ASC 3

© conf. dr. ing. Victor POPESCU

1

urmează …


2

Analiza şi Sinteza Circuitelor

Cursul 3

cursul 3


3

Capitolele cursului:

2.- Grafuri de fluenţă

3.- Analiza stabilităţii

4.- Spaţiul stărilor

5.- Formalisme de reprezentare

1.- Caracterizări ale circuitelor electrice

6.- Diporţi pasivi

7.- Circuite de adaptare

8.- Filtre pasive

9.- Aproximarea funcţiilor de circuit

10.- Sinteza circuitelor

cursul 3 Cap. 3. ANALIZA STABILITĂŢII


4

Capitolul 3. ANALIZA STABILITĂŢII

3.1. Stabilitatea SALI

3.2. Criterii algebrice de stabilitate

3.3. Criterii grafo-analitice


3.2.1. Criteriul Routh 3.2.2. Criteriul Routh-Hurwitz 3.2.3. Testul Hurwitz

3.3.1. Locul rădăcinilor 3.3.2. Criteriul Cremer-Leonhard-Mihailov 3.3.3. Sisteme cu reacţie 3.3.4. Criteriul Nyquist



5

REAMINTIM:

Poate că nu este foarte limpede ce înseamnă aceasta practic.

Un scenariu:

a) răspunsul sistemului să revină la regimul permanent anterior

b) răspunsul sistemului să tindă la infinit, oscilant sau nu;

c) în absenţa excitaţiei, sistemul să oscileze întreţinut.

sistemul este (asimptotic) stabil

sistemul este instabil

un sistem se află într-un regim permanent;

o perturbaţie scoate acest sistem din regimul permanent;

după dispariţia perturbaţiei este posibil ca:

La cursul Teoria Semnalelor (Cursul 3, slide 40) s-a definit stabilitatea SALI.

Ne referim la stabilitatea în sens EMRM (excitaţie mărginită, răspuns mărginit)

sistemul este la limita de stabilitate

3.1. Stabilitatea SALI BIBLIOGRAFIE: [1]→pp.119 – 122



6

IMPORTANT:

Stabilitatea SALI este o proprietate intrinsecă a sistemului:

ea depinde de structura sistemului şi de valorile parametrilor săi, dar

nu depinde nici de starea sa iniţială, nici de excitaţia aplicată.

Urmarea: putem să ne alegem „experimentul” convenabil pentru analiza stabilităţii.

Cel mai simplu: un sistem aflat în stare relaxată excitat cu un impuls ideal: răspunsul este funcţia pondere.

Impulsul excită sistemul la momentul t = 0, apoi sistemul evoluează autonom (fără excitaţie); această evoluţie liberă caracterizează sistemul.

Sistemul este stabil dacă funcţia pondere tinde, cu timpul, la zero:

tlim h t 0




7

Ca transformată Laplace inversă a f.d.s., funcţia pondere este o sumă de moduri de oscilaţie:

k k kp t t j tk k

k k

h t C e C e e unde: sunt polii f.d.s.k k kp j

Pentru ca sistemul să fie stabil, toate modurile de oscilaţie trebuie să tindă la zero.

Concluzie:

Pentru ca sistemul să fie stabil, toţi polii f.d.s. trebuie să fie situaţi strict în semiplanul stâng.

Determinarea polilor poate fi dificilă… spre imposibilă.

De aceea s-au formulat criterii practice pentru analiza stabilităţii.




8

Care poate fi efectul zerourilor?

1) Zerourile intervin în determinarea amplitudinilor modurilor de oscilaţie, deci participă la determinarea ponderilor lor, nu şi a aspectului acestora.

2) F.d.s. se poate descompune:

1 2

P s 1H s P s H s H s

Q s Q s

m1 1 0 1 m 1

1Y s X s ; Y s P s Y s b b s b s Y s

Q s

m

1 10 1 1 m m

dy d yy t b y b b

dt dt

11

dys 1H s y t y

Q s dt

1H 2H x t 1y t

y t

Stabilitatea unui SALI depinde numai de poziţia polilor, nu şi de zerouri.

