Analiza unui sistem de acionare

Pentru a atinge funcionarea satisfctoare a oricrui sistem de control al micrii, toate componentele n cadrul sistemului trebuie s fie atent selectate. n cazul n care se face o selecie incorect, fie n tipul sau dimensiunea motorului i / sau acionrii pentru orice ax, performana ntregului sistem va fi compromis. Ar trebui s se neleag c supradimensionarea unui sistem este la fel de rea ca subdimensionarea acestuia, sistemul poate s nu se potriveasc punct de vedere fizic i va costa cu siguranta mai mult. n sensul cel mai larg, selectarea unei acionri cu motor electric poate fi considerata ca necesit colectarea sistematic a datelor cu privire la axa, urmat de o analiz.

n capitolul 1, a fost prezentat o imagine de ansamblu a unui numr de aplicaii, iidentificate cerinele lor generale de aplicare. Acest capitol ia n considerare o serie de probleme mai largi, inclusiv dinamica sistemelor rotativ i liniar care se aplic la acionare, profile de micare i aspecte legate de integrarea unui sistem de acionare ntr-o aplicaie complet. Cu preocuprilor sporite privind sigurana sistemului n exploatare sunt considerate riscurile fa de i ale unei acionri, mpreun cu posibile abordri de diminuare a acestora.

2.1 Sisteme rotative

2.1.1. Relaiile fundamentale

n general, un motor conduce o sarcin printr-o form de sistem de transport ntr-un sistem de acionare i, motorul putnd roti o sarcin sau mai multe de sarcini sau poate fie conduce la o micare de translaie a acesteia. Pachetul complet va include probabil i un sistem de reglare a vitezei, cum ar fi o cutie de viteze, un mecanism de transmisie prin curele sau un variator de turaii. Este convenabil ca acecst sistem s se reprezinte ca un sistem echivalent (a se vedea fig. 2.1); relaia fundamental care descrie un astfel de sistem este:

Fig. 2.1. Elementeel de rotaie echivalente ale unui sistem de acionare cu motor electric.

(2.1)

n care Itot este momentul de inerie total al sistemului, care este suma momentelor de inerie ale sistemului de transmitere a micrii i al sarcinii reduse la axa motorului, precum i momentul de inerie al rotorului motorului electric (n kg/m2); B este constanta de amortizare

(n N rad-1 s); m este viteza unghiular a arborelui motorului (n rad s-1 ; TL este cuplul necesar pentru acionarea sarcinii redus la axa rotorului motorului electric (n Nm), inclusiv cuplul ca sarcin extern, precum i sarcini de frecare (de exemplu, cele cauzate de rulmeni i de ineficiena sistemului(randament)); Tm este cuplul dezvoltat de motor (n Nm).

Atunci cnd cuplul necesar pentru a aciona sarcina (care este, TL + Bm) este egal cu momentul furnizat, sistemul este n echilibru i viteza va fi constant. Sarcina accelereaz sau frneaz, n funcie de faptul dac cuplul furnizat este mai mare sau mai mic dect cuplul de acionare. De aceea, n timpul accelerrii, motorul trebuie s furnizeze nu numai cuplul de ieire, dar i cuplul care accelereaz ineria sistemului de rotaie (altfel spus, trebuie s acopere i momentul de inerie datorat acceleraiei). n plus, atunci cnd viteza unghiular a sarcinii se modcfic, de exemplu pentru 1 i 2, exist o schimbare n energia cinetic a sistemului, Ek, dat de

(2.2)

Itot este momentul de inerie total care este supus schimbrii de vitez. Direcie fluxului de energie va depinde de faptul dac sarcina este accelerat sau ncetinit. Dac aplicaia are o inerie mare i n cazul n care este supus la o schimbare rapid de vitez, fluxul de energie n acionare trebuie s fie luate n considerare n detaliu, deoarece va pune restrictii privind dimensiunea motorului i acionrii, n special n cazul n care un exces de energie trebuie s fie disipat.

Momentul de inerie n luarea n considerare a unui sistem rotativ, trebuie s fi luat n considerare momentul de inerie al corpului, care este analog de masei pentru micare liniar. Pentru o mas punct punctiform momentul de inerie este produsul dintre mas i ptratul distanei fa de axa de rotaie, I = mr2. n cazul n care o mas punctiforma este considerat ntr-un corp, Fig. 2.2, urmtoarele definiii sunt de reinut:

Fig. 2.2. Calculul momentului de inerie pentru un corp solid, de mas elementar, mpreun cu valorile lui r pentru toate cele trei axe.

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Pentru un numr de componente de baz, momentele de inerie sunt date n Tabelul 2.1. Din acest tabel este posibil s se calculeze momentul de inerie n jurul unei axe, i calcula apoi momentul de inerie, I, n jurul unei axe paralele de alt parte, utiliznd teorema axelor paralele, caz n care

(2.6)

Unde IG este momentul de inerie al corpului, M - masa i d distana dintre noua ax de rotaie i axa original.

