ALGEBRA LINIARA

Petrehus ViorelUTCB

January 15, 2018

1 Vectori liberi

Un segment AB spunem ca este orientat daca se alege care din capete esteprimul si care al doilea. Primul capat al segmentului se numeste origine iarcelalalt capat extremitate. Daca se inverseaza originea cu extremitatea spunemca segmentul este orientat invers. Prima litera n denumurea unui segment esteoriginea iar a doua litera desemneaza extremitatea. Doua segmente orientateAB si A0B0 se numesc echivalente, daca ABB0A0 este paralelogram (aceastaimplica AB k A0B0, jABj = jA0B0j). Spunem ca segmentele AB si A0B0 suntorientate n acelasi sens.

Doua segmente echivalente, AB si A0B0

Multimea tuturor segmentelelor orientate echivalente cu un segment dat ABse numeste vectorul liber

!AB. Prin ecare punct P din spatiu exista un unic seg-

ment orientat ce reprezinta un vector liber dat!AB, pentru care P este origine,

anume segmentul PQ unde Q este unicul punct astfel ca ABQP este paralel-ogram. Multimea vectorilor liberi din plan o notam cu V2 iar cea a vectorilorliberi din spatiu cu V3.

1

1.1 Operatii cu vectori liberi

1.1.1 Adunarea

Pentru a aduna doi vectori liberi luam doua segmente orientate ce i reprezintasi le punem unul n continuarea celuilalt. Segmentul orientat de la origineaprimului la extremitatea celui de-al doilea reprezinta suma celor doi vectori.Suma este bine denita deoarece facnd constructia precedenta n alta pozitien plan sau spatiu obtinem un segment orientat ce reprezinta acelasi vector.Aceasta constructie este o generalizare a adunarii numerelor. Alta varianta deprezentare a adunarii este sa punem segmentele orientate cu originile n acelasipunct, sa construim paralelogramul natural pe cele doua segmente iar diagonalace pleaca din originea comuna reprezinta suma celor doua segmente. Aceastaeste regula paralelogramului de adunare a fortelor descoperita de Simon Stevin.

Suma a doi vectori ~u+ ~v

2

Vom nota cu!0 vectorul

!AA =

!BB = : : :, n care segmentul suport este

redus la un punct. Daca ~u =!AB atunci notam ~u =

!BA vectorul reprezentat

de acelasi segment orientat n sens invers si l numim vectorul opus.Proprietatile adunarii1. (~v1 + ~v2) + ~v3 = ~v1 + (~v2 + v3), asociativitatea.2. ~v1 + ~v2 = ~v2 + ~v1, comutativitatea.3. ~0 + ~v = ~v +~0 = ~v, vectorul ~0 este element neutru pentru adunare.4. ~v+(~v) = (~v)+~v = ~0, ~v este elementul simetric lui ~v fata de adunare.Prin urmare (V2;+) si (V3;+) sunt grupuri comutative.Aceste proprietati sunt foarte usor de demonstrat. Demonstratia asociativ-

itatii este aratata n gura urmatoare.

Asociativitatea adunarii vectorilor

1.1.2 Inmultirea vectorilor liberi cu numere reale

Denim !AB =!AB0 cu AB k AB0, jAB0j = jj jABj si daca > 0 atunci

B si B0 sunt de aceeasi parte a punctului A iar daca < 0 atunci B si B0 suntde parti diferite ale punctului A pe dreapta comuna. Notam de obicei produsuldintre un numa si un vector prin

!AB.

Un exemplu de nmultire avem n gura urmatoare.

3

Proprietatile inmultirii cu scalari1. 1 !v = !v2. (!v 1 +!v 2) = !v 1 + !v 23. (1 + 2)

!v = 1!v + 2!v4. () !v = (!v )

Proprietatile 1, 3 si 4 rezulta imediat din denitia produsului dintre unscalar si un vector. Ilustram proprietatea 2 in desenul de mai jos.

O multime V pe care este denita o operatie +ce formeaza pe V o struc-tura de grup comutativ si o operatie numita nmultire ntre numerele reale sielementele din V , cu proprietatile 1)4) de mai sus se numeste spatiu vectorial.

