BE1_Curs1-2015

Capitolul 1. Concepte generale ale teoriei circuitelor electric 1

1 CONCEPTE GENERALE ALE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE DERIVATE DIN TEORIA CÂMPULUI ELECREOMAGNETIC..............1-3

1.1 Mărimi ale câmpului electromagnetic........................................................1-31.1.1 Mărimi electrice....................................................................................1-3

1.1.1.1 Starea de încărcare electrică. Câmpul electric în vid. Polarizaţia electrică. Câmpul electric în corpuri......1-31.1.1.2 Mărimi globale specifice câmpului electric. Fluxul electric, tensiune electrică, potenţial electric, tensiune electromotoare

1-51.1.2 Mărimi ce caracterizează starea electrocinetică....................................1-7

1.1.2.1Starea electrocinetică. Intensitatea curentului electric de conducţie..1-71.1.2.2Densitate de curent. Repartiţia curentului electric de conducţie. Solenaţie........................................................................................................1-9

1.1.3 Mărimi magnetice...............................................................................1-101.1.3.1Starea de magnetizare. Inducţia magnetică în vid. Magnetizaţie. Câmpul magnetic în corpuri........................................................................1-101.1.3.2Mărimi globale specifice câmpului electric. Fluxul magnetic, tensiune magnetică, tensiune magnetomotoare...............1-13

1.2 Legile teoriei macroscopice a fenomenelor electrice şi magnetice.........1-151.2.1 Sistemul complet şi independent al ecuaţiilor câmpului electromagnetic

1-181.2.2 Clasificarea regimurilor câmpului electromagnetic............................1-20

1.2.2.1Regimul nestaţionar.........................................................................1-201.2.2.2Regimul cvasistaţionar anelectric....................................................1-221.2.2.3Regimul cvasistaţionar amagnetic....................................................1-221.2.2.4Regimul staţionar.............................................................................1-231.2.2.5Regimul static...................................................................................1-23

1.3 Aproximaţiile teoriei circuitelor...............................................................1-231.4 Elemente dipolare de circuit.....................................................................1-26

1.4.1 Clasificarea elementelor dipolare de circuit........................................1-281.4.2 Rezistorul............................................................................................1-31

1.4.2.1Rezistor liniar invariabil în timp......................................................1-311.4.2.2Rezistor liniar variabil în timp.........................................................1-321.4.2.3Rezistor neliniar...............................................................................1-33

1.4.3 Bobina.................................................................................................1-361.4.3.1Energia magnetică acumulată de bobină..........................................1-361.4.3.2Teorema continuităţii fluxului prin bobină......................................1-371.4.3.3Bobina liniară invariabilă în timp....................................................1-371.4.3.4Bobina liniară variabilă în timp (bobina parametrică).....................1-411.4.3.5Bobina neliniară...............................................................................1-421.4.3.6Bobine cuplate magnetic..................................................................1-42

1.4.4 Condensatorul.....................................................................................1-451.4.4.1Energia electrică acumulată de condensator....................................1-45

2 Capitolul 1. Concepte generale ale teoriei circuitelor electrice

1.4.4.2Teorema continuităţii sarcinii electrice pe condensator...................1-461.4.4.3Condensatorul liniar invariabil în timp............................................1-461.4.4.4Condensatorul liniar variabil în timp (condensatorul parametric). .1-501.4.4.5Condensatorul neliniar.....................................................................1-51

1.4.5 Elemente active...................................................................................1-521.5 BIBLIOGRAFIE..........................................Error! Bookmark not defined.


1 CONCEPTE GENERALE ALE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE DERIVATE DIN TEORIA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Teoria circuitelor electrice se poate constitui ca un caz particular al teoriei câmpului electromagnetic. Astfel principalele mărimi ale teoriei circuitelor electrice (potenţial, tensiune electrică, tensiune elecromotoare, intensitatea curentului electric de conducţie, rezistenţă, inductivitate, capacitate, etc.) reprezintă marimi globale ce se obţin din legile şi teoremele specifice câmpului electromagnetic. Din acest motiv s-a considerat oportun prezentarea succintă a unor fenomene, mărimi, legi şi teoreme ale câmpului electromagnetic evidenţiind astfel bazele fizice ale teoriei circuitelor electrice.

1.1 Mărimi ale câmpului electromagnetic

1.1.1 Mărimi electrice

1.1.1.1 Starea de încărcare electrică. Câmpul electric în vid. Polarizaţia electrică. Câmpul electric în corpuri.

Analiza fenomenelor de electrizare a corpurilor, precum şi definirea stării de încărcare electrică sau a interacţiunilor ce se manifestă între corpurile electrizate au condus la introducerea unei mărimi primitive (de stare) care este sarcina electrică notată cu q. Rezultatele experimentale privind electrizarea corpurilor (asociată cu triboelectricitatea) au fost interpretate începând din 1785 de către savantul francez

M ărimile primitive ale câmpului electric

Mărimi globale Unitatea de măsură

sarcina electrică q coulomb [C]momentul electric coulomb-metru [Cm]

Mărimi locale Unitatea de măsură

în vid:intensitatea câmpului electric volt/metru [V/m] în corpuri:intensitatea câmpului electric inducţia electrică coulomb/metru2 [C/m2]


C.A. Coulomb de la care a rămas şi numele unităţii de măsură în SI (Sistemul Internaţionl de unităţi de măsură) pentru sarcina electrică:

[q]=1C (coulomb)

O interpetare mai profundă a stării de electrizare a fost posibilă după descoperirea

sarcinii elementare a electonului (e = -1,6.10-19C) de către fizicianul englez J.J. Thomson în 1881. Astfel sarcina electrică a unui corp este întotdeauna multiplu întreg de sarcină elementară:

1._(1) q = n|e| ; cu n număr natural,

şi poate fi deci asociată cu un excedent (sau un deficit) de sarcini electrice elementare pozitive (pozitroni) în raport cu cele negative (electroni). Este evident faptul că sarcina electrică, ce caracterizeaza starea de electrizare, este întotdeauna legată de materie deoarece toate particulele elementare încărcate au masă nenulă. Rezultă, de asemenea, următoarele proprietăţi importante:

sarcina electrică poate fi pozitivă, negativă sau nulă. Se pot defini atfel elementele simetrice şi elementul neutru în raport cu o relaţie de tip aditiv;

sarcina electrică a unui sistem este o mărime extensivă, reprezentând suma algebrică a sacinilor elementare din care este constituită;

sarcina electrică are un caracter conservativ: sarcina electrică totală a unui sistem nu poate fi nici distrusă nici creată. Astfel pentru un sistem izolat (închis) variaţia în timp a sarcinii electrice totale este nulă:

Se poate spune că într-o regiune din spaţiu există un câmp electric dacă asupra unui corp de probă (corp punctiform, staţionar) încărcat cu sarcina q se exercită o forţă

. Se defineşte intensitatea câmpului electric în vid ca fiind raportul dintre forţa ce se exercită asupra corpului de probă şi sarcina acestuia:

1._(2) cu unitatea de măsură volt pe metru [V/m]

Pentru a caracteriza complect starea de electrizare a unui sistem trebuie să cunoaştem distribuţia spaţială a sarcinii iar câmpul electric poate să existe chiar dacă sarcina totală a sistemului este nulă. De exeplu: dipolul electric, caracterizat de momentul electric , deşi are sarcina totală nulă interacţionează cu alte corpuri electrizte. În corpuri (în dielectrici în special), câmpul electric se datorează atât sarcinii electrice (concentrată sau distribită) cât şi polarizaţiei electrice, definită ca densitatea de volum a momentului electric:


1._(3) , cu dV elementul de volum

Astfel, pentru a caracteriza câmpul electric în corpuri sunt necesare ( în general) două mărimi vectoriale: intensitatea câmpului electric şi respectiv inducţia electrică . Perechea de mărimi şi depinde de polariţia electrică conform legii legăturii , , : ; în care 0 este permitivitatea vidului, este polarizaţia electrică permanentă iar este polarizaţia electrică temporară determinată de existenţa câmpului electric. Pentru medii liniare, omogene şi izotrope, legea legăturii , , devine []:

1._(4) , unde este permitivitatea mediului respectiv măsurată în farad/metru [F/m]

1.1.1.2 Mărimi globale specifice câmpului electric. Fluxul electric, tensiune electrică, potenţial electric, tensiune electromotoare

Pentru a caracteriza la nivel global structura câmpului electric sunt necesare două mărimi globale, şi anume integrala se suprafaţă şi integrala de linie ale câmpului 1. Integrala de supraţa reprezintă fluxul iar cea de linie reprezintă tensiunea electrică.

Fluxul electricFluxul electric S reprezintă totalitatea liniilor de câmp electric ce traversează o suprafaţă dată, considerate după direcţia normală la acea suprafaţă (figura 1.1). Fluxul electric prin suprafaţa S este o mărime scalară dată de relaţia:

1._(5)

Fluxul electric printr-o suprafaţă închisă , conform legii fluxului electric (sau teorema lui Gauss), este egal cu sarcina echivalentă totală q

din interiorul suprafeţei considerate:

1._(6)

1 Acestor mărimi globale le corespund mărimile locale (diferenţiale) divergenţa şi respectiv rotorul vectorului câmp. În conformitate cu teorema fundamentală a câmpurilor vectoriale, determinarea în orice punct a câmpului de vectori presupune cunoaşterea celor două mărimi locale.

Figura 1.1. Definirea fluxului electric

dA

S

q .

Fluxul electric printr-o suprafaţă S ce se sprijină pe o curbă închisă

Fluxul electric printr-o suprafaţă închisă egal cu sarcina electrică echivalentă din interior


Relaţia 1._(6) evidenţiază faptul că liniile de câmp electric sunt linii deschise (pleacă de pe sarcinile electrice pozitive şi ajung pe cele negative) iar unitatea de măsură pentru fluxul electric este coulombul, aceiaşi cu cea a sarcinii electrice.