2.1.2 Consideraii dinamometrice

Cuplul care trebuie s fie depit pentru a permite sarcinii s fie accelerat poate fi considerat a avea urmtoarele componente:

cuplul de frecare, Tf, rezult din micarea relativ ntre suprafee, i se regsete n lagre, uruburi conductoare, cutii de viteze, ghidaje, etc. Un model de frecare liniar care se poate aplica la un sistem rotativ este dat n sectiune 2.3.

Tabelul 2.1. Momentul de inerie pentru un numr de corpuri cu densitate uniform.

Fig. 2.3.Relaia dintre intrare i de ieire a unui angrenaj ntr-o singur treapt. Raportul de transmisie se calculeaz ca raport al numerelor de dini ai roilor dinate, No / Ni sau cuplu de vnt, Tu , este cauzat de componentele rotative n contact cu micarea aerului (sau altor fluide) i este proporional cu ptratul vitezei. cuplul de sarcin, TL, cerut de aplicaie, a crui identificarea fiind discutat parial n Capitolul 1. Cuplul de sarcin este, de asemenea, necesar pentru acionarea trenului de putere, care va fi discutat n Capitolul 3.

2.1.3. Rapoarte de transmitere ale angrenajelor

ntr-un sistem perfect de schimbare a vitezelor (a se vedea Fig. 2.3), puterea de intrare va fi egal cu puterea de ieire, aplicndu-se urmtoarele relaii:

(2.7a)

(2.7b)

(2.7c)

"" este determinat de proiectare a trenului de transmisie i numrul de trepte de reducere care este discutat mai pe larg n seciunea 3.1. n cazul n care un sistem de acionare care ncorporeaz o cutie de viteze este luat n considerare. Figura 2.4, trebuie luat n considerare dinamica sistemului care poate fi scris n funcie de variabile de ncrcare, obinmdu-se

(2.8)

Unde IL este momentul de inerie al sarcinii, Im - momentul de inerie al motorului, BL este de

amortizarea sarcinii, Bm este amortizarea motorului, L este acceleraia sarcinii. Dac sarcina accelereaz sau frneaz depinde de diferena dintre cuplul generat de motor i cuplul de sarcin reflectat trecut prin trenul de roi dinate, Tdif. n ecuaia (2.8), primul termen din paranteze este momentul de inerie efectiv , iar al doilea este amortizarea efectiv. Trebuie remarcat faptul c, n

determinarea valoarii efective, trebuie s fie luate n considerare toate componentele de

rotaie. n consecin, trebuie adugate la momentul de inerie real momentele de inerie ale arborilor, cuplajelor, precum i ale treptelor cutiiei de viuteze etc. pentrua determina momentul de inerie efectiv. Ar trebui remarcat, de asemenea, c dac n > 1 atunci momentul de inerie al motorului va fi o parte important a celui efectiv.

Fig. 2.4. Un motor conectat prin intermediul angrenaje la o sarcin inerial.

1.3.2. Masa redus i momentul de inerie redus Pentru a simplifica expresia energiei cinetice a ntregului mecanism, se introduce noiunea de mas redus i aceea de moment de inerie redus. n acest mod, studiul dimanic al SA pentru cuplele cinematice conductoare se reduce la studiul dinamic al elementelor de reducere. Ca element de reducere, se admite rotorul motorului electric, armtura mobil a electromagnetului, pistonul cilindrului pneumatic i hidraulic, etc. Prin definiie, masa redus a unui mecanism este echivalent cu o mas fictiv care, concentrat ntr-un punct al unui element numit element de reducere, dezvolt aceeai energie cinetic pe care o dezvolt ntregul mecanism aflat n micare. Pe baza definiiei date, se poate scrie relaia de calcul pentru masa redus:

unde notaiile au semnificaia urmtoare: - vA re prezint viteza de translaie a elementului de reducere; - mi i Ji reprezint masa i respectiv momentul de inerie mecanic n raport cu o ax ce trece prin centrul de greutate al unui element i; - vi i i reprezint viteza centrului de greutate i respectiv viteza unghiular a elementului i; - n reprezint numrul de elemente mobile ale mecanismului. Prin definiie, momentul de inerie redus Ir al unui mecanism este echivalent cu momentul de inerie fictiv al unui volant, care rotindu-se ca element de reducere, dezvolt aceeai energie cinetic pe care o dezvolt ntregul mecanism. Pe baza definiiei, se poate scrie expresia pentru calculul momentului de inerie redus:

A reprezint viteza unghiular a elementului de reducere; mi i Ji reprezint masa i respectiv momentul de inerie mecanic n raport cu o ax ce trece prin centrul de greutate al unui element i; vi i i reprezint viteza centrului de greutate respectiv viteza unghiular a elementului i; n reprezint numrul de elemente mobile ale mecanismului.

1.3.3. Ecuaia de micare a elementului de reducere S-a evideniat anterior c, pentru orice mecanism, indiferent de componena sistemului n care intr, se poate face reducerea maselor i momentelor de inerie la un singur element, numit element de reducere (rotorul motorului electric sau hidraulic, armtura mobil a electromagnetului, pistonul cilindrului pneumatic, etc.). ntr-un mod asemntor, pot fi reduse la acelai element i forele/momentele care acioneaz asupra mecanismului.

