Calculul unor sume in gimnaziu

Exerciţii în care se cere calcularea unei sume de mai mulţi termeni sunt întâlnite chiar în manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesară demonstrarea unor formule de calcul pentru acestea, altele decât cele ce folosesc inducţia matematică sau o pseudo-inducţie matematică, în ideea de a le folosi în rezolvarea unor probleme propuse pentru diferite concursuri.

Calculul unor sume de numere

1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n

S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 + 2 + 1

2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1

2S=n(n+1)

S=

2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)

S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1

2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n

2S=2n.n

S=

3. S=1 + + +…+ + +

Sx=

Sx-S =

S(x-1) =

1

S=( -1)/( -1)

4. S= + + +…+

Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:

=1

=1+3

=1+3+5

…………………………….

=1+3+5+…+(2k-1)

…………;…………………..

=1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1)

Adunand membru cu membru obtinem:

S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1)

Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris:

(2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2 +k,atunci:

S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2( + + +…+ )+(1+2+3+

…+n)

3S=(n+1). +n(n+1)/2

6S=2.(n+1). +n.(n+1)

6S=n(n+1)(2n+1)

S=

5. S= + + +…+

2

Se demonstreaza usor ca: = -

S= - + - +…+ - = - =

Generalizare: = -

Aplicatii:

Calculati suma cifrelor numarului:

x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.

Numarul x se mai poate scrie:

x=10-1+ -1+ -1+…+ -1=(10+ + +…+ -1=

=(10+ + +…+ )-2008=10(1+10+ +…+ )-2008=

=10. -2008=10. -2008=10.111…11-2008=111…1109102.In rezultat

apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.

Generalizare:

Pentru a calcula: S=a+ + +…+ se calculeaza:

(9+99+999+…+99…9)

b)Calculati: S= + + +…+

Se foloseste relatia: = - si avem:

S= - + - + - +…+ - = c)Sa se

calculeze:

S= + + +…+

3

Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k si

obtinem:

Sk= + + +…+

=

= - + - + - +…+ - =

= - = = ,de unde:S= .

d)Aratati ca numarul :

N=1+2+ + +…+ nu este patrat perfect.

Calculand N obtinem: N= -1

U( -1)=U(U( )-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8

rezulta N nu este patrat perfect.

e)Sa se calculeze suma:

S= + + +…+

Se porneste de la =4. -4.n+1 avem:

=4. -4.1+1

=4. -4.2+1

=4. -4.3+1

…………………….

=4. -4n+1

Adunand membru cu membru obtinem:

4

S=4( + + +…+ )-4(1+2+3+…+n)+n=

= 4. -4. +n= -2n(n+1)+n=

= =

= = .

f) Calculati:

S= + + +…+ .Suma mai poate fi scrisa:

S= + + +…+ = . + . +

. +…+

+ . = ( + + +…+ )= =

=1004.670.2009.

g) Calculati: S= + + +…+ .Suma se mai scrie:

S= + + +…+

= . + . + …+ + . =4( + +…+

)= =

= = =4.1004.669.2009

h) S=1+ + +…+ =

=1+ + +…+ =

5

=1+ + +…+ =1+2( +…+ )=

=1+2( - + - +…+ - )=1+2( - )=1+ = .

S=1+ + + +…+ . Suma se mai poate scrie:

S= =

Aratati ca numarul:

x= - -…- este patrat perfect.

Numarul poate fi scris: x= - -…- =

= ( - -…- )= )[ - (1+ + +…+ )]=

= ( - . )= ( )= . =patr

at perfect.

j) Calculati :S=3+7+11+…+8035.

Se observa ca diferenta intre factori este 4,ne gandim la teorema impartirii cu rest

si constatam:

3=4.0+3

7=4.1+3

11=4.2+3

……………….

8035=4.2008+3

6

S=4.0+3+4.1+3+4.2+3+…+4.2008+3=4(1+2+3+….+2008)+

+2009.3= +6027=4016.2009+6027=2009.4019

Concluzionând în calculul unei sume de mai mulţi termeni sunt

necesare parcurgerea următoarelor etape:

stabilirea numărului de termeni ai sumei;

identificarea termenului general sau a regulii după care sunt

construiţi termenii sumei;

identificarea formulei sau lucru pe termenul general şi

repetarea pe fiecare termen în parte

7