c r a m e r

1

Sisteme Cramer

1. Pentru fiecare a∈ , se consideră matricea

=

aa

aaA

111111

)( şi sistemul

=++=++=++

111

azyxzayxzyax

.

a) Să se calculeze determinatul matricei ),(aA a∈ . b) Să se determine a∈ pentru care sistemul dat poate fi rezolvat prin metoda

Cramer. c) Pentru a=0, să rezolve sistemul.

2. Se consideră sistemul

−=+++−=+−

−=++

232)1(225

32

zyxmzyx

mzymxunde m este un parametru real.

a) Să se determine ,m∈ ştiind că .1232112511

−=+

−m

m

b) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să admită soluţia )3;2;1( − . c) Pentru m = -1 să se rezolve sistemul de ecuaţii.

3. Se consideră sistemul de ecuaţii

=+−=++

−=+−

1442

332

zymxzyxzyx

unde m este un parametru real.

a) Să se determine ,m∈ astfel încât soluţia sistemului să fie )1;1;2( − .

b) Să se rezolve ecuaţia ,341112321

2 mmm

−=−

−unde m∈ .

c) Pentru m = -5 să se rezolve sistemul de ecuaţii.


=++

=++=++

1412

1

2 zayxazyx

zyx şi matricea

).(4121

111)( 3

2

RMaaaA ∈

=

a) Să se calculeze ( ).)4(det A b) Să se determine a∈ pentru care matricea ( )aA este inversabilă. c) Pentru { }\ 1;2a∈ să se rezolve sistemul.

2


=++

=++

=++

czccyxbzbbyxazaayx

2

2

2

unde , , ,a b c∈ sunt distincte două

câte două. a) Să se rezolve sistemul pentru a = 0, b =1 şi c =2. b) Să se verifice că ( )( )( ),)det( accbbaA −−−= unde A este matricea asociată

sistemului. c) Să se demonstreze că soluţia sistemului nu depinde de numerele reale a, b şi c.

6. Se consideră sistemul ,4452

23

=++=+−=++

zyxazyx

bzyx unde , .a b∈

a) Să se calculeze determinatul matricei asociate sistemului. b) Pentru a= -1 şi b=2 să se rezolve sistemul. c) Să se determine numărul real b, ştiind că ( )000 ;; zyx este soluţie a sistemului şi că

4000 =++ zyx .

7. Se consideră sistemul ( ) ,16)3(2322543

1544

=−++=+++

=++

zayxzyax

zyx unde .a∈

a) Pentru a=1 să se calculeze determinantul matricei asociate sistemului. b) Să se arate că tripletul ( )1;1;7 nu poate fi soluţie a sistemului, .a∀ ∈ c) Să se determine soluţia ( )000 ;; zyx a sistemului pentru care 300 =+ zy .


322

=+−=−+=++

azyxzyx

zyx unde .a∈

a) Să se calculeze determinantul matricei asociate sistemului. b) Pentru a =0 să se rezolve sistemul. c) Să se determine a∈ astfel încât soluţia sistemului să verifice relaţia zyx += .


42332

=+−=++

−=+−

zymxzyxzyx

unde m este un parametru real şi A matricea

sistemului. a) Să se arate că pentru orice m număr real tripletul ( )1;3;0 este soluţie a sistemului. b) Să se determine valorile parametrului real m pentru care sistemul admite soluţie

unică. c) Pentru 3≠m , să se rezolve sistemul.

3


=−−=++−=+−

azxzyxzyx

213

0452, unde a∈ şi notăm cu A

matricea sistemului. a) Să se calculeze determinantul matricei A. b) Pentru a =1 să se rezolve sistemul. c) Să se determine cea mai mică valoare a numărului natural a pentru care soluţia

sistemului este formată din trei numere naturale.


03

=++=+−

=++

zyxmzyxzyx

unde m este un parametru real şi A matricea

sistemului. a) Să se calculeze determinantul matricei A pentru m=1. b) Să se determine parametrul real m ştiind că determinantul matricei sistemului

este nul. c) Pentru 1−≠m să se rezolve sistemul.


