5.analiz-Variatiei

8/18/2019 5.analiz-Variatiei

1/66

ANALIZA STATISTICĂ ANALIZA STATISTICĂ A VARIABILITĂŢII A VARIABILITĂŢII


2/66

Subiecte în discuţie

1. Variabilitatea – noţiunigenerale

2. Clasifcarea indicatorilorvariaţiei

3. Caracteristica indicatorilor

simpli ai variaţiei4. Caracteristica indicatorilor

sintetici ai variaţiei


3/66

Caracterizarea unei colectivitţiCaracterizarea unei colectivitţi

statistice prin indicatorii tendinţeistatistice prin indicatorii tendinţei

centrale ne a!ut s depistm ceea cecentrale ne a!ut s depistm ceea ce

este comun" esenţial în mani#estareaeste comun" esenţial în mani#estarea

unui #enomen. $rice colectivitate are ounui #enomen. $rice colectivitate are o

anumit organizare intern" defnit prinanumit organizare intern" defnit prin

#elul în care valorile individuale se#elul în care valorile individuale se împr%tie sau se concentreaz în !urul împr%tie sau se concentreaz în !urul

valorii centrale.valorii centrale.


4/66

&st#el se poate înt'mpla ca dou&st#el se poate înt'mpla ca dou

colectivitţi analizate dup aceea%icolectivitţi analizate dup aceea%i

variabil s fe di#erite prin tendinţavariabil s fe di#erite prin tendinţa

central" prin dispersie sau prin amcentral" prin dispersie sau prin ambelebele..

(n #elul acesta o valoare central poate f(n #elul acesta o valoare central poate f

credibil" o alta nu. )in acest motiv secredibil" o alta nu. )in acest motiv se

impune ca analiza prin indicatoriiimpune ca analiza prin indicatorii

tendinţei centrale s fe completat cutendinţei centrale s fe completat cu

indicatori aiindicatori ai variaţiei %i ai #ormei devaria

ţiei %i ai #ormei de

distribuţie.distribu

ţie.


5/66

Variabilitatea

*eprezint abaterile*e

prezint abaterilemsurabile ale valorilormsurabile ale valorilorindividuale #aţ de oindividuale #a

ţ de ovaloare central +tipic,.valoare central +ti

pic,.


6/66

-emplu/rmtoarele 2 serii0/rmtoarele 2 serii0

2" 2" 2" 1" 1" 1" 12" 2" 2" 1" 1" 1" 1

5" 5" 5" 5" 1" 11" 11" 11" 115" 5" 5" 5" 1" 11" 11" 11" 11

au aceea%i medie+1, %i median+1, darau aceea%i medie+1, %i median+1, dardispersie di#erit. &cest #apt estedispersie di#erit. &cest #apt este

evidenţiat de abaterile înregistrate #aţevidenţiat de abaterile înregistrate #aţ

de medie sau median. Seria a doua estede medie sau median. Seria a doua este

mai omogen +înregistreaz omai omogen +înregistreaz ovariabilitate mai mic a valorilorvariabilitate mai mic a valorilor

individuale," iar valorile sale tipice suntindividuale," iar valorile sale tipice sunt

mai reprezentative.mai reprezentative.


7/66

/tilitatea indicatorilorvariaţiei1, &naliza gradului de omogenitate a datelor din1, &naliza gradului de omogenitate a datelor din

care s6au calculat indicatorii tendinţei centralecare s6au calculat indicatorii tendinţei centrale%i verifcarea reprezentativitţii acestora7%i verifcarea reprezentativitţii acestora7

2, Compararea în timp %i +sau, spaţii a mai2, Compararea în timp %i +sau, spaţii a mai

multor serii de distribuţie dup caracteristicimultor serii de distribuţie dup caracteristiciindependente %i +sau, interdependente7independente %i +sau, interdependente7

3, Selectarea obiectiv a #actorilor semnifcativi3, Selectarea obiectiv a #actorilor semnifcativide in8uenţ dup care se structureazde in8uenţ dup care se structureazunitţile unei colectivitţi statistice7unitţile unei colectivitţi statistice7

4, Separarea acţiunii #actorilor esenţiali de4, Separarea acţiunii #actorilor esenţiali de#actorii înt'mpltori7#actorii înt'mpltori79, Concentrarea valorilor individuale ale9, Concentrarea valorilor individuale ale

caracteristicilor %i deplasarea acestora #aţ decaracteristicilor %i deplasarea acestora #aţ devalorile tipicevalorile tipice etc.etc.


