7

ARITMETICĂ. ALGEBRĂ

CAPITOLUL I

MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE

I. 1. Operaţii cu numere naturale

Să recapitulăm:

Adunarea numerelor naturale

• Aflaţi suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr natural de 5 cifre, ştiind că cifrele fiecărui număr sunt distincte.

Răspuns: 108999

Rezolvare

98765

10234108999

+

Scăderea numerelor naturale

• O societate comercială a depus la bancă într-o zi suma de 57893 lei, iar a doua zi o sumă cu 13959 lei mai mică decât în prima zi.

Aflaţi:

a) Cât a depus societatea comercială în a doua zi la bancă?

b) Ce sumă a depus în ambele zile?

Răspuns: În a doua zi a depus 43934 lei, iar în ambele zile a depus 101827 lei.

Rezolvare

a)

57893

1395943934

−

b)

57893

43934101827

+

Reţineţi!

� a + b = b + a, oricare ar fi numerele naturale a şi b (comutativitatea);

� (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar fi numerele naturale a şi b (asociativitatea);

� a + 0 = 0 + a = a (0 este element neutru la adunarea numerelor naturale).

Înmulţirea numerelor naturale

• Printr-un robinet curg într-o oră 897 de apă.

Ce cantitate de apă va curge prin acelaşi robinet în 17 ore?

Răspuns: 15249 l de apă.

Rezolvare 897

172679

897

15249

i

Reţineţi!

� a · b = b · a, oricare ar fi numerele naturale a şi b (comutativitatea);

� (a · b) · c = a · (b · c), oricare ar fi numerele naturale a şi b (asociativitatea);

� a · 1 = 1 · a = a (1 este element neutru la adunarea numerelor naturale);

� a · (b + c) = a · b + a · c şi a · (b – c) = a · b – a · c, (b ≥ c) (distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere);

� a · 0 = 0 · a = 0 (0 este element absorbant).

8

Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural

Putem reprezenta 62 printr-un pătrat cu 6 rânduri, fiecare având câte 6 pătrăţele? Dar 53 printr-un cub cu 5 straturi, fiecare strat conţinând 5 rânduri de câte 5 cubuleţe?

Rezolvare: 62 53

Avem: 36 = 6 · 6 = 62 125 = 5 · 5 · 5 = 53 � Spunem că 36 este pătratul lui 6 sau că 36 este 6 la pătrat şi că 125 este cubul lui 5 sau că 125 este 5 la cub. � Spunem că 36 este pătrat perfect, iar 125 este cub perfect.

În general: ...n n

n factori

a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ =����� , unde a, b ∈ �.

Reţineţi! Dacă a, n ∈ �, atunci: � Scrierea an se citeşte a la puterea n sau puterea a n-a a numărului a; � a se numeşte baza puterii, iar n exponentul puterii.

Cazuri particulare: a1 = a, a0 = 1 (a ≠ 0), 00 nu are sens; 0n = 0 (n ≠ 0), 1n = 1 (oricare ar fi n ∈ �); 00 – nu este definită (nu are sens).

Împărţirea cu rest a numerelor naturale

Un microbuz are 18 locuri. Câte transporturi trebuie să facă microbuzul pentru a transporta 423 de persoane?

Răspuns: 24 de transporturi. Avem: 423 = 18 · 23 + 9.

Avem: 42336

1823

6354 9

În general: ���� Oricare ar fi numerele naturale a şi b, b ≠ 0, există numerele naturale c şi r, unic determinate, astfel încât a = b · c + r, r < b (teorema împărţirii cu rest). ���� „a“ se numeşte deîmpărţit, „b“ se numeşte împărţitor, „c“ se numeşte cât, iar „r“ este restul împărţirii. ���� 0 : a = 0, oricare ar fi numărul natural nenul a. ���� Împărţirea la 0 nu are sens.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. Calculaţi: a) 3452 + 1759; b) 3456 + 189; c) 4035 + 893; d) 359 + 173 + 483; e) 893 + 106 + 713;

f) 931 + 92 + 135; g) 493 + 23 + 145 + 16; h) 473 + 594 + 78345; i) 378 – 59; j) 17435 – 3946;

k) 732 + 148 – 594; l) 38452 – 198 – 334; m) 47321 – 1893; n) 7312 + 89 –567; o) 4325 – 789 – 1034. (nota 5)

2. Calculaţi utilizând proprietăţile adunării: a) 27 + 58 + 42 + 63; b) 7835 + 749 + 251; c) 139 + 45 + 61 + 55;

d) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24; e) 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + 54; f) 25 + 50 + 75 + 100 + 75 + 150. (nota 7)