=+−=++

−=+−

βα

zyxzyxzyx

74502

5432, unde , ,α β ∈ A matricea

sistemului şi

−

−−=

βα745

0215432

B . Notăm cu ( )βα ,S suma elementelor matricei B.

a) Să se calculeze S(0,0). b) Să se determine parametrii reali α şi β astfel încât determinantul matricei A să

fie nul şi ( ) 2, −=βαS . c) Pentru 0=α şi 0=β să se rezolve sistemul.


16240

−=+−=−+

=−−

zyxzyx

zayx unde a∈ şi matricea sistemului

−−−−

=22124111 a

A .

a) Să se determine valorile reale ale lui a astfel încât matricea A să fie inversabilă. b) Să se calculeze ,2A unde .2 AAA ⋅= . c) Să se rezolve sistemul pentru a =1.

4

14. Se consideră sistemul ,1)3(13)12(

12

=−++=+−+

=++

zaayxzyax

zayx unde a∈ şi matricea sistemului

−−=

31312121

aaaa

A .

a) Să se arate că ( ) 56det 2 +−= aaA . b) Să se rezolve ecuaţia ( ) 0det =A . c) Pentru a =0 să se rezolve sistemul de ecuaţii.


0420

2

=++

=++=++

zyxazyax

zyx unde a∈ şi matricea sistemului

=

16442111

2aaA .

a) Pentru a =1 să se calculeze determinantul matricei A. b) Să se determine mulţimea valorilor reale ale numărului a pentru care ( ) 0det ≠A . c) Să se rezolve sistemul pentru { }\ 2;4a∈ .

16. Se consideră matricele

−=

32012121

aA ,

=

111

B şi

=

zyx

X .

a) Să se scrie sistemul asociat ecuaţiei matriceale AX=B. b) Să se determine a∈ pentru care ( ) 0det =A .

c) Dacă { }\ 2;6a∈ şi ( )000 ;; zyx este soluţia sistemului ,132

1212

=+=++=−+

zyzayx

zyxsă se

demonstreze că 0

0

zx nu depinde de a.

5

17. Fie , ,a b c∈ şi matricea a b c

A c a bb c a

=

. V15

a) Să se calculeze det(A). b) Să se arate că dacă 0a b c+ + ≠ şi A nu este inversabilă în ( )3M , atunci

a b c= = .

c) Să se arate că sistemul de ecuaţii liniare

121212

ax by cz x

cx ay bz y

bx cy az z

+ + = + + = + + =

admite numai

soluţia 0x y z= = = .

18. Se consideră sistemul

1000

x y z tx y z tx y z tx y z t

+ + + = − + + = + − + = + + − =

şi A matricea sistemului. V19

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se rezolve sistemul. c) Să se determine 1A− .

19. Se consideră triunghiul ABC, cu laturile AB=c, BC=a, CA=b şi sistemul ay bx ccx az bbz cy a

+ = + = + =

. V20

a) Să se rezolve sistemul în cazul a=3, b=4,c=5. b) Să se demonstreze că, pentru orice triunghi, sistemul are soluţie unică. c) Ştiind că soluţia sistemului este ( )0 0 0, ,x y z , să se demonstreze că

( )0 0 0, , 1,1x y z ∈ − .

20. Pentru *, ,a b c∈ se consideră sistemul , , ,ax by cz bcx ay bz a x y zbz cy az c

+ + = + + = ∈ + + =

. V21

a) Să se arate că determinantul sistemului este ( )( )2 2 2a b c a b c ab ac bc∆ = + + + + − − − . b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Ştiind că 2 2 2 0a b c ab ac bc+ + − − − = , să se arate că sistemul are o infinitate de

soluţii ( ), ,x y z , astfel încât 2 2 1x y z+ = − .

