prof. Cialâcu Ionel

B(x3,f(x3))

y

x2 x1 x4

A(x1,f(x1))

x3 x O

Aplicaţii ale derivatelor în studiul funcţiilor

1. Rolul primei derivate în studiul funcţiilor.

Studiul monotoniei şi a punctelor de extrem

Definiţie: Funcţia RIf : este crescătoare pe intervalul I dacă

)()(, 212121 xfxfxxcuIxx .

Definiţie: Funcţia RIf : este descrescătoare pe intervalul I dacă

)()(, 212121 xfxfxxcuIxx .

Definiţie: Funcţia RIf : admite un punct de extrem local dacă 0x V I astfel

încât 0( ) ( )f x f x x V (punct de maxim local) sau 0( ) ( )f x f x x V (punct de minim

local).

În figura alaturată , 1 4:[ , ]f x x R

este descrescătoare pe intervalele [x1,x2] şi [x3,x4],

respectiv crescătoare pe intervalul [x2,x3].

Ea admite un punct de minim local A şi

un punct de maxim local B.

Principalele rezultate sunt consecinţe ale teoremelor următoare:

Teorema 1.

a) Fie RIf : o funcţie monoton crescătoare pe un interval I. Dacă f este derivabilă pe I atunci

0f pe intervalul I.

b) Fie RIf : o funcţie monoton descrescătoare pe un interval I. Dacă f este derivabilă pe I atunci

0f pe intervalul I.

Teorema 2. Consecinţă a teoremei lui Lagrange.

Fie RIf : o funcţie derivabilă pe un interval I . Dacă Ixxf ,0)( atunci funcţia f este

monoton crescătoare pe I iar dacă Ixxf ,0)( atunci funcţia f este monoton descrescătoare pe I.

Teorema 3.(teorema lui Fermat)

Fie RIf : o funcţie derivabilă pe un interval I . Dacă 0x I este un punct de extrem din

interiorul intervalului, atunci 0( ) 0f x .

Aplicaţii.

1. Se consideră funcţia 1: 2009 x ef(x) f x R,R .

a) Să se calculeze .),( Rxxf

b) Să se rezolve ecuaţia .0)( xf

c) Să se studieze monotonia funcţiei f.

d) Să se studieze mărginirea funcţiei f.

Rezolvare

a) 20082009111 2009200920092009

xexexexe (x) f xxxx

b) 0)( xf 0200820092009 xe x 020082009)(02009 xsauimposibile x

2009

2008x .

prof. Cialâcu Ionel

c) Monotonia funcţie f rezultă din tabelul cu semnul primei derivate.

d) Funcţia f este marginită inferior; ea admite valoarea minimă

m=2008

20082008 1( )2009 2009 2009

ef e

.

x -

2009

2008 +

xe2009 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

20082009 x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++

200820092009 xe(x) f x

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 ++++++++++++++++++++

)(xf

2. Se dă funcţia xenmxx f(x) f 2: R,R , unde m şi n sunt parametrii reali.

a) Să se determine parametrii reali m şi n astfel încât .0)1()1( ff

b) Pentru m = 2 si n = 1 să se studieze monotonia functiei f.

Rezolvare

a) 11)1( enmf

xxxx enmxmxenmxxemxenmxxxf

22)( 222

11)1( enf

0)1()1( ff

1

2

1

1

01

01

1

1

n

m

n

nm

en

enm

b). Pentru m = 2 şi n = 1 obţinem xexxxf 34)( 2 . Pentru a studia monotonia funcţiei f

alcătuim un tabel cu semnul primei derivate.

Ataşăm ecuaţia 0340)( 2 xexxxf 00342 xesauxx

x = -3 sau x = -1.

x - -3 -1 + xe + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

342 xx + + + + + ++ + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +

xexxxf 34)( 2 + + + + + ++ + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + +

)(xf

Din tabelul anterior rezultă că f este strict crescătoare pe intervalele (-,-3] şi [-1,+) şi este strict

descrescătoare pe intervalul [-3, -1].

