1

6. Dipolul electric

Conform principiului superpozi iei, intensitatea câmpului într-un

punct arbitrar este E E E , unde E i E sunt intensit ile câmpurilor electrice create de sarcina pozitiv i respectiv de cea negativ .

determin m intensitatea câmpului electric în punctul A situat pe continuarea axei dipolului i în punctul B de pe perpendiculara ridicat din centrul dipolului (figura 2).

1. Punctul studiat A se afl pe axa dipolului. Dup cum se vede din figur , vectorul intensit ii câmpului electric în punctul A este orientat în direc ia axei dipolului, iar modulul lui este

AE E E . Dac not m prin r distan a de la punctul A pân la mijlocul bra ului dipolului O, atunci

2 2

2 2 2 20 0

2 21 .4 42 2 2 2

A

r l r lq q qEr l r l r l r l

În conformitate cu defini ia dipolului electric 2l r , de aceea

3 30 0

1 2 1 24 4A

ql pEr r

sau, sub form vectorial :

30

1 2 .4A

pEr

(6.2)

2. Punctul de observa ie B se afl pe perpendiculara ridicat din centrul dipolului, la distan a r de mijlocul bra ului dipolului. Deoarece distan ele de la punctul B pân la ambele sarcini sunt egale, vom avea:

2 220 0

1 14 44

q qE Er l r

. (6.3)

Se nume te dipol electric sistemul alc tuit din dou sarcini electrice punctiforme q i – q, distan a dintre ele fiind mica în compara ie cu distan a de la centrul acestui sistem pân la punctele considerate ale câmpului electric creat de el (figura 1).

Vectorul se nume te bra al dipolului i este orientat de la sarcina negativ spre cea pozitiv , modulul lui fiind egal cu distan a dintre sarcini.

Produsul dintre sarcina pozitiv q a dipolului i bra ul lui se nume te moment electric al dipolului sau moment dipolar:

. (6.1)

Momentul dipolar este orientat de la sarcina negativ spre cea pozitiv .

=

Fig. 1

Fig. 2

2

Triunghiul echilateral cu baza BE i laturile E i E este asemenea cu triunghiul echilateral q B q , de aceea:

2 2,

2BE l l

E rr l

de unde

BlE Er

. (6.4)

Din rela iile (6.3) i (6.4) ob inem:

3 30 0

1 14 4B

ql pEr r

,

iar sub form vectorial avem

30

14B

pEr

. (6.5)

Aici vectorii BE i p sunt opus orienta i, deoarece momentul dipolar este orientat de la sarcina negativ spre cea pozitiv .

Se poate demonstra c intensitatea câmpului dipolului într-un punct arbitrar a lui se determina astfel

23

0

1 1 3cos ,4

pEr

(6.6)

unde este unghiul dintre axa dipolului i direc ia spre punctul dat.

Câmpul electrostatic în medii dielectrice

1. Polarizarea dielectricilor. Se numesc dielectrici substan ele, care în condi ii obi nuite practice nu conduc curentul electric.

Dielectricii, spre deosebire de conductori, nu posed sarcini electrice libere, care sub ac iunea câmpului electric ar putea efectua o mi care ordonat , formând curent electric de conduc ie. Sarcini libere sunt: electronii de conduc ie în metale i semiconductori, ionii în electroli i i gaze, etc..

În dielectrici toate sarcinile sunt legate. Se numesc sarcini legate, sarcinile care intr în componen a atomilor i moleculelor sau sarcinile ionilor în dielectricii cu re ea cristalin ionic .

Exemple de fluide dielectrice: toate gazele neionizate, unele lichide (apa distilat , ulei vegetal, ulei sintetic, alcoolurile, etc.. Dielecrici cristalini sunt: sarea de buc rie, sticla, por elanul, diamantul, parafina, mica i altele.

Dielectricii pot fi împ i în 3 grupe mari: nepolari, polari i substan e care au o structur ionic . Dielectricul se nume te nepolar dac în lipsa câmpului electric exterior, momentele dipolare ale

moleculelor acestui dielectrice sunt nule. Moleculele nepolare ale acestor substan e posed o structur simetric , cu alte cuvinte, centrele de mas ale sarcinilor negative i pozitive coincid 0l .

Dac , îns , în lipsa câmpului electric extern centrele de mas ale sarcinilor negative i pozitive nu coincid, atunci moleculele posed moment dipolar propriu i sunt numite polare, iar substan ele compuse din astfel de molecule se numesc dielectrici polari.

3

La introducerea dielectricului într-un câmp electric exterior se produce polarizarea lui care const în apari ia unui moment dipolar rezultant al moleculelor în orice volum macroscopic mic V .