Zerourile au efect asupra calităţii răspunsului (creşte oscilanţa), dar nu afectează stabilitatea.

1y1y '

y




9

CONCLUZII:

1) Stabilitatea este o problemă intrinsecă a sistemului.

2) Stabilitatea este asigurată de situarea polilor f.d.s. strict în semiplanul stâng.

3) Poziţia exactă a polilor nu interesează în problema stabilităţii.

Configuraţia poli-zerouri determină calitatea răspunsului: oscilanţa, comportamentul selectiv, durata regimului tranzitoriu, dar nu stabilitatea.

În analiza stabilităţii nu interesează după cât timp, ci doar că, în cele din urmă, se revine la regimul permanent anterior perturbaţiei.

S-au dezvoltat criterii şi metode care pot verifica dacă polii sunt în semiplanul stâng, fără a preciza (cu unele excepţii) poziţia lor exactă.




10

3.2.1. Criteriul Routh










11

Pentru aplicarea criteriilor algebrice, se consideră f.d.s. globală în forma raţională:

n

n 1 0

P s P sH s

Q s a s a s a

Criteriile algebrice de stabilitate se aplică polinomului de la numitorul f.d.s.

Ele stabilesc relaţii între coeficienţi, relaţii care asigură poziţia zerourilor polinomului (polilor f.d.s.) în semiplanul stâng.

DEFINIŢII:

1) Un polinom care are toate zerourile în semiplanul stâng se numeşte polinom Hurwitz.

2) Un polinom care are toate zerourile strict în semiplanul stâng se numeşte polinom strict Hurwitz.




12

Se evidenţiază două situaţii:

1) Coeficienţii au valori numerice determinate.

2) Coeficienţii sunt exprimaţi simbolic în funcţie de parametrii sistemului (R, L, C, amplificări etc.).

Criteriile permit verificarea stabilităţii sistemului.

Criteriile permit determinarea unor relaţii de proiectare care să asigure stabilitatea sistemului.

OBSERVAŢIE: Înmulţirea cu -1 a unui polinom nu modifică rădăcinile acestuia. Ca urmare, putem considera că facem astfel ca an > 0.




13

Criteriul Routh se bazează pe un tablou construit cu ajutorul coeficienţilor polinomului de la numitor.

1) Pe prima linie se aşează coeficienţii în ordine descrescătoare a gradelor, din doi în doi, începând cu primul.

2) Pe a doua linie se aşează ceilalţi coeficienţi.

3) Următoarele linii conţin elemente calculate după algoritmul:

k 1,1 k 2,j 1 k 2,1 k 1,j 1k,j

k 1,1

n 1 n 2 n n 33,1

n 1

a a a a

a

n 1 n 4 n n 5

3,2n 1

a a a a

a

3,1 2,2 2,1 3,24,1

3,1

1,1 na 1,2 n 2a 1,3 n 4a

2,1 n 1a 2,2 n 3a 2,3 n 5a

3.2.1. Criteriul Routh BIBLIOGRAFIE: [1]→pp.122 – 124



14

Tabloul are o formă triunghiulară şi se continuă până la epuizarea posibilităţilor.

Criteriul Routh afirmă că sistemul este stabil dacă elementele primei coloane a tabloului Routh sunt strict pozitive.

Vor exista atâtea rădăcini cu partea reală pozitivă câte schimbări de semn sunt în prima coloană.

3,12 a 1 2

a 12

3,2

2 1 1 01

2

4,1

2 a 1 2 1 2 a 2

a 1 a 1

1,1 1 1,2 a 1,3 1

2,1 2 2,2 2

5,1 1 Sistemul este stabil dacă: a 2

EXEMPLU:

4 3 2Q s s 2s as 2s 1

Să se determine parametrul a astfel ca sistemul având polinomul caracteristic de mai jos să fie stabil.

Condiţii de stabilitate: a 1 0

a 2 0




15








3.2.2. Criteriul Routh-Hurwitz



16

Criteriul Routh-Hurwitz (sau, numai Hurwitz) apelează la un determinant format cu coeficienţii polinomului caracteristic.

