Investeşte în oameni !FONDUL SOCIAL EUROPEANProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013 Axa prioritară nr. 1 „Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere”Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitateînînvăţământulsuperior”

Numărulde identificareal contractului:POSDRU/156/1.2/G/138821 Beneficiar:UniversitateaPOLITEHNICA din BucureştiTitlulproiectului: Calitate, inovare, comunicare-instrumenteeficienteutilizatepentrucreştereaaccesuluişipromovabilităţiiînînvăţământulsuperior tehnic

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

1

MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA

Curs: 4

Grupele: G4, G7

Formator: As. Univ. Dr. BejenaruAndreea

Octombrie/ 2015

Forma generala a sistemelor liniare

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

2

Metode de rezolvare a sistemelor liniare

• Metoda 1: elementar, prin reduceri si substitutii

• Metoda 2 (doar pentru sisteme patratice cu determinant nenul): regula lui Cramer:

unde Δ desemneaza determinantul matricei sistemului, Δ 𝑖 este determinantulobtinut prin inlocuirea cooanei i cu coloana termenilor liberi.

• Metoda 3 (doar pentru sisteme patratice cu determinant nenul): matriceal.

• Metoda 4: pe baza unui minor principal.

• Stabilim, folosind Teorema Kronecker –Capelli daca sistemul este compatibil(rang(A)=rang( 𝐴)=r).

• Selectam un minor principal; ecuatiile care nu intervin in minorul principal se elimina;necunoscutele care nu intervin in minorul principal sunt coonsiderate secundare si se trec inmembrul drept. Rezultatul este un sistem patratic cu determinant nenul care se poate rezolva cuoricare din metodele anterioare.

• Metoda 5: Gauss sau Gauss-Jordan

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

3

𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1𝐵

Sisteme liniare omogene

• Forma generala

• Observatie: Sistemele liniare omogene sunt intotdeauna compatibile.

• Metode de rezolvare recomandate:

• Regula lui Cramer (pentru cele patratice, cu determinant nenul);

• Pe baza de minor principal sau cu metoda Gauss (pentru restul);

• Elementar (substitutii si reduceri), pentru sisteme de dimensiuni mici (2 sau 3

ecuatii sau necunoscute).

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

4

Metoda Gauss de rezolvare a sistemelor liniare

Pasul 1. Se creeaza un tablou care include matricea sistemului si coloana termenilor

liberi

Pasul 2. Se alege ca pivot primul element al diagonalei principale; daca acesta este nul,

se schimba intre ele doua linii astfel incat primul element al diagonalei

principale sa fie nenul si apoi se fixeaza pivotul.

Pasul 3. Pe coloana pivotului se identifica elementele care vor fi transformate in zerouri.

Pasul 4. Se fac transformari pe linii dupa regula:

Pasul 5. Se repeta rationamentul, selectand ca pivoti celelalte elemente ale diagonalei

principale, pana ce matricea capata forma trapezoidala.

Pasul 6. Se considera sistemul asociat matricei rezultate si se rezolva.

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

5

𝐿𝑖 −𝑎𝑖1

𝑎11𝐿1 → 𝐿𝑖

• Probleme rezolvate

1. Stabiliti daca sistemul de ecuatii de mai jos este compatibil, apoi calculati

valorile necunoscutelor utilizand urmatoarele metode de rezolvare: reducere, substitutie,

metoda matriceala si metoda Cramer.

Solutie.

Matricea sistemului este .

Determinantul ei

sistemul are solutie si aceasta este unica. Rezolvam sistemul prin metodele cerute:

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

6

• Metoda reducerii: Grupam ecuatiile doua cate doua si reducem necunoscuta z:

Din prima ecuatie a sistemului dat, obtinem .

• Metoda substitutiei: Exprimam necunoscuta z din prima ecuatie si o inlocuim in

ecuatiile doi si trei:

• Metoda matriceala: Cu notatiile:

- matricea sistemului, - vectorul termenilor liberi, - vectorul

necunoscutelor, sistemul dat capata scrierea matriceala:

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

7

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

8

Astfel,

• Metoda Cramer: Daca notam , atunci calculam necunoscutele x, z, z din

formulele:

unde este determinantul care se obtine inlocuind in coloana corespunzatoare lui x cu

termenul liber etc.

deci

, , ,

; ;

, , .

2) Rezolvati urmatoarele sisteme de ecuatii liniare:

a) b)

Solutie.

a) Sistemul are patru necunoscute si doar trei ecuatii. Matricea A atasata sistemului, matricea extinsa si vectorul termenilor liberi sunt:

Conditia ca sistemul sa admita solutie este: . Calculam, deci, rangurile celor doua matrice:

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

9

; ;

Pentru :

Analog, obtinem , deci din egalitatea rangurilor celor doua matrici deducem ca sistemul este compatibil. Deoarece elementele minorului principal , care da rangul matricii A, corespund necunoscutelor x, z si z din sistem, necunoscuta t este necunoscuta secundara si o notam .

aplicam metoda Cramer:

Deci,

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

10

; ;

, , .

Matricea A atasata sistemului si matricea extinsa sunt:

Calculam, rangurile celor doua matrici:

Pentru :

Pentru : minorii se mentin identici. Apare in plus:

In consecinta, sistemul este incompatibil, deoarece .

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

11

; ;

3. Rezovati sistemele urmatoare utilizand metoda eliminarii complete (metodaGauss-Jordan)

a) b)

Solutie.

a) Matricea sistemului este , pentru care . Deci, sistemul de

ecuatii este compatibil determinat.

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

12

b) Matricea sistemului si matricea extinsa sunt:

Pentru a stabili daca sistemul este sau nu compatibil, calculam si .

• Pentru calculul :

• Printr-un calcul similar

Deci sistemul este compatibil. Notam , necunoscuta secundara. Sistemul se

scrie:

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

13

este matricea noului sistem, pentru care . Deci, acest nou sistem are solutie pe care o putem determina cu metoda eliminarii complete.

PO

SDR

U/1

56

/1.2

/G/1

38

82

1

14