2. Rolul derivatei a doua în studiul funcţiilor.

Studiul convexităţii şi concavităţii; puncte de inflexiune

Definiţie: Fie RIf : , o funcţie derivabilă pe intervalul I.

a) Funcţia f se numeşte convexă pe intervalul I, dacă tangenta în orice punct al graficului funcţiei f se

află sub acest grafic.

f(-3)

m

f(-1)

prof. Cialâcu Ionel

b) Funcţia f se numeşte concavă pe intervalul I, dacă tangenta în oricare punct al graficului funcţiei f

se află deasupra acestui grafic.

Definiţie: Fie Rbaf ],[: şi ),(0 bax .

Punctul ),(0 bax se numeşte punct de inflexiune al funcţiei f, dacă într-o parte a lui x0 funcţia f este

convexă iar în cealaltă parte a lui x0 funcţia f este concavă sau invers.

Pentru studiul convexităţii şi concavităţii unei funcţii de două ori derivabilă, vom utiliza semnul

derivatei a doua.

Principalul rezultat este furnizat de teorema următoare:

Teoremă: Fie RIf : , o funcţie de două ori derivabilă pe intervalul I. Atunci:

1) Funcţia f este convexă pe intervalul I dacă şi numai dacă derivata a doua este pozitivă pe intervalul

I.

2) Funcţia f este concavă pe intervalul I dacă şi numai dacă derivata a doua este negativă pe

intervalul I.

Stabilirea intervalelor de convexitate şi concavitate a unei funcţii RIf :

I. Se calculează derivatele f , respectiv f a funcţiei f.

II. Se rezolvă ecuaţia 0)( xf .

III. Se determină semnul funcţiei f pe intervalele pe care aceasta nu se anulează şi se trec datele în

tabel.

IV. Se stabilesc intervalele de convexitate şi concavitate în funcţie de semnul derivatei f .

Observaţie: Dacă funcţia Rbaf ],[: este derivabilă de două ori în punctul de inflexiune

),(0 bax , atunci 0)( 0 xf .

Pentru o funcţie de două ori derivabilă RIf : , punctele de inflexiune sunt printre soluţiile

ecuaţiei 0)( 0 xf . Determinarea acestora se face studiind semnul derivatei a doua.

Exemplul 1: Să se determine intervalele de convexitate şi concavitate a funcţiei:

xxxfRRf 12)(,: 3

Rezolvare: Funcţia f este de două ori derivabilă pe R

,123)( 2 xxf iar xxf 6)( .

A(x0,f(x0))

x0

funcţie convexă funcţie concavă

prof. Cialâcu Ionel

Ecuaţia 0)( xf are soluţia x=0. Construim tabelul de semn pentru derivata a doua:

x - 0 +

)(xf - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + +

f(x)

Din tabel rezultă că funcţia f este concavă pe intervalul (-, 0) şi este convexă pe intervalul (0, ).

Exemplul 2: Determinaţi punctele de inflexiune pentru următoarea funcţie:

RRf : , )1ln()( 2 xxf

Rezolvare:

I. Calculăm 1

2)(

2

x

xxf şi

22

2

)1(

22)(

x

xxf

II. Rezolvăm ecuaţia 1,10220)( 21

2 xxxxf

III. Studiem semnul funcţiei f

x - -1 1

-2x2+2 - - - - - 0 + + 0 - - - - -

(x2+1)

2 + + + + + + + + + + + +

f (x) - - - - - 0 + + 0 - - - - -

f(x)

IV. Din tabel rezultă că funcţia f este concavă pe intervalul (-, -1) şi pe intervalul (1, ) şi este

convexă pe intervalul (-1, 1). Punctele x = -1 şi x = 1 sunt puncte de inflexiune pentru funcţia f.

3. Aplicaţii ale derivatelor în calculul limitelor de funcţii

Principalul rezultat este furnizat de teoremele următoare:

Teorema 1. (Regula lui l’Hospital pentru cazul 0

0)

Considerăm funcţiile reale , : ( , )f g a b R . Presupunem că sunt satisfăcute următoarele condiţii:

a) f şi g sunt derivabile pe ( , )a b ;

b) lim ( ) lim ( ) 0x a x ax a x a

f x g x

;

c) )(xg nu se anulează într-o vecinătate V a lui 0x ;

d) există limita ( )

lim( )x a

x a

f x

g x

în R .

