Algebr˘a - analizam.neuron-media.roanalizam.neuron-media.ro/AlgebraOctNov-2011.pdf · Referitor la...

Algebra

Georgescu Constantin

Cuprins

Prefata 5

1 Notiuni preliminare 71.1 Multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Structuri algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Permutari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Sisteme de ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Spatii vectoriale 332.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Baza si dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Dependenta si independenta liniara . . . . . . . . . . . 362.3.2 Baza si dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.3 Rangul unui sistem de vectori . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Schimbari de baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.1 Lema substitutiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 Trecerea de la o baza la alta . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Operatori liniari 513.1 Definitii si proprietati imediate . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Izomorfism de spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Nucleul si imaginea unui operator liniar . . . . . . . . . . . . . 533.4 Matricea asociata unui operator liniar . . . . . . . . . . . . . . 563.5 Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Functionale liniare, Functionale biliniare si Functionale patratice 634.1 Functionale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3

4 CUPRINS

4.2 Functionale biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Functionale patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3.1 Definitii si proprietati imediate . . . . . . . . . . . . . 674.3.2 Reducerea unei functionale patratice la forma canonica 71

5 Spatii vectoriale euclidiene 755.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Ortogonalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Multimi convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Teste de autoevaluare si evaluare. 836.1 Test de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Prefata

Prezenta lucrare reprezinta continutul matematic de baza privind algebraliniara, necesar studentilor de la facultatile tehnice, economice cat si celor dela matematica. In pricipal, lucrarea de fata costitue prima parte a cursuluide geometrie analitica, tinut de autor studentilor din anul I.

In general, notiunile prezentate sunt ınsotite de probleme complet rezol-vate. Se prezinta, de asemenea, trei teste de autoevaluare, constand dinprobleme complet rezolvate si trei teste de evaluare, care cuprind exercitiinerezolvate ce se pot rezolva usor de cel care a parcurs ıntreaga lucrare.Aceasta este o caracteristicı de baza a lucrarii.

Primul capitol al lucrarii de fata, este un mic rezumat al notiunilor dinalgebra de liceu necesare in telegerii capitolelor urmatoare.

In celelalte capitole sunt prezentate pe scurt, notiuni de Spatii vectoriale(cap.2), Operatori liniari (cap.3), Functionale liniare, biliniare si patratice(cap.4), Spatii vectoriale euclidiene (cap.5), Teste de evaluare si autoevaluare(cap.6).

Lucrarea se adreseaza studentilor din primul an de la facultatile cu profiltehnic, economic si o pot utiliza cu folos si studentii facultatilor de matem-atica.

Autorul multumeste, ın mod deosebit, celor care si-au adus contributialor cu gandul, cu vorba sau cu fapta, la aparitia acestei lucrari.

AutorulPitesti noiembrie 2006

5

6 CUPRINS

Capitolul 1

Notiuni preliminare

1.1 Multimi

Notiunea de multime este una dintre notiunile fundamentale si dintre celemai des folosite ın matematica moderna. Dupa Georg Cantor (1845-1918),creatorul teoriei multimilor, se numeste multime “o colectie de obiecte binedeterminate si distincte ale intuitiei sau gandirii noastre, considerate ca untot”. Obiectele considerate se numesc obiectele multimii .

De regula, multimile se vor nota cu litere mari si elementele lor cu literemici.

Daca A este o multime si x un element al sau, vom scrie x ∈ A si vomciti “x apartine lui A”. Daca x nu se gaseste ın A, atunci vom scrie x /∈ A sivom citi “x nu apartine lui A”.

Exista doua moduri de definire (de determinare) a unei multimi: i) nu-mind individual elementele sale si vom scrie A = {a, b, c, . . .}, daca a, b, c . . . ∈A si ii) specificand o proprietate pe care o au numai elementele lui A si vomscrie A = {x|P (x)}, adica A este multimea acelor obiecte x pentru care areloc P (x).

Multimea cu nici un element, se numeste multimea vida si se noteazacu ∅. Tinand seama de cum se poate defini o multime putem scrie: ∅ = {}sau ∅ = {x|x 6= x}.

O multime cu un numar finit de elemente se numeste multime finita .In caz contrar se numeste infinita.

Pentru cateva multimi care vor fi des utilizate avem notatii speciale: cuN vom nota multimea numerelor naturale, adica N={0,1,2,3,. . . }. CuZ vom nota multimea numerelor ıntregi ; cu Q multimea numerelorrationale , cu R multimea numerelor reale, iar cu C multimea nu-

7

8 Capitolul 1. Notiuni preliminare

merelor complexe. Vom nota cu N* multimea numerelor naturalenenule , adica (i.e.) N*={1,2,3,. . . } si analog Z*, Q*, R*, C*.

Doua multimi A si B sunt egale (coincid) daca si numai daca sunt formatedin aceleasi elemente si vom scrie A=B. Daca A si B nu sunt egale, vom scrieA 6= B si vom citi “A diferit de B”.

Daca A si B sunt doua multimi, vom spune ca A este o submultime alui B (A este inclusa ın B si vom scrie A ⊆ B, sau B include A si vomscrie B ⊇ A) daca orice element al multimii A este si element al multimii B.Multimea vida este submultime a oricarei multimi. Daca A nu este inclusaın B vom scrie A 6⊂ B. Vom spune ca multimea A este strict inclusa ın Bsi vom scrie A ⊂ B, daca A ⊆ B si A 6= B. Intre multimile speciale avemincluziunile: N*⊂N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Daca T 6= ∅, atunci multimea P(T ) = {A|A ⊆ T} se numeste multimeapartilor multimii T. Deci ∅, T ∈ P(T ).

Operatii cu multimi :

I) intersectia a doua multimi A si B ınseamna multimea notata A∩B,si definita prin A ∩ B := {x|x ∈ A si x ∈ B};

II) reuniunea a doua multimi A si B ınseamna multimea notata A ∪ Bsi definita prin A ∪ B := {x|x ∈ A sau x ∈ B}.

In cazul cand A ∩ B = ∅, spunem ca A si B sunt disjuncte . Operatiilede reuniune si intersectie satisfac egalitatile:

1) A ∪ B = B ∪ A

2) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

3) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

4) A ∪ (A ∩ B) = A

5) A ∪ ∅ = A

6) A ∪ A = A

1′) A ∩ B = B ∩ A (comutativitate)

2′) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asociativitate)

3′) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributivitate)

4′) A ∩ (A ∪ B) = A (absortia)

5′) A ∩ ∅ = ∅6′) A ∩ A = A (idempotenta)

III) Prin diferenta multimilor A si B ıntelegem multimea: A − B :={x|x ∈ A si x /∈ B}, iar multimea notata A∆B := (A − B) ∪ (B − A) senumeste diferenta simetrica a multimilor A si B.

IV) Fie T 6= ∅ si A ∈ P(T ). Multimea CT A = T − A se numeste com-plementara multimii A ın raport cu T .

1.1 Remarca: Complementara unei multimi se poate scrie ca diferenta adoua multimi, dar diferenta a doua multimi nu se poate scrie ıntotdeauna ca

1.2. Functii 9

o complementara. Referitor la complementara se pot mentiona urmatoareleproprietati:

1)CT (A ∩ B) = CT A ∪ CT BCT (A ∪ B) = CT A ∩ CT B

}2) CT (CT A) = A;3) CT (∅) = T4) CT (T ) = ∅ unde A si B ∈ P(T ).V) Fie A si B doua multimi. Multimea A × B := {(x, y)|x ∈ A si

y ∈ B} se numeste produsul cartezian al multimilor A si B. Multimea∆A ⊂ A × A, ∆A := {(x, x)|x ∈ A} se numeste diagonala multimii A saudiagonala produsului cartezian A × A.

Referitor la produsul cartezian se pot mentiona proprietatile:1) A × B 6= ∅ ⇔ A 6= ∅ si B 6= ∅;2) A × B = ∅ ⇔ A = ∅ sau B = ∅;3) A × B 6= B × A;4) A × B = B × A ⇔ A = B;5) Daca A

′ ⊆ A si B′ ⊆ B, atunci A

′ × B′ ⊆ A × B.

Fie (x, y) si (x′, y

′) ∈ A × B.(x, y) = (x

′, y

′) : ⇔ x = x

′si y = y′.

Se poate defini produsul cartezian A1×A2×...×An a n multimi A1, A2, ...,An astfel: A1×A2×...×An: = {(x1, x2, ..., xn)|x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, ..., xn ∈ An},A1, A2, ..., An se numesc factorii produsului cartezian iar x1, x2, ..., xn

se numesc coordonatele sau proiectiile elementului(x1, x2, ..., xn).DacaA1 = A2 = ... = An = A se scrie An ın loc de A × A × . . . × A︸︷︷︸

nfactori

. Pentru

A=R, obtinem multimea Rn folosita foarte des ın analiza matematica, ca simultimea R.

1.2 Functii

Fie A si B doua multimi. O corespondenta f , prin care fiecarui elementx ∈ A i se asociaza ın mod unic, un element y ∈ B (si se scrie y = f(x)),se numeste functie (sau aplicatie) definita pe A cu valori ın B (si se scrie

f : A → B sau Af→B ).

Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei f si B senumeste domeniul valorilor functiei f (sau codomeniul functiei f). Elementuly se numeste imaginea elementului x prin functia f (si se scrie y = f(x)),iar elementul x se numeste preimaginea elementului y prin functia f (sise scrie x ∈ f−1(y)). Pentru orice X ⊆ A, multimea f(X) := {f(x)|x ∈ X}se numeste imaginea directa a lui X prin functia f. In cazul particular


X=A, notam Im(f) = f(A) si o numim imaginea functiei f. Pentru oriceY ⊆ B, multimea f−1(y) = {x ∈ A|f(x) ∈ Y } se numeste preimaginea(sau imaginea inversa) a lui Y prin functia f .

Prin urmare, orice element x ∈ A (respectiv orice submultime X ⊆ A)are o unica imagine f(x) ∈ B respectiv (f(X) ⊆ B). In schimb, un elementy ∈ B poate sa nu aiba preimagini ın A, sau daca are, acestea pot sa nu fieunice. Preimaginea unei submultimi Y ⊆ B, notata f−1(Y ) si este inclusaın A, exista ıntotdeauna (dar poate sa fie si multimea vida). Preimaginea luiY este unic determinata.

1.2 Remarca: Notatiile f−1(y) si f−1(Y ) nu presupun existenta functieif−1 : B → A (i.e. aplicatia f−1 : P(B) → P(A) nu trebuie confundata cufunctia inversa f−1 : B → A). Prin urmare sunt doar niste notatii.

Fiind date doua multimi A si B, se va nota

F(A,B) = {f |f : A → B} (= BA).

Doua functii f ∈ F(A,B) si g ∈ F(C,D) sunt egale (si scriem f=g) daca:1) A = C; 2) B = D; 3) f(x) = g(x) (∀) x ∈ A.

Fie f ∈ F(A,B) si g ∈ F(C,D), A,B,C si D ∈ P(T ), T 6= Φ. Functiilef +g, f ·g : A∩C → B∪D definite prin (f +g)(x) := f(x)+g(x) si respectiv(fg)(x) := f(x) ·g(x) se numesc suma respectiv produsul functiilor date(scrierile ′′+′′ si ′′·′′ au doar valoarea simbolica pentru ca pe multimile datenu s-a definit nici o lege de compozitie).

Tipuri de functii:1. Fie A 6= ∅ si B ⊆ A. Functia i : B → A, i(x) = x, (∀) x ∈ B se

numeste functia incluziune iar functia 1A : A → A, 1A(x) = x, (∀) x ∈ Ase numeste functia identica . Daca B = ∅, 1B : ∅ → ∅ este functia vida .

2. Fie A si B doua multimi oarecare si B 6= ∅. Fie y0 ∈ B un elementfixat. Atunci functia f : A → B, f(x) = y0∀ x ∈ A se numeste functiaconstanta .

3. Fie A si B doua multimi, functia pA : A × B → A (pB : A × B → B)definita prin pA((x, y)) = x (respectiv p((x, y)) = y) ∀ x, y ∈ A,B se numesteproiectia canonica a produsului cartezian A×B, pe A (respectiv B).In loc de pA((x, y)) se va nota pA(x, y). Deci pA(x, y) = x si pB(x, y) = y.Cele doua proiectii se pot prezenta si astfel:

A × BpA qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq A

pB

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

B

1.2. Functii 11

4. Fie A ⊆ T. Functia χA : T → {0, 1} definita prin

χA(x) =

{1, dacax ∈ A0, dacax /∈ A

se numeste functia caracteristica sau functia indicator a multimii A.Pentru functia caracteristica avem proprietatile:

(a) Daca f : A → B este o functie si B ⊂ T, atunci χB ◦ f = χf−(B).(2) Fie T 6= ∅ si A,B ∈ P(T ). Atunci avem:(1◦) χA + χCA = 1; (5◦) A = B ⇔ χA = χB;(2◦) χA∩B = χA·χB; (6◦) χA∆B = |χA−χB| = (χA−χB)2;(3◦)χA−B = χA · (1 − χB); (7◦) χT (·) = 1; χ∅(·) = 0.(4◦ ) χA∪B = χA + χB − χA · χB;1.3 Exercitiu. Aplicand (6◦) sa se arate ca A∆(B∆C) = (A∆B)∆C,

∀A, B,C ∈ P(T )5. Fie f : A → B si E ⊂ A. Functia g : E → B, g(x) = f(x), ∀ x ∈ E

se numeste restrictia lui f la multimea E; functia f este prin definitie, oextensie sau o prelungire a functiei g la multimea A. Functia g se noteazade regula cu f|E si se citeste ′′f restrıns la E sau restrictia lui f la E ′′.

6. Fie f ∈ F(A,B) si g ∈ F(C,D). Corespondenta f × g : A × C →B ×D definita prin egalitatea (f × g)(x, y)=(f(x), g(y)) este o functie si senumeste produsul cartezian al functiilor f si g.

7. Fie f : A → B si g : B → C. Functia g ◦ f : A → C, definita prin(g ◦ f)(x) := g(f(x)), ∀x ∈ A se numeste compunerea functiilor g si f. Cuprivire la compunerea functiilor avem:

a) Daca f : A → B si g : C → D. Functia g ◦ f exista ⇔ f(A) ⊆ C

b) Daca Af−→ B

g−→ Ch−→ D, atunci h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f

c) Daca f ∈ F(A,B), atunci f ◦ 1A = f si 1A ◦ f = f.8. Functii injective. Fie f ∈ F(A,B). Daca oricare doua elemente

diferite din A au ıntotdeauna imagini diferite prin f (i.e. ∀ x, y ∈ A, x 6=y ⇒ f(x) 6= f(y)), atunci functia f se numeste functie injectiva sauinjectie.

1.4 Teorema (injectivitatii). Pentru orice f ∈ F(A,B), A 6= ∅ 6= B,sunt echivalente urmatoarele afirmatii :

I1. f injectiva;I2. pentru ∀ x, y ∈ A, cu f(x) = f(y) ⇒ x = y;


I3. pentru ∀ y ∈ B, multimea f−1(y) are cel mult un element ;I4. pentru ∀ y ∈ B, ecuatia ın x, f(x) = y are cel mult o solutie;I5. pentru ∀ h1, h2 ∈ F(T,A), T 6= ∅, avem: f ◦ h1 = f ◦ h2 ⇒ h1 = h2;I6. ∃ r ∈ F(B,A) astfel ıncat r ◦ f = 1A;Demonstratie: (fara I6) exercitiu.9. Functii surjective. O functie f ∈ F(A, B), A 6= ∅ 6= B se numeste

functie surjectiva sau surjectie , daca la orice element y ∈ B corespundecel putin un x ∈ A astfel ıncat f(x) = y.

1.5 Teorema (surjectivitatii). Fie A 6= ∅ 6= B, pentru ∀ f ∈ F(A,B),sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

S1. f surjectie;S2. f(A) = B;S3. pentru ∀y ∈ B, multimea i.e.f−1(y) 6= ∅(f−1(y) are cel putin un

element);S4. pentru ∀y ∈ B, ecuatia ın x, f(x) = y are cel putin o solutie;S5. pentru ∀ h1, h2 ∈ F(B,C), C 6= ∅ avem: h1 ◦ f = h2 ◦ f ⇒ h1 = h2;S6. ∃ s astfel ıncat f ◦ s = 1B;Demonstratie (fara S6) exercitiu.10. Functii bijective. O functie f ∈ F(A,B), A 6= ∅ 6= B, care este

injectiva si surjectiva ın acelasi timp, se numeste bijectiva .1.6 Teorema (bijectivitatii). Fie A 6= ∅ 6= B. Pentru f ∈ F(A,B),

urmatoarele afirmatii sunt echivalente:B1. f bijectie;B2. f−1 bijectie;B3. pentru ∀ y ∈ B, multimea f−1(y) are un singur element;B4. pentru ∀ y ∈ B, ecuatia ın x, f(x) = y are solutie unica;B5. f ◦ f−1 = 1B si f−1 ◦ f = 1A;B6. ∃ g ∈ F(A,B) astfel ıncat g ◦ f = 1A si f ◦ g = 1B.Demonstratie (fara B6) exercitiu.1.7 Teorema Fie A 6= ∅ si finita. Pentru ∀ f ∈ F(A, A) urmatoarele

afirmatii sunt echivalente:a) f este bijectiva; b) f este injectiva; c) f este surjectiva.Demonstratie. Daca aratam ca b) ⇔ c) teorema este demonstrata.b) ⇒ c) Fie f injectiva si A = {x1, x2, . . . , xn}. Presupunem ca f nu

este surjectiva.Atunci avem {f(x1), f(x2), . . . , f(xn)} ⊂ {x1, x2, . . . , xn}. Deci {f(x1),

f(x2), . . . , f(xn)} nu are ′′n′′ elemente ⇒ ∃ i, j ≤ n a.ı. f(xi) = f(xj), i 6=j ⇒ xi = xj contrar ipotezei. Deci f este surjectiva. Prin urmare b). ⇒ c).

c). ⇒ b). Fie f surjectiva; dac f nu ar fi injectiva ar exista xi, xj ∈ Acu xi 6= xj si f(xi) = f(xj) ⇒ f(A) are cel mult n − 1 elemente. Dar fsurjectiva ⇒ f(A) = A ⇒ f(A) are n elemente ca si A. Deci, pe de o parte

1.3. Structuri algebrice 13

f(A) are cel mult n − 1 elemente si pe de alta parte are n elemente. Prinurmare, f este injectiva, adica c). ⇒ b). Si cu aceasta demonstratia s-aterminat.

In Teorema 1.7 se poate lua f ∈ F(A,B), cu cardB = cardA < ∞Aplicatia Ψ : P(T ) → F(T, {0, 1}) defiunita prin Ψ(A) = χA, ∀A ∈ P(T )

(ce asociaza lui A ⊆ T 6= ∅ functia indicator χA), este bijectie.Acest fapt permite ınlocuirea operatiilor cu submultimi, prin operatii cu

functii indicator, si face astfel functia indicator, o notiune extrem de utila ınteoria masurii.

11. Functii inversabile. Functia f ∈ F(A, B), A 6= ∅ 6= B, esteinversabila daca exista g ∈ F(B,A) astfel ıncat g ◦ f = 1A si f ◦ g = 1B;functia g se numeste inversa functiei f si se noteaza cu f−1.

1.8 Teorema. Fie A 6= ∅ 6= B si f ∈ F(A,B). Atunci avem:a). f inversabila ⇔ f bijectiva.b). daca f este inversabila ⇒ f−1 ∈ F(B,A) inversabila si (f−1)−1 = f ;c). daca g ∈ F(B,C), C 6= ∅ si f sunt inversabile, atunci g◦f ∈ F(A,C)

este inversabila ti are loc egalitatea: (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.Demonstratie (exercitiu)Algoritm de calcul a functiei f−1 pentru functii elementare:Pasul 1. Se arata ca f este inversabila.Pasul 2. Se rezolva ın raport cu x, ecuatia f(x) = y.Pasul 3. In formulele care dau solutia de la Pasul 2, se schimba x cu y.Pasul 4. In formula obtinuta la Pasul 3, se ınlocuieste y cu f−1(x) si

astfel se obtine formula pentru f−1(x).

1.3 Structuri algebrice

Fie M 6= ∅. O aplicatie ϕ : MxM → M, (x, y) → ϕ(x, y), se numeste legede compozitie pe M. Pentru ϕ se folosesc simboluri ca: ′′∗′′, ′′◦′′, ′′⊥′′, ′′>′′, . . .etc.Astfel vom nota ϕ(x, y) prin xϕy, cum ar fi de exemplu x ∗ y, xoy etc.

Fie M 6= ∅. O lege de compozitie pe M, notata ′′∗′′ :- se numeste asociativa daca: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), ∀ x, y, z ∈ M ;- se numeste comutativa daca: x ∗ y = y ∗ x, ∀ x, y ∈ M ;- admite element neutru daca: ∃ e ∈ M a.ı.: x∗e = e∗x = x, ∀x ∈ M.Fie M 6= ∅ si ′′∗′′ o lege de compozitie pe M cu elementul neutru e. Se

spune ca x ∈ M este simetrizabil (i.e. admite simetric) fata de legea decompozitie ′′∗′′, daca ∃ x′ ∈ M astfel ıncat x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.

Fie M 6= ∅ si ′′∗′′, ′′◦′′ doua legi de compozitie pe M. Se spune ca operatia′′∗′′ este distributiva fata de ′′◦′′ daca:


a) x ∗ (y ◦ z) = (x ∗ y) ◦ (x ∗ z);

b) (x ◦ y) ∗ z = (x ∗ z) ◦ (y ∗ z) ∀ x, y, z ∈ M.

Fie M 6= ∅ si ′′∗′′ o lege de compozitie pe M.

a). Se spune ca (M, ∗) este semigrup, daca legea de compozitie ′′∗′′ esteasociativa.

b). Se spune ca (M, ∗) este monoid daca legea de compozitie ′′∗′′ esteasociativa si admimite element neutru;

c) Se spune ca (M, ∗) este grup daca legea de compozitie ′′∗′′ este aso-ciativa, admite element neutru si ∀ x ∈ M are un simetric.

Daca operatia ′′∗′′ este comutativa, atunci semigrupul (monoidul, grupul)(M, ∗) este semigrup (monoid, grup) comutativ. In loc de grup comutativ semai spune si grup abelian.

Fie A 6= ∅ si ′′∗′′, ′′◦′′ doua legi de compozitie pe A. (A, ∗, ◦) se numesteinel daca:

G) (A, ∗) este grup abelian;

M) (A, ◦) este monoid;

D) Operatia ′′◦′′ este distributiva fata de operatia ′′ ∗′′ .Daca (A, ◦) este monoid comutativ (necomutativ) atunci (A, ∗, ◦) este

inel comutativ (necomutativ).

Un inel (K, ∗, ◦) ın care ∀ x ∈ K \ {0K} este simetrizabil se numestecorp,0K este elementul neutru al grupului (K, ∗. Daca inelul este comutativ,corpul este de asemenea comutativ.

Exemple de corpuri: (Q, +, ·); (Q(√

d), +, ·), d liber de patrate; (R, +, ·);(C, +, ·); (Zp,⊕,⊗) cu p prim.

Fie (G, ∗) - grup. Orice ∅ 6= G1 ⊂ G cu (G1, ∗) grup se numeste subgrupal grupului (G, ∗). Analog se da definitia subinelului si subcorpului.

Fie (G1, ∗), (G2, ◦) grupuri (semigrupuri, monoizi).

O aplicatie f : G1 → G2 cu f(x∗y) = f(x)◦f(y), ∀ x, y ∈ G1 se numestemorfism (monomorfism) de grupuri (semigrupuri, monoizi).

O aplicatie f : G1 → G2 care este bijectie si morfism de grupuri senumeste izomorfism de grupuri.

1.9 Teorema. Fie (G1, ∗) si (G2, ◦) doua grupuri, e1 si e2 elementeleneutre ale lui G1 si G2 respectiv. Daca f : G1 → G2 este un morfism degrupuri, atunci :

1)f(e1) = e2

2) f(x′) = (f(x))′, ∀ x ∈ G1 (x′ este simetricul lui x iar (f(x))′ estesimetricul lui f(x).

Demonstratie: 1) Avem: e2 ◦ f(e1) = f(e1) = f(e1∗e1) = f(e1) ◦ f(e1) ⇒e2 ◦ f(e1) = f(e1) ◦ f(e1) si prin simplificare avem f(e1) = e2.

1.4. Permutari 15

2) In grupul (G1, ∗) avem ∀ x ∈ G1, ∃x′ ∈ G1 astfel ıncat

x ∗ x′ = x′ ∗ x = e1 ⇒ f(x ∗ x′) = f(x′ ∗ x) = f (e1) ⇒⇒ f (x) ◦ f (x′) = f (x′) ◦ f (x) = e2 ⇒ f (x′)

este simetricul lui f (x) ⇒ f (x′) = (f (x))′ . Fie (A, ∗, ◦) si (B, T,⊥) inele(corpuri).

O aplicatie f : A → B se numeste morfism de inele (corpuri) daca:a) f(x ∗ y) = f(x)Tf(y), ∀x, y ∈ Ab) f(x ◦ y) = f(x)⊥f(y) ∀x, y ∈ Ac) f(1A) = 1B

1.10 Teorema. Orice morfism de corpuri f : K1 → K2 este injectiv.Demonstratie: Intr-adevar, fie x1, x2 ∈ K1 astfel ıncat f(x1) = f(x2) ⇒

f(x1 − x2) = f(x1 + (−x2)) = f(x1) + f(−x2) = f(x1) − f(x2) = 02. Dacax1 − x2 6= 0 ⇒ ∃t ∈ K1, astfel ıncat (x1 − x2) · t = e1 ⇒ f((x1 − x2) · t) =f(e1) ⇔ f(x1 − x2) · f(t) = e2 ⇔ 02 · f(t) = e2 ⇒ 02 = e2. Ultima egalitateeste o contradictie. Deci, x1 − x2 = 0 ⇒ x1 = x2. Rezulta f este functieinjectiva.

In aceasta teorema corpurile K1 si K2 au fost considerate cu operatiile′′+′′ si ′′ ·′′ .

Daca aplicatia f este bijectiva si satisface conditiile a) si b) din definitiaanterioara, atunci f se numeste izomorfism de inele (corpuri).

Doua grupuri (inele, corpuri) G1 si G2 ıntre care exista cel putin unizomorfism se numesc izomorfe si se scrie G1 ' G2.

Fie M un grup (inel, corp). Un izomorfism (morfism) f : M → M senumeste automorfism (endomorfism) al grupului (inelului, corpului) M.

1.4 Permutari

Fie M = {1, 2, 3, . . . , n}. Se numeste permutare , pe multimea M, o aplicatieσ : M → M bijectiva. Permutarea σ se scrie astfel:

σ :

(1 2 3 · · · n

σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n)

)(1.1)

Pentru ca M are ′′n′′ elemente se spune ca σ este o permutare de ordinn. Permutarea definita de aplicatia identica 1M : M → M se numestepermutarea identica si are forma:

e :

(1 2 3 · · · n1 2 3 · · · n

)(1.2)


In multimea permutarilor Sn se defineste ınmultirea permutarilor astfel:

σ · τ def= σ ◦ τ,∀σ, τ ∈ Sn. (1.3)

1.11 Exercitiu: (Sn, ·) este grup.O permutare τij ∈ Sn, cu 1 ≤ i < j ≤ n, definita prin:

τij = (k)def=

k, k ∈ M\{i, j}i, k = jj, k = i

(1.4)

se numeste transpozitie . Transpozitia τij se mai noteaza si cu(ij). Transpo-zitia (ij) se scrie desfasurat astfel:

(ij) =

(1 2 ... i − 1 i i + 1 ... j − 1 j j + 1 ... n1 2 ... i − 1 j i + 1 ... j − 1 i j + 1 ... n

)(1.5)

1.12 Propozitie. Pentru orice transpozitie (ij) avem:a)(ij) = (ji); b)(ij)−1 = (ij); c)(ij)2 = e.Demonstratie (exercitiu).1.13 Teorema. Orice permutare σ ∈ Sn se poate scrie ca produs de

transpoziti.Demonstratie (exercitiu).Fie σ ∈ Sn. O pereche ordonata (i,j) ∈ M × M, cu i < j, se numeste

inversiune daca σ(i) > σ(j). Functia ε : Sn → {−1, 1} definita prin ε(σ) =(−1)m(σ) unde m(σ) este numarul de inversiuni ale permutarii σ, se numestesignatura permutarii σ. Permutarea σ este para (impara) daca ε(σ) =1 (ε(σ) = −1).

1.14 Teorema. Cu notatiile de mai sus avem:

ε (σ) =∏

1≤i<j≤n

σ (i) − σ (j)

i − j; (1.6)

ε : Sn → {−1, 1} este morfism de grupuri ;Orice transpozitie este impara;O permutare ısi schimba clasa daca se schimba doua elemente ıntre ele.

(Prin ınmultirea cu o transpozitie o permutare ısi schimba clasa).Demonstratie (exercitiu).

