Axiomele Staticii Şi Consecîntele Lor

8/11/2019 Axiomele Staticii i Consecntele Lor

1/8

Fig. 1.4

Axiomele staticii i consecntele lor

n axiomele staticii se formuleaza acele legi simple i generale crora li se

supun forele ce acioneazasupra unui singur corp sau forele aplicate corpurilorn nteraciune. Aceste legi sunt stabilite prin multiple observaii directe i

verificarea experimental a consecinelor (deseori foarte ndeprtate i deloc

evidente), care rezultlogic dn aceste axiome.

Conform legii a doua a lui Newton, corpul sub aciunea unei fore capat

acceleraie i, prin urmare, el poate s se afle n repaus. Aceasta nseamn c

fornu poate forma un sistem echilibrat de fore. Axioma ntii stabilete condiiilela satisfacerea crora cel mai simplu sistem de fore va fi echilibrat.

Axioma 1

Axioma 1.Dou foreaplicate unui corp rigid vor fi echilibrate (echivalente

cu zero) atunci i numai atunci, clnd sunt egale ca modul, actioneazdupaceeai

dreapti sunt orientate n direcii opuse.

Aceasta nseamna ca daca un corp rigid se afla n repaus sub actiunea a doua

fore, aceste fore sunt egale ca modul, acioneaz pe aceeai dreapta i sunt

orientate n directii opuse. invers, daca asupra unui corp rigid actioneazu pe aceeai

dreapta n directii opuse doua fore egale ca modul icorpul n momentul nitial se

afla n repaus, atunci se va conserva starea lui de repaus.

n fig. 1.4 sunt aratate forele echilibrate F1, F2icare satisfac relatiile:

(F1, F2) ~ 0, (P1, P2) ~ 0.

La rezolvarea unor probleme destatic e necesar s coniderm forele

aplicate la capetele unor bare rigide,

greutatea crora poate fi neglijat i

despre care se tie c ele se afl n

echilibru. Din axioma formulatrezultnemijlocit cforele care acioneazasupra

unei astfel de bare sunt orientate de-a lungul dreptei ce trece prin extremitilebarei, sunt opuse ca direcieiegale ca modul (fig. 1.5 a). Aceastconcluzie este


2/8

F1

F1 F2=-F1 F2=-F1

. 1.5.

b)

Fig. 1.6.

corectiatunci cnd axa barei este curbilinie (fig. 1.5, b).

Prima axioma stabileste conditiile necesare isuficiente de echilibrare numai

a doua fore, nsa, deigur, sistemul echilibrat de fore poate fi format idntr-un

numar mai mare de fore.

Urmtoarele dou axiome stabilesc cele mai simple operatii asupra forelor

pentru care starea corpului nu se schimb.

Axioma 2

Axioma 2.Fra viola starea corpului rigid la el se pot aplica sau nlutura

fore atunci i numai atunci, cnd ele formeazun sistem echilibrat, n particular,

daca acest sistem constdin doufore egale ca modul, acionnd de-a lungul unei

drepte i orientate n sens contrar.

Din aceast axiom rezult urmatoarea consecin: fr a viola starea unui

corp punctul de aplicare al forei poate fi deplasat de-a lungul liniei ei de aciune.ntr-adevr, fie fora FAaplicatn punctul A(fig. 1.6, a). Aplicam n punctul

pe linia de aciune a forei FA, doua fore echilibrate FBiFB', presupunnd c

FB= FA(fig. 1.6, b). Atunci conform axiomei 2 vom avea:

FA ~(FA, FB, FB')

Deoarece forele FAiFBformeaz

de asemenea un sistem echilibrat defore (axioma 1), apoi conform axiomei

2 ele pot fi nlturate (fig. 1.6, c). Aadar

FA ~(FA, FB, FB')~ FB sau FA ~ FB,

ceea ce idemonstreazconsecina.

Aceastconsecinaratcfora aplicat unui corp rigid reprezint un vector

alunecator.

Ambele axiome iconsecina demonstratnu pot fi aplicate pentru corpurile


3/8

Fig. 1.7

Fig. 1.8.

deformabile, n particular, deplasarea punctului de aplicare a forei n lungul l iniei

ei de aciune schimbstarea de deformare iteniune n corp.