Tensiune electrică, potenţial electric, tensiune electromotoareDacă prin intensitatea câmpului electric sunt puse în evidenţă interacţiunile care apar între, sau asupra, corpurilor electrizate ( ), tensiunea electrică dintre două puncte evidenţiază potenţialele transformări de energie în câmp electric. Tensiunea electrică uAB, definită ca circulaţia intensităţii câmpului electric pe o curbă între punctele A şi B (figura 1.2) este o mărine integrală care se măsoară (în SI) în volţi

(V) :

1._(7)

În conformitate cu relaţiile 1._(2) şi 1._(7), tensiunea electrică poate fi interpretată ca fiind egală cu raportul dintre lucrul mecanic LAB necesar pentru deplasarea unui corp de probă, încărcat cu sarcina electrică q, între punctele A, B de-a lungul unei curbe , şi sarcina acelui corp de probă:

1._(8)

Dacă se consideră un referenţial (de exemplu punctul de la infinit) atunci unui punct A din spaţiu i se poate asocia un potenţial electric vA definit ca fiind egal cu raportul dintre lucrul mecanic LA necesar pentru deplasarea unui corp de probă, încărcat cu sarcina electrică q, din punctul A la infinit de-a lungul unei curbe , şi sarcina acelui corp de probă:

1._(9)

Din definiţiile prezentate rezultă că tensiunea electrică dintre două puncte se poate exprima ca diferenţa dintre potenţialele celor două puncte2:

1._(10)

2 Datorită acestei proprietăţi tensiunea electrică se mai numeşte şi diferenţă de potenţial.

Figura 1.2. Tensiune electrică, tensiune electromotoare, linii echipotenţiale

E

s

d

AB

E

s

dV=constant

Definirea tensiunii electrice şi a tensiunii electromotoare

Liniile echipotenţiale (v=constant) ortogonale liniilor de câmp electric


Ţinând seama de relaţia 1._(7), circulaţia intensităţii câmpului electric pe o orice curbă ortogonală liniilor de câmp electric este nulă (produsul scalar ) şi deci tensiunea electrică între oricare două puncte de pe această curbă este nulă (

) sau altfel spus, potenţialul pe această curbă este constant (). Rezultă că liniile echipotenţiale sunt ortogonale pe liniile de

câmp electric (figura 1.2.).Tensiunea electromotoare (t.e.m) e, este defintă ca fiind circulaţia intensităţii câmpului electric pe o curbă închisă,

1._(11)

şi evidenţiază existenţa unor surse de energie electrică. Intradevăr, în conformitate cu cele prezentate, t.e.m este nenulă doar pentru câmpul electric neconservativ şi este, fie imprimat de diferite neomogeneităţi (de exemplu de natură electrochimică, de temperatură, de concentraţie, etc.) fie indus de un câmp magnetic variabil în timp (conform legii inducţiei electromagnetice). În prima situaţie vorbim de câmp electric imprimat, , şi este cazul surselor electrochimice, a termo-elementelor, a celulelor solare, etc. iar în cea de a doua de câmp electric solenoidal, , şi este cazul generatoarelor elctrice prin iducţie (alternatoare, generatoare sincrone, generatoare asincrone, etc.). În consecinţă, în cazul cel mai general, intensitatea câmpului electric total ( ) are trei componente, conservativă (câmpul electric coulombian ), imprimată şi respectiv solenoldală iar relaţia 1._(11) devine:

1._(12)

1.1.2 Mărimi ce caracterizează starea electrocinetică

1.1.2.1 Starea electrocinetică. Intensitatea curentului electric de conducţie

Mediile conductoare sunt caracterizate de existenţa unor sarcini libere cum ar fi electronii colectivizaţi în metale sau ionii din soluţiile electrochimice. Dacă printr-un procedeu adecvat în conductor se imprimă (sau se induce) un câmp electric atunci asupra sarcinii libere se exercită forţe de natură electrică de forma , unde q este sarcina purtătorilor liberi. Sub acţiunea acestor forţe, sarcinile libere sunt antrenate într-o mişcare ordonată care poate să conducă la apariţia unor noi efecte cum ar fi

M ărimile primitive ale stării electrocinetice

Mărimea globală Unitatea de măsură

intensitatea curentului electric i amper [A]de conducţie


existenţa unor diferenţe de potenţial între diferite părţi ale conductorului – efectul electric, încălzirea conductorului – efectul caloric, interacţiunea cu un ac magnetic – efectul magnetic, interacţiunea cu alte conductoare afelate în aceiaşi stare – efectul mecanic, declanşarea unor reacţii chimice (în cazul soluţiilor electrochimice) – efectul chimic sau emisia unor radiaţii luminoase (prin descărcări în gaze sau prin incandescenţă) – efectul luminos. Conductoarele în stare electrocinetică neînsoţite de efecte chimice poartă denumirea de conductoare de prima speţă iar cele în care se manifestă efectele chimice se numesc conductoare de speţa a doua.Starea în care se manifestă cel puţin unul dintre aceste efecte generate de mişcarea ordonată a sarcinii electrice în conductor, poartă denumirea de stare electrocinetică. Fluxul total al sarcinilor libere ce traversează orice secţiune a conductorului în unitatea de timp se numeşte curent electric de conducţie iar mărimea fizică (globală) ce caracterizează starea electrocinetică este intensitatea curentului electric de conducţie şi se notează, în general, cu i. Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric este amperul (A) şi este o unitate de măsură fundamentală în SI.Intensitatea curentului electric de conducţie este o mărime primitivă scalară introdusă în teorie pe cale experimentală prin analiza efectelor pe care le produce. Totuşi, ţinând seama de interpretarea microscopică simplificată a curentului electric de conductie ca o mişcare ordonată de sarcină liberă sub acţiunea câmpului electric, curentul electric de conducţie i(t) se poate exprima ca fiind egal cu viteza de variaţie în timp a srcinii q prin orice secţiune transversală a conductorului3:

1._(13)

Relaţia 1._(13) asociază curentului un sens de referinţă ce corespunde transmisiei de sarcină printr-o secţiune transversală a conductorului. Prin integrarea relaţiei 1._(13), se deduce sarcina ce traversează o secţiune a conductorului:

1._(14)

3 Legătura dintre curentul electric şi sarcină electrică (generalizată) este fundamentată de legea conservării sarcinii electrice: curentul care iese

dintr-o suprafaţă inchisă este egală cu viteza de scădere a sarcinii din interiorul acelei suprafeţe: .


1.1.2.2 Densitate de curent. Repartiţia curentului electric de conducţie. Solenaţie Intensitatea curentului electric de conducţie este o mărime globală fiind aceiaşi în orice secţiune a conductorului. Repartiţia curentului în conductor depinde de forma şi tipul conductorului şi este reprezentată de liniile de curent după cum se prezintă în figura 1.3. Mărimea vectorială tangentă în orice punct la linia de curent, caracterizând astfel la nivel local curentul electric de conducţie, se numeşte densitatea curentului electric de conducţie . Intensitatea curentului electric electric de conducţie reprezintă deci fluxul densităţii de curent prin orice suprafaţă S ce se sprijină pe o curba trasată pe suprafaţa exterioară a conductorului (figura 1.3):

1._(15)

Unitatea de măsură în SI pentru densitatea curentului electric este amper pe metru pătrat (A/m2). În cazul în care curentul este repartizat uniform în secţiune, denitatea de curent în secţiunea transversală de arie A este:

1._(16)

Un caz particular al repartiţiei curentului electric de conducţie este cel al suprafeţelor conductoare pentru care repartiţia numai pe suprafaţă a curentului conduce la aşa numita pânză de curent Error: Reference source not found. În acest caz relaţia 1._(15) devine:

1._(17)

unde este densitatea pânzei de curent iar este elementul de deplasare de-a lungul unei linii L a pânzei de curent. În SI, densitatea pânzei de curent se măsoară în amperi le metru (A/m). Dacă în domeniul considerat, o suprafaţă S ce se sprijină pe o curbă interceptează conductoare masive cu densitatea de curent , pânze de curent de densitate şi respectiv conductoare filiforme parcurse de curenţii ik, atunci curentul total asociat suprafeţei S poartă denumirea de solenaţia S asociată suprafeţei S , şi are expresia:

i

Figura 1.3. Densitatea curentului electric de conducţie

S


1._(18)

Solenaţia este o mărime globală, similară curentului electric, având ca unitate de măsură amperul. Ea apare în special în caracterizarea bobinelor astfel încât o secţiune transversală S

printr-o bobină cu N spire interceptează de N ori curentul i al bobinei şi deci solenaţia bobinei este (figura 1.4.):

1._(19)

Datorită relaţiei 1._(19) pentru solenaţia unei bobine se utilizează şi unitatea de măsură denumită amperspiră (Asp).

1.1.3 Mărimi magnetice

1.1.3.1 Starea de magnetizare. Inducţia magnetică în vid. Magnetizaţie. Câmpul magnetic în corpuri.

Satrea de magnetizare se evidenţiază la nivel experimental în primul rând prin interacţiunile ce se manifestă între anumite corpuri, ca de exemplu, cristalele de magnetită (Fe3O4), precum şi prin acţiunea asupra altor corpuri din fier, cobalt, nichel etc. Aceste corpuri, cu numele generic de magneţi, generează în spaţiul ce le înconjoară un câmp de forţe numit câmp magnetic. Un exeplu sugestiv este câmpul magnetic terestru a cărui structură este pusă în evidenţă cu ajutorul unui insrument devenit clasic: busola. Acul busolei reprezintă un mic corp magnetizat (un dipol magnetic) care sub acţiunea câmpului magnetic terestru se orientează în direcţia liniilor de câmp. Starea de magnetizare a unui corp poate fi permanentă (maneţii permanenţi) sau dobândită prin acţiunea câmpului magnetic

S

NiS

N

i

Figura 1.4. Solenaţia unei bobine

M ărimile primitive ale câmpului magnetic

Mărimi globale Unitatea de măsură

momentul magnetic amper-metru2 [Am2]

Mărimi locale Unitatea de măsură

în vid:inducţia magnetică tesla

[T] în corpuri: inducţia magnetică

intensitatea câmpului magnetic amper/metru

[A/m]

Curs 2


asupra corpului respectiv. Starea de magnetizare este caracterizată de o mărime primitivă vectorială denumită moment magnetic4 . În SI, momentul magnetic se măsoară în amper-metru2 [Am2].Fenomenele magnetice au fost studiate iniţial pornind de la proprietăţile magneţilor permanenţi, iar legătuta dintre magnetism şi electricitate a fost stabilită de Oerstedt care a pus în evidenţă, pe cale experimentală, efectul magnetic al curentului electric. În prezent magnetrismul materialelor (feromagnetice) din care sunt alcătuiţi magneţii permanenţi este atribuit curenţilor microscopici de la nivelul atomic sau molecular. În cazul unei bobine, câmpul magnetic se datorează curentului electric din spirele bobinei. Ca urmare a celor prezentate se poate spune că fenomenul test pentru detectarea (sau definirea) mărimilor ce caracterizează câmpul magnetic în vid constă din exercitarea de forţe şi/sau cupluri asupra corpurilor magnetizate, asupra corpurilor încărcate cu sarcină electrică aflate în mişcare sau asupra conductoarelor parcurse de curent electric de conducţie situate în câmp magnetic. Mărimea vectorială de stare ce caracterizează câmpul magnetic în vid este inducţia magnetică în vid .Astfel, dacă în definiţia lui folosim ca fenomen test forţa Lorentz ce se exercită asupra unui corp de probă încărcat cu sarcina electrică q, ce se deplasează cu viteza în câmp magnetic (figura 1.5.a),

1._(20)

atunci modulul inducţiei magnetice în vid este egal cu raportul dintre valoarea

maximă a forţei Lorentz (obţinută prin orientarea corespunzătoare a vitezei corpului de probă) şi produsul qv:

1._(21)

În mod similar pentru definirea (detectarea) inducţiei magnetice în vid, se poate folsi ca fenomen test forţa elecreomagnetică ce se exercită asupra unui conductor de lungime l parcurs de curentul electric i aflat în câmp magnetic (figura 1.5.b):

1._(22)

4 Spre deosebire de câmpul electric , în cazul câmpului magnetic nu există sarcină magnetică ci doar dipol magnetic caracterizat de momentul magnetic echivalent.

Figura 1.5. Definirea inducţiei magnetice în vid

a. În raport cu forţa Lorentz

vB

LF vB

b. În raport cu forţa electromagnetică

q


În acest caz modulul inducţiei magnetice în vid este egal cu raportul dintre valoarea maximă a forţei electromagnetice (obţinută prin orientarea corespunzătoare a conductorului în câmp) şi produsul il:

1._(23)

Relaţiile 1._(21) şi 1._(23) se numesc relaţii de detectare a inducţiei magnetice în vid iar datorită modului experimental de definire a lui rezultă că această mărime este o mărime primitivă. Unitatea de măsură pentru inducţia magnetică în SI este tesla [T].Starea de magnetizare este, după cum s-a arătat, caracterizată la nivel global de momentul magnetic echivalent. Prin fragmentarea (macroscopică) a unui corp magnetizat rezultă de asemenea corpuri magnetizate iar fiecare fragment astfel obţinut este caracterizat de un moment magnetic dependent de volumul fragmentului respectiv. Pentru a caracteriza local (într-un punct) starea de magnetizare a unui corp finit, se defineşte o mărime vectorială egală cu densitatea de volum a momentului magnetic. Această mărime se numeşte magnetizaţie şi se notează cu :

1._(24) , cu dV elementul de volum

Magnetizaţia are o componentă permanentă (specifică magneţilor permanenţi) şi una temporară datorată câmpului magnetic aplicat. Magnetizaţia se măsoară în SI în amper/metru [A/m].Corpurile sub formă de foli de grosime foarte mică în raport cu suprafaţa, poartă denumirea de foiţe magnetice iar în acest caz se defineşte o magnetizaţie de suprafaţă (sau superficială) definită ca densitatea de suprafaţă a momentului magnetic:

1._(25) , cu dA elementul de suprafaţă şi unitatea de măsură

amper [A].

