www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Bacalaureat

Model subiecte Bacalaureat 2012 M2

Subiecte rezolvate – Model subiecte Bacalaureat 2012, M2

Gasiti mai jos rezolvarea detaliata a subiectelor model Bacalaureat 2012, M2

Subiectul I

1. Intr-o progresie aritmetica (a n ) 1n se cunosc a 1 = 5 si r = 2. Calculati suma primilor 5 termeni ai progresiei.

Rezolvare:

a 5 = a 1 + 4r = 5 + 8 = 13.

S 5 =2

5)aa( 51 = 2

5)135( =2

518 = 45.

2. Determinati numarul real m pentru care ecuatia x 2 - (m + 1)x + m = 0 are solutii reale egale.

Rezolvare:

Solutiile reale ale ecuatiei sunt egale, x 2 = x 1 = 0

= (m + 1) 2 - 4m = m 2 + 2m + 1 - 4m = m 2 - 2m + 1 = (m – 1) 2 .

= 0 (m – 1) 2 = 0 m – 1 = 0 m = 1.

3. Determinati coordonatele punctelor de intersectie a graficului functiei f :R R, f(x)= 2 1x - 1 cu Ox respectiv Oy.

Rezolvare:

Coordonatele punctului A, de intersectie cu Ox, sunt solutiile sistemului

0y)x(fy

0y12y 1x

0y012 1x

0y12 1x

0y22 01x

0y01x

0y

1x A(-1, 0).

Coordonatele punctului B, de intersectie cu Oy, sunt solutiile sistemului

0x)x(fy

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

0x12y 1x

0x12y

0x1y B(0, 1)

4. Calculati 2C 24 - 3A 1

4 .

Rezolvare:

2C 24 - 3A 1

4 = 22134 - 3·4 = 12 – 12 = 0.

5. Se considera vectorii 1v =2 i

+ a j

si 2v =(a + 3) i

+2 j

, unde aR. Determinati numarul a > 0 pentru care vectorii 1v si 2v sunt coliniari.

Rezolvare:

1v si 2v sunt coliniari 3a

2

= 2a 4 = a 2 + 3a a 2 + 3a – 4 = 0, = 9 + 16 = 25

a 2,1 =2

53 , a 1 = - 4 < 0, a 2 = 1 > 0. Deci a = 1.

6. Aria triunghiului MNP este egala cu 16, iar MN = NP = 8. Calculati sin N.

Rezolvare:

Aria MNP = 2

NsinNMNP 16 =

2Nsin88

16 = 32·sin N sin N = 3216

sin N = 21 .

Subiectul II

1. In reperul cartezian xOy se considera punctele A n (n – 1, n + 2), nN * . a) Determinati ecuatia dreptei A 1 A 2 . b) Demonstrati ca punctele A m , A n , A p sunt coliniare, oricare ar fi m, n, pN * .

c) Pentru fiecare pN * notam M p = {nN *pnAA 2}. Determinati elementele multimii M 2011

Rezolvare: a) n = 1 A 1 (0, 3), n = 2A 2 (1, 4). Ecuatia dreptei A 1 A 2 se obtine din formula

12

1

yyyy =

12

1

xxxx

A 1 A 2 :343y

=

010x

A 1 A 2 : y – 3 = x A 1 A 2 : x – y + 3 = 0.

b) Punctele A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ), C(x 3 , y 3 ) sunt coliniare daca 1yx1yx1yx

33

22

11

= 0.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Verificam daca punctele A m , A n , A p sunt coliniare.

1yx1yx1yx

pp

nn

mm

= 0 12p1p12n1n12m1m

= 0. In acest determinant adunam la prima coloana ultima

coloana si la coloana a doua ultima coloana inmultita cu -2 si obtinem 1pp1nn1mm

= 0. Aceasta

egalitate este adevarata deoarece determinantul are doua coloane egale. Deci punctele A m , A n , A p sunt coliniare, oricare ar fi m, n, pN * .

c) A n A p = 22 )2p2n()1p1n( = 22 )pn()pn( = pn 2

A n A p 2 pn 2 2 pn 2 .

M 2011 = {nN *2011n AA 2}={ nN * 22011n }.

