ALGEBRؤ‚ clasa a XI-a Teorie Exemple 2015-12-13آ  coloane din matrice A este egal cu numؤƒrul...

download ALGEBRؤ‚ clasa a XI-a Teorie Exemple 2015-12-13آ  coloane din matrice A este egal cu numؤƒrul de linii

of 14

  • date post

    23-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of ALGEBRؤ‚ clasa a XI-a Teorie Exemple 2015-12-13آ  coloane din matrice A este egal cu numؤƒrul...

  • Profesor Blaga Mirela-Gabriela

    1

    ALGEBRĂ clasa a XI-a 2.Matrice şi determinanţi

    Nr. crt.

    Teorie Exemple

    1. Noţiunea de matrice Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane o funcţie

    : {1,2, … , }x{1,2, … , } → ℂ.

    Sau = ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    ∈ , (ℂ)

    În cazul = avem matrice pătratică de ordinul .

    -transpusa matricei

    = ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    ∈ , (ℂ)

    = 1 03 1 ∈ (ℂ)

    = ( ) ∈ , (ℂ) matrice linie = −1 ∈ ,

    (ℂ) matrice coloană

    = 1 2 3 2 4 6 3 6 9

    ∈ (ℂ)

    = 1 03 1 ∈ (ℂ) → = 1 30 1 ∈

    (ℂ)

    = ( ) ∈ , (ℂ) → = ∈ , (ℂ)

    2. Egalitatea a două matrice

    , ∈ , (ℂ), = ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    = ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    ⎩ ⎪ ⎨

    ⎪ ⎧

    = = … = =

    1. Rezolvaţi ecuaţia = , unde:

    a) = 01 ∈ (ℂ),

    = −1 ∈ , (ℂ),

    b) = − 2+ 1 1 − , = −1 4 0 1 ,

    , ∈ (ℂ). a)Ecuaţia nu are sens, deoarece matricele A şi B nu sunt de acelaşi tip. b) =

    − 2 + 1 1 − =

    −1 4 0 1

    = −1 − 2 = 4 + 1 = 0

    1 − = 1

    = −1 = 6

    = −1 = 0

    2. Să se determine , , , ∈ ℝ astfel încât matricele să fie egale: = 2 − 3 + 3

    − 1 2 − ,

    = −1 40 1 , , ∈ (ℝ).

    3. Adunarea matricelor

    , ∈ , (ℂ)

    + = ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    + ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    = + ⋯ + ⋮ ⋱ ⋮ + ⋯ +

    ∈ , (ℂ)

    1. Calculaţi A+B, unde:

    a) = 1 00 1 ∈ (ℂ) ,

    = −1 ∈ , (ℂ),

    b) = 1 2−1 3 , = −1 4 0 1 , , ∈

    (ℂ). a)Adunarea nu are sens, deoarece matricele A şi B nu sunt de acelaşi tip.

  • Profesor Blaga Mirela-Gabriela

    2

    , (ℂ), + este grup abelian 1)”+” este bine definită, 2)”+” este asociativă, 3)matricea nulă este element neutru,

    , = 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0

    ∈ , (ℂ),

    4)orice matrice are opusă,

    − = − ⋯ − ⋮ ⋱ ⋮

    − ⋯ − ∈ , (ℂ),

    5)”+” este comutativă.

    b) + = 1 2−1 3 + −1 4 0 1

    = 1 − 1 2 + 4−1 + 0 3 + 1 = 0 6 −1 4 ∈

    (ℂ) 2. Calculaţi A+B, unde:

    = 1 2 3 2 4 6 3 6 9

    , = −√3 4 7

    0 √2 −5 0 6 −9

    ,

    , ∈ (ℂ).

    4. Înmulţirea cu scalari a matricelor ∈ , (ℂ) şi ∈ ℂ → a ∈ , (ℂ)

    1. Calculaţi -2A, unde = 1 2 3 2 4 6 3 6 9

    ,

    ∈ (ℂ).

    −2 = −2 ∙ 1 −2 ∙ 2 −2 ∙ 3 −2 ∙ 2 −2 ∙ 4 −2 ∙ 6 −2 ∙ 3 −2 ∙ 6 −2 ∙ 9

    = −2 −4 −6 −4 −8 −12 −6 −12 −18

    ∈ (ℂ)

    2. Calculaţi 4 ∙ , unde = −1 ∈ ,

    (ℂ).

