4. Se consideră polinomul 3 3f X mX= + − , unde m este număr real.

a) Pentru 2m = , arătaţi că ( )1 0f = .

b) Determinaţi numărul real m , ştiind că polinomul f este divizibil cu 1X + .

c) Arătaţi că, pentru orice număr real strict pozitiv m , polinomul f are două rădăcini de module egale.

2. Se consideră polinomul f = X 3+2X 2

+ X +m , unde m este număr real.

a) Arătaţi că f (0) = m .

b) Pentru m =1, arătați că x13 3 3+ x2 + x3 = 5x1x2x3 , unde x1, x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f .

c) Determinaţi numărul natural prim m , știind că polinomul f are o rădăcină întreagă.

1. Se consideră polinomul f = X 3 − 5X 2 + 5X −1 .

a) Arătați că f (1) = 0 .

b) Arătați că f (a) + f (−a) + 2 ≤ 0 , pentru orice număr real a .

c) Demonstrați că x12 2 2+ x2 + x3 =15x1x2x3 , unde x1, x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f .

5. Se consideră polinomul f = X 3 + 2X 2 − 6X + 3 .

a) Arătați că f (1) = 0 .

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + 3X − 3.

c) Demonstrați că 1 2 31 2 3

1 1 1 0x x xx x x

+ + + + + = , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f .

7. Se consideră polinomul f = X 3 − X + a , unde a este număr întreg.

a) Pentru a = −2 , calculaţi f (2) .

b) Arătaţi că x2 2 21 2 3+ x + x = 2 , unde 1 2 3x , x , x sunt rădăcinile polinomului f .

c) Arătaţi că, dacă polinomul f are o rădăcină întreagă, atunci a este multiplu de 6.

3. Se consideră 1 2x , x și 3x rădăcinile complexe ale polinomului f = X 3 + X 2 + mX + m , unde meste un număr real. a) Arătați că f este divizibil cu X +1, pentru orice număr real m .

b) Determinați numărul real m pentru care x2 2 21 2 3+ x + x =11.

c) Determinați valorile reale ale lui m știind că 1 2 3x = x = x .

6. Se notează cu x1, x2 , x3 rădăcinile din ℂ ale polinomului 3f = X + X −m , unde m este un număr real.

a) DeterminaŃi m astfel încât restul împărŃirii polinomului f (X ) la X −1 să fie egal cu 8.

b) ArătaŃi că numărul x12 2 2+ x2 + x3 este întreg, pentru orice m∈ℝ .

c) În cazul m = 2 determinaŃi patru numere întregi a,b,c,d , cu a > 0 , astfel încât polinomul

3 2g = aX + bX + cX + d să aibă rădăcinile 1 2 3

1 1 1, ,

x x x.

8. Se consideră polinomul f = X 3 − mX 2 + 3X −1, unde m este număr real.

a) Calculați f (2) − f (−2) .

b) Determinaţi restul împărţirii lui f la X + 2 , ştiind că restul împărţirii polinomului f la X − 2este egal cu 9.

c) Determinaţi numerele reale m pentru care x13 + x2

3 + x33 = 3 , unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile

polinomului f .

11. Se consideră polinomul 3 22 2f X X X m= − + + , unde m este număr real.

a) Arătați că ( )0f m= .

b) Pentru 1m = − , demonstrați că ( )1 2 31 2 3

1 1 1 4x x xx x x

+ + + + =

, unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile

polinomului f .

c) Arătați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

9. Se consideră polinomul f = X 3 − mX + 2 , unde m este număr real.

a) Arătați că f (0) = 2 .

b) Determinați numărul real m , știind că restul împărțirii lui f la polinomul g = X 2 + X − 2 esteegal cu 0 .

c) Demonstrați că x13 3 3+ x2 + x3 = −6 , pentru orice număr real m , unde x1 , x2 şi x3 sunt rădăcinile

polinomului f .

12. Se consideră polinomul f = X 3 − 2X 2 − 2X +1 .

a) Arătaţi că f (1) = −2 .

b) Arătaţi că polinomul f este divizibil cu polinomul X +1.

c) Determinaţi numărul real a pentru care ( )1 2 2 3 3 11 2 2 3 3 1

1 1 1a x x + x x + x x

x x x x x x+ + = , unde x1 , x2 și

x3 sunt rădăcinile polinomului f .

10. Se consideră polinomul f = X 3 − 4X 2 + mX + 2 , unde m este număr real.

a) Arătaţi că f (0) = 2 .

b) Determinați numărul real m pentru c are x1= x2 + x3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinilepolinomului f .

c) Pentru m = 8 , arătați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

13. Se consideră polinomul f = X 3 − 2X 2 − 2X + m , unde m este număr real.

a) Pentru m = 3 , calculaţi f (1) .

b) Determinaţi numărul real m ştiind că restul împărţirii polinomului f la X − 2 este egal cu 2.

c) Pentru m = 4 , arătaţi că ( )1 2 31 2 3

1 1 11x + x + x

x x x

+ + =

, unde 1 2 3x , x , x sunt rădăcinile

14. Se consideră x1,x2,x3 rădăcinile complexe ale polinomului f = X 3 − 4X 2 + 3X − m , unde m estenumăr real. a) Pentru m = 4 , arătaţi că f (4) = 8 .

b) Determinaţi numărul real m pentru care r ădăcinile polinomului f verific ă relaţia x1 + x2 = x3 .

c) Dacă x13 + x2

3 + x33 = 7(x1 + x2 + x3) , arătaţi că f se divide cu X − 3 .

16.Se consideră polinomul 3 25 5f X X X= + + + .

a) Arătați că ( )5 0f − = .