În aceste condiţii există ( )

lim( )x a

x a

f x

g x

.

prof. Cialâcu Ionel

Teorema 2. (Regula lui l’Hospital pentru cazul

)

Fie , : ( , )f g a b R , două funcţii cu proprietăţile:

a) funcţiile f şi g sunt derivabile pe ),( ba ;

b)

)(lim)(lim xgxf

axax

axax

c) ),(,0)(,0)( baxxgxg ;

d) există ( )

lim( )x a

x a

f xR

g x

;

atunci există limita )(

)(lim

xg

xf

axax

şi are loc egalitatea )(

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

axax

axax

.

Concluzie: Pentru calculul limitei se foloseşte formula 0 0

( ) ( )lim lim

( ) ( )x x x x

f x f x

g x g x

Exemplul 1. Să se calculeze

4

cossinlim

4

x

xx

x

.

Considerăm funcţiile 4

)(,cossin)(,2

,0:,

xxgxxxfRgf . Pentru aceste funcţii

1)(,sincos)( xgxxxf şi 044

gf . Aplicând regula lui l’Hospital obţinem:

2

1

sincoslim

4

cossinlim

4

cossinlim

44

'

4

xx

x

xx

x

xx

xx

Hl

x

.

Exemplul 2. Să se calculeze arctgxxx

2lim

.

02lim

arctgxxx

( nedeterminare) =

x

arctgx

x

arctgx

x

Hl

x1

2lim

0

0

1

2lim

'

211

2lim

2

2

x

xx.

prof. Cialâcu Ionel

4. Reprezentarea grafică a funcţiilor

Fie :f D R o funcţie reală de variabilă reală. Graficul funcţiei f este mulţimea:

)(,,)(, xfyDxyxDxxfxG f .

A reprezenta grafic o funcţie : ,f D R D R înseamnă a trasa curba fG într-un reper

cartezian. Reprezentarea grafică a unei funcţii pune în evidenţă anumite proprietăţi locale şi globale

ale acesteia.

Pentru a prezenta mai sistematic modul de lucru în trasarea graficului unei funcţii se

recomandă parcurgerea următoarelor etape de determinare succesivă a unor elemente caracteristice

ale funcţiei.

1. Domeniul de definiţie D. Acesta este dat în enunţ sau în caz contrar se determină ca fiind

mulţimea formată din toate punctele pentru care au sens operaţiile prin care este definită funcţia.

Dacă funcţia este periodică, cu perioada principală T, este suficient să se facă studiul funcţiei

pe intervalul [0, T] sau un alt interval de lungime T.

Dacă funcţia este pară sau impară se poate studia funcţia pe mulţimea ),0[ D .

2. Limitele funcţiei la capetele domeniului de definiţie şi stabilirea asimptotelor funcţiei.

Limitele la capetele domeniului de definiţie dau informaţii despre comportarea funcţiei în

aceste puncte şi despre eventuialele asimptote ale graficului funcţiei.

Asimptotele verticale: sunt drepte de ecuaţie x = x0 astfel încât cel puţin una din limitele

laterale în x0 este infinită.

Asimptotele orizontale: sunt dreptele de ecuaţie y = a , a R cu proprietatea că

axfx

)(lim sau axfx

)(lim

Asimptotele oblice: sunt dreptele de ecuaţie y = mx + n .

Dacă ( )

lim *x

f xm R

x şi lim [ ( ) ]

xn f x mx R

atunci dreapta d: y = mx + n este asiptotă

orizontală spre +∞ .

Dacă ( )

lim *x

f xm R

x şi lim [ ( ) ]

xn f x mx R

atunci dreapta d: y = mx + n este asiptotă

orizontală spre -∞.

3. Intersecţiile graficului cu axele de coordonate

OxG f : Se rezolvă ecuaţia Dxxf ,0)( şi se reţin soluţiile Dxk . Punctele de intersecţie au

coordonatele )0,( kx .

OyG f . Dacă D0 atunci ))0(,0( fAOyG f .

prof. Cialâcu Ionel

4. Studiul funcţiei cu ajutorul primei derivate. În acestă etapă se determină:

Domeniul de continuitate, de derivabilitate şi prima derivată a funcţiei f.

Se rezolvă ecuaţia 0)( xf şi se stabileşte semnul primei derivate.

Se stabilesc intervalele de monotonie şi punctele de extrem

5. Studiul funcţiei cu a doua derivată.

Se calculează f pe domeniul de existenţă.

