Aprilie2019 - profs.info.uaic.roolariu/curent/PS/files/probability8.pdf · 2 0...

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi StatisticăProbabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică










Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică Probabilităţi şi Statistică

Probabilităţi şi Statistică - Curs 8

Aprilie 2019













Table of contents

Variabile aleatoare continueVariabile aleatoare continueDistribuţii continue remarcabile

Teoremele fundamentaleLegea numerelor mari

Inegalităţile lui Markov şi a lui Cebâşev revăzuteTeorema lui CebâşevLegea numerelor mari

Teorema limită centralăAproximarea normală a distribuţiei binomiale

SimulareSimularea variabilelor aleatoareAplicaţii ale LNM şi TLC

Bibliography













Evenimente aleatoare

� În cazul în care jj > jRj (i.e., cardinalul lui este cel puţincontinuu), evenimentele aleatoare se definesc diferit faţă decazul discret.� Diferenţa principală constă în aceea că nu orice submulţimeA � este în mod necesar eveniment aleator: familia eveni-mentelor aleatoare este o �-algebră A � P():� ?; 2 A;� dacă A1;A2 2 A, atunci A1 \A2 2 A;� dacă (An)n>1 � A, atunci

[n>1

An 2 A.

� Iar funcţia de probabilitate este definită numai pe submulţim-ile din A (cu axiomele cunoscute):

P : A ! [0; 1]:













Variabile aleatoare continue

� O funcţie X : ! R este numită variabilă aleatoare dacă

pentru orice J interval din R;X�1(J ) 2 A:� O variabilă aleatoare X : ! R se numeşte continuă

dacă are funcţia de repartiţie continuă (câteodată, aceastădefiniţie se referă la toate cazurile când X () este decardinal continuu).� Distribuţia (repartiţia) unei astfel de variabile poate fi datăprin funcţia de repartiţie:

F : R! [0; 1];F (a) = P(X 6 a);

� sau prin funcţia de densitate (de masă), f : R! [0;+1),astfel încât funcţia de repartiţie F poate fi descrisă astfel:

F (a) = P(X 6 a) =aZ

�1

f (t) dt :














� Orice funcţie f : R! [0;+1) cu1Z�1

f (t) dt = 1 este funcţie

de densitate pentru o anumită avariabilă aleatoare continuă(sau, mai simplu, distribuţie continuă).� Folosind funcţia de densitate putem calcula (dacă integraleleexistă) media şi dispersia:

E[X ] =

+1Z�1

tf (t) dt şi Var [X ] =

+1Z�1

[t � E[X ]]2 f (t) dt :

� Dacă h : R ! R este o funcţie reală (şi continuă), iar Xeste o variabilă aleatoare cu densitatea f , atunci h(X ) esteo variabilă aleatoare cu media

E[h(X )] =

Z1

�1

h(t)f (t) dt :














� Probabilităţile asociate unei variabile aleatoare continue secalculează astfel:

P(a < X 6 b) = F (b)� F (a) =bZ

a

f (t) dt ;

adică aria aflată sub graficul funcţiei f între punctele t = aşi t = b.� Dacă F este continuă, P(X = a) = F (a) = 0 şi P(a 6X < b) = P(a 6 X 6 b) = P(a < X < b).� Pentru o variabilă aleatoare X : ! R, dată, operaţia de

standardizare constă în următoarea transformare a vari-abilei X :

Y =X � E[X ]

StDev [X ]:

� Noua variabilă este "standard" pentru că are

E[Y ] = 0 şi Var [Y ] = 1:













Variabile aleatoare continue - Exemple

Exemplul 1. Durata vieţii în ani a unei anumite componenteelectronice este o variabilă aleatoare continuă, cu funcţia de den-sitate

f (x ) =

8<:

kx 4 ; x > 1

0; x < 1

Determinaţi k , funcţia de repartiţie şi probabilitatea ca viaţaunei astfel de componente sa depăşească 2 ani.

Soluţie. Trebuie ca f (t) > 0;8t 2 R şi1Z�1

f (t) dt = 1, deci

k > 0 şi 1 =1Z1

kt4

dt =�� k3t3

�1

1=

k3, de unde k = 3.














