APLICAŢII ALE INEGALITĂŢII LUI KARAMATA

5/13/2018 APLICA II ALE INEGALIT II LUI KARAMATA - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aplicatii-ale-inegalitatii-lui-karamata 1/6

INEGALITATEA LUI KARAMATA. APLICAŢII

P1. Fie ,a b ∈¡

cu a b< şi [ ]: , f a b →¡

o funcţieconvexă.Atunci pentru orice numere a x y z t b≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cu x t y z + = + , avem inegalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) f x f y f y f z + ≥ + .

Dem. Cum [ ], , y z x t ∈ , deducem că există [ ], 0,1α β ∈

astfel încât ( )1 y x t α α = − + şi ( )1 z x t β β = − + .

Relaţia x t y z + = + devine: ( ) ( )2 x t x t α β α β − − + + = +( ) ( )1 0 x t α β ⇔ − − − = .

Dacă t x= atunci x y z t = = = şi inegalitatea este evidentă.

Dacă t x≠ atunci 1α β + = şi din f convexă, rezultă că

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 f y f x t f x f t α α α α = − + ≤ − + şi

( ) ( ) ( ) ( )1 f z f x f t β β ≤ − + , de unde prin adunare,

obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) f y f z f x f t + ≤ + .

P2. Fie ,a b ∈ ¡ cu a b< şi [ ]: , f a b → ¡ o funcţie

convexă şi

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]: , , , , g a b g x f x f a b x x a b→ = + + − ∀ ∈¡ .

Atunci avem:

1) g este descrescătoare pe , 2

a b

a

+

şi crescătoare pe

,2

a bb

+

.

2) g este convexă pe [ ],a b .



3)( ) ( ) ( )

2 2

b

a f x dx f a f ba b

f b a

++ ≤ ≤ − ∫

(Inegalităţile lui Hermite şi Hadamard)Definiţie.Fie n-uplele de numere reale

( ) ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,n n x x x si y y y astfel încăt

1 2 1 2... , ...n n x x x y y y≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ,unde *n ∈ ¥ . Spunem că

( ) ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,n n x x x y y yf dacă

1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1,x , x x ,..., ... ...n n y y y x x x y y y− −≥ + ≥ + + + + ≥ + + +

1 2 1 2... ...n n x x x y y y+ + + = + + + .

Observaţie.Dacă , , x y z t x t y z ≤ ≤ ≤ + = + atunci

( ) ( ), , .t x z yf

P3.(Inegalitatea lui Hardy-Littlewood-Polya-Karamata)

Fie I un interval de numere reale, : f I → ¡ o funcţie

convexă şi două n-uple de numere reale astfel încăt

( ) ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,n n x x x y y yf ,unde 2.n ≥ .Atunci avem că

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ... .n n f x f x f x f y f y f y+ + + ≥ + + +Dacă f este strict convexă ,atunci avem egalitate îninegalitatea anterioară dacă şi numai dacă

{ }, 1,2,..., .i i x y i n= ∀ ∈

Demonstratie.Inductie dupa n (vezi [ ]1 )

Probleme propuse

1.Să se arate că dacă [ ), 0, ,a b ∈ ∞ atunci avem inegalitatea

3 3 3 33 3 3 3a a b b a b a b+ + + ≤ + + + .

Soluţie.Fără a restrănge generalitatea putem presupune că



0.b a≥ ≥ Considerăm numerele :

3 3 3 31 2 3 4, , , . x a a x b a x a b x b b= + = + = + = + Atunci, 1 x

este cel mai mare, 4 x este cel mai mic şi 1 4 2 3. x x x x+ = +

Deoarece ( ) ( ) ( ) ( )1 4 2 3 1 4 3 2, , , , x x x x sau x x x xf f şi funcţia

[ ) ( ) 3: 0, , f f x x∞ → =¡ este concavă,cu inegalitatea lui

Karamata găsim că ( ) ( ) ( ) ( )1 4 2 3 . f x f x f x f x+ ≤ +

2.Să se afle maximul expresiei ( ) 12 12 12, , E a b c a b c= + +

ştiind că, [ ], , 1,1a b c ∈ − şi1

.2

a b c+ + = −

( Olimpiadă ,China ,1997 )

Soluţie. Funcţia [ ] ( ) 12: 1,1 , f f x x− → =¡ este

convexă.Putem presupune că1

1 1, .2

a b c a b c≥ ≥ ≥ ≥ − + + = − Atunci avem că

( )1

1, , 1 , ,

2

a b c − −

f şi din inegalitatea lui Karamata avem

că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 12

f f f f a f b f c + − + − ≥ + +

,deci

( ) max12

1, , 2 .