Axioma 3

Axioma 3. Fr a schimba starea unui corp, dou fore aplicate n acelai

punct al lui pot fi nlocuite cu rezultanta lor aplicat n acelai punct i egal cu

suma lor geometric(axioma forelor paralelogramului).

Aceast axiom stabilete dou circumstane: prima dou fore F1, i F2

(fig. 1.7) aplicate ntr-un singur punct au rezultant, adic sunt echivalente cu

for

(F1, F2)~ R;

a douaaxioma determincomplet modulul, punctul de aplicare idireciaforei rezultante

R = F1+ F2 (1.5)

Cu alte cuvnte, rezultanta R poate fi construit ca diagonala unui

paralelogram cu laturile ce coincid cu forele F1iF2.

Modulul rezultantei se determinprin egalitatea:

cos221

2

2

2

1 FFFFR

unde - este unghiul dintre vectorii F1iF2.

Menionm c axioma a treia poate fi aplicat pentru

orice corp nu numaidecit absolut solid.

A doua ia treia axiome ale staticii dau poibilitatea de a trece de la un sistem

de fore la altul echivalent. n particular, ele permit de a descompune once forR

n doua, trei etc. componente, adic de a trece la alt sistem de fore, pentru care

fora R este rezultant. Definind, de exemplu, dou direcii ce se afl n acelai

plan cu fora Rse poate construi un paralelogram, diagonala caruia este R. Atunci

forele orientate dup laturile paralelogramului vor forma un sistem pentru care

fora R va fi rezultant (fig. 1.7). O construcie

asemanatoare poate fi fcut i n spaiu. Pentru

aceasta e suficient ca din punctul de aplicare al


4/8

Fig. 1.9.

. 1.10.

vT T'=-T

forei Rsducem trei drepte, care nu se afln acelaiplan isconstruim pe ele

un paralelipiped cu diagonala Rimuchiile ndreptate dupaceste drepte (fig. 1.8).

Axioma 4

Axioma 4 (legea a treia a lui

Newton). Forele de nteraciune a

dou corpuri sunt egale ca modul i

orientate dreapt n sensuri opuse.

Menionam c forele de nteraciune

dintre doucorpuri nu formeazun sistem echilibrat, deoarece ele sunt aplicate la

diferite corpuri. Daccorpul Iacjioneazasupra corpului I Icu fora P, iar corpul

I Iacioneazasupra corpului Icu fora F(fig. 1.9), apoi aceste fore au moduluriegale (F= P) isunt orientate dreaptn sensuri contrare, adica F=P.

Daca notam prin F fora cu care Soarele atrage Pamntul, atunci Pamntul

atrage Soarele cu forde acelaimodul, nsa orientata n directie opusaF.

La miscarea unui corp pe un plan la acest corp va fi aplicatfora de frecare

orientat n sens opus miscrii. Aceasta este fora cu care planul nemiscat

acioneaz asupra corpului. Pe baza axiomei a patra corpul ac ioneaz asupraplanului tot cu aceeai for, nsa sensul ei va fi opus forjei T. n fig. 1.10 este

reprezentat un corp care se misca n dreapta; fora de

frecare este aplicatcorpului n miscare, iar foraT'

= planului. S mai coniderm un sistem n

repaus, reprezentat n

fig. 1.11, a. El const din motorul A, montat pe

fundamentul B, care la rndul sau se afl pe baza C.

Asupra motorului i fundamentului acioneaz

corespunztor forele de greutate F1 i F2 (ele

)

F1 A

F2

b)

c)

d)

'3

3

F'4

4

Fi . 1.11

BF2

C


5/8

reprezint aciunea Pamntului asupra acestor corpuri). n afar de aceste dou

fore menionate mai acioneazurmatoarele fore:

F3 for de aciune a corpului A asupra corpului ( este egala cu

greutatea corpului A);

F3'foraaciunii inverse a corpului asupra corpului A;

F4 fora de aciune a corpurilor A i asupra bazei ( este egala cu

suma greutilor corpurilor Ai B);

F4' fora aciunii inverse a bazei asupra corpului B. Aceste fore sunt

reprezentate n fig. 1.11 b, c, d.