1.5. Matrice 17

1.5 Matrice

Fie K 6= ∅. O aplicatie A : {1, 2, 3, . . . ,m}×{1, 2, . . . , n} → K se numestematrice de tipul (m,n) cu elementele ın K. Daca notam aij = A(i,j), aij ∈K ∀ (i,j) cu 1 ≤ i ≤ m si 1 ≤ j ≤ n, vom nota pe A sub forma:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

(1.7)

adica printr-un tablou, cu m linii si n coloane, ce cuprinde valorile functieiA. Numerele aij se numesc elementele matricii A. Pentru matricea A se maifoloseste si notatia prescurtata A = (aij)1≤i≤m

1≤j≤n(sau A = [aij], sau ınca A =

‖aij‖.)Multimea matricilor cu m linii, n coloane si cu elementele din K, se

noteaza cu Mmn(K).Tipuri de matrici:1) Orice matrice A ∈ Mm1(K) se numeste matrice (vector) coloana

si are forma:

A =

a11

a21

...am1

(1.8)

2) Orice matrice A ∈ M1n(K) se numeste matrice (vector) linie siare forma:

A =(

a11 a12 ... a1n

)(1.9)

3) Un elment A ∈ Mmn(K), m 6= n, se numeste matrice dreptunghi-ulara , are forma (??). Daca m = n, A se numeste matrice patratica deordinul n si are forma:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

(1.10)

Multimea matricilor patrate cu elemente ın K se noteaza cu Mn(K). Pen-tru o matrice A ∈ Mn(K), sistemele ordonate de elemente (a11 a22 . . . ann) si(a1n a2n−1 . . . an1) se numesc respectiv diagonala principala si diagonalasecundara a matricii A.


In cele ce urmeaza multimea K va fi considerata corp fata de operatiile′′+′′ si ′′ ·′′ .

4) O matrice A ∈ Mn(K), A = (aij)i,j=1,n se numeste matrice tri-unghiulara daca aij = 0 pentru i > j(ın acest caz se mai numeste si supe-rior triunghiulara sau supradiagonala) sau i < j (ın acest caz se mainumeste si inferior triunghiulara sau subdiagonala). Astfel avem:

A =

a11 a12 ... a1n

0 a22 ... a2n

... ... ... ...0 0 ... ann

sauA =

a11 0 ... 0a21 a22 ... 0... ... ... ...an1 an2 ... ann

(1.11)

5) O matrice patratica A ∈ Mn(K), A = (aij) se numeste matricediagonala daca aij =0 pentru i 6= j, i, j ∈ {1, 2, . . . , n} iar celelalteelemente nu sunt toate nule adica:

A =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . ann

(1.12)

6) Daca δij =

{1, i = j0, i 6= j

, (denumit simbolul lui Kronecker), matricea

In = (δij)1≤i,j≤n se numeste matricea unitate de ordinul n. DesfasuratIn se scrie astfel:

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 1. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

(1.13)

Deci In este o matrice diagonala cu elementele diagonalei toate egale cu1.

7) Matricea, notata Omn ∈ Mmn ({0}) pentru m 6= n(si Onn ∈ Mnn ({0})pentru m=n) se numeste matricea nula .

8) Fie A∈ Mmn(K),A= (aij).Matricea –A=(-a ij)(respectiv tA=(aji)) senumeste opusa matricii A (respectiv transpusa matricii A). Se observaca daca A∈ Mmn(K), atunci tA∈ Mnm(K).

9) O matrice A∈ Mn(R), A=(aij), pentru care aij=aji (respectiv aij=-aji) se numeste matrice simetrica (respectiv antisimetrica sau strambsimetrica).

10) Fie A∈ Mmn(K). Daca K=R (K=C) matricea A se numeste matricereala (matrice complexa). Daca A∈ Mmn(C), A=(aij), matricea A = (aij)

1.5. Matrice 19

se numeste conjugata matricei A. Matricea ∗A = tA se numeste ad-juncta matricii A. Daca A=∗A, atunci A se numeste autoadjuncta sauhermitica(hermitiana). Daca A= -∗A, atunci matricea A se numesteantihermitiana .

11) Fie A∈ Mn(R), A=(aij). Daca aij ≥ 0 (∀) i, j ∈ {1, 2, ..., n} sin∑

j=1

aij = 1, (∀) i = 1, 2, ..., n, atunci matricea A se numeste matrice sto-

hastica.

12) Numarul real x se identifica cu matricea (x) ∈ M1(R) si ın modconventional, vom scrie x = (x) ın loc de x ≡ (x).

Operatii cu matrici : Operatiile cu matrici se reduc la operatii asupraelementelor sale.

Fie A, B∈ Mmn(K). Spunem ca matricile A=(aij) si B=(bij) sunt egaledaca si numai daca aij = bij ∀ (i, j) ∈ E = {1, 2, . . . ,m} × {1, 2, . . . , n}.Matricea C∈ Mmn(K): C=(cij) cu cij=aij+bij∀ (i,j)∈ E se numeste sumamatricilor A si B si se noteaza C = A + B, A − B = A + (−B).Dacaα ∈K, matricea αA = (αaij) ∈ Mmn (K)se numeste matricea produs dintreelementul α ∈K si matricea A.

1.15 Exercitii: Sa se arate ca:

1) (Mmn(K),+) este grup abelian.

2) Oricare α, β ∈K si A, B∈ Mmn(K) avem:

a) 1KA=A;

b) α(βA)=(αβ)A;

c) (α + β)A=αA+βA;

d) α(A+B)=αA+αB.

Fie A=(aij) ∈ Mmn(K) si B=(bij) ∈ Mnp(K). Matricea C=(cij) ∈Mmp(K), cu cij =

n∑k=1

aikbkj, se numeste produsul matricilor A si B si

se noteaza C=AB.

1.16 Exercitii Sa se arate ca:

a) A(BC) = (AB)C

b) (A + B)C = AC + AB si A(B + C) = AB + AC

c) (αA)B=α(AB)

d) t(AB)=tB·tA, (∀)α ∈K si A, B, C astfel ıncat produsele care apar saaiba sens;

e) (Mmn(K),+,·) inel necomutativ.

O matrice A∈ Mn(K) se numeste ortogonala (cand K=R) sau unitara(cand K=C) daca satisface conditia tA·A=In.

Matricile A, B∈ Mn(K), se numesc asemenea (si scriem A∼B) daca(∃)C∈ M∗

n(K) astfel ıncıt B=C−1AC.


1.6 Determinanti

Fie aplicatia det : Mn(K) → K si A=(aij) ∈ Mn(K). Elementul detA ∈K,definit prin

detA =∑σ∈Sn

ε(σ)a1σ(1)a2σ(2)...anσ(n) (1.14)

si notat

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.15)

se numeste determinant de ordinul n . Produsul a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n) senumeste termen al determinantului de ordinul n. Se obisnuieste sa se spunadespre elementele, liniile si coloanele matricei A, ca sunt elementele, liniile sirespectiv coloanele determinantului detA.

1.17 Definitie. Determinantul de ordin n-1 care se obtine suprimınd ındetA linia i si coloana j se numeste minorul elementului aij ın detA.

Fie i1, i2, . . . , ip, p linii si j1, j2, . . . , jp, p coloane ın matricea A=(aij) ∈Mm,n (K), p ≤ min (m,n). Determinantul format cu elementele aij, (i, j) ∈{i1, i2, . . . , ip} × {j1, j2, . . . , jp} se numeste minor de ordin p al matri-cei A determinat de liniile i1, i2, . . . , ip si coloanele j1, j2, . . . , jp si ıl notam

aj1,j2,...,jp

i1,i2,...,ip. Daca m = n, minorul determinat de liniile si coloanele ramase ıl

notam mj1,j2,...,jp

i1,i2,...,ipsi ıl numim minorul complementar minorului a

j1,j2,...,jp

i1,i2,...,ip.

Minorul ∆r = a12...r12...r se numeste minor principal de ordin r , r = 1, n al

matricei A. Matricea are n minori principali.

Fiind data matricea A∈ Mmn (K), numarul 0 ≤ r ≤ min (m,n) cuproprietatea ca:

(a) exista un minor de ordin r al lui A diferit de zero,

(b) orice minor de ordin q ≥ r + 1 este egal cu zero,se numeste rangul matricei A, si se noteaza de regula rang A. Minorulcare da rangul si care ın general nu este unic, ıl notam prin ∆rang.

O matrice A ∈ Mn(K), pentru care detA = 0(detA 6= 0) se numestematrice singulara (respectiv nesingulara). Notam M∗

n(K) = {A ∈Mn(K)| det A 6= 0}.

In dezvoltarea unui determinant, jumatate din termeni apar cu semnul′′+′′ si cealalta jumatate cu semnul ′′ −′′ .

1.18 Propozitie.Daca A ∈ Mn(K) cu rangA = r, atunci orice coloanaa matricei A, care nu are elemente ın ∆rang este o combinatie liniara decoloanele care au elemente ın ∆rang.

1.6. Determinanti 21

Demonstratie. Fara a micsora generalitatea se poate considera ca ∆rang =∆r. Fie acum Di, i = 1, n, minorul lui A obtinut prin bordarea lui ∆r cu liniai si coloana k = r + 1, n. Pe de o parte Di = 0, deoarece rangA = r si ordinullui Di este r + 1. Pe de alta parte Di = ai1mi1 + ... + airmir + aikmik. Deciai1mi1 + ... + airmir + aikmik = 0. De aici rezulta ca

aik =r∑

j=1

−mij

mik

aij, i = 1, n.

Aceasta relatie arata ca elementele coloanei k sunt combinatie liniara deelementele corespunzatoare situate pe coloanele ce au elemente ın ∆rang.

Determinantii au urmatoarele proprietati de baza:1) Daca ıntr-un detrminant se permuta doua linii (coloane) ıntre ele,

determinantul ısi schimba doar semnul.2) Un determinant se ınmulteste cu α ∈K daca toate elementele unei linii

sau unei coloane se ınmultesc cu α.3)det(tA) = detA; det(αA) = αndetA,∀A ∈ Mn(K) si α ∈K.4)det(AB) = detAdetB.5) Daca ıntr-un determinant doua linii (coloane) sunt proportionale atunci

determinantul are valoarea 0.6) Daca ıntr-un determinant elementele unei linii (coloane) sunt sume de

p termeni, atunci determinantul se scrie ca suma de p determinanti, care seobtin din cel dat ınlocuind fiecare element suma din linia (coloana) respectivacate unul din termenii sai.

7) Intr-un determinant, daca adunam la elementele unei linii (respectivcoloane), elementele unei (sau altor) linii (respectiv coloane), ınmultite cuelemente din K, determinantul nu-si schimba valoarea.

8) Un determinant este nul daca si numai daca o linie (sau coloana) a saeste o combinatie liniara de alte linii (respectiv coloane).

1.19 Regula lui Laplace: Fie A∈ Mn(K) si detA dat de reltia (1.15)Din definitia determinantului de ordinul n rezulta ca:

det A = a11A11 + a12A12 + . . . + a1nA1n (1.16)

unde Aij=(-1)i+jmij, ın care mij este minorul corespunzator elementului aij.Formula (1.16) se mai scrie:

det A =n∑

j=1

(−1)i+jaijmij (1.17)

Formula (1.17) constituie dezvoltarea determinantului detA, dupa linia i.


Pentru detA se poate obtine o dezvoltare dupa 2, 3 sau ın general dupap linii. Fixam ın detA p linii i1, i2, . . . ,ip si p coloane j1, j2, . . . , jp . Daca

mj1,j2,...,jp

i1,i2,...,ipeste minorul complementar al minorului a

j1,j2,...,jp

i1,i2,...,ipatunci

Aj1,j2,...,jp

i1,i2,...,ip= (−1)

p∑k=1

(ik+jk)m

j1,j2,...,jp

i1,i2,...,ip

se numeste complementul algebric al minorului aj1,j2,...,jp

i1,i2,...,ip.

Cu aceste precizari si tinand seama de definita determinantului prezentamfara demonstratie

1.20 Teorema lui Laplace: Un determinant este egal cu suma tuturorproduselor dintre determinantii minori formati cu elementele a p linii (saucoloane) date, cu complementele lor algebrice, adica:

det A =∑

1≤j1<j2<...<jp≤n

aj1,j2,...,jp

i1,i2,...,ipA

j1,j2,...,jp

i1,i2,...,ip(1.18)

Aceasta formula este o generalizare a formulei (1.17) si reprezinta regulalui Laplace de calculare a unui determinant.

1.21 Exemplu: Sa se calculeze valoarea determinantului:

D1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 2 31 1 3 42 5 1 −1−1 −2 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

Folosind regula lui Laplace, dezvoltam primele doua linii si obtinem:

D1 =

∣∣∣∣ 1 11 1

∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ 1 −12 4

∣∣∣∣ · (−1)1+2+1+2 +

∣∣∣∣ 1 21 3

∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ 5 −1−2 4

∣∣∣∣ · (−1)1+2+1+3 +

+ (−1)1+2+1+4 ·∣∣∣∣ 1 3

1 4

∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ 5 1−2 2

∣∣∣∣ + (−1)1+2+2+3 ·∣∣∣∣ 1 2

1 3

∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ 2 −1−1 4

∣∣∣∣ +

+ (−1)1+2+2+4 ·∣∣∣∣ 2 1−1 2

∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ 1 31 4

∣∣∣∣ + (−1)1+2+3+4 ·∣∣∣∣ 2 3

3 4

∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ 2 5−1 −2

∣∣∣∣ =

= 0 · 6 − 1 · 18 + 1 · 12 + 1 · 7 − 1 · 5 − 1 · 1 = −5.

1.22 Teorema: Fie A,B ∈ Mn(K).

det(A · B) = detA · detB. (1.19)

1.7. Sisteme de ecuatii liniare 23

Demonstratie. Exercitiu.Fie A∈ M∗

n(K). Se numeste matrice inversa a matricei A, matriceanotata A−1 cu proprietatea:

A · A−1 = A−1 · A = In.

Se poate arata ca orice matrice A ∈ M∗n(K) admite o matrice inversa

unica data de relatia:

A−1 =1

detA· A∗ (1.20)

unde A∗ = (a∗ij) ∈ Mn(K) este matricea reciproca a matricei A si a∗

ij estecomplementul algebric al lui aij din matricea transpusa.

MatricileA,B ∈ Mmn(K), se numesc asemenea daca ∃C ∈ M∗n(K)

astfel ıncat B = C−1AC1.23 Propozitie: Sa se arate ca:a)detA−1 = 1

detA

b) (A−1)−1

= A

c)(AT )−1 = (A−1)T

∀A∈ Mn(K) cu detA 6=0

d) (AB)−1 = B−1A−1, ∀A,B ∈ M∗n(K) cu detA 6= 0 6= detB.

Demonstratie: (exercitiu).1.24 Teorema: (Mn(K),·) este grup necomutativ, unde Mn(K) este

multimea matricilor patratice nesingulare.Demonstratie: (exercitiu).

1.7 Sisteme de ecuatii liniare

1.1.7.1. Notiuni generale

Orice sistem de m ecuatii liniare si n necunoscute se poate prezenta subforma:

- desfasurata: a11x1 + a12x2 + .... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + .... + a2nxn = b2

..................................................am1x1 + am2x2 + .... + amnxn = bm

(1.21)

- concentrata:n∑

j=1

aijxj = bi = 1, m (1.22)


- matriciala:AX = B (1.23)

unde:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

, B =

b1

b2

. . .bm

, X =

x1

x2

. . .xm

,

cu urmatoarele semnificatii:A - matricea coeficientilor sistemului sau simplu matricea sistemului;B - matricea termenilor liberi;X - matricea necunoscutelor;Deoarece nu toti aij sunt zero, rang A = r ≥ 1. Presupunem ca unul din

minorii de ordin r diferit de zero este:

∆p =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1r

a21 a22 . . . a2r

. . . . . . . . . . . .ar1 ar2 . . . arr

∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.24)

ceea ce este totdeauna posibil, la nevoie schimband atat ordinea ecuatiilor,cat si ordinea necunoscutelor.

Determinantul ∆p 6= 0 se numeste determinantul principal al sis-temului(1), care nu este neaparat unic. Ecuatiile care intervin ın formarealui ∆p se numesc ecuatii principale, celelalte ecuatii secundare. Ne-cunoscutele cu ai caror coeficienti se formeaza ∆p se numesc necunoscuteprincipale , iar celelalte necunoscute secundare. Un determinant deordin r+1 obtinut prin bordarea determinantului principal cu o coloanaformata din termenii liberi ai ecuatiilor principale si cu o linie formata cucoeficientii necunoscutelor principale si termenul liber al ecuatiei secundare,se numeste determinant caracteristic corespunzator ecuatiei secundareconsiderate. Determinantul caracteristic corespunzator ecuatiei k (care evi-dent, este o ecuatie secundara) are forma:

∆car,k =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣| b1

∆p | b2

| . . .br

ak1 ak2 . . . akr bk

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, k = r + 1,m (1.25)

Prin urmare, avem m − r determinanti caracteristici, adica atatia cateecuatii secundare sunt si n − r necunoscute secundare.


1.25 Teorema lui Rouche: Un sistem de m ecuatii liniare cu n ne-cunoscute este compatibil (are solutii) daca si numai daca toti determinantiicaracteristicii sunt nuli.

1.26 Remarca: Daca cel putin unul dintre determinantii caracteristiciieste diferit de zero, sistemul este incompatibil (imposibil i.e. nu are solutii).

1.27 Teorema lui Kronecker-Capelli: Sistemul (1) este compatibildaca si numai daca rang A = rang A′, unde A′ = (A | B) este matriceaextinsa a sistemului.

Daca sistemul este compatibil, consideram sistemul format doar din ecuati-ile principale ın care necunoscutele secundare (daca sunt), au fost trecuteın membrul doi, dandu-le valori arbitrare. Acest ultim sistem are solutiax0

1, x02, . . . , x

0r. Daca n > r, necunoscutele x0

1, x02, . . . , x

0r depind de n − r

parametri cu care s-au ınlocuit cele n − r necunoscute secundare. Spunemca sistemul este compatibil (n − r) - nedeterminat. (In acest caz ecuatiilesecundare sunt combinatie liniara de ecuatiile principale).

Daca n = r sistemul nu are necunoscute secundare si ın caz de compati-bilitate, sistemul este compatibil determinat.

Daca m = n = r, sistemul este ıntodeauna compatibil si solutiile suntdate de regula lui Cramer:

xi =∆xi

∆p

, i = 1, n

∆xifiind ∆p ın care coloana i s-a ınlocuit cu o coloana formata cu termeniiliberi corespunzatori ecuatiilor principale.

Forma desfasurata (1.21), poate avea urmatoarele cazuri particulare:

1)

a11x1 + 0 · x2 + .... + 0 · xr + a1r+1xr+1 + .... + a1n · xn = b1

0 · x1 + a22x2 + .... + 0 · xr + a2r+1xr+1 + ..... + a2nxn = b2

.......................................................................................0 · x1 + 0 · x2 + .... + arrxr + arr+1xr+1 + .... + arnxn = br

(1.26)

(aici se observa ca aii 6= 0, (∀)i = 1, r, aij = 0 pentru j = 1, r, cuj 6= i),2)

a1x1 = b1

a2x2 = b2

................amxm = bm

(1.27)

Un astfel de sistem este compatibil daca ai 6= 0,∀i = 1, m , compatibilnedeterminat daca ∃i ∈ {1, . . . ,m}, a.ı. ai = 0 = bi si incompatibil ın cazcontrar.


3) contine o ecuatie de forma:

0 · x1 + 0 · x2 + . . . . + 0 · xn = b′( 6= 0) (1.28)

(un astfel de sistem este incompatibil).Formele (1.26) si (1.27) se obtin din (1.28).Sisteme de ecuatii liniare si omogene. Un sistem de ecuatii liniare

se numeste omogen, daca termenul liber al fiecarei ecuatii este nul (adicafiecare ecuatie este omogena). Asadar forma generala a unui sistem omogende ecuatii liniare este:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0.......................................am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

(1.29)

In legatura cu sistemele omogene, ın baza rezultatelor anterioare, ob-servam urmatoarele:

a) un sistem omogen este ıntotdeauna compatibil (teorema lui Kronecker-Capelli);

b) un sistem liniar de ecuatii omogene are numai solutia nula daca sinumai daca determinantul sistemului este nenul; altfel spus, daca rang A =n ⇒ x1 = x2 = . . . = xn = 0;

c) un sistem liniar de ecuatii omogene admite si solutii diferite de solutianula, daca determinantul sistemului este nul; altfel spus, daca rang A < n ⇒sistemul are si solutii diferite de solutia zero.

1.1.7.2. Metoda de eliminare a lui Gauss

In sectiunea anterioara am vazut ca pentru rezolvarea unui sistem deforma (1.21) se folosea (ın principal) metoda lui Cramer. Vom prezentaacum o alta metoda de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare. Ea se poatefolosi si la calcularea rangului si a inversei unei matrici (cand aceasta exista).

Consideram un sistem liniar de forma (1.21). Sistemul acesta prin trans-formari de forma

a) schimbarea ordinii ecuatiilor ;b) ınmultirea (ımpartirea) unei ecuatii cu un factor nenul ;c) adunarea la o ecuatie, a alteia ınmultita cu un factor nenul

(1.30)

se reduce la un sistem de forma (1.26),(1.27) sau (1.28), din sectiunea ante-rioara.


1.28 Teorema. Sistemul (1.21) poate fi adus ıntotdeauna la forma (1.26),(1.27) sau (1.28), folosind transformarile (1.30).

Demonstratie. Fie r = rangA, A = (aij) ∈ Mm,n (6 R).

Presupunem a11 6= 0 (daca a11 = 0, prin transformarile (1.30) se poateface ca ecuatia 1 sa aiba coeficientul primei necunoscute nenul).

Pasul 1. Pentru (∀) i = 1,m notam cu ec. i , ecuatia a i-a din sistem siavem:

(ec.i)(1) =

{ec. i(ec. i) · a11 − (ec. 1) · ai1,

i = 1i 6= 1

(1.31)

si sistemul (1.21) devine:

(S1)·

a

(1)11 x1 + a

(1)12 x2 + .... + a

(1)1n xn = b

(1)1

a(1)22 x2 + .... + a

(1)2n xn = b

(1)2

......................................

a(1)m2x2 + .... + a

(1)mnxn = b

(1)m

(1.32)

unde pentru (∀) i = 1,m, (∀) j = 1, n am notat.

a(1)ij =

{aij

a11 · aij − ai1 · a1j

, i = 1, i 6= 1

b(1)i =

{bi

a11 · bi − ai1 · b1

, i = 1, i 6= 1

(1.33)

In sistemul S(1), x1 apare doar ın ecuatia 1. Se observa, de asemenea,ca formulele (1.33) se obtin din (1.32). Aceste formule se retin usor folosindschemele:

Elementul a11 se numeste pivot , iar regula care da formulele (1.33) senumeste regula dreptunghiului (sau regula pivotului). Pivotul si ele-mentul ce trebuie transformat se aseaza ın varfuri opuse ale dreptunghiului,iar ın celelalte varfuri se aseaza elementele care completeaza dreptunghiul.Regula se aplica si elementelor de pe coloana pivotului, dar ın acest cazdreptunghiul este degenerat.


Pasul 2. Daca a(1)22 6= 0, se procedeaza analog pasului unu si se obtine x2

doar ın ec. a 2-a. Sistemul S(1) devine acum:

S(2)·

a(2)11 x1 + 0 · x2 + a

(2)13 x3 + .... + a

(2)1n xn = b

(2)1

a(2)22 x2 + a

(2)23 x3 + .... + a

(2)2n xn = b

(2)2

a(2)33 x3 + .... + a

(2)3n xn = b

(2)3

...................................................................

a(2)m3x3 + .... + a

(2)mnxn = b

(2)m

unde pentru ∀ i = 1,m, ∀ j = 1, n am notat:

a(2)ij =

{a

(1)ij

a(1)22 · a(1)

ij − a(1)i2 · a(1)

2j

, i = 2, i 6= 2

;

b(2)i =

{b(1)i

a(1)22 · b(1)

i − a(1)i2 · b(1)

2

, i = 2, i 6= 2

Daca a(1)22 = 0 si x2 nu mai apare ın nici una din ecuatii, atunci se schimba

ordinea necunoscutelor ın S(1), ducand pe ultimul loc pe x2 si aducand ın locullui x2 o necunoscuta pentru care coeficientul sau este nenul. Astfel se repetapasul 2 pana cand nu se mai gasesc coeficienti aij 6= 0 ın ecuatiile ramase siastfel se ajunge la forma a) (care contine si celelalte forme). Teorema estecomplet demonstrata.

1.29 Observatie: Sistemul (1.21) trece succesiv prin formele S(k), k =1, r. Pentru simplitatea calculului se poate lucra pe matricea extinsa a sis-temului, A′ = (A | B) si dupa r iteratii avem:

(A|B) → (A|B)(1) 7→ .... 7→ (A|B)(r) =

=

a(r)11 0 0 ... 0 a

(r)1r+1 ... a

(r)1n b

(r)1

0 a(r)22 0 ... 0 a

(r)2r+1 ... a

(r)2n b

(r)2

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... a(r)rr a

(r)rr+1 ... a

(r)rn b

(r)r

0 0 0 ... 0 a(r)r+1r+1 ... a

(r)r+1n b

(r)r+1

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... 0 a(r)mr+1 ... a

(r)mn b

(r)m

unde pentru (∀) k = 1, r, (∀) i = 1,m, (∀) j = 1, n avem:

a(k)ij =

{a

(k−1)ij , i = k

a(k−1)kk · a(k−1)

ij − a(k−1)ik · a(k−1)

kj , i 6= k ; a(0)ij = aij

(1.34)


si

b(k)i =

{b(k−1)i , i = k

a(k−1)kk · b(k−1)

i − a(k−1)ik · b(k−1)

k , i 6= k ; b(0)i = bi

(1.35)

Daca notam ain+1 = bi, i = 1,m, atunci pentru ∀ k = 1, r, ∀ i =1,m, ∀ j = 1, n + 1, (1.34) si (1.35) devin

a(k)ij =

{a

(k−1)ij , i = k

a(k−1)kk · a(k−1)

ij − a(k−1)ik · a(k−1)

kj , i 6= k ; a(0)ij = aij

(1.36)

Pentru fiecare iteratie, dupa alegerea pivotului, se efectueaza dupa urma-toarele reguli:

(I) Elementele de pe linia pivotului se transcriu neschimbate.(II) Elementele de pe coloana pivotului (diferite de pivot) se ınlocuiesc

cu zero.(III) Elementele care nu se afla pe coloana sau linia pivotului se trans-

forma dupa ,,regula dreptunghiului”.Metoda de rezolvare a sistemului ce foloseste aceste trei reguli se numeste

metoda (algoritmul) eliminarii complete .Cazul r ≤ m ≤ n (sistemul (1) se reduce la forma (a)).In sistemul S(r), necunoscutele x1, x2, . . . , xr corespund coloanelor pe care

am ales pivotii si ele sunt necunoscutele principale iar celelalte sunt ne-cunoscutele secundare . Acestora din urma li se atribuie valori arbitrare:

xr+1 = α1, xr+2 = α2, . . . , xn = αn−r, αi ∈ R, i = 1, n − r.

Primele r ecuatii determina pe x1, x2, . . . , xr ın functie de αi, i = 1, n − r.Se obtine astfel solutia generala a sistemului:

x1 = τ11α1 + τ12α2 + ... + τ1n−rαn−r + β1

.........................................................xr = τr1α1 + τr2α2 + ... + τrn−rαn−r + βr

xr+1 = α1

.........................................................xn = αn−r

(1.37)

unde

τij = −a(r)i r+j

a(r)ii

; i = 1, r, j = 1, n − r

βi =b(r)i

a(r)ii

, i = 1, r


Aceasta solutie generala se poate scrie sub forma matriciala astfel:

X = α1X1 + α2X2 + . . . + αn−rXn−r + X0, (1.38)

unde: X =

x1

x2...xn

;

X1 =

τ11

τ21

...τr1

10...0

; X2 =

τ12

τ22

...τr2

01...0

; .....; Xn−r =

τ1n−r

τ2n−r

...τrn−r

00...1

; X0 =

β1

β2

...βr

0...0

.

1.30 Observatii: Pentru α1 = α2= . . .= αn−r = 0, X0 este solutie;Xi,i = 1, n − r sunt solutii particulare ce se obtin pentru αi = 1 si αj = 0,j = 1, n, j 6= i, i = 1, n − r

In cazul sistemelor liniare omogene (acestea sunt de forma (1.21) sau(1.22) ın care B ∈ Mm1 cu toate elementele nule) avem

X0 = 0 ; X = α1X1 + α2X2 + . . . + αn−rXn−r. (1.39)

Solutiile X1, X2, . . . , Xn−r au proprietatile:- Numarul lor, n − r reprezinta gradul de nedeterminare al sistemului.- Orice solutie a sistemului liniar si omogen este o combinatie liniara de

X1, X2, . . . , Xn−r. De aceea spunem ca multimea H = {X1, X2, . . . , Xn−r}constituie un sistem fundamental de solutii .