Funcţia de repartiţie este F (x ) =xZ

�1

f (t) dt , deci

F (x ) =

8<: 1� 1

x 3 ; x > 1

0; x < 1

Fie X durata de viaţă a acestei componente electronice, prob-abilitatea ca durata de viaţă să fie cel puţin 2 ani este P(X >

2) = 1� P(X < 2) = 1� F (2) = 1=8 (deoarece F e continuă).Exemplul 2. Fie X o variabilă aleatoare continuă cu următoareafuncţie de densitate:

f (x ) =

(�x ; 0 6 x 6 20; altfel

Determinaţi �, funcţia de repartiţie, media şi dispersia lui X .














Exemplul 3. Timpul (în minute) necesar unui anumit sistem sărepornească este o variabilă aleatoare continuă cu densitatea

f (t) =

(C (10� x )2; 0 < x < 10

0; altfel

Calculaţi C şi probabilitatea ca timpul de repornire să fie între1 şi 2 minute.Exemplul 4. Durata de viaţă (în ani) a unui tip de HD este ovariabilă aleatoare continuă cu densitatea

f (t) =

8<: K � x

50; 0 < x < 10

0; altfel

Calculaţi K , probabilitatea ca o eroare hardware să apară înprimii 5 ani şi durata medie de viaţă a acestui HD.













Distribuţii continue remarcabile

Distribuţia uniformă. Se notează cu U (a ; b) şi are funcţia dedensitate

f (t) =

8>><>>:

0; x < a1

b � a; x 2 [a ; b]

0; x > b

DacăX : U (a ; b), atunci E[X ] =a + b2

and Var [X ] =(b � a)2

12.

U (0; 1) se numeşte distribuţia uniformă standard.














Distribuţia exponenţială. Se notează cu Exp(�) şi are funcţiade densitate (� > 0)

f (t) =

(0; x < 0

�e��x ; x > 0

Pentru X : Exp(�), E[X ] =1�;Var [X ] =

1�2 .

Distribuţia exponenţială este utilizată pentru a modela timpulde aşteptare, timpul între două sosiri, durata de viaţă hard-ware etc; într-o secvenţă de evenimente rare timpul dintredouă astfel de evenimente este distribuit exponenţial.Distribuţia exponenţială nu are memorie (trecerea a x0 minute nuare relevanţă): chiar dacă X > x , când timpul total de aşeptaredepăşeşte x , timpul rămas are o distribuţie exponenţială: P(X >

x +�x jX > x ) = P(X > �x ) (de ce?).














Distribuţia gaussiană (normală). Se notează cu N (�; �2) şiare funcţia de densitate

f (t) =1

�p2�� e�

(t � �)2

2�2 :

Dacă X : N (�; �2), atunci E[X ] = � and Var [X ] = �2.Distribuţia N (0; 1) este numită distribuţia normală standard .Valorile unei variabile normal distribuite au următoarea împrăştiere(simetric în jurul mediei): %68 se găsesc în intervalul [��; �+

�], %95 în [� � 2�; � + 2�], iar %99:7 aparţin intervalului [� �3�; �+ 3�].














� Distribuţia normală are un rol central în teoria probabil-ităţilor şi statistică pentru cel puţin două motive.

� Drept o consecinţă a Teoremei Limită Centrale (TLC - vezimai jos) sumele şi/sau mediile variabilelor independente şiidentic distribuite au cu aproximaţie o distribuţie normală.

� De-a lungul timpului s-a observat că distribuţia normală esteun model potrivit pentru foarte multe variabile: temper-atura, greutatea, înălţimea şi chiar notele studenţilor.

� Distribuţia normală a fost utilizată implicit de către de Moivrepentru aproximarea distribuţiei binomiale şi ulterior de cătreLaplace şi Gauss (în mod explicit).














