Concursul Naional de matematica "Arhimede" Ediia a V-a, etapa finala 19 aprilie 2008 Clasa a VI-a 1.(4p)l) Suma a doua numere naturale este 2007. Daca mprim numarul mai mare la numarul mai mic obinem restul 223. Aflai cele doua numere. (5p)2) Fie a=(_m_+_n_+_p_):(_I_+_l_+_l 3__ ) unde n+p m+p m+n n+p m+p m+n m+n+p m = 1,2(3); n = 1,3(2) i p = 2004,(5). Sa se arate ca a este un numar natural.II (4 P) . 1) A fl aI. -xy t.I.Ind ca- =xy- + x = -17 . yx+ y 19. -.. _ -X}'z yzx

zxy

(5p).2) Aflati xyz tiInd ca - =- =. 168 348 8 I6 III. Fie irul de numere naturale: 1,2,3,5,8,13,21, .... (2p).a) Sa se scrie urmatorii 3 termeni ai irului; (3p).b) Sa se arate ca suma primilor 2007 termeni ai irului este un numar par. (4p).c) Sa se arate ca oricum alegem 8 termeni consecutivi ai irului, suma acestora nu este termen al irului. IV.(9p) Fie ASC un triunghi oarecare i punctele M,N,P pe laturile BC, AC, respectiv AB, astfel nct M este mijlocul laturii Se. Sa se arate ca dadi exista trei triunghiuri congruente, cu vrfurile {A, P, N}, {B, P, M} respectiv {C, M, N} atunci punctele N i P reprezint mijloacele laturilor AC respectiv AS. (Se cunoate faptul ca "n orice triunghi, suma unghiurilor triunghiului este 180"") Traian Preda Nota: Timp de lucru: 2 ore i 30 de minute. Toate problemele sunt obligatorii. La fiecare problema se acorda 1 punct din oficiu.