Determinantul are forma:

n 1 n 3 n 5

n n 2 n 41

n n 1 n 3

0

a a a 0

a a a 0

0 a a 0

0 0 0 a

Criteriul Hurwitz afirmă că sistemul este stabil dacă an şi toţi minorii principalisunt strict pozitivi.

Minorii principali sunt minorii care au comun primul element al determinantului.

3.2.2. Criteriul Routh-Hurwitz BIBLIOGRAFIE: [1]→pp.125 – 127; [3]→pp.529 - 531



17

EXEMPLU: Să se determine parametrul a astfel ca sistemul având polinomul caracteristic de mai jos să fie stabil.

4 3 2Q s s 2s as 2s 1

4

2 2 0 0

1 a 1 0

0 2 2 0

0 1 a 1

3 2 22 2

2 2 40 2

22 2

2 a 11 a

3 4 a 1 4 4 a 2

Condiţii de stabilitate: a 1 0

a 2 0

Sistemul este stabil dacă: a 2




18








3.2.3. Testul Hurwitz



19

Polinomul se separă în partea pară şi cea impară:

n n 2 n 4n n 2 n 4

n 1 n 3 n 5n 1 n 3 n 5

s a s a s a s

s a s a s a s

Se dezvoltă în fracţie continuă raportul:

1

2

3n

s 1g s

1s g s1

g sg s

Testul Hurwitz : Polinomul este strict Hurwitz dacă fracţia este completă (are n câturi) şi toate câturile sunt strict pozitive.

3.2.3. Testul Hurwitz BIBLIOGRAFIE: [1]→pp.130 – 131; [3]→pp.435, 429 – rel.(9.59)



20

EXEMPLU: Să se determine parametrul a astfel ca sistemul având polinomul caracteristic de mai jos să fie stabil.

4 3 2Q s s 2s as 2s 1

4 2

3

s s as 1

s 2s 2s

4 2

3

s as 1

2s 2s

2

1 1s

2 12 sa 1 a 1 1

sa 22 a 2 2 sa 1

CONCLUZII:

1) fracţia este completă: are patru câturi

2) polinomul este strict Hurwitz dacă: a 2




21

OBSERVAŢII finale la criteriile algebrice:

1) Criteriile algebrice nu dau informaţii asupra poziţiei exacte a polilor, dar asigură apartenenţa lor strict la semiplanul stâng.

2) Criteriile pot fi folosite pentru verificarea stabilităţii – când coeficienţii sunt daţi prin valorile lor numerice – sau pentru impunerea unor condiţii de proiectare – atunci când coeficienţii sunt daţi prin expresii în funcţie de parametrii sistemului.

IMPORTANT: Prin aplicarea criteriilor algebrice se poate arăta că:

O condiţie necesară pentru ca un polinom să fie strict Hurwitz este ca toţi coeficienţii săi să fie strict pozitivi.

Dacă lipseşte un termen sau dacă un coeficient este negativ, în mod sigur polinomul nu este strict Hurwitz şi nu are rost să se mai încerce vreun test.




22







3.3.1. Locul rădăcinilor



23

Metodele grafo-analitice:

sunt grafo- deoarece au la bază o reprezentare grafică şi

sunt -analitice deoarece se pot stabili relaţii care să asigure stabilitatea, uneori chiar fără a executa reprezentarea grafică (ne-o putem imagina).

Poziţia polilor depinde de parametrii sistemului.

Dacă un parametru variază, polii se deplasează în planul complex.

DEFINIŢIE:

Se numeşte loc al rădăcinilor locul geometric al rădăcinilor unui polinom caracteristic atunci când un parametru al sistemului variază.

Locul se marchează în valori ale parametrului variat.

3.3.1. Locul rădăcinilor BIBLIOGRAFIE: [1]→pp.131 – 135; [3]→pp.531 – 535



24

u t

R

C

L i tEXEMPLU: Fie circuitul RLC serie:

Să trasăm locul rădăcinilor când R variază.

