Arhimede 2007 2008 Et3 Sub 3-12.pdf

Concursul Naional de matematic Arhimede Ediia a V-a, etapa final

19 aprilie 2008

Clasa a III-a I (4p).1) Ce numr are suma cifrelor 19 i succesorul su suma cifrelor 2? (5p).2) Am pe o mas cartonae pe care sunt scrise numerele de la 1 la 14 inclusiv, cte un numr, o singur dat, pe fiecare cartona. Care este numrul maxim de cartonae pe care le putem lua, pentru ca suma lor s fie 57? Dar numrul minim? II (4p).a) Aflai toate numerele naturale care mprite la 6 dau ctul 9 i restul mai mare dect 3. (5p).b) Rezolvai: =++++++++ )97531108642(:)99...531100...642( III. (9p) Tatl a 3 copii are 37 de ani. Al doilea copil e mai mare dect primul cu 1 an. Al treilea copil e mai mare dect al doilea cu 3 ani. Peste 7 ani, tatl va avea vrsta egal cu suma vrstelor celor 3 copii. Care e vrsta copiilor? IV. (9p) Flmnzil avea de 5 ori mai multe cornuri dect pini. Mnnc 5 cornuri si mai cumpr 3 pini. Acum numrul cornurilor devine de 3 ori mai mare dect numrul pinilor. Cte cornuri i cte pini a avut Flmnzil la nceput? Not: Timp de lucru: 2 ore. Toate Subiectele sunt obligatorii. La fiecare subiect se acord 1 punct din oficiu.


19 aprilie 2008

Clasa a IV-a I (5p).1) a,b i c sunt numere naturale. Aflai valorile lor din egalitile: ab = )5(:3500 726:)86( =+a rest 4 )10()50(: = bac rest 45 (4p).2) Aflai dou numere naturale consecutive care micorate fiecare dintre ele cu acelai numr a dau ca sum 703, iar mrite fiecare dintre ele cu acelai numr a dau ca sum numarul 783. II Fie numrul ...00003030030003=A (4p).a) Dac cifra 3 apare de 2008 ori n A, de cte ori apare cifra 0? (5p).b) De cte ori apare cifra 0 n scrierea lui A dac A are 60 de cifre?

III (4p).1) Gsii numerele de forma xyz care adunate cu produsul i cu suma cifrelor lor, dau 233. (5p).2) Elena avea de rezolvat un numr de probleme i i calculeaz c dac ar rezolva ntr-un anumit ritm, le-ar termina in 15 zile. Dac ar rezolva cte 4 probleme n plus pe zi le-ar termina n 10 zile. Cte probleme are Elena de rezolvat? IV (9p) De-a lungul unei alei sunt 26 de pomi fructiferi. Numrul fructelor din oricare doi pomi vecini difer cu 1, 3, 5, 7 sau 9 fructe. Dac se culeg toate fructele din toi pomii, este posibil ca numrul total al fructelor sa fie 2006. Justificati rspunsul. Not: Timp de lucru: 2 ore. Toate Subiectele sunt obligatorii. La fiecare subiect se acord 1 punct din oficiu.


19 aprilie 2008

Clasa a V-a I.(4p)1) Dac 9,1...3,12,11,11 ++++=a 9,2...3,22,21,22 ++++=a 9,3....3,32,31,33 ++++=a

Atunci 2:)( 312 aaa += .

2) Fiind dat mulimea }122,|{ 5


19 aprilie 2008

Clasa a VI-a I.(4p)1) Suma a dou numere naturale este 2007. Dac mprim numrul mai mare la numrul mai mic obinem restul 223. Aflai cele dou numere.

Vasile Tarciniu

(5p)2) Fie

++

+

++

++

+

++

++

=pnmnmpmpnnm

p

pm

n

pn

ma

3111: unde

)2(3,1);3(2,1 == nm i )5(,2004=p . S se arate c a este un numr natural.

Liviu Opriescu

II(4p).1) Aflai xy tiind c 19

17=

++yyx

xxy.