Daca r < m si printre ecuatiile r + 1, r + 2, . . . ,m se gaseste cel putin oecuatie de forma (1.27), atunci sistemul este incompatibil. Cazul r ≤ m ≤ nse refera la situatia cand nici una din aceste ecuatii nu este de forma (1.27).

Cazul n = r < m . Daca sistemul e compatibil, va fi si determinat.Solutia se gaseste folosind tot primele r ecuatii.

Cazul r = n = m . Sistemul este compatibil determinat.In acest caz, daca sistemul se transforma tot dupa formulele (1.36) ın

care se ia i = k + 1,m si j = k, n, atunci metoda de mai sus se va numiialgoritmul eliminarii incomplete sau algoritmul lui Gauss pentrurezolvarea sistemelor liniare de n ecuatii cu n necunoscute.

1.31 Exemple:


1. Sa se rezolve sistemul

x + y + z = 6x − y + 2z = 5x − 2y = −3

.

Rezolvare. Aplicam algoritmul eliminarii complete pe matricea (A|B) siobtinem:

(A|B) =

1 1 11 −1 21 −2 0

∣∣∣∣∣∣65−3

∼

1 1 10 −2 10 −3 −1

∣∣∣∣∣∣6−1−9

∼

−2 0 −30 −2 10 0 5

∣∣∣∣∣∣−11−115

∼

−10 0 00 −10 00 0 5

∣∣∣∣∣∣−10−2015

∼

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣123

;

Solutia este x = 1; y = 2; z = 3.Sa aplicam acum, pentru acelasi sistem, algoritmul eliminarii incomplete

(algoritmul eliminarii lui Gauss). (A|B) =

=

1 1 11 −1 21 −2 0

∣∣∣∣∣∣65−3

→

1 1 10 −2 10 −3 −1

∣∣∣∣∣∣6−1−9

→

1 1 10 −2 10 0 5

∣∣∣∣∣∣6−115

Rezulta ca sistemul dat este echivalent cu

x + y + z = 6−2y + z = −15z = 15

de unde

x = 1y = 2z = 3

Aceeasi solutie se obtine folosind ultima forma a matricei (A|B). Rezultaz = 3. Se ınlocuieste ın ecuatia 2, z = 3, si se obtine y = 2. Apoi se ınlocuiestey = 2 si z = 3 ın ecuatia 1 si rezulta x = 1.

2. Sa se determine rangul matricei: A =

1 1 1 21 1 1 21 −1 −3 −2

.

Rezolvare: Se aplica algoritmul eliminarii complete.

A =

1 1 1 21 1 1 21 −1 −3 −2

∼

1 1 1 20 0 0 00 −2 −4 −4

∼

∼

1 1 1 20 −2 −4 −40 0 0 0

∼

1 0 2 00 1 2 20 0 0 0

Rezulta ca rangA = 2(rangA este diferenta dintre numarul de ecuatii si

numarul liniilor zero i.e. rang A este egal cu numarul liniilor nenule ). PrinX ∼ Y se ıntelege rangX = rangX.


3. Sa se determine inversa matricei A =

2 3 −11 2 −11 1 −2

Rezolvare. Se complecteaza matricea A cu matricea unitate I3 i.e. se

considera matricea (A |I3 ) si se transforma dupa metoda eliminarii complete. 2 3 −11 2 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

→ →

2 3 −10 1 −10 −1 −3

∣∣∣∣∣∣1 0 0−1 2 0−1 0 2

→

2 0 20 1 −10 0 −4

∣∣∣∣∣∣4 −6 0−1 2 0−2 2 2

→

−8 0 00 −4 00 0 −4

∣∣∣∣∣∣−12 20 −42 −6 2−2 2 2

→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣3/2 −5/2 1/2−1/2 3/2 −1/21/2 −1/2 −1/2

.

Deci A−1 =

3/2 −5/2 1/2−1/2 3/2 −1/21/2 −1/2 −1/2

1.32 Observatie. Matricea A fiind inversabila, ∃A−1 a.ı. AA−1= I3.

Notam A−1 =

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

, si se gaseste ca relatia AA−1= I3 este echiva-

lenta cu trei sisteme de ecuatii liniare Si, i = 1, 3, ın care necunoscutele sis-temului Si sunt xi, yi, zi si termenii liberi sunt dati de coloana Ci, i = 1, 3 amatricei I3. Calculele de mai sus reprezinta rezolvarea simultana a acestortrei sisteme.

In exemplul de mai sus am gasit trei pivoti. Daca am fi gasit mai putini(i.e. ultima forma a lui A ar fi avut cel putin o linie zero) spuneam ca A−1

nu exista.

Capitolul 2

Spatii vectoriale

2.1 Definitii si exemple

Fie V 6= ∅, un corp comutativ K si legile de compozitie:

′′+′′ : V × V → V, (x, y) → x + y, ∀ x, y ∈ V (lege interna).

′′·′′ : K × V → V, (α, x) → αx, α ∈ K si x ∈ V (lege externa).

2.1 Definitie. Spunem ca V este spatiu vectorial peste K (sau K -spatiu vectorial) si notam V/K daca:

(0) (V, +) - grup abelian(1) 1k· x = x , (∀) x ∈ V(2) α(βx) = (αβ)x, (∀)α, β ∈ K si (∀) x ∈ V(3)(α + β)x = αx + βx, (∀)α, β ∈ K si (∀) x ∈ V(4) α(x + y) = αx + αy, (∀)α ∈ K si (∀) x, y ∈ V.Elementele lui V se numesc vectori , iar elementele lui K se numesc

scalari . Corpul K se mai numeste corpul scalarilor .2.2 Exemple. 1.o Rn = {(x1, . . . , xn)| xi ∈ R, i = 1, n} cu operatiile:

x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) si αx = (αx1, αx2, . . . , αxn), (2.1)

∀ α ∈ R, ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, este un R spatiuvectorial ( si notam Rn/R).

2.o Q/Q - este spatiu vectorial. Q/R nu este spatiu vectorial (de ce?)3.o R/Q, R/R, C/Q, C/R, C/C sunt spatii vectoriale, iar R/C nu

este spatiu vectorial (de ce?)Intrebare: R/Z este spatiu vectorial? Dar Z/Z?

33

34 Capitolul 2. Spatii vectoriale

4.o Multimea F(A,B) pe care s-au definit operatiile (f + g)(x) = f(x) +g(x) si (αf)(x) = α · f(x), ∀ f, g ∈ F(A,B), ∀ α ∈ R.F(A,B)/R estespatiu vectorial.

5.o (Mm,n (R), +, ·) este R spatiu vectorial (′′+′′ - adunarea matricelorsi ′′·′′ ınmultirea lor cu un numar real).

6.o R[X] = {f |f polinom cu grad f ≤ n} este R spatiu vectorial fata deadunare polinoamelor si ınmultirea lor cu numere reale.

7.o Multimea solutiilor unui sistem liniar si omogen.In cele ce urmeaza vom considera doar spatii vectoriale reale (V/R).8.o Daca U, V/R sunt spatii vectoriale, atunci U × V/ R este spatiu vec-

torial.2.3 Exercitiu. Fie V/R spatiu vectorial. Atunci avem:

1.o0R · x = 0V , ∀x ∈ V 4.oα(−x) = −αx, ∀α ∈ R,∀x ∈ V

2.oα · 0V = 0V ,∀α ∈ R 5.oα(x − y) = αx − αy, ∀α ∈ R,∀x, y ∈ V

3.o(−1)x = −x, ∀x ∈ V 6.o(α − β)x = αx − βx, ∀α, β ∈ R, x ∈ V.

Rezolvare:1.o x + 0Rx = x(1 + 0R) = x · 1 = x ⇒ 0R · x = 0V

2.oα · 0V = α(0V + 0V ) = α · 0V + α · 0V ⇒ α · 0V = 0V

3.o0V = 0R · x = [(−1) + 1]x = (−1)x + x ⇒ (−1)x = −x4.oα(−x) = α((−1)x) = α · (−1) · x = −αx (se poate proceda si ca la 3o)5.oα(x − y) = α(x + (−y)) = αx + α(−y) = αx − αy6.o(α − β)x = [α + (−β)]x = αx + (−β)x = αx − βxNota. Structura de spatiu vectorial ınzestreaza o multime cu operatiile

algebrice de adunare si scadere a vectorilor si de ınmultire a lor cu scalari.2.4 Definitie. Fie V/R un spatiu vectorial si A, B ⊆ V. Multimea

A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B} (2.2)

se numeste suma submultimilor A si B.

2.2 Subspatii vectoriale

2.5. Definitie: Fie V/R spatiu vectorial. O submultime nevida W luiV se numeste subspatiu vectorial al lui V daca:

(a) ∀x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W(b) ∀α ∈ R, ∀x ∈ W ⇒ αx ∈ WNotam Sb (V) = {L | L subspatiu vectorial al lui V}.2.6 Propozitie Cu notatiile de mai sus avem: W ∈ Sb(V ) daca si numai

daca ∀α, β ∈ R si ∀x, y ∈ W ⇒ αx + βy ∈ W.

2.2. Subspatii vectoriale 35

Demonstratie (exercitiu)

Aceasta propozitie constitue proprietatea de caracterizare a subspatiilorvectoriale.

2.7 Propozitie Fie V / R spatiu vectorial si W1,W2 ∈ Sb(V ). Atunci :

(a)W1 + W2 ∈ Sb(V ),

(b)W1 ∩ W2 ∈ Sb(V ).

Demonstratie: (a) Fie α, β ∈ R si x, y,∈ W1 + W2. Atunci ∃x′; y′ ∈ W1

si x”, y′ ∈ W2 astfel ıncat x = x′ + x′′ si De aici avem:

αx + βy = α(x′ + x′′) + β(y′ + y′′) = . . . . = (αx′ + βy′) + (αx′′ + βy′′) ∈W1 + W2.

Conform cu proprietatea de caracterizare a subspatiilor vectoriale, rezultaca W1 + W2 ∈ Sb(V )

(b) Fie acum x, y ∈ W1∩W2 si α, β ∈ R. Rezulta: pe de o parte x, y ∈ W1,de unde αx + βy ∈ W1 si pe de alta parte x, y ∈ W2, de unde αx + βy ∈ W2

. De aici se obtine ca αx + βy ∈ W1 ∩ W2.

2.8 Definitie: Daca W1,W2 ∈ Sb(V ) cu W1 ∩ W2 = {0}, atunci W1 +W2 se numeste suma directa a subspatiilor W1,W2 si se noteaza W1 ⊕W2.Daca suma directa a subspatiilor W1 si W2 este V (i.e. W1 ⊕ W2 = V ,atunci W1 si W2 se numesc subspatii suplimentare, altfel spus W1 estesuplimentul lui W2 si invers.

2.9 Propozitie O suma de subspatii vectoriale este suma directa daca sinumai daca orice element al sau se descompune ın mod unic dupa elrmentedin termenii sumei.

Demonstratie:Fie W1,W2 ∈ Sb(V ). Avem de aratat ca ∀x ∈ W1 +W2,∃!x1 ∈ W1 si ∃!x2 ∈ W2 astfel ıncat x = x1 + x2. ,,⇒“ W1 + W2 =

W1⊕ W2def⇒ W1∩ W2 = {0}. Presupunem ca x ∈ W1 + W2 admite doua

scrieri i.e. x = x1 + x2 si x = x1’ + x2’. atunci x1 + x2 = = x1’ + x2’ ⇔x1− x1’ = - (x2 - x2’) ⇒ x1− x1’, x2− x2’ ∈ W1∩ W2 = {0} ⇒ x1− x1’ = 0= x2− x2’.

′′ ⇐′′ exercitiu.

Propozitia de mai sus se poate enunta si astfel: O suma este directa dacasi numai daca orice element al sau se poate decompune unic dupa elementedin termenii sai.

2.10 Exemple de subspatii vectoriale.

1o{0}, V ∈ Sb(V ) (acestea se numesc subspatii improprii).

2oS = {(x1, x2, x3) ∈ R3 |x1 − 2x2 + x3 = 0, − x1 − x2 + 2x3 = 0}S1 = { (a, b, 0) |a, b ∈ R} , S2 = { (a, 0, c) | a, c ∈ R},S3 = { (0, b, c) | b, c ∈ R},S4 = { (a, 0, 0) | a ∈ R},S5 = {(0, b, 0) | b ∈ R}, S6 = { (0, 0, c) | c ∈ R}


3oFp((−a, a), R),Fi((−a, a), R) ∈ Sb(F((−a, a), R)), unde Fp si Fi suntmultimea functiilor pare, respectiv impare.

4o Fie V 1, V 2 ∈ Sb(V ) si consideram multimea S∗ = {W ∈ Sb(V ) | W ⊇V 1 ∪ V 2} . Aratati ca V 1 + V 2 =

⋂W ∈ S∗

W

2.3 Baza si dimensiune

2.3.1 Dependenta si independenta liniara

Fie V/R si S = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ V.2.11 Definitie: (i) O expresie de forma α1x1+ . . .+αpxp, αi ∈ R, i = 1, p

se numeste combinatie liniara de elementele lui S, iar scalarii α1, . . . , αp

se numesc coeficientii combinatiei liniare.(2i) un element y ∈ V este combinatie liniara de elementele lui S daca

(∃)αi ∈ R, i = 1, p, astfel ıncat y = α1x1 + . . . + αpxp.(3i) multimea

L(S) = {α1x1 + . . . + αpxp|αi ∈ R i = 1, p} (2.3)

se numeste acoperirea liniara a lui S.Exercitiu. Fie V/R spatiu vectorial si S = {x1, . . . , xp} ⊂ V/R. Aratati

ca L(S) ∈ Sb(V ).Intr-adevar, fie x, y ∈ L(S). Atunci ∃αi, βi ∈ R, i = 1, p, astfel ıncat:x = α1x1 + ... + α.pxp

y = β1x1 + ... + βpxp

Pentru α′, β′ ∈ R

⇒ α′x + β′y = . . . = (α′α1 + β′β1)x1 + . . . +

(α′αp + β′βp)xp ⇒ α′x + β′y ∈ L(S). Deci L(S) ∈ Sb(V ).2.12 Definitie. Sistemul de vectori S se numeste liniar independent

daca din orice combinatie liniara egala cu zero rezulta ca toti coeficientiicombinatiei liniare sunt nuli( i.e.

α1x1 + α2x2 + . . . + αpxp = 0 ⇒ α1 = α2 . . . = αp = 0),

ın caz contrar sistemul de vectori S se numeste liniar dependent (i.e. din

β1x1 + . . . + βpxp = 0.

nu rezulta ca toti coeficientii βi, i = 1, p sunt egali cu zero.2.13 Observatii. 1o Daca S este sistem de vectori liniar independent

atunci (∀) S’ ⊂ S este liniar independent.

2.3. Baza si dimensiune 37

2o Daca S este liniar dependent, atunci (∀)S ′′ ⊃ S este liniar dependent.

3o Daca 0 ∈ S, atunci S este liniar dependent.

4o Daca S este liniar independent, atunci nici unul din vectorii sai nu sepoate scrie ca o combinatie liniara de ceilalti vectori.

5o Daca S este liniar dependent, atunci (∃) u ∈ S astfel ıncat u se poatescrie ca o combinatie liniara de ceilalti vectori.

6o Daca sistemul de vectori S = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ V este liniar indepen-dent, atunci ∀ω ∈ L(S), are coeficienti unici (i.e. corepondenta L(S) 7−→ Rp

este o functie).

Pentru un sistem infinit de vectori S = {xi}i∈I ⊂ V, avem:

2.14 Definitii: •Sistemul de vectori S este liniar independent daca oricesubsistem S’ finit al sau este liniar independent. In caz contrar S este liniardependent.

•Un vector x ∈ V este o combinatie liniara a lui S daca exista un subsis-tem finit S ′ al lui S astfel ıncat x este combinatia liniara de elementele luiS’.

2.15 Exercitii: (i) Aratati ca S = {x1 = (−1, 0, 1), x2 = (−1, 1, 2), x3 =(−1, 2, 3)} este liniar dependent.

(ii) Aratati ca S = {x1 = (1,−1, 0), x2 = (1,−1, 2), x3 = (3, 0,−1)} esteliniar independent.

(iii)Fie S ⊂ V un sistem finit de vectori. Daca S este liniar independent,atunci S1 = S ∪ x, este liniar independent, ∀x, ∈ V \ L(S).(Se considera ocombinatie liniara de vectorii lui S1 egala cu zero si se gaseste ca x, ∈ L(S).)

(iv) Daca W ∈ Sb(V ), atunci ∀y ∈ V \ W, y 6= 0.

2.3.2 Baza si dimensiune

2.16 Definitie. Sistemul de vectori S = {gi}i∈I este sistem de gener-atori pentru V daca orice vector din V este o combinatie liniara finita devectori din S. adica:

∀ x ∈ V, ∃gi1 , ..., gin ∈ S si ∃α1, . . . , αn ∈ R astfel ıncat x =n∑

k=1

αkgik .

2.17 Exemple:V = Rn, S = {e1, e2, . . . , en}, ei = (0, ... 0,i

1, 0, ...0), i =1, n este sistem de generatori pentru V .

2.18 Exercitii: 1o Daca S este un sistem de generatori pentru V , atunci∀S ′ ⊃ S este sistem de generatori pentru V (i.e. orice supra sistem al unuisistem de generatori este sistem de generatori).

2o Daca S este sistem de generatori, si y ∈ S este combinatie liniara luiS, atunci S\{y} este sistem de generatori.


2.19 Definitie: Un sistem de vectori B = {xi|i ∈ I}, I cel mult numarabilaformeaza o baza a spatiului vectorial V/R daca:

(b1) este liniar independent;

(b2) este sistem de generatori pentru V.

Vom nota cu b(V ) multimea bazelor spatiului vectorial V.

2.20 Definitie. Baza unui spatiu vectorial ai carei vectori se raporteazala ea ınsasi se numeste baza canonica.

Daca B = {s1, ..., sn} este baza canonica a lui V, atunci si = (0...0, 1, 0...0),i = 1, n, i.e. toate coordonatele sunt zero ın afara celei de pe locul i.

2.21. Exemple: 1o In Rn/R, B = {e1, e2, . . . , en}, ei = (0, ... 0,i

1, 0, ...0),

i = 1, n este baza canonica a spatiului vectorial Rn/R.

2o S = {1, t, t2, . . . , tn} este o baza a spatiului vectorial al polinoamelorde grad ≤ n (poate fi numita tot baza canonica a acestui spatiu vectorial).

2.22 Propozitie. Fie V/R un spatiu vectorial si B = {e1, e2, . . . , en} ∈b(V ). Daca S ⊂ V este liniar independent, atunci card(S) ≤ n(= card(B)).

Demonstratie. Consideram S = {x1, . . . , xp} si presupunem ca n < p.Atunci pe de o parte din

β1x1 + β2x2 + . . . + βpxp = 0 (2.4)

datorita liniar independentei lui S, avem

β1 = β2 = . . . = βp = 0. (2.5)

Pe de alta parte, pentru ca B este sistem de generatori, ∃aij ∈ R, i = 1, p, j =1, n astfel ıncat

xi = a1ie1 + a2ie2 + ... + anien, i = 1, p. (2.6)

Acum folosim relatiile (2.6) ın relatia (2.4) si obtinem

β1(a11e1 + a12e2 + ... + a1nen)++β2(a11e1 + a12e2 + ... + a1nen)+...............................................+βp(ap1e1 + ap2e2 + ... + apnen) = 0

sau(a11β1 + a12β2 + ... + a1pβp)e1++(a21β1 + a22β2 + ... + a2pβp)e2+...............................................+(an1β1 + an2β2 + ... + anpβn)en = 0


de unde, datorita liniar independentei lui B, se obtine sistemula11β1 + a12β2 + ... + a1pβp = 0.............................................an1β1 + an2β2 + ... + anpβp = 0

(2.7)

cu necunoscutele β1, β2, . . . , βp. Matricea asociata sistemului (2.7) este

A=

a11 a12......a1p

......................an1 an2....anp

.

Cum rang(A) ≤ min(n, p) = n < p rezulta ca sistemul (2.7) are si solutiinenule i.e.(β1, β2, . . . , βp) 6= 0 . Deci nu toti β1, β2, . . . , βp sunt zero, ceeace este ın contradictie cu (2.3). Prin urmare p ≤ n, adica ceea ce trebuiademonstrat.

2.23 Corolar. Orice doua baze ale unui spatiu vectorial finit dimensionalau acelasi numar dse elemente.

Demonstratie. Fie B1,B2 ∈ b(V ). Conform cu Teorema 2.20 pentruS = B1 si B = B2 gasim card(B1) ≤ card(B2), iar pentru S = B2 si B = B1

obtinem card(B2) ≤ card(B1) . De aici rezulta ceea ce trebuia demonstrat.2.24 Definitie: Fie V/R un spatiu vectorial si B o baza a sa. Prin

definitie spunem ca:

dimR V =

0, daca V = {0}n, daca card. B = n∞, daca card. B este infinit

(2.8)

se numeste dimensiunea spatiului vectorial V peste R. Un spatiu vectorialcare are o baza finita se numeste finit dimensional si ın caz contrar senumeste infinit dimensional . Daca dimRV = n convenim sa scriem Vn

ın loc de V . Un spatiu vectorial de dimensiune 1 se numeste dreptavectoriala , iar un spatiu vectorial de dimensiune 2 se numeste planvectorial .

2.25 Propozitie. Fie S = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ Vn.Seste liniar indepen-dent, daca si numai daca S este sistem de generatori ın Vn.

Demonstratie:Consideram S liniar independent si trebuiue sa aratam caS este sistem de generatori pentru Vn. Fie y ∈ Vn − {0}. Sistemul S ′ ={x1, . . . , xn, y} este sistem liniar dependent (daca ar fi liniar independent,atunci conform Propozitiei 2.21, am avea n + 1 ≤ n, ceea ce este absurd).Deci avem: λ1x1 + . . . + λnxn + αy = 0 cu α 6= 0( daca α = 0 ⇒ S ′ liniarindependent).

Rezulta ca y =h∑

i=1

λi

α· xi, adica S este sistem de generatori pentru Vn.


Fie acum S sistem de generatori pentru Vn si consideram S ′ ⊆ S, maximalliniar independent. Deoarece S

′este sistem de generatori pentru S \ S

′si S

este sistem de generatori pentru Vn, rezulta ca S′este sistem de generatori

pentru Vn. Cum S′

este si liniar independent, avem ca S′ ∈ b(Vn). Deci

card(S′) = n, i.e.S

′= S. Prin urmare S este liniar independent.

2.26 Propozitie. Intr-un spatiu vectorial Vn, orice vector se scrie ınmod unic ca o combinatie liniara de vectorii unei baze.

Demonstratie. Fie B = {e1, . . . , en} o baza ın Vn. Presupunem ca ∃x ∈ Vn

astfel ıncat x = a1e1 + · · · + anen si x = b1e1 + · · · + bnen. Atunci 0 =

(a1 − b1)e1 + · · ·+ (an − bn)enB lin.⇒ind.

ai − bi = 0; i = 1, n. Deci ai = bi, i = 1, n,

ceea ce trebuia demonstrat.2.27 Definitie. Coeficientii combinatiei liniare ce exprima pe x ın baza

B(de exemplu ın Propozitia 2.25. numerele ai, i = 1, n) se numesc coordo-natele vectorului x ın baza B. Prin x = (a1, a2, . . . , an) vom nota vectorulx, iar prin xB=t(a1, a2, . . . , an) matricea coloana a coordonatelor vectoruluix.

2.28 Observatie: Intr-o baza, coordonatele unui vector sunt unice.2.29 Lema. Orice baza B pe Vn determina o unica functie bijectiva

f : Vn → Rn, x ∈ Vn → (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.Demonstratie (exercitiu).Functia f este numita functie de coordonate pe Vn, iar sistemul de

scalari (x1, x2, . . . , xn) asociat lui x prin functia de coordonate s.n. sistemde coordonate al lui x ın baza B.

2.30 Exercitii. 1. Daca V ′ ∈ Sb(Vn) atunci dimV ′ ≤ n.2. Daca L(S) = Vn atunci S ∈ b(Vn).

2.3.3 Rangul unui sistem de vectori

Fie S = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ Vn / R un sistem de vectori si fie xi =(a1i, a2i, . . . , ani), i = 1, p ıntr-o baza data B a lui Vn/R.

2.31 Definitie: Numarul maxim de vectori liniari independenti din S senumeste rangul sistemului de vectori S. Matricea care are pe coloanecoordonatele vectorilor xi, i = 1, p, ın baza B adica:

AS(B) =

a11 a12 ... a1p

a21 a22 ... a2po

..... ..... ... .....an1 an2 ... anp

(2.9)

se numeste matricea asociata sistemului de vectori S ın baza B.


2.32 Observatie: 1o. Daca rangS = r atunci:a)∃S ′ ⊂ S cu cardS ′ = r a.ı. S ′ liniar independent.b)∀S ′′ ⊂ S cu cardS ′′ ≥ r + 1, este liniar dependent.2o. Daca S ′ este multimea vectorilor liniari independenti din S, care ıi

dau rangul, atunci ∀y ∈ S\S ′ este combinatie liniara, de vectorii lui S ′ (dacanu este combinatie liniara, atunci S ′ ∪ {y} este liniar independent, ceea ceeste o contradictie.

2.33 Propozitie. Cu notatiile de mai sus avem: rangS = rangAS.Demonstratie: Fie rangAS = r. Atunci p− r dintre coloanele matricei AS sescriu ca o combinatie liniara de cele r coloane ce au elemente ın ∆rang, i.e.p−r dintre vectorii lui S se scriu ca o combinatie liniara de cei r vectori careau coordonate ın ∆rang. Deci rangS = r.

2.34 Lema: S este liniar independent daca si numai daca rangAS =cardS.

Demonstratie:” ⇒ ”. Din liniar independenta lui S rezulta ca rangS =cardS, si cum din Propozitia 2.31 avem rangS = rangAS obtinem ceea cetrebuia demonstrat.

” ⇐ .” Folosind ipoteza si Propozitia 2.31 avem rangS = cardS. Deci Seste liniar independent.

2.35 Definitie. Doua sisteme de vectori S1 si S2, sunt echivalente (si sescrie S1 ∼ S2) ⇔ rang As1= rang As2 .

2.36 Propozitie. In contextul notatiilor de mai sus avem dim(L(S)) =rangS.

Demonstratie: Fie rangS = r. Atunci S ′ = {xi1, . . . , xir} este liniarindependent iar {xir+1, . . . , xip} ∈ L(S ′). Deci L(S) = L(S ′). Rezulta S ′ esteo baza pentru L(S) (S ′ este liniar independent si ∀ y ⊂ L(S) = L(S ′) este ocombinatie liniara de vectori lui S ′).

2.37 Teorema lui Steinitz: Intr-un spatiu vectorial V/R finit dimen-sional, orice sistem de vectori liniari independenti poate fi completat pana lao baza a lui V/R.

Demonstratie: Fie B = {e1, . . . , en} o baza a lui V/R si fie S = {x1, x2,. . . , xp}, un sistem de vectori liniari independenti. Conform cu Propozitia2.22 avem p ≤ n. Din ipoteza rezulta ca p < n. Consideram ca in baza B,xi = (a1i, a2i, . . . , ani), i = 1, p.

Atunci: As =

a11 a12 . . . a1p

a21 a22 . . . a2p...

......

...

an1 an2... anp

si rangAs = p.

Completam pe S cu n− p vectori din baza B. Astfel obtinem sistemul devectori B1 = {x1, . . . xp, ep+1, . . . , en} si aratam ca este sistem liniar indepen-


dent.Matricea atasata lui B1 ın baza B va fi:

AB1 =

a11 ... ... a1p 0 ... ... 0a21 ... ... a2p 0 ... ... 0... ... ... ... ... ... ... ...ap1 ... ... app 0 ... ... 0

ap+11 ... ... ap+1p 1 ... ... 0... ... ... ... ... ... ... ...an1 ... ... anp 0 ... ... 1

detAB1 =

∣∣∣∣∣∣∣a11 ... a1p...

. . ....

ap1 ... app

∣∣∣∣∣∣∣ · 1 · 1 . . . · 1 6= 0.

Deci B1 este baza.2.38 Observatie: Deoarece baza B1 se poate considera ca fiind obtinuta

prin ınlocuirea vectorilor e1, e2, . . . , ep, ai bazei B, cu vectorii lui S ,Teoremeilui Steinitz i se mai spune si Teorema ınlocuirii.

Lema substitutiei are un rol decisiv ın elaborarea unor metode remarcabileale algebrei liniare.

