APLICAII ALE ECUAIILOR DIFERENIALE N TIINTE

LUCRARE DE LICENCoordonator tiinific: Conf. Univ. Dr. Absolvent: Marcelina Mocanu Holea-Gabor Ctlina

ROMNIMINISTERUL EDUIEI I ERETRII TIINIFIE UNIVERSITTE Vsile lesndri din BUFULTTE DE TIINEStr. le Mreti, nr. 157, Bu, 600115Tel. +40-234-542411, tel./ fx +40-234-571012 www.ub.ro; e-mil: stiinte@ub.roPROGRMUL DE STUDII MTEMTI

APLICAII ALE ECUAIILOR DIFERENIALE N TIINTECoordonator tiinific: Conf. Univ. Dr. Absolvent: Marcelina Mocanu Holea-Gabor Ctlina

ROMNIMINISTERUL EDUIEI I ERETRII TIINIFIE UNIVERSITTE Vsile lesndri din BUFULTTE DE TIINEStr. le Mreti, nr. 157, Bu, 600115Tel. +40-234-542411, tel./ fx +40-234-571012 www.ub.ro; e-mil: stiinte@ub.roPROGRMUL DE STUDII MTEMTI

Introducere

Capitolul I. Ecuaii difereniale. Noiuni generale

Capitolul II. Sisteme de ecuaii difereniale

Capitolul III. Aplicaii ale ecuaiilor difereniale n tiineCUPRINS Teori euiilor diferenile si euiilor u derivte prile reprezint un domeniu fundmentl l mtemtiii u numerose pliii n diferite domenii le tiinei i tehniii preum : meni, fizic, stronomie, termodinmi, opti, elstiitte, himie, biologie, medicin, eonomie, et. Neesitte rerii estei teorii neput odt u prii lulului diferenil i integrl i provine din fptul numerose fenomene i proese din ntur se modelez mtemti prin euii diferenile su prin euii u derivte prile.

INTRODUCERE List mtemtiienilor re i-u dus ontribui l dezvoltre teoriei euiilor diferenile ontinu u frii Johnn i Dniel Bernoulli, Euler, Lple, Lgrnge, uhy, Fourier, Poinre, Pird, Lipunov, Volter et.

L. Euler dt o prim definiie lr euieidiferenile, explind i m e onst rezolvre unei stfelde euii. Dup L. Euler, o euie diferenil este o relientre x, y si p = i rezolvre ei onst n gsire unei reliintre x i y re nu-l mi onine pe p.

1.1. Noiunea de ecuaie diferenialNumerose probleme de stiin i tehni se redu l flre unei funii nd se unote o relie ntre e funie, rgumentul su i un su mi multe derivte le funiei. Prin ecuaie diferenial se nelege acea ecuaie a crei necunoscut este o funcie de una sau mai multe variabile i n care pe lng funcia necunoscut mai particip i derivatele acesteia pn la un anumit ordin.Capitolul I. Ecuaii difereniale. Noiuni generaleDefiniie 1.1.

Definiie 2.2.O funie f: I R, I R, de n ori derivbil pe I pentru reF(x, f(x), f(x), ..., f(n) (x)) = 0.se numete soluie euiei diferenile.

Exist numite euii de form prtiulr, des ntlnite n pliii, pentru re s-u gsit metode de rezolvre u jutorul ror solui se exprim folosind primitive le unor funii. Spunem n est z, eui se rezolv prin udrturi (integrri).Printre ecuaiile care se rezolv cu ajutorul integralelor se numr :Ecuaii difereniabile cu variabile sparabile;Ecuaii cu difereniale omogene;Ecuaia Bernoulli Ecuaa Riccati 1.2. Tipuri de ecuaii rezolvabile prin cuadraturiDefiniie 1.3.O euie diferenil u vribile seprbile este o euie de form: f1(x) g1(y) y ' + f2 (x) g2 (y) = 0unde f1, f2 : I R R sunt funii ontinue, f1 0 pe I, ir g1, g2 : J R R sunt funii ontinue, g2 0 pe J, I i J fiind intervle. mprind u f1(x) g1(y), se sepr vribilele i eui devine:

1.2.1. Ecuaii difereniale cu variabile separabile

Integrnd n mbii membri, obinem :

unde C R.Se obine stfel solui generl sub form impliit euiei diferenile.