Se rezolvă ecuaţia 0)( xf şi se stabileşte semnul derivatei a doua.

Se stabilesc intervalele de convexitate şi intervalele de concavitate, precum şi punctele de

inflexiune.

6. Tabelul de variaţie a funcţiei.

Rezultatele obţinute la paşii anteriori se introduc într-un tabel numit tabel de variaţie al funcţiei.

Pe linia întâi ( linia lui x) se trece domeniul de definiţie şi valorile remarcabile ale lui x, determinate

anterior.

Pe linia a doua se trece semnul primei derivate, iar pe linia a patra se trece semnul derivatei a doua.

Pe linia a treia se trec limitele funcţiei la capetele domeniului D, monotonia şi convexitatea-

concavitatea funcţiei, valorile funcţiei în punctele remarcabile. Asimptotele verticale se marchează

prin linii verticale, trecându-se limitele laterale corespunzătoare.

Apariţia unor contradicţii în tabloul de variaţie cum ar fi: creştere spre -∞, descreştere spre

+∞, creştere de la +∞ încolo, indică greşeli de calcul la determinarea limitelor funcţiei sau în calculul

primei derivate.

7. Interpretarea tabelului de variaţie şi trasarea graficului funcţiei.

Într-un reper cartezian xOy se trasează asimptotele, se reprezintă punctele de extrem, punctele de

inflexiune, punctele de interscţie ale graficului cu axele de coordonate. Se unesc aceste puncte

printr-o linie curbă respectând informaţiile furnizate de tabelul de variaţie.

Exemplu. Să se reprezinte grafic funcţia 3 2: , ( ) 3 4f R R f x x x .

Rezolvare:

Domeniul de definiţie. Domeniul de definiţie este dat în problemă: D R , si coincide cu domeniul

de studiu al funcţiei.

Asiptotele funcţiei

)(lim,)(lim xfxfxx

f nu are asimptote orizontale .

Cercetăm dacă f are asimptotă oblică spre +∞: d: y = mx + n.

x

xfm

x

)(lim f nu are asiptotă oblică spre +∞

Cercetăm dacă f are asimptotă oblică spre -∞: d: y = mx + n.

prof. Cialâcu Ionel

x

xfm

x

)(lim f nu are asiptotă oblică spre -∞

Deoarece D R f nu are asimptote verticale.

Intersecţiile graficului cu axele de coordonate

OxG f Ataşăm ecuaţia 0)( xf 044043 22323 xxxxx

}2,1{0)44)(1( 2 xxxx )0,2(),0,1( BAOxG f

4)0(: fOyG f )}4,0({COyG f

Studiul funcţiei cu ajutorul primei derivate. xxxf 63)( 2 . Ataşăm ecuaţia

}2,0{0630)( 2 xxxxf

0)2(,4)0( ff

Tabelul cu semnul primei derivate şi monotonia funcţie f este:

x -∞ 0 2 +∞

)(xf +++++++++++ 0 -------------- 0+++++++++

)(xf M = 4

m = 0

Rezultă că funcţia f este strict crescătoare pe intervalele: (-∞,0] şi [2,+∞); f este strict descrescătoare

pe intervalul [0, 2].

0 este punct de maxim local şi 2 este punct de minim local al funcţiei f.

Studiul funcţiei cu ajutorul derivatei a doua. ( ) 6 6f x x . Ataşăm ecuaţia

( ) 0 6 6 1f x x x .

Tabelul cu semnul derivatei a doua şi intervalele de convexitate-concavitate ale funcţie f este:

x -∞ 1 +∞

)(xf -------------------- 0 ++++++++++++++

)(xf

Rezultă că f este concavă pe intervalul (-∞, 1] şi convexă pe [1, +∞); 1 este punct de inflexiune al

funcţiei f.

prof. Cialâcu Ionel

Tabelul de variaţie a funcţiei. Sistematizând datele obţinute alcătuim tabelul de variaţie:

x -∞ -1 0 1 2 +∞

)(xf +++++++++++ 0 -------------- 0+++++++++

)(xf 0 M = 4

m = 0

)(xf - - - - - - - - - - - - 0 + ++++++++++++++

Trasarea graficului.

Interpretând datele din tabelul de variaţie se obţine graficul funcţiei f.

y

4

-1 0 1 2 x