    5. Înmulţirea matricelor ∈ , (ℂ) ∈ , (ℂ)

    → ∈ , (ℂ)

    = ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    ⋯ ⋮ ⋱ ⋮

    ⋯ =

    +. . + . . +. . + ⋮ ⋱ ⋮

    +. . + . . +. . +

    ∈ , (ℂ) Observaţii: 1.Înmulţirea matricelor AB are sens dacă numărul de coloane din matrice A este egal cu numărul de linii din matricea B, ( , )( , ) → ( , ). 2.Pentru BA avem ( , )( , ) unde numărul de coloane din matrice B este diferit de numărul de linii din matricea A, aşa că înmulţirea BA nu are sens. 3.În general, înmulţirea matricelor nu este comutativă, adică AB≠BA.

    1. Calculaţi , unde:

    a) = 1 2−1 3 , = −1 4 0 1 , , ∈

    (ℂ),

    b) = 1 23 5 ∈ (ℂ), = −1 ∈ ,

    (ℂ),

    c) = 1 2 3 2 4 6 3 6 9

    ∈ (ℂ),

    = (5 −1 0) ∈ , (ℂ),

    d) = −2 1 3 1 0 −5 3 −3 0

    , = 1 0 1 −2 4 0 −1 3 2

    ,

    , ∈ (ℂ).

    a) = 1 2−1 3 −1 4 0 1 =

    1 ∙ (−1) + 2 ∙ 0 1 ∙ 4 + 2 ∙ 1 −1 ∙ (−1) + 3 ∙ 0 −1 ∙ 4 + 3 ∙ 1 = −1 4 + 2 1 −4 + 3 =

    −1 6 1 −1 ∈

    (ℂ),

    b) = 1 23 5 −1 = 1 ∙ + 2 ∙ (−1) 3 ∙ + 5 ∙ (−1) =

    = − 23 − 5 ∈ , (ℂ),

    c)Înmulţirea nu are sens, deoarece matricea A are 3 coloane, iar matricea B are o linie.

  • Profesor Blaga Mirela-Gabriela

    3

    ( (ℂ),∙) este monoid, 1)”∙ ” este bine definită, 2)”∙ ” este asociativă, 3) matricea unitate este element neutru,

    = 1 0 … 0 0 1 … 0 … … … … 0 0 … 1

    ∈ (ℂ).

    d) = −2 1 3 1 0 −5 3 −3 0

    1 0 1 −2 4 0 −1 3 2

    = −2 ∙ 1 + 1 ∙ (−2) + 3 ∙ (−1) 1 ∙ 1 + 0 ∙ (−2) + (−5)(−1)

    3 ∙ 1 + (−3) ∙ (−2) + 0 ∙ (−1)

    −2 ∙ 0 + 1 ∙ 4 + 3 ∙ 3 1 ∙ 0 + 0 ∙ 4 + (−5) ∙ 3 3 ∙ 0 + (−3) ∙ 4 + 0 ∙ 3

    −2 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + 3 ∙ 2

    1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + (−5) ∙ 2 3 ∙ 1 + (−3) ∙ 0 + 0 ∙ 2

    = −7 13 4 6 −15 −9 9 −12 3

    ∈ (ℂ).

    2. Calculaţi și ( = ∙ ), unde: a) = 1 2−1 3 , =

    −1 4 0 1 , , ∈

    (ℂ),

    b) = 1 23 5 ∈ (ℂ), = −1 ∈ ,

    (ℂ),

    c) = 1 2 3 2 4 6 3 6 9

    ∈ (ℂ),

    = (5 −1 0) ∈ , (ℂ),

    d) = −2 1 3 1 0 −5 3 −3 0

    , = 1 0 1 −2 4 0 −1 3 2

    ,

    , ∈ (ℂ). 6. Ridicarea la putere a unei matrice

    = ∙ ∙ … ∙

    , ∈ (ℂ), ∈ ℕ∗, ≥ 2

    1. Calculaţi , unde:

    a) = −1 00 −1 ∈ (ℂ),

    b) = 1 0 0 2 1 0 3 2 1

    ∈ (ℂ),

    c) = − ∈ (ℂ),

    d) = 1 2 5 − 2 0 1 5 0 0 1

    ∈ (ℝ),

    e) = 0 1 0 0 0 1

    0 0

    0 0 0 1 0 0

    1 0

    ∈ (ℝ).

    a) = ∙ = 1 00 1 = = ∙ = ş.a.m.d.