Distribuţia Student (sau t). Este notată cu t(r) şi are funcţiade densitate

f (x ) =

8>>>><>>>>:

�

�r + 12

�pr��

�r2

� �1+ x2

r

��

r+12 ; x > 0

0; x 6 0

;

unde �(y) =

+1Z0

x y�1e�x dx . Dacă X : t(r),atunci E[X ] =

0 and Var [X ] =r

r � 2.

Cu cât este mai mare numărul de grade de libertate cu atâtdistribuţia Student seamănă mai mult cu cea normală standard.














Distribuţia Gamma. Se notează cu �(�; �) şi are funcţia dedensitate

f (x ) =

8<:

��

�(�)x��1e��x ; x > 0

0; x 6 0;

unde �(t) =

+1Z0

x t�1e�x dx . � este forma iar � este rata

(sau frecvenţa) disribuţiei. Pentru X : �(�; �), avem E[X ] =�

�and Var [X ] =

�

�2 .Să presupunem că avem un proces care constă în � paşi in-dependenţi şi fiecare astfel de pas necesită un timp egal cuExp(�), atunci durata totală urmează o distribuţie Gamma.Astfel, distribuţia Gamma este o sumă de � variabile indepen-dente identic repartizate exponenţial.













Inegalităţile lui Markov şi a lui Cebâşev

Proposition 1Fie X > 0 o variabilă aleatoare. Dacă a > 0, atunci

P(X > a) 6E[X ]

a:

proof:

E[X ] =

Z +1

0tf (t)dt =

Z a

0tf (t)dt +

Z +1

atf (t)dt >

Z +1

atf (t)dt > a

Z +1

af (t)dt = aP(X > a):

�













Inegalitatea lui Cebâşev

Proposition 2Fie X o variabilă aleatoare cu media � şi dispersia �2.Atunci

P(jX � �j > k) 6�2

k2 :

proof: Considerăm variabila Y = (X � �)2 şi a = k2 în inegal-itatea lui Markov

P(jX � �j > k) = Ph(X � �)2 > k2

i6E�(X � �)2

�k2 =

�2

k2 :

�













Teorema lui Cebâşev

Theorem 1.1Fie (Xn)n>1 un şir de variabile aleatoare independenteavând dispersii finite, uniform mărginite, i. e. Var [Xn ] 6

c, pentru orice n > 1. Atunci

limn!1

P

�� 1nnXi=1

Xi � 1n

nXi=1

E[Xi ]

�� < �

!= 1:

proof: Ştim că

M

"1n

nXi=1

Xi

#=

1n

nXi=1

E[Xi ] şi

D2

"1n

nXi=1

Xi

#=

1n2

nXi=1

Var [Xi ] <cn:













Teorema lui Cebâşev

Folosind inegalitatea lui Cebâşev pentru variabila1n

nXi=1

Xi obţinem

1 > P

�� 1nnXi=1

Xi � 1n

nXi=1

E[Xi ]

�� < �

!> 1�

D2

"1n

nXi=1

Xi

#

�2> 1� c

n�2:

Trecând la limită,

limn!1

P

�� 1nnXi=1

Xi � 1n

nXi=1

E[Xi ]

�� < �

!= 1:�













Legea numerelor mari - varianta slabă

� Legea numerelor mari spune că pe măsură ce creşte numărulde variabile independente, identic distribuite, media lor deselecţie se apropie de media lor comună.

Theorem 1.2(Legea slabă numerelor mari , legea lui Khintchine) Fie(Xn)n>1 un şir de variabile aleatoare independente şiidentic distribuite cu media � şi dispersia �2. Atunci

limn!1

P

�� 1nnXi=1

Xi � �]

�� < �

!= 1 sau lim

n!1P

�� 1nnXi=1

Xi � �]

�� > �

!= 0:

proof: O consecinţă a teoremei 1.1:1n

nXi=1

E[Xi ] = �.

�













Legea numerelor mari - varianta tare

Theorem 1.3(Legea tare numerelor mari) Fie (Xn)n>1 un şir de vari-abile aleatoare independente şi identic distribuite cu me-dia � şi dispersia �2. Atunci

P

limn!1

1n

nXi=1

Xi = �

!= 1:

proof: Fiind mai complicată este omisă.�













Un exemplu cu frecvenţe

� Bernoulli este primul care a demonstrat legea slabă numerelormari dar doar pentru distribuţii Bernoulli.