Prin urmare multimea V2 a vectorilor liberi din plan si multimea V3 avectorilor liberi din spatiu cu operatiile denite mai nainte sunt spatii vectoriale.

1.2 Vectori de pozitie

Fie O un punct xat n plan sau spatiu pe care l numim origine. Pentru unpunct oarecare A din plan sau spatiu numim vectorul

!OA vectorul de pozitie al

punctului A si l vom nota uneori cu !r A. El depinde de alegerea punctului orig-ine O. Deoarece

!OA+

!AB =

!OB rezulta ca vectorul reprezentat de segmentul

orientat de la A la B se scrie cu ajutorul vectorilor de pozitie

!AB =

!OB !OA = ~rB ~rA

Vectorul de pozitie al mijlocului M al segmentului AB este conform guriiurmatoare

!OM =

1

2 !OC = 1

2!OA+

!OB

altfel spus

~rM =1

2(~rA + ~rB)

4

Vectorul de pozitie al punctului M care imparte un segment AB intr-unraport dat

!MB = k !MA se poate determina astfel:

!MB = k !MA!

OB !OM= k

!OA!OM

!OM =

!OB k !OA

1 k

~rM =~rB k~rA1 k

Exemplul 1 Ca aplicatie sa determinam vectorul de pozitie al centrului degreutate al unui triunghi. Daca C 0 este mijlocul segmentului AB atunci ~rC0 =12 (~rA + ~rB). Punctul G situat pe mediana CC0 astfel ca

!GC = 2

!GC 0 are ca

vector de pozitie

~rG =1 ~rC (2) ~rC0

1 (2) =~rC + ~rA + ~rB

3

Daca am utilizat o alta mediana ar rezultat acelasi vector de pozitie pentrupunctul pe mediana care o mparte n doua parti spre vrf si o parte spre baza.Acest punct se numeste centrul de greutate al triunghiului.

5

Exemplul 2 Fie n spatiu paralelogramele notate circular ABCD si A0B0C 0D0.Fie A00; B00; C 00; D00 mijloacele segmentelor AA0; BB0; CC 0 respectiv DD0. Sa searate ca A00B00C 00D00 este paralelogram.Rezolvare. Avem din conditia de paralelogram

!AB =

!DC,

!A0B0 =

!D0C 0 deci

~rB ~rA = ~rD ~rC si ~rB0 ~rA0 = ~rD0 ~rC0 . Pentru punctul A00 avem~rA00 =

~rA+~rA02 si analog pentru B

00; C 00; D00. De aici rezulta!A00B00 = ~rB00

~rA00 =~rB~rA

2 +~rB0~r0A0

2 =!AB2 +

!A0B0

2 . Analog!D00C 00 =

!DC2 +

!D0C0

2 , Rezulta!A00B00 =

!D00C 00 deci A00B00C 00D00 este paralelogram.

1.3 Reper n plan si spatiu

Fie ~e1 si ~e2 doi vectori nenuli si necoliniari din plan. Numim multimea f~e1; ~e2greper n plan. Fie !v un vector oarecare n plan. Punem vectorii ~e1; ~e2; ~v cuoriginea n acelasi punct O. In gura urmatoare

se vede cum se descompune unic !v ca suma a doi vectori, unul coliniar cu ~e1iar celalalt coliniar cu ~e2:

~v = x~e1 + y~e2:

x si y se numesc coordonatele lui ~v in raport cu reperul f~e1; ~e2g.Daca in spatiu avem trei vectori nenuli ~e1; ~e2; ~e3 astfel ca pusi cu originea

n acelasi punct O, nu sunt n acelasi plan, atunci spunem ca avem un reper nspatiu f~e1; ~e2; ~e3g. Evident ca nici unul din vectorii ~e1; ~e2; ~e3 nu poate nul sinici doi vectori nu pot coliniari.In gura urmatoare vedem cum un vector oarecare ~v n spatiu se descompune

~v = x~e1 + y~e2 + z~e3 cu x; y; z 2 R iar ~v este diagonala unui paralelipiped culaturile paralele cu ~e1; ~e2; ~e3si de lungimi jxj k~e1k, jyj k~e2k, jzj k~e3k. Prin k~vk amnotat lungimea vectorului ~v. Descompunerea este unica pentru ca daca am aveasi ~v = x0~e1+y0~e2+z0~e3 atunci ar rezulta ~0 = (x x0)~e1+(y y0)~e2+(z z0)~e3deci vectorul ~0 ar diagonala unui paralelipiped n care nu sunt de lungime zerotoate muchiile ce pleaca dintr-un vrf.