9

3. Aflaţi trei numere naturale ştiind că: suma lor este 750, suma primelor două numere este 384 şi suma ultimelor două numere este 492. (nota 7)

4. Diferenţa a două numere este 4387, iar cel mai mare dintre ele este 5182. Aflaţi suma celor două numere. (nota 7)

5. Determinaţi numărul natural x care satisface relaţia: a) x + 352 = 482; b) 382 + x = 1000;

c) x – 123 = 478; d) 500 – x = 150;

e) 831 + x = 1500; f) x – 389 = 7132. (nota 5)

6. Calculaţi: a) 23 · 54; b) 25 · 28; c) 54 · 303; d) 107 · 109;

e) 123 · 35; f) 247 · 352; g) 2348 · 352; h) 125 · 1500;

i) 34 · 12 + 8; j) 48 + 15 · 16 + 20; k) 14 · 10 – (300 – 15 · 12); l) 24 · (50 – 30) + 21 · (40 – 25). a) - h) (nota 5); i) - e) (nota 7)

7. Printr-un robinet curg 25 l apă pe minut. Câţi litri de apă vor curge dacă se deschid 6 robinete în 20 de minute? (Debitul fiecărui robinet este acelaşi) (nota 7)

8. Precizaţi exponentul şi baza fiecărei puteri: a) 53; b) 012; c) 70; d) 20129; e) 372012; f) 56; g) 99; h) 17; i) 00. (nota 5)

9. Scrieţi puterea ce are: a) baza 7 şi exponentul 2; b) baza 10 şi exponentul 0; c) baza zece şi exponetul 10; d) baza 0 şi exponentul 1;

e) baza 0 şi exponentul 0; f) exponentul 2 şi baza 3; g) exponentul 2013 şi baza 2012; h) exponentul 0 şi baza 8. (nota 5)

10. Calculaţi: a) 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; ...; 212; b) 01999; 11999; 19990; 20001; c) 83; 123; 34; 103; 105; 93; d) 37; 112; 142; 303; 1252; 3031; 4050; e) 83; 122; 1232; 01997; 11997; 19970; f) 35; 36; 113; 132; 2502;

g) 52; 53; 54; 152; 153; h) 72; 73; 74; 172; 173; i) 62; 63; 64; 162; 163; j) 82; 182; 282; 382; 482; k) 92; 192; 292; 392; 492; l) 1012; 1022; 1032; 1042; 1003. (nota 5)

11. Calculaţi: a) 52 – 32; b) 92 – 72; c) 112 – 62; d) 132 – 32;

e) 252 – 152; f) 182 – 162; g) 192 – 112; h) 152 – 92;

i) 292 – 112; j) 392 – 292; k) 312 – 112; l) 492 – 92;

m) 182 – 82; n) 382 – 122; o) 1022 – 982; p) 522 – 482. (nota 7)

12. Calculaţi: a) 32 + 5; b) 24 – 7; c) 23 · 5;

d) (5 + 8)2; e) (23 – 19)3; f) 7 · 25;

g) (5 · 7)2; h) (2 · 32)2; i) (22 + 23 + 24) : 7.

j) 07 + 71 + 17; k) 34 – 23 + 05; l) 25 – 33 + 14.

a) - f) (nota 5); g) - l) (nota 7)

10

13. Calculaţi: a) 32 – 23 + 12012; b) 43 – 25 + 100; c) 73 – 26 – 32;

d) (11 + 3)2; e) (7 + 22 –1)2; f) (15 : 3)3 – 20130;

g) 72 – 52 – 42; h) 26 – 25 – 24; i) 34 – 33 – 32 – 31 – 30. (nota 7)

14. Verificaţi egalităţile: a) 32 +192 + 222 = 62 + 172 + 232; b) 34 + 194 + 224 = 64 + 174 + 234;

c) 36 + 196 + 226 = 106 + 156 + 236; d) 10013 = 10030003001;

e) 12 + 62 + 72 + 172 + 182 + 232 = 22 + 32 + 112 + 132 + 212 + 222. (nota 9) 15. Verificaţi egalităţile: a) 62 + 82 = 102; b) 32 + 42 = 52; c) 332 + 442 = 552;

d) 3332 + 4442 = 5552; e) 33332 + 44442 = 55552; f) 333332 + 444442 = 555552. (nota 9)

16. Comparaţi numerele: a) 25 şi 23; b) 47 şi 67; c) 42 şi 24;

d) 43 şi 26; e) 43 şi 82; f) 53 şi 102;

g) 112 şi 27; h) 102 şi 112; i) 35 şi 28.