Stabilim funcţia care poate caracteriza acest circuit :

1) ar fi conectată în serie cu o inductanţă ideală, ceea ce reprezintă un caz de incompatibilitate.

2) prin impedanţa sa internă infinită, nu permite închiderea circuitului pentru componenta liberă, deci „omoară” comportamentul dinamic al circuitului.

Circuitul nu poate fi excitat în curent deoarece sursa ideală de curent:

Circuitul poate fi caracterizat numai prin admitanţa de intrare:

I s 1 1Y s

1U s Z s R sLsC

2

sC

s LC sRC 1

2

1 sR 1L s sL LC

2 200

sK

s sQ

2 2

0 0

sK

s 2 s




25

u t

R

C



2

1 sY s

R 1L s sL LC

2 20

0

sK

s sQ

2 2

0 0

sK

s 2 s

01

LC este frecvenţa de rezonanţă

1 R C

2Q 2 L este factorul de amortizare

1 LQ

R C este factorul de calitate




26

u t

R

C



2

1 sY s

R 1L s sL LC

2 20

0

sK

s sQ

2 2

0 0

sK

s 2 s

Polii sunt: 2

1,2 0 0 0 ap j 1 j j

a0

0

cos

pentru: LR 2 1

C

polii sunt complex conjugaţi, situaţi pe un cerc de rază ω0:

2 2 2 2 2 2 20 0 01 1,2 0R 0 0 p j

c 1,2 0L

R R 2 1 pC

Discuţie:




27

u t

R

C



2

1 sY s

R 1L s sL LC

2 20

0

sK

s sQ

2 2

0 0

sK

s 2 s

Polii sunt: 2

1,2 0 0 0 ap j 1 j j

a0

0

cos

pentru: LR 2 1

C

polii sunt reali şi distincţi.

Discuţie:

1 0 0

2 0 0

p 0R

p




28

u t

R

C



2 21,2 0 0 0 0 0 ap 1 j 1 j

2

1 sY s

R 1L s sL LC

2 20

0

sK

s sQ

2 2

0 0

sK

s 2 s

0j

0j

0

0

0

1




29

EXEMPLU: Fie filtrul Sallen-Key :

Să trasăm locul rădăcinilor în raportcu amplificarea k.

kR

C

R

C

1U 2U

1V

2V


1

G

Y 2

G

Y

1

G

Y

1

sC

Yk

1U

1V 2V 2U

1 2Y sC 2G ; Y sC G

2

1 2 1 2

sk CG G1

Y Y Y Y

21 2

1 2

Y Y sk CG G

Y Y

2

1 11 2

k GT ; 1

Y Y

v 1 11

A s T

2

2 2 2

k G

s C 3 k sCG G

2

22

k

3 k 1s s

unde: RC este o constantă de timp.



30

1

j2

1

2

k 3

k 3

k 1

k

k 5

1j2

1

2

EXEMPLU: Fie filtrul Sallen-Key :

Să trasăm locul rădăcinilor în raportcu amplificarea k.

kR

C

R

C

1U 2U

1V

2V

Polii sunt: 1,2

1p k 3 k 1 k 5

2

Sistemul este stabil pentru: 1 k 3

Din motive legate de realizareaamplificatorului: k 1


2

V2

2

k

A s3 k 1

s s

Avem informaţii şi despre calitatea răspunsului:

k 1 - amortizare critică 1 k 3 - răspuns oscilant

k 3 - limita de stabilitate



31

Sistemele se pot clasifica (vezi şi Teoria Semnalelor, C3) în:

a.- sisteme necondiţionat stabile – stabile pentru orice valori ale parametrilor.

Ex.: sistemele pasive sunt necondiţionat stabile.

b.- sisteme necondiţionat instabile – instabile pentru orice valori ale parametrilor.

Ex.: un sistem care conţine un AO cu reacţie locală pozitivă, fără reacţie locală negativă.

c.- sisteme condiţionat stabile – stabile pentru anumite valori ale parametrilor şi instabile pentru alte valori.

