Lungimea unui arc de curb.

Teorema 4.3.1: Lungimea arcului de curb C (plan sau spaial) se determin cu ajutorul integralei curbilinii de spea nti: . Aceast aplicaie a integralei curbilinii ne poate ajuta spre exemplu sa calculm amplitudinea unui astru, adic arcul de orizont cuprins ntre punctul cardinal est i vest i punctul de pe orizont unde astrul rsare, respectiv apune, tiind natura curbei C, aceasta fiind o elips.

Figura 8.

5. Linia orizontului. Mit, adevr i integrala curbilinie5.1. Linia orizontuluiSe spune c linia orizontului este locul din spaiu n care pmntul i cerul se ntlnesc.Este cunoscut faptul c Pmntul este o sfer turtit la poli i bombat la ecuator. Dat fiind faptul c diferena dintre raza polar i cea ecuatorial este mic, Pmntul se poate considera o sfer perfect cu raza de 6 372 797 km, aceasta fiind raza medie a planetei. Astfel, un observator privind dintr-un loc neted, o cmpie spre exemplu, poate vedea lucrurile pn cnd curbura Pmntului nu i va mai permite s vad mai departe. O dreapt tangent la suprafaa Pmntului, care pornete de la nivelul ochilor observatorului are un punct de tangen, care reprezint chiar linia orizontului. Cu ct observatorul se afl la o nlime mai mare cu att va vedea mai mult, deci punctul de tangen se va afla la o distan mai mare.

Figura 8.

Pentru a calcula distana pn la orizont, voi considera un observator cu nlimea h egal cu 1,80 m, aflat pe malul mrii, la altitudinea 0 m. Deasemeni, considernd seciunea Pmntului unde se afl observatorul, un cerc cu centrul n 0 i de raz R egal cu 6 372,797 km, a crui ecuaie se poate scrie astfel: , (Figura 9.), se poate calcula lungimea arcului de cerc AB.

Figura 9.

Conform formulei din teorema 4.3.1., lungimea arcului de curb C (plan sau spaial) se determin cu ajutorul integralei curbilinii de spea nti: .

Variabilele x si y se scriu funcie de unghiul t, cu ajutorul ecuaiei cercului, astfel: i , iar unghiul .Cosinusul unghiului se calculeaz prin raportarea razei Pmntului la suma acesteia i a nlimii observatorului, iar prin aplicarea funciei arccosinus se afl valoarea unghiului.

n continuare voi calcula efectiv lungimea arcului de curb conform urmtoarei formule:

n urma acestui calcul se poate concluziona c linia orizontului se afl la aproximativ 4,5 km deprtare de observator, n condiiile siturii acestuia la nivelul 0 al mrii. Prin urmare, nu este chiar att de ndeprtat, a putea spune c este chiar aproape, singurul lucru imposibil de fcut, rmnnd acela de a ajunge acolo, la linia orizontului, deoarece aceast distan rmne aproape mereu constant, avnd mici variaii datorate altitudinii la care ne aflm.

5.2. ntre mit i adevr5.2.1. Se poate vedea Marea Neagr de pe Vrful Omu?Mitul la care m refer este cel conform cruia n zilele senine se poate vedea Marea Neagr de pe Vrful Omu, care se gsete la altitudinea de 2505 m.Analog se deduce unghiul :

iar , ceea ce nseamn c orizontul observatorului aflat pe Vrful Omu, are o lungime de aproximativ 160 de km.Marea Neagr se afl ns la o distan mult mai mare, aproape dubl, dect ar putea oricine privi, sau mai bine zis, dect ne permite Pmntul s vedem.

5.2.2. Dar Vrful Omu din Bucureti?O alt controvers foarte aprins este aceea n care se susine c nu se pot vedea munii din Bucureti, deoarece sunt prea departe, n contradictoriu cu cei care susin c i-au vzut de pe bloc.Conform figurii 10. se poate observa c distana maxim este suma a dou lungimi de curb. Se consider nlimea h egal cu 130 m fiind o medie a altitudinii medii din Bucureti, a nlimii unui bloc de locuine i a observatorului, iar H este egal cu 2505 m, altitudinea Vrfului Omu.

Figura 10.Prima lungime se calculeaz astfel:

, iar cea de-a doua lungime este egal cu , deoarece reprezint linia orizontului atunci cnd observatorul se afl la 2505 m altitudine, calcul efectuat anterior.Astfel, distana maxim la care se pot afla Munii Bucegi fa de Bucureti astfel nct s poat fi totui, observate vrfurile cele mai nalte de la balconul unui bloc este de aproximativ 200 m. Cu ct distana pn la muni este mai mic, cu att se poate vedea mai mult din culmile lor muntoase. Avnd n vedere c distana de la capital pn la muni este de aproximativ 120-130 km, nu cred c mai exist ndoial n ceea ce privete aceast controvers.