8/66

Clasifcarea indicatorilorvariaţiei:.:. ))up numrul variantelor luate în calculup numrul variantelor luate în calcul00

a.a. indicatori simpli indicatori simpli +amplitudinea variaţiei" abaterea+amplitudinea variaţiei" abatereavalorilor individuale de la medie" abatereavalorilor individuale de la medie" abatereaintercuantilic,intercuantilic,

b.b. indicatori sintetici indicatori sintetici +dispersia" abaterea medie+dispersia" abaterea medie

ptratic" coefcientul de variaţie,ptratic" coefcientul de variaţie,::.::. ))up modul de sistematizare a datelor primareup modul de sistematizare a datelor primare00

a.a. indicatori ai variaţiei calculaţi pentru serii deindicatori ai variaţiei calculaţi pentru serii de

distribuţie unidimensionaledistribuţie unidimensionale

b.b. indicatori calculaţi pentru serii multidimensionaleindicatori calculaţi pentru serii multidimensionale

:::.:::. ))up modul de calcul %i eprimareup modul de calcul %i eprimare00

a.a. indicatori ai variaţiei calculaţi caindicatori ai variaţiei calculaţi ca mărimi absolutemărimi absolute

b.b. indicatori ai variaţiei calculaţi caindicatori ai variaţiei calculaţi ca mărimi relativemărimi relative


9/66

&mplitudinea variaţiei +&,&mplitudinea variaţiei +&,

6 Se mai nume%te c6 Se mai nume%te c''mp de variaţie saump de variaţie sauamplitudine absolut.amplitudine absolut.

6 Se determin prin di#erenţa dintre cea mai mare6 Se determin prin di#erenţa dintre cea mai mare

%i cea mai mic valoare individual înregistrat.%i cea mai mic valoare individual înregistrat.

& ; & ; mama 6 6 minmin

-emplu0 /n grup de bolnavi înregistreaz-emplu0 /n grup de bolnavi înregistreaz

urmtoarele durate de tratament în zile0urmtoarele durate de tratament în zile0

"


10/66

Amplitudinea relativă Amplitudinea relativă +&=, este raportul+&=, este raportul

procentual dintre amplitudinea absolutprocentual dintre amplitudinea absolut

%i media aritmetic a valorilor analizate.%i media aritmetic a valorilor analizate.

(n eemplul de mai sus &= ; +9>5,(n eemplul de mai sus &= ; +9>5,??1 ;1 ;

99"9=99"9=

mnmax% ⋅−=⋅= x x


11/66

$bservaţii re#eritor la amplitudine0$bservaţii re#eritor la amplitudine0

1, Se eprim în unitatea de msur a caracteristicii1, Se eprim în unitatea de msur a caracteristicii

studiate sau în procente în cazul amplitudiniistudiate sau în procente în cazul amplitudinii

relative7relative7

2, &mplitudinea nu ţine seama de toate valorile" ci2, &mplitudinea nu ţine seama de toate valorile" ci

numai de cele etreme" care adeseori sunt aberante7numai de cele etreme" care adeseori sunt aberante7

3, -ste sensibil la valorile aberante" se consider un3, -ste sensibil la valorile aberante" se consider un

indicator mai puţin relevantindicator mai puţin relevant"" nepermiţ'ndnepermiţ'nd

cunoa%terea structurii interne de variaţie.cunoa%terea structurii interne de variaţie.