� Să presupunem că avem o experienţă aleatoare şi un eveni-ment aleator asociat A cu P(A) = p.

� Repetăm în mod independent experienţa şi considerăm ur-mătorul şir de variabile aleatoare : Xi = 1 dacă A se producela a i -a repetare şi 0 altfel.

� Variabilele sunt independente şi distribuite Bernoulli cu me-dia p.













Un exemplu cu frecvenţe

� Legea numerelor mari spune că, cu probabilitate 1,

1n

nXi=1

Xi ! p:

�nXi=1

Xi este numărul de realizări ale evenimentului A în n

repetări ale experienţei.

� Altfel spus, conform legii numerelor mari, A apare cu frecvenţap.













Istorie

� James Bernoulli A demonstrat legea slabă a numerelor mariîn 1700; Poisson i-a generalizat rezultatul în 1800.

� Cebâşev a descoperit inegalitatea care-i poartă numele în1866, iar Markov a extins rezultatul lui Bernoulli la variabilealeatoare dependente.

� În 1909 Émile Borel a demonstrat teorema care astăzi estecunoscută sub numele de legea tare a numerelor mari (caregeneralizează o dată în plus teorema lui Bernoulli).

� În 1926 Kolmogorov a obţinut o condiţie mai generală, sufi-cientă pentru ca un şir de variabile aleatoare independentesă respecte legea numerelor mari. Condiţia este

Xn>1

Var [Xn ]

n2 < +1:













Teorema limită centrală

Theorem 2.1(Teorema limită centrală, Lindeberg-Lévy) Fie (Xn)n>1un şir de variabile aleatoare independente şi identic dis-tribuite cu media � şi dispersia �2. Atunci

1n

nXi=1

Xi � �

�pn

! N (0; 1) sau

limn!1

P

0BBBB@

nXi=1

Xi � n�

�pn

6 a

1CCCCA =

1p2�

Z a

�1

exp (�t2=2)dt :













Teorema limită centrală

� Teorema limită centrală permite estimarea unor probabil-ităţi asociate sumelor de variabile (independente şi identicdistribuite).� Pe de altă parte, teorema explică de ce atât de multe procese(din ştiinţele sociale, biologie, psihologie etc) urmează o legenormală.� În esenţa ei teorema limită centrală spune că, pentru eşan-tioane suficient de mari (n > 30), variabila

nXi=1

Xi � n�

�pn

urmează o lege normală standard, N (0; 1).� Teorema limită centrală are loc chiar şi pentru variabile de-pendente, dacă au corelaţia foarte scăzută.













Teorema lui Bernoulli

Proposition 3Fie �n numărul de apariţii ale unui eveniment A în nrepetări independente ale unei experienţe aleatoare. Dacăfn =

�n

neste frecvenţa relativă a apariţiei lui A, atunci

şirul (fn)n>1 converge în probabilitate la p = P(A).

proof: �n = nfn este o variabilă distribuită binomial, astfelE[�n ] = np şi Var [�n ] = np(1� p). Mai mult,

P(jfn � pj < �) = P(j�n � npj < n�) = P(j�n � E[�n ]j < n�) >

> 1� p(1� p)n�2

:

Evident, trecând la limită, limn!1

P(jfn �pj < �) = 1, pentru orice� > 0. �













Aproximarea normală a distribuţiei binomiale

� Fie Xn un şir de variabile Bernoulli(p) independente.

� X =nXi=1

Xi are o distribuţie binomială, B(n ; p).

� Folosind teorema limită centrală obţinem teorema de Moivre-Laplace care spune că, pentru n suficient de mare, variabila

Y =X � E[X ]pVar [X ]

=X � nppnp(1� p)

este o variabilă normală standard (N (0; 1)).

� Aproximarea este bună pentru np(1� p) > 10.