În corespundere cu cele trei grupe de dielectrici se deosebesc trei tipuri de polarizare: 1) Polarizarea de orientare (dipolar ); 2) Polarizarea electronic (de deformare); 3) Polarizarea ionic . 1 1. Polarizarea de orientare se produce în dielectricii polari. În lipsa câmpului electric exterior,

vectorii momentelor dipolare ai moleculelor dintr-un dielectric polar, datorit mi rii lor dezordonate, sunt orienta i haotic. În consecin suma vectorial a momentelor dipolare ale tuturor moleculelor ce se afl într-un volum arbitrar V a dielectricului este egal cu

zero. Câmpul electric extern E provoac orientarea momentelor dipolare ale moleculelor polare în direc ia i

sensul vectorului E (figura 1). Pe fe ele opuse ale dielectricului apar sarcini electrice negative i pozitive necompensate, numite sarcini legate. Acest proces se nume te polarizare prin orientare. Mi carea termic împiedic acest proces, îns în dielectric apare totu i o orientare predominant

a momentelor dipolare ale moleculelor dup câmpul extern E . Cu cât este mai joas temperatura i câmpul mai puternic, cu atât mai complet va fi orientarea.

2. Polarizarea electronica (de deformare) se observ în dielectricii nepolari. Sub înfluien a

câmpului electric exterior E în moleculele dielectricului nepolar apar momente dipolare induse, orientate

în direc ia i sensul vectorului E . Datorit ac iunii câmpului electric extern, orbitele electronilor se deformeaz ceea ce duce la deplasarea centrelor de mas ale sarcinilor negative (electronilor) în raport cu centrele de mas ale sarcinilor pozitive (nucleele atomilor). Prin urmare, în molecule apar momente dipolare induse care sunt propor ionale cu intensitatea câmpului electric exterior. Dipolii indu i sunt orienta i dup câmp independent de temperatur .

3. În dielectricii cristalini are loc polarizarea ionic , care const în deplasarea ionilor pozitivi ai

cristalului în sensul câmpului electric extern E , iar a ionilor negativi în sens contrar. Pentru majoritatea dielectricilor polarizabilitatea P este direct proportional cu intensitatea

câmpului electric exterior E (o excep ie sunt segnetoelectricii).

0P E . (1.2) rimea adimensional , care caracterizeaz propriet ile dielectricului, se nume te susceptibilitate

dielectric a substan ei (sau polarizabilitate a unit ii de volum a dielectricului). Totdeauna 0 i este

=

Drept m sur cantitativ a polariz rii dielectricului serve te vectorul , numit vector de polarizare sau polarizabilitatea dielectricului, egal cu raportul dintre suma momentelor dipolare ale tuturor moleculelor dielectricului din volumul infinit de mic , c tre volumul dat.

(1.1)

Fig. 1

4

de ordinul câtorva unit i pentru majoritatea substan elor dielectrice. Uneori poate avea valori mai mari (pentru ap 80).

stabilim cum se modific intensitatea câmpului electric a unui condensator plan, dac în spa iul dintre arm turile lui se introduce un dielectric (figura 2). Sub înfluien a câmpului electric

exterior E se produce polarizarea dielectricului, care const în deplasarea sarcinilor electrice legate pozitive în sensul intensit ii

câmpului electric exterior E , iar celor negative, în sens contrar. Pe fe ele opuse ale dielectricului, care sunt perpendiculare

vectorului E , se acumuleaz sarcini positive i negative necompensate, adic apare un surplus de sarcini electrice cu densit ile superficiale p i p . Aceste sarcini sunt numite

de polarizare sau legate.

Intensitatea câmpului electric E în interiorul dielectricului este egal cu suma vectorial a intensit ilor 0E a câmpului creat de sarcinile libere de pe pl cile condensatorului cu modulul:

00

E

i intensit ii PE a câmpului creat de sarcinile de polarizare, modulul c reia este

0

PpE .

Prin urmare, 0 PE E E sau

00 0

.P PE E (1.3)

determin m densitatea superficial a sarcinii de polarizare p . În conformitate cu defini ia

polarizabilit ii P , momentul dipolar total al pl cii de dielectric este V ii

p p PV P S d , unde ii

p –

suma momentelor dipolare ale tuturor moleculelor din volumul pl cii de dielectric V, S – aria fe ei, iar d – grosimea pl cii. Considerând întreaga plac un dipol electric, momentul dipolar total al pl cii Vp , conform defini iei momentului electric al dipolului poate fi scris i astfel:

V P Pp Q d S d ,

PQ fiind sarcina dipolului (pl cii), iar d – bra ul dipolului. De unde rezult c P S d P S d sau

P P . (1.4)

Am ob inut c densitatea superficial p a sarcinilor de polarizare (legate) este egal cu polarizabilitatea P.

Substituind (1.4) în (1.3) vom avea: 0 00

PE E E E , deoarece 0P E .

Intensitatea câmpului în interiorul dielectricului:

0 0 .1

E EE (1.5)

rimea adimensional 1 se nume te permeabilitate dielectric a mediului sau constant

dielectric a substan ei. Pentru vid 1, iar 0 .