12/66

4, (n cazul seriei de distribuţie pe4, (n cazul seriei de distribuţie pe

intervale valorice calcululintervale valorice calculul

amplitudinii este lipsit de sens7amplitudinii este lipsit de sens7

9, &mplitudinea se utilizeaz9, &mplitudinea se utilizeaz

#recvent la alegerea numrului de#recvent la alegerea numrului de

intervale de grupare a datelor %i laintervale de grupare a datelor %i lastabilirea mrimii intervalelor.stabilirea mrimii intervalelor.


13/66

&baterea valorilor individuale de la&baterea valorilor individuale de la

medie +dmedie +dii,.,.-prim cu c'te unitţi de msur sau de c'te-prim cu c'te unitţi de msur sau de c'te

ori +sau c't la sut, valoarea caracteristiciiori +sau c't la sut, valoarea caracteristicii

individuale a colectivitţii se abate de laindividuale a colectivitţii se abate de lamrimea unui indicator al tendinţei centrale.mrimea unui indicator al tendinţei centrale.

6 în #orma absolut6 în #orma absolut00

6 în #orma relativ6 în #orma relativ00

ii

% ⋅−

=⋅= x x ii


14/66

-emplu0 consider'nd acelea%i date din eemplul-emplu0 consider'nd acelea%i date din eemplul

anterior" bolnavul care s6a tratat 12 zile se abateanterior" bolnavul care s6a tratat 12 zile se abatede la media grupei cu 3 zile ceea ce reperezintde la media grupei cu 3 zile ceea ce reperezint

33"3= din medie iar pacientul care s6a tratat


15/66

$bservaţii0$bservaţii0

1, valorile individuale se compar cu valoarea1, valorile individuale se compar cu valoarealor medie" dar la #el de bine poate f utilizatlor medie" dar la #el de bine poate f utilizat

pentru comparare oricare alt indicator alpentru comparare oricare alt indicator al

tendinţei centrale +de e. mediana,7tendinţei centrale +de e. mediana,7

2, (n seriile de distribuţie pe intervale2, (n seriile de distribuţie pe intervale

valorice pentru calculul abaterilor individualevalorice pentru calculul abaterilor individuale

se iau în considerare centrele de interval7se iau în considerare centrele de interval7


16/66

3, &baterea valorilor individuale nu poate da3, &baterea valorilor individuale nu poate da

in#ormaţii dec't la nivelul fecrei variante pierz'ndin#ormaţii dec't la nivelul fecrei variante pierz'ndimaginea împr%tierii pe ansamblul distribuţiei.imaginea împr%tierii pe ansamblul distribuţiei.

4, (n analizele statistice se urmresc în mod4, (n analizele statistice se urmresc în mod

deosebit abaterile maime pozitive +ddeosebit abaterile maime pozitive +d@@mama, %i, %i

abaterile maime negative +dabaterile maime negative +d66mama, calculate în ci#re, calculate în ci#re

absolute %i relative ast#el0absolute %i relative ast#el0

dd@@mama ; ; mama – sau d– sau d@@mama= ; + d= ; + d@@mama> ,> , 11

dd66mama ; ; minmin – sau d– sau d66mama= ; + d= ; + d66mama> ,> , 11


17/66

&baterea intercuantilic&baterea intercuantilic

Se calculeaz ca di#erenţ întreSe calculeaz ca di#erenţ între

cuantila superioar %i cuantilacuantila superioar %i cuantila

in#erioar de acela%i ordin. &st#elin#erioar de acela%i ordin. &st#elpentru r ; 4 Apentru r ; 4 A33 – A– A11 conţine 9= dinconţine 9= din

numrul observaţiilor7 pentru r ; 1numrul observaţiilor7 pentru r ; 1

))55 – )– )11 conţine = din numrulconţine = din numrul

observaţiilor.observaţiilor.