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 6 5X X+ + .

c) Demonstrați că 3 2 1

1 2 1 3 2 3

23

5

x x x

x x x x x x+ + = − , unde 1x , 2x şi 3x sunt rădăcinile polinomului f .

17.Se consideră polinomul 3 2f = X +mX +mX +1 , unde m este un număr real.

a) Calculaţi f (−1) .

b) Determinaţi numărul real m ştiind că 2 2 2x1 + x2 + x3 = −1 , unde x1, x2 , x3 sunt rădăcinile complexe

ale polinomului f .

c) Determinaţi valorile reale ale lui m pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt reale.

15. Se consideră 1x , 2x , 3x rădăcinile complexe ale polinomului 3f X X a , unde a este număr

real.

a) Pentru a 2 , arătaţi că f 1 0 .

b) Determinaţi numărul real a , ştiind că 1 2 32 x 2 x 2 x 2 .

c) Pentru a 0 , determinaţi un polinom de grad trei, având coeficienţii reali, care are rădăcinile

1 2

1 1

x xşi

3

1

x, .

18. Se consideră polinomul f = X 3 − 6X 2 + mX − 6 , unde m este număr real.

a) Calculați f (0) .

b) Arătaţi că1 2 1 3 2 3

1 1 11

x x x x x x+ + = ştiind că x1, x2 şi x3 sunt rădăcinile polinomului f .

c) Determina ţi numărul real m știind că r ădăcinile polinomului f sunt trei numere întregiconsecutive.

19.Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 + 4X + 4 .

a) Arătați că f (−1) = 0 .

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + 3X + 2 .

c) Demonstrați că1 2 3 1 2 2 3 3 1

1 1 1 1 1 1

4x x x x x x x x x+ + + + +

3= − , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile

polinomului f .

_

20. Se consideră polinomul f = X 3 − X 2 + aX + 2 , unde a este număr real.

a) Arătați că f (−1) + f (1) = 2 , pentru orice număr real a .

b) Determinați numărul real a , pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X 2 − 2X + 2 .

c) Demonstrați că x13 3 3+ x2 + x3 + 3x1x2 + 3x2x3 + 3x1x3 = −5 , pentru orice număr real a , unde x1 , x2

și x3 sunt r ădăcinile polinomului f .

21.Se consideră polinomul f = X 3 − 4X 2 + mX + 4 , unde m este număr real.

a) Arătați că f (−1) + f (1) = 0 , pentru orice număr real m .

b) Pentru m = −1, arătați că polinomul f se divide cu polinomul X 2 −1.

c) Determinați numărul real m , știind că x2 + x2 21 2 3

1 2 3

1 1 1+ x − 4 0x x x

+ + =

, unde x1 , x2 și x3 sunt

rădăcinile polinomului f .

22. Se consideră polinomul f = X 3 − 5X + a , unde a este număr real.

a) Arătați că f (0) = a .

b) Determinați numărul real a pentru care x13 3 3+ x2 + x3 = 2016 − 4a , unde x1, x2 și x3 sunt rădăcinile

polinomului f .

c) Demonstrați că polinomul f are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

23. Se consideră polinomul f = X 3 − 2X 2 − 2X +1 .

a) Arătați că f (1) = −2 .

b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X +1.

c) Demonstrați că ( x2 + x3 )( x3 + x1)( x1 + x2 ) = −3 , unde x1, x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f .

24. Se consideră polinomul f = X 3 + 5X 2 − 4 .

a) Arătați că f (1) = 2 .

b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X +1.

c) Demonstrați că x2 3 3 1 1 2

1 2 33

+ x x + x x + x

x x x++ = − , unde x1, x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f .

25. Se consideră polinomul f = X 3 − 4X 2 + mX + 4 , unde m este număr real.

a) Arătați că f (−1) + f (1) = 0 , pentru orice număr real m .

b) Pentru m = −1, arătați că polinomul f se divide cu polinomul X 2 −1.

c) Determinați numărul real m , știind că x2 2 21 2 3

1 2 3

1 1 1+ x + x − 4 0x x x

+ + =

, unde x1 , x2 și x3 sunt

rădăcinile polinomului f .

4321x , x , x , xFie polinomul f = X 4 + aX 3 + aX + 1, unde a un este număr real şi rădăcinile polinomului.

a) Determinaţi valorile lui a pentru care 124

23

22

21x + x + x + x = .

b) Calculaţi4

24

3

23

2

22

1

21 1111x x x x

xxxx −+

−+

−+

−.

c) Calculaţi ( ( )( )43211− 2x 1−)( 2x 1−) 2x 1− 2x .

26.

Se consideră numărul real a şi ecuaţia x3 - x- a=0, cu rădăcinile complexe x1� x2� x3

a) Să se calculeze 1 2 3 ( 1x x)( 1)(x 1 ).

b) Să se determine 2x şi 3x ştiind că 1x 2. c) Să se determine a pentru care rădăcinile sunt numere întregi.

Fie polinomul f = X 4 − 4X 2 + X + 2 şi 4321x , x , x , x rădăcinile lui.

a)Calculaţi f − 2( ) ⋅ f (−1) ⋅ f (0) ⋅ f (1) ⋅ f (2) .

c) Arătăţi că ( f ( f ( 0432431421321f x + x + x + x) + x + x + x) + x + x )+ f (x + x + x ) =

27.

28.

b) Calculaţi (1-3x1)(1-3x2)(1-3x3)(1-3x4)

Fie polinomul f = X 5 − 2X + 2 şi 54321x , x , x , x , x rădăcinile sale.

a)Determinaţi restul împărţirii lui f la polinomul X 2 −1.

b)Calculaţi 65

64

63

62

61x + x + x + x + x .

c) Calculaţi ( 25

24

23

22

213 − x )(3 − x )(3 − x )(3 − x )(3 − x ).

29.