a) - c) (nota 5); d) - i) (nota 7) 17. Calculaţi: a) 248 : 8; b) 177 : 3; c) 676 : 26; d) 495 : 15;

e) 1664 : 13; f) 14007 : 29; g) 1875 : 125; h) 7931 : 721;

i) 27588 : 19; j) 110630 : 4810; k) 40764 : 258; l) 1440000 : 1200.

a) - d) (nota 5); e) - l) (nota 7) 18. Aflaţi câtul şi restul următoarelor împărţiri: a) 258 : 9; b) 483 : 12; c) 3123 : 23;

d) 21032 : 27; e) 4732 : 39; f) 37400 : 900;

g) 2732 : 18; h) 3212 : 104; i) 20132 : 203.

a) - c) (nota 5); d) - i) (nota 7)

19. Suma a două numere naturale este 152. La împărţirea lor se obţine câtul 20 şi restul 5. Aflaţi numerele. (nota 7)

20. Suma a două numere naturale este egală cu 1679. La împărţirea lor se obţine câtul 110 şi restul 14. Să se afle numărul. (nota 7)

21. Victor are 220 de ciocolate pe care vrea să le aşeze în 15 cutii, în aşa fel încât, în fiecare cutie să se afle acelaşi număr de ciocolate. Va reuşi Victor să facă această operaţie? Alcătuiţi şi rezolvaţi o problemă asemănătoare. (nota 7)

22. Suma a două numere naturale este 1400. Aflaţi numerele, ştiind că unul este de 6 ori mai mare decât celălalt. (nota 7)

23. Câte numere naturale de două cifre există, care împărţite la 6, dau câtul 15? (nota 7)

14

TEST 3 (iniţial)

Partea I. Încercuiţi litera corespunzătoare singurului răspuns corect.

1. Dacă suma a două numere este 8 şi unul dintre numere este 2,8 celălalt număr este: A. 6,2; B. 5,2; C. 4,2; D. 5,8. (5p)

2. Soluţia ecuaţiei 3 · x + 6,54 = 123,9 este: A. 39,12; B. 30,12; C. 40,12; D. 38,12. (5p)

3. Aria unui dreptunghi cu lungimea de 3,8 cm şi lăţimea de 5 cm este egală cu: A. 19,5 cm2; B. 19,2 cm2; C. 19 cm2; D. 18 cm2. (5p)

4. 20 % din cele 360 tone de fructe dintr-un depozit s-au stricat. Cantitatea de fructe ce a rămas pentru comercializare este egală cu: A. 300 tone; B. 288 tone; C. 280 tone; D. 285 tone. (5p)

5. Dacă a – c = 50 şi b = 1,2 atunci ab – bc este egal cu: A. 600; B. 65; C. 56; D. 60. (5p)

6. Un triunghi are lungimile laturilor de 8 cm, 7,2 cm şi 6,8 cm, atunci perimetrul triunghiului este egal cu: A. 20,2 cm; B. 20 cm; C. 22 cm; D. 21 cm. (5p)

7. Dacă 15 6

4x= , atunci x este egal cu:

A. 10; B. 15; C. 12; D. 20. (5p)

8. Se dau mulţimile A = {2, 3} şi B = {1, 3, 6}.

Elementele mulţimii C = , , b

x x a A b Ba

= ∈ ∈

sunt:

A. 1 1 3, ,1,2, ,32 3 2

; B. 1 1, ,1,2,32 3

; C. 1 3

1,2,3, ,3 2

; D. 1 1 3, , ,12 3 2

. (5p)

9. Mulţimea multiplilor lui 25 cuprinşi între 320 şi 427 este egală cu: A. {350, 375, 400, 425}; B. {325, 350, 375, 400, 425, 450}; C. {300, 325, 350, 375, 400, 425}; D. {325, 350, 375, 400, 425}. (5p)

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete.

1. Calculaţi 5·{6450 – [575 : 25 + (139 · 497 + 34752)]·(20 · 45 – 900) + 6450} – 4500. (15p)

2. Restul împărţirii unui număr natural n la 96 este egal cu 36. Aflaţi restul împărţirii lui n la 24. (15p)

3. Un fermier are spre vânzare 2400 lădiţe cu căpşuni a câte 15 kg fiecare. Jumătate din cantitate o vinde la un supermarket, 17640 kg le vinde la alt supermarket, iar restul le vând în mod egal la 15 persoane dintr-o piaţă. Aflaţi cât plăteşte fiecare persoană dacă 1 kg de căpşuni costă 8,50 lei. (15p)

Timp de lucru 50 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

26

I.5. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

Cum descompunem un număr natural în produs de puteri de numere prime?