Aproximarea normală a distribuţiei binomiale

� Un alt mod de a vedea acest rezultat este următorul: cândk este aproape de np

nk

!pk (1� p)n�k �

exp� (k�np)22np(1�p)p

2�np(1� p):

� Considerăm următorul exemplu: fie X numărul de apariţiiale stemei în 40 de aruncări ale unei monede.� Cât este P(X = 20)?

P(X = 20) = P(19:5 6 X 6 20:5) =

= P�19:5� 20p

106

X � 20p10

620:5� 20p

10

�= P

��0:16 6 X � 20p

106 0:16

��

� �(0:16)� �(�0:16) = 0:1272;

unde �(�) este funcţia de repartiţie a variabilei N (0; 1).













Corecţia continuă

� Corecţia continuă este o ajustare care se face ori de câte orio distribuţie discretă este aproximată printr-una continuă.

� P(X = 10) = P(9:5 6 X 6 10:5), P(X > 15) = P(X >

15:5), P(X < 13) = P(X 6 12:5).













Generarea de numere aleatoare uniform distribuite

� Când vorbim despre numere aleatoare ne gândim cel maiadesea la numere aleatoare uniform distribuite.

� Există două tipuri de variabile aleatoare uniforme: discretăşi continuă.

� De exemplu, pentru a alege un număr întreg aleator uniformdistribuit între 1 şi n (câteodată între 0 şi (n � 1)) trebuiesă generăm o valoare a unei variabile aleatoare discrete uni-forme Un .

� Pe de altă parte, dacă dorim să alegem un număr aleatoruniform din intervalul [0; 1] trebuie să generăm o valoare aunei variabile continue uniforme U[0;1].

� În general, a simula o anumită variabilă aleatoare înseamnăa genera valori care urmează acea distrubuţie.













Generarea de numere aleatoare

� Aproape orice limbaj de programare conţine câte un gen-erator de numere aleatoare unifome (discrete şi continue);noi vom utiliza generatoarele din R care acoperă şi alte dis-tribuţii în afară de cele uniforme.

� Trecem în revistă comenzile R pentru distribuţiile discretesau continue uzuale.

� Funcţiile care încep cu p; q ; d şi r returnează funcţie derepartiţie (sau CDF - cumulative distribution function), in-versa CDF, function de densitate de probabilitate (PDF), re-spectiv o valoare a unei variable aleatoare având distribuţiaspecificată.

� Pentru a genera doar valori discrete uniforme se poate utilizafuncţia sample().














Distribuţia ComenziBinomial pbinom() qbinom() dbinom() rbinom()

Geometric pgeom() qgeom() dgeom() rgeom()

Poisson ppois() qpois() dpois() rpois()Uniform punif () qunif () dunif () runif ()Exponential pexp() qexp() dexp() rexp()Normal pnorm() qnorm() dnorm() rnorm()

Student pt() qt() dt() rt()Gamma pgamma() qgamma() dgamma() rgamma()

� Detalii se pot afla folosind help(nume) în R sau Rstudio.














� Pentru a simula o variabilă aleatoare discretă este nevoie derepartiţia ei.

X :

x1 x2 : : : xk : : :

p1 p2 : : : pk : : :

!

� X se poate simula astfel: generăm o valoare aleatoare uni-

formă (continuă) U şi returnăm xi dacăi�1Xj=1

pj 6 U <iX

j=1

pj .













Aplicaţii ale LNM şi TLC

Exemplul 1. (LNM - Problema acului lui Buffon) Problema(formulată în 1733 şi rezolvată în 1777 de naturalistul şi matem-aticianul francez Comte de Buffon) cere să se determine proba-bilitatea ca un ac de lungime l să intersecteze o dreaptă când estearuncat pe o suprafaţă plană pe care sunt desenate (o infinitatede) drepte paralele aflate la distanţa 2d .Soluţie. Vom presupune că lungimea acului este mai mică decâtdistanţa dintre drepte (cea mai uşoară variantă de analizat); ex-istă două variabile care determină poziţia relativă a acului faţăde cea mai apropiată dreaptă: unghiul, x , pe care îl face aculcu direcţia liniilor şi distanţa de la mijlocul acului la aceastădreaptă, y . Acul va intersecta cea mai apropiată linie dacă şinumai y 6 l=2 sin x , oricare ar fi x 2 [0; �].