6

21. Fie sistemul 3 3 3

x y z 0ax by cz 0

a x b y c z 1

+ + =+ + =+ + =

, cu , ,a b c∈ distincte două câte două şi A matricea

sistemului . V22 a) Să se arate că ( ) ( )( )( )( )det A a b c c b c a b a= + + − − − . b) Să se rezolve sistemul în cazul 0a b c+ + ≠ . c) Să se demonstreze că dacă 0a b c+ + = atunci sistemul este incompatibil .

22. Se consideră în 3 sistemul

11 ,

ax y zx ay z ax y az a

+ + = + + = ∈ + + =

. V32

a) Să se arate că determinantul matricei sistemului are valoarea ( )( )22 1a a+ − . b) Să se rezolve sistemul în cazul în care este compatibil determinat. c) Să se rezolve sistemul în cazul 2a = − .

23. Se consideră sistemul *

00 , , ,

0

x y zax by cz a b c

bcx acy abz

+ + = + + = ∈ + + =

şi A matricea sistemului. V39

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se rezolve sistemul, în cazul în care a,b,c sunt distincte două câte două. c) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului, , în cazul în care a b c= ≠ .

24. Pentru , ,p q r∈ , se consideră sistemul

2 3

2 3

2 3

x py p z px qy q z qx ry r z r

+ + = + + = + + =

. V41

a) Să se arate că determinantul sistemului ( )( )( )p q q r r p∆ = − − − . b) Dacă p,q,r sunt distincte să se rezolve sistemul. c) Să se arate că, dacă sistemul are soluţia ( )1,1,1− , atunci cel puţin două dintre

numerele p,q,r sunt egale.

25. Se consideră a∈ , sistemul 1

1

x ayy az ax z

+ = + = + =

şi A matricea sa. V49

a) Să se arate că det 0A ≠ . b) Să se arate că soluţia sistemului este formată din trei numere în progresie

geometrică. c) Să se determine inversa matricei A.

26. Se consideră sistemul 0

3 2 0 ,4 0

mx y zx y z m

x y z

+ + = + + = ∈− − + =

. V59

a) Să se determine m∈ , pentru care matricea sistemului are determinantul nenul. b) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să admită cel puţin două soluţii.

7

c) Să se determine m∈ , pentru care dreptele 1 2 3: 1 0, : 3 2 0, : 4 0d mx y d x y d x y+ + = + + = − − + = sunt concurente.

27. Fie sistemul x y z 1

x my z 1x my mz 2

+ + =+ + =

+ + = −, cu m∈ şi matricea

1 1 11 11

=

A mm m

.V67

a) Să se calculeze ( )det A . b) Să se arate că ( )rang A 2≠ , oricare ar fi m∈ . c) Să se determine valorile întregi ale lui m 1≠ , pentru care sistemul are soluţie cu

componente întregi.

28. Se consideră sistemul ( )

( )( )

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

, ,

x ay a b z a b

x a y a b z a b unde a b

x a y a b z a b

+ + + = + + + + = + ∈

+ + + = +

. V86

a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului. b) Să se determine ,a b∈ astfel încât sistemul să fie compatibil determinat. c) Să se arate că, pentru orice valori reale ale parametrilor a şi b sistemul are

soluţie.

29. Fie sistemul de ecuaţii liniare 1

2 ,0

mx y zx y z mx y z

+ − = + − = ∈− + + =

. V98

a) Să se determine m∈ astfel încât matricea sistemului să aibă rangul 2. b) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să aibă soluţii ( ) 3

0 0 0, ,x y z ∈ care verifică relaţia 0 0 0 4x y z+ + = .

c) Să se determine m∈ astfel încât sistemul să aibă o soluţie unică ( ) 3

0 0 0, ,x y z ∈

30. Fie sistemul ( )a 1

x y az 1x 2ay z 1

2ax y z 0

+

+ + =+ + = −+ + =

unde , ,x y z∈ şi a este parametru real. Bac2010

a) Rezolvaţi sistemul pentru 0a = . b) Verificaţi dacă pentru 1a = − sistemul este compatibil. c) Determinaţi a∈ pentru care sistemul are soluţie unică.

c r a m e r

Documents

Transcript of c r a m e r