Exemple:

2412 6 3 1

2223

24 = 2 ·33

562814 7 1

2227

56 = 2 ·73

144 72 36 18 9 3 1

222233

144 = 2 ·34 2

3600 36 18 9 3 1

2233

2 ·52 2

3600 = 2 ·3 ·54 2 2

470 47 1

2 547⋅

470 = 2·5·47

Reţineţi! ���� Orice număr natural compus poate fi scris ca un produs de factori primi.

Numărul divizorilor unui număr natural

Dacă n = 1 2 31 2 3· · ·...· kaa a a

kp p p p , unde p1, p2, ..., pk sunt numere prime distincte două câte două, atunci

n are (a1 + 1)(a2 + 1)· ... ·(ak + 1) divizori.

Atenţie! 0 are o infinitate de divizori pentru că 0 = n · 0, oricare at fi n ∈ �.

Exemple: 56 = 23 · 7 – 56 are (3 + 1) · (1 + 1) = 4 · 2 = 8 divizori;

144 = 24 · 32 – 144 are (4 + 1) · (2 + 1) = 15 divizori;

470 = 2 · 5 · 47 – 470 are (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 8 divizori;

210 = 2 · 3 · 5 · 7 – 210 are (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 16 divizori; 360 = 23 · 32 · 5 – 360 are (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24 de divizori.

Probleme rezolvate: 1. Numărul n este prim. Câţi divizori are n3 ? Dar n5 ? Dar n6 ? Rezolvare: n3 are (3 + 1) = 4 divizori pe: 1, n, n2, n3;

n5 are (5 + 1) = 6 divizori pe: 1, n, n2, n3, n4, n5;

n6 are 6 + 1 = 7 divizori pe 1, n, n2, n3, n4, n5, n6.

2. Scrieţi numerele naturale mai mici decât 50 care au exact trei divizori, apoi pe cele care au exact 4 divizori. Rezolvare: Au exact trei divizori numerele: 22; 32; 52; 72. Au exact patru divizori numerele: 23; 33; 2 · 2; 2 · 3; 2 · 5; 2 · 7; 2 · 11; 2 · 13; 2 · 17; 2 · 19; 2 · 23; 3 · 5; 3 · 7; 3 · 11; 3 · 13; 5 · 7.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. Descompuneţi în factori primi numerele: a) 12; b) 18; c) 27; d) 45; e) 63; f) 66; g) 88; h) 91; i) 97; j) 100; k) 1000; l) 10000; m) 1000000; n) 3000. (nota 5)

2. Arătaţi că următoarele numere naturale sunt prime: 101, 331, 457, 503, 997. (nota 7)

41

CAPITOLUL II

MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE POZITIVE, Q+

II. 1. Fracţii echivalente; fracţie inductibilă; noţiunea de număr raţional; forme de scriere a unui număr raţional; ���� ⊂⊂⊂⊂ ����. Aducerea fracţiilor la un

numitor comun. Compararea şi ordonarea numerelor raţionale

Să recapitulăm: � Părţile haşurate care reprezintă trei pătrimi dintr-un disc sunt

reprezentate de fracţiile: 3

4;

6

8;

9

12;12

16.

� Spunem că cele patru fracţii sunt egale (echivalente).

• Fracţiile 3

4 şi

6

8 fiind egale, observăm că 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6;

• Fracţiile 6

8 şi

9

12 fiind egale, observăm că

6 ⋅ 12 = 8 ⋅ 9. Ele reprezintă aceeaşi parte din întreg.

3

4

6

8

9

12

12

16

• Fracţiile pot fi reprezentate pe axa numerelor.

• Observăm că fracţiile: 3

4;

6

8;

9

12;

12

16;

15

20;

18

24; ... reprezintă acelaşi punct pe axă şi avem: 3 ⋅ 8 = 4 ⋅ 6;

3 ⋅ 12 = 4 ⋅ 9; 6 ⋅ 12 = 8 ⋅ 9 etc.

În general:

• Fracţiile a

b şi

c

d sunt echivalente (egale) dacă a ⋅ d = b ⋅ c. Scriem

a

b=

c

d.

• Fracţiile 5

9 şi

6

11 nu sunt echivalente pentru că 5 ⋅ 11 ≠ 6 ⋅ 9.

– subunitară, dacă m < n

Fracţia m

n este: – echiunitară, dacă m = n

– supraunitară, dacă m > n

42

Cum scoatem întregii din fracţie?

Avem: 25 21 4 3 4 4

37 7 7 1 7 7

= + = + = + ; 32 30 2 2

103 3 3 3

= + = + .