6

~v =!OA = x~e1 + y~e2 + z~e3

x; y; z se numesc coordonatele lui ~v in reperul f~e1; ~e2; ~e3g. Daca ~v1 = x1~e1+x2~e2 + x3~e3, ~v2 = y1~e1 + y2~e2 + y3~e3 atunci din proprietatile adunarii si alenmultirii cu scalari obtinem

~v1 + ~v2 = (x1 + y1)~e1 + (x2 + y2) e2 + (x3 + y3) e3

~v1 = (x1)~e1 + (x2)~e2 + (x3)~e3

Cnd reperul este subnteles scriem vectorii doar prin coordonate

~v1 = (x1; x2; x3); ~v2 = (y1; y2y3)

de unde~v1 + ~v2 = (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3)

~v1 = (x1; x2; x3)

Fie O un punct origine n spatiu si prin O trei drepte perpendiculare. Luampe aceste drepte trei puncte A1; A2; A3, pe ecare cte unul, astfel ca

!OA1

=

!OA2

=

!OA3

= 1Spunem ca vectorii ~e1 =

!OA1; ~e2 =

!OA2; ~e3 =

!OA3 formeaza un reper orto-

normat. Daca n plus ~e1; ~e2; ~e3 sunt orientati dupa regula minii drepte (~e1 aresensul degetului aratator departat fata de celelalte degete de la mna dreapta,~e2 are sensul celorlalte degete ntinse de la mna dreapta iar ~e3 are sensul spreexteriorul palmei de la mna dreapta) spunem ca reperul este orientat drept.Vectorii unui reper ortonormat drept n spatiu se noteaza traditional ~i; ~j; ~k.Vom utiliza n continuare aceasta notatie n loc de ~e1; ~e2; ~e3. Pentru un alt

7

repern~f1; ~f2; ~f3

oavem

~f1 = c1;1~i+ c2;1~j + c3;1~k

~f2 = c1;2~i+ c2;2~j + c3;2~k

~f3 = c1;3~i+ c2;3~j + c3;3~k

sau n~f1; ~f2; ~f3

o=n~i;~j;~k

o0@ c1;1 c1;2 c1;3c2;1 c2;2 c;3c3;1 c3;2 c3;3

1ANumim matricea

C =

0@ c1;1 c1;2 c1;3c2;1 c2;2 c;3c3;1 c3;2 c3;3

1Amatricea de trecere de la reperul

n~i;~j;~k

ola reperul

n~f1; ~f2; ~f3

o. Orice multime

de trei vectori n spatiun~f1; ~f2; ~f3

ose poate scrie

n~f1; ~f2; ~f3

o=n~i;~j;~k

oC unde

C este o matrice reala 3 3. Avem urmatorul rezultat:

Propozitia 3 Urmatoarele armatii sunt echivalente:a)n~f1; ~f2; ~f3

oeste reper n spatiu.

b) Pentru orice vector ~v din spatiu exista o unica descompunere ~v = x1 ~f1 +x2 ~f2 + x3 ~f3.

c)n~f1; ~f2; ~f3

o=n~i;~j;~k

oC cu det (C) 6= 0.

Demonstratie. Am denit un repern~f1; ~f2; ~f3

on spatiu ca ind format din

trei vectori nenuli astfel ca pusi cu originea n acelasi punct O, nu sunt n acelasiplan. In acest caz s-a aratat cum se poate descompune unic un vector oarecare~v din spatiu dupa vectorii ~f1; ~f2; ~f3, adica a) ) b). Invers, b) ) a) pentru cadaca ~f1; ~f2; ~f3 ar n acelasi plan atunci orice combimatie a lor ar n acelasiplan cu ei deci un vector ~v care n