Exemplu S se gses solui generl euiei diferenile : Se observ eui diferenil dt se pote srie sub form ehivlent:

Integrnd n mbii membri, se obine:

su Observm , dei lulele sunt fute n domeniul D = ( 0, ) X ( 0, ) , funi verifi eui diferenil pe R2.dr, solui generl euiei diferenile dte, este :

Sunt euii diferenile de form :

unde f este o funie ontinu pe un intervl I, 0 I.

Exemplu S se gses solui euiei diferenile :

, x 0, re ndeplinete ondii iniil y(2) = 1.Notnd u u = , obinem u + xu' = u + u2 su xu' = u2

1.2.2. Ecuaii cu difereniale omogene

Presupunem n ontinure, y 0. Eui diferenil xu' = u2 se srie sub form .

Integrnd rezult :

i mi deprte

Impunnd ondii y(2) = 1, se obine re ondue l

Deoree ne interesez zul x (0, ) rezult solui re ndeplinete ondii iniil y(2) = 1 este

Teorem lsi de existen i uniitte uhy Pird

Fie problem uhy :

Presupunem stisfe urmtorele ondiii :1) 2) f este Lipshitz n rport u y, dei exist o onstnt pozitiv K stfel nt

tuni problem uhy dmite o soluie uni unde I este intervlul lungime s 2h fiind determint stfel :

1.3. Metoda aproximaiilor succesive

,

2.1. Sisteme de euii diferenile de ordinul nti nelinireForm generl unui sistem de n euii diferenile ordinre, de ordinul nti, sub form norml este :

(2.1)Neunonsutele sistemului sunt funiile rele re depind de vribil rel x i sunt definite pe un intervl rel nhis I . Funiile dte , i =1,2,...,n, sunt ontinue mpreun u derivtele lor prile de ordinul nti n domeniul nhis I x D, unde

Capitolul II. Sisteme de ecuaii difereniale

DefiniieSe spune funi : [ ,b ] x D este o integrl prim sistemului (2.1) pe o submulime deshis mulimii [ ,b ] x D, d este de ls , nu este identi onstnt dr

de- lungul orirei trietorii

sistemului (2.1).

Integrle prime

DefiniieSistemul de euii diferenile n form :

unde se numete form simetri sistemului de n - 1 euii diferenile de ordinul nti u n - 1 neunosute.

Solui generl sistemului simetri

2.2 Sisteme diferenile sub form simetri

formt din n -1 integrle prime orere independente funionl, n sensul rngul mtriei Jobiene l funiilor este egl u n-1 n interiorul mulimii de existen funiilor .

TeoremReli , este o integrl prim sistemului simetri d i numi d, de- lungul unei urbe integrle sistemului , vem

unde x = .

.

Exemplu

S se determine soluia exact a sistemului de ecuaii difereniale sub form normal.

SoluieForma simetric a acestui sistem este

O integral prim se obine din ultimele dou rapoarte scrise n forma care implic i deci este o integral prim.

Cea de-a doua integral prim se obine dup ce aplicm o proprietate a irului de rapoarte egale. Astfel, avem

Dup ce simplificm prin y -z se obine

care conduce la cea de-a doua integral prim

Soluia general a sistemului, sub form implicit, este dat de :

i reprezint o familie dublu parametric de curbe n spaiu.

3.1 Aplicaii n fizic

Problem nottorului Pentru trvers un ru, un nottor pornete dintr-un punt situt pe un ml i vre s jung n puntul Q(0,0) de pe mlul elllt. Vitez urentului de p este , ir vitez de deplsre nottorului este b. re v fi trietori pe re o desrie nottorul, tiind vitez reltiv este indreptt neontenit spre Q?