2.4 Schimbari de baze

2.4.1 Lema substitutiei

2.39 Lema substitutiei. Fie B = {e1, e2, . . . , en} o baza a spatiului vec-torial Vn/R,v = (α1, . . . , αn) ∈ Vn\{0} si B∗ = {e1, . . . , ej−1, v, ej+1, . . . , en}.Atunci :

1)B∗ este baza a lui Vn daca si numai daca αj 6= 0;2)Daca B∗ este baza si x ∈ V, x = (x1, . . . , xn) ın baza B, atunci coordo-

natele lui x ın baza B∗,sunt

x∗j = xj/αj ; x∗

i = xi − αix∗j , i 6= j (2.10)

Demonstratie: Din ipoteza avem

v = α1e1 + . . . + αjej + · · · + αnen (2.11)

1)Fie

β1e1 + · · · + βj−1ej−1 + βjv + βj+1ej+1 + · · · + βnen = 0. (2.12)

2.4. Schimbari de baze 43

Dupa ınlocuirea lui v dat de (2.11) in (2.12), avem

(β1 + α1βj)e1 + . . . + (βj−1 + αj−1βj)ej−1 + βjαjej

+(βj+1 + αj+1βj)ej+1 + . . . + (βn + αnβj)en = 0

si apoi, folosind liniar independenta bazei B, obtinem sistemul liniar si omogen{βi + αiβj = 0, (∀)i = 1, n, i 6= j

αjβj = 0(2.13)

cu necunoscutele βi, i =1, n si cu determinantul

∆ = 1 . . . 1 · αj . . . 1 . . . . . . 1 = αj. (2.14)

” ⇒ ”. Din relatia (2.12), pentru ca B∗ este baza, rezulta ca βi = 0, i=1, n. Deci sistemul (2.13) are doar solutia zero. Astfel avem ca ∆ 6= 0, i.e.αj 6= 0.

” ⇐ ” Cum B∗, este un sistem de n vectori si dimVn = n, este suficientsa aratam ca B∗, este liniar independent (vezi 2.25.). In sistemul de ecuatii(2.13), pentru ca αj 6= 0, rezulta ca determinantul sistemului este nenul.Deci sistemul are doar solutia nula, i.e. βi = 0, i =1, n. Prin urmare rezultaca B∗ este baza a lui Vn = n.

(2) Fie x 6= 0 cu x ∈ V . In baza B avem x = x1e1 + x2e2 + · · · + xjej +· · · + xnen. Din relatia (2.9) avem

ej = −α1

αj

e1 −α2

αj

e2 − · · · − αj−1

αj

ej−1 +1

αj

v − αj+1

αj

ej+1 − · · · − αn

αj

en

si apoi ınlocuind ın expresia lui x, pe ej obtinem:

x = (x1 −α1

αj

xj)e1 + (x2 −α2

αj

xj)e2 + · · · + (xj−1 −xj−1

αj

xj)ej−1 +xj

αj

v+

+ (xj+1 −xj+1

αj

xj)ej+1 + · · · + (xn − αn

αj

xj)en.

Aceasta este expresia lui x ın baza B∗ si tinand seama de unicitateacoordonatelor ın aceeasi baza rezulta:

x∗i = xi − αix

∗j ,i = 1, n, i 6= j si x∗

j =xj

αjceea ce trebuia demonstrat.

2.40 Observatii: 1. Pentru punctul 1) al Lemei substitutiei prezentamsi o alta demonstratie.


Deoarece dimVn = cardB∗ avem echivalentele: B∗ ∈ b(Vn) ⇔ B∗ liniarindependent ⇔ rangAB∗ = n ⇔ detAB∗ 6= 0 ⇔ αj 6= 0, unde:

AB∗ = (aik)i,k=1,n, aik =

αi, k = j1, i = k 6= j0, ın rest.

2.Lema substitutiei, cu alte cuvinte, arata ca un vector nenul poate ınlocuiun vector al unei baze, corespunzator unei coordonate nenule si da coordo-natele x∗

i , i = 1, n ale unui vector ın baza B∗ si de coordonatele lui v, ınfunctie de coordonatele sale xi, i = 1, n ın baza B, sunt date de

AB∗ = (aik)i,k=1,n, aik =

αi, k = j1, i = k 6= j0, ın rest.

2.41 Aplicatii: 1˚ Modificarea coordonatelor unui vector laschimbarea bazei. Sa se determine coordonatele unui vector x ∈ V/R ınbaza B′, stiind ca x = (x1, x2, . . . , xn) ın baza B.

Rezolvare. Fie B = {e1, e2, . . . , en } si B′ = {v1, v2, . . . , vn}. Pentru iarbitrar fixat, consideram vi = (α1, . . . , αn) cu αi 6= 0 (vectorii bazei B′

sunt ordonati astfel ıncat vk are componenta k diferita de zero, conform culema substitutiei se calculeaza x∗

i = xi

αi. Tabelele de mai jos, schematizeaza

lema substitutiei , i. e. arata cum se formeaza baza B′ si da formulele dupacare se calculeaza coordonatele vectorului v ın aceasta baza.

B v xBe1 α1 x1

e2 α2 x2

ei αi xi

ej−1 αj−1 xj−1

ej αj xj

ej+1 αj+1 xj+1

en αn xn

(vectorul v inlocuieste vectorul ej)

B∗1 v xB∗

1

e1 0 x∗1

e2 0 x∗2

ei 0 x∗i

ej−1 0 x∗j−1

v 1 x∗j

ej+1 0 x∗j+1

en 0 x∗n

Se repeta aceasta schema pentru toti vectorii lui B si se obtin ın finalcoordonatele lui x ın baza B∗.

Tabelul (2) se obtine din tabelul (1) astfel:•αi 6= 0 se numeste pivot;•se ımpart, la pivot, toate elementele din linia sa (uneori pot fi mai multi

vectori, ce urmeaza a fi trecuti din baza B ın baza B′ si atunci vor fi maimulte elemente pe linia pivotului).


•pivotul se ınlocuieste cu 1 si celelalte elemente din coloana sa cu zero;

•elementul λj din afara liniei si coloanei pivotului se ınlocuieste cu λj −αj · λ∗

i (regula dreptunghiului) pentru j = 1, n, j 6= i.

2.42 Observatie: Metoda prezentata mai sus este chiar metoda elimi-narii complete a lui Gauss la care se adauga ımpartirea la pivot si ıi vomspune metoda eliminarii complete cu ımpartirea la pivot. Daca se modifica,cu regula dreptunghiului, doar elementele de sub linia pivotului regasimmetoda eliminarii incomplete . Aceste metode au fost prezentate si lasistemele liniare. Ca reguli de calcul ele sunt identice cu cele prezentate lasistemele liniare,diferenta constınd ın aceea ca aici apare ımpartirea la pivot.

2.43 Exemple: 1Testul bazei si calculul coordonatelor

Fie S = {v1 = (2, 1, 1), v2 = (3, 2, 1), v3 = (−1,−1,−2)} ⊂ R3/R six = (1,−1,−2) ∈ R3. Folosind lema substitutiei, sa se arata ca: S este obaza ın R3/R si sa se calculeze coordonatele lui x ın baza S.

Rezolvare: Coordonatele lui x si ale vectorilor lui S sunt ın baza canonicaB = {e1, e2, e3} ⊂ R3/R.

B v1 v2 v3 xe1 2 3 −1 1e2 1 2 −1 −1e3 1 1 −2 −2

∼

B∗1 v1 v2 v3 x

v1 1 32

−12

12

e2 0 12

−12

−32

e3 0 −12

−32

−52

∼

B∗2 v1 v2 v3 x

v1 1 0 1 5v2 0 1 −1 −3e3 0 0 −2 −4

∼

B∗3 v1 v2 v3 x

v1 1 0 0 3v2 0 1 0 −1v3 0 0 1 2

Conform cu lema substitutiei B∗1 = {v1, e2, e3},B∗

2 = {v1, v2, e3} si S ={v1, v2, v3} devin baze. Rezulta ca, relativ la baza S = {v1, v2, v3}, x =(3,−1, 2).

2˚ Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare: Sa se rezolve sis-temele:

(a)

2x1 + 3x2 − x3 = 1x1 + 2x2 − x3 = −1x1 + x2 − 2x3 = −2

si (b)

2x − y + z + 3t = 13x − 2y − z + 2t = 33x − y + 4z + 7t = 0x − y − 2z − t = 2

Rezolvare: (a) Se ia v1 = (2, 1, 1); v2 = (3, 2, 1); v3 = (−1,−1,−2) six = (1,−1,−2).

Se procedeaza ca la 1˚ si se obtine solutia v = (3,−1, 2), care reprezintacoordonatele lui vın baza S = {v1, v2, v3}(acesti vectori au drept coordonatecoeficientii corespunzatori lui x1, x2 si x3).


(b) Conform cu Lema substitutiei avem:

B v1 v2 v3 v4 xe1 2 −1 1 3 1e2 3 −2 −1 2 3e3 3 −1 4 7 0e4 1 −1 −2 −1 2

∼

B∗1 v1 v2 v3 v4 x

v1 1 −12

12

32

12

e2 0 −12−5

2−5

232

e3 0 12

52

52

−32

e4 0 −12−5

2−5

232

∼

B∗2 v1 v2 v3 v4 x

v1 1 0 3 4 −1v2 0 1 5 5 −3e3 0 0 0 0 0e4 0 0 0 0 0

Deoarece ın baza B∗2, vectorii v3 si v4 au componentele 3 si 4 egale cu

zero, nu mai pot ınlocui vectorii e3, e4 din B∗2 (i.e. nu mai pot fi gasiti pivoti

diferiti de zero) si algoritmul se opreste aici. Pentru ca ın baza B∗2 vectorul x

are si el componentele 3 si 4 egale cu zero, rezulta ca sistemul este compatibil(daca una din aceste componente ar fi fost diferita de zero, atunci sistemular fi fost incompatibil). Ultima forma a tabelului, avınd doua linii egale cuzero, arata ca sistemul este dublu nedeterminat.

Algoritmul se continua pıana cınd toti vectorii lui B au fost ınlocuiti saupına cınd apar linii (sau linie) zero la final.

Se poate aplica algoritmul dat de 2.39 si ın cazul cınd numarul ecuatiiloreste diferit de numarul necunoscutelor?

3o. Calculul inversei unei matrice.

Pentru A =

2 3 −11 2 −11 1 −2

sa se calculeze T = A−1.

Rezolvare: avem conditia AT = E(E este matrice unitate de ordin 3).

Luam T =

x x′ x′′

y y′ y′′

z z′ z′′

. Atunci AT =

1 0 00 1 00 0 1

este echivalenta

cu trei sisteme: primul sistem are necunoscutele x, y, z; al doilea sistem arenecunoscutele x′, y′, z′; al treilea sistem are necunoscutele x′′, y′′, z′′. Cele treisisteme au coloana termenilor liberi, respectiv coloana 1, coloana 2, coloana3 din E. Algoritmul dat de Lema substitutiei, permite rezolvarea simultanaa celor trei sisteme. Astfel avem:

B cA1 vA

2 cA3 cE

1 cE2 cE

3

e1 2 3 −1 1 0 0e2 1 2 −1 0 1 0e3 1 1 −2 0 0 1

∼

B∗ cE1 cE

2 cE3 cT

1 cT2 cT

3

cA1 1 0 0 3

2−5

212

cA2 0 1 0 −1

232

−12

cA3 0 0 1 1

2−1

2−1

2

Am notat cu cAi , i = 1, 3 coloana i a matricei A ( analog cE

i si cTi ).

Rezulta A−1 =

32

−52

12

−12

32

−12

12

−12

−12


2.4.2 Trecerea de la o baza la alta

Fie Vn/R - un spatiu vectorial si bazele B1,B2 ale lui Vn.2.44 Definitie: Matricea T12 ce are pe coloane coordonatele vectorilor

bazei B2, exprimati ın baza B1, se numeste matricea de trecere de labaza B1 la baza B2.

Daca fi = (a1i, a2i, . . ., ani), i = 1, n. sunt coordonatele vectorilor bazeiB2 exprimati ın baza B1, atunci

T12 =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

(2.15)

2.45 Propozitie: Fie e si f matricele coloana ale vectorilor bazelor B1

si B2, si T12 matricea de trecere de la B1 la B2. Atunci

1)f =t T12e, (2.16)

2)xB2 = T−112 xB1 ,∀x ∈ V (2.17)

Demonstratie: Consideram B1 = {e1, e2, . . . , en} si B2 = {f1, f2, . . . , fn,}cu, fi = (a1i, a2i, . . . , ani), i = 1, n, ın baza B1. Atunci

f1 = a11e1 + a12e2 + . . . + a1nen

...............................................fn = an1e1 + an2e2 + . . . + annen

(2.18)

sau: f1

f2

...fn

︸︷︷︸

f

=

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... amm

︸︷︷︸

tT12

e1

e2

...en

︸︷︷︸

e

De aici rezulta relatia (2.16). Pentru x avem,pe de o parte

x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen (2.19)

si pe de alta partex = y1f1 + y2f2 + . . . + ynfn.

Inlocuim pe f1, . . . , fn din (2.18) si obtinem

x = y1(a11e1 + a21e2 + ... + an1en)++y2(a12e1 + a22e2 + ... + an2en)+...............................................

+yn(a1ne1 + a2ne2 + ... + annen)


saux = (a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn)e1++(a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn)e2+...............................................

+(an1y1 + an2y2 + ... + annyn)en

(2.20)

Din cele doua expresiile lui x, (2.19) si (2.20) avem:a11y1 + ... + an1yn = x1

............................a1ny1 + ... + annyn = xn

⇔

a11 . . . an1

. . . . . . . . .a1n . . . ann

︸︷︷︸

T12

y1

. . .yn

︸︷︷︸

xB2

=

x1

. . .xn

︸︷︷︸

xB1

Relatia matriciala de mai sus se poate scrie concentrat prin formula T12xB2 =xB1 si de aici se obtine relatia (2.17).

Aceasta relatie matriciala permite determinarea coordonatelor yi, i = 1, nın baza B2 ale vectorului x, ın functie de coordonatele sale ın baza B1. Dacase da y ın baza B2, atunci yB1 = T12yB2 .

2.46 Observatie: Daca T01 este matricea de trecere de la baza B labaza B1 si T02 este matricea de trecere de la baza B la baza B2, atuncimatricea de trecere de B1 la B2 este T−1

01 T02 .Intr-adevar, fie e, f si g matricilecoloana ale vectorilor bazelor B,B1 si respectiv B2. Atunci avem f =t T01e sig =t T02e. Din prima relatie avem e = (tT01)

−1f si apoi g =t T02(tT01)

−1 =t

T t02(T

−101 )f =t (T−1

01 T02)f .Deci g =t (T−1

01 T02)f . Rezulta ca

T12 = T−101 T02

este matricea de trecere de la baza B1 la baza B2.Acestea se pot schita astfel:

B1T12 qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq B2

@@

@qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq@@

@qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

T−101 T01

¡¡

¡qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq

T02

B

2.47 Aplicatii. 1)In spatiul vectorial R3/R, se considera bazele B1 ={e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} si B2 = {f1 = (2, 1, 1), f2 =(3, 2, 1), f3 = (−1,−1,−2)} si x = (1,−1,−2) ın baza B1. Sa se gaseascacoordonatele vectorului x ın baza B2.

Rezolvare: Se poate folosi schema data de Lema substitutiei, dar se poatefolosi si relatia (2.17). Aceasta relatie este echivalenta cu T12xB2 = xB1 , care


este un sistem liniar ın care termenii liberi sunt coordonatele lui x ın bazaB1 si necunoscutele sunt coordonatele lui x ın baza B2. Deci gasirea lui x ınbaza B2 este echivalenta cu rezolvarea sistemului. Cum aceasta rezolvare sepoate face cu lema substitutiei avem

(T12|xB1) =

2 3 −11 2 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣1−1−2

∼ . . . ∼

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣322

= (I3|T−112 xB1),

i.e. ın baza B2, x = (3, 2, 2).2) Se considera bazele B1 = {f1 = (1, 1, 0), f2 = (1, 0, 1), f3 = (0, 0, 1)} si

B2 = {g1 = (1, 2, 3), g2 = (1, 1, 1), g3 = (1, 0, 1)}, ın spatiul vectorial R3/R,cu vectorii dati ın baza canonica B. Sa se determine matricea de trecere dela baza B1 la baza B2.

Rezolvare. Conform cu cele de mai sus

avem T01 =

1 1 01 0 00 1 1

si T02 =

1 1 12 1 03 1 1

−−

.

Se gaseste T−101 =

0 1 01 −1 0−1 1 1

si apoi

T−101 T02 =

0 1 01 −1 0−1 1 1

·

1 1 12 1 03 1 1

=

2 1 0−1 0 14 1 0

.

Pentru calcularea matricei T−112 T13 se poate utiliza algoritmul dat de lema

substitutiei, calculele fiind facute prin metoda eliminarii complete cu ımpartirela pivot.

2.48 Observatii:1o. Schema de mai sus se poate considera ca reprezintarezolvarea simultana a trei sisteme de ecuatii liniare ale caror necunoscutesunt elementele matricei T−1

01 T023.2o. Trecerea se face fie trecand direct de la baza B1 la baza B2, fie prin

intermediul altei baze, asa cum s-a facut ın 2.43.3o. In schema de mai sus, daca se ia ın locul lui T02, matricea unitate I3

se obtine ın locul lui T−101 T02, inversa matricei T12.


T01︷︸︸︷f1 f2 f3

T02︷︸︸︷g1 g2 g3

1 1 01 0 00 1 1

1 1 12 1 03 1 1

1 1 00 −1 00 1 1

1 1 11 0 −13 1 1

1 0 00 1 00 0 1

2 1 0−1 0 14 1 0︸︷︷︸

T−101 T02

Capitolul 3

Operatori liniari

3.1 Definitii si proprietati imediate

Fie V si W spatii vectoriale peste R.3.1 Definitie: O functie T : V → W se numeste operator liniar daca

sunt ındeplinite conditiile:(i)∀x, y ∈ V, T (x + y) = T (x) + T (y) ( aditivitate)(ii)∀α ∈ R,∀x ∈ V, T (αx) = αT (x) (omogenitate.)Spunem ca operatorul T are proprietatea de a fi partial liniar (si notam

aceasta proprietate prin LP) daca pentru

∀x ∈ V cu x =n∑

i=1

αiei, T (x) =n∑

i=1

αiT (ei),

unde {e1, e2, . . . , en} ∈ b(V ).3.2 Propozitie(proprietate de caracterizare a operatorului liniar). T :

V → W este operator liniar daca si numai daca ∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ V,

T (αx + βy) = αT (x) + βT (y). (3.1)

Demonstratie: ′′ ⇒′′ T (αx + βy) = T (αx) + T (βy) = αT (x) + βT (y).′′ ⇐′′ In relatia (3.1) luam pe de o parte, α = β = 1 si pe de alta parte

α ∈ R si β = 0 si obtinem relatiile (i), si respectiv (ii) din Definitia 3.1.3.3 Exemplu: V = R3,W = R2, T (x1, x2, x3) = (x1, 2x3+x2). Se aplica

fie definitia (verificand conditiile (i) si (ii)), fie (3.1). Aplicand Definitia 3.1avem, pe de o parte

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) = (x1 + y1, 2(x3 + y3) + x2 + y2) =(x1, 2x3 + x2) + (y1, 2y3 + y2) = T (x) + T (y)(i.e. T este aplicatie aditiva) sipe de alta parte

T (αx) = T (αx1, αx2, αx3) = (αx1, 2αx3 + αx2) = α(x1, 2x3 + x2) =αT (x)(i.e. T este aplicatie omogena)).

51

52 Capitolul 3. Operatori liniari

3.4 Propozitie. Orice operator liniar T : V → W are proprietatile:(1.)T (0) = 0; (2.)T (−x) = −T (x); (3.) Daca T este bijectie, atunci T−1

este operator liniar; (4.) T

(n∑

i=1

αixi

)=

n∑i=1

αiT (xi).(5.) Daca T este opera-

tor injectiv si S = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ V este liniar independent, atunci T (S)este liniar independent.

Demonstratie: (1)T (0) = T (0 · x) = 0 · T (x) = 0 (vezi si altfel);(2)T (−x) = T (−1 · x) = −1T (x) = −T (x);(3)αx+βy = α ·T (T−1(x))+β ·T (T−1(y)) = T (αT−1(x))+T (βT−1(y)) == T (αT−1(x) + βT−1(y))T−1(αx + βy) = αT−1(x) + βT−1(y).(4.) Se procedeaza prin inductie.(5.) Deoarece T este operator injectiv, rezulta T (S) = {T (x1), T (x2), . . . ,

T (xp)}. Consideram αi ∈ R, i = 1, p si α1T (x1) + α2T (x2) + . . . + αpT (xp) =0(= T (0)). Acum, folosind liniaritatea si injectivitatea lui T obtinem α1x1 +α2x2 + . . . + αpxp = 0, si apoi din liniar independenta lui S se obtine αi =0, i = 1, p, adica T (S) este liniar independent.

3.5 Exercitiu. Daca operatorul T are proprietatea LP , atunci T esteoperator liniar.

Rezolvare. Fie α, β ∈ R, si x, y ∈ V. Atunci avem succesiv:

T (αx + βy) = T

(α

n∑1

xiei + βn∑1

yiei

)= T

(n∑1

(αxi + βyi)ei

)=

=n∑1

(αxi + βyi)T (ei) =n∑1

αxiT (ei) +n∑1

βyiT (ei) = T

(n∑1

αxiei

)+

+T

(n∑1

βyiei

)= αT (x) + βT (y).

Rezulta T este liniar si astfel implicatia este demonstrata.sambata, de-cembrie 15, 2007 at 3:05 pmsambata, decembrie 15, 2007 at 3:05 pm

Notam: L(V,W ) = {T : V → W |T operator liniar}3.6 Lema: L(V,W ) este R - spatiu vectorial fata de operatiile:′′+′′ : L(V,W )×L(V,W ) → L(V,W ), (T1+T2)(x) = T1(x)+T2(x), ∀ x ∈

V si ∀T1, T2 ∈ L(V,W ).′′·′′ : R × L(V,W ) → L(V,W ), (αT )(x) = αT (x), ∀α ∈ R si ∀T ∈

L(V,W )Demonstratie: (exercitiu)

3.2 Izomorfism de spatii vectoriale

3.7 Definitie: Orice transformare (operator) liniara bijectiva T : V →W se numeste izomorfism de spatii vectoriale .Doua spatii vectoriale V

3.3. Nucleul si imaginea unui operator liniar 53

si W se numesc izomorfe daca exista un izomorfism de spatii vectorialeT : V → W .

3.8 Lema. Fie V si W R- spatii vectoriale, B ∈ b(V ) si T : V → W .Daca operatorul T are proprietatea (LP) si T (B) ∈ b(W ), atunci operatorulT este izomorfism de spatii vectoriale.

Demonstratie: Fie x, y ∈ V cu T (x) = T (y). Consideram x = (x1, x2

, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ V ın baza B = {e1, e2, . . . , en}. Pentru

ca x =n∑

i=1

xiei si y =n∑

i=1

yiei avem succesiv:n∑

i=1

xiT (ei) =n∑

i=1

yiT (ei) ⇔n∑

i=1

(xi−yi)T (ei) = 0 ⇔ xi = yi, i = 1, n ⇔ x = y. Deci aplicatia T este

injectie.

Fie acum ω = (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ W , ın baza B. Rezulta ω =n∑1

λiT (ei) =

n∑1

λiT (ei) = T

(n∑1

λiei

). Deci ∃x =

n∑1

λiei ∈ V, astfel ıncat ω = T (x).

Deci aplicatia T este surjectie. Prin urmare aplicatia T este bijectie. Cumliniaritatea lui T rezulta din 3.5, avem ceea ce trebuia demonstrat.

3.9 Teorema. Doua spatii vectoriale sunt izomorfe daca si numai dacaau aceeasi dimensiune.

Demonstratie: ”⇒”. Daca V este izomorf cu W , atunci exista T : V → Wizomorfism de spatii vectoriale. Pentru E ∈ b(V ) avem ca T (E) ∈ b(W ) sicard(E) = card(T (E)). Deci dimV = dimW.

”⇐”. Fie acum V si W spatii vectoriale astfel ıncat dimV = dimW = n.Consideram B ∈ b(V ) si definim functia T : V → W cu proprietatea (LP) siT (B) ∈ b(W ).Conform cu Lema 2.52, operatorul T este izomorfism de spatiivectoriale. Deci spatiile vectoriale V si W sunt izomorfe.

3.10 Observatii:1o. Relatia de izomorfism (notata ∼=) este o relatie deechivalenta ın multimea spatiilor vectoriale.

2o. Daca V/R spatiu vectorial cu dimV = n, atunci V ∼= Rn. Deaici avem ca orice enunt exprimabil ın limbaj de algebra liniara, care esteadevarat ın Rn, este adevarat si ın V .

3.3 Nucleul si imaginea unui operator liniar

Fie V,W R – spatii vectoriale si un operator T : V → W .

3.11 Definitie: Multimea kerT = {x ∈ V |T (x) = 0} se numeste nu-cleul operatorului T , iar multimea ImT = {ω ∈ W |∃x ∈ V, T (x) = ω} senumeste imaginea operatorului T.

3.12 Propozitie. kerT ∈ Sb(V ), ImT ∈ Sb(W ),∀T ∈ L(V,W ).


Demonstratie:Fie α, β ∈ R. Daca x, y ∈ kerT , atunci T (αx + βy) =αT (x)+βT (y) = α ·0+β ·0 = 0. Deci αx+βy ∈ kerT , adica kerT ∈ Sb(V ).

Fie acum u, v ∈ ImT. Atunci ∃x, y ∈ V astfel ıncat T (x) = u si T (y) = v.Rezulta αu+βv = αT (x)+βT (y) = T (αx+βy) ∈ ImT . Deci ImT ∈ Sb(V ).

3.13 Propozitie. Fie T ∈ L(V,W ). atunci : (a) T injectiv ⇔ kerT ={0} ; (b) Daca T injectiv, atunci V ∼= ImT . (c) Daca W = V , atuncikerT = {0} ⇔ T izomorfism.

Demonstratie:(a) ,,⇒” Fie x ∈ kerT ⇒ T (x) = 0(= T (0)) ⇒ x = 0.Deci ∀x ∈ kerT ⇒ x = 0. Rezulta kerT ⊂ {0} si cum {0} ⊂ kerT avemkerT = {0}.

,,⇐” Fie x, y ∈ V cu T (x) = T (y). Atunci T (x − y) = x − y ∈ kerT .Deci x − y ∈ {0}, i.e. x = y. Rezulta ca aplicatia T este injectiva .

(b) Consideram ϕ : V → ImT, ϕ(x) = T (x). Evident ϕ este bijectie siaplicatie liniara. Adica ϕ izomorfism de spatii vectoriale. Deci V ∼= ImT .

3.14 Definitie: Numarul r = dim(ImT ) se numeste rangul opera-torului T, iar numarul d = dim(kerT ) se numeste defectul operatoruluiT.

3.15 Propozitii. Fie T ∈ L(V,W ). Daca V este finit dimensionalatunci :

dimV = dim(kerT ) + dim(ImT ). (3.2)

Demonstratie: Fie n = dimV si d = dim(kerT ). Cum kerT ∈ Sb(V )rezulta d ≤ n.

Situatia 1. d = 0. Atunci kerT = {0} ⇔ ImT = V ⇒ dim ImT =dim V = n si deci n = d + r.

Situatia 2. d = n. Atunci kerT = V ⇔ ImT = {0} ⇒ r = 0 si decin = d + r.

Situatia 3. 0 < d < n. Fie B = {f1, f2, . . . , fd} o baza a lui kerT si B′ ={f1, . . . , fd, ed+1, . . . , en} o baza a lui V rezultata din ınlocuirea vectorilore1, . . . , ed ai unei baze E = {e1, . . . , ed, ed+1, . . . , en} lui V cu vectorii lui B.Afirmam ca F = {T (ed+1), . . . , T (en)} este o baza pentru ImT .

Aratam mai ıntai ca F este liniar independent. Fie λ1T (ed+1) + . . . +λn−dT (en) = 0. Atunci T (λ1ed+1 + . . . + λn−den) = 0, adica λ1ed+1 + . . . +λn−den ∈ kerT. Deci ∃δi, i = 1, d astfel ıncat λ1ed+1 + . . . + λn−den = δ1e1 +. . . + δden. Acum folsim liniar independenta bazei E si gasim ca λ1 = . . . =λn−d = o(= δ1 = . . . = δd). Rezulta ca multimea F este sistem de vectoriliniar independenta.

Aratam acum ca F este sistem de generatori pentru ImT . Fie atunci, ω ∈ImT . Deci ∃x ∈ V , ın baza B′, astfel ıncat ω = T (x). In baza B′ consideram

x = (α1, α2, . . . , αn), si avem x =d∑

i=1

αifi +n∑

i=d+1

βi`i, de unde rezulta ω =

3.3. Nucleul si imaginea unui operator liniar 55

d∑I=1

αiT (fi) +n∑

I=d+1

αiT (ei). De aici (deoarece, pentru ∀i = 1, d, fi ∈ B ⊂

kerT, T (fi) = 0) se gaseste ca ω =n∑

d+1

αiT (ei). Rezulta ca multimea F este

sistem de generatori.Prin urmare F ∈ b(ImT ) si avem ca dim(ImT ) = n − d. Deci, n =

d + (n − d) = d + r, ceea ce trebuia demonstrat.3.16 Observatie: Fie T ∈ L(V,W ) si V finit dimensional. Daca op-

eratorul T este bijectiv, atunci dimV = dimW. Intr-adevar: T injectiv⇔ kerT = {0} ⇔ dimV = dim(ImT ). T surjectiv ⇔ ImT = W ⇔dim(ImT ) = dimW. Rezulta dimV = dimW.