18/66


1, &cest indicator se eprim în unitatea de1, &cest indicator se eprim în unitatea demsur a caracteristicii7msur a caracteristicii7

2, Calculul abaterii intercuantilice" spre2, Calculul abaterii intercuantilice" spre

deosebire de cel al amplitudinii" prezintdeosebire de cel al amplitudinii" prezint

avanta!ul c evit valorile individuale etremeavanta!ul c evit valorile individuale etreme

sau aberante. Brin calculul acestui indicatorsau aberante. Brin calculul acestui indicator

se pierd in#ormaţii dar are c'%tig de cauzse pierd in#ormaţii dar are c'%tig de cauz

omogenitatea.omogenitatea.3, Ca %i amplitudinea" abaterea intercuantilic3, Ca %i amplitudinea" abaterea intercuantilic

nu poate f utilizat în calcule algebrice.nu poate f utilizat în calcule algebrice.


19/66

)ispersia +)ispersia +σ

22 ,,

Se calculeaz ca media aritmetic a ptratelorSe calculeaz ca media aritmetic a ptratelorabaterilor valorilor individuale de la tendinţaabaterilor valorilor individuale de la tendinţa

central +uzual de la medie,.central +uzual de la medie,.

Bentru o serie simpl #ormula dispersiei este0Bentru o serie simpl #ormula dispersiei este0

σ

22 ;;Σ

dd22

nn

Bentru o serie de distribuţie pe #recvenţe #ormulaBentru o serie de distribuţie pe #recvenţe #ormula

dispersiei este0dispersiei este0

σ

22 ;;Σ

dd22# #

nn


20/66


1, Se mai nume%te1, Se mai nume%te varianţvarianţ sausau moment centratmoment centratde ordin doi7de ordin doi7

2, -ste indicatorul care msoar variaţia total a2, -ste indicatorul care msoar variaţia total a

unei caracteristici studiate datorat at'tunei caracteristici studiate datorat at'tcauzelor esenţiale c't %i celor înt'mpltoare7cauzelor esenţiale c't %i celor înt'mpltoare7

3,3, -ste un indicator cu valoare teoretic" util în-ste un indicator cu valoare teoretic" util în

verifcri de ipoteze statistice" o mrimeverifcri de ipoteze statistice" o mrimeabstract #olosit ca baz de calcul pentruabstract #olosit ca baz de calcul pentru

abaterea medie ptratic7abaterea medie ptratic7


21/66

4, u are #orm concret de eprimare74, u are #orm concret de eprimare7

9, Cu c't valorile individuale ale9, Cu c't valorile individuale ale

caracteristicii sunt mai apropiate între ele"caracteristicii sunt mai apropiate între ele"

cu at't mrimea dispersiei este mai mic. Dacu at't mrimea dispersiei este mai mic. Da

limit" dac toate valorile individuale suntlimit" dac toate valorile individuale sunt

egale între ele" dispersia este nul7egale între ele" dispersia este nul7

E, )ispersia" ca %i media valorilorE, )ispersia" ca %i media valorilorindividuale" este sensibil la prezenţaindividuale" este sensibil la prezenţa

valorilor etreme" aberante.valorilor etreme" aberante.


22/66

&baterea medie ptratic +&baterea medie ptratic +σ

,,

-ste calculat ca o medie ptratic din-ste calculat ca o medie ptratic dinabaterile valorilor individuale de la mediaabaterile valorilor individuale de la media

lor.lor.

(n seriile statistice simple0(n seriile statistice simple0

σ

;;√Σ

Σdd22

nn

(n seriile de distribuţie pe #recvenţe0(n seriile de distribuţie pe #recvenţe0

σ

;;√Σ

Σdd22# #

nn

Fenţionm" c în cazul în care numrul deFenţionm" c în cazul în care numrul de#recvenţe este mai mic de 12" numitorul#recvenţe este mai mic de 12" numitorul

#ormulelor deviaţiei standard devine n61.#ormulelor deviaţiei standard devine n61.


