1

Cursul 3

Definiţie: Numim serie de puteri o serie de funcţii 0

nn

f

, unde :nf R R prin

nn nf x a x pentru 1n şi 0 0f x a .

Deci seria are forma 20 1 2

nna a x a x a x ,

unde numărul na este numit coeficientul termenului de rang n, iar xR.

Convenind 00=1 (doar aici) putem scrie prescurtat

0

n

nn

a x

. Aceasta este forma standard a

seriei de puteri.

Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri 0

n

nn

a x

există un număr 0 0R (care se numeşte

raza de convergenţă a seriei) astfel încât:

i) seria este absolut convergentă pe intervalul 0 0,R R ;

ii) seria este divergentă pe mulţimea 0 0, ,R R ;

iii) pentru orice 00,r R seria este uniform convergentă pe ,r r .

Demonstraţie: Dacă seria de puteri este convergentă numai în punctul 0x , atunci 00 R şi

teorema este demonstrată.

Presupunem că seria este convergentă şi în punctul 00 x , deci seria numerică

0

0

n

n

n xa este

convergentă. Rezultă că 0lim 0

n

nn

xa , prin urmare şirul n

n

n xa 0 este mărginit, deci există 0M

astfel încât Mxa n

n 0 pentru orice Nn . Fie x un punct oarecare astfel încât 0xx , atunci avem

n

nn

n

n

n

n Mx

xM

x

xxaxa

00

0 , unde 1,00

x

x . Cum seria geometrică

0n

n

este convergentă, seria

0n

nM este convergentă şi conform primului criteriu de comparaţie rezultă că

seria

0n

n

n xa este convergentă, deci seria

0n

n

n xa este absolut convergentă. Cum inegalitatea

0xx este echivalentă cu 00 xxx rezultă că intervalul 00 , xx este inclus în mulţimea

de convergenţă a seriei, mulţime pe care o notăm cu B. Dacă seria de puteri este divergentă în punctul 1x ,

atunci în orice punct x cu 1xx seria este divergentă, altfel există 0x cu 10 xx în care seria este

convergentă şi prin urmare conform celor de mai sus rezultă că seria este convergentă în 1x , deci

contradicţie cu ipoteza. Deoarece B0 , mulţimea B este nevidă şi prin urmare admite margine

superioară, pe care o notăm cu 0R , deci BR sup0 . Vom arăta că 0R este raza de convergenţă a seriei

de puteri:

2

i) Fie 00 , RRx , atunci avem 0Rx şi din definiţia marginii superioare rezultă că există

Bx 0 astfel încât 00 Rxx . Cum 0x este punct de convergenţă (seria

0

0

n

n

n xa este

convergentă), rezultă că seria

0n

n

n xa este absolut convergentă.

ii) Dacă 0R atunci mulţimea de divergenţă este vidă (deci punctul ii nu se mai pune). Dacă

0R , fie x un punct astfel încât 0Rx (adică ,, 00 RRx ). Rezultă că seria

0n

n

n xa este divergentă, altfel pentru orice 1x cu xxR 10 avem 1x punct de convergenţă, deci

Bx 1 ceea ce contrazice ipoteza BR sup0 . Aşadar, seria

0n

n

n xa este divergentă pentru orice x cu

0Rx .

iii) Evident acest punct se pune numai în cazul 00 R . Fie 0,0 Rr , deci seria numerică

0n

n

n ra este absolut convergentă. Cum pentru orice rrx , avem rx şi

n

n

n

n

n

n raraxa , folosind criteriul lui Weierstrass pentru convergenţa uniformă a seriilor

de funcţii, rezultă că seria

0n

n

n xa este uniform convergentă pe rr, . Astfel teorema este

demonstrată.

Numărul 0R se numeşte raza de convergenţă a seriei de puteri, iar 0 0,R R se numeşte intervalul

de convergenţă al seriei.

Observaţii. În punctele 0x R şi 0x R teorema lui Abel nu arată comportamentul seriei de

puteri. În aceste puncte seria se va studia separat aplicând criterii de la seriile numerice. Teorema lui Abel

afirmă existenţa razei de convergenţă pentru orice serie de puteri, dar nu dă un procedeu de calcul al

acesteia.

Calculul razei de convergenţă:

Fie 0

n

nn

a x

o serie de puteri şi R0 raza ei de convergenţă.

1). Teorema Cauchy-Hadamard: Dacă lim nn

na L

, atunci raza de convergenţă este

0

1; când 0

; când 0

LR L

L

.

3

2). (Plecând de la criteriul lui d’Alembert) Dacă 1

limn

nn

aL

a

, atunci raza de convergenţă este

0

1; 0

; 0

LR L

L

.

Serii Taylor. Dezvoltări în serie Taylor

Considerăm o serie de puteri de forma 00

n

nn

a x x

, notând 0xxy obţinem forma

standard a unei serii de puteri

0n

n

n ya , serie cu raza de convergenţă 0R , deci seria dată este

convergentă pe intervalul 0 0 0 0,x R x R . În baza teoremei de derivare termen cu termen,

suma acestei serii este o funcţie infinit derivabilă. Fie :f I R suma seriei de puteri pe

intervalul 0 0 0 0,I x R x R R . Din 00

n

nn

f x a x x

obţinem: 0 0f x a ,

1' '

0 0 11

n

nn

f x a n x x f x a

,

2'' '' ''

0 0 2 2 02

11 2 1

2!

n

nn

f x a n n x x f x a a f x

0 01 1 !n kk k

n kn k

f x a n n n k x x f x a k

deci 0

1

!

k

ka f xk

.