3.17 Exercitii: 1o. Sa se arate ca operatorul T : R3 → R3, T (x) =(x1−x2, x3,−x3), este liniar si sa se determine kerT, ImT, defectul si rangul.

Rezolvare. Evident ca T este operator liniar. Deoarece kerT = {x =(x1, x2, x3) ∈ R3|T (x) = 0}; avem succesiv

T (x) = 0 ⇔ (x1 − x2, x3,−x3) = 0 ⇒

x1 − x2 = 0x3 = 0−x3 = 0

⇒

x1 = αx2 = αx3 = 0

.

Deci, kerT = {(α, α, 0)|α ∈ R}.Pentru ca ImT = {y = (y1, y2, y3) ∈ R3|∃x = (x1, x2, x3) ∈ R3, T (x) =

y}, avem sistemul

x1 − x2 = y1

x3 = y2

−x3 = y3,cu necunoscutele x1, x2, x3, ce urmeaza

sa fie determinate ın functie de y1, y2, y3. Rangul acestui sistem este egal cu 2.

Atunci conditia de compatibilitate conduce la ∆car3 = 0 ⇔

∣∣∣∣∣∣−1 0 y1

0 1 y2

0 −1 y3

∣∣∣∣∣∣ =

0 ⇔ y3 = −y2. Deci, sistemul mentionat mai sus este compatibil pentruy = (α, β,−β) cu α, β ∈ R. Rezulta ImT = {(α, β,−β)|α, β,−β ∈ R}.

Defectul lui T este d = 1, deoarece dim(kerT ) = 1 (orice elementx ∈ kerT se scrie x = α(1, 1, 0), adica multimea B = {(1, 1, 0)} este obaza ın kerT , iar rangul lui T este r = 2, deoarece dim(ImT ) = 2 (oriceelement y ∈ ImT se scrie y = α(1, 0, 0) + β(0, 1,−1), adica multimeaB = {(1, 0, 0), (0, 1,−1)} este o baza pentru ImT ; altfel:dim(ImT ) =3 − dim(kerT ) = 3 − 1 = 2).

Remarca: Componentele y1, y2, y3, ale lui y, ce apar ın scrierea multimiiImT , sunt indepedente sau dependente, dupa cum apar sau nu conditii decompatibilitate pentru ecuatia vectoriala T (x) = y, cu necunoscutele scalarex1, x2, x3. Aceste conditii de compatibilitate conduc la legaturi ıntre y1, y2, y3

ceea ce face ca numarul parametrilor, ın functie de care se scrie ImT , sase micsoreze(numarul lor fiind, de fapt, egal cu rangul sistemului, adica cu


rangAT . Asa se face ca, ın scrierea multimii ImT apar doar doi parametri(adica 3-1=2).

2o. Acelasi enunt ca si mai sus, pentru aplicatia T : R3 → R3,a)T (x) = (x1 + x3, 2x1 + x2 + 2x3, 3x1 + x3)b)T (x) = (−x2 + 2x1 − 3x3, 2x3 − x1,−5x2 + x1)c)T (x) = (−x2 − x1,−x3, x3).

3.4 Matricea asociata unui operator liniar

Fie E = {e1, e2, . . . , en} ∈ b(Vn), F = {f1, f2, . . . , fm} ∈ b(Wm), T ∈ L(Vn,Wm)si consideram T (ej) = (a1j, a2j, . . . , amj), j = 1, n ın baza F .

3.18Definitie: Matricea, notata AT , ce are pe coloane coordonatele vec-torilor T (ej), j = 1, n ın baza F , se numeste matricea operatorului T ınbazele E si F .

Deci

AT =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 an2 ... amn

(3.3)

Prin urmare, matricea asociata operatorului T ın bazele E si F este aceamatrice cu care se ınmulteste matricea coloana a coordonatelor lui x ın bazaE , pentru a obtine matricea coloana a coordonatelor lui T (x) ın baza F .Pentru ca T ∈ L(Vn,Wm), rezulta AT ∈ Mmn(R).

Daca Wm = Vn, coordonateleluiT (x) sunt date ın baza E . In acest cazvom avea AT = AT (E), adica matricea operatorului T depinde doar de bazaE .

3.19 Lema. Pentru ∀E ∈ b(Vn) si ∀F ∈ b(Wm), ∃AT = AT (E ,F) ∈Mmn(R) astfel ıncat

T (x)F = AT xE ,∀x ∈ Vn. (3.4)

Demontratie: Fie x = (x1, . . . , xn) ın baza E . Atunci:

T (x) =n∑

j=1

xjT (ej) =n∑

j=1

xj

(m∑

i=1

aijfi

)=

m∑i=1

(n∑

j=1

aijxj

)fi

De aici se observa ca, ın baza F , T (x) = (y1, y2, . . . , ym), unde yi =

3.4. Matricea asociata unui operator liniar 57

n∑j=1

aijxj, ∀i = 1,m. Astfel rezulta

T (x)F =

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn

.........................................am1x1 + am2x2 + ... + amnxn

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

x1

x2...xm

= AT xE ·

Deci avem relatia (3.4)3.20 Exemplu: Fie operatorul T : R3 → R4, T (x) = (x1, x1 − x2, x2 +

2x3,−x1). Sa se determine matricea operatorului T ın bazele canonice E siF din R3 si respectiv R4.

Rezolvare: Se calculeaza vectorii T (e1) = (1, 1, 0,−1), T (e2) = (0,−1, 1, 0),T (e3) = (0, 0, 2, 0). Conform cu definita avem

AT =

1 0 01 −1 00 1 2−1 0 0

.

Pentru determinarea matricei AT , se pornste ca ın Lema 2.62, de la T (x)F

si avem succesivx1

x1 − x2

x2 + 2x3

−x1

=

1 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3

1 · x1 − 1 · x2 + 0 · x3

0 · x1 + 1 · x2 + 2 · x3

−1 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3

=

1 0 01 −1 00 1 2−1 0 0

x1

x2

x3

si deoarece T (x)F = AT xE , se obtine matricea AT .

•Legatura dintre operatiile cu operatori liniari si matricele asociate.Din cele de mai sus, se observa o corespondenta A : L(Vn,Wm) →

Mmn(R)L(Vn,Wm) 3 T → AT ∈ Mmn(R). (3.5)

Aceasta aplicatie (i.e. A(T ) = AT ,) este bine definita (deoarece coordo-natele unui vector ıntr-o baza data, sunt unice) si este bijectiva.

Fie T, T1, T2 ∈ L(Vn,Wm). Folosind operatiile cu functii si formula (3.4)se gaseste imediat ca:


a) (T1 + T2)(x) = (AT1 + AT2)x; (adunarea operatorilor)b) (αT )(x) = (αAT )x; ınmultirea cu scalari a operatorilor)Din aceste relatii rezulta ca aplicatia A definita mai sus, este operator

liniar i.e.A(T1+T2) = A(T1)+A(T2),∀T1, T2 ∈ L(Vn,Wmp). si A(λT ) = λA(T ), ∀T ∈

L(Vn, Wm), λ ∈ RDeci, A este izomorfism de spatii vectoriale si rezulta ca dim L(Vn,Wm)=

mn.c) Compunerea operatorilor: Daca T1 ∈ L(Um, Vn) si T2 ∈ L(Vn,Wp),

atunci T2 o T1 ∈ L(Um,Wp). Intr-adevar:Fie T1(x) = AT1x, T2(x) = AT2x. Atunci (T2 ◦ T1)(x) = T2(T1(x)) =

AT2 · T1(x) = (AT2 · AT1) · x. DeciT1 → AT1

T2 → AT2

)⇒ T2 ◦ T1 → AT2 · AT1 . Rezulta AT2◦T1 = AT2 · AT1 .

Si de aici A(T2 o T1) = A(T2)A(T1).(d) Inversarea operatorilor: T ∈ L(Vn,Wn) bijectie.

Deci T ◦ T−1 → In

dar T ◦ T−1 7→ AT · AT−1

)⇒ AT · AT−1 = In ⇒ AT−1 = (AT )−1 .

cum rezulta: A(T−1) = (A(T ))−1

•Modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.Fie T ∈ L(Vn,Wm), E si G ∈ b(Vn), F si H ∈ b(Wm), AT matricea lui T

ın bazele E si F , (adica AT = AT (E ,H)), BT matricea lui T ın bazele G siH, (adica BT = BT (G,F)). Notam cu C matricea de trecere de la baza E labaza G si cu D matricea de trecere de la F la H.

3.21 Lema. Cu notatiile de mai sus avem

BT = D−1AT C, (3.6)

iar daca Wm = Vn,BT = C−1AT C. (3.7)

Demonstratie. Pentru o mai usoara ıntelegere consideram schita

E qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq AT qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq F@

@@



¡¡

¡


qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqC


VnT qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq Wp


D

¡¡

¡

qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq


@@

@



G qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq BT qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq H

3.5. Valori si vectori proprii 59

Fie x ∈ Vn. Conform cu 2.62. avem , pe de o parte

T (x)H = BT xG = BT C−1xE = BT C−1xE

si pe de alta parte

T (x)H = D−1T (x)F = D−1(AT xE) = (D−1AT )xE

.Deci

(BT C−1)xE = (D−1AT )xE

si cum x a fost arbitrar ales, rezulta

BT C−1 = D−1AT

si de aici avem relatia (3.6).Daca Wm = Vn,(i.e.T ∈ L(Vn, Vn)) avem F = E si H = G. Atunci

matricea D = C este matricea de trecere de la baza E la baza G. Prinurmare rezulta relatia (3.7).

3.5 Valori si vectori proprii

Fie V /R - spatiu vectorial. Orice element T ∈ L(V, V ) se numeste endo-morfism al lui V. Multimea endomorfismelor lui V se noteaza cu End(V ).Deci End(V ) = L(V, V ).

3.22 Definitie: Un scalar λ ∈ R se numeste valoare proprie a opera-torului T , daca exista un vector x ∈ V, x 6= 0 astfel ıncat

T (x) = λx. (3.8)

Un vector x ∈ V, x 6= 0 ce satisface conditiile de sus se numeste vectorpropriu al operatorului T , corespunzator valorii proprii λ.

Notam cu σ (T ) multimea valorilor proprii ale lui T . Aceasta multime semai numeste si spectrul lui T si de aceea se mai noteaza si cu spectT .

3.23 Propozitie. Daca λ este valoare proprie a endomorfismului T ,atunci multimea Vλ = {x ∈ V |Tx = λx} ∈ Sb(V ).

Demonstratie: Fie α, β ∈ R si x, y ∈ Vλ.T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) =αλx + βλy = λ(αx + βy). Deci αx + βy ∈ Vλ, adica Vλ ∈ Sb(V ).

Subspatiul Vλ se numeste subspatiul propriu corespunzator valoriiproprii λ, iar numarul mλ = dim(Vλ) se numeste multipliucitatea geo-metrica a valorii proprii λ si o vom nata cu mg(λ). Analog vom notamultipliucitatea algebrica prin ma(λ).


Elementele multimii V ∗λ = Vλ \ {0}, sunt vectorii proprii corespunzatori

valorii proprii λ.Consideram acum, dimV = n. Fie E = {e1, . . . , en} o baza a lui V si

A matricea lui T ın baza E . Daca λ ∈ σ(T ), atunci pentru x 6= 0 avem:T (x) = λx ⇔ Ax = λx ⇔ (A − λIn)x = 0. Pentru ca x 6= 0 rezulta

det(A − λIn) = 0. (3.9)

Ecuatia (3.9) se numeste ecuatia caracteristica a operatorului T iarP (λ) = det (A − λIn) se numeste polinomul caracteristic al operatoruluiT . Ecuatia P (λ) = 0 nu are ıntotdeauna radacini reale (sau toate radacinilereale). In cazul cosiderat, ecuatia (1) este echivalenta cu ecuatia

(A − λIn)x = 0. (3.10)

De aici se observa ca vectorii proprii corespunzatori unei valori proprii λ,sunt solutiile nenule ale ecuatiei matriciale (2).

3.24 Propozitie. Polinomul caracteristic al unui endomorfism este in-variant la schimbarea bazei.

Demonstratie: Fie A matricea lui T ın baza E si B matricea lui T ınbaza G. Deci B = C−1AC,C fiind matricea de trecere de la E la G. Atuncidet(B−λI) = det(C−1AC−λC−1C) = det[C−1(A−λI)C] = detC−1 ·det(A−λI) · detC = det(A− λI). Deci expresia polinomului caracteristic P (λ) nu semodifica la schimbarea bazei.

3.25 Propozitie. La valori proprii distincte doua cate doua, corespundvectori proprii liniari independenti.

Demonstratie: Fie λ1, λ2, . . . , λp ∈ σ(T ), distincte doua cate doua six1, x2, . . . , xp vectori proprii corespunzatori. Deci T (xi) = λixi, i = 1, p.Vom arata prin inductie, ca vectorii x1, x2, . . . , xp sunt liniar independenti.Pentru aceasta consideram propozitia ,,P (j) : vectorii x1, x2, . . . , xj, suntliniari independenti ,j = 1, p.”

(a) pentru j = 1, x1 6= 0 ⇒ x1 este liniar independent;(b) pentru j = k, presupunem vectorii x1, . . . , xk liniar independenti (ip.

inductiva);(c) pentru j = k + 1, consideram relatia

α1x1 + α2x2 + . . . + αk+1xk+1 = 0. (3.11)

Aplicınd, acestei relatii, operatorul T se obtine:T (α1x1 +α2x2 + . . .+αk+1xk+1) = T (0) ⇔ α1T (x1)+ . . .+αk+1T (xk+1) =

0 ⇔ α1λ1x1 + . . . + αk+1λk+1xk+1 = 0.Relatia (3.11) ınmultita cu λk+1 o scadem din ultima relatie si obtinem:

3.5. Valori si vectori proprii 61

α1(λ1 − λk+1)x1 + . . . + αk(λk − λk+1)xk = 0(b)⇒αi(λi − λk+1) = 0, i = 1, k

si cum λi 6= λk+1,∀i = 1, k, rezulta αi = 0, i = 1, k. Iar din ceea ce ramane

avem ca , αk+1xk+1 = 0xk+1 6=0⇒ αk+1 = 0.

Prin urmare, vectorii x1, x2, . . . , xk+1 sunt liniari independenti si astfelteorema este demonstrata.

3.26 Definitie. Un operator liniar este diagonalizabil daca exista obaza ın care matricea sa, are o forma diagonala.

3.27 Exercitiu. Daca operatorul T are n vectori proprii liniari indepen-denti, atunci exista o baza ın care matricea asociata lui T este AT = (λiδij)i,j=1,n,adica are forma diagonala si pe diagonala are valorile proprii corespunzatoare.

Rezolvare. Fie ei, i = 1, n cei n vectori proprii ale lui T si λi, i = 1, nvalorile proprii corespunzatoare, fiecare fiind scrisa conform cu multiplici-tatea sa. Unei valoari proprii poate sa-i corespunda mai multi vectori pro-prii. Atunci avem T (ei) = λiei, i = 1, n. Multimea E = {e1, e2, ..., en}fiind liniar independenta, este o baza a lui Vn si ın aceasta baza avemT (e1) = (λ1, 0, ..., 0), T (e2) = (0, λ2, ..., 0), ..., T (en) = (0, 0, ..., λn) si astfelmatricea asociata lui T are forma:

λ1 0 ... ... 00 λ2 ... ... 0... ... ... ... ...0 0 ... ... λn

.

Astfel rezulta ceea ce trebuia demonstrat.Un rezultat mai general este dat de urmatoarea teorema:3.28 Teorema. Fie T ∈ End(Vn). Atunci avem:1). Endomorfismul T este diagonalizabil daca si daca σ(T ) este ın corpul

scalarilor lui Vn si pentru ∀λ ∈ σ(T ),mg(λ) = ma(λ);2). AT are pe diagonala pricipala valorile proprii, fiecare fiind luata core-

spunzator multiplicitatii sale algebrice.3.29 Exemple: Fie T : R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (x1+2x2+x3, x3,−x3).

Sa se determine: a) valorile si vectorii proprii corespunzatori lui T , b) subspa-tiile proprii corespunzatori si dimensiunile lor.

Rezolvare: Matricea asociata operatorului T este:

A =

1 2 10 0 10 0 −1

Valorile proprii le gasim rezolvand ecuatia caracteristica (3.9), adica det(A−

λI3) = 0.


Avem mai departe:

∣∣∣∣∣∣1 − λ 2 10 0 − λ 10 0 −1 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Calculand obtinem (1−λ)(−λ)(−1−λ) = 0, de unde gasim λ1 = −1, λ2 =0, λ3 = 1. Deci σ(T ) = { − 1, 0, 1}.

Pentru λ = −1, gasim vectorii proprii ca solutii ale sistemului (3.10).Deci

(A − λ1I3)x = 0 ⇔

1 − (−1) 2 10 0 − (−1) 10 0 −1 − (−1)

x1

x2

x3

=

0 ⇔

⇔{

2x1 + 2x2 + x3 = 0x2 + x3 = 0

⇒

x1 = 1

2m

x2 = −mx3 = m, m ∈ R∗.

(daca m = 0 ⇒ x = (x1, x2, x3) = 0). Deci Vλ=−1 = {12m, −m, m) |m ∈ R∗.}.

Analog gasim Vλ=0 = {(−2r, r, 0)|r ∈ R∗} si Vλ=1 = {(s, 0, 0)|s ∈ R∗}.Orice triplet de vectori (u1, u2, u3) cu ui ∈ Vλi

, i = 1, 3 este liniar inde-pendent. De exemplu, pentru m = 2 ⇒ u1 = (1,−2, 2); pentru r = −1 ⇒u2 = (2,−1, 0) si pentru s = 1 ⇒ u3 = (1, 0, 0), avem chiar ca {u1, u2, u3}este o baza (sunt liniar independenti si numarul lor = dimR3), a lui R3. Inraport cu aceasta baza, A are forma:

B =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

=

−1 0 00 0 00 0 1

Se observa ca B = C−1AC, unde C =

1 2 1−2 −1 02 0 0

(C are pe

coloane coordonatele vectorilor u1, u2, u3).Daca, de exemplu, σ(T ) = {λα1

1 , λα22 , λα3

3 }, si multiplicitatea geometrica= multiplicitatea algebrica, i.e. λ1 = −3, α1 = 1 = m1; λ2 = 2, α2 = 3 =m2; λ3 = −1, α3 = 2 = m3, atunci diagonala matricei A este (-3,3,3,3,-1,-1)

Daca multiplicitatea geometrica 6= multiplicitatea algebrica, atunci diag-onalizarea nu se mai poate face.

3.29 Exercitii:1). Fie T : R3 → R3, T (x) = (x1 − 3x2 − x3, x3,−x3).Sa se determine: a). kerf, d, Imf ; b).AT , σ(T ), V ∗

λ ,∀λ inσ(T ); c). Subspatiileproprii Vλ si dimensiunea geometrica mλ∀λ inσ(T ); d).O baza B ın care op-eratorul T este diagonalizabil si AT ın baza B.

2). Acelasi enunt ca mai sus pentru f ∈ end(R3), T (x) = (−x1−3x3, 3x1+2x2 + 3x3,−3x1 − x3).

Capitolul 4

Functionale liniare, Functionalebiliniare si Functionalepatratice

Fie V un R – spatiu vectorial.4.1 Definitie: Orice aplicatie G : V → R se numeste functionala.Nota: 1.Functionala este o functie definita pe un spatiu vectorial cu

valori ın corpul sa de scalari.2.Deoarece corpul scalarilor este un spatiu vectorial peste el ınsusi, rezulta

ca functionala este un caz particular de operator. De aceea tot ce s-a spus laoperatori, ramane adevarat si pentru functionale.

4.1 Functionale liniare

Functionala G se numeste functionala liniara daca:(a)∀x, y ∈ V,G(x + y) = G(x) + G(y);(b)∀x ∈ V si α ∈ R, G(αx) = αG(x).4.2 Observatii: Orice functionala este un operator definit pe V/R cu

valori ın R/R. Fiind un caz particular de operator, rezultatele prezentatepentru operatori raman valabile si pentru functionale. De exemplu, vezi2.47.

4.3 Propozitie: Pentru orice baza E a lui V, exista si este unica omatrice A ∈ M1n(R) astfel ıncat

G(x) = A · xE . (4.1)

Demonstratie. Consideram ca ın baza E = {e1, . . . , en}, x = (x1, . . . , xn).

Din x =n∑

i=1

xiei, rezulta G(x) =n∑

i=1

xiG(ei). Notam ai = G(ei), i = 1, n,

63

64 Capitolul 4. Functionale liniare, Functionale biliniare si Functionale patratice

si obtinem expresia algebrica G(x) =n∑

i=1

aixi si apoi expresia matriciala:

G(x) = A · xE , unde A = (a1, a2, . . . , an). Deci, ıntr-o baza data, ∀G ∈L(Vn, R) i se asociaza o unica matrice A ∈ M1n(R).

Matricea A, definita mai sus, se numeste matricea asociata functio-nalei G ın baza E .

4.4 Definitie: Multimea V ∗ = L(Vn, R) se numeste spatiul dual al luiV .

4.5 Propozitie. In raport cu adunarea functionalelor si ınmultirea lorcu scalari, V ∗ este un spatiu vectorial de aceeasi dimensiune ca si V .

Demonstratie: Evident ca V ∗ este spatiu vectorial. Ramane sa aratamca dimV ∗ = dimV .

Fie E = {e1, e2, . . . , en} ∈ b(V ). Pentru i = 1, n consiuderam pri : V →R, pri(x) = xi. Aceste aplicatii se numesc proectii(pri, i = 1, n duce ∀x ∈ Vın coordonata sa de pe locul i). Ele sunt functionale linare si deci apartin luiV ∗. Afirmam ca multimea acestor n proectii, adica E∗ = {pr1, pr2, . . . , prn}

este o baza a lui V ∗. Se observa ca pri(ej) =

{1 i = j0 i 6= j

(= δij)

(a)E∗ sistem de generatori: Fie G ∈ V ∗ cu matricea asociata (ai)i=1,n six = (x1, . . . , xn) ∈ V arbitrar. Atunci:

x =n∑

i=1

xiei si G(x) =n∑

i=1

xiG(ei) =n∑

i=1

xiai =n∑

i=1

aipri(x) =

(n∑

i=1

aipri

)(x).

Cum x este oarecare, rezulta G =n∑

i=1

aipri, adica E∗ este sistem de gen-

eratori.

(b)E∗ liniar independent. Fie αi ∈ R, i = 1, n sin∑1

αipri = 0. Atunci(n∑1

αipri

)(x) = 0, ∀x ∈ V ⇔

n∑i=1

αipri(x) = 0, ∀x ∈ V. Pentru x = ej, j =

1, n arbitrar fixat, rezulta ca αj = 0. Cum j a fost oarecare, rezulta caαj = 0, j = 1, n.

Deci E∗ liniar independent. Rezulta ca E∗ ∈ b(V ∗), adica dimV ∗ = n.

4.2 Functionale biliniare

Fie V si W doua R spatii vectoriale. Se arata fara dificultate ca U × Veste spatiu vectorial peste R.

4.6 Definitie: Functionala G : V × W → R se numeste functionalabiliniara daca este liniara ın ambele argumente, adica:

(a)∀x, x′ ∈ V, ∀y ∈ W,G(x + x′, y) = G(x, y) + G(x′y);

4.2. Functionale biliniare 65

(b)∀x ∈ V, ∀y ∈ W, ∀)α ∈ R, G(αx, y) = αG(x, y);

(c)∀x ∈ V, ∀y, y′ ∈ W,G(x, y + y′) = G(x, y) + G(x, y′);

(d)∀x ∈ V, ∀y ∈ W,∀α ∈ R, G(x, αy) = αG(x, y).

4.7 Observatii: 1).(a)+ (b) spune ca G este liniara ın primul argument,iar (c) + (d) spune ca G este liniara ın al doilea argument.

2). Daca W = V spunem ca G este functionala biliniara pe V .

4.8 Propozitie. Functionala G este biliniara daca si numai daca ∀x, x′ ∈V, ∀y, y′ ∈ W, ∀α, β ∈ R, avem:

G(αx+α′x′, βy+β′y′) = αβG(x, y)+αβ′G(x, y′)+α′βG(x′, y)+α′β′G(x′, y′)

Demonstratie: ” ⇒ ” G(αx + α′x′, βy + β′y′)(a)=

= G(αx, βy+β′y′)+G(α′x′, βy+β′y′)(c)= G(αx, βy)+G(αx, β′y′)+G(α′x′, βy)+

+G(α′x′, β′y′)(b)= αG(x, βy) + αG(x, β′y′) + α′G(x′, βy) + α′G(x′, β′y′)

(d)=

= αβG(x, y) + αβ′G(x, y′) + α′βG(x′, y) + α′β′G(x′, y′).

”⇐”. In formula (10), se dau scalarilor α, α′, β, β′ valori potrivite pentrua obtine relatiile (a), (b), (c) si (d).

4.9 Exemplu: Sa se cerceteze daca aplicatia G : R2 × R3 → Rdefinita prin G(x, y) = x1y1 − 2x2y2 − 3x1y3,∀x = (x1x2) ∈ R2 si ∀y =(y1, y2, y3) ∈ R3, este functionala biliniara (se foloseste Definitia 2.76 sauPropozitia 2.78).

• Matricea asociata unei functionale biliniare. Fie acum Vm siWn,R spatii vectoriale, E = {e1, . . . , em} ∈ b(Vm) si F = {f1, . . . , fm} ∈b(Wn).

4.10 Definitie: Matricea AG = (aij)i=1,m

j=1,n

,∈ Mmn, aij = G(ei, fj), se

numeste matricea asociata functionalei biliniare G ın bazele E si F .

4.11 Teorema: Cu notatiile de mai sus avem ca ∃A ∈ Mmn astfel ıncat

G(x, y) = txEAyF . (4.2)

Demonstratie. Consideram x = (x1 . . . , xm) ∈ Vm si y = (y1, . . . yn) ∈ Wn

si folosind (10), avem:

G(x, y) = G

(m∑1

xiei,n∑1

yjfj

)=

m∑1

n∑1

G(ei, fj)xiyj

Folosim Definitia 4.10 si obtinem expresia algebrica a functionalei biliniareG. Deci

G(x, y) =m∑1

n∑1

aijxiyj, (4.3)

sau


G(x, y) = (x1, ..., xm)

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

y1

y2

::

yn

= txEAGyF ,

unde xE si yF sunt respectiv matricile coloana ale coordonatelor lui x si y ınbazele E si F , iar AG = (aij)i=1,m

j=1,n

. Relatia (4.2) reprezinta expresia matriciala

a functionalei biliniare G. 4.12 Exemplu: Fie G : R2 ×R3 → R, G(x, y) =x1y2 + x2y3 si E = {e1 = (1, 0), e2 = (1, 1)} si F = {f1 = (1, 1, 0), f2 =(1, 0, 1), f3 = (0, 1, 1)} baze ın R2/R si respectiv ın R3/R. Sa se determinematricea asociata lui G ın cele doua baze.

Rezolvare. Folosind Definitia 2.79 avem:

a11 = G(e1,f1) = 1 · 1 + 0 · 0 = 1a12 = G(e1,f2) = 1 · 0 + 0 · 1 = 0a13 = G(e1,f3) = 1 · 1 + 0 · 1 = 1

a21 = G(e2,f1) = 1 · 1 + 1 · 0 = 1a22 = G(e2,f2) = 1 · 0 + 1 · 1 = 1a23 = G(e2,f3) = 1 · 1 + 1 · 1 = 2

si astfel se obtine matricea: A =

(1 0 11 1 2

).

• Modificarea matricei functionalei biliniare la schimbarea baze-lor. Fie E1 si F1 alte doua baze ın Vm, respectiv Wn. Consideram C si Dmatricile de trecere de la E la E1 si respectiv F la F1.

In contextul notatiilor de mai sus, consideram schita

E qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq AT qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq F@

@@



¡¡

¡


qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqC


Vn × Wp


DG qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq R

¡¡

¡



@@

@



G qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq BT qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq H

4.13 Propozitie. In contextul notatiilor de mai sus avem

BG = tCAGD. (4.4)

unde AG si BG sunt matricelr lui G ın bazele E siF , respectiv E1 siF1.Demonstratie:Pentru x ∈ Vm si y ∈ Wn, conform cu (2) avem: xE = CxE1

si yF = DyF1 . Pe de o parte avem

G(x, y) = txEAGyF = t(CxE‘1)A(DyF1) =t xE1

(tCAD

)yF1 ,

iar pe de alta parteG(x, y) = txE1

BGyF1 .

4.3. Functionale patratice 67

Cum matricea lui G ın bazele E1 siF1 este unica, rezulta ceea ce trebuiademonstrat.