23/66

)eviaţia standard este cel mai util %i mai)eviaţia standard este cel mai util %i mai

important indicator de dispersie. -a pune înimportant indicator de dispersie. -a pune înevidenţ intervalul valoric" în !urul mediei"evidenţ intervalul valoric" în !urul mediei"

în care s6au distribuit valorile individuale ale în care s6au distribuit valorile individuale ale

#enomenului studiat. $ deviaţie standard cu#enomenului studiat. $ deviaţie standard cuvaloare mic" pune în evidenţ str'ns ovaloare mic" pune în evidenţ str'ns o

distribuţie str'ns a valorilor #recvenţelordistribuţie str'ns a valorilor #recvenţelor

#enomenului cercetat în !urul mediei" deci#enomenului cercetat în !urul mediei" deci

evidenţiaz un e%antion omogen.evidenţiaz un e%antion omogen.


24/66

$ valoare mare a deviaţiei standard$ valoare mare a deviaţiei standard

pune în evidenţ o dispersie mare apune în evidenţ o dispersie mare a

valorilor individuale în !urul mediei"valorilor individuale în !urul mediei"

dovedind c e%antionul estedovedind c e%antionul esteneomogen %i ca atare rezultateleneomogen %i ca atare rezultatele

obţinute pe un a%a e%antion nu potobţinute pe un a%a e%antion nu pot

f generalizarte.f generalizarte.


25/66

(n general" cu c't deviaţia standard are(n general" cu c't deviaţia standard are

valori mai mari" cu at't mediavalori mai mari" cu at't media

caracterizeaz mai puţin #enomenulcaracterizeaz mai puţin #enomenul

cercetat. )eviaţia standard are ocercetat. )eviaţia standard are ovaloare semnifcativ atunci cîndvaloare semnifcativ atunci cînd

e%antionul pe care am lucrat are oe%antionul pe care am lucrat are o

distribuţie normal" adic distribuţia sedistribuţie normal" adic distribuţia se

#ace con#orm curbei Gauss – Daplace.#ace con#orm curbei Gauss – Daplace.


26/66

• Pentru o distribuţie normală unităţile populaţiei

statistice sunt repartizate în modul următor:


27/66

(n cadrul unei asemenea distribuţii" în(n cadrul unei asemenea distribuţii" în

mod normal" între valoarea mediei %i ceamod normal" între valoarea mediei %i cea

a deviaţiei standard se distribuie E"2a deviaţiei standard se distribuie E"2==

din totalul valorilor unei colectivitţidin totalul valorilor unei colectivitţistatistice7 între medie %i dou valori alestatistice7 între medie %i dou valori ale

sigmei se distribuie 59"49sigmei se distribuie 59"49== din valori" iardin valori" iar

între medie %i trei valori ale sigmei sunt între medie %i trei valori ale sigmei sunt

cuprinse 55"cuprinse 55"5


28/66

)e obicei" în practica" datorit variabilitţii)e obicei" în practica" datorit variabilitţii

mari a #enomenelor biologice" se consider camari a #enomenelor biologice" se consider ca

normale valorile cuprinse în intervalulnormale valorile cuprinse în intervalul

determinat de H I 2determinat de H I 2σ

. (n cercetrile. (n cercetrile

eperimentale" care necesit o eactitate maieperimentale" care necesit o eactitate mai

mare" intervalul în care considerm ca normalemare" intervalul în care considerm ca normale

valorile #recvenţelor #enomenului cercetat estevalorile #recvenţelor #enomenului cercetat este

mai mare" determinat demai mare" determinat de H I 3H I 3σ

..


