In atenţia studenţilor din anul al III-lea restanţieri la Calcul ştiinţific Următoarele liste:

- probleme de calcul ştiinţific (proba scrisă) - probleme rezolvabile cu Matlab (proba practică)

sunt orientative, în sensul că la examenul restanţă probleme asemănătoare vor fi printre subiectele propuse. Calcul ştiinţific- probleme

1. Fie vectorii şi ( 1,3,0)x = − (5, 1, 2)y = − . Calculaţi norma euclidiană a acestor vectori, produsul lor scalar şi distanţa euclidiană între cei doi vectori.

2. Fie vectorii şi (1, 2,3, 2)x = − − (2, 4,0,5)y = . Care dintre ei aparţin bilei deschise de centru şi rază 5? Care este valoarea minimă a razei bilei astfel încât ambii vectori să aparţină bilei?

(1, 2,1, 1)−

3. Calculaţi limita şirului 2

2 3

2 1 3 1( , , ) , ,17 1

nn

n n nn nx y z

n n n⎛ ⎞− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠

4. Care este natura seriilor următoare: 1

1n n n≥∑ ; ;

1

(0.2)n

n≥∑

1

111

nn

n≥ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ; 0

2( 1)

n

n n≥ !+∑ ;

1

1

1( 1)n

n n+

≥

−∑ ? Justificaţi temeinic răspunsurile.

5. Calculaţi f(R) pentru 2( )1

xf xx

=+

; este funcţia uniform continuă pe R? Justificaţi

răspunsul. 6. Scrieţi polinomul lui Taylor de grad 5 în punctul 0 2x = pentru funcţia 2( ) xf x e= 7. Calculaţi gradientul funcţiei 2 2( , ) 4 2 4 8 6 35f x y x y xy x y= + + − − + în punctul (2,3) 8. Calculaţi hessiana funcţiei 2 2 2( , , ) 2 8 12 4 34f x y z x y z xy yz z= + + − − − + în origine. 9. Calculaţi extremele funcţiei 2 2 2( , , ) 2 8 12 4 34f x y z x y z x y z= + + − − − + 10. Calculaţi extremele funcţiei 2 2( , ) 2 8 12 34f x y x y x y= + − − + , cu legătura . 2 4x y+ =

11. Studiaţi convergenţa integralei , în caz afirmativ calculaţi integrala. 0

sin 2xe x∞

−∫ dx

12. Calculaţi aria mărginită de parabola 2 3y x= − şi dreapta 1y = . 13. Calculaţi, utilizând schimbarea de variabile în integrala dublă aria mărginită de cercul

. 2 2 16x y+ =14. Calculaţi volumul corpului mărginit de cilindrul 2 2 16x y+ = şi planele şi 0z = 1z = . 15. Calculaţi, utilizând schimbarea de variabile în integrala triplă volumul corpului

mărginit de sfera 2 2 2 16x y z+ + =

Probleme rezolvabile cu Matlab (proba practică)

1. Desenaţi graficul funcţiei 2

3 2

1( )3

xf xx x

−=

+ +, în culoarea verde. Calculaţi (3)f ′′

2. Desenaţi graficul funcţiei

1

4

2

, 0( )

1ln , 01

xe xf x

x xx x

−⎧>⎪⎪= ⎨ +⎪ ≤

⎪ − +⎩

3. Desenaţi graficul funcţiei 2 2

1( , ) ( ) x yf x y x y e− −= + ⋅ pe un domeniu convenabil ales. Desenaţi-i curbele de nivel în R2, respectiv în R3 şi desenaţi graficul funcţiei împreună cu curbele de nivel în acelaşi sistem de axe (notă: cele patru desene să fie pe aceeaşi pagină).

4. Desenaţi graficul funcţiei 2 2 2 2

2 2 2 2( , )( 1)

x y x yf x yx y⋅ − −

=+ +

pe un domeniu convenabil ales.

Desenaţi-i curbele de nivel în R2, respectiv în R3 şi desenaţi graficul funcţiei împreună cu curbele de nivel în acelaşi sistem de axe (notă: cele patru desene să fie pe aceeaşi pagină).

5. Fie vectorii ( 1,3,0)x = − şi (5, 1, 2)y = − . Calculaţi norma euclidiană a acestor vectori, produsul lor scalar şi distanţa euclidiană între cei doi vectori.

6. Calculaţi distanţa de la limita şirului 2

2 3

2 1 3 1( , , ) , ,17 1

nn

n n nn nx y z

n n n⎛ ⎞− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠

la punctul

(1,2,-1).

7. Ilustraţi prin tabelare şi desenând graficul următorul rezultat: nu există 0

1lim cosx x→

;

Verificaţi calculând cu Symbolic math. 8. Fie funcţia 2

16 ( , ) 1f x y x x= + + ; scrieţi polinomul Taylor ataşat funcţiei, de grad 9 în punctul 0 1x = . Desenaţi în acelaşi sistem de axe funcţia şi polinomul Taylor asociat

9. Calculaţi gradientul funcţiei 2 2

1( , ) ( ) x yf x y x y e− −= + ⋅ în (1,3); calculaţi derivata

8 (1,3)dfds

unde 3 1,2 2

s⎛

= −⎜⎜⎝ ⎠

⎞⎟⎟ (6puncte)

10. 11. Calculaţi jacobianul funcţiei în (1,3) ( , ) ( , )y xF x y xe ye=

12. Calculaţi derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei în punctul (1,2).

2 2

( , ) x yf x y x e− −= ⋅

13. Calculaţi extremele funcţiei 2 2 2( , , ) 2f x y z x y z xy x z= + + − + −

14. Calculaţi 2

0

1( 2) | 4 |

dxx x

∞

+ ⋅ −∫

15. Calculaţi 4

0

cosxe ax∞

− ⋅∫ dx