204

CAPITOLUL 9 SCHIMBĂRI DE VARIABILĂ

A. Schimbări de variabilă şi de funcţie pentru o funcţie de o variabilă A 1 . Schimbarea de variabilă pentru o funcţie de o variabilă Se dă funcţia ( )xyy = şi facem schimbarea de variabilă ( )txx = . Atunci considerăm funcţia compusă ( ) ( )( )txyty = . (1)

Se cere să se exprime ( ) ( ),, ''' xyxy în funcţie de ,, 2

2

ydt

ydydtdy

==

Derivând relaţia (1), avem

dtdx

dxdy

dtdy

⋅= .

Atunci

dtdxdtdy

dxdy

=⇒ (2)

Notând

,; ''2

2' y

dxydy

dxdy

==

şi

,, 2

2

ydt

ydydtdy

== ,

atunci relaţia (2) se poate scrie astfel:

xyy

=' sau ( )y

dtd

xdxdy

⋅=

1 (3)

Se obţine operatorul de derivare care este foarte important : ( ) ( )

dtd

xdxd

⋅=

1 . (4)

Pentru determinarea derivatelor de ordin superior se aplică operatorul (4) astfel:

( )

( ) ( ) 3'

4

32

2'' 11

xyxxy

xy

dtd

xy

dtd

xdxdy

dxd

dxydy

⋅−⋅=

⋅=⋅=

== ; (5)

( )( )

( )

⋅−⋅

⋅=== 3

4

5

''3

3''' 1

xyxxy

dtd

xy

dxd

dxydy

. (6)

.

.

.

205

Exemplu. Ce devine ecuaţia 0'''2 =−+ yxyyx dacă se face schimbarea de variabilă

tex = ? Rezolvare

Avem texx == şi teyy

=' , ( ) tt

tt

eyy

e

yeeyy 23'' −

=−

= . Înlocuim în ecuaţie şi

obţinem

00022 =−⇔=−/+/−⇔=−⋅+

−⋅ yyyyyyy

eye

eyye t

tt

t .

A 2 . Schimbarea de funcţie pentru o funcţie de o variabilă Avem funcţia ( )xyy = şi facem schimbarea de funcţie: ( ) ( )( )xuxfxy ,= în care se trece de la ( )xyy = la ( )xuu = . Se cere să se exprime ( ) ( ),, ''' xyxy în funcţie de ( ) ( ),, ''' xuxu .

Derivând relaţia ( ) ( )( )xuxfxy ,= , avem '' u

uf

xfy

dxdy

⋅∂∂

+∂∂

== , (7)

( )

''''2

22

'2

2

2''''

uufuu

uf

xuf

uuxf

xfu

uf

xf

dxdy

dxdy

dxdy

⋅∂∂

+⋅

⋅

∂∂

+∂∂

∂+

+⋅∂∂

∂+

∂∂

=

⋅

∂∂

+∂∂

===

Deci:

( ) ''2'2

22'

2

2'' 2 u

ufu

uf

uxfu

xfy ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= (8)

.

.

. Exemplu. Ce devine ecuaţia: ( )( ) 01ln' =−− xyyxy dacă se face schimbarea de funcţie

( ) ( )xxzxy = , 0>xy ?

Rezolvare. Calculăm

( ) ( ) ( )2

''

xxzxxzxy −⋅

=

şi înlocuim în ecuaţie

206

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ln01ln'

2

'

=+−−⋅⇔=

−

−

−⋅⋅

xxzxz

xxz

xxzx

xxz

xxzx

xxz

xxzxxzx

( ) ( ) ( ) 0ln' =−⇔ xzxxzxz .

A 3 . Schimbarea de variabilă şi de funcţie pentru o funcţie de o variabilă Avem funcţia ( )xyy = şi trecem la o nouă funcţie ( )tu prin intermediul

schimbărilor de variabilă şi de funcţie ( )( )( )( )

φ=ϕ=

tutytutx

,,

. (9)

Derivând (9) în raport cu t , avem

⋅∂φ∂

+∂φ∂

==

⋅∂ϕ∂

+∂ϕ∂

==

uutdt

dyy

uutdt

dxx

. (10)

Atunci ( )( )

uut

uut

xy

dxdyxy

⋅∂ϕ∂

+∂ϕ∂

⋅∂φ∂

+∂φ∂

===4

' . Pentru a calcula celelalte derivate se

calculează ,, yx şi se aplică (5) şi (6). Exemplu.

Ce devine expresia yxyyyxE

−+

= '

'

dacă se face schimbarea şi de variabilă şi de

funcţie :

θρ=θρ=

sincos

yx

, cu ( )θρ=ρ funcţia nouă?

Rezolvare.

Derivând relaţiile

θρ=θρ=

sincos

yx

obţinem

θρ+θ⋅θ∂ρ∂

=θ

=

θρ−θ⋅θ∂ρ∂

=θ

=

cossin

sincos

ddyy

ddxx

Atunci:

( )θρ−θ⋅ρθρ+θ⋅ρ

==sincoscossin'

xyxy .