Pentru a caracteriza câmpul magnetic în corpuri, în condiţiile existenţei vectorului magnetizaţie, sunt necesare două mărimi vectoriale: inducţia magnetică şi respectiv intensitatea câmpului magnetic . Mărimile şi depind de magnetizaţie conform legii legăturii , , : ; în care 0

este permeabilitatea magnetică a vidului, este magnetizaţia permanentă iar este magnetizaţia temporară determinată de existenţa câmpului magnetic.

Pentru medii liniare, omogene şi izotrope, legea legăturii , , devine:


1._(26) , unde este permeabilitatea magnetică a mediului măsurată în newton/amper2 [N/A2]

Intensitatea câmpului magnetic în corpuri este o mărime primitivă, interodusă prin experiment, şi se măsoară în SI în amper/metru [A/m].

1.1.3.2 Mărimi globale specifice câmpului electric. Fluxul magnetic, tensiune magnetică, tensiune magnetomotoare

Ca şi în cazul câmpului electric (cap 1.1.1.2) pentru a caracteriza la nivel global structura câmpului magnetic, este necesară cunoaşterea fluxului şi respectiv a tensiunii magnetice.

Fluxul magneticFluxul magnetic S prin suprafaţa S

(figura 1.6) este dat de relaţia :

1._(27)

Spre deosebire de fluxul electric, fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă conform legii fluxului magnetic, este nul neexistând sarcină magnetică:

1._(28)

Relaţia 1._(28) evidenţiază faptul că liniile de câmp mgnetic (în vid) sunt linii închise. Fluxul magnetic este o mărime scalară iar unitatea de măsură în SI este weber-ul [Wb].

Tensiune magnetică, potenţial magnetic, tensiune magnetomotoareTensiunea magnetică dintre două puncte A şi B aflate în câmp magnetic reprezintă circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă între cele două puncte (figura 1.7):

1._(29)

Dacă în domeniul de analiză se introduce un referenţial, atunci se poate

.

Figura 1.6. Definirea fluxului magnetic

Fluxul magnetic printr-o suprafaţă S ce se sprijină pe o curbă închisă

Fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă este nul (liniile de câmp magnetic sunt linii închise)

dA

S

Figura 1.7. Tensiune magnetică, tensiune magnetomotoare, linii echipotenţiale

s

d

AB

s

d Vm=const.

Definirea tensiunii magnetice şi a tensiunii magnetomotoare

Liniile echipotenţiale (Vm=const.) ortogonale liniilor de câmp magnetic


defini potenţialul mgnetic VmA al unui punct A, raportat la potenţialul magnetic al punctului de referinţă Vm0, prin relaţia:

1._(30) ,

iar tensiunea magnetică umAB poate exprima ca difernţa dintre potenţialele magnetice ale celor două puncte:

1._(31)

Circulaţia intensităţii câmpului magnetic pe o curbă , închisă, se numeşte tensiunea magnetomotoare um :

1._(32)

Referitor la tensiunea magnetomoroare, o concluzie deosebit de importantă este subliniată de teorema lui Ampere : tensiunea magnetomotoare um de-a lungul unei curbe închise trasată în vid, este egală cu curentul total iS (respectiv solenaţia S conform definiţiei 1._(18)) ce traversează orice suprafaţă S ce se sprijină pe curba :

1._(33)

Relaţia 1._(33) defineşte amperul [A] ca unitate de măsură în SI pentru tensiunea magnetică sau magnetomotoare, aceiaşi ca şi pentru curentul electric de conducţie. Totodată relaţia 1._(33) permite introducerea unităţii de măsură în SI pentru intensitatea câmpului magnetic şi anume amper/metru [A/m].


1.2 Legile teoriei macroscopice a fenomenelor electrice şi magneticeTeoria câmpului electromagnetic este guvernată de opt legi generale. Dintre acestea se deosebesc cinci legi de stare, ce stabilesc relaţii între mărimile de stare ale câmpului electric sau magnetic şi respectiv trei legi de evoluţie care exprimă relaţii de tip cauzal între evenimente aflate la momente de timp diferite. Legile generale sunt completate de legile de material care evideţiază, prin constantele de material, dependenţa mărimilor electrice sau magnetice de mediul în care sunt localizate fenomenele analizate. Dintre legile de material cele mai importante sunt:

Legea polarizaţiei electrice temporare

Legea magnetizaţiei temporare Legea conducţiei electrice Legile câmpurilor electrice

imprimateÎn tabelul 1.1 sunt prezentate sintetic principale legi ale teoriei câmpului electromagnetic, particularizate pentru mediile liniare omogene şi izotrope.

Tabel 1.1Principale legi ale teoriei câmpului electromagnetic, particularizate pentru mediile liniare omogene şi izotrope.

Legea Forma generalăRelaţii de legătură

Formă uzuală

Observaţii

(1)Legea legăturii


(1) e este susceptivitatea electrică

(2)

este permitivitatea mediului(3) se consideră

(2)Legea fluxului

electric

Forma integrală

(I) Teorema Gauss-Ostrogradsky

(II) Reprtiţia în volum a sarcinii electrice

Forma locală

S-a considerat doar repartiţia în volum a sarcinii electrice qcu densitatea de sarcină de volum v cu unitatea de măsură în SI coulombi/metru3 [C/m3]

Legile generale ale teoriei câmpului electromagnetic

1Legea legăturii legide

stare2Legea fluxului electric3Legea transformării energiei în

conductoare4Legea legăturii 5Legea fluxului magnetic6Legea conservării

sarcinii electricelegide

evoluţie7Legea inducţiei electromagnetice8Legea circuitului magnetic


(3) Legea conducţiei

Forma locală

sau

(I) Definiţia tensiunii

(II) Definiţia curentului

Forma integrală (legea lui

Ohm)

sau

(1) Pentru mediile neomogene intensitatea totală a câmpului electric conţine şi câmpul

electric imprimat

(2) Rezistivitatea respectiv conductivitatea sunt constante de material şi se măsoară în SI în ohm-metru [m] respectiv 1/m(3) R , G=1/R se numesc rezistenţă respectiv conductanţă şi se măsoară în respectiv -1 .

(4)

Legea transformării

energiei în coductoare

Forma locală (I) Definiţia tensiunii(II) Definiţia curentului

Forma integrală

(1) Legea transformării energiei în conductoare este cunoscută şi ca Legea Joule-Lentz

(5)Legea legăturii


(1) m este susceptivitatea magnetică

(2)

este permeabilitatea mediului(3) se consideră

(6)Legea fluxului

magnetic

Forma integrală Teorema Gauss-Ostrogradsky Forma locală (1) liniile câmpului

magnetic sunt linii închise

(7) Legea conservării

sarcinii electrice

Forma integrală (I) Definiţia curentului

(II) Legea fluxului electric (III) Derivata unui flux

Error: Reference

Forma locală


(8)Legea inducţiei

electromagnetice

Forma integrală

(I) Definiţia tensiunii electromotoare:

(II) Teorema Stokes:

(III) Derivata unui flux

Error: Reference source not found

Forma locală

(9)Legea circuitului

magnetic

Forma integrală

(I) Definiţia tensiunii magnetomotoare:

(II) Definiţia solenaţiei

(III) Teorema Stokes:

(IV) Derivata unui flux

Err

or: Reference sourcenot found

Forma locală

1.2.1 Sistemul complet şi independent al ecuaţiilor câmpului electromagnetic

În conformitate cu teorema fundamentală a câmpurilor de vectori Error: Referencesource not found, pentru a determina complet un câmp de vectori este necesar să cunoaştem divergenţa şi rotorul acestui câmp. Pornind de la principalele legi ale teoriei câmpului electromagnetic (Tabel 1.1), se obţine sistemul complet, coerent şi necontradictoriu al ecuaţiilor câmpului electromagnetic după cum se prezită


sintetic în figura 1.8 pentru cazul particular al mediilor (ne)liniare, izotrope şi omogene.Din figura 1.8, se observă că pentru perechea de mărimi electrice , între care există ecuaţia [1] dată de legătura dintre şi polarizaţia electrică temporară , completată de ecuaţia de material [2], intervin ecuaţii ce exprimă divergenţa inducţiei electrice [3] şi respectiv rotorul intensităţii câmpului electric [4].Similar, pentru perechea de mărimi magnetice , între care există ecuaţia [5] dată de legătura dintre şi magnetizaţia temporară , completată de ecuaţia de material [6], intervin ecuaţii ce exprimă divergenţa inducţiei magnetice [7] şi respectiv rotorul intensităţii câmpului magnetic [8]. Deoarece în ecuaţia [8] apare şi vectorul densităţii curentului electric de conducţie , pentru obţinerea sistemului complet de ecuaţii trbuie să se adauge ecuaţia de material [9]. Astfel sistemul complet, coerent şi necontradictoriu al ecuaţiilor câmpului electromagnetic este alcătuit din ecuaţiile [1] - [9] din figura 1.8. Deasemenea, din figura 1.8 se poate observa că ecuaţia [10 ], reprezentată de legea conservării sarcinii electrice, este echivalentă cu ecuaţia [8] deoarece întotdeauna divergenţa unui rotor este nulă ( ).Din punct de vedere al independenţei ecuaţiilor [1]-[9] se poate demonstra că ecuaţia [7] (legea fluxului magnetic) se obţine din ecuaţia [4] (legea inducţiei electromagnetice) şi reciproc, legea inducţiei electromagnetice se poate deduce, până la o constantă de integrare, din legea fluxului magnetic, astfel încât ecuaţiile [4] şi [7] nu sunt independente.Rezultă că sistemul complet şi independent, coerent şi necontradictoriu al ecuaţiilor câmpului electromagnetic nestaţionar în medii (ne)liniare, omogene şi izotrope este format opt ecuaţii dintre care şapte ecuaţii vectoriale şi una scalară:

1._(34)

După cum se poate observa din ecuaţiile 1._(34) intensitatea câmpului electric şi a celui magnetic precum şi inducţiile electrică şi magnetică satisfac ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi neomogene pentru care funcţiile din membru drept sunt densitatea de volum a sarcinii electrice şi respectiv densitatea curentului electric de conducţie . Aceste mărimi reprezintă sursele câmpului electromagnetic.


Sistemul 1._(34) are 22 de ecuaţii scalare cu 22 de necunoscute: câte trei pentru cele şapte mărimi vectoriale şi una pentru densitatea de sarcină de volum care este o mărime scalară. Pentru a determina soluţia unică trebuie să cunoaştem condiţiile pe frontiera domeniului precum şi condiţiile iniţiale ale inducţiilor electrice şi magnetice Error: Referencesource not found.