    = , = ă , = ă

    b)Matricea A are formă diagonală şi o descompunem astfel

    = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

    + 0 0 0 2 0 0 3 2 0

    = +

    apoi, utilizăm Binomul lui Newton = ( + ) = + +

  • Profesor Blaga Mirela-Gabriela

    4

    + + ⋯+ , unde

    = 0 0 0 2 0 0 3 2 0

    = 0 0 0 2 0 0 3 2 0

    0 0 0 2 0 0 3 2 0

    = 0 0 0 0 0 0 4 0 0

    = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    → = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    şi = , = …

    = + +

    = + + ( − 1)

    2

    = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

    + 0 0 0 2 0 0 3 2 0

    + ( − 1)

    2

    0 0 0 0 0 0 4 0 0

    = 1 0 0

    2 1 0 2 + 2 1

    c) = ∙ = − −

    = − 2 −2 −

    = 2 2− 2 2

    Deducem = − şi demonstrăm prin metoda inducţiei matematice. Presupunem

    = cos ( + 1) ( + 1)− ( + 1) ( + 1) verificăm

    = ∙ = −

    = cos ( + 1) ( + 1)− ( + 1) ( + 1) adevărat.

    d) ∙ =

    = 1 2 5 − 2 0 1 5 0 0 1

    1 2 5 − 2 0 1 5 0 0 1

    = 1 2( + ) 5( + ) − 2( + ) 0 1 5( + ) 0 0 1

    = = ∙ = = = → = ( )

    = ∙ = ∙ = ( )

  • Profesor Blaga Mirela-Gabriela

    5

    e) = 0 1 0 0 0 1

    0 0

    0 0 0 1 0 0

    1 0

    = ∙ = 0 1 0 0 0 1

    0 0

    0 0 0 1 0 0

    1 0

    0 1 0 0 0 1

    0 0

    0 0 0 1 0 0

    1 0

    =

    = 0 0 1 0 0 0

    0 1

    1 0 0 0 1 0

    0 0

    = 0 0 0 1 0 0

    1 0

    0 1 0 0 0 1

    0 0

    = 1 0 0 0 1 0

    0 0

    0 0 1 0 0 0

    0 1

    =

    =

    ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

    ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧

    0 1 0 0 0 1

    0 0

    0 0 0 1 0 0

    1 0

    , = 4 + 1, ∈ ℕ

    0 0 1 0 0 0

    0 1

    1 0 0 0 1 0

    0 0

    , = 4 + 2, ∈ ℕ

    0 0 0 1 0 0

    1 0

    0 1 0 0 0 1

    0 0

    , = 4 + 3, ∈ ℕ

    1 0 0 0 1 0

    0 0

    0 0 1 0 0 0

    0 1

    = , = 4 , ∈ ℕ∗

    2. ( ) = cosx 0 sinx

    0 1 0 sinx 0 cosx

    ∈ (ℂ), ∈ ℝ

    a)Calculaţi det ( ). b)Arătaţi că ( ) ( ) = ( + ). c)Determinaţi numerele reale pentru care ( ( )) = . ( 2012)

    7. Urma matricei pătratice TrA=urma matricei pătratice este suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A.

    = ⋯

    ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

    ∈ (ℂ)

    TrA= + + ⋯+

    1.Calculaţi urma matricei A, unde:

    a) = −1 00 −1 ∈ (ℝ),

    b) = 1−1 ∈ (ℂ),

    c) = − ∈ (ℂ),

    d) = 1 − √3 2 4 1 + √3

    ∈ (ℂ),

    e) = 1 log 5log 3 2 ∈ (ℝ).

  • Profesor Blaga Mirela-Gabriela

    6

    a)TrA = −1 − 1 = −2 b)TrA = i + i = 2i c)TrA = + = 2 d)TrA = 1 − √3 + 1 + √3 = 2 e)TrA = 1 + 2 = 3 2.Calculaţi urma matricei A, unde:

    a) = 5 46 9 ∈ (ℝ),

    b) = 1 + 3− 1 1 − 2 ∈ (ℂ),

    c) = 1 1 ∈ (ℂ),

    d) = 1 + √7 2 √7 1 + √7

    ∈ (ℂ),

    e) = 3 66 9 ∈ (ℝ).

    8. Determinantul de ordinul doi

    Determinantul ataşat matricei = ∈ (ℂ)

    este det = = − ∈ ℂ. Observaţie: Matricea este o funcţie, iar determinantul este un număr.

    1.Calculaţi determinanţii ataşaţi matricelor date:

    a) = −1 00 −1 ∈ (ℝ),

    b) = 1−1 ∈ (ℂ),

    c) = −