2 E a b c E ≤ + =

3.Să se arate că în orice triunghi ascuţitunghic avem că3

1 cos cos cos .2 A B C ≤ + + ≤



Soluţie.Putem presupune că , , .3 3

A B C deci A C π π

≥ ≥ ≥ ≤

Atunci avem că ( ), ,0 , , , , .2 2 3 3 3

A B C π π π π π

f f

Deoarece funcţia ( ) cos f x x= este concavă pe 0, ,2

π

găsim că

( ) ( ) ( ) ( )3

1 0 .2 2 2

f f f f A f B f C π π = + + ≤ + + ≤

4.Să se arate că dacă*

, , ,k n k n∈ ≤¥ atunci avem

inegalitatea1 1

2 1 2 1 2 1

12

2

k k k n n n

nC C C

n

− ++ + +

++ ≥ ⋅ ⋅

+.

( Olimpiadă ,Germania,1995)Soluţie.Datorită simetriei este suficient să demonstrăminegalitatea pentru .k n≤ Inegalitatea se scrie

( )2 12 1

2 2 1 2

nk n k

n k k n

++ −+ ≥

+ − + + (1)

Funcţia [ ] ( ): 1,2 1 ,2 2

x f n f x

n x+ → =

+ −¡ ,este convexă

pe [ ]1,2 1n + .Utilizănd P1.cu ,k n≤ deducem că

( ) ( ) ( ) ( )( )2 1

2 1 1 ,2

n f k f n k f n f n

n

++ + − ≥ + + =

+adică are

loc inegalitatea (1).5.Se consideră numerele

1 2 1 2... 0, ...n na a a S a a a≥ ≥ ≥ > = + + + ,unde n este număr

natural nenul şi f o funcţie convexă definită pe un interval

ce conţine numerele S şi ( ) 11 .S n a− − Atunci avem că



( )( ) ( )1 1

1 .n n

ii i

f s n i f a= =

− − ≥∑ ∑Soluţie.Deoarece

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 21 , 1 ,..., 1 , ,...,n n nS n a S n a S n a a a a−− − − − − − f

şi ( ) , , 2m f x x m m= ∈ >¥ este convexă,utilizănd ingalitatea

Karamata rezultă concluzia problemei.

Probleme propuse

1.Să se decidă care din următoarele numere este mai mare

7 3 62 7 7; 7 7a b= + = + .

2.Fie , 2.n n∈ ≥¥ Comparaţi numerele

3 5 7 6 7 8; .

5 7 94 5 6

n n n n n n

n n n nn na b

+ + + += =

+ ++ +(Cocursul –Gh. Dumitrescu ,Craiova ,2002)

3.Să se arate că dacă , 0, ,4

a bπ ∈ atunci avem

( ) ( )

sin sin sin 2 sin 2, .

sin sin sin 2 sin 2

n n n n

n n

a b a bn

a b a b

+ +≥ ∀ ∈

+ +¥

( O.N,Iaşi,2006,Iurie Boreico)

4. Să se arate că

( )

2 2 2

2

2 11 ,

2 2 1 2

k n k n

n k k n

+ − + ≥ + + − + +

pentru

*, , 2 .k n k n∀ ∈ ≤¥

(Gh.Boroica)

5.Fie I ⊂ ¡ un interval iar : f I → ¡ o funcţie

convexă.Atunci



( ) ( ) ( ) 3 2 2 23 2 2 2

x y z x y y z z x f x f y f z f f f f

+ + + + + + + + ≥ + +

( Inegalitatea lui Popoviciu)

APLICAŢII ALE INEGALITĂŢII LUI KARAMATA

Documents

Transcript of APLICAŢII ALE INEGALITĂŢII LUI KARAMATA