Pentru mediile liniare, omogene şi izotrope, datorită relaţiilor de proporţionalitate, ecuaţiile de material nu mai intervin şi deci sistemul complet şi independent, coerent şi necontradictoriu al ecuaţiilor câmpului electromagnetic se reduc la cinci ecuaţii de legi dintre care patru ecuaţii vectoriale şi una scalară:

0rotdiv -div

)vD(vt

DJsau

tvJ v

vv

[10]

[3] [1] [5] [7]

[2] [6])E(PP tt

)H(MM tt

tPED

0 )MH(B t

0vD

div 0div B

)vD(vt

DJH v

rotrot )vB(t

BE

rotrot

E

D

B

H

)E(JJ

[4] [8]

[9]

Sistemul complet, coerent şi necontradictoriu al ecuaţiilor câmpului electromagnetic

Figura 1.8. Ecuaaţiile câmpului electromagnetic


1._(35)

unde , şi sunt permitivitatea, permeabilitatea magnetică şi respectiv conductivitatea electrică a mediului considerat liniar, omogen şi izotrop.Pentru medii imobile ( ) cu valori constante pe subdomenii ale mărimilor de material , şi , ecuaţiile 1._(35) devin:

1._(36) [1] [4] [2]

[3] [5]

şi poartă denumirea de ecuaţiile lui Maxwell.

1.2.2 Clasificarea regimurilor câmpului electromagnetic Regimurile câmpului electromagnetic se obţin prin particularizarea sistemului complet de ecuaţii ale câmpului electromagnetic. Pentru a simplifica prezentarea se consideră cazul particular al mediilor imobile, liniare, omogene şi izotrope.

1.2.2.1 Regimul nestaţionarRegimul nestaţionar sau regimul general variabil, descris de ecuaţiile lui Maxwell 1._(36), evidenţiază interdependenţa dintre cele două componente ale câmpului electromagnetic, câmpul electric şi respectiv câmpul magnetic, prin trei legături şi

anume cea dintre şi , cea dintre şi şi respectiv legătura

dintre şi . Astfel câmpul magnetic variabil în timp generează câmp electric variabil care la rândul lui influenţează variaţia în timp a câmpului magnetic generând unde electromagnetice. În acest regim mărimile satisfac ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi de tip hiprbolic şi descriu fenomene de propagare. Regimul nestaţionar al câmpului electromagnetic intervine în studiul radiaţiei şi a propagării undelor electromagnetice.Pentru a se obţine ecuaţia descrisă de intensitatea câmpului electric din sistemul 1._(36) trebuie să se elimine celelalte marimi. Astfel, dacă în relaţia 1._(36)_[3], se aplică operatorul rotor în ambii termeni şi se ţine seama de ecuaţiile 1._(36)_[4], 1._(36)_[5] şi 1._(36)_[2] precum şi de comutativitatea operatorilor de derivare spaţială respectiv temporală, se obţine:

1._(37)


iar dacă se consideră mărimile de material , şi invariabile în timp rezultă:

1._(38)

Prin exprimarea dublului produs vectorial prin diferenţa de produsele scare:

1._(39)

şi ţinând seama de ecuaţia 1._(36)_[2] se obţine ecuaţia descrisă de intensitatea câmpului electric în regim nestaţionar:

1._(40)

Procedând similar se obţine ecuaţia descrisă de intensitatea câmpului magnetic în regim nestaţionar:

1._(41)

care diferă de 1._(40) prin termenul liber care este nul deoarece .În medii în care densitatea de sarcină de volum şi conductivitatea sunt nule (de exemplu în vid) ecuaţiile 1._(40) şi 1._(41) devin:

1._(42) şi respectiv

Deoarece

1._(43)

în care c este viteza luminii în vid, n indicele de refracţie a mediului iar v este viteza de propagare a undelor electromagnetice în mediul considerat, ecuaţiile 1._(42) devin:



1.2.2.2 Regimul cvasistaţionar anelectric

În regimul cvasistaţionar anelectric se neglijează dependenţa dintre şi .

Din punct de vedere fizic această aproximaţie presupune neglijarea curentului de

deplasare în raport cu cel de conducţie ( ) pentru toate mediile cu

excepţia dielectricilor (deci exceptând interiorul condensatoarelor). În aceast regim legea circuitului magnetic, ecuaţia [5] din 1._(36), are forma dată de teorema lui Ampère:

1._(45) sau

iar întere perechile de mărimi şi respectiv intervin doar două dependenţe. Mărimile câmpului electromagnetic satisfac în aceat caz ecuaţii cu derivate parţiale de tip parabolic specifice fenomenelor de difuzie. Regimul cvasistaţionar anelectric se referă la studiul efectelor ce însoţesc curenţii electrici variabili în timp în conductoare masive.

1.2.2.3 Regimul cvasistaţionar amagnetic

În regimul cvasistaţionar amagnetic se neglijează dependenţa dintre şi .

În aceast regim inducţiei electromagnetice , ecuaţia [3] din 1._(36), are forma dată de teorema potenţialului staţionar:

1._(46) sau , unde V reprezintă potenţialul scalar.

Întere perechile de mărimi şi respectiv intervin doar două dependenţe. Mărimile câmpului electromagnetic satisfac în aceat caz ecuaţii cu derivate parţiale de tip parabolic specifice fenomenelor de difuzie. Regimul cvasistaţionar amagnetic al câmpului electromagnetic intervine în studiul dielectricilor cu pierderi.

1.2.2.4 Regimul staţionar

În regim staţionar mărimile nu variază în timp şi deci şi respectiv .

Întere perechile de mărimi electrice şi cele magnetice intervine numai dependenţa dintre şi densitatea curentului electric de conducţie . Mărimile câmpului electromagnetic satisfac în aceat caz ecuaţii cu derivate parţiale de tip eliptic specifice fenomenelor de difuzie staţionară. Dacă considerăm ca sursă a câmpului magnetic numai curentul electric de conducţie (cazul mediilor imobile) atunci mărimile electrice se pot determina independent de cele magnetice:


1._(47) [1] [4] [2]

[3] [5]

Ecuaţiile 1._(47) [1], [2] şi [3] descriu fenomenele specifice electrocineticii staţionare (regimul de curent continuu) iar ecuaţiile 1._(47) [4] şi [5] descriu fenomenele specifice electomagnetismului staţionar (câmpul magnetic staţionar).

1.2.2.5 Regimul staticÎn regim static mărimile nu variază în timp şi în plus densitatea curentului de

conducţie este nulă şi deci: , şi respectiv =0. În acest regim

mărimile electrice sunt decuplate de cele magnetice neexistând nici o dependenţă între ele. Astfel ecuaţiile 1._(48) [1], [2] şi [3] descriu fenomenele specifice electrostaticii iar ecuaţiile 1._(48) [4] şi [5] fenomenele specifice magnetostaticii:

1._(48) [1] [4] [2]

[3] [5]

1.3 Aproximaţiile teoriei circuitelorTeoremele circuitelor electrice sunt consecinţe ale teoremelor generale ale câmpului electromagnetic. Pricipalele aproximatii ale teoriei circuitelor electrice cu elemente de circuit concentrate sunt:

a. Fenomenele sunt localizate în diferitele elemente de circuit. Rezultă de aici caracterul de izolator perfect al mediului în care se găseşte circuitul, iar elementele de legatură sunt presupuse perfect conductoare (cu rezistivitate nulă).

Astfel dacă considerăm legea transformării energiei în conductoare, în forma locală, puterea instantanee din unitatea de volum pJ( ,t) egală cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric şi densitatea curentului electric de conducţie , devine pentru medii liniare, izotrope dar neomogene:

1._(49)

deoarece conform legii conducţiei, pentru aceste medii

1._(50)


unde este rezistivitatea mediului iar este intensitatea câmpului electric imprimat (datorat neomogenităţilor).Din analiza relaţiei 1._(49) rezultă că partea din energia electromagnetică ce se transformă ireversibil în căldură prin efect Joule-Lentz în unitatea de timp, reprezentată de termenul strict pozitiv J2, este localizată numai în rezistoare. Termenul poate fi pozitiv sau negativ în funcţie de ungiul dintre vectorii şi (mai mare sau respectiv mai mic decât /2) şi corespunde transformărilor de energie ce au loc la nivelul surselor funcţionând în regim de receptor sau respectiv în regim de generator.

b. Se consideră energia magnetică localizată numai în bobine, iar energia electrică localizată doar în condensatoare. Astfel, penru a exemplifica în cazul mediilor liniare pentru care inducţia magnetică este proporţională cu intensitatea câmpului magnetic ( ) şi respectiv inducţia electrică este proporţională cu intensitatea câmpului electric ( ), energia magnetică wm şi respectiv cea electrică we din unitatea de volum înmagazinate (valoari maxime) într-o bobină şi respectiv într-un condensator sunt date de :


;.

c. Elementele de legătură se considera că sunt filiforme, deci densitatea curentului electric de conducţie este constantă în secţiunea conductorului. Această aproximaţie neglijează repartiţia neuniformă a curentului în conductor. Totuşi câmpul electromagnetic produce, în anumite condiţii, o repartiţie neuniformă a curentului în conductoarele masive. Astfel, pentru un anumit material, se poate defini adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic prin relaţiaError: Reference source not found:

1._(52) ; în care

este permeabilitatea magnetică a mediului; este conductivitatea electrică a mediului;f este pulsaţia câmpului electromagnetic (f – frecvenţa). Pentru frecvenţe ridicate adâncimea de pătrundere este scăzută determinând o repartiţie neuniformă a câmpului

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

d

d

d

d

d

d

>>a frecvenţe „mici” repartiţie uniformă în secţiunea conductorului

<a frecvenţe „mari” repartiţie neuniformă pe suprafaţa exterioară a conductorului (efect pelicular)

Figura 1.9 Câmpul electromagnetic în conductoare masive


electromagnetic şi implicit a densităţii de current după cum este prezentat în figura 1.9. Aproximaţia repartiţiei uniforme a densităţii de curent în secţiunea conductorului sau cu alte cuvinte neglijarea efectului pelicular, poate fi luată în considerare numai dacă cea mai mare dimensiune a conductorului este mult mai mică decât adâncimea de pătrundere:

1._(53) a <<

d. În cadrul teoriei circuitelor electrice cu elemente concentrate, câmpul electric se consideră cvasistationar. Caracterul cvasistationar presupune că variaţia în timp a mărimilor de stare este suficient de lentă astfel încât se poate neglija variaţia inducţiei electrice în orice mediu cu excepţia dielectricilor. La nivel global această ipoteză presupune neglijarea variaţiei fluxului electric în exteriorul condensatoarelor :

1._(54) respectiv la nivel global

Relatia 1._(54) arată că teoria circuitelor electrice presupune existenţa în exteriorul condesatoarelor doar a curentului electric de conducţie care, în conformitate cu legea conservării sarcinii electrice, se continuă în condensator prin curentul electric de deplasare (figura 1.10).Curentul de deplasare, iD, poate fi neglijat în exteriorul condensatoarelor dacă extinderea domeniului analizat, l, este mai mică decât lungimea de unda cea mai mică, a semnalului considerat:

1._(55) , cu c viteza luminii în vid iar f frecvenţa

semnalului

1.4 Elemente dipolare de circuit

În domeniul circuitelor electrice se foloseste, după cum s-a prezentat, ipoteza elementelor de circuit cu parametri concentraţi iar de cele mai multe ori aceste elemente sunt idealizate, decuplând astfel diferitele fenomene ce descriu procesele de transformare ale câmpului electromagnetic. Analiza circuitelor electrice

i

iD =-i

R

în conductoare curent electric de conducţie i în condensator curent de deplasare:

iD = - i =

iD = - i =

Figura 1.10. Aproximaţia câmpului electric cvasistaţionar


presupune determinarea repartiţiei tensiunilor şi a curenţilor într-un domeniu a cărui structură este dată de tipul elementelor de circuit precum şi de modul lor de interconectare. Cel mai banal circuit electric poate fi alcătuit dintr-o sursă sau un generator (de exemplu o baterie de acumulatoare) cu tensiunea electromotoare E şi rezistenţa internă ri şi un consumator sau un receptor (de exemplu de tip rezistiv cum ar fi un bec cu incandescenţă) cu rezistenţa Rs. Circuitul este prezentat schematic în figura 1.11. Fiecare element (generatorul respectiv receptorul) are câte două borne (a,b respectiv a’,b’) prin intermediul cărora elementele sunt interconectate. Marimile electrice ce caracterizează fiecare element sunt intensitatea curentului electric şi tensiunea la borne. Modul de interconectare, pentru acest exemplu de circuit, determină aceiaşi intensitatea a curentului electric I şi aceiaşi tensiune la borne Ub

pentru ambele elemente. Sensul curentului este de al generator către receptor iar pentru tensiune de la borna notată cu (+) la cea notată cu (-).Din punct de vedere energetic, energia debitată de sursă în unitatea de timp, deci puterea generată Pg, este transferată (cu un anumit randament) consumatorului. Puterea Pc consumată la nivelul receptorului este transformată ireversibil (în acest exemplu) în căldură. Din anliza figurii 1.11 se pot evidenţia următoarele aspecte:

Asocierea sensurilor de referinţa ale tensiunii şi ale curentului în raport cu bornele de acces. Din figura 1.11 se observă că la borna generatorului (a) tensiunea şi curentul au sensuri diferite (curentul intră în borna a iar tensiunea placă din această bornă) pe când la borna receptorului (a’) aceste mărimi au acelaşi sens (atât curentul cât şi tensiunea pleacă din borna a’). Se pot defini astfel două reguli de asociere a sensurilor de referinţă ale tensiunii şi ale curentului în raport cu borna de acces:

În cadrul lucrării (dacă nu se specifică în mod expres regula utilizată pentru asocierea sensurilor de referinţă ale tensiunii şi ale curentului în raport cu bornele de acces) vom considera regula de la receptoare.

Pg

Pc

Ub

I I

generator

generator

receptor

b-b’

a

a-a’

a

Figura 1.11. Exemplu de circuit elecric într-o configuraţie minimă

(+)

( - )

Regula de la receptoare în care tensiunea u şi curentul i au acelaşi sens

i

u

Regula de la generatoare în care tensiunea u şi curentul i au sensuri diferite

i

u


Convenţie de semn pentru putere. Puterea instantanee rezultă prin integrarea relaţiei 1._(49) şi este egală cu produsul dintre tensiunea la bornele elementului şi intensitatea curentului electric:

1._(56)

Ţinând seama de sensul tensiunii şi al curentului la bornele unui generator respectiv la bornele unui receptor, figura 1.11, rezultă următoarea convenţie de semn pentru puteri:

1._(57) Puterea generată este negativă: pg(t)=u(t) . i(t) <0

1._(58) Puterea consumată este pozitivă: pc(t)=u(t) . i(t) >0

Legea lui Ohmn pentru întreg circuitul. Pentru exemplu din figura 1.11, prin integrarea relaţiei 1._(50) pe curba închisă, parcursă sensul curentului, descrisă de circuit generator şi tensiunea la borne respectiv de circuitul receptor şi tensiunea la borne, se obţine:

1._(59) pentru latura generator , respectiv pentru latura receptor

de unde rezultă legea lui Ohmn pentru întreg circuitul:

1._(60) sau

Dacă se consideră o latură cu structura generală formată dintr-un generator cu tensiunea electromotoare e, un resistor, o bobină şi un condensator (figura 1.12), integrarea relaţiei 1._(50) ne conduce la ecuaţia lui Joubert:

1._(61)Figura 1.12. Ecuaţia lui Joubert

uC

uL

uR

e i

(a)

(b)


în care s-a notat cu ub tensiunea la borne, cu uR căderea de tensiune rezistivă, cu uL

căderea de tensiune inductivă şi cu uC căderea de tensiune capacitivă. Semnul apare după cum se utilizează regula de asociere a sensurilor de referinţă de la generatoare respectiv de la receptoare.

După cum am văzut un circuit electric (sau chiar un element de circuit) reprezintă un domeniu în care fenomenele electromagnetice sunt concentrate la nivelul elementelor de circuit. Domeniul analizat comunică cu exteriorul prin intermediul bornelor de acces, ce pot fi grupate sau nu în perechi de borne (porturi de acces respectiv poli de acces). În primul caz circuitul (sau elementul de circuit) reprezintă un multiport şi este caracterizat de tensiunea electrică şi intensitatea curentului electric {uk;ik}, k=1,2,…n, asociate fiecărei perechi de borne (figura 1.13a). În cea de a doua descriere, domeniul analizat reprezintă un circuit (sau elementul de circuit) multipolar şi este caracterizat de potenţialul electric şi intensitatea curentului electric {vk;ik}, k=1,2,…n, asociate fiecărei borne (figura 1.13b). În figura 1.13 s-a folosit regula de la receptoare pentru asocierea sensurilor de referinţă ale tensiunii şi ale curentului.În cazul în care circuitul sau elementul de circuit are două borne de acces el se numeşte element dipolar. Deoarece un circuit complex se obţine, în general, prin interconectarea elementelor dipolare de circuit, următoarele paragrafe vor analiza principalele elemente dipolare de circuit.

1.4.1 Clasificarea elementelor dipolare de circuit

1

11’

1’

i1

i1

u1

u1

k

kk’

k’

ik

ik

uk

uk

n

nn’

n’

in

in

un

un

(a) multiport

1

1

i1

i1

v1

v1

2

2

i2

i2

v2

v2

k

k

ik

ik

vk

vk

n

n

in

in

vn

vn

(b) multipolFigura 1.13. Structura generală a unui element de circuit


Dacă considerăm perechea de mărimi electrice, în general variabile în timp, tensiunea u(t) şi respectiv curentul i(t), de la bornele unui element dipolar, atunci în funcţie de tipul şi structura elementului, între aceste mărimi se stabileşte o relaţie de legătură. Putem astfel cosidera elementul dipolar de circuit ca un sistem căruia dacă i se aplică mărimea de intrare x(t), ce poate fi de exemplu tensiunea (sau curentul), va răspunde cu mărimea de ieşire y(t) după cum este prezentat în figura 1.14. Dependenţa dintre mărimea de ieşire şi cea de intrare este descrisă, în cazul general, de o relaţie de forma:

1._(62)

ce se numeşte ecuaţie caracteristică. Ecuaţia caracteristică este reprezentată în planul intrare/ieşire, pentru un anumit moment de timp t* , de o curbă, ca în figura 1.15, ce se numeşte caracteristică de funcţionare. Dacă mărimea de intrare este tensiunea iar mărimea de ieşire este curentul, caracteristica de funcţionare se mai numeşte caracteristică curent-tensiune sau caracteristică I-U iar dacă mărimea de intrare este curentul iar mărimea de ieşire este tensiunea, caracteristica de funcţionare se mai numeşte caracteristică caracteristică tensiune-curent sau caracteristică U-I. Un punct PF(x*;y*) de pe caracteristica de funcţionare poartă denumirea de punct de funcţionare.Derivata mărimii de ieşire în raport cu mărimea de intrare într-un punct de funcţionare (x*;y*) se numeşte parametru dinamic (Pd) în punctul considerat:

1._(63)

În functie de tipul ecuaţiei caracteristice 1._(62), elementele dipolare se clasifică în:

elemente liniare invariabile în timp, pentru care

x(t) y(t)

Figura 1.14. Element dipolar

intrare ieşireelement dipolar

x

y PF(x*;y*)

x*

y*

Figura 1.15. Caracteristica de funcţionare a unui element dipolar


1._(64)

elemente liniare variabile în timp (parametrice), pentru care

1._(65)

elemente neliniare invariabile în timp, pentru care

1._(66) în formă explicită sau în formă implicită

elemente neliniare variabile în timp, pentru care

1._(67) în formă explicită sau în formă implicită

Un alt criteriu de clasificare este în funcţie de semnul puterii. Conform 1._(57) şi 1._(58) în punctul în care puterea este pozitivă se consideră putere consumată iar unde este negativă se considera putere generată. În funcţie de semnul puterii elementele de circuit se clasifică în elemente active şi elemente pasive.

Elementele active (sau surse sau generatoare) sunt elementele care în cel puţin într-un punct al caracteristicii de funcţionare au puterea negativă. Deci pentru elementele active există cel puţin un punct al caracteristicii de funcţionare în cadranul II sau IV (figura 1.16a).

Elementele pasive (sarcini sau receptoare) sunt acele elemente pentru care în orice punct al caracteristicii de funcţionare puterea este pozitiva. Deci caracteristica de funcţionare se găseşte numai în cadranele I sau III (figura 1.16b).

În cadrul elementelor pasive se disting două categorii importante de elemente:

elementele pur disipative în care energia electrică se transformă ireversibil în altă formă de energie. Elementul din această categorie ce va fi discutat în continuare este rezistorul în care energia electrică se transformă ireversibil în căldură prin efect Joule-Lentz.

Figura 1.16. Elemente active şi pasive

u

i I II

III IV u

i I II

III IV

Element activsursă sau generator

(celulă solară)

Element pasivsarcină sau receptor

(diodă semiconductoare)

(a) (b)


elemente reactive care permit acumularea energiei electromagnetice. Din această categorie fac parte inductoarele (sau bobinele) care înmagazinează energia magnetică şi condensatoarele care înmagazinează energia electrică.

Pentru rezistoare, relaţiile de legătură dintre tensiune şi curent se obţin din legea conducţiei, (tabel 1.1_(3)), care este o lege de stare, pe când pentru elementele reactive, aceste relaţii de legătură se obţin din legi de evoluţie.Pentru bobină ecuatia tensiune-curent este o consecinţă a legii inductiei electromagnetice, (tabel 1.1_(8)), iar pentru condensatoare caracteristică curent-tensiune este o consecinţă a legii conservării sarcinii electrice (tabel 1.1_(7)).

1.4.2 Rezistorul

Rezistorul este un element dipolar pasiv, pur disipativ, în care energia electrică se transformă ireversibil în căldură prin efect Joule –Lentz. Simbolul grafic utilizat este prezentat în figura 1.17. Ecuaţia caracteristică a rezistorului se obţine din legea conducţiei particularizată pentru medi în care în care intensitatea câmpului electric imprimat este nulă . Se obţine astfel, la nivel global, o relaţie între tensiunea la borne u(t) şi intensitatea curentului electric de conducţie i(t), ce depinde de natura elementului: liniar, parametric, neliniar, etc.

1.4.2.1 Rezistor liniar invariabil în timpPentru rezistorul liniar invariabil în timp, relaţia 1._(50) devine iar tensiunea la bornele rezistorului este deci proporţională cu intensitatea curentului electric de conducţie. Această dependenţă mai poartă denumirea de legea lui Ohm:

1._(68)

în care R este rezistenţa rezistorului iar

este conductanţa rezistorului.