– + –+

Fig. 2

5

Din rela ia (1.5) se vede, c intensitatea c mpului electric într-un dielectric omogen scade de ori în compara ie cu valoarea sa în vid. Aceasta are loc din cauza apari iei sarcinilor de polarizare. Prin

urmare, valoarea vectorului E la frontiera dielectricului variaz brusc, prin salt, ceea ce creaz incomodit i la calculul câmpului electric. Deaceea pentru caracterizarea câmpului electric a fost necesar introducerea unui vector nou, numit induc ie electric (sau deplasare electric ), care prin defini ie este egal cu

0D E . (1.6)

Unitatea de m sur a induc iei electrice este 2C m . Utiliz nd rela ia (1.2) vectorul D poate fi exprimat astfel:

0 0 01D E E E P .

Am ob inut:

0D E P . (1.7)

Vectorul E descrie câmpul electric rezultant în interiorul dielectricului i depinde de propriet ile

dielectricului. Vectorul D descrie câmpul electric creat de sarcinile libere în vid. Câmpul D deasemenea se reprezint grafic cu ajutorul liniilor de induc ie electric , ca i câmpul E prin linii de intensitate.

2. Teorema lui Gauss pentru câmpul electric în dielectrici. Câmpul electric la frontiera dintre doi dielectrici

Pentru o suprafa închis arbitrar S, fluxul vectorului D prin aceast suprafa este:

D nS S

D dS D dS .

Teorema lui Gauss pentru câmpul electric în medii dielectrice (în form integral ):

Utilizând teorema matematic Gauss (Ostrogradski–Gauss) ob inem:

S V

D dS div DdV , (2.2)

unde V este volumul m rginit de suprafa a închis S. Rela ia () poate fi reprezentat i astfel

S V

D dS dV , (2.3)

unde dq dV este densitatea (volumic ) a sarcinilor libere. Egalând (2.2) i (2.3) ob inem:

div D . (2.4) Rela ia (2.4) este forma diferen ial a teoremei lui Gauss pentru câmpul electric în dielectrici. Se pot ob ine i alte forme ale acestei teoreme prin substitu ia 0D E :

0S

qE dS , (2.5)

= = .

Fluxul vectorului induc iei câmpului electric printr-o suprafa închis arbitrar este egal cu suma sarcinilor electrice libere din interiorul acestei suprafe e:

(2.1)

6

0

div E . (2.6)

stabilim condi iile de frontier pentru vectorii E i D în cazul a dou medii dielectrice izotrope, constantele dielectrice ale c rora sunt 1 i 2 (figura 3). S construim un contur închis dreptunghiular ABCDA, dou laturi a c ruia AB i CD de lungime l sunt paralele la frontiera de separa ie a mediilor dielectrice, iar celelalte dou AD i BC de lungime neglijabil h 0h . Conform condi iei de

poten ialitate a câmpului electric 0

ABCDA

E dl , sau

0AB BC CD DA

E dl E dl E dl E dl

Deoarece 0h , rezult c 0AD BC

E dl E dl . Prin urmare, 0AB CD

E dl E dl , sau 2 1 0E l E l . De

unde

1 2E E . (2.7) a-dar, componeneta tangen ial a intensit ii câmpului electric nu variaz la trecerea dintr-un

dielectric în altul prin suprafa a lor de separa ie.

Substituind (1.6) în (2.7) ob inem: 1 2

0 1 0 2

D D sau

1 1

2 2

DD

. (2.8)

Vom considera drept suprafa Gauss un cilindru de în ime neglijabil , o baz a c ruia se afl în interiorul primului dielectric, iar cealalt , în interiorul dielectricului al doilea (figura 4). Bazele cilindrului Gauss S sunt foarte

mici, de aceea vectorul D se consider constant în limitele suprafe ei S .

În conformitate cu teorema Gauss 0S

D dS , deoarece la frontiera dintre dielectrici sarcinile

libere lipsesc 0q . Fluxul vectorului D prin suprafa a lateral a cilindrului Gauss este nul, de aceea

ob inem: 2 1 0n nD S D S sau

2 1n nD D . (2.9) Substituind (1.6) în (2.9) vom avea:

1 2

2 1

n

n

EE

. (2.10)

Astfel, am ajuns la concluzia: La trecerea frontierei de separare dintre doi dielectrici,

componenta tangen ial a intensit ii câmpului electric

i componenta normal a induc iei electrice nu variaz

(figura 4). Iar componenta normal a vectorului i

componenta tangen ial a vectorului variaz prin salt. Fig. 4

Fig. 3

7

Din rela iile (2.7) – (2.10) rezult c liniile de intensitate i induc ie electric se refract .

Folosind figura 5, determin m raportul: 2 22

1 1 1

.n

n

E Etgtg E E

inând seama de rela iile 1 1 2 2n nE E i 1 2E E ultima expresie devine:

2 2

1 1

.tgtg

(2.11)

Formula (2.11) exprim legea refrac iei liniilor de intensitate (sau induc ie) a câmpului electric.

Fig. 5