(5p).2) Aflai xyz tiind c 816348168

zxyyzxxyz==

Damian Marinescu III. Fie irul de numere naturale: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,. (2p).a) S se scrie urmtorii 3 termeni ai irului; (3p).b) S se arate c suma primilor 2007 termeni ai irului este un numr par. (4p).c) S se arate c oricum alegem 8 termeni consecutivi ai irului, suma acestora nu este termen al irului.

Liviu Opriescu IV.(9p) Fie ABC un triunghi oarecare i punctele M,N,P pe laturile BC, AC, respectiv AB, astfel nct M este mijlocul laturii BC. S se arate c dac exist trei triunghiuri congruente, cu vrfurile {A, P, N}, {B, P, M} respectiv {C, M, N} atunci punctele N i P reprezint mijloacele laturilor AC respectiv AB. (Se cunoate faptul c n orice triunghi, suma unghiurilor triunghiului este o180 )

Traian Preda Not: Timp de lucru: 2 ore i 30 de minute. Toate problemele sunt obligatorii. La fiecare problem se acorda 1 punct din oficiu.


19 aprilie 2008

Clasa a VII-a I(4p).1) Fie *n . Determinai cel mai mic numr n pentru care numrul

.2510

2008...642

++++ nnnn

(5p).2) Determinai numrul x din relaia:

8081

1...

23

1

12

12...222 2032

+++

++

+=

x

Cristina Godeanu-Matei

II.1) Fie *n .Artai c: (3p) .i) Numerele 124 + nn i 148 + nn sunt relativ prime; (3p).ii) Cel mai mare divizor comun al numerelor 1232 ++ nn i 1416 ++ nn este 124 ++ nn .

Alexandru Szrs 2)(3p) Artai c exist numerele *200721 ,...,, nnn astfel nct numrul

200721 2...22 nnn +++ s fie divizibil cu 2007. Gheorghe Stoica

III(9p). Fie triunghiul oarecare ABC , AC>AB, [AD] este bisectoarea unghiului BAC, )(BCD , ADBE i ADCF , M mijlocul lui [AB], N mijlocul lui [AC]. S se arate c dreptele ME, BC i NF sunt concurente.

Ion Nea IV.(4p)a) Fie AOB un unghi obtuz i punctele OAAA (, 21 i OBBB (, 21 . S se arate C dac 2211 BABA atunci OBABA / ][][ 2211 . (5p)b) Fie ZOXYOZXOY ,, trei unghiuri obtuze, adiacente dou cte dou i punctele OZCCOYBBOXAA (,;(,;(, 212121 astfel nct 222111 CBACBA . S se demonstreze c punctele 1A i 2A , 1B i 2B , 1C i 2C coincid.

Traian Preda

Not: Timp de lucru: 3 ore. Toate Subiectele sunt obligatorii. La fiecare subiect se acord 1 punct din oficiu.


19 aprilie 2008

Clasa a VIII-a

I(4p).1) tiind c numerele raionale pozitive x i y verific simultan condiiile: a) xyyyx 79)(6 22 =+ ;

b) yx

yx

220

513

++

este numr raional;

S se afle valoarea raportului yx

yx

2115

211

+

.

Ion Nea, Ion Burc (5p).2) Fie Ryx , cu proprietatea c [x]=[y].

Artai c 10, y>0.

(3p).b) )(8)()()(

2

3

2

3

2

3

cbab

ac

a

cb

c

ba++

++

++

+

Nicolae Papacu (3p) 2) Artai c dac ),0(,, cba i 1=++ accbba , atunci

( ) ( ) ( ) 1111 222 ++++++ ccbbaacba Gheorghe Stoica

III.(9p) Se consider piramida VABCD, G centrul de greutate al triunghiului ABC i A,B,C mijloacele muchiilor [BC], [CA],[AB]. Artai c dac ','),( VBVBVAVAABCVG i

'VCVC atunci piramida VABCD este regulat. Gheorghe Stoica

IV. Fie VABC o piramid cu vrful n V. Triunghiul MNP se numete nscris n piramida VABC dac )(),(),( VCPVBNVAM . (4p)a) S se arate c dac VCVBVA atunci orice dou triunghiuri 111 PNM i 222 PNM nscrise n piramid i care sunt echivalente (de arii egale) se vor intersecta.

