. Axioma marginii superioare Consecinle

Prof. Bucov al6 Zoia Gabriela

Pentruoricenumererealelixatex,y cu x> 0 existi n eN astfelincat nx >y. Demonstratie: nx prin ca Presupunem absurd Vn 6 N avem < y. de A Submultimea : {0 , 2x , 3x , ...}a lui lR ar fi majorata y si conformaxiomeilui =supl. ff Cantor Atunci in intervalul ( - x,l existapunctedin A , deciexista p > I naturalastfelincat pentruca f,=supAsi (p+l)x e A . { - x < px < + ( 0 Corolar: Fie aelR,a>0fixat.Dacapentruorice rationalavem atunci a=0. Demonstratie: Dacaa*0 atuncia>0siconformproprietatiiluiArhimede,arexistannaturalnenul t rczulta l.Fie a= astfelincatna> ,conformipotezei 2n' ,. q q- 1 . adica na I , afunci de Fie (x,),.^ un sir convergent numere Ve > 0 , 1n, eN asry'lincat lx,-4.I Yn) n,

Daca n2n"= lr, -tl.i, l*^l,lq.i, arunci m,k -

-/l .;.il*^-*,1=lx^- l+l-x,l 0 arbitrar,fixat . Cum M - e un estemajorant sirului, existauntermen -e . Avem M -e N + xn-+MPropozitie : Fie I c lR o multime nevida majorata si a = sup A. Atunci a este limita unui sir de elementedin A Demonstratie a fiind cel mai mic majorantal multimii A +Yn =1a, e A astfelincat a -). N*,4-1 n nu estemajorantal lui A

o,< a si prin urmarea = liman

reale,b