4.14 Definitie: O functionala biliniara G : Vn×Vn → R este simetricadaca G(x, y) = G(y, x),∀)x, y ∈ Vn.

4.15 Propozitie. Fie G : Vn × Vn → R functionala biliniara. Atunci Geste simetrica daca si numai daca AG este simetrica.

Demonstratie: ,,⇒“ Daca AG = (aij)i=1,m

j=1,n

, atunci aij = G(ei, ej) =

G(ej, ei) = aji. Deci AG este simetrica.′′ ⇐′′ Folosind (4.3) avem:

G(x, y) =m∑

i=1

n∑j=1

aijxiyj =n∑

j=1

m∑i=1

ajiyjxi = G(y, x).

Pentru cea de a doua implicatie,(ca exercitiu) sa se refaca demonstratiafolosind relatia (4.2).

4.16 Exemple: 1˚. G : R2 × R2 → R, G(x, y) = x1y1 + x2y2 estefunctionala biliniara simetrica. 2˚. Functionala din 2.80, 2˚ nu este simet-rica.

4.17 Definitie: Fie V/R – spatiu vectorial. Spunem ca functionalabiliniara G : V × V → R este: 1)

pozitiv definita daca ∀x ∈ V − {0}, G(x, x) > 0;2) semipozitiv definita daca ∀x ∈ V,G(x, x) ≥ 0;3) negativ definita daca ∀x ∈ V − {0}, G(x, x) < 0;4) seminegativ definita daca ∀x ∈ V,G(x, x) ≤ 0;5) nedefinita daca ∃x, y ∈ V astfel ıncat G(x, x) · G(y, y) < 0.3˚.Functionala g : V × V → R, g(x, y) = 1/2[G(x, y) + G(y, x)] este

functionala biliniara simetrica, oricare ar fi G(x, y), G : V ×V → R, functionalabiliniara.

4.3 Functionale patratice

4.3.1 Definitii si proprietati imediate

Fie V/R spatiu vectorial si G : V ×V → R o functionala biliniara si simetrica.4.18 Definitie: Aplicatia q : V → R, q(x) = G(x, x), ∀x ∈ V se

numeste functionala patratica (asociata lui G), iar functionala biliniaraG se numeste functionala polara (sau polara) a functionalei patraticeq. In loc de functionala patratica se mai spune forma patratica .

Daca E = {e1, . . . , en} ∈ b(Vn), atunci A = (aij = G(ei, ej))i,j=1,n estematricea asociata functionalei patratice q ın baza E . Din Definitia 4.18 si


relatia (4.3) rezulta ca

q(x) =n∑

i,j=1

aijxixj, (4.5)

Numarul r = rang(A) se numeste rangul functionalei patratice q. Ofunctionala patratica este degenerata sau nedegenerata , dupa cum r <n sau r = n.

4.19 Observatii:1) q = G|∆ , ∆ = {(x, x)|x ∈ V }.2) Daca se cunoaste functionala patratica q, atunci

G(x, y) =1

2[q(x + y) − q(x) − q(y)]. (4.6)

(Rezulta imediat tinand seama ca G(x + y, x + y) = G(x, x) + G(x, y) +G(y, x) + G(y, y).

2)Daca ın baza E , x = (x1, x2, . . . , xn) si deoarece matricea A este simet-rica, atunci functionala patratica se poate scrie astfel:

q(x) = a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 2a1nx1xn+

+a22x22 + 2a23x2x3 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 2a2nx2xn+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+ajjx

2j + 2ajj+1xjxj+1 + . . . . . . . . . + 2ajnxjxn+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .+annx

2n = txEAxE .

unde xE este matricea coloana a coordonatelor lui x in baza E . Daca notam:

Sj = ajjx2j + 2

n∑k=j+1

ajkxjxk , j = 1, n, atunci

q(x) =n∑

j=1

Sj. (4.7)

3)Daca E , E ′ ∈ b(Vn) si C este matricea de trecere de la baza E labaza E ′, atunci in baza E ′, q(x) = txE ′BxE ′ , unde B = tCAC, si txE ′ =(x′

1, x′2, . . . , x

′n). Deci prin trecerea la o alta baza, matricea asociata lui q, cat

si coordonatele lui x, se modifica. Ca exemplu ın acest sens avem urmatorulrezultat.

4.20 Lema: . Pentru orice functionala patratica q(x) cu matricea aso-ciata A = (aij), i, j = 1, n, exista o baza B ın care a11 6= 0.

Demonstratie: Fie E = {e1, . . . , en} ∈ b(Vn) baza ın care q(x) are expresia(4.5). Daca a11 = 0, dar ∃i0 astfel ıncat ai0i0 6= 0, consideram baza F ={f1, . . . , fn} data prin f1 = ei0 , fi0 = e1 si fi = ei, ∀, i = 2, n, i 6= i0. In baza


F avem a′11 = G(f1, f1) = G(ei0 , ei0) = ai0i0 6= 0. Consideram acum situatia

contrara, i.e. a11 = 0,∀, i = 1, n. Deoarece nu avem q(x) ≡ 0,∃i0, j0 ∈{1, . . . , n}, astfel ıncat ai0j0 6= 0. Vom lua baza F astfel f1 = ei0 +ej0 , fi0 = e1

si fi = ei,∀, i = 2, n, i 6= i0. In aceasta baza avem a′11 = G(f1, f1) =

G(ei0 + ej0 , ei0 + ej0))) = 2G(ei0 , ei0) = 2ai0j0 6= 0.4.21 Teorema: Fie functionala patratica q(x), q : Vn → R cu r =

rang(q) si E ∈ b(Vn). Atunci ∃B ∈ b(Vn) astfel ıncat xB =t (ξ1, ξ2, . . . , ξn) si

q(x) = α1ξ21 + α2ξ

22 + . . . + αrξ

2r , (4.8)

n − r dintre coeficientii αi ∈ R, i = 1, n sunt zero.Demonstratie: Fie E = {e1, e2, . . . , en} ) ın care a11 6= 0 si x = (x1, x2,

. . . , xn) ∈ Vn . Din (13‘) rezulta ca Sj contine toti termenii cu xj, j =1, n. Adunam la S1, daca este nevoie, o expresie S1’ astfel ıncat S1 + S ′

1 =

a11

(x1 +

n∑j=2

aij

a11xj

)2

. Rezulta ca q(x) = a11

(x1 +

n∑j=2

a1j

a11xj

)2

+ q1(x) unde

q1(x) = q(x) − S1 − S1’ nu contine termeni cu x1.Acum facem transformarea:

ξ1 = x1 +n∑

j=2

a1j

a11xj

y2 = x2

..................yn = xn

⇔ (4.9)

ξ1

y2

...yn

=

1 a12

a11

a13

a11... a1n

a11

0 1 0 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1

x1

x2

...xn

Prin transformarea de coordonate (4.9) se trece de la baza E la o alta baza

E1, ın care noile coordonate ale lui x sunt x = (xi1, y2, . . . , yn). Matricea detrecere de la E la E1 este:

T01 =

1 a12

a11

a12

a11... a12

a11

0 1 0 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1

−1

cu det(T01) = 1. Astfel ın baza E1, q(x) = a11ξ21 + q1(x), cu q1(x) = a1

22y22 +

a123y2y3 + . . . + a1

nny2n. Se repeta rationamentul de mai sus pentru q1(x) si se

obtine q2(x) ın care componentele x1 si x2 nu apar. In concluzie, dupa cel


mult n - 1 pasi, obtinem o baza {f1, f2, . . . , fn} ın Vn, fata de care functionalapatratica are forma canonica (4.1).

4.22 Definitie: Membrul stang al relatiei (4.8) se numeste expresiecanonica a functionalei patratice q corespunzatoare bazei B, care se numestebaza canonica a functionalei patratice q.

Din cele de mai sus rezulta ca unei functionale patratice poate sa-i core-spunda mai multe baze canonice, cu alte cuvinte, expresia canonica a uneifunctionale patratice nu este unica.

In loc de expresie canonica se mai spune si forma canonica (sauforma patratica). Matricea asociata lui q cu expresia canonica (4.8)este A = (αiδij), i, j = 1, n, adica este o matrice diagonala, ın care ultimilen − r elemente ale diagonalei principale sunt zero. Din acest motiv putemspune ca baza ın care matricea lui q are forma diagonala se numeste bazacanonica pentru q, iar forma patratica a luiq ın aceasta baza se numesteforma canonica a lui q.

4.23 Definitie: Tripletul (p+, p−, p0), ın care p+ = numarul coeficientilorstrict mai mari ca zero, p− = numarul coeficientilor strict mai mici ca zero,sicu p0 = numarul coeficientilor egali cu zero (p0 = n − (p+ + p−)), din (4.8)se numeste signatura functionalei patratice q.

Prezentam, fara demonstratie, urmatoarea

4.24 Teorema (legea inertiei) : Signatura unei functionale patratice esteinvarianta la schimbarea bazei canonice.

4.25 Definitie: O functionala patratica q : Vn → R este: 1)pozitiv(negativ) definita daca q(x) > 0(q(x) < 0),∀x ∈ Vn \ {0}; 2)semipozitiv(seminegativ) definita daca q(x) ≥ 0(q(x) ≤ 0),∀x ∈ Vn; 3)nedefinitadaca ∃x, x′ ∈ Vn astfel ıncat q(x) > 0 si q(x′) < 0.

Din cele de mai sus rezulta ca daca q(x) = α1ξ21 +α2ξ

22 + . . .+αrξ

2r , atunci

ea este:

(a’) pozitiv (negativ) definita daca αi > 0(αi < 0)∀i = 1, r,

(b’) semipozitiv (seminegativ) definita daca αi ≥ 0(αi ≤ 0)∀i = 1, r.

Folosind minorii principali ∆k, k = 1, n, ai matricei asociate unei functio-nale patratice, obtinem o conditie necesara si suficienta ca functionala patrati-ca sa fie pozitiv (negativ) definita. Astfel avem:

4.26 Teorema. (Criteriul lui Sylvester). Cu notatiile de mai sus avem:

(a)q este pozitiv definita daca si numai daca ∆k > 0, ∀ k = 1, n ;

(b)q este negativ definita daca si numai daca ∆∗k > 0, ∀k = 1, n, unde ∆∗

k =(−1)k∆k.


4.3.2 Reducerea unei functionale patratice la formacanonica

Daca q : Vn → R este o functionala patratica pe Vn, atunci exista o baza ınVn, fata de care q(x) are forma canonica.

•Metode de reducere la forma canonica.Metoda I (Metoda lui Gauss)Teorema lui Gauss din sectiunea anterioara, pune ın evidenta faptul ca

pentru obtine o forma canonica pentru q(x), se poate proceda ,pur si simplu,ca ın demonstratia teoremei pentru formarea patratelor sau se transformamatricea sa dupa metoda eliminarii incomplete.

4.27 Exemple. 1. Sa se scrie sub forma canonica urmatoarea functionalapatratica:q(x) = 2x2

1 − 4x1x2 + 3x22 − 6x1x3 + 10x2x3 − x2

3

Rezolvare: Varianta I de calcul

q(x) = 2x21− 4x1x2 − 6x1x3

+3x22 + 10x2x3

−x23

∣∣∣∣∣∣= S1

= S2

= S3

; A =

2 −2 −3−2 3 5−3 5 −1

⇒

⇒ q(x) = 2(x1 − x2 − 32x3)

2 + 4x2x3 + x22 − 11

2x2

3.Rezulta q1(x) = 4x2x3 + x2

2 − 112x2

3, si avem:

q1(x) = x22 + 4x2x3

−112x2

3

∣∣∣∣∣ = S(1)1

= S(1)2

; A(1) =

(1 22 −11

2

);

q1(x) = [1](x2 + 2x3)2 +

[−19

2

]x2

3.Pentru ca aceasta ultima forma este suma de patrate, algoritmul se opreste

aici. Deci q(x) = [2](x1 − x2 − 32x3)

2 + [1](x2 + 2x3)2 +

[−19

2

]x2

3

Facem notatia:

ξ1 = x1 − x2 − 32x3

ξ2 = x2 + 2x3

ξ3 = x3

⇔

ξ1

ξ2

ξ3

=

1 −1 −32

0 1 20 0 1

x1

x2

x3

.

Pentru ca txE = (x1, x2, x3) si txB = (ξ1, ξ2, ξ3), rezulta ca matricea detrecere de la baza E la baza B este:

C =

1 −1 −32

0 1 20 0 1

−1

Vectorii bazei B vor fi dati de coloanele acestei matrici.Varianta II de calcul. Aceasta consta ın a aplica metoda de eliminare

incompleta matricei asociate formei patratice.


A=

[2] −2 −3−2 3 5−3 5 −1

→

1 −1 −32

0 [1] 20 2 −11

2

→

1 −1 −32

0 1 20 0

[−19

2

] → 1 −1 −3

2

0 1 20 0 1

= C−1

2. Sa se scrie sub forma canonica urmatoarea functionala patratica:q(x) = 2x2

1 − 5x22 + 4x1x3 − 4x1x4 + 6x2x3 − 8x3x4.

Vom aplica varianta II.

A =

[2] 0 2 −20 −5 3 02 3 0 −4−2 0 −4 0

→

1 0 1 −10 [−5] 3 00 3 −2 −20 0 −2 −2

→

1 0 1 −10 1 −3

50

0 0[−1

5

]−2

0 0 −2 −2

→

→

1 0 1 −10 1 −3

50

0 0 1 100 0 0 [18]

→

1 0 1 −10 1 −3

50

0 0 1 100 0 0 1

︸︷︷︸

C1

.

Din cele de mai sus avemξ1

ξ2

ξ3

ξ4

=

1 0 1 −10 1 −3

50

0 0 1 100 0 0 1

x1

x2

x3

x4

⇒

ξ1 = x1 + x3 − x4

ξ2 = x2 − 35x3

ξ3 = x3 + 10x4

ξ4 = x4

.

Deci:

q(x) = [2](x1 + x3 − x4)2 + [−5](x2 − 3

5x3)

2 +[−1

5

](x3 + 10x4)

2 + [18]x24.

3. Sa se gaseasca forma canonica pentru umatoarea functionala patratica:q(x) = x1x2 − 2x1x3 + 4x2x3 .

Aici avem aii = 0,∀i = 1, 3, si facem schimbarea:x1 = y1 − y2

x2 = y1 + y2

x3 = y3.In baza corespunzatoare acestei transformari, q(x) =


y21 − y2

2 + 2y1y3 + 6y2y3 si avem A =

1 0 10 −1 31 3 0

→

→

1 0 10 −1 30 3 −1

→

1 0 10 1 −30 0 8

→

1 0 10 1 −30 0 1

= C−1 ⇒

⇒

ξ1

ξ2

ξ3

=

1 0 10 1 −30 0 1

y1

y2

y3

⇒

ξ1 = y1 + y3

ξ2 = y2 − 3y3

ξ3 = y3

Deci q(x) = [1] ξ21 + [-1] ξ2

2 + [8] ξ23 = (y1 + y3)

2− (y2− 3 y3)2 +

9y23 = 1

4(x1 + + x2 + 2x3)

2 − 14(−x1 + x2− 6x3)

2 +9x23.

Metoda II (Metoda lui Jacobi)Fie A = (aij) matricea asociata functionalei patratice q : Vn → R, ıntr-o

baza B a lui Vn si (∆i)i=1,n determinantii principali ai lui A. Prezentam farademonstratie teorema pe care se bazeaza metoda lui Jacobi.

4.28 Teorema. Daca ∆i 6= 0, (∀)i = 1, n, atunci exista o baza a lui Vn,ın care q(x) are urmatoarea expresie canonica :

q(x) =n∑

i=1

∆i

∆i−1

ξ2i , x = (ξ1, . . . , ξn), ∆0 = 1. (4.10)

4.29 Exemplu. Folosind metoda lui Jacobi sa se determine forma canonicaa functionalei patratice:q(x) = 2x2

1− 4x1x2 + 3x22− 6x1x3 + 10x2x3− x2

3.Matricea asociata este:

A =

2 −2 −3−2 3 5−3 5 −1

⇒ ∆0 = 1∆1 = |2| = 2

; ∆2 =

∣∣∣∣ 2 −2−2 3

∣∣∣∣ = 2;

∆3 =

∣∣∣∣∣∣2 −2 −3−2 3 5−3 5 −1

∣∣∣∣∣∣ = −19.

Rezulta: q(x) = ∆1

∆0ξ21 + ∆2

∆1ξ22 + ∆3

∆2ξ23 = 2

1ξ21 + ξ2

2 − 192ξ23 .

Metoda lui Jacobi are dezavantajul ca nu ne da ın aceasta faza expresiilelui ξ1, ξ2 si ξ3 care se pot gasi, dar mai complicat. Acesti ξ sunt aceiasi cucei de la Metoda lui Gauss.

Capitolul 5

Spatii vectoriale euclidiene

5.1 Definitii si exemple

Fie V/R - spatiu vectorial.5.1 Definitie: Aplicatia 〈, 〉 : V × V −→ R

V × V 3 (x, y) → 〈x, y〉 ∈ R,∀x, y ∈ V,

se numeste produs scalar pe V (notatia 〈x, y〉, se citeste produsul scalar allui x cu y) daca:

(a) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀ x ∈ V si 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0; (pozitivitate)(b) 〈x,y〉 = 〈y,x〉, (∀) x, y ∈ V; (simetria)(c) 〈x + x’,y〉 = 〈x,y〉 + 〈x’,y〉∀ x, x’, y∈ V(d) 〈αx,y〉 = α〈x,y〉(∀)α ∈R, x, y ∈ V,Conditiile (c)+(d) reprezinta liniaritatea ın prima variabila.5.2 Exercitii: 1˚ Produsul scalar este liniar si ın variabila a doua.2˚ Daca x = 0 sau y = 0, atunci 〈x, y〉 = 0.3˚ Aratati ca aplicatia definita prin

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, (5.1)

este un produs scalar pe Rn.

4˚Aratati ca aplicatia definita prin 〈f, g〉 =b∫

a

f(x)g(x)dx, f, g ∈ C[a,b] =

{f : [a, b] → R|fcontinua}, este un produs scalar pe C[a,b].Din Definitia 2.100 si din exercitiul 1˚ rezulta ca produsul scalar este o

functionala biliniara, semipozitiv definita si simetrica.

75

76 Capitolul 5. Spatii vectoriale euclidiene

5.3 Definitie: Un spatiu vectorial V/R pe care s-a definit un produsscalar se numeste spatiu prehilbertian real. Un spatiu prehilbertianreal se mai numeste si spatiu euclidian real. Deoarece, ın aceastalucrare corpul scalarilor este R ˆın loc de , ,euclidian rea l“, vom spunedoar , ,euclidian“.

5.4 Exemple: 1˚ Rn, cu produsul scalar definit ın exercitiul 3˚, esteun spatiu euclidian.

2˚ C[a,b], cu produsul scalar definit ın exercitiul 4˚, este un spatiu euclid-ian.

5.5 Propozitie. In orice spatiu euclidian V , are loc inegalitatea:

〈x, y〉2 ≤ 〈x, x〉 · 〈y, y〉,∀x, y ∈ V. (5.2)

numita inegalitatea lui Cauchy -Buniakovski - Schwarz.Demonstratie. Daca x = 0 sau y = 0 inegalitatea este evidenta, caci avem

0 ≤ 0. Daca x, y ∈ V \ 0, consideram functia g :R →R, g(t)= 〈x-ty,x-ty〉.Pe de o parte se observa ca g(t) ≥ 0 (∀) t ∈ R si pe de alta parte g(t)= 〈y,y〉 t2− 2〈x,y〉 t + 〈x,x〉 este o functie polinomiala gradul doi. Deci∆ = 〈x,y〉2 − 〈x,x〉 · 〈y,y〉 ≤ 0 (∆ este discriminantul redus al ecuatiei g(t) =0). Si astfel inegalitatea este demonstrata.

5.6 Observatii: 1˚. Inegalitatea lui Cauchy - Buniakovski - Schwarz semai scrie si sub forma:

|〈x, y〉| ≤√〈x, x〉〈y, y〉. (5.3)

2˚. Inegalitatea (5.3) devine egalitate daca si numai daca x, y sunt liniaridependenti. Intr-adevar, fiind egalitate avem 〈x, y〉2 = 〈x, x〉 · 〈y, y〉. In acestcaz ecuatia 〈y, y〉λ2 − 2〈x, y〉λ + 〈x, x〉 = 0 cu necunoscuta λ, are solutieunica (deooarece discriminantul sau este zero). Deci ∃!λ ∈ R astfel ıncat〈λx−y, λx−y〉 = 0, adica ∃!λ ∈ R astfel ıncat y = λx. Prin urmare vectoriix si y sunt liniari dependenti.

Pentru afirmatia reciproca se inverseaza implicatiile de la afirmatia di-recta.

3˚. Daca V = Rn, atunci (19) are forma:(n∑

i=1

xiyi

)2

≤

(n∑

i=1

x2i

)(n∑

i=1

y2i

)(5.4)

4˚. Pentru 2.102 ,2˚, (19) devine b∫a

f(x) g(x) dx

2

≤b∫

a

f(x) dx ·b∫

a

g(x) dx (5.5)

5.2. Ortogonalitate 77

5.2 Ortogonalitate

5.7 Definitie. Fie V/R spatiu vectorial. O aplicatie N : V → R cuproprietatile

(n1)N(x) ≥ 0∀x ∈ V si N(x) = 0 ⇔ x = 0;(n2)N(αx) = |α|N(x),∀α ∈ R si x ∈ V ;(n3)N(x+ y) ≤ N(x)+N(y),∀x, y ∈ V. se numeste norma pe V , iar un

spatiu vectorial dotat cu o norma se numeste spatiu vectorial normat.De regula, norma N(x) a elementului x ∈ V se noteaza prin ||x||. Norma

unui element x ∈ V (i.e. N(x) sau ||x||) se mai numeste si lungimea vec-torului x.

5.8 Propozitie. Fie V un spatiu euclidian. Atunci aplicatia N : V →R, definita prin N(x) =

√〈x, x〉 este o norma pe V .

Demonstratie. (n1) Rezulta din Definitia 2.100. (a).(n2) Fie α ∈ R si x ∈ V . Atunci

N(αx) =√〈αx, αx〉 =

√α2〈x, x〉 = |α|

√〈x, x〉 = |α|N(x).

(n3) Fie x, y ∈ V. (N(x + y))2 = 〈x + y, x + y〉 = 〈x, x〉 + 〈y, y〉 + 2 〈 x, y 〉 ≤(N(x))2 + (N (y))2 + 2N(x) · N(y) = (N(x) + N(y))2.

Deci N(x + y) ≤ N(x) + N(y) si astfel demonstratia este terminata.Norma precizata ın Propozitia 5.8 este o norma indusa de produsul

scalar si se numeste norma euclidiana .Notınd ||x|| =

√〈x, x〉, relatia (5.3) se mai scrie

|〈x, y〉| ≤ ||x||||y||. (5.6)

Din (n1) si (n2) rezulta ca orice x ∈ V se poate scrie sub forma x = ||x||λunde x0 ∈ V cu ||x0|| = 1.

Orice vector x ∈ V cu ||x|| = 1 se numeste vector unitar sau versor .Versorul vectorului x ∈ V − {0} este x0 = 1

||x|| · x.

Din (5.6), se gaseste ca

−1 ≤ 〈x, y〉||x|| ||y||

≤ 1,∀x, y ∈ V \ {0}.

Aceasta dubla inegalitate face posibila definitia urmatoare.5.9 Definitie. Fie V/R un spatiu euclidian si x, y ∈ V − {0}. Numarul

θ ∈ [0, π] definit de egalitatea

cos θ =〈x, y〉

||x|| ||y||(5.7)


se numeste unghiul dintre vectorii x si y .5.10 Definitie. Fie V un spatiu euclidian. Doi vectori x, y ∈ V se

numesc ortogonali si notam x ⊥ y, daca 〈x, y〉 = 0. O submultime S⊂V senumeste ortogonala (mutual ortogonala) daca 〈x, y〉 = 0, ∀x, y ∈ S cux 6= y(i.e. orice doi vectori diferiti din S sunt ortogonali, daca produsul lorscalar este 0).

O multime ortogonala S ⊂ V \ {0}, se numeste ortonormata (sauortonormala), daca orice element al sau este versor (i.e. orice element alsau are norma egala cu 1 ).

5.11 Exercitiu. Daca un sistem de vectori S ⊂ V spatiu euclidian, esteliniar independent atunci 〈x, x〉 = 0∀x ∈ S.

Rezolvare. Daca S este liniar independent, atunci x 6= 0,∀x ∈ S.5.12 Teorema. Fie V/R spatiu euclidian. Atunci avem: (a) Orice

multime ortogonala S = {x1, . . . , xp} ⊂ V \ {0} este liniar independenta;(b) Daca dimV = n, atunci orice submultime ortogonala a lui V \ {0} cu nelemente este baza ın V .

Demonstratie. (a) Fie α1x1 + α2x2 + . . . + αpxp = 0. Inmultim scalaraceasta egalitate cu xi, i = 1, n arbitrar fixat, i.e. 〈α1x1 + . . .+ αpxp ,xi〉 =0. Din liniaritatea produsului scalar gasim: α1〈x1,xi〉 + . . .+ αi−1〈xi−1,xi〉+αi〈xi,xi〉+ αi+1〈xi+1,xi〉 + . . .+ αp〈xp,xi〉 = 0. Vectorii lui S fiind ortogonalirezulta 〈xj, xi〉 = 0, j 6= i si 〈xi,xi〉 6=0. Deci αi = 0. Cum i a fost fixatarbitrar rezulta αi = 0 (∀)i = 1, p. Prin urmare S este liniar independent.

(b) Fie S ⊂ V \{0} multime ortogonala si are n elemente. Din punctu-lui (a) rezulta ca S este sistem de vectori liniar independent si conform cuPropozitia 2.25 este si sistem de generatori.Deci S∈b(V).

5.13 Propozitie. Fie V/R un spatiu euclidian si S ⊆ V. S se poateortogonaliza daca si numai daca S este liniar independet.

Demonstratie. Fie S = {x1, x1, . . . , xp} sistemul de vectori care urmeazasa fie ortogonalizat. Luam acum{

y1 = x1

yj = α1jy1 + α2

jy2 + ... + αj−1j yj−1 + xj, j = 2, p

(5.8)

Pentru ∀j = 2, p, coeficientul αij, i = 1, j − 1 se determina din conditia yj ⊥

yi. Astfel pentru ∀j = 2, p se obtine

αij = −〈yi, xj〉

〈yi, yi〉, i = 1, j − 1, (5.9)

si apoi se calculeaza yj. In final obtinem sistemul ortogonal de vectori S⊥ ={y1, y2, . . . , yn}.

5.2. Ortogonalitate 79

Nota. Din liniar indendenta lui S, rezulta ca 〈yi, yi〉 6= 0, ∀i = 1, p Intr-adevar, daca ∃i astfel ıncat 〈yi, yi〉 = 0, atunci yi = 0. Dar yi este cobinatieliniara de vectorii x1, x1, . . . , xi, ın care coeficientul lui xi este 1(6= 0).

5.14 Observatii. 1o. Cum orice sistem liniar independent S = {x1, . . . , xp}din Vn se poate ortogonaliza, rezulta ca ın orice spatiu euclidian exista o bazaortogonala.

20 Sistemul de vectori ortogonali dedus din S se noteaza S⊥( si citim Sortogonal). Procedeul folosit pentru a transforma sistemul de vectori S insistemul ortogonal S⊥ se numeste procedeul de ortogonalizare Gram -Schmidt.

5.15 Aplicatii. Sa se ortogonalizeze urmatoarele sisteme de vectori:

(a)S = {x1 = (1,−1), x2 = (1, 2)} ⊂ R2/R;

(b)S = {x1 = (1, 1,−1), x2 = (−1, 0,−1), x3 = (0,−1, 1)} ⊂ R3/R;

(c)S = {x1 = (1, 1, 0,−1), x2 = (−1, 0, 1,−1), x3 = (0,−1, 0, 1)} ⊂R4/R.;

(d)S = {x1 = (−1, 0, 1), x2 = (1,−1, 2), x3 = (3, 0,−1)} ⊂ R3/R;

(e)S = {x1 = (−1, 0,−1), x2 = (1, 1,−1), x3 = (0,−1, 1)} ⊂ R3/R;

(c)S = {x1 = (1, 1, 0,−1), x2 = (−1, 0, 1,−1), x3 = (0,−1, 0, 1), x4 =(0, 1, 0,−1)} ⊂ R4/R.;

Rezolvare. (a)etapa 1. Verificam daca S este liniar independent.

Consideram AS =

(1 1−1 2

). Deoarece det AS = 3 6= 0, rezulta ca S

este liniar independent.

etapa 2. Consideram S⊥ = {y1, y2} ⊂ R2 / R ın care y1 = x1, si luam

y2 = α12y1 + x2 ⇒ α = − 〈x2,y1〉

〈y1,y1〉 = −1·1+2(−1)12+(−1)2

= −−12

= 12.

Deci y2 = (1, 2) + 12(1,−1) =

(32, 3

2

).

Rezulta ca S⊥ = {y1 = (1, -1), y2 =(

32, 3

2

)} este sistemul ortogonal

cautat.

etapa 3. Verificarea ortogonalizarii.

(b) AS =

1 −1 01 0 −1−1 −1 1

⇒det AS = −1 6= 0 ⇒ rang AS = card S

⇒ S liniar independent. Deci se poate ortogonaliza.

