REGRESIA LINIARĂ MULTIPLĂ

C5

1. Testarea influenţei marginale a unei variabile

2. Exemplu (I)

3. Estimarea indicatorilor de corelaţie

4. Testarea indicatorilor de corelaţie

5. Exemplu (II)

1. Testarea influenţei marginale a unei variabile independente asupra variabilei dependente

Testarea influenţei marginale a unei variabile independente se realizează

cu ajtorul testului Fisher (F Change) (tabelul Model Summary din SPSS).

1) Formularea ipotezelorH0: variabila independentă nou introdusă în model nu are o influenţă

semnificativă asupra variaţiei variabilei aleatoare (β=0)H1: variabila independentă nou introdusă în model are o influenţă

semnificativă asupra variaţiei variabilei aleatoare(β≠0)

2. Fixarea pragului de semnificaţie α=0,05

3. Alegerea statisticii test Fisher:

C

RC

C

CR

kndf

kkdf

dfRSS

dfRSSRSSF

2

1

2/

1/)(

2/)1(

1/)(2

22

dfR

dfRRF

C

RC

1. Testarea influenţei marginale a unei variabile independente asupra variabilei dependente

4. Calcularea statisticii test : Fcalc = F Change (din Tabel Model

Summary)

5. Citirea valorii teoretice din Tabelul Repartiţiei Fisher: Fα, df1, df2

6. Criterii de decizie:

Dacă Fcalc≤ Fα, df1, df2 se acceptă H0 cu o probabilitate de 1-α.

Dacă Fcalc> F α, df1, df2 se respinge H0 cu un risc asumat α.

Sau

Dacă Sig (Fchange) ≥ α se acceptă H0 cu o probabilitate de 1-α.

Dacă Sig (Fchange)< α se respinge H0 cu un risc asumat α.

2. EXEMPLU I (1)Model Summary

.661a .436 .435 $12,833.540 .436 365.381 1 472 .000

.663b .439 .437 $12,815.280 .003 2.346 1 471 .126

Model1

2

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

R SquareChange F Change df1 df2 Sig. F Change

Change Statistics

Predictors: (Constant), Educational Level (years)a.

Predictors: (Constant), Educational Level (years), Months since Hireb.

Model Summary

.661a .436 .435 $12,833.540 .436 365.381 1 472 .000

.890b .792 .792 $7,796.524 .356 807.889 1 471 .000

Model1

2

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

R SquareChange F Change df1 df2 Sig. F Change

Change Statistics

Predictors: (Constant), Educational Level (years)a.

Predictors: (Constant), Educational Level (years), Beginning Salaryb.

Model Summary

.910a .828 .818 5.2961 .828 83.271 4 69 .000

.907b .822 .814 5.3542 -.006 2.544 1 69 .115

Model1

2

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

R SquareChange F Change df1 df2 Sig. F Change

Change Statistics

Predictors: (Constant), Average female life expectancy, People living in cities (%), Daily calorie intake, People who read (%)a.

Predictors: (Constant), Average female life expectancy, Daily calorie intake, People who read (%)b.

Pentru un model de regresie liniară multiplă, pot fi determinati următorii coeficienţi:

• coeficienţi de corelaţie simplă între variabila dependentă şi fiecare variabilă independentă (coeficienţi bivariaţi);

• coeficienţi de corelaţie parţială;

• coeficientul de corelaţie multiplă

• coeficientul de determinaţie multiplă.

3. Estimarea indicatorilor de corelaţie

3. Estimarea indicatorilor de corelaţie (I)

Coeficienţi de corelaţie bivariatăPentru un model liniar de forma:

există trei coeficienţi de corelaţie bivariată:ii22i110i xxy

])(][)([ 2221

21

11

1

i iii

i iii

ii

ii

iii

yyynxxn

yxyxnr

])(][)([ 2222

22

22

2

i iii

i iii

ii

ii

iii

yyynxxn

yxyxnr

])(][)([ 22

22

21

21

2121

12

i iii

i iii

ii

ii

iii

xxnxxn

xxxxnr

3. Estimarea indicatorilor de corelaţie (II)

Coeficienţi de corelaţie parţială

… şi trei coeficienţi de corelaţie parţială calculaţi cu ajutorul coeficienţilor de corelaţie bivariată:

Corelaţia parţială măsoară dependenţa dintre variabile prin excluderea succesivă a influenţei celorlalţi factori, considerând influenţa lor constantă si menţinând numai influenţa factorului măsurat.

În funcţie de numărul variabilelor a căror influenţă se elimină din calcul, coeficienţii de corelaţie parţială pot fi de ordinul întâi (pentru o variabilă eliminată), de ordinul doi (pentru două variabile) etc.

)1)(1( 212

22

12212.1

rr

rrrr

y

yyy

)1)(1( 212

21

12121.2

rr

rrrr

y

yyy

)1)(1( 22

21

2112.12

yy

yyy

rr

rrrr

3. Estimarea indicatorilor de corelaţie (III)

Raportul de determinaţie multiplă şi raportul de corelaţie multiplă

Parametri

=>

Estimatori

=>

Estimaţii

=>

T

R

T

E

ii

i

V

V

V

V

yy

yy

1)(

)ˆ(

2

2

22

ii

ii

T

R

T

E

yyV

V

V

V2

2

2

)(1

ˆ

ˆ1

ˆ

ˆˆ

2ˆˆ

ii

ii

yy

e

TSS

RSS

TSS

ESSR

2

2

2

)(11 2RR

3. Estimarea indicatorilor de corelaţie (IV)

Coeficientul de corelaţie multiplă

Coeficientul de corelaţie multiplă se calculează numai pentru modelele multiple liniare şi se exprimă cu ajutorul coeficienţilor de corelaţie simplă dintre variabilele perechi.

Astfel, în cazul corelaţiei dintre o variabilă rezultativă Y şi două variabile independente , ,la nivelul unui eşantion, coeficientul de corelaţie multiplă, notat cu r, se calculează după relaţia:

1X 2X

2.122

221.2

21

212

12

122122

21 )1()1(

1

2yyyyyy

yyyy rrrrrrrrr

rrrrrr

4. Testarea indicatorilor de corelaţie

Raportul de determinaţie si raportul de corelatie se testează cu testul F după algoritmul prezentat la modelul liniar simplu, ţinând cont de faptul că k=p+1 reprezintă numărul parametrilor din noul model.

Coeficienţii de corelaţie se testează cu ajutorul testului t . după algoritmul prezentat la modelul liniar simplu, ţinând cont de faptul că k=p+1 reprezintă numărul parametrilor din noul model.

5. Exemplu (II)

Coeficienţii de corelaţiei parţială (de ordinul 2)