207

Iar expresia devine:

θ⋅ρ+θθρ−θθρ+θ⋅ρθθρ+θ⋅ρ+θθρ−θ⋅ρ

=θρ−

θρ−θ⋅ρθρ+θ⋅ρ

⋅θρ

θρ⋅θρ−θ⋅ρθρ+θ⋅ρ

+θρ= 22

22

sincossincossincoscossinsincossincos

sinsincoscossincos

sinsincoscossincos

E

ρρ

=⇒ρρ

=

E .

A 4 . Schimbarea rolului variabilelor pentru o funcţie de o variabilă Avem funcţia ( )xyy = şi trebuie să trecem la funcţia ( )yxx = . Făcând compunerea, rezultă:

( )( )yxyy = . (12) Prin derivarea relaţiei (12) obţinem:

xdydxy

dxdy

dydx

dxdy

dydx

dxdy

dydy

111 ' ===⇒⋅=⇔⋅= . (13)

Aplicând (4), avem ( ) 3'

2

2'' 11

xx

xdyd

xy

dxd

dxydy

−=

⋅=== .

Exemplu. Ce devine ecuaţia: ( ) 0''3' =+ yyx dacă se schimbă rolul variabilelor? Rezolvare.

Cum x

y

1' = şi 3''

xxy

−= , atunci ecuaţia devine 01

3

3

=−

xx

xx

⇔

003 =−⇔=−

⇔ xxx

xx

.

B. Schimbări de variabilă şi de funcţie pentru o funcţie de două variabile B1 . Schimbări de variabilă pentru o funcţie de două variabile Se dă ( )yxzz ,= şi se face schimbarea de variabile

( )( )

==

vuyyvuxx,,

. (14)

Se cere să se exprime: xz∂∂ ,

yz∂∂ ,

2

2

xz

∂

∂,

yxz∂∂

∂2

, 2

2

yz

∂∂ ,…în funcţie de

uz∂∂ ,

vz∂∂ , 2

2

uz

∂∂ ,

vuz∂∂

∂2

, 2

2

vz

∂∂ ,…

Folosind schimbările de variabilă (14), rezultă funcţia compusă ( )vuz , , unde ( ) ( ) ( )( )vuyvuxzvuz ,,,, = (15)

208

care este funcţie compusă de două variabile prin intermediul unei funcţii de două variabile. Atunci avem:

( )( )

( )( )

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

17

16

15

15

vy

yz

vx

xz

vz

uy

yz

ux

xz

uz

Rezolvând sistemul, obţinem

( )( )( )( )( )( )( )( )

=∂∂

=∂∂

vuDyxDvuDzxD

yz

vuDyxDvuDyzD

xz

,,,,,,,,

.

Observaţii 1) Pentru derivatele de ordin supeior se folosesc operatorii ( )a şi ( )b : ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

bvy

yvx

xv

auy

yux

xu

care se aplică relaţiilor (16) şi (17) şi apoi se scoate 2

2

xz

∂∂ , 2

2

yz

∂∂ …

2) Se poate inversa transformarea (14) şi rezultă ( )( )

==

yxvvyxuu

,,

,

( ) ( ) ( )( )yxvyxuzyxz ,,,, = . Derivarea revine la cazul funcţiilor compuse. Exemplu. Ce devine ecuaţia:

( ) ( ) zyzyx

xzyx =

∂∂⋅++

∂∂⋅−

dacă se fac schimbările de variabilă:

θρ=θρ=

sincos

yx

?

Rezolvare.

Derivatele parţiale pentru

θρ=θρ=

sincos

yx

sunt

209

θ=ρ∂∂ cosx , θρ−=

θ∂∂ sinx ,

θ=ρ∂∂ siny , θρ=

θ∂∂ cosy .

Prin compunere rezultă ( ) ( ) ( )( )θρθρ=θρ= ,,, yxzzz , pentru care aplicăm (16) şi (17) :

( )

θρ∂∂

+θρ−⋅∂∂

=θ∂∂

θ∂∂

+θ∂∂

=ρ∂∂

cossin

sincos

yz

xzz

yz

xzz

.

Vom exprima xz∂∂ şi

yz∂∂ în funcţie de

ρ∂∂z şi

θ∂∂z rezolvând sistemul de mai sus cu

regula lui Cramer.

Avem ( )( ) 0

cossinsincos

,,

≠ρ=θρθθρ−θ

=θρDyxD ,

θ∂∂⋅θ−

ρ∂∂⋅θρ

ρ=

ρ

θρθ∂∂

θρ∂∂

=∂∂ zz

z

z

xz sincos1cos

sin

;

ρ∂∂⋅θρ+

θ∂∂⋅θ

ρ=

ρθ∂∂

θρ−

ρ∂∂

θ

=∂∂ zz

z

z

yz sincos1sin

cos

.