Fie S⊥ = {y1, y2, y3} ⊂ R3/R ın care y1 = x1 si luam y2 = α12y1 + x2.

Prin ınmultirea scalara cu y1, ın aceasta relatie, obtinem:

α12 = −〈x2, y1〉

〈y1, y1〉= − −1 + 1

1 + 1 + 1= 0.

Deci y2 = x2 + 0 · y1= x2.


Luam acum y3 = α13y1 + α2

3y2 + x3. Inmultim scalar cu y1 si apoi cu y2

ın aceasta ultima relatie si obtinem α13 = − 〈x3,y1〉

〈y1,y1〉 = 23

si α23 = − 〈x3,y2〉

〈y2,y2〉 = 12.

Rezulta y3 = (0, −1, 1) + 23(1, 1, −1) + 1

2(−1, 0,−1) = 1

6(1, −2,−1).

Deci S⊥ = {y1 = (1, 1, -1), y2 = (-1, 0, -1), y3 = 16(1, −2,−1)} este

sistemul ortogonal cautat.

(c) Matricea asociata lui S este AS =

1 −1 01 0 −10 1 0−1 −1 1

. Se gaseste

rang AS = 3 ⇒ rang AS = card S. Deci S este liniar independent si se poateortogonaliza.

Fie S⊥ = {y1, y2, y3} ⊂ R4/R ın care y1 = x1 si luam y2 = α12y1 +

x2. Rezulta (asa ca mai sus), α12 = − 〈x2,y1〉

〈y1,y1〉 = −−1+0+2+11+1+4+1

= 0. Inlocuind

ın relatia lui y2 obtinem: y2 = (−1, 0, 1,−1). Consideram y3 = α13y1 +

α23y1 +x3.Prin ınmultirea scalara cu y1 si apoi cu y2 se obtineα1

3 = − 〈x3,y1〉〈y1,y1〉 =

−1·0+1·(−1)+0·0+(−1)·11+1+0+1

= 23

si α23 = − 〈x3,y2〉

〈y2,y2〉 = −−13

= 13.

Rezulta y3 = (0, −1, 0 1)+13(−1, 0, 1, −1)+2

3(1, 1, 0, −1) = 1

3(1, −1, 1, 0)

si ın final gasim S⊥ = {y1 = (1, 1, 0,−1), y2 = (−1, 0, 1,−1), y3 = 13(1, −1, 1, 0)

(d)etapa 1.Consideram matricea asociata lui S si se gaseste

AS =

−1 1 30 −1 01 2 −1

si apoi, rang(S) = card(S). Deci S este liniar

independent.

etapa 2. Luam y1 = x1

y2 = α12y1 + x2

y3 = α13y1 + α2

3y2 + x3.

Acum folosim formula.....si obtinem, mai ıntaiα1

2 = − 〈y1,x1〉〈y1,y1〉 = ... = −1

2; α1

3 = − 〈y1,x3〉〈y1,y1〉 = ... = 2; α2

3 = − 〈y2,x3〉〈y2,y2〉 = ... = −6,

si apoi S⊥ = {y1 = (−1, 0, 1), y2 = (32,−1, 3

2), y3 = ( 2

11, 6

11), 2

11}

etapa 3. Se verifica ortogonalizarea lui S⊥.

Punctele (e) si (f) raman ca exercitiu.

5.16 Propozitie. In orice spatiu euclidian Vn/R exista o baza ortonor-mala.

Demonstratia. Conform cu 2.111 exista B = {y1, . . . , yn} o baza or-

togonala ın Vn. Atunci B1 ={

y1

||y1|| ,y2

||y2|| , ..., yn

||yn||

}este baza ortonormala

cautata.

5.3. Multimi convexe 81

5.3 Multimi convexe

5.17 Definitie. Fie V/R spatiu vectorial si x, y ∈ V. Multimea

[x, y]not={ω = (1 - α)x + αy |α ∈ [0, 1]}

se numeste segment de capete x si y.5.18 Definitie. Fie V/R spatiul vectorial. O multime A ⊂ V se numeste

convexa daca (∀) x, y ∈ A, [x, y] ⊂ A.5.19 Propozitie. Fie V/R spatiu vectorial si (Ai)i∈I o familie oarecare

de multimi convexe din V. Atunci⋂i∈I

Aieste multimea convexa.

Demonstratie. Fie x, y ∈⋂i∈I

Ai. Atunci x, y ∈ Ai∀i ∈ I. Si cum pentru

∀i ∈ I, Ai este convexa, rezulta ca [x, y] ⊂ Ai∀i ∈ I. Deci [x, y] ∈⋂i∈I

Ai, i.e.⋂i∈I

Ai este convexa.

5.20 Remarca. Reuniunea a doua multimi convexe nu este, ın general,o multime convexa.

5.21 Exemple. 1˚. In Rn/R, multimea{(x1, ...xn) ∈ Rn

∣∣∣∣∣n∑

i=1

αixi = r, αi , r ∈ R, i = 1, n

}este multime convexa (se numeste hiperplan).

2˚. In Rn/R, multimea{(x1, ...xn) ∈ Rn

∣∣∣∣∣n∑

i=1

αixi ≤ r, αi , r ∈ R, i = 1, n

}este o multime convexa(se numeste semispatiu ın Rn).

5.22 Definitie. Fie V/R spatiu vectorial si S = {x1, x2, . . . , xp} ⊂ V .

Vectorul y = α1x1+. . .+αpxp cu αi ≥ 0 sip∑

i=1

αi = 1 se numeste combinatie

liniara convexa a vectorilor xi, i = 1, k. Multimea Lc(S) = {α1x1 + . . . +

αpxp, αi ≥ 0 , i=1, k sip∑

i=1

αi = 1} se numeste acoperirea liniara convexa

(sau acoperire convexa) a multimii de vectori S = {x1, . . . , xp}.(se mainoteaza si cu Lc[x1,...,xp])

5.23 Propozitie. Fie V/R spatiu vectorial si A ⊂ V este convexa. DacaS = {x1, . . . , xp} ⊂ A, atunci Lc(S) ⊂ A.

Demonstratie. Aratam prin inductie dupa k∈N ca (∀)x ∈ Lc(S) ⇒ x ∈

A. Fie k = 2. Atunci x ∈ Lc[x1,x2] ⇒ (∃),αi ≥0,i = 1, 2sik∑

i=1

αi = 1a.ı.


x = α1x1 + α2x2. Din Definitia 5.16 si din faptul ca A convexa rezulta cax ∈ [x1, x2] ⊂ A. Deci Lc[x1,x2] ⊂ A. Presupunem ca pentru un k arbitrarfixat avem Lc[x1,...,xk] ⊂ A. Vrem sa aratam ca Lc[x1,...,xk+1] ⊂ A. Fie x ∈

lc[x1,...,xk+1x]. Atunci ∃αi ≥ 0, i = 1, k + 1 cuk+1∑i=1

αi = 1 a.ı. x =k+1∑i=1

αixi.

Daca notam α =k∑

i=1

αiatunci ,k∑

i=1

(αi

α

)xi ∈ A, deoarece

k∑i=1

αi

α= 1. Cum

α+αk+1 =k∑

i=1

αi+αk+1 =k+1∑i=1

αi = 1, rezulta ca x = αk∑

i=1

(αi

α

)xi+αk+1xk+1 ∈

A. Si demonstratia este terminata.Propozitia 5.22 se poate enunta si astfel: Orice multime convexa odata

cu o multime de vectori contine si acoperirea sa convexa.5.24 Definitie. Fie V/R spatiul vectorial si A ⊂ V multime convexa.

Un punct ω ∈ A care nu poate fi scris ca o combinatie liniara convexa depuncte din A, se numeste vırf al multimii convexe A.

5.25 Exemple. 1˚. Multimea A = {(x, y) ∈ R2|x− y ≤ −1 si x + 3y ≤3} este o multime convexa si are ca vırf vectorul (0, 1).

2˚ Pentru multimea A = {(0, 0), (−1,−1), (1,−7), (0,−2)} ⊂ R2/Racoperirea convexa Lc(A) = {(x, y) ∈ R2|y ≤ 0}.

Capitolul 6

Teste de autoevaluare sievaluare.

6.1 Test de autoevaluare

1. Sa se rezolve sistemele:

(a)

3x1 + x2 = 6

4x1 + x2 + x3 = 95x1 + 2x2 + x3 = 11

(b)

x + y + z − 2t = 52x + y − 2z + t = 12x − 3y + z + 2t = 3

(c)

x + 2y − 4z = −1−2x − y + z = 1−x + y − 3z = 2

(d)

2x − 4y + z = −1−x + y − 2z = 1x − 3y − z = 0

folosind metoda eliminarii complete.2. Sa se determine, prin metoda eliminarii complete, inversa matricei:

A =

3 2 −10 1 22 3 1

3. Sa se studieze dependenta liniara a sistemelor de vectori din R3/R :(a) S1 = {x1 = (1, 3, 5), x2 = (6, 3, 2), x3 = (3, 1, 0)}(b) S2 = {y1 = (1, -2, -1), y2 = (2, -1, 1), y3 = (-4, 1, -3)}4. Sa se cerceteze daca sistemul de vectoriS = { x1 = (3, 4, 5), x2=(1, 1, 2), x3=(0, 1, 1)} ⊂ R3/R este o baza ın

R3/R. In caz afirmativ, sa se determine coordonatele vectorului v = (6, 9,11) ın baza S.

83

84 Capitolul 6. Teste de autoevaluare si evaluare.

5. Se da operatorul T : R3 →R4 definit prinT(x1, x2, x3) = (2x1− x2, x3, x2− x3 + x1, 3x2 + 2x1).(a) Sa se demonstreze ca T este operator liniar si injectiv.(b) Sa se calculeze ker T.6. Fie operatorul liniar T : R3 → R3 definit prinT(x) = (3x1 + x3, 2x1 + x2− x3, x1− x2 + 2x3), x = (x1, x2, x3)Sa se determine ker T, Im T, rangul si defectul lui T.7. Se da operatorul T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1+ 6x2, -x2, 5x1 + 3x2).

Se cere:(a) Sa se arate ca T este operator liniar;(b) Sa se scrie matricea atasata operatorului T ın raport cu:1˚ bazele canonice ale lui R2 si R3;2˚ bazele: G = {g1 = (1, 0), g2 = (1, 1)} (a lui R2)siH = {h1 = (1, 1, 0), h2 = (0, 1, 0), h3 = (1, 0, 1)} (a lui R3);Sa se verifice formula de trecere de la o baza la alta.8. Sa se verifice inversabilitatea operatorilor T : R3 → R3 de mai jos si

ın caz afirmativ, sa se calculeze inversele:T(x) = (3x1 + 4x2 + x3, x1− 2x2 + 2x3, x1 + x3)T(x) = (x1 + 2x2 + x3, x1 + 3x2 + 2x3, −x1−2x2), x = (x1, x2, x3).9. Se dau operatorii liniari:T : R3 → R2, T(x1, x2, x3) = (x3− x2, x1 + 5x2) siU: R2 → R4, U(x1, x2) = (x1 + x2, 2x1− 3x2, -x2, x1)Sa se calculeze produsul (compunerea) celor doi operatori;Sa se scrie matricea asociata produsului de la (a) ın bazele canonice si sa

se probeze legatura cu matricile atasate lui T si U ın bazele corespunzatoare.10. Sa se determine valorile si vectorii proprii pentru operatorulT : R3 → R3, T(x) = (x1 + 2x2 + x3, -x2− x3, 2x3), x = (x1, x2, x3).11. Folosind valorile proprii, sa se scrie forma diagonala (daca se poate)

matricea asociata fiecaruia din operatorii:T : R3 → R3, T(x) = (x1 + x3, 2x1 + x2 + 2x3, 3x1 + x3)U: R2 → R4, U(x) = (2x1, -x1 + x2, 5x1− 3x2 - x3)12. Fie f : R3 →R, f(x) = 5x1 + x2 + 3x3. Se cere:Sa se precizeze daca f este o functionala liniara;Sa se scrie matricea asociata lui f ın bazaE = {e1 = (2, 0, 1), e2 = (1, 1, 0), e3 = (3, 1, 2)}Sa se determine ker f si dim (ker f).13. Sa se determine functionala liniara f : R3 → Rf(x) = α1x1 + α2x2 + α3x3, x = (x1, x2, x3) dacaf(1, -1, 1) = 5, f(1,0,1) = 6, f(−1, 0, 1) = 214. Care dintre urmatoarele functionale sunt biliniare:(a) f : R2× R2 → R, f(x, y) = x1y2 + 3x2y1, x = (x1, x2), y = (y1, y2)

6.1. Test de autoevaluare 85

(b) f : R2× R3 → R, f(x, y) = x1y1− x2y3 + 3, x = (x1, x2), y = (y1,y2, y3)

15. Sa se arate ca f : R3× R3 → R, f(x, y) = 2x1y2− 3x2y3+x3y1 estefunctionala biliniara si sa se scrie matricea ei ın baza canonica si ın baza

G = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}.16. Sa se arate ca functionala biliniara f : R3× R3 → R, f(x, y) =

x1y1+2x2y2 -x3y2+ +8x3y3 + x1y2 + x2y1 + x3y1− x2y3 + x1y3 unde x =(x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) este simetrica si pozitiv definita.

17. Sa se determine functionala patratica q : R3 → R generata defunctionala biliniara de la exercitiul 16.

18. Sa se reduca la forma canonica, functionalele patratice q : R3 → R:q(x) = x2

1 + 2x1x2 + 5x22 + 4x2x3 + 2x2

3;q(x) = x2

1− 4x1x2 + 2x1x3+ 2x22 + 5x2

3;q(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1;

19. Sa se studieze ın functie de parametrul α ∈ R rangul si dependentaliniara a sistemului de vectori S = {x1 = (1, 0, 1), x2 = (3α, 1, α), x3 = (8,α, 0)}.

20. Sa se cerceteze daca operatorul T ∈ L (R3, R3) definit prin T(x)= (x1 - 2x3, 2x1 + x2, x2 + 3x3), este inversabil si ın caz afirmativ sa secalculeze inversul sau.

21. Pentru operatorul T de la exercitiul 20 verificati ca T o T−1 = I, Ifiind operatorul identic.

22. Sa se arate ca sistemul de vectori S = {x1 = (1, -2, −1), x2 = (2,-1, 1), x3 = (-4, 1, -3)} ⊂ R3/R, desi nu este liniar independent, se poateortogonaliza gasind S⊥.

23. Sa se precizeze care din multimile(a) M1 = {(x,y) ∈ R2| 2x + y ≤ 3, y ≥ 0}(b) M2 = {(x,y) ∈ R2| x 2 + y2 = 4}(c) M3 = {(x,y) ∈ R2| 2x2 + 5y2 ≤ 8}

sunt convexe.


Rezolvarea (test de autoevaluare)

1. (a) Vom folosi matricea extinsa (A|B) =

3 1 04 1 15 2 1

∣∣∣∣∣∣6911

: [3] 1 04 1 15 2 1

∣∣∣∣∣∣6911

→

1 1/3 00 [−1/3] 10 1/3 1

∣∣∣∣∣∣211

→

1 0 10 1 −30 0 [2]

∣∣∣∣∣∣3−32

→ 1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣201

Observatie: Se poate porni cu eliminarea ıncepand din dreapta jos. 3 1 04 1 15 2 [1]

∣∣∣∣∣∣6911

→

3 1 0−1 [−1] 05 2 1

∣∣∣∣∣∣6−211

→

[2] 0 01 1 03 0 1

∣∣∣∣∣∣427

→ 1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣201

Solutia sistemului este: x1 = 2, x2 = 0, x3 = 1 (ultima coloana din ultima

forma a matricei (A|B)). Deci acest sistem este compatibil determinat.(b) (A|B)=

=

[1] 1 1 −22 1 −2 12 −3 1 2

∣∣∣∣∣∣513

→

1 1 1 −20 [−1] −4 50 −5 −1 6

∣∣∣∣∣∣5−9−7

→

→

1 0 −3 30 1 4 −50 0 [19] −19

∣∣∣∣∣∣−4938

→

1 0 0 00 1 0 −10 0 1 −1

∣∣∣∣∣∣212

Folosind ultima forma a lui (A|B) se obtine sistemul

I3

xyz

+ t

0−1−1

=

212

Solutia sistemului este x = 2, y = 1 + λ, z = 2 + λ, t = λ; λ ∈ R (ultima

coloana a lui A, din ultima forma a lui (A|B), contine coeficientii necunoscuteisecundare t careia i se atribuie valoarea arbitrara λ ∈ R). Deci, sistemul estecompatibil simplu nedeterminat.

(c) (A|B) =

[1] 2 −4−2 −1 1−1 1 −3

∣∣∣∣∣∣−112

→

1 2 −40 [3] −70 3 −7

∣∣∣∣∣∣−1−11

→

→

1 0 2/30 1 −7/30 0 0

∣∣∣∣∣∣−1/3−1/36


Pentru ca ultima linie din ultima forma a lui (A|B) reprezinta ecuatia0·x+0·y+0·z = 6 (care este imposibila) rezulta ca sistemul este incompatibil.

(d) (A|B) =

[2] −4 1−1 1 −21 −3 −1

∣∣∣∣∣∣−110

→

1 −2 1/20 [−1] −3/20 −1 −3/2

∣∣∣∣∣∣−1/21/21/2

→ 1 0 7/20 1 3/20 0 0

∣∣∣∣∣∣−3/2−1/20

.

Din ultima forma a lui (A|B) rezulta ca sistemul este compatibil simplunedeterminat (are o linie zero) si solutia este:

x = −3

2− 7

2λ; y = −1

2− 3

2λ; z = λ, λ ∈ R.

2. Consideram matricea (A|I3) =

[3] 2 −10 1 22 3 1

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

pe care o

transformam dupa metoda eliminarii complete. Astfel avem (A|I3) = 1 2/3 −1/30 [1] 20 5/3 5/3

∣∣∣∣∣∣1/3 0 00 1 0−2/3 0 1

→

1 0 −5/30 1 20 0 [−5/3]

∣∣∣∣∣∣1/3 −2/3 00 1 0−2/3 −5/3 1

→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣1 1 −1−4/5 −1 6/52/5 1 −3/5

=(I3|A−1).

Deci A−1 =

1 1 −1−4/5 −1 6/52/5 1 −3/5

.

3. (a) Consideram combinatia liniara α1x1 + α2x2 + α3x3 = 0 ⇔⇔ α1(1,3,5) + α2(6, 3, 2) + α3(3, 1, 0) = 0 ⇔⇔ (α1, 3α1, 5α1) + (6α2, 3α2, 2α2) + (3α3, α3, 0) = 0 ⇔⇔ (α1 + 6α2 + 3α3, 3α1 + 3α2 + α3, 5α1 + 2α2)= (0, 0, 0) ⇔

⇔

α1 + 6α2 + 3α3 = 03α1 + 3α2 + α3 = 05α1 + 2α2 = 0

Acest sistem liniar si omogen are matricea A =

1 6 33 3 15 2 0

(are pe

coloane coordonatele vectorilor lui S1).


Pentru ca det A = 1 6= 0, sistemul de mai sus are ca solutie doar α1 =0 = α2 = α3.

Deci, din orice combinatie liniara α1x1 +α2x2 +α3x3 = 0 ⇒ α1 = α2 = α3

= 0 adica S1 este liniar independent.

Observatie: S1 liniar independent ⇔ det A 6= 0. Deci, studiul dependenteiliniare a oricarui sistem de vectori se reduce la calcularea rangului matriceiasociate (vezi sectiunea 2.3.3.).

(b) Matricea asociata lui S2 este A =

1 2 −4−2 −1 1−1 1 −3

. Se gaseste rang

A = 2. Rezulta rang A 6= card S2. Deci S2 este liniar dependent.

4. Matricea asociata este A =

3 1 04 1 15 2 1

; det A = - 2 6= 0.

Deci, rang A = 3=card S. Rezulta S liniar independent si pentru canumarul de vectori din S este egal cu dimensiunea lui R3 (=3), S este bazaın R3.

Fie α1, α2, α3 coordonatele lui v = (6, 9, 11) ın baza S. Deci (6, 9, 11) == α1(3, 4, 5) + α2 (1, 1, 2) + α3 (0, 1, 1) ⇔ (vezi exercitiul 3 (a))

⇔

3α1 + α2 = 64α1 + α2 + α3 = 95α1 + 2α2 + α3 = 11

⇒ . . . ⇒

α1 = 2α2 = 0α3 = 1

.Deci vS = (2, 0, 1).

O alta metoda, pentru gasirea coordonatelor, este metoda eliminarii com-plete (vezi exemplul din sectiunea 2.4.1.).

(S|v) =

3 1 04 1 15 2 1

∣∣∣∣∣∣6911

→ . . .→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣201

.

5 (a) Fie x = (x1, x2, x3) si x’ = (x1’, x2’, x3’), α, β ∈ R.

T(αx + βx’) = T

αx1 + βx′1︸︷︷︸

t1

, αx2 + βx′2︸︷︷︸

t2

, αx3 + βx′3︸︷︷︸

t3

= (2t1− t2, t3,

t2− t3 + t1, 3t2 + 2t1) = (2αx1 + 2βx’1 − αx2 − βx’2, αx3 + βx’3, αx2 +βx’2 −αx3 − βx’3 + + αx1 +βx’1, 3αx2 + 3βx’2 +2αx1 + 2βx’1) = (α(2x1−x2) + β(2x’1− x’2) , αx3 + βx’3, α(x2− x3 + x1) + β(x’2− x’3+ x’1), α(3x2

+ 2x1) + β(3x’2 + 2x’1)) = = (α(2x1− x2), αx3, α(x2 - x3 + x1), α(3x2 +2x1)) + (β(2x’1− x’2), βx’3, β(x’2− x’3 + x’1), β(3x’2 + 2x’1)) = α(2x1 - x2,x3, x2− x3 + x1, 3x2 + 2x1) + + β(2x’1− x’2, x’3, x’2− x’3 + x’1, 3x’2 +2x’1) = αT(x) + βT(x’).

Rezulta ca T este operator liniar.

O alta metoda: se scrie T(x) = Ax, unde A este matricea asociata lui T,


i.e.

A =

2 −1 00 0 11 2 −12 3 0

Si apoi T(αx + βx’) = A(αx + βx’) = αAx + βAx’ = αT(x) + βT(x) (vezisi exercitiul 7(a)).

(b) ker T = {x ∈ R3| T(x) = 0}

T(x) = 0 ⇔ (2x1− x2, x3, x2− x3 + x1, 3x2 + 2x1) = 00=(0,0,0,0)⇔

⇔

2x1 − x2 = 0x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 02x1 + 3x2 = 0

⇔

x1 = 0x2 = 0x3 = 0

⇒ker T = {(0, 0, 0)} = {0}.

6. T(x) = (3x1 + x3, 2x1 + x2− x3, x1− x2 + 2x3)

T(x) = 0 ⇔

3x1 + x3 = 02x1 + x2 − x3 = 0x1 − x2 + 2x3 = 0

⇒

x1 = λ

x2 = −5λx3 = −3λ

, λ ∈ R.

Rezulta kerT = {(λ, -5λ, -3λ)| λ ∈ R}.Pentru ca (∀) v ∈ ker T ⇒ v = λ(1, −5, -3) ⇒ B = {(1, -5, -3)} este o

baza a lui ker T. Deci, dim (kerT) = 1 ⇒ dim (ImT) = 3 - dim (kerT) = 3- 1 = 2.

ImT = {y ∈ R3| (∃) x ∈ R3 astfel ıncat T(x) = y}.Dar T(x) = y ⇔ (3x1 + x3, 2x1 + x2− x3, x1− x2 + 2x3) = (y1, y2, y3) ⇔

3x1 + x3 = y1

2x1 + x2 − x3 = y2

x1 − x2 + 2x3 = y3

Din conditia de compatibilitate se obtine y1 =

α + β, y2 = α, y3 = β, α, β ∈ R. Deci ImT = {(α + β, α, β)|α, β ∈ R} ={α(1, 1, 0)+β(1, 0, 1)|α, β ∈ R} Rezulta B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} este o bazapentru ImT. De aici avem ca dim (ImT ) = 2 (ceea ce am obtinut mai sus).

Prin urmare rangul lui T = 2 si defectul lui T = 1.

7.(a) T(x1, x2) = (x1 + 6x2, - x2, 5x1 + 3x2) (= T(x))

Notam T1 (x1, x2) = x1 + 6x2; T2(x1,x2) = - x2; T3(x1, x2) = 5x1 + 3x2.

Se arata ca Ti(x1, x2), i = 1, 3 sunt operatori liniari si rezulta ca T esteoperator liniar. Pentru alte metode vezi 5 a.

(b) 1˚ E = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este baza conica ın R2 si bazacanonica din R3, F =}f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1)} . Fie x ınbaza E. Matricea A, cu proprietatea ca T(x) ın baza F se scrie T(x) = Ax,este matricea asociata lui T ın bazele E si F . Pentru ca x = x1e1 + x2e2

rezulta ca T (x) = x1T (e1) + x2Te2).


T (e1) = T (1, 0) = (1 + 6 · 0, −0, 5 · 1 + 3 · 0) = (1, 0, 5)T (e2) = T (0, 1) = (0 + 6 · 1, −1, 5 · 0 + 3 · 1) = (6, −1, 3)

si se obtine A =

1 60 −15 3

(Matricea A are pe coloane coordonatele vec-

torilor T (e1), T (e2) ın baza F ).

2˚ EC−→ G si F

D−→ HG = {g1 = (1, 0), g2 = (1, 1)}H= {h1 = (1, 1, 0), h2 = (0, 1, 0), h3 = (1, 0, 1)}• C este matricea de trecere de la baza E la baza G si are pe coloane

coordonatele vectorilor G ın baza E, adica C =

(1 10 1

)• D este matricea de trecere de la baza F la baza H si are pe coloane

coordonatele vectorilor lui H considerati ın baza F , adica:

D =

1 0 11 1 00 0 1

⇒ D−1 =

1 0 −1−1 1 10 0 1

Mentionam ca T(g1) = T(1, 0) = (1, 0,5); T(g2) = T(1, 1) = (7, −1,8) sunt

exprimati ın baza F . Acesti vectori trecuti ın baza H reprezinta coloanelematricei atasate lui T ın bazele G si H. Deci

(T (g1))H = D−1 (T (g1))F =

1 0 −1−1 1 10 0 1

105

=

−445

(T (g2))H = D−1 (T (g2))F =

1 0 −1−1 1 10 0 1

7−18

=

−108

Rezulta ca matricea lui T ın bazele G si H este B =

−4 −14 05 8

.

(c) Se cunoaste formula B = D−1AC, si avem:

B=

1 0 −1−1 1 10 0 1

1 60 −15 3

(1 10 1

)=

−4 −14 05 8

.

8. (a) T(x) = (3x1 + 4x2 + x3, x1− 2x2 + 2x3, x1 + x3). Matriceaasociata este

A =

3 4 11 −2 21 0 1

;det A = -6 + 8 + 2 - 4 = 0 ⇒ rang A = 2 = dim


(ImT) ⇒ dim (kerT) = 3 - 2 = 1 ⇒ kerT 6= {0} ⇒ T nu este operatorinjectiv. Deci, nu este inversibil.

(b) T(x) = (x1 + 2x2 + x3 , x1 + 3x2 + 2x3, − x1− 2x2).

AT =

1 2 11 3 2−1 −2 0

⇒ det AT = − 4 - 2 + 3 + 4 = 1 6= 0 ⇒ rang

AT = 3 = = dim (ImT) ⇒ dim (kerT) = 0, adica kerT = {0} ⇔ T injectivsi pentru ca dim(ImT) = 3 ⇒ ImT = R3. Deci T bijectiv, adica inversibil.

T(x) = Ax ⇔ y = Ax ⇒ x = A−1y ⇒ T−1(x) = A−1x.

A−1 =

4 −2 1−2 1 −11 0 1

⇒ T−1(x) = (4x1− 2x2 + x3, - 2x1 + x2− x3,

x1 + x3).9. (a) (U o T)(x) = U(T(x))= U(T(x1, x2, x3))=U (x3 − x2, x1 + 5x2)=

=(t1 + t2,2t1− 3t2, −t2, t1) = (x1 + 4x2 + x3, -3x1− 17x2 + 2x3, -x1− 5x2,-x2 + x3),unde am notat t1= x3 -x2, t2=x1+5x2.

(b) Din (a) rezulta ca AUoT =

1 4 1−3 −17 2−1 −5 00 −1 1

.

Dar AU · AT =

1 12 −30 −11 0

(0 −1 11 5 0

)si astfel avem AUoT = AU · AT .

10. T (x) = (x1 +2x2 +x3,−x2 −x3, 2x3). AT =

1 2 10 −1 −10 0 2

si apoi

avem succesiv

det(AT − λI3) = 0 ⇔

∣∣∣∣∣∣1 − λ 2 10 −1 − λ −10 0 2 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 1, λ3

= 2.• Vectorii proprii corespunzatori lui λ1 = −1, ıi gasim rezolvand ecuatia

vectoriala (A - λ1 I3)x = 0 ⇔

⇔

2 2 10 0 −10 0 3

x1

x2

x3

= 0 ⇔

2x1 + 2x2 + x3 = 0

−x3 = 0x3 = 0

⇒

x1 = α

x2 = −αx3 = 0.