Ecuaia de micare stabilete legtura dintre forele/momentele reduse i starea de micare a elementului de reducere. O modalitate de determinare a ecuaiei de micare const n utilizarea ecuaiilor lui Lagrange de ordinul 2:

Ec reprezint energia cinetic a mecanismului; - qk reprezint coordonata generalizat ( pentru micarea de rotaie a elementului de reducere sau x pentru micarea de translaie); - qk reprezint viteza generalizat ( pentru micarea de rotaie a elementului de reducere sau v pentru micarea de translaie; - Qk reprezint fora generalizat (un moment M pentru micarea de rotaie sau o for F pentru micarea de translaie); - k reprezint numrul gradelor de libertate.

Expresiile energiei cinetice pentru un moment de reducere n micare de rotaie respectiv de translaie sunt:

unde notaiile au semnificaia: - Ir i mr reprezint momentul de inerie redus i respectiv masa redus; - A i vA reprezint viteza unghiular respectiv liniar a elementului de reducere. Utiliznd relaiile anterioare, se obin dup o serie de transformri, ecuaiile de miacre pentru cele dou cazuri (rotaie i translaie);

Fora generalizat n fiecare din cele dou cazuri are expresia:

unde notaiile au semnificaia: - Mm i Fm reprezint momentul motor i respectiv foa motoare; - Mr,red i Fr,red reprezint momentul redus (al forelor tehnologice, de frecare, gravitaionale) i respectiv fora rezistent redus. n cazul acionrii unor echipamente periferice, masa redus i momentul de inerie redus sunt mrimi constante (independente de coordonata generalizat), astfel c relaiile (5.3.10) i respectiv (5.3.11) se simplific. Rezolvarea acestei ecuaii, sub forma sa cea mai complex, presupune folosirea metodelor numerice. O modalitate simpl i rapid o ofer utilizarea unui software adecvat pentru simulare (de exemplu MATLAB/Simulink).

Exemplu combinat R-R-T

Considerm o mas de poziionare X - Y, al crei sistem de acionare pentru cupla cinematic conductoare pe o direcie (fie direcia X, fie direcia Y), are componena prezentat n Fig. 1.3.4. Considerm drept element de reducere, rotorul motorului de acionare MA, care are viteza unghiular m. Reductorul de turaie are la ieire viteza unghiular RC, iar urubul cu bile are viteza unghiular S = RC. urubul cu bile are pasul p.

Avnd n vedere expresia de definire a raportului de transmitere:

i relaia ntre parametrii transmisiei urub-piuli:

expresia momentului de inerie redus este:

unde: Ir momentul de inerie redus; Jr momentul de inerie al rotorului; JP momentul de inerie al pinionului; JRC momentul de inerie al roii conduse; JS momentul de inerie al urubului; mr masa n micare de translaie; P pasul urubului conductor; i raportul de transmitere al angrenajului.

Pentru schema cinematic din Fig. 1.3.4, se poate determina pe baza celor expuse anterior ecuaia de micare:

unde Jr este momentul de inerie redus la arborele motorului (se calculeaz cu relaia 5.3.6 funcie de parametrii sistemului); k este constanta de amortizare vscoas (pentru servomotorul de acionare dat se obine din catalogul firmei constructoare); este viteza unghiular a elementului de reducere (rotorul motorului electric); Mm este momentul motor creat de servomotorul electric; M0 este momentul frecrilor statice din rulmenii motorului; Mrez este momentul rezistent impus de utilitatea transmisiei (inclusiv frecrile din sistem altele dect cele prezentate anterior). Utiliznd pachetul softul MATLAB / Simulink, ecuaia 5.3.14 poate fi reprezentat prin schema-bloc din Fig. 1.3.5.

Schema de modelare conine blocuri selectate din biblioteca aferent, funcie de termenii ecuaiei. n plus sunt prezentate n schema de modelare i blocurile de vizualizare grafic sau numeric a mrimilor de ieire. n fiecare bloc sunt prezentate valorile numerice care au fost luate n considerare pentru exemplificare. Se consider, pentru simplificarea analizei, c sistemul de acionare este realizat cu un servomotor electric care asigur un cuplu motor constant. Valorile parametrilor inclui n ecuaia analizat au valorile Jr = 0.2 kgm2, M0 = 0.001 Nm, Mrez = 0 Nm, Mm = 1 Nm.

Modul de variaie a vitezei unghiularepentru elementul de reducere este ilustrat n Fig. 1.3.6. Dac se dorete suplimentar i obinerea informaiei despre coordonata generalizat (x) se introduce n mod corespunztor blocul integrator.

Funcie de schema cinematic real, modelarea matematic poate fi completat cu blocuri care iau n considerare aspectele neliniare ale sistemului: elasticitatea elementelor transmisiei, histereza mecanic, frecarea etc.