(5p)b) S se arate c dac VABC este o piramid regulat cu 4

1))(,(sin(


19 aprilie 2008

Clasa a IX-a I.(9p) Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC, diferit de vrfurile triunghiului. Dac

321 ,, HHH sunt ortocentrele triunghiurilor MBC, MAC, MAB, atunci triunghiurile ABC i

321 HHH sunt congruente i au laturile paralele.

Nicolae Papacu

II.Se consider funcia xxxff += 21)(,: . (3p).a) S se calculeze ff o .

(3p).b) S se rezolve ecuaia: 12))(( =xfff oo

(3p).c) S se demonstreze c dac x, y, z sunt numere reale cu proprietatea c 1222 =++ zyx

atunci 1)()()( 222 ++ zfyfxf . I. V. Maftei, Marius Rdulescu

III(9p). Fie

4

,0

x . S se demonstreze c dac

xx

nsincos

1,...,2,1 atunci

( )[ ] [ ]12sincos 2 =+ nxxn . Marius Drgan

IV. S se demonstreze c:

(3p).1)


19 aprilie 2008

Clasa a X-a

I. S se rezolve urmtoarele ecuaii trigonometrice: (5p).a) 1cossin 33 =+ xx (4p).b) xxxx 5544 cossincossin +=+ . Georgeta Alexandrescu, Lenua Prlog

II.(9p) Rezolvai ecuaia: 0302332)114(4 2 =+++ xxx xx

Nicolae Papacu

III. S considerm numerele complexe 321 ,, zzz cu urmtoarele proprieti:

1) 1|||||| 321 === zzz

2) }3,2,1{,0Re jz j

(6p).a) S se demonstreze c 4|||||| 133221 zzzzzz (3p).b) n ce caz avem egalitate?

Marius Drgan

IV.(9p) Se consider numerele complexe 4321 ,,, zzzz cu urmtoarele proprieti :

1) 1|||||||| 4321 ==== zzzz

2) 0)( 2423

22

21

24321 =+++++++ zzzzzzzz

3) 0)( 4443

42

41

44321 =+++++++ zzzzzzzz

S se arate c 5453

52

51 zzzz ===

Sorin Rdulescu, Mihai Piticari



19 aprilie 2008

Clasa a XI-a I(6p).a) Stabilii monotonia irului 1)( nnx definit astfel:

*20061 ,20071

Nnxn

nx nn ++

=+ i .20051 =x

(3p).b) S se calculeze nn

xlim

Gheorghe Stoica

II(5p).1) Rezolvai n )(2 ZM sistemul de ecuaii:

=+

=+

2

2

)(

)(

IYYXY

IXYXX

Marius Minea (4p).2) Fie )(, CMBA n cu proprietatea nOBAAB =+ S se demonstreze c urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

a) Matricea 33 BA este inversabil; b) Matricele A+B i 22 BABA sunt inversabile.

Mihaly Bencze III.(9p) S se determine toate funciile continue i mrginite :f cu proprietatea:

+= xxfxxf ),()1()( 2 . Sorin Rdulescu, I.V.Maftei

IV.(9p) Fie ),(, 3 CMBA cu proprietile 3

23

2 , OBOA ==

Atunci trABBAI =++ 1)det( 3 Sorin Rdulescu



19 aprilie 2008

Clasa a XII-a I(5p).a) S se determine un polinom f cu coeficieni raionali de ordinul rangul 6 care are rdcina

3 32 += . (4p).b) S se demonstreze c exist ][XQf de gradul 6 cu 0)( =f i polinomul g=f+1 este ireductibil n ][XQ .

Adrian Troie, Dan Popescu

II(9p) Fie ],[: baf funcie derivabil cu derivata continu. Atunci pentru ),1[ p i f(a)=0 avem:

b

a

pb

a

pdttfdttftfp )(')(')(

1

Sorin Rdulescu. Marius Rdulescu

III(9p) Dac ba

Arhimede 2007 2008 Et3 Sub 3-12.pdf

Documents

Transcript of Arhimede 2007 2008 Et3 Sub 3-12.pdf