Unitatea de măsură în Sistemul

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Figura 1.17. Simbolizarea rezistorului

Figura 1.18. Caracteristica de funcţionare pentru rezistoare liniare

Caracteristica U-I

tg =R

i

u

Caracteristica I-U

tg =G

u

i


Internaţional (SI) pentru rezistenţă se numeşte ohm ([R]SI= iar pentru

conductanţă siemens ([G]SI=S

sau -1 ). Rezistenţa (respectiv conductanţa) unui rezistor este dependentă de geometria rezistorului şi materialul din care este realizat fiind deci independentă de curent sau tensiune. Acest aspect este evidenţiat de aplicaţia 1.1 în care se deduce rezistenţa unui rezistor liniar, de secţiune constantă A şi lungime l realizat dintr-un material omogen de rezistivitate :

1._(69)

În conformitate cu legea lui Ohm exprimată prin relaţia 1._(68), caracteristica de funcţionare în planul tensiune-curent (respectiv în planul curent-tensiune) este o dreaptă ce trece prin origine iar panta dreptei este dată de rezistenţa (respectiv conductanţa) rezistorului aşa cum se prezintă în figura 1.18.Puterea instantanee p(t) disipată într-un rezistor este egală cu produsul dintre tensiune şi curent şi se obţine din legea transformării energiei în conductoare prin integrarea relaţiei 1._(49). Puterea instantanee este întotdeauna pozitivă (putere consumată) şi este dată de relaţia:

1._(70)

Aplicaţia 1.1. Rezistenţa unui rezistor liniar, de secţiune constantă A şi lungime l realizat dintr-un material omogen de rezistivitate este :Demonstraţie:

=

l

l

l

l

l

l

l

l

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

A

A

ds

l

l

l

ds

l

l

l

J

J


1.4.2.2 Rezistor liniar variabil în timpPentru rezistorul liniar variabil în timp sau rezistor parametric, rezistenţa variază în timp astfel încât ecuaţia caracteristică devine:

1._(71)

căreia îi corespunde în planul tensiune-curent o familie de drepte corespunzătoare diferitelor momente de timp (figura 1.19).

1.4.2.3 Rezistor neliniarRezistoarele neliniare invariabile în timp sunt descrise de ecuţii caracteristice neliniare ce pot fi controlate în curent (figura 1.20.a):

1._(72) ,

controlate în tensiune (figura 1.20.b):

1._(73) .

sau în formă implicită:

1._(74)

Figura 1.20. Rezistor neliniar controlat în curent sau în tensiune

(a) Control în curent

i

u

i*

u*

(b) Control în tensiune

u

i

u*

i*

Figura 1.19. Simbolizare şi caracteristici de funcţionare pentru rezistoare liniare parametrice

Caracteristici U-I

i

u

R(t1)R(t2)

R(tn)

Simbolizare

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R


Dintre rezistoarele neliniare se pot enumera dispozitivele semiconductoare, termistorul, varistorul, tubul cu fir incandeşcent (becul cu incandeşcenţă), arcul electric, etc.Rezistoarele neliniare variabile în timp (sau parametrice) sunt descrise de o familie de caracteristici de funcţionare corespunzătoare diferitelor momente de timp iar ecuţiile caracteristice 1._(72), 1._(73) şi 1._(74) devin:

1._(75) , şi respectiv

Exemplul 1.1. Scurtcircuit. Circuit deschis

Un scurtcircuit poate fi asimilat cu un rezistor cu rezistenţă nulă: Rsc=0. Astfe, conform relaţiei 1._(68), tensiunea la bornele unui rezistor de rezistenţă nulă este de asemenea nulă şi deci ecuaţia caracteristică 1._(68) devine:

1._(76) u(t)=0

iar caracteristica de funcţionare în palnul U-I este o dreaptă ce coincide cu axa curentului (figura 1.21.a). Putem deci considera un scurcircuit sau un contact închis ca fiind un rezistor neliniar controlat în curent.În mod similar un circuit deschis poate fi asimilat cu un rezistor de conductanţă nulă Ggol=0. Astfe, conform relaţiei 1._(68), curentul prin rezistorul de conductanţă nulă este de asemenea nu şi deci ecuaţia caracteristică 1._(68) devine:

1._(77) i(t)=0

iar caracteristica de funcţionare în palnul I-U este o dreaptă ce coincide cu axa tensiunii (figura 1.21.b). Putem deci considera un circuit deschis, un circui în gol sau un contact deschis ca fiind un rezistor neliniar controlat în tensiune. Scurtcircuitul este echivalent cu un comutator ideal inchis, iar functionarea in gol cu un comutator ideal deschis.

Figura 1.21. Scurtcircuit şi circuit deschis, descrise ca rezistoare neliniare.

(a) Scurtcircuit contact închis

i

u

Rsc=0

(b) Circuit deschis contact deschis

u

i Ggol=0


Exemplul 1.2. Dioda semiconductoare

Dioda semiconductoare, este cel mai simplu dispozitiv electronic fiind reprezentată fizic de joncţiunea p-n Error: Reference source not found. Datorită barierei de potenţial de la nivelul joncţiunii caracteristica diodei este asimetrică. Astfel, în polarizare directă, prin reducerea barierei de potenţial curentul creşte exponenţial şi putem considera că pentru o valoare a tensiunii în polarizare directă mai mare decât o valoare VF (numită tensiune de prag de deschidere) dioda semiconductoare este un conductor ideal. În polarizare inversă, prin creşterea barierei de potenţial, curentul invers de saturaţie I0 este aproximativ zero, până la o valoare VB (numită tensiune de strapungere) la care joncţiunea se străpunge. La diodă scurtcircuitul este echivalent cu polarizarea directă iar mersul în gol cu polarizarea inversă. Ecuaţia curent-tensiune a diodei, în polarizare direcră, este dată de relaţia 1._(78) iar în figura 1.22 este prezentată simbolizarea diodei şi respectiv caracteristica I-U.

1._(78) , unde

I0 este curentul de saturaţie;qe este sarcina electrică a electronului;k = 1,38 .10 –23 este constanta lui Boltzmann;T este temperatura absolută.

Dioda semiconductoare este un dispozitiv de bază din electronică cu aplicaţii care pornesc de la circuitele simple (precum redresarea sau circuitele logice) şi ajungând la circuitele complexe de prelucrare.

Figura 1.22. Simbolizarea şi caracteristica I-U a diodei.

(b) Caracteristica I-U

VF U

I

-VB

(a) Simbolizare

_

+U

I

polarizare directă

polarizare inversă

Figura 1.23. Caracteristici I-U idealizate ale diodei.

VF

-VB

U

I

polarizare directă

polarizare inversă

Liniarizare pe porţiuni

polarizare directă

polarizare inversă

Ventil ideal unidirecţional

U

I


Exemplul 1.3. Termistorul

Termistorul (figura 1.24) este un rezistor neliniar simetric construit din oxizi metalici de Co, Fe, Mn, Ni, Zn şi este utilizat în construcţia stabilizatoarelor de tensiune şi de curent precum şi la măsurători la înaltă frecvenţă. Neliniaritatea se datorează variaţiei cu temperatura a rezistenţei după o relaţie de forma:

1._(79)

unde R şi R1 sunt rezistenţele la temperaturile T şi T1, iar B este indicele de sensibilitate termică. Este important pentru compensarea variaţiilor de temperatură în cadrul circuitelor electrice.

Exemplul 1.4. Varistorul

Varistorul (figura 1.25) are o caracteristică simetrică fiind o carbură de siliciu a cărei rezistenţă scade cu creşterea tensiunii peste o valoare de amorsare (ua). Varistoarele sunt folosite ca descărcătoare pentru protecţia înpotriva supratensiunilor.

Figura 1.24. Caracteristica de funcţionare a termistorului

i

u

Figura 1.25. Caracteristica de funcţionare a varistorului

i

uua

Aplicaţia 1.2 Redresarea tensiunii sinusoidaleDacă tensiunea de intrare variază în timp după relaţia: unde T este perioada iar este pulsaţia tensiunii sinusoidale şi dacă se consideră dioda un ventil idealunidirecţional ca în figura 1.23, atunci tensiuneade ieşire u0 devine:(a) pentru redresarea monoalternanţă (b) pentru redresarea bialternanţă unde k = 0, 1, 2,...

t

uin

t

uouin

uo

(a) Redresarea monoalternanţă

t

uin

uinuo

t

uo

(b) Redresarea bialternanţă


Exemplul 1.5. Tub cu fir incandeşcent

Tubul cu fir incandeşcent (becul cu incandeşcenţă sau cu filament) are o caracteristică neliniară simetrică datorată variaţiei rezistenţei filamentului cu temperatura (figura 1.26). Astfel, dacă filamentul este metalic, coeficentul de variaţie cu temperatura este pozitiv (curba a) iar dacă filamentul este din carbon, rezistenţa scade cu temperatura (curba b).

1.4.3 Bobina

Bobina sau inductorul este un element dipolar pasiv ce acumulează energia magnetică încadrându-se deci în categoria elementelor reactive. Perechea de mărimi intrare-ieşire ce caracterizează bobina este alcătuită din fluxul magnetic şi respectiv intensitatea curentului electric de conducţie i. Deci ecuaţia caracteristică a bobinei are forma generală:

1._(80) sau

Conform relaţiei 1._(80) un curent variabil în timp ce parcurge o bobină determină un flux magnetic variabil în timp care, în conformitate cu forma globală a legii inducţiei electromagnetice (Tabel 1.1_(8)), produce la bornele bobinei o tensiune autoindusă u = - e :

1._(81)

Relaţiile 1._(80) şi respectiv 1._(81) conduc la obţinerea caracteristicilor tensiune-curent (sau curent-tensiune) care sunt descrise prin relaţii de evoluţie5 dependente de tipul bobinei: liniară, neliniară, parametrică, etc.

1.4.3.1 Energia magnetică acumulată de bobinăPornind de la densitatea de volum a energiei magnetice, wm, prin integarea relaţiei 1._(51) pe domeniul considerat şi ţinând seama de faptul că la nivel global intensităţii câmpului magnetic îi corespunde curentul electric de conducţie i (relaţia 1._(33)) iar inducţiei magnetice îi corespunde fluxul magnetic (relaţia 1._(27)), se obţine energia magnetică maximă Wm(t) înmagazinată de bobină la momentul de timp considerat6, dată de relaţia:

5 Caracteristica tensiune-curent este o relaţie diferenţială, tensiunea la bornele bobinei evidenţiind tendinţa viitoare de evoluţie a curentului, iar caracteristica curent-tensiune este o relaţie integrală, curentul prin bobină integrând valorile anterioare ale tensiunii6 este o constantă de integrare reprezentând energia magnetică la momentul iniţial.

Figura 1.26. Tub cu fir incandeşcent

i

ua

b


1._(82)

În conformitate cu relaţia 1._(82), se spune că bobina este un element reactiv care stochează energia magnetică.

1.4.3.2 Teorema continuităţii fluxului prin bobinăDacă din relaţia 1._(81) se explicitează fluxul magnetic, prin integrare se obţine:

1._(83)

Notând cu , mărime ce reprezintă valoarea fluxului prin bobină la

momentul iniţial (la t=0), relaţia 1._(83) devine:

1._(84)

Se constată că bobina este un element cu memorie, fluxul magnetic prin bobină, la un anumit moment de timp t, depinzând de valoarea iniţială a fluxului magnetic 0

precum şi de valorile anterioare ale tensiunii electrice u() la bornele bobinei. De asemenea relaţia 1._(84) evidenţiază teorema continuităţii fluxului prin bobină: dacă tensiunea electrică de la bornele bobinei este o mărime continuă, atunci fluxul magnetic prin bobină este o mărime absolut continuă. Cu alte cuvinte fluxul magnetic nu poate avea o variaţie bruscă atâta timp cât tensiunea electrică are o variaţie finită7.