Înlocuim în ecuaţie şi obţinem

( ) ( ) zzzzz=

ρ∂∂⋅θρ+

θ∂∂⋅θ

ρ⋅θ+θρ+

θ∂∂⋅θ−

ρ∂∂⋅θρ

ρ⋅θ−θρ sincos1sincossincos1sincos

( )+θρ+θθρ+θθρ−θρρ∂∂

⇔ 22 sincossincossincosz

( zz=θθ+θ+θ+θθ−⋅

θ∂∂

+ )cossincossincossin 22

( ) ( ) zzzzzz=

θ∂∂

+ρ∂∂

ρ⇔=θ+θθ∂∂

+θ+θρρ∂∂

⇔ 2222 cossinsincos .

210

B 2 . Schimbarea de funcţie pentru o funcţie de două variabile Se dă ( )yxzz , = şi se face schimbarea de funcţie ( )( )yxwyxfz ,,, = . (19) Se trece de la funcţia ( )yxz , la funcţia ( )yxw , .

Se cere să se exprime xz∂∂ ,

yz∂∂ ,…în funcţie de

xw∂∂ ,

yw∂∂ ,…

Derivând (19) în raport cu x şi y , avem

( )20

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂

=∂∂

yw

wf

yf

yz

xw

wf

xf

xz

Rezolvând sistemul obţinem xw∂∂ şi

yw∂∂ .

Exemplu.

Ce devine ecuaţia: ( ) ( )yxzxyyzx

xzy ,−=

∂∂⋅−

∂∂⋅ dacă se face schimbarea de

funcţie ( ) yxzyxw −−= ln, ? Rezolvare. Derivând rezultă:

−∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂

1

1

zyz

yw

zxz

xw

sau, dacă se explicitează ( )yxz , , atunci ( ) ( ) ( )yxwyxeyxzyxwyxz ,,,ln ++=⇒++= şi

( )

( )

∂∂

+⋅=∂∂

∂∂

+⋅=∂∂

++

++

ywe

yz

xwe

xz

yxwyx

yxwyx

1

1

,

,

.

Înlocuind în ecuaţie, obţinem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔−=

∂∂

+⋅−

∂∂

+⋅ ++++++++ yxwyxyxwyxyxwyxyxwyx eexyywxe

xwye ,,,, :11

0=∂∂

−∂∂

⇔−=∂∂

−−∂∂

+⇔ywx

xwyxy

ywxx

xwyy .

211

Tema 9 1) Ce devin expresiile următoare dacă se face schimbarea de variabilă )(txx =

( ) '''221 yxyaxE ⋅+⋅+= dacă shtax ⋅=

yyxyxE −⋅+⋅= ''''32 dacă tex =

( ) yyxyxE ⋅+⋅−⋅−= 223 '''1 ω dacă tx cos=

xyyyxE ++⋅= '''4 dacă tx 42 = , cu 0>t . 2) Ce devin ecuaţiile următoare dacă se face schimbarea de funcţie indicată:

( )( ) 01ln' =+⋅− yxyxy dacă xxzxy )()( = .

( ) 012'1 223 =++++ yxxyyx dacă )(

11)( 2 xzxxy −=

( ) xyxxyyx 42'4'' 22 =−++ dacă 2

)()(xxzxy =

( ) 0''' 222 =−++ yxxyyx λ dacă xxzxy )()( = .

3) Ce devin expresiile de mai jos dacă se schimbă atât funcţia cât şi variabilele:

( )21 '1''y

yE+

= şi yyxyyxE

−⋅⋅+

=''

2 dacă

==

θρθρ

sincos

yx

unde noua funcţie este ( )θρρ = . 24

3 2''' yyxyyxE −⋅+= dacă

⋅=

=t

t

euyex

2

cu ( )tuu = noua funcţie. yyxyxyE −⋅+−= '''''' 3

4 dacă

=

=

ttuy

tx

)(

1

cu ( )tuu = noua funcţie. 4) Ce devin ecuaţiile următoare dacă se schimbă rolul variabilelor?

( ) 0''' 3 =+⋅ yyx ( ) ( ) 0'cos''' 33 =⋅+⋅− yyyxy

( ) 0)'(2''' 32 =⋅+− yxyy

212

5) Ce devin expresiile următoare dacă se schimbă variabilele x şi y cu altele indicate:

( ) ( ) zyzyx

xzyxE −

∂∂

++∂∂

−=1

yzy

xzxE

∂∂

−∂∂

=2

22

3

∂∂

+

∂∂

=yz

xzE

2

22

2

2

22

4 2yzy

yxzxy

xzxE

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

dacă se trece de la variabilele (x,y) la ( )θρ , prin :

==

θρθρ

sincos

yx

yzx

xzyE

∂∂

−∂∂

=5

dacă se trece de la (x,y) la ( )vu, prin :

+=

=22 yxv

xu.

6) În ce se transformă ecuaţiile următoare dacă se trece de la de la funcţia ( )yxz , la funcţia ( )yxw , prin legăturile indicate :

zxyyzx

xzy ⋅−=

∂∂

−∂∂ )( dacă )(ln yxzw +−=

02 2

22

2

2

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yz

yxz

xz dacă zyxw −⋅=

02 2

22

2

2

=∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

yz

yxz

xz dacă

xzw = şi apoi se face schimbarea de variabile

=

+=

xyv

yxu.