Rezulta ca Vλ1 ={(α, -α, 0) |α ∈ R} este multimea vectorilor propriicorespunzatori lui λ1.


• (A - λ2I3)x = 0 ⇔

0 2 20 −2 −10 0 1

x1

x2

x3

= 0 ⇔

2x2 + 2x3 = 0−2x2 − x3 = 0

x3 = 0

Se gaseste mai ıntai solutia sistemului,

x1 = αx2 = 0x3 = 0

si apoi

Vλ2 ={(α, 0, 0) |α ∈ R} - multimea vectorilor corespunzatori lui λ2 = 1.

• (A - λ3I3)x = 0 ⇔

−1 2 20 −3 −10 0 0

x1

x2

x3

= 0.

De aici se obtine sistemul scalar ⇔{

−x1 + 2x2 + 2x3 = 0−3x2 − x3 = 0

, cu solutia x =

(x1, x2, x3) = (4α,−α, 3α), α ∈ R} de unde rezulta ca Vλ3 = {(4α,−α, 3α)|α ∈R} multimea vectorilor corespunzatori lui λ3 = 2.

11. T (x) = (x1 + 3x3, 2x1 + x2 + 2x3, 3x1 + x3) ⇒

AT =

1 0 32 1 23 0 1

⇒

∣∣∣∣∣∣1 − λ 0 32 1 − λ 23 0 1 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒

λ1 = −2λ2 = 1λ3 = 4

.

Pentru ca valorile proprii sunt diferite exista o baza (formata din vectoriproprii), ın raport cu care AT se poate scrie sub forma diagonala.

Deci AdT =

−2 0 00 1 00 0 4

.

U(x) = (2x1, -x1 + x2, 5x1− 3x2−x3). Matricea asociata lui U este:

AU =

2 0 0−1 1 05 −3 −1

⇒

∣∣∣∣∣∣2 − λ 0 0−1 1 − λ 05 −3 −1 − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒

λ1 = 2λ2 = 1λ3 = −1

.

Pentru ca valorile proprii sunt distincte, matricea AU se poate diagonalizaapoi, ca mai sus.

12. f(x) = 5x1 + x2 + 3x3, x = (x1, x2, x3) ∈ R3.(a) f(x + y) = f(x2 + y1, x2 + y2, x3 + y3) = 5(x1 + y1) + (x2 + y2) +

3(x3 + y3) == (5x1 + x2 + 3x3) + (5y1 + y2 + 3y3) = f(x) + f(y).f(αx) = 5αx1 + αx2 + 3αx3 = α(5x1 + x2 + 3x3) = αf(x).Deci f este functionala reala.Daca A este matricea asociata lui f ın baza E, atunci f(x) = Ax, A =

(a1, a2, a3), ai = f(λi), i = 1, 3. Atuncia1 = f(λ1) = f(2, 0, 1) = 10 + 0 + 3 = 13a2 = f(λ2) = f(1, 1, 0) = 5 + 1 + 3 · 0 = 6a3 = f(λ3) = f(3, 1, 2) = 15 + 1 + 6 = 22

Deci A = (13, 6, 22).


ker f = {x ∈ R3|f(x) = 0}

f(x) = 0 ⇔ 5x1 + x2 + 3x3 = 0 ⇒

x1 = α

x2 = −5α − 3βx3 = β

, α, β ∈ R.

Deci ker f = {(α, -5α− 3 β, β) |α, β ∈ R}(∀) v ∈ ker f ⇒ v = α(1, -5, 0) + β(0, -3, 1) ⇒ dim (ker f) = 2.

13.

f(1, −1, 1) = 5f(1, 0, 1) = 6

f(−1, 0, 1) = 2⇒

α1 − α2 + α3 = 5α1 + α3 = 6−α1 + α3 = 2

⇒

α1 = 2α2 = 1α3 = 4

Deci f(x) = 2x1 + x2 + 4x3.

14(a) Cercetam daca functionala f : R2× R2 → R, f(x, y) = x1y2 +3x2y1, (∀) x, y ∈ R, este biliniara. Fie x = (x1, x2); y = (y1, y2) si x’ = (x’1,x’2); y’ = (y’1, y’2).

f(x + x’, y) = (x1 + x1’)y2 + 3(x2 + x2’)y1 = (x1y2 + 3x2y1) + (x1’y2

+ 3x2’y1) = = f(x, y) + f(x’, y)

f(x, y + y’) = x1(y2 + y2’) + 3x2(y1 + y1’) = . . . = f(x, y) + f(x, y’).

Deci, f este aditiva ın raport cu fiecare variabila.

f(αx, y) = αx1y2 + 3αx2y1 = α(x1y2 + 3x2y1) = αf(x, y)

f(x, αy) = x1(αy2) + 3x2(αy1) = . . . = αf(x, y).

Fiind si aditiva ın raport cu fiecare variabila, rezulta ca functionala f estebiliniara.

f(x, y) = x1y1− x2y3 + 3

f(x + x’, y) = (x1 + x1’)y1− (x2 + x2’)y3 + 3 = x1y1 + x’1y1 - x2y3

-x’2y3 + 3 = f(x, y) + f(x’, y) = x1y1− x2y3 + 3 + x’1y1 - x’2y3 + 3 ⇒ f(x+ x’, y) 6= f(x, y) + f(x’, y).

Deci, functionala nu este biliniara.

15. f(x, y) = 2x1y2− 3x2y3 + x3y1 este biliniara (se arata ca la 14).

Matricea asociata lui f ın baza canonica este:

A =

0 2 00 0 −31 0 0

,(A = (aij), aij = f(λi, λj)).

Matricea asociata lui f ın baza G = {g1 = (1, 1, 1), g2 = (1, 0, 1), g3 =(0, 1, 1) este B = (bij), unde bij = f(gi, gj).

b11 = f(g1, g1) = 2 · 1 ·1 - 3 · 1 · 1 + 1 · 1 = 0

b12= . . . . . . .... = -2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b33 = −3.

Deci B =

0 −2 −13 1 2−2 −2 −3

.


16. Functionala data verifica f(x, y) = f(y, x), (∀) x, y ∈ R3, adicafunctionala f(x, y) este simetrica.

Functionala biliniara f(x, y) este pozitiv definita daca f(x, x) > 0∀)x ∈R3.

f(x,x) = x21 + 2x2

2 + 8x23 + 2x1x2 + 2x1x3− 2x2x3 =

= x21 + 2x1x2 + 2x1x3 +

+ 2x22− 2x2x3 +

+ 8x23 =

= x21 + x2

2 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 +

+ (-x22− x2

3− 2x2x3) + 2x22− 2x2x3 + 8 x2

3 =

= (x1 + x2 + x3)2 + (x2

2− 4x2x3 + 4x23) + 3x2

3 =

= (x1 + x2 + x3)2 + (x2− 2x3)

2 + 3x23 > 0∀x ∈ R3.

Deci, f este pozitiv definita.

17. q(x) = f(x, x) = x21 + 2x2

2 + 8x23 + 2x1x2 + 2x1x3− 2x2x3 este

functionala patratica generata de functionala biliniara f(x, y) = x1y1 + 2x2y2

+ 8x3y3 + x1y2 + x2y1 + x3y1− x2y3− x3y2.

18. Se va aplica metoda lui Gauss.

(a) q(x) = x21 + 2x1x2 + 5x2

2 + 4x2x3 + 2x23 =

= x21 + 2x1x2 + (S1)

+ 5x22 + 4x2x3 + (S2)

+ 2x23 = (S3)

= (x21 + 2x1x2 + x2

2) + (4x22 + 4x2x3 + x2

3) + x23 =

= (x1 + x2)2 + (2x2 + x3)

2 + x23.

Deci, q(x) = ξ21 + ξ2

2 + ξ23 unde

ξ1 = x1 + x2

ξ2 = 2x2 + x3

ξ3 = x3

.

q(x) = x21− 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2

2 + 5x23 =

= x21− 4x1x2 + 2x1x3 +

+ 2x22 + 5x2

3 =

= (x21 +x2

3 + 4x22− 4x1x2 + 2x1x3− 4x2x3) + (-2x2

2 + 4x2x3− 2x23) + 6x2

3

= = (x1− 2x2 + x3)2− 2(x2− x3)

2 + 6x23.

Deci, q(x) = ξ21− 2ξ2

2 + 6ξ23 unde

ξ1 = x1 − 2x2 + x3

ξ2 = x2 − x3

ξ3 = x3

.

q(x) = x1x2 + x2x3 + x1x3

Deoarece aii = 0 (∀) i =1, 3 se face transformarea:x1 = y1 − y2

x2 = y1 + y2

x3 = y3

⇒q(x) = y21− y2

2 + y3(y1 + y2) + (y1− y2)y3 =


= y21− y2

2 + 2y1y3 ⇒ A =

1 0 10 −1 01 0 0

.

Matricei A i se aplica metoda eliminarii incomplete.

A =

[1] 0 10 −1 01 0 0

→

1 0 10 [−1] 00 0 −1

→

→

1 0 10 1 00 0 [−1]

→

1 0 10 1 00 0 1

= C−1

De unde

ξ1

ξ2

ξ3

=

1 0 10 1 00 0 1

·

y1

y2

y3

⇒

ξ1 = y1 + y3

ξ2 = y2

ξ3 = y3

.

Pentru a reveni la coordonatele x1, x2, x3 folosim transformareaξ1 = x1+x2

2+ x3 = 1

2(x1 + x2 + 2x3)

ξ2 = x2−x1

2= 1

2(−x1 + x2)

ξ3 = x3 = x3..

Deci, q(x) = ξ21 − ξ2

2 − ξ23 = 1

4(x1 + x2 + 2x3)

2 − 14(-x1 + x2)

2− x23.

19. Se considera AS matricea asociata lui S. Deci AS =

1 3α 80 1 α1 α 0

.

Deoarece minorul

∣∣∣∣ 1 81 0

∣∣∣∣ al lui AS nu este zero (∀)α ∈ R, rezulta rang AS ≥

2. Rezulta ca S are cel putin vectorii x1 si x3 liniari independenti( elementeleminorului sunt coeficienti ai lui x1 si x3. Daca det AS = 0, (i.e.α = ± 2)atunci doar x1 si x3 sunt liniar independenti. Daca det AS 6= 0 (i.e.α 6= ±2), rang AS = 3 si atunci sistemul de vectori S este liniar independent. 20.Metoda 1. Se gaseste kerT = {0}. Rezulta ca ImT = R3. Deci T esteoperator injectiv i.e. inversabil. Operatorul invers se determina rezolvand ınraport cu x = (x1, x2, x3) ecuatia vectoriala T(x) = y, i.e. sistemul

x1 − 2x3 = y1

2x1 + x2 = y2

x1 + 3x3 = y3

.

Astfel se gaseste x1 = -3y1 + 2y2 - 2y3, x2 = 6y1 - 3y2 + 4y3 si x3 = -2y1

+ y2 - y3. De aici rezulta T−1(x) = (-3x1 + 2x2 - 2x3, 6x1 - 3x2 + 4x3, -2x1

+ x2 - x3).


Metoda 2. Matricea asociata lui T , i.e.AT =

1 0 −22 1 01 0 3

. Deoarece

detAT = −1 6= 0 rezulta ca AT este inversabila. Deci, T este si el inversabil siinversul sau este operatorul corespunzator matricei A−1

T . Se calculeaza A−1T

si se gaseste A−1T =

−3 2 −26 −3 4−2 1 −1

si corespunzator T−1(x) = (-3x1 +

2x2 - 2x3, 6x1 - 3x2 + 4x3, -2x1 + x2 - x3).

21. Metoda 1. (ToT−1)(x) = T (T−1(x)) =

= T

−3x1 + 2x2 − 2x3︸︷︷︸t1

, 6x1 − 3x2 + 4x3︸︷︷︸t2

,−2x1 + x2 − x3︸︷︷︸t3

= (t1−2t3, 2t1+

t2, t2 +3t3) = (−3x1 +2x2 − 2x3 +4x1,−2x2 +2x3,−6x1 +4x2 − 4x3 +6x1 −3x2 + 4x3, 6x1 − 3x2 + 4x3 − 6x1 + 3x2 − 3x3) = (x1, x2, x3) = x = I(x). DeciToT−1 = I.

Metoda 2. T(x) = AT x si T−1(x) = A−1T x.

(T o T−1) (x) = T(T−1(x)) = AT · (T−1(x)) = AT · (A−1T (x)) = (AT · A−1

T )·x = AIx = I(x).

22. Matricea asociata lui S este AS =

1 2 −4−2 −1 1−1 1 −3

. Deoarece det

AS = 0, rezulta ca S este liniar dependent. Aplicand procedeul de ortogo-nalizare Gram-Schmidt vectorilor x1, x2, x3 se gaseste sistemul astoganalizatS⊥ = {y1 = (1, -2, -1), y2 = 1/2(3, 0, 3), y3 = (0, 0, 0)}. Din cauza liniardependentei a aparut y3 = (0, 0, 0). Daca ın procesul de ortogonalizareapare un vector zero, procedeul Gram-Schmidt nu mai poate continua. Aicivectorul zero a aparut la final, de aceea s-a putut determina S⊥.

23. (a) Se reprezinta geometric multimea M1 si se aplica definitia. Pentruca (∀) x, y ∈ M1 (zona hasurata) implica [x, y]⊂ M1, rezulta multimea M1

convexa.(fig.1).

(b) Multimea M2 este cercul de centrul O si raza 2. (∃) u, v ∈ M2, astfelıncat [u, v] 6⊂ M2. Deci M2 nu este convexa. (fig.2).

(c) Multimea M3 este zona hasurata si este convexa (fig3).

6.2. Teste de evaluare 97

6.2 Teste de evaluare

Teste de evaluare nr. 1

1. Daca X,Y, Z sunt trei multimi oarecare, atunci:a.X − (Y ∪ Z) = (X − Y ) − Zb.X − (Y ∩ Z) = (X − Y ) ∪ (X − Z)c.(X ∪ Y ) − Z = (X − Z) ∪ (Y − Z)d.(X ∩ Y ) − Z = X ∩ (Y − Z) = (X − Z) ∩ Ye.X ∩ (Y ∆Z) = (X ∩ Y )∆(X ∩ Z), unde X∆Y = (X − Y ) ∪ (Y − X).2.Fie f : X → Y si g : Y → Z doua functii. Aratati ca:a) daca f si g sunt injective, atunci gof este injectiva;b) daca gofeste injectiva, atunci f este injectiva;c) daca f si g sunt surjective, atunci gof este surjectiva;d) daca gofeste surjectiva, atunci g este surjectiva;e) daca f si g sunt bijective, atunci gof este bijectiva;f) daca gofeste bijectiva, atunci f este injectiva si g este surjectiva.3.Fie An, In si Tn multimea permutarilor pare, impare si respectiv transpo-

zitiilor de ordin n. Se cere:a) Sa se arate ca ∀σ ∈ An si τ ∈ Tn ⇒ στ ∈ In.b) Sa se arate ca ∃ϕ : An → In, aplicatie bijectiva.4. Cu ce semn apare termenul a16a23a34a42a51a65 ın dezvoltarea det A,

unde A = (aij)i,j=1,6? Exista un determinant ce are ın dezvoltarea sa termenula15a23a34a43a52? Justificare.

5.Sa se calculeze determinantii:

D1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 32 0 1 04 1 0 13 0 5 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ , si D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 0 10 5 7 6 43 4 4 5 02 3 0 4 21 0 6 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

folosind regula lui Laplace.6. Oricare ar fi matricile A1, A2, A3, A4 ∈ M2(R) sa se arate ca∑

σ∈S4

ε(σ)Aσ(1)Aσ(2)Aσ(3)Aσ(4) = 0

7. Fie A, B ∈ Mn(C). Sa se arate ca:a)det (A2 + B2) ≥ 0b) daca det A 6= 0 si A + A−1 = In, sa se arate ca detA > 0, ∀n ∈ N∗.


8. Pentru orice matrice A, B ∈ Mn (R), sa se arate ca:a)Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B)b)Tr(αA) = αTr(A),∀α ∈ Rc)Tr(AB) = Tr(BA)d)Tr(UAU−1) = Tr(A),∀U ∈ Mn(R) cu detU 6= 09. Sa se rezolve si sa se discute ecuatia matriciala:

X ·

λ 1 11 2λ 11 1 λ

= t

443

.

10. Fie E 6= ∅. Sa se arate ca (P (E), ∆) este grup, unde ∆ este o legede compozitie pe multimea P (E) definita ca ın exercitiu

A∆B := (A − B) ∪ (B − A), ∀A,B ∈ P(E)

.11. Fie A 6= ∅. Sa se arate ca (F (A, A), o) este monoid. Ce conditie

trebuie impusa multimii F (A, A), astfel ıncat (F (A, A), o) sa fie grup?Justificati.

12. Pe multimea R × R se definesc operatiile:

(a, b) ∗ (c, d) := (a + c, b + d)

(a, b)o(c, d) := (ac − bd, ad + bc), ∀(a, b), (c, d) ∈ R × R.

13. Sa se arate ca (R × {0}, *, o) este subcorp al corpului (R × R, *,o), izomorf cu corpul (R, +, ·). (“+” si ”·” sunt adunarea si ınmultirea pemultimea numerelor reale R).


1. Folosind metoda eliminarii complete, sa se rezolve sistemul:x + 3y = 6x + 4y + z = 9

2x + 5y + z = 11.

2. Sa se calculeze prin metoda eliminarii complete, inversa matricei:

A =

4 −1 11 1 −12 −1 0

.


3. Sa se studieze dependenta liniara a sistemelor de vectori:

S1 = {(3, 4, 5), (1, 1, 2), (0, 1, 1)}S2 = {(2, -1, 1), (-4, 1, -3), (1, -2, -1)}.4. Sa se arate ca

S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} ⊂ R3

este o baza ın R3 si sa se calculeze coordonatele lui v = (1, 0, 2) ın baza S.

5. Fie operatorul T : R3 → R3definit prin:

T(x) = (x1− x2 + 2x3, 3x1 + x3, 2x1 + x2− x3), x = (x1, x2, x3).

a) Sa se arate ca T este operator liniar;

b) Sa se determine ker T, Im T, rangul si defectul lui T;

c) Daca T este inversabil sa se calculeze T−1.

6. Fie operatorul T : R3 → R3definit prin:

T(x) = (x1− x2, -5x1 + x2− x3, −4x2 + x3).

a) Se determine valorile si vectorii proprii ale lui T;

b) Sa se scrie forma diagonala a lui AT (matricea asociata lui T).

7. Se da operatorul T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1+ 6x2, -x2, 5x1 + 3x2).Sa se determine KerT, ImT, defectul si rangul operatorului T.

8. Sa se determine functionala liniara G : R3 → R3, G(x) = σ1x1 + σ2x2

+ σ3x3, x = (x1, x2, x3), daca G(3, 4, 5) = 6, G(1, 1,2) = 9, G(0, 1, 1) = 11.

9. Sa se arate ca G : R3× R3 → R definita prin

G(x,y) = x1y3 + 2x2y2 + x3y1

este functionala biliniara. Este si simetrica?

10. Sa se reduca la forma canonica urmatoarele functionale patratice:

a) q(x) = 2x21− 5x2

2 + 4x1x3− 4x1x4 + 6x2x3− 8x3x4

b) q(x) = -2x1x2 + x2x3− x1x3.

11. Daca A =

2 −2 −3−2 3 5−3 5 −1

este matricea asociata unei functionale

patratice q(x) sa se determine q(x) si forma sa canonica.

12. Fie operatorul T : R2 → R3, T(x) = (3x1 - 2x2, 2x1 - x2, -x1 + x3 ),x ∈ R2, x = (x1, x2). Se cere sa se verifice ca:

(a) T este operator liniar;

(b) Daca vectorii u1 = (1, -1), u2 = (-1, 2) sunt liniari independenti,atunci T(u1) si T(u2) sunt liniari independenti.

13. Daca T : R2 → R2, T(x) = (x1, 3x1− x2), x = (x1, x2) sa se arateca T o T = I, unde I : R2 → R2 este operatorul identic.

14. Sa se studieze ın functie de α ∈ R dependenta liniara a vectorilor x1

= (-1, 0, α, 2), x2 = (2, 1, -1, α), x3 = (α, -1, 2, α) ∈ R4, unde α ∈ R.

15. Sa se ortogonalizeze sistemul de vectori S = {x1 = (1, 2, 2, −1), x2

= (1, 1, -5, 3), x3 = (3, 2, 8, -7)} din spatiul euclidian (R4, ¡, ¿).


16. Fie Vn/3 spatiu vectorial si G : Vn x Vn → R functionala biliniara.Daca G este simetrica atunci AG simetrica, (AG este matricea asociata lui Gıntr-o baza a lui Vn).


1. Sa se determine matricea de trecere de la baza E ={(λ1 = (1, 1, 1),λ2 = (1, 1, 0), λ3 = (1, 0, 0)} la baza E ′ = {(λ1’ = (2, 0, 3), λ2’ = (-1, 4,1), λ3’ = (3, 2, 5)}.

2. Folosind lema substitutiei sa se arate ca:

S = {λ1 = (1, 0, 0), λ2 = (0, 1, 0), λ3 = (0, -5, 5)} este o baza si sa secalculeze coordonatele vectorului x = (2, -3, 5) ın aceasta baza.

3. Sa se calculeze vectorii proprii ai operatorului T : R3 → R3, T(x) =(-2x3 , 2x1− x2, 3x1 + 5x3); x = (x1, x2, x3) ∈ R.

4. Sa se determine functionala biliniara G : R3× R3 → R din careprovine functionala patratica q(x) = x1x2 + x1x3 + x2x3.

5. Sa se calculeze ker T pentru operatorul de la exercitiul 3 si sa sestudieze inversabilitatea lui T ın doua moduri.

6. Sa se calculeze ImT si rangul operatorului T : R3 → R3, T(x) = (2x1−x2 + x3, 2x2− x3, 2x3).

7. Sa se arate ca G : R3× R3 → R, G(x, y) = 1/2(x1y2 + x2y1 + x1y3

+ x3y1 + x2y3 + x3y2) este simetrica si sa se precizeze functionala patraticape care o determina.

8 Sa se determine forma patratica a carei matrice asociata este matricea:

A =

1 2 −12 3 5−1 5 −1

si sa i se gaseasca forma canonica.

9. Sa se arate ca functia 〈, 〉: R3× R3 → R definita prin 〈x,y〉 = 3x1y1−x1y2− x2y1 + 2x2y2, este un produs scalar.

10. Sa se determine numarul de vectori liniari independenti ai sistemului:

S = {x1 = (2, 4, 1, 3), x2 = (7, 4, -9, 5), x3 = ( 4, 8, 0, 1), x4 = (5, 5,-5,5), x5 = (8, 4, -14, 6)}.

11. Pentru operatorul T de la exercitiul 3, se cere:

(a) sa se precizeze daca kerT = {0} implica T inversabil (justificati);

(b) sa se precizeze ce conditie trebuie adaugata la ker T = {0}, astfelıncat T sa fie inversabil;

(c) ın caz ca T este inversabil sa verifice relatie T−1o T = I, unde I esteoperatorul identic.

12. Calculand ker T pentru operatorul T : R3 → R3, T(x) = (x1 + 2x2

+ x3, -x2− x3, 2x1− 3x3) sa se precizeze daca T este inversabil.


13 Sa se ortonormeze, folosind procedeul Gram-Schmidt sistemul de vec-tori S = {x1 = (−2, 1, 2), x2 = (2,−2, 1), x3 = (1, 2, 2)} din spatiul euclidianR3/R.

14 . Daca T ∈ L(V,W ) este injectiv si B = {λ1, λ2, . . . , λn} este bazaın V, atunci B′ = {T(λ1), . . . , T(λn)} este baza ın ImT.

15 . Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz referitoare la vectoriix, y ∈ V n/R devine egalitate daca si numai daca x, y sunt liniari dependenti.


1 Fie S = { x1 = (1, 0, 1), x2 = (−1, 2, 1), x3 = (1, 2, 3) } ⊂ R3/R. Sa seaplice procedeul de ortogonalizare Gram - Schmidt.

a) Ce se observa?

b) Cum se explica aparitia ın S⊥ a unui vector nul?

2 Sa se determine o baza pentru imaginea operatorului T: R3 → R3,T(x) = (2x2 − x3, − x3, 2x1 − x2 + x3), x = (x1, x2, x3) ∈ R3. ( Indicatie⇒ R3 ∼= ImT. Daca B este baza ın R, atunci T(B ) este baza ın ImT. Se ia,de exemplu, Bbaza canonica din R3).

3. Calculati lungimile vectorilor x = (2,0,-1) si y = (-1,1,2) din spatiuleuclidian R3 precum si unghiul format de acesti vectori.

4. Sa se determine o combinatie liniara convexa a vectorilor x1 = (1, 2, 2,−1), x2 = (1, 1, − 5, 3), x3 = (3, 2, 8, − 7)din R4/R. (Indicatie: Combinatialiniara convexa este un vector de forma x = α1x1 + α2x2 + α3x3, αi ≥ 0, i =

1, 3,3∑

i=1

αi = 1. Deci se iauα1, α2, α3 ın conditiile precizate si se calculeaza x.)

5. Daca θ este unghiul vectorilor liniar dependenti x, y ∈ V/R, spatiueuclidian, atunci θ ∈ {0,π}.

6. Sa se arate ca baza canonica din R4/Reste ortonormala.

7. Fie x,y doi vectori din spatiul euclidian V/R. Atunci ¡ x,y¿ = 0 dacasi numai daca x = 0 sau y=0 sau x⊥y.

8 Fie V/R spatiu vectorial. Pentru orice functionala G:V×V→R, functionalag: V×V→R, g(x,y) = 1/2[ G(x,y) + G(y,x)] este simetrica.

9. Fie Vn si Wp R - spatii vectoriale cu bazele E si respectiv F . Sa searate ca:

a) (T1 + T2)(x)=(AT1 + AT2)x, (∀)T1, T2 ∈L(Vn, W p)si(∀)x ∈ Vn,

b) (αT)(x) = α T(x) (∀)T ∈ L(Vn,W p) si (∀)x ∈ Vn, (∀)α ∈ R, unde AT

este matricea asociata lui T.

10. Fie Vn,Wn, R- spatii vectoriale si T ∈ L(Vn,Wn). Atunci T esteoperator inversabil, daca si numai daca det A 6= 0, A fiind matricea asociatalui T ın bazele E si F ale lui Vn si respectiv Wn.


11. Fie V/R spatiu vectorial si G: V→ R . Sa se arate ca G estefunctionala liniara daca si numai daca G(αx + βy) = αG(x) + βG(y),(∀)α,β ∈ R, (∀) x,y∈ V.

12. Fie V/R spatiu vectorial. Produsul scalar <,>: V ×V → R, este ofunctionala biliniara

13. Fie Vn/R spatiu vectorial,G : Vn×Vn → R, este o functionala biliniarasi AG matricea asociata lui G ıntr-o baza a lui Vn. Daca AGeste simetrica,atunci G este simetrica.

14. Aratati ca G : R2 × R2 → R, G(x,y) =x1y1+x2y2 este functionalabiliniara simetrica.

15. Fie V/R spatiu vectorial. Aratati ca V ∗ (dualul lui V ) este R-spatiu vectorial.

16. Sa se precizeze daca multimile:a) M1 = {x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3, 2x + 3y ≤ 12}b) M2 = {(x, y) ∈ R2| − x + y ≤ 2, x − 2y ≤ 4, 0 ≤ x, y ≤ 1}

sunt convexe.

Bibliografie

[1] Craioveanu, M. etc - Geometrie afina si euclidiana, exerecitii, EdituraFacla, Timisoara,1982

[2] Cruceanu, V. - Elemente de algebra liniara si geometrie, Editura Didac-tica si Pedagogica, Bucuresti, 1973.

[3] Miron R. - Geometrie analitica Editura Didactica si Pedagogica, Bu-curesti, 1976.

[4] Murgulescu E. etc - Geometrie analitica ın spatiu si geometriediferentiala, culegere de probleme Editura Didactica si Pedagogica, Bu-curesti, 1973.

[5] Obadeanu V. - Elemente de algebra liniara si geometrie analitica, EdituraFacla, Timisoara,1981.

[6] Popescu I.P. - Geometrie afina si euclidiana, Editura Facla,Timisoara,1984.

[7] Radu C. etc - Aplicatii de algebra, geometrie si matematici speciale, Ed-itura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1991.

[8] Udriste C. etc - Algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didac-tica si Pedagogica, Bucuresti, 1982.

[9] Udriste C. etc - Probleme de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale,Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981

103

Algebr˘a - analizam.neuron-media.roanalizam.neuron-media.ro/AlgebraOctNov-2011.pdf · Referitor la...

Documents

Transcript of Algebr˘a - analizam.neuron-media.roanalizam.neuron-media.ro/AlgebraOctNov-2011.pdf · Referitor la...