Capitolul III. Aplicaii ale ecuaiilor difereniale n tiine

Fig.1 Problem nottorului

SoluieFie M pozii nottorului l momentul t. omponentele vitezei bsolute pe ele dou xe Ox i Oy ( ) sunt

eliminnd pe dt, obinem

re reprezint eui diferenil trietoriei utte. Eui este omogen. Fem substitui

i eui devine

Introdund rportul vitezelor m = /b, eui pt form

est euie este u vribile seprbile. Prin integrre se obine

Obinem

ner ovrin

Voi prezent un originl sistem de euii diferenile u prmetru mi pentru modelul desris de Pnett unde x, este numrul elulelor sntose, dr re u suferit mutii, y este numrul elulelor mutnte, prmetrii ,b,,f,d sunt prmetri biologii. Prmetrul mi , fost onsidert lungime efetiv trtmentului, n ipotez n re se pli doz mxim de himioterpie

3.2. Aplicaii n medicinautre soluiei de form :

ondiiile iniile sunt :

Soluiile exte le sistemului sunt :

Modelul chimic propus de P. Hanusse

unde A i B reprezint specia de intrare i respectiv specia de ieire, ale cror concentraii a i b sunt meninute constante i uniforme n interiorul volumului de reacie. 3.3. Aplicaii ale ecuaiilor difereniale n chimie

Prin am notat constantele de vitez ale reaciilor directe i respectiv inverse ( i = 1, 2, 3, 4 ). S se scrie sistemul ecuaiilor cinetice reprezentnd variaia concentraiilor speciilor intermediare .

Soluie.

Se notez cu xi concentraiile speciilor intermediare Xi ( i = 1, 2, 3 ). Considerm pentru moment doar prima reacie. Datorit reaciei directe concentraia a speciei crete cu viteza . Aceast presupunere este suficient de natural i s-a dovedit c este n concordan cu rezultatele experimentale. n acelai timp, datorit reaciei inverse, concentraia scade cu viteza . Prin urmare, dac modelul ar conine doar reacia (H)(1), atunci am avea o singur ecuaie cinetic :

Putem constata c pentru modelul (H) avem urmtorul sistem de ecuaii cinetice :

1. rotriei D., Turne M., Ile M. Boundry funtion method from Differentil equtions with smll prmeter in ner diseses, Interntionl Journl of mthemtil modeling ,simultion nd pplitions, ISSN: 0973 8355, pg. 137-148, 2008.2. rrowsmith D. K., Ple . M., Ordinry Differentil Equtions, hpmn nd Hll, London-New York, 1982.3. Brbu V., Euii diferenile, Editur Junime, Ii, 1985.4. Barbu . Gh., Matematici speciale.Note de curs, Tipografia Universitii din Piteti, 19925. Chiti Stan, Probleme de matematici superioare, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti 1989.6. ordunenu . , Euii diferenile i integrle, Universitte l. I. uz Ii, 1971.7. riu M. , Roule M., Euii diferenile plitive. Probleme de euii u derivte prtile de ordinul nti, Editur didti i pedgogi, Buureti, 1971.8. Glvn V., Guu V., Sthl ., Euii diferenile prin probleme, Editur Universits,hiinu, 1993.9. Ile M. Dezvoltri simptotie pentru eutii diferenile u prmetru mi n ineti enzimelor, Ed. Sedom Libris,Ii,2006.10. Ile M., Tom ., Turne M ,rotriei D., Differentil equtions with smll prmeter with pplitions in hemotherpy ner diseses , Proeedings of the Interntionl symposium E- Helth nd Bioengineering ,Ii, pg.38-42,2009.11. Moroanu G., Ecuaii difereniale.Aplicaii, Editura Academiei Republicii Socialiste Romnia, Bucureti, 1989.

Bibliografie Se numete euie diferenil ordinr u o funie neunosut de n ori derivbil y: I R, I intervl, o relie F (x, y(x), y(x), ..., y(n)(x)) = 0, ntre vribil independent x i y(x), y(x) =, ... , y (n)(x) = , unde F: D R, D R n+2 .

dy = - dx

dx + R*+ .

= - = ln + ln , R*- = ln + ln , x 0. = , - = -2 - ln2 + ln, x 0.y = , x (0, 2e2).

,

onstnt,

,