29/66


1, Se mai nume%te abatere standard" deviaţie1, Se mai nume%te abatere standard" deviaţiestandard" abatere tip" standard deviation7standard" abatere tip" standard deviation7

2, -ste un indicator important în analiza variaţiei"2, -ste un indicator important în analiza variaţiei"

se #olose%te la estimarea erorilor de selecţie7se #olose%te la estimarea erorilor de selecţie7stabilirea e%antionului7 în calcule de corelaţie7stabilirea e%antionului7 în calcule de corelaţie7

3, Se utilizeaz pentru elaborarea standardelor3, Se utilizeaz pentru elaborarea standardelor

de dezvoltare fzic" pentru delimitarea strilorde dezvoltare fzic" pentru delimitarea strilornormale de cele patologice7normale de cele patologice7


30/66

4, -prim cu c't se abate4, -prim cu c't se abate în medie în medie fecarefecare

valoare individual de la media valorilorvaloare individual de la media valorilorevidenţiind in8uenţa abaterilor mari7evidenţiind in8uenţa abaterilor mari7

9, Se calculeaz ca o medie ptratic simpl9, Se calculeaz ca o medie ptratic simpl

sau ponderat a ptratelor abaterilorsau ponderat a ptratelor abaterilorvalorilor individuale de la media lor7valorilor individuale de la media lor7

E, Se eprim în unitatea de msur în careE, Se eprim în unitatea de msur în care

se eprim %i caracteristica.se eprim %i caracteristica.


31/66

Coefcientul de variaţie +Cv,Coefcientul de variaţie +Cv,

Be l'ng multiplele utilizri practice" deviaţiaBe l'ng multiplele utilizri practice" deviaţiastandard are %i un mare nea!uns. )atoritstandard are %i un mare nea!uns. )atorit

#aptului c deviaţia standard este eprimat în#aptului c deviaţia standard este eprimat în

unitţi de msur di#erite" specifce #enomenelorunitţi de msur di#erite" specifce #enomenelorpe care le cercetm" ea nu poate f utilizat înpe care le cercetm" ea nu poate f utilizat în

aprecierea comparativ a dou sau mai multeaprecierea comparativ a dou sau mai multe

e%antioane" sub aspectul omogenitţii" care see%antioane" sub aspectul omogenitţii" care seeprim în unitţi de msur di#erite.eprim în unitţi de msur di#erite.


32/66

Spre eemplu" dac am msurat înlţimea %iSpre eemplu" dac am msurat înlţimea %i

greutatea unui lot de 3 de elevi %i am gsitgreutatea unui lot de 3 de elevi %i am gsitpentru înlţime o medie de 149 cm cu o deviaţiepentru înlţime o medie de 149 cm cu o deviaţie

standard de I 9 cm" iar pentru greutate am gsitstandard de I 9 cm" iar pentru greutate am gsit

o medie de 39 de Jg cu o deviaţie de I 3 Jg" peo medie de 39 de Jg cu o deviaţie de I 3 Jg" pebaza valorilor deviaţiei standard" eprimate înbaza valorilor deviaţiei standard" eprimate în

centimetri %i Jilograme" nu putem aprecia sub cecentimetri %i Jilograme" nu putem aprecia sub ce

aspect" al înlţimii sau al greutţii" lotul de eleviaspect" al înlţimii sau al greutţii" lotul de elevi

este mai omogen" mai uni#orm dezvoltat.este mai omogen" mai uni#orm dezvoltat.


33/66

(n aceast situaţie se recurge la coefcientul(n aceast situaţie se recurge la coefcientul

de variaţie" care nu este altceva dec'tde variaţie" care nu este altceva dec'tdeviaţia standard eprimat procentual.deviaţia standard eprimat procentual.

Ca defniţie" coefcientul de variaţie esteCa defniţie" coefcientul de variaţie este

rapotul procentual dintre valoarearapotul procentual dintre valoarea

deviaţiei standard %i media aritmetic.deviaţiei standard %i media aritmetic.

Kormula de calcul0Kormula de calcul0

Cv ; I +Cv ; I + σ H ,H , 11


34/66

Coefcientul de variaţie arat c't la sut dinCoefcientul de variaţie arat c't la sut din

medie reprezint deviaţia standard. &st#el"medie reprezint deviaţia standard. &st#el"eprim'nd procentual peeprim'nd procentual pe

σ

" scpm de in8uenţa" scpm de in8uenţa

unitţii de msur" put'nd compara între ele" subunitţii de msur" put'nd compara între ele" sub

aspectul omogenitţii" c'te e%antioane dorim.aspectul omogenitţii" c'te e%antioane dorim.