Toate situaţiile posibile sunt complet descrise de perechile (x ; y) 2[0; �]�[0; d ], iar cazurile favorabile sunt perechile care dau puncteaflate sub graficul funcţiei f : [0; �]! R, f (x ) = l=2 sin x .Astfel, probabilitatea esteZ �

0f (x ) dx

� � d =1�d

Z �

0

l2sin x dx =

l2�d

[� cos x ]�0 =l�d

:

Pentru l = d = 1, adică atunci când acul are lungimea egală cujumătate din distanţa dintre drepte, probabilitatea este 1=�.














Introducem experienţa aleatoare care constă în a arunca aculşi notăm cu X variabila Bernoulli care are valoarea 1 dacă şinumai dacă acul intersectează o dreaptă; probabilitatea de succesşi media variabilei X au valoarea 1=�.Dacă repetăm în mod independent experimentul de n ori vomobţine un eşantion de dimensiune n , (Xi )i=1;n . Datorită LegiiNumerelor Mari xn ! 1=�, astfel, pentru valori mari ale lui n ,

xn =numărul de succese

n� 1

�:

Acest tip de relaţie a fost utilizat pentru a obţine aproximări ex-perimentale ale lui �. Mai mulţi "aruncători" de ace au efectuatdeja acest experiment.














Exemplul 2. (Verificarea LNM) Considerăm o repartiţie X cumedia � şi dispersia �2 şi un şir de n variabile aleatoare indepen-dente şi identic distribuite cu X , Xi , i = 1;n . Legea numerelormari spune că (într-un anumit sens, probabilistic) media de se-lecţie converge la medie:

xn ! � as n !1

Verificăm această lege utilizând o distribuţie Poisson cu diverşiparametri � (pentru o astfel de distribuţie � = �).

� 2 3 4 6 8 12 15xn 1:955 2:977 4:003 6:027 8:018 12:093 14:925

Se observă că mediile de selecţie obţinute (n = 5000) sunt foarteapropiate de mediile corespunzătoare. (Eşantioanele au fost obţinutefolosind rpois(n ; �).)














Dacă repetăm testul anterior cu distribuţia Gamma pentru di-verse valori ale parametrilor (�; �) (media este� = �=�) obţinem

� 2 2 3 4 6 6 6 12� 1:5 2 2 3 5 4 8 4xn 1:361 1:009 1:489 1:345 1:204 1:501 0:752 2:973� 1:333 1:000 1:500 1:333 1:200 1:500 0:750 3:000

Mediile de selecţie obţinute (n = 5000) sunt foarte apropiate demediile corespunzătoare. (Eşantioanele au fost obţinute folosindrpois(n ; �).)














Examplul 3. (TLC - de Moivre-Laplace) Mărimea ideală aanului I la un colegiu particular este de 150 studenţi. Conducereacolegiului, ştiind din experienţă, că, în medie, doar 30% din eleviicare trec examenul de admitere vor urma cursurile, aprobă 450de locuri pentru admitere. Calculaţi probabilitatea ca cel puţin151 de elevi admişi să rămână şi să urmeze cursurile colegiului.Soluţie. Fie X numărul de elevi admişi care urmează cursurilecolegiului; vom presupune că fiecare elev admis va urma inde-pendent cursurile colegiului. Atunci X : B(450; 0:3) şi

P(X > 150) = P(X > 150:5) = P

X � nppnp(1� p)

>150:5� nppnp(1� p)

!=

= P�X � 135p

81>

15:5p81

�� P(Z > 1:722)

unde Z : N (0; 1). Astfel P(X > 150) � 1 � pnorm(1:722) =

0:0425.














Examplul 4. (TLC) O populaţie de muncitori are media greutăţii167 şi deviaţia standard 27. Dacă se alege un eşantion de 36muncitori, care este probabilitatea ca media de selecţie să fiecuprinsă între 163 şi 170?