Se pune problema determinării domeniilor de variaţie ale parametrilor pentru asigurarea stabilităţii.

Cum s-a văzut, toate criteriile permit determinarea domeniilor de stabilitate.

Locul rădăcinilor aduce, în plus, informaţii privind calitatea răspunsului.




32







3.3.2. Criteriul Cremer-Leonhard-Mihailov3.3.1. Locul rădăcinilor



33

Este o aplicaţie a principiului variaţiei argumentului pentru un polinom real de variabilă complexă.

nn n 1 0 n 1 2 nQ s a s a s a a s p s p s p

pkjk ks p e

n

pkk 1

n j

n n pkk 1

Q a e jRe

n n

n pk pkk 1k 1

R a ;

n

pkk 1

poli în stânga: p p*;2 2

contribuţia perechii de poli: p p* 22

n re imQ j Q jQ 2 4

re 0 2 4Q a a a

2 4im 1 3 5Q a a a

3.3.2. Criteriul Cremer-Leonhard-Mihailov

reQ

imjQ

n 0Q j

R

0a0

j

p

p *

BIBLIOGRAFIE: [1]→pp.135 – 137



34

Criteriul Mihailov : Un polinom Qn(s) este strict Hurwitz dacă hodograful Qn(jω) efectuează o rotire monotonă de în sens pozitiv, în jurul originii, atunci când frecvenţa variază de la zero la infinit.

n 2

OBSERVAŢII:

1) Nu este obligatoriu să se traseze efectiv graficul.

2) Dacă rotirea este corectă (sistemul este stabil), rădăcinile părţii reale şi ale celei imaginare sunt simple şi alternate:

re re,1 re,2

im im,0 im,1 im,2

Q 0 ;

Q 0 0 ; ;

im,0 re,1 im,1 re,2 im,20




35

EXEMPLUL 1:

a) Un program Matlab: a 0,2

a 0,5

a 1

3 23Q s s 2s as 1

Sistemul este stabil pentru a 0,5

b) Prin alternanţa rădăcinilor:

2re re,1

1Q 1 2 0 0,707

2

2im im,0 im,1Q a 0 0 ; a

Condiţia de alternanţă a rădăcinilor este:

10 a

2 Sistemul este stabil pentru

1a

2




36

EXEMPLUL 2:

Reluăm filtrul Sallen-Key : kR

C

R

C

1U 2U

1V

2V

2

V2

2

k

A s3 k 1

s s(vezi slide 29)

2

2

1 3 kQ j j

2re 2

im

1Q

3 kQ


Pentru , sistemul este la limita de stabilitate. k 3

reQ

imQ

0

k 2

k 3

k 4

1

Pentru , hodograful se roteşte în sens negativ. k 3



37

EXEMPLUL 3:


Fie polinomul caracteristic: 4 3 24Q s s s as s 1

4 2re

2im

Q j a 1

Q j 1

Rădăcinile sunt: 2

im re0,1 1,2

a a0 ;1 ; 1

2 4

Condiţia de stabilitate este:

2 2a a a a0 1 1 1

2 4 2 4

Rezultă: a 2

a 1,8a 2a 2,4

Rezultate Matlab:

Dacă unul dintre coeficienţi este negativ:

4 3 24Q s s s as s 1

cursul 3


38

… deocamdată.Asta-i tot

cursul 3


39

ÎNTREBĂRI pentru teste:

1. Explicaţi ce înţelegeţi prin stabilitatea unui sistem. 2. Ce implicaţii are stabilitatea unui SALI asupra funcţie pondere şi asupra f.d.s.? 3. Explicaţi de ce poziţia polilor f.d.s. în semiplanul stâng asigură stabilitatea SALI. 4. Ce efect au zerourile f.d.s. asupra comportamentului SALI? 5. Definiţi polinomul Hurwitz. 6. Enunţaţi criteriul de stabilitate Routh (Hurwitz, ...). 7. În ce condiţii, din simpla inspectare a polinomului caracteristic, se poate afirma că un sistem este instabil?

ASC 3

Documents

Transcript of ASC 3