Spunem că: Fracţia supraunitară 25

7 s-a descompus în trei întregi şi 4 şeptimi. Fracţia supraunitară

32

3 s-a descompus în zece întregi şi două treimi.

Vom scrie: 4 4

3 37 7

+ = ; 2 2

10 103 3

+ = .

Spunem că am scos întregii din fracţiile supraunitare 25

7 şi

32

3.

Observăm că: 25 7 3 4 7 3 4 4 4

3 37 7 7 7 7 7

⋅ + ⋅= = + = + = şi

32 10 3 2 10 3 2 2 210 10

3 3 3 3 3 3

⋅ + ⋅= = + = + = .

Concluzie: Pentru a scoate întregii dintr-o fracţie supraunitară, împărţim numărătorul la numitor. Câtul reprezintă numărul întregilor, restul este numărătorul iar numitorul este acelaşi. Alte exemple:

213 11 19 4 11 19 4 4 419 19

11 11 11 11 11 11

⋅ + ⋅= = + = + = .

2017 12 168 1 12 168 1 1 1168 168

12 12 12 12 12 12

⋅ + ⋅= = + = + = .

Cum introducem întregii în fracţie?

Să observăm:

9)5 4 5 9 4 5 9 4 5 41

49 1 9 9 9 9 9

⋅ ⋅ += + = + = = .

14)13 11 13 14 11 13 14 11 13 16711

14 1 14 14 14 14 14

⋅ ⋅ += + = + = = .

Spunem că am introdus întregii în fracţie. În concluzie: Pentru a introduce întregii în fracţie înmulţim numărul întregilor cu numitorul şi adunăm cu numărătorul fracţiei (rezultatul reprezintă numărătorul fracţiei iar numitorul se păstrează).

Alte exemple: 9 4 10 9 49

410 10 10

⋅ += = ;

5 2 18 5 412

18 18 18

⋅ += = ;

5 12 25 5 30512

25 25 25

⋅ += = .

Reţineţi! Dacă a > b (b � �*, a � �), atunci a b c r r

cb b b

⋅ += = , unde r < b.

b a c bac c

⋅ += .

Să observăm: Simplificarea fracţiilor

Fie fracţia 18

24.

• Dacă împărţim atât numărătorul cât şi numitorul fracţiei pe rând la: 2, 3 şi 6 obţinem, respectiv,

fracţiile: 9

12;

6

8;

3

4.

• Fracţiile obţinute sunt echivalente (egale). • Spunem că am simplificat fracţiile cu 2, 3 şi, respectiv, 6.

• Scriem: (2

18 9

24 12= ;

(318 6

24 8= ;

(618 3

24 4= .

• În general: A simplifica o fracţie a

b cu numărul natural n, înseamnă a împărţi numărătorul şi

numitorul ei cu n.

160

7. Aflaţi cel mai mic număr întreg care-l putem scădea din 2013 pentru a obţine ca rezultat un număr întreg cel mult egal cu 320. (nota 9)

8. Aflaţi cel mai mare număr întreg care-l putem scădea din –2013 pentru a obţine ca rezultat un număr întreg cel puţin egal cu 420. (nota 9)

���� TEST 14

1. Ordonaţi crescător numerele întregi: 3; –9; –70; +60; –3; 7; 0; –1; 1; –300; 400. (5p) (nota 5)

2. Completaţi tabelul: a –7 4 –5 –1 –a –3 +3

(5p) (nota 5)

3. Aflaţi valoarea lui x pentru care: a) – 5 0x = ; b) 2 10x + =0. (5p) (nota 5)

4. Calculaţi: a) –5 – (+3 – 4); b) –2 · (–3 + 4) – 5 · (4 – 2). (5p) (nota 5)

5. Calculaţi: (–24) : (–6) + (–2) · (–3) – (–30) : (+5). (5p) (nota 5)

6. Calculaţi: 169 : (–13)2 + (–4)2 : (+2)3. (5p) (nota 5)

7. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) (–3) + (+2) > (–5) + (+3); b) (–3) – (–7) < (–5) + (–2); c) (–2)2 ≤ 4; d) (–15) : (+3) > (–7)(–1). (10p) (nota 5)

8. Completaţi tabelul: a b c a + b + c a – b – c 2(a + b) – 4c a

2 –b2 + c3 –1 –3 –5

(10p) (nota 7)