(n eemplul anterior" coefcientul de variaţie pentru(n eemplul anterior" coefcientul de variaţie pentru

înlţime este0 înlţime este0

Cv ;Cv ; I +9cmI +9cm

149cm,149cm, 1 ;1 ; I 3"4=I 3"4=

Bentru greutate coefcientul este0Bentru greutate coefcientul este0

Cv ;Cv ; I +3JgI +3Jg 39Jg,39Jg, 1 ;1 ; I "E=I "E=


35/66

)in datele obţinute rezult" c lotul de)in datele obţinute rezult" c lotul de

copii este mai omogen dezvoltat subcopii este mai omogen dezvoltat sub

aspectul înlţimii" %i nu sub aspectulaspectul înlţimii" %i nu sub aspectul

greutţii" cum eram tentaţi s apreciem pegreutţii" cum eram tentaţi s apreciem pe

baza valorilor deviaţiei standard.baza valorilor deviaţiei standard.

Cu cît valoarea procentual a coefcientuluiCu cît valoarea procentual a coefcientului

de variaţie este mai mic" cu at'tde variaţie este mai mic" cu at't

e%antionul cercetat este mai omogen.e%antionul cercetat este mai omogen.


36/66

(n general" se consider c un coefcient de(n general" se consider c un coefcient de

variaţie cu valori subvariaţie cu valori sub I 1= indic o variaţieI 1= indic o variaţiemic" deci o omogenitate care ne permite smic" deci o omogenitate care ne permite s

generalizm rezultatele" dac %i din punct degeneralizm rezultatele" dac %i din punct de

vedere numeric e%antionul este corespunztor.vedere numeric e%antionul este corespunztor.

/n coefcient de variaţie cu valori cuprinse între/n coefcient de variaţie cu valori cuprinse între

I 1= %i I 2= indic o variaţie medie.I 1= %i I 2= indic o variaţie medie.

-%antionul este mai puţin omogen ca în primul-%antionul este mai puţin omogen ca în primul

caz" dar totu%i permite generalizarea rezultatelorcaz" dar totu%i permite generalizarea rezultatelor

obţinute" cu o anumit probabilitate de a gre%i.obţinute" cu o anumit probabilitate de a gre%i.


37/66

Valorile peste I 2= aleValorile peste I 2= ale

coefcientului de variaţie indiccoefcientului de variaţie indic

o variaţie mare" o lips aproapeo variaţie mare" o lips aproape

total de omogenitate" #apt cetotal de omogenitate" #apt ce

contraindic generalizareacontraindic generalizarea

rezultatelor obţinute pe unrezultatelor obţinute pe unasemenea e%antion.asemenea e%antion.


38/66

(n literatura de specialitate se avanseaz(n literatura de specialitate se avanseaz

nivelul de 39 6 4= ca limit maimnivelul de 39 6 4= ca limit maimadmisibil pentru coefcientul deadmisibil pentru coefcientul de

variaţie. (n situaţia unor valori mai marivariaţie. (n situaţia unor valori mai mari

ale indicatorului" media nu mai esteale indicatorului" media nu mai este

sufcient de reprezentativ. Soluţia caresufcient de reprezentativ. Soluţia carese impune este împrţirea colectivitţiise impune este împrţirea colectivitţii

în subgrupe omogene. în subgrupe omogene.


39/66

-SL:F&*-& V-*:):C:LMN::-SL:F&*-& V-*:):C:LMN::

B&*&F-L*:D$*B&*&F-L*:D$*


40/66

Frimile medii obţinute de noi peFrimile medii obţinute de noi pe

e%antioane se numesc indicatorie%antioane se numesc indicatoristatistici %i valorile lor sunt mai multstatistici %i valorile lor sunt mai mult

sau mai puţin apropiate de valorilesau mai puţin apropiate de valorile

constantelor colectivitţilor generale –constantelor colectivitţilor generale –

în