Conform axiomei 4

F3=F'3, F4=F'4,

aceste fore de nteraciune sunt determinate de forele F1iF2.

Pentru a determina forele de interaciune, trebuie sne bazm pe axioma 1.

Deoarece corpul Ase afla n repaus (fig. 1.11, b) trebuie ca F'3 =F1

i, deci, F3= F1.

Exact la fel din condiia de echilibru al corpului (fig. 1.11, c) rezult

F'4=(F2+ F3),

Adic,

F'4=(F1+ F2), i F4= F1+ F2

Axioma 5.

Axioma 5.Echilibrul unui corp deformabil nu se va deregla, dacvom lega

rigid punctele lui i l vom conidera corp rigid.

Aceast axiom (uneori numita principiul solidificarii) se aplica n cazuri,cnd se vorbeste despre echilibrul corpurilor, care nu pot fi considerate rigide.

Forele exterioare aplicate la astfel de corpuri trebuie sa satisfac condiiile de

echilibru ale corpului rigid, nspentru corpurile nerigide aceste condiii sunt doar

necesare inu isuficiente. Vom ilustra cele spuse printr-un exemplu simplu. Mai

Bar

Bar

Fir

F F'

F F'

F F'

Fi . 1.12.


6/8

sus s-a demonstrat cpentru echilibrul unei bare rigide imponderabile este necesar

isuficient ca forele FiF'aplicate la extremitaile ei sacioneze pe dreapta ce

unete capetele barei, saibmodulii egali is fie orientate n sensuri contrare.

Tot aceste condiii sunt necesare i pentru echilibrul unui fir imponderabil, ns

penru fir ele nu sunt suficienteeste necesar sa cerem suplimentar ca forele ce

acioneazasupra firului sfie fore de ntndere (fig. 1.12, b), pe cnd pentru bar

ele pot fi ifore de comprimare (fig. 1.12, a).

n ncheiere, sconsiderm cazul echivalenei cu zero a trei fore neparalele,

aplicate unui corp rigid (fig. 1.13, a).

Teorema despre trei fore neparalele.

Dacsub aciunea a trei fore un corp se afla n echilibru iliniile de aciune a

dou fore se ntersecteaz, atunci toate cele trei fore sunt situate ntr-un plan iliniile lor de actiune se ntersecteazntr-un punct.

Fie asupra corpului acioneazun sistem de trei foreF1,F2 iF3iliniile de

aciune a forelor F1 i F2 se ntersecteaza n punctul A (fig. 1.13, a). Conform

consecinei din axioma 2 forele F1iF2pot fi deplasate n punctul A(fig. 1.13, b),

iar conform axiomei 3 ele pot fi nlocuite printr-o singurforR(fig. 1.13, c).

R= F1+F2.Aadar, sistemul de fore considerat este redus la doua fore RiF3(fig. 1.13,

c). Conform condiiilor teoremei corpul se afla n stare de echilibru, prin urmare,

conform axiomei 1 forele RiF3 trebuie sa aiba lnie de aciune comun, dar

atunci liniile de actiune a celor trei fore trebuie sa se intersecteze ntr-un punct.

Fig. 1.13

)) )


7/8

Bibliografie:

Ionescu, D., Mecanica structurilor I,II, III, Editura Institutului de arhitectur

Ion Mincu, Bucureti, 1980

Ionescu, D., Mecanica structurilor Aplicaii. Editura Institutului de arhitectur

Ion Mincu, Bucureti, 1980

Vlad, I., Macavei, F., Calculul sistemelor structurale la aciuni statice, vol. I,

Editura Tehnic, Bucureti, 2002.


8/8

Cuprins

Axiomele staticii i consecntele lor....................................................................... 1

Axioma 1................................................................................................................ 1

Axioma 2................................................................................................................ 2

Axioma 3................................................................................................................ 3

Axioma 4................................................................................................................ 4

Axioma 5................................................................................................................ 5

Teorema despre trei fore neparalele................................................................. 6

Bibliografie:........................................................................................................... 7

Axiomele Staticii Şi Consecîntele Lor

Documents

Transcript of Axiomele Staticii Şi Consecîntele Lor