9. Calculaţi: a) (–7) + 2 – (–5) – (+4); b) (–12) : [(–3) + (–4) + (+5)] – (–18): [(–3 + 1) + (–4)]. (10p) (nota 7)

10. Reprezentaţi pe axa numerelor elementele mulţimilor: A = {x∈�/ –2 ≤ x ≤ 3}; B = {x ∈�/ –4 < x < 0}; C = {x ∈ �+/ x < 4}. (10p) (nota 9)

11. Dacă x = –5 + 3 + 7 – 6, y =(–2)2 + 3 · (–2) iar z =(–3)2 · (–2) : (–6) determinaţi toate valorile pe care le poate lua expresia: E = x ·(–1)k–1 + 2y · (–1)k+1 – z · (–1)k+3, unde k ∈ �*. (10p) (nota 9)

12. Calculaţi 1–2 –22 3 ,x x+ dacă x ∈{–1; 0; 1; 3}. (10p) (nota 10)

Timp de lucru 50 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

162

GEOMETRIE

Capitolul I

I.1. Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare, notaţii). Poziţiile relative ale unui punct faţă de o dreaptă;

puncte coliniare; „prin două puncte distincte trece o dreaptă şi numai una”

Cum reprezentăm în desen un punct? Prin atingerea vârfului unui creion bine ascuţit de foaia caietului se obţine un punct. Trasând două liniuţe care se intersectează, spunem că am reprezentat un punct.

Un punct îl reprezentăm: Îl notăm: Îl citim:

punctul A punctul B punctul C

Punctele se notează cu litere mari de tipar: A, B, C, D, E, … sau A’, B’, C’… (citim A prim, B prim, C prim…)

Puncte identice: A = B Puncte diferite: M ≠ N

Cum reprezentăm o dreaptă? Pentru a reprezenta în desen o linie dreaptă, utilizăm rigla. Să ne imaginăm un fir de aţă foarte subţire şi bine întins. Acesta reprezintă o porţiune dintr-o linie dreaptă. Să înnodăm un alt fir de aţă pe care să-l întindem de-a lungul primului fir. Putem continua aşa la nesfârşit. Linia nemărginită astfel obţinută este o dreaptă.

O dreaptă o reprezentăm: O notăm: O citim:

dreapta a sau

dreapta AB

Dreptele se notează cu litere mici: a, b, c, d, e, f, …

Dacă punctul A aparţine dreptei d, notăm A∈d, iar dacă nu aparţine dreptei notăm A∉d.

Cum reprezentăm o semidreaptă?

Pe dreapta a luăm punctele diferite A, B, C. � Punctul A împarte dreapta a în două părţi; o parte care conţine punctul B şi o parte care conţine punctul C. Cele două părţi se numesc semidrepte care au originea A.

O semidreaptă o reprezentăm: O notăm: O citim:

semidreapta închisă [AB sau

semidreapta deschisă (AB

� Semidreapta închisă [AB are originea în punctul A şi conţine punctul B. � Semidreapta deschisă (AB are originea în punctul A şi nu conţine punctul A, dar conţine punctul B. � Două semidrepte se numesc opuse, dacă au originea comună, sunt distincte şi sunt conţinute în aceeaşi dreaptă, numită dreapta suport. Exemplu: (AB şi (AC sunt semidrepte opuse.

Cum reprezentăm un segment de dreaptă? � Fixând două puncte distincte pe o dreaptă, porţiunea de dreaptă cuprinsă între cele două puncte o numim segment de dreaptă. Punctele care mărginesc un segment de dreaptă se numesc capetele segmentului.

163

Un segment îl reprezentăm: Îl notăm: Îl citim:

segmentul închis [AB] sau

segmentul deschis (BA)

Avem: [AB] = (AB) ∪ {A, B}. Cu o riglă gradată, putem afla lungimea unui segment.

Reţineţi! � O dreaptă nu se poate măsura cu o riglă gradată, ea este infinită (nemărginită).

Cum reprezentăm un plan? Să ne imaginăm o foaie de hârtie foarte subţire şi bine întinsă pe o masă netedă. Aceasta reprezintă o porţiune dintr-un plan. Apoi, lipim o altă foaie de hârtie care o întindem de-a lungul primei foi. Putem continua aşa la nesfârşit. Spunem că avem un plan.

Un plan îl reprezentăm: Îl notăm: Îl citim:

planul α

� Un plan îl notăm cu litere greceşti: α, β, δ, ... etc. sau cu litere mari din alfabetul nostru: P, Q, R, ... etc. � Dacă dreapta d are toate punctele situate în planul α, spunem că dreapta d este inclusă în α şi notăm: d ⊂ α. � Dacă punctul A aparţine planului α, notăm A ∈ α, iar dacă punctul B nu aparţine planului β, notăm B ∉ β. Cum reprezentăm un semiplan? Fie α un plan, d o dreaptă oarecare inclusă în planul α (d ⊂ α) şi punctele A, B ∈ α, astfel încât A, B ∈ d. Spunem că:

• Dreapta d separă punctele A şi B sau A şi B sunt de o parte şi de alta a dreptei d.