1.4.3.3 Bobina liniară invariabilă în timpPentru bobina liniară invariabilă în timp, al cărui simbol este prezentat în figura 1.27, fluxul magnetic este proporţional cu intensitatea curentului electric de conducţie şi deci ecuaţia caracteristică 1._(80) devine:

1._(85)

unde constanta de proporţionalitate L se numeşte inductivitate sau inductanţă (respectiv =1/L se numeşte inductivitatea reciprocă) având ca unitate de măsură în SI henry-ul [H]. Inductivitatea este o

7 Conform relaţiei 1._(81) o variaţie finită a fluxului magnetic determină la borne o tensiune (teoretic) infinită.

Figura 1.27. Simbolizarea bobinei

L

R

R

R

R

R

R

R

L

R

R

R

R

R

R

R


mărime ce depinde doar de geometria bobinei şi de proprietăţile feromagnetice ale mediului fiind deci independentă de fluxul magnetic al bobinei sau de curentul electric de conducţie. Acest aspect este evidenţiat de aplicaţia 1.3 în care se deduce inductivitatea L a unei bobine liniare de secţiune constantă S şi lungime l formată din N spire bobinate pe un miez cu permeabilitatea magnetică :

1._(86)

În conformitate cu ecuaţia caracteristică exprimată prin relaţia 1._(85), caracteristica de funcţionare în planul flux-curent (respectiv în planul curent-flux) este o dreaptă ce trece prin origine iar panta dreptei este dată de inductivitatea (respectiv inductivitatea reciprocă) a bobinei aşa cum se prezintă în figura 1.28.În cadrul teoriei circuitelor electrice se urmăreşte determinarea repartiţiei curenţilor şi a tensiunilor la bornele diferitelor elemente de circiut. Astfel, în conformitate cu relaţiile 1._(81) şi 1._(85) tensiunea la bornele unei bobime liniare invariabile în timp, , este dată de relaţia:

1._(87)

Din relaţia 1._(87) se constată că o bobină ideală, (ne)liniară, invariabilă în timp, are în regim staţionar (pentru care mărimile sunt constante în timp) tensiunea la borne egală cu zero:

. Deci în regim staţionar bobina ideală, (ne)liniară, invariabilă în timp se comportă ca un scurtcircuit (relaţia 1._(76) şi figura 1.21.a).Integrând relaţia 1._(87) se obţine curentul prin bobină:

1._(88)

Figura 1.28. Caracteristica de funcţionare pentru bobine liniare

Caracteristica -I

tg =L

i

Caracteristica I-

tg =

i

Aplicaţia 1.3. Inductivitatea unei bobine liniare, de secţiune constantă, lungime l formată din N spire bobinate pe un miez cu permeabilitatea magnetică este:

Rezultă: şi deci

Demonstraţie:Conform relaţiei 1._(27) Dar conform teoremei lui Ampere, relaţia 1._(33),

N

S

l

i


şi notând cu constanta de integrare reprezentând valoarea iniţială a

curentului prin bobină, rezultă:

1._(89)

Relaţia 1._(89) evidenţiază faptul că valoarea curentului prin bobină la un anumit moment depinde de valoarea iniţială a curentului (expresie a energiei magnetice acumulată în bobină la momentul iniţial) precum şi de toate valorile anterioare ale tensiunii. Deci pentru a caracteriza complet o bobină sunt necesari doi parametrii8

şi anume inductivitatea L a bobinei şi valoarea iniţială a curentului prin bobină .De asemenea pe baza relaţiei 1._(89) se poate enunţa teorema continuităţii curentului prin bobină: dacă tensiunea la bornele bobinei este o mărime continuă atunci curentul prin bobină este o mărime absolut continuă. Altfel spus curentul electric prin bobină are o variaţie continuă atâta timp cât tensiunea la borne are variaţii finite. Acest comportament este subliniat şi de relaţia 1._(87) din care se poate observa că discontinuitatea curentului (chiar cu variaţii finite) determină variaţii ale tensiunii la borne teoretic infinite. Din punct de vedere practic această proprietate determină utilizarea bobinei pentru limitarea variaţiilor curentului sau ca element de filtrare al curentului.

8 Faţă de rezistor la care este necesar un singur parametru: rezistenţa R a rezistorului.


Revenind la ecuaţia de legătură dintre tensiune şi curent (relaţia 1._(87)) şi respectiv la cea dintre cuent şi tensiune (relaţia 1._(89)) acestea se pot scrie sub o formă similară ecuaţiilor caracteristice ale rezistorului liniar (relaţia 1._(69)) folosind operatorii de derivare şi respectiv de integrare. Astfel prin definirea operatorului de impedanţă şi respectiv a operatorului de admitanţă asociat bobinei prin relaţiile

Aplicaţia 1.4 Continuitatea curentului prin bobină. Limitarea variaţiilor în curentSe consideră circuitul din figura alăturată în care latura formată din rezistorul cu rezistenţa R în serie cu bobina de inductivitate L este conectată, periodic, prin intermediul comutatorului TD la sursa de tensiune electromotoare E constantă (poziţia a) respectiv în scurtcircuit (poziţia b). În aceste condiţii curentul i prin bobină satisface următoarele ecuaţii: pentru intervalul de timp în care comutatorul este în poziţia a, şi respectiv pentru intervalul de timp în care comutatorul este în poziţia b.Prin integrarea acestor ecuaţii (după cum se va prezenta dezvoltat în capitolul 3 referitor la circuitele de ordinul I) se obţine variaţia în timp a curentului prin bobină dependentă de valoarea iniţială a curentului iL0 precum şi de valorile elementelor de circuit E, R şi în special L :pentru intervalul de timp în care comutatorul este în poziţia a, unde iL0 este curentul prin bobină în momentul conectării comutatorului pe poziţia a iar 0=L/R este constanta de timp a circuitului;şi respectiv

pentru intervalul de timp în care comutatorul este în poziţia b, unde i’L0 este curentul prin bobină în momentul conectării comutatorului pe poziţia b.

Variaţiile în timp ale tensiunii u aplicate laturii RL şi ale curentului electric i ce parcurge această latură sunt ilustrate în diagramele de mai jos pentru două valori ale inductivităţii L a bobinei: L1 şi respectiv L2 (mult mai mare ca L1).

Din anliza acestor diagrame se constată că deşi tensiunea are o variaţie discontinuă, variind brusc de la valoarea 0 la valoarea E şi invers, totuşi curentul electric prin circuit are o variaţie continuă datorită existenţei bobinei. De asemenea se constată că pe măsură ce creşte valoarea inductivităţii bobinei scade variaţia curentului:

E E E E

0 0 0 0

a b

u

i

L1

i1

L2

i2

1212 iiLL



atunci ecuaţiile tensiune-curent (relaţia 1._(87)) şi respectiv curent-tensiune (relaţia 1._(89)) asociate unei bobine liniare invariabile în timp devin:


După cum s-a arătat mai sus bobina este un element de circuit care poate acumula energie magnetică. Pentru bobina liniară, invariabilă în timp, pentru care conform relaţiei 1._(85) fluxul magnetic este proporţional cu intensitatea curentului electric, prin particularizarea relaţiei 1._(82):

se obţine energia magnetică a bobinei la un anumit moment de timp:

1._(92)

Pe baza relaţiei 1._(92) se poate justifica energetic continuitatea curentului prin bobină. Astfel, variaţiile discontinue ale energiei magnetice acumulate de bobină ar produce valori infinit ale puterii vehiculate la bornele bobinei:

.

1.4.3.4 Bobina liniară variabilă în timp (bobina parametrică)

Pentru bobina liniară variabilă în timp (simbolizată ca în figura 1.29) fluxul magnetic este proporţional cu intensitatea curentului electric dar coeficientul de proporţionalitate este variabil în timp. Astfel ecuaţia caracteristică flux-curent (figura 1.29) devine:

1._(93)

L

R

R

R

R

R

R

R

Figura 1.29. Simbolizare şi caracteristicile de funcţionare ale bobinei liniare variabile în timp

Caracteristici -I

i

L(t1)L(t2)

L(tn)

Simbolizare

L

R

R

R

R

R

R

R


Conform relaţiilor 1._(81) şi 1._(93) tensiunea la bornele unei bobime liniare variabile în timp, , se obţine în acest caz cu relaţia:

1._(94)

Din relaţia 1._(94) rezultă că tensiunea la bornele unei bobine parametrice este nenulă chiar dacă curentul electric este constant.

1.4.3.5 Bobina neliniarăPentru bobina neliniară ecuaţia caracteristică are forma generală 1._(80) iar în conformitate cu relaţia 1._(81) tensiunea la bornele bobinei devine:

1._(95)

Din figura 1.30 se poate observa că panta tangentei într-un punct de pe caracteristica de funcţionare reprezintă o inductivitate (dinamică) şi deci relaţia 1._(95) se poate scrie:

1._(96)

1.4.3.6 Bobine cuplate magnetic În multe situaţii practice bobinele aflate în apropiere sau cuplate prin intermediul unor circuite magnetice sunt parcurese atât de fluxul magnetic propriu cât şi de fluxurile magnetice provenite de la celelalte bobine. În această situaţie se spune că bobinele sunt cuplate magnetic. Pentru simplificarea prezentării considerăm două bobine cuplate magnetic după cum se prezintă

Figura 1.31. Bobine cuplate magnetic

B1 B1 B2B2

(b)(a)

Rezultă deci:

i*

*

Figura 1.30. Bobină neliniară

i

*iid i

Ltg


în figura 1.31. Astfel curentul electric i1 generează un câmp magnetic propiu ce determină în bobin B1 fluxul magnetic propriu 11. Deasemenea, o parte din liniile câmpului magnetic generat de i1 interceptează bobina B2 determinând astfel în B2

fluxul magnetic mutual 21.În mod similar, curentul electric i2 produce în bobina B2 fluxul magnetic propiu 22

iar în bobina B1 fluxul magnetic mutual 12. Fluxul magnetic propriu şi cel mutual generat de bobina cuplată magnetic pot avea acelaşi sens (figura 1.31.a) sau pot avea sensuri opuse (figura 1.31.b) în funcţie de sensul curenţilor prin bobine precum şi în funcţie de sensul de bobinare. În concluzie fluxul total prin bobine devine:


Cuplajul magnetic dintre bobine este evident dependent doar de geometria sistemului şi de propietăţile magnetice ale mediului ce defineşte cuplajul. În consecinţă dependenţa dintre fluxul magnetic mutual şi curentul electric din bobina cuplată magnetic este aceiaşi indiferent de bobina considerată. Cu alte cuvinte ecuaţiile caracteristice flux-curent şi respectiv sunt identice. Pentru mediile liniare în care ecuaţiile caracteristice flux-curent sunt de forma 1._(85), se definesc următoarele mărimi ce pot fi obţinute şi pe cale experimentală pe baza relaţiilor 1._(97):

inductivitatea proprie definită ca raportul dintre fluxul magnetic total şi curentul electric prin bobina cosiderată dacă intensitatea curentului electric din bobina cuplată magnetic este zero:


inductivitate mutuală definită ca raportul dintre fluxul magnetic total prin bobina considerată şi curentul electric din bobina cuplată magnetic dacă intensitatea curentului electric din bobina proprie este zero:


Având în vedere că inductivitatea mutuală caracterizează cuplajul magnetric depinzând doar de geometria sistemului şi de propietăţile magnetice ale mediului (vezi aplicaţia 1.5) rezultă că cele două inductivităţi mutuale sunt egale:


1._(100)

Cu aceste definiţii, relaţiile 1._(97) pentru bobine liniare cuplate magnetic devin:


şi se numesc relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi.În relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi fuxul magnetic mutual apare cu semnul plus sau minus în funcţie de sensul acestuia în raport cu fluxul magnetic propriu (figura 1.31). Acesta depinde, după cum s-a văzut, de construcţia bobinelor cuplate magnetic. În cadrul teoriei circuitelor electrice, unde construcţia efectivă a bobinelor nu este importantă din punct de vedere