Soluţie. Fie xn media de selecţie, din TLC,xn � �

�=pn

urmează cu

aproximaţie o distribuţie normală standard, astfel

P(163 6 xn 6 170) = P�163� 167

4:56

xn � 1674:5

6170� 167

4:5

�=

= P��0:888 6 xn � 167

4:56 0:888

�� P(�0:888 6 Z 6 0:888) =

= pnorm(0:888)�pnorm(�0:888) = 2�pnorm(0:888)�1 = 0:625














Exemplul 5. (Verificarea TLC) Considerăm o distribuţie deprobabilitate, X , cu media � şi dispersia �2 şi un şir formatdin n variabile aleatoare independente şi identic distribuite Xi ,i = 1;n . Conform TLC, pentru valori mari ale lui n , media deselecţie, xn , are o distribuţie normală, N (�; �2=n).Dorim să verificăm această afirmaţie şi considerăm N astfel demedii de selecţie şi construim o histogramă. Exemplele de maijos folosesc distribuţia geometrică G(0:35) şi distribuţia expo-nenţială Exp(5) (n = 50, N = 10000).













Applications of LLN and CLT














Exemplul 6. (Verificarea TLC) Considerăm o distribuţie deprobabilitate, X , cu media � şi dispersia �2 şi un şir formatdin n variabile aleatoare independente şi identic distribuite Xi ,i = 1;n . Acest şir poate fi văzut ca un eşantion aleator simplu;dacă xn este media de selecţie, TLC spune că

limn!1

P�xn � �

�=pn6 z

�= P(Z 6 z );

unde Z : N (0; 1). De obicei, pentru valori mari ale lui n putemface următoarea aproximare

Pn(z ) = P�xn � �

�=pn6 z

�� P(Z 6 z ):

O methodă pentru a verifica cât de precisă este această aprox-

imare: alegem independent N eşantioane (şiruri)�X ki

�k=1;N

i=1;nşi

calculăm

PN =jfk : x kn 6 z�=

pn + �gj

N:














Altfel spus, PN este numărul de eşantioane (dintre cele N ) care

satisfac inegalitateaxn � �

�=pn6 z supra numărul total de eşan-

tioane. Această statistică ar trebui să aproximeze P [Z 6 z ].Pentru distribuţia exponenţială cu � = 2, n = 50 şi N = 2000rezultatele se găsesc mai jos (un singur eşantion de dimensiunen poate fi obţinut cu rexp(n ; �)).

z �1:5 �1:0 �0:5 0 0:5 1:0 1:5PN (z ) 0:055 0:154 0:313 0:509 0:723 0:831 0:931Abs :err 16% 2:5% 1:6% 1:8% 4:6% 1:8% 0:2%pnorm(z ) 0:066 0:158 0:308 0:5 0:691 0:847 0:933

Eroarea absolută este egală cujP(Z 6 z )� PN (z )j

P(Z 6 z ).














Pentru a calcula PN (z ) am folosit următorul algoritm:� 1=�; // why?

� 1=�; // why?

c z � �=pn + �;j 1;for(i = 1;N )

if(mean(rexp(n ; �)) 6 c)j++;

return j =N ;













Sfârşit













Bibliography I

Baron, M., Probability and Statistics for Computer Scien-tist, Chapman & Hall/CRC Press, 2013 sau ediţia electronicăhttps://ww2.ii.uj.edu.pl/�z1099839/naukowe/RP/rps-michael-byron.pdf

Johnosn, J. L., Probability and Statistics for ComputerScience, Wiley Interscience, 2008.

Lipschutz, S., Theory and Problems of Probability,Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, 1965.

Ross, S. M., A First Course in Probability , Prentice Hall,5th edition, 1998.

Shao, J., Mathematical Statistics, Springer Verlag, 1998.

Stone, C. J., A Course in Probability and Statistics,Duxbury Press, 1996.

Aprilie2019 - profs.info.uaic.roolariu/curent/PS/files/probability8.pdf · 2 0...

Documents

Transcript of Aprilie2019 - profs.info.uaic.roolariu/curent/PS/files/probability8.pdf · 2 0...