ0, s= , =

Rs

Z 0

Z s=Z 0 ⇒ s=0, =1

Capitolul 1

1.8. Concluzii

Interpretarea fenomenelor de propagare în spaţiu liber se bazează pe înţelegerea corectă a propagării undelor electromagnetice plane Propagarea câmpului electromagnetic în spațiul liber poate fi tratată similar cu propagarea într-o linie bifilară Metoda TLM (Transmision Line Matrix) – valabilă pentru componentele transversale de câmp Importanța noțiunii de impedanță Importanța raportării lungimii de undă la dimensiunile spațiului de propagare