Astfel funcţiei f care admite derivate de orice ordin în punctul 0x I i se asociază seria de puteri

( )

00

0

( )

!

nn

n

f xx x

n

care se numeşte seria Taylor a funcţiei f în punctul 0x . Mulţimea ei de

convergenţă conţine cel puţin punctul 0x .

În cazul 0 0x seria se numeşte seria MacLaurin asociată funcţiei f : ( )

0

(0)

!

nn

n

fx

n

.

Pentru o funcţie oarecare :f AR care admite derivate de orice ordin într-un punct

0x I A , se consideră seria ( )

00

0

( )

!

nn

n

f xx x

n

(seria Taylor a lui f în punctul 0x ).

Cazul interesant este atunci când raza de convergenţă 0R este strict pozitivă, situaţie în

care ne punem problema egalităţii dintre suma acestei serii şi valorile funcţiei f pe mulţimea

0 0 0 0,x R x R A . Dacă acest fapt se adevereşte, putem aproxima valoarea f(x) prin suma

parţială de ordinul n a seriei Taylor a lui f, notată:

4

( )

0 00 0 0 0

'( ) ( );

1! !

nn

n

f x f xT x x f x x x x x

n .

Suma parţială de ordin n a seriei Taylor se numeşte polinomul Taylor de ordinul n

asociat funcţiei f în punctul 0x . Se notează cu 0;nT x x . Deci

' '' ( )

20 0 00 0 0 0 0

( ) ( ) ( );

1! 2! !

nn

n

f x f x f xT x x f x x x x x x x

n .

0;nT x x se numeşte polinom Taylor de ordinul n asociat funcţiei f în punctul 0x şi are

sens dacă f admite derivate până la ordinul n cel puţin în punctul 0x .

Definiţie. Se numeşte restul Taylor de ordin n al funcţiei :f R R în punctul 0x funcţia

: , nR R R 0;n nR x f x T x x .

Formula 0;n nf x T x x R x se numeşte formula lui Taylor de ordin n.

Observaţie: Restul Taylor de ordin n, nR x , nu se confundă cu restul de ordin n al seriei Taylor

ataşată funcţiei f, acesta este notat cu n x , deci ( )

00

1

( )

!

kk

nk n

f xx x x

k

(evident, dacă

x este punct de convergenţă avem n nR x x ).

Dacă seria Taylor este convergentă în punctul x, avem ( )

00

0

( )

!

nn

n

f xf x x x

n

, egalitate

numită formula de dezvoltare a funcţiei f în serie Taylor în jurul punctului 0x .

Fie f o funcţie reală derivabilă de 1n ori pe un interval deschis I. Fie 0x I şi formula lui

Taylor de ordin n: 0;n nf x T x x R x . Vom considera că restul are forma

0

p

nR x k x x x , unde pN şi k x este fixată. Deci

' ( )

0 00 0 0 0

( ) ( )

1! !

nn pf x f x

f x f x x x x x k x x xn

Considerăm funcţia :g I R ,

' ( )( ) ( )

1! !

nn pf t f t

g t f t x t x t k x x tn

Avem g x f x şi 0g x f x , deci 0g x g x şi cum g este derivabilă pe I putem

aplica teorema lui Fermat pe intervalul 0,x x (sau 0 ,x x ). Aşadar, există 0,c x x (sau

0 ,c x x ) astfel încât ' 0g c . Cum

5

'' ''' ''

2' ' '( ) ( ) ( )2

1! 2! 2!

f t f t f tg t f t x t f t x t x t

( 1) ( )

1 1( ) ( )

! !

n nn n pf t f t

x t n x t p k x x tn n

( 1)

1( )

!

nn pf t

x t p k x x tn

. Din ' 0g c se obţine

1

1

!

nn pf c

k x x cn p

şi

1

1

0!

np n p

n

f cR x x x x c

n p

Pentru 1p n se obţine restul sub forma lui Lagrange:

11

01 !

nn

n

f cR x x x

n

11

0 0;1 !

nn

n

f cR x x x x

n

unde c este între 0x şi x (expresie ce se numeşte restul sub forma

lui Lagrange).

Pentru 1p se obţine restul sub forma lui Cauchy:

1

0!

nn

n

f cR x x c x x

n

Dacă A conţine punctul 0 0x şi f este derivabilă de cel puţin n ori în acest punct, formula lui

Taylor devine : 1

(0)0 ;0 ,

!

knk

nk

ff x f x R x x A

k

,

care se numeşte formula MacLaurin ataşată funcţiei f.

Propoziţie. Fie :f AR derivabilă de 1n ori pe un interval deschis I A , cu derivatele de ordinul

1n continue pe I. Atunci pentru orice 0x I avem 0

1

0

1;

!

x n n

n xf x T x x x y f y dy

n

,

unde x I .

Exemplu: Să se dezvolte în serie MacLaurin funcţia :f R R , xf x e şi să se determine

raza de convergenţă a seriei.

Avem ' ,xf x e '' ,xf x e … ,n xf x e deci

00 1n

f e şi seria MacLaurin

( ) 2

0 0 0

(0) 11

! ! ! 1! 2!

n nn n

n n n

f x x xx x

n n n

6

Cum 1

!na

n , raza de convergenţă este

1

lim lim 1n

n nn

aR n

a

, deci 0 !

nx

n

xe

n

pentru

orice xR .