Aplicaţia 1.5. Să se calculeze inductivitatea mutuală dintre două bobine cu câte N1 şi respectiv N2 spire cuplate mutual (ca în figură) pe acelaşi miez magnetic de secţiune constantă S, lungime l şi permeabilitatea magnetică .

l

S

N2 i2 N1 i1

Soluţie:Conform relaţiei 1._(99) inductivitatea mutuală dintre bobina 1 şi bobina 2 este egal cu raportul dintre fluxul magnetic total ce străbate bobina 1 şi intensitatea curentului electric din bobina 2 în condiţiile în care curentul din bobina 1 este nul:

(1)

Dar conform teoremei lui Ampère, relaţia 1._(33) devine:

(2)

dar conform relaţiilor 1._(26) , 1._(27) şi ţinând seama de relaţia (2), fluxul magnetic generat de bobina 2 prin bobina 1 devine:

(3)Din relaţiile (1) şi (3) rezultă:

(4)

Similar se obţine inductivitatea mutuală dintre bobina 2 şi bobina 1 ca fiind egal cu raportul dintre fluxul magnetic total ce străbate bobina 2 şi intensitatea curentului electric din bobina 1 în condiţiile în care curentul din bobina 2 este nul:

(5)

Deci:

Figura 1.32. Convenţia de semn pentru fluxul magnetic mutual


al analizei circuitului, se marchează (de regulă cu * ) o bornă a bobinei faţă de care se consideră sensul fluxului magnetic mutual. Borna marcată se numeşte bornă polarizată iar fluxul magnetic mutual se cunsideră în relaţiile 1._(101) cu semnul + dacă curenţii prin cele două bobine au acelaşi sens în raport cu borna polarizată. Orice schimbare de sens introduce o schimbare de semn. Această convenţie de semn se prezintă în figura 1.32.

Ecuaţiile tensiune-curent corespunzătoare bobinelor cuplate magnetic se obţin din 1._(81) şi relaţiile lui Maxwell pentru inductivitţi 1._(101). Astfel pentru două bobine liniare având inductivităţile proprii L1 şi respectiv L2 cuplate magnetic prin inductivitatea mutuală M şi parcurse de curenţii de intensitate i1 şi respectiv i2, tensiunile la borne u1 şi respectiv u2 devin:

1._(102)

1.4.4 Condensatorul

Condensatorul este un element dual bobinei. Acest aspect este subliniat prin modul de prezentare a capitolului 1.4.4 care este similară celei din capitolul 1.4.3 modificându-se doar termenii specifici.Condensatorul sau capacitorul este un element dipolar pasiv ce acumulează energia electrică încadrându-se deci în categoria elementelor reactive. Perechea de mărimi intrare-ieşire ce caracterizează condensatorul este alcătuită din sarcina electrică q (sau, conform teoremei lui Gauss, fluxul electric printr-o suprafaţă închisă =q) şi respectiv tensiunea electrică u la bornele condensatorului. Deci ecuaţia caracteristică a condensatorului are forma generală:

1._(103) sau

Conform relaţiei 1._(103) o tensiune la bornele condensatorului variabilă în timp determină pe armăturile acestuia o sarcină electrică variabilă în timp care, în conformitate cu forma globală a legii conservării sarcinii electrice (Tabel 1.1_(7)), determină curentul de deplasare prin condensator i = - i (figura 1.10):

1._(104)


Relaţiile 1._(103) şi respectiv 1._(104) conduc la obţinerea caracteristicilor curent-tensiune (sau tensiune-curent) care sunt descrise prin relaţii de evoluţie9 dependente de tipul condensatorului: liniar, neliniar, parametric, etc.

1.4.4.1 Energia electrică acumulată de condensatorPornind de la densitatea de volum a energiei electrice, we, prin integarea relaţiei 1._(51) pe domeniul considerat şi ţinând seama de faptul că la nivel global intensităţii câmpului electric îi corespunde tensiunea electrică u (relaţia1._(7)) iar inducţiei electrice îi corespunde sarcina electrică q (sau fluxul electric -relaţia 1._(6)), se obţine energia electrică maximă We(t) înmagazinată de condensator la momentul de timp considerat10 prin relaţia:

1._(105)

În conformitate cu relaţia 1._(105) condensatorul este un element reactiv ce stochează energie electrică.

1.4.4.2 Teorema continuităţii sarcinii electrice pe condensatorDacă din relaţia 1._(104) se explicitează sarcina electrică, prin integrare se obţine:

1._(106)

Notând cu , mărime ce reprezintă sarcina electrică de pe armăturile

condensatorului la momentul iniţial (la t=0), relaţia 1._(106) devine:

1._(107)

Se constată că şi condensatorul este un element cu memorie, sarcina electrică de pe armăturile condensatorului, la un anumit moment de timp t, depinzând de valoarea iniţială a sarcinii electrice q0 precum şi de valorile anterioare ale intensităţii curentului electric i() prin condensator.De asemenea relaţia 1._(107) evidenţiază teorema continuităţii sarcinii electrice de pe armăturile condensatorului: dacă curentul electric prin condensator este o mărime continuă, atunci sarcina electrică de pe armăturile condensatorului este o mărime absolut continuă. Cu alte cuvinte sarcina electrică de pe condensator nu

9 Caracteristica curent-tensiune este o relaţie diferenţială, curentul prin condensator evidenţiind tendinţa în evoluţiea tensiunii, iar caracteristica tensiune-curent este o relaţie integrală, tensiunea la bornele condensatorului depinzând de valorile anterioare ale curentului.10 este o constantă de integrare reprezentând energia electrică la momentul iniţial.


poate avea o variaţie bruscă atâta timp cât intensitatea curentului electric are o variaţie finită11.

1.4.4.3 Condensatorul liniar invariabil în timp

Pentru condensatorul liniară invariabilă în timp, al cărui simbol este prezentat în figura 1.33, sarcina electrică este proporţională cu tensiunea electrică şi deci ecuaţia caracteristică 1._(103) devine:

1._(108)

unde constanta de proporţionalitate C este capacitatea condensatorului având ca unitate de măsură în SI faradul [F]. Capacitatea este o mărime ce depinde doar de geometria condensatorului şi de proprietăţile electrice ale mediului fiind deci independentă de sarcina electrică sau de tensiunea aplicată la bornele condensatorului. Acest aspect este evidenţiat de aplicaţia 1.6 în care se deduce capacitatea C a unui condensator plan având aria armăturilor A, distanţa dintre armături d şi dielectric de permitivitate :

1._(109)

În conformitate cu ecuaţia caracteristică exprimată prin relaţia 1._(108), caracteristica de funcţionare în planul sarcină-tensiune (respectiv în planul tensiune-sarcină) este o dreaptă ce trece prin origine iar panta dreptei este dată de capacitatea condensatorului aşa cum se prezintă în figura 1.34.În cadrul teoriei circuitelor electrice se urmăreşte determinarea repartiţiei curenţilor şi a tensiunilor la bornele diferitelor elemente de circiut. Astfel, în conformitate cu relaţiile 1._(104) şi 1._(108) curentul printr-un condensator liniar şi invariabil în timp, , este:

11 Conform relaţiei 1._(104) o variaţie finită a fluxului magnetic determină la borne o tensiune (teoretic) infinită.

Figura 1.34. Caracteristica de funcţionare a condensatorului liniar

Caracteristica -I

tg =C

u

q

Caracteristica I-

tg=1/C

q

u

Aplicaţia 1.6. : Capacitatea unui condensator plan având aria armăturilor A, distanţa dintre armături d şi dielectric cu permitivitate este:

Cum Rezultă:

Demonstraţie:

Conform relaţiei 1._(6) Dar

+ + + + +

- - - - -

d

A +q

-q

u

Figura 1.33. Simbolizarea condensatorului

C

R

R

R

R

R

R

R


1._(110)

Din relaţia 1._(110) se constată că intensitatea curentului electric printr-un condensator ideal, (ne)liniar, invariabil în timp, aflat în regim staţionar (pentru care mărimile sunt constante în timp) este egală cu zero: . Deci în regim staţionar condensatorul ideal, (ne)liniar, invariabil în timp se comportă ca un circuit deschis (relaţia 1._(77) şi figura 1.21.b).Integrând relaţia 1._(110) se obţine tensiunea la bornele condensatorului:

1._(111)

şi notând cu constanta de integrare reprezentând valoarea iniţială a

tensiunii la bornele condensatorului, rezultă:

1._(112)

Relaţia 1._(112) evidenţiază faptul că valoarea tensiunii la bornele condensatorului la un anumit moment depinde de valoarea iniţială a tensiunii la bornele condensatorului (expresie a energiei electrice acumulată în condensator la momentul iniţial) precum şi de toate valorile anterioare ale curentului prin condensator. Deci pentru a caracteriza complet un condensator sunt necesari doi parametrii12 şi anume capacitatea C a condensatorului şi valoarea iniţială a tensiunii la bornele condensatorului .De asemenea pe baza relaţiei 1._(112) se poate enunţa teorema continuităţii tensiunii la bornele condensatorului: dacă intensitatea curentului electric prin condensator este o mărime continuă atunci tensiunea la bornele condensatorului este o mărime absolut continuă. Altfel spus tensiunea la bornele condensatorului are o variaţie continuă atâta timp cât curentul electric condensator prin are variaţii finite. Acest comportament este subliniat şi de relaţia 1._(110) din care se poate observa că discontinuitatea tensiunii (chiar cu variaţii finite) determină variaţii teoretic infinite ale curentului prin condensator. Din punct de vedere practic această propietate determină utilizarea condensatorului pentru limitarea variaţiilor de tensiune sau ca element de filtrare a tensiunii.Aplicaţia 1.7 evidenţiază acest comportament de limitare a variaţiilor tensiunii electrice de la bornele condensatorului.

Revenind la ecuaţia de legătură dintre tensiune şi curent (relaţia 1._(87)) şi respectiv la cea dintre cuent şi tensiune (relaţia 1._(89)) acestea se pot scrie sub o

12 Faţă de rezistor la care este necesar un singur parametru: rezistenţa R a rezistorului.


formă similară ecuaţiilor caracteristice ale rezistorului liniar (relaţia 1._(69)) folosind operatorii de derivare şi respectiv de integrare. Astfel prin definirea operatorului de impedanţă şi respectiv a operatorului de admitanţă asociat bobinei prin relaţiile:


atunci ecuaţiile tensiune-curent (relaţia 1._(112)) şi respectiv curent-tensiune (relaţia 1._(110)) asociate unei bobine liniare invariabile în timp devin:


După cum s-a arătat mai sus condensatorul este un element de circuit care poate acumula energie electrică. Pentru condensatorul liniar, invariabil în timp, pentru care conform relaţiei 1._(108) sarcina electrică este proporţională cu tensiunea electrică, prin particularizarea relaţiei 1._(105):

se obţine energia magnetică a bobinei la un anumit moment de timp:

1._(115)

Pe baza relaţiei 1._(115) se poate justifica energetic continuitatea tensiunii la bornele condensatorului. Astfel, variaţiile discontinue ale energiei electrice acumulate de condensator ar produce valori infinite ale puterii vehiculate la bornele

condensatorului: .


1.4.4.4 Condensatorul liniar variabil în timp (condensatorul parametric)


1.4.4.5 Condensatorul neliniar


1.4.5 Elemente active

Generatoare de tensiuneGeneratoare de curent.

BE1_Curs1-2015

Documents

Transcript of BE1_Curs1-2015