2011n 2 - 2 n – 2011 2 (n – 2011){-1, 0, 1}. n – 2011 = -1 n = 2010, n – 2011 = 0 n = 2011, n – 2011 = 1 n = 2012. Deci M 2011 = {2010, 2011, 2012}. 2. Se considera polinomul f = X 3 + (m – 3)X 2 -17X + (2m + 7), cu mR. a) Pentru m = 4 determinati catul si restul impartirii polinomului f la X-3. b) Determinati mR pentru care polinomul f este divizibil cu X - 1. c) Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia 27 x + 9 x - 17·3 x + 15 = 0. Rezolvare: a) Daca m = 4 f = X 3 + (4 – 3)X 2 -17X + (2·4 + 7) f = X 3 + X 2 -17X + 15 Folosim schema lui Horner pentru a obtine catul si restul impartirii polinomului f la X-3. X 3 X 2 X X 0 3 1 1 -17 15 1 3·1+1=4 3·4-17=-5 3·(-5)+15=0 Deci catul este c = X 2 + 4X – 5 si restul r = 0.

b) (X – 1) f BezoutluiT

f(1) = 0 1 + (m – 3)·1 - 17·1 + (2m + 7) = 0 3m – 12 = 0 m = 4 c) 27 x + 9 x - 17·3 x + 15 = 0 (3 3 ) x + (3 2 ) x - 17·3 x + 15 = 0 (3 x ) 3 + (3 x ) 2 - 17·3 x + 15 = 0. Notam 3 x = t > 0 si obtinem ecuatia t 3 + t 2 - 17t x + 15 = 0. La punctul a) am vazut ca t 3 + t 2 - 17t x + 15 = (t – 3)(t 2 + 4t – 5) t 3 + t 2 - 17t x + 15 = 0 (t – 3)(t 2 + 4t – 5) = 0 t 1 = 3

t 2 + 4t – 5 = 0, = 16 + 20 = 36, t 3,2 =2

64 t 2 = 1, t 3 = -5.

t 1 = 3 > 0 3 x = 3 x 1 = 1. t 2 = 1 > 0 3 x = 1 x 2 = 0. t 3 = -5 < 0 Deci S = {0, 1}.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Subiectul III

1. Se considera functia f: R R, f(x) =

0x,4x

0x,1x

42 .

a) Demonstrati ca f este continua in punctul x = 0.

b) Calculati 4x

lim 2x16

)x(f

.

c) Determinati ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul A(-1, -2). Rezolvare:

a) l s =0x

0xlim

f(x) = 0x

0xlim 1x

42 = -4, l d =

0x0x

lim

(x – 4) = -4 l s = l d = -40x

lim

f(x) = -4,

f(0) = -4 f(0) = 0x

lim

f(x) = -4 f este continua in 0.

b) 4x

lim 2x16

)x(f

= 4x

lim 2x16

4x =

4xlim )x4)(x4(

)x4(

=4x

lim )x4(

1 = -

81 .

c) f(-1) = 11

4 = -2 A(-1, -2) este punct al graficului functiei f.

Graficul functiei f admite tangenta in punctul A(-1, -2) daca f este derivabila in punctul -1 iar ecuatia tangentei intr-un punctul M(x 0 , y 0 ) al graficului este y - y 0 = f'(x 0 )(x - x 0 ). Functia f este derivabila pe R * .

Pentru x < 0 avem f'(x) = '

2 1x4

= 22 )1x(

x24 = 22 )1x(

x8

f'(-1) = 2)11()1(8

= -

48 = -2

Ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul A(-1, -2) este y + 2 = (-2)(x + 1) y + 2 = - 2x - 2 2x + y + 4 = 0. 2. Se considera functiile f m : R R, f m (x) = 3m 2 x 2 + 6mx + 9, unde m R. a) Determinati multimea primitivelor functiei f 0 . b) Calculati aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei f 1 , axa Ox si dreptele de ecuatii x= 0 si x = 1.

c) Calculati dxex

9)x(f x2

12

.

Rezolvare: a) f 0 (x) = 9 dx9 = 9x + C este multimea primitivelor functiei f 0 .

b) f 1 (x) = 3x 2 + 6x + 9. Pe intervalul [0, 1] f 1 (x) > 0

A = 1

0 1 dx)x(f = 1

0

2 dx)9x6x3( = 0

123

x92

x63

x3

=

0

123 x9x3x = 1 + 3 +9 = 13

c) f 2 (x) = 3·4·x 2 + 6·2·x + 9 = 12x 2 + 12x + 9.

x

9)x(f 2 =

x99x12x12 2 =

x)1x(x12 = 12(x + 1)

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

dxex

9)x(f x2

12

= dxe)1x(12 x2

1 = 12 dx)'e)(1x( x2

1 = 12(x + 1)e x 21 - 12 dxe x2

1 =

= 12(3e 2 - 2e) - 12 e x 21 = 36e 2 - 24e – 12e 2 + 12e = 24e 2 - 12e.