Avem: d ∩ AB ≠ ∅.

• Punctele A şi B sunt de aceeaşi parte a dreptei d sau dreapta d nu separă punctele A şi B.

Avem: d ∩ [AB] = ∅.

Un semiplan îl reprezentăm: Îl notăm: Îl citim:

sau

semiplanul deschis (dA sau semiplanul închis [dA

Reţineţi! � Numim semiplan deschis limitat de dreapta d, care conţine punctul A, mulţimea punctelor formată din punctul A şi toate punctele care sunt de aceeaşi parte a dreptei d ca şi A.

� Notăm (dA şi avem: [dA = (dA ∪ d sau (dA = [dA \ d.

� Dreapta d se numeşte frontiera semiplanului [dA sau (dA.

Când trei sau mai multe puncte sunt coliniare? � Trei sau mai multe puncte sunt coliniare dacă sunt situate pe aceeaşi dreaptă.

� Prin două puncte distincte trece o dreaptă şi numai una (axioma dreptei).

164

Să rezolvăm: 1. Se dau punctele A, B, C necoliniare. a) Scrieţi toate perechile formate de câte două puncte ale mulţimii {A, B, C} şi apoi, dreptele determinate de fiecare din aceste perechi de puncte. b) Câte drepte distincte se obţin? Rezolvare: a) Perechile posibile sunt: {A; B}; {A; C}; {B; C}. b) Sunt trei drepte: AB, AC şi BC.

2. a) Desenaţi şase puncte coliniare şi distincte două câte două apoi, notaţi-le cu A, B, C, D, E, F. b) Indicaţi cel puţin patru moduri de a denumi dreapta căreia îi aparţin cele şase puncte (dreapta

suport).

Rezolvare: a) Desenaţi şi altă ordine a punctelor pe dreapta d. b) AB, AD, CE, BD etc.

3. În figura 22 sunt reprezentate: planul α, dreapta d şi punctele A, B, C, D, E conţinute în planul α. Precizaţi valorile de adevăr a propoziţiilor: a) Dreapta d este inclusă în planul α. b) Dreapta AB nu este inclusă în planul α. c) Dreapta CE este inclusă în planul α. d) Dreapta DE nu este inclusă în planul α. e) Punctul A se află pe dreapta d. f) Dreapta CD este inclusă în planul α. g) Punctul C nu se află pe dreapta AB.

Rezolvare: a) A, pentru că punctele A şi B sunt situate în planul α şi dreapta d coincide cu dreapta AB. b) F. c) A . d) F. e) A. f) A. g) A.

EXERCIŢII ŞI PROBLEME

1. Realizaţi pe caiet câte un desen care să reprezinte: a) Punctele identice A şi B; b) Dreapta CD; c) Punctele distincte E şi F;

d) Puncte diferite G şi H; e) Dreapta MN; f) Dreapta a. (nota 5)

2. Alegeţi răspunsul corect: i) Printr-un punct trec:

a) nicio dreaptă; c) doar două drepte distincte; b) o singură dreaptă; d) oricât de multe drepte.

ii) Prin două puncte distincte trec: a) o singura dreaptă; c) o infinitate de drepte. b) două drepte distincte;

iii) Două drepte diferite pot fi concurente: a) într-un punct; c) în mai multe puncte; b) în două puncte; d) în niciun punct. (nota 5)

3. În figura 23 precizaţi: a) Câte drepte sunt în figură? Citiţi-le în două moduri. De exemplu: g sau BF. b) Ce punct din figură este situat pe toate dreptele? c) Punctele de pe figură care nu se află pe dreapta h.

(nota 5)

Fig. 22

Fig. 23

165

4. În figura 24 scrieţi punctele şi dreptele care sunt identice şi, pe cele care sunt distincte. (nota 5)

5. Problemă aplicativă. Trei zidari au la dispoziţie trei puncte coliniare A, B, C (în această ordine) astfel încât AB = 1 m, BC = 4 m, o sfoară cu lungimea de 2 m, pe care o pot colora cu var, şi doresc să traseze cu var o linie care să unească punctele A şi C. Descrieţi un astfel de procedeu. (nota 7)

6. Desenaţi pe caiet desenul din figura 25 şi, apoi marcaţi punctele

M∈a şi N∈b astfel ca punctele B, N, A, M să fie coliniare. (nota 7)

7. Problemă aplicativă. a) Punctele A, B, C sunt coliniare şi punctele B, C, D sunt coliniare. Sunt situate punctele A, B, C, D pe aceeaşi dreaptă? b) Doi muncitori vor să construiască un şanţ în linie dreaptă între doi stâlpi fixaţi. Ei dispun de o sfoară prea scurtă. Cum procedează? (nota 7)

8. Se consideră în plan trei drepte oarecare. Câte puncte pot determina intersecţiile acestor drepte? Realizaţi un desen pentru fiecare situaţie în parte. (nota 7)

9. Desenaţi 6 puncte distincte două câte două astfel încât acestea să determine exact 8 drepte. (nota 7)

10. Se consideră 5 puncte distincte nesituate toate pe aceeaşi dreaptă. a) Care este numărul minim de drepte determinate de câte două din aceste puncte? b) Care este numărul maxim de drepte determinate de câte două din aceste puncte? c) Există o aranjare a celor 5 puncte astfel încât ele să determine exact 6 drepte? (nota 7)

11. Fiind date 10 puncte distincte două câte două printre care nu există trei puncte coliniare, aflaţi numărul de drepte determinate. Generalizare. (nota 7)

12. Fiind date 17 puncte distincte, există o aşezare a acestora în acelaşi plan aşa încât unindu-le două câte două să se obţină 137 de drepte? (nota 9)

13. Scrieţi câte drepte, câte semidrepte şi câte segmente conţine fiecare din configuraţiile geometrice din figura 26. (nota 7)

Fig. 26

Fig. 24

Fig. 25

176

TEST 16

1. a) Desenaţi figura 42 şi scrieţi dreptele şi segmentele de pe ea. b) Pe dreapta d avem punctele A, B, C, D, E. Precizaţi ordinea punctelor pe dreaptă dacă: ����A este între B şi C; ���� E este între A şi D; ���� B este lângă E; E nu este între B şi D. (10p) (nota 5)

2. Se dau triunghiurile echilaterale ∆ABC şi ∆ABD (C ≠ D). Stabiliţi poziţia dreptelor: a) AB şi CD; b) BC şi AD (în plan şi în spaţiu). (5p) (nota 5)

3. Fie punctele A, B, C (în această ordine) pe dreapta d. a) Dacă AB = 6 cm şi BC = 10 cm, calculaţi AC. b) Dacă AC = 12 cm şi BC = 4 cm, calculaţi AB. c) Dacă M şi P sunt mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv, [BC], calculaţi MP în fiecare din cazurile a) şi b). (5p) (nota 5)

4. Pe dreapta d se consideră punctele A, B, C, D (în această ordine), astfel încât: AB = 4 cm, BC = 1 cm; AD = 12 cm. Calculaţi: AC, CD, BD. (10p) (nota 5)

5. Punctele A, B, C (în această ordine) sunt coliniare astfel încât distanţa dintre mijloacele segmentelor (AB) şi (BC) este 40 cm. Calculaţi lungimea segmentului (AC).

(10p) (nota 5)

6. Fie punctele A1; A2; A3, ..., A20 puncte în această ordine pe dreapta d astfel încât: A1A2 = 1cm; A2A3 = 2cm; A3A4 = 3cm; ...; A19A20 = 19cm. Calculaţi lungimea segmentului A8A16. (10p) (nota 7)

7. Pe dreapta d se consideră punctele A, B, C astfel încât: AB = 4AC. Calculaţi

valoarea raportului .AB

BC (10p) (nota 7)

8. a) Se consideră punctele A, M, N, B astfel încât M ∈ (AN), N ∈ (MB). Dacă AM = 5 cm, NB = 3,5 cm şi AB = 11 cm, calculaţi lungimile segmentelor [MN], [AN] şi [MB]. b) Dacă P este mijlocul segmentului [AM], calculaţi lungimile segmentelor [PB] şi [PM], apoi demonstraţi că M este mijlocul segmentului [PN]. (10p) (nota 9)

9. Se consideră segmentul AB, cu AB = 5 cm şi C∈AB. Stabiliţi poziţia punctului C

faţă de capetele segmentului [AB], dacă 2.

3

AC

BC= (10p) (nota 9)

10. Se dau 6 puncte distincte două câte două. Stabiliţi: a) care este numărul dreptelor determinate de câte două din aceste puncte ştiind că oricare trei sunt necoliniare; b) care este numărul dreptelor distincte determinate de câte două din aceste puncte ştiind că exact trei din ele sunt coliniare. (10p) (nota 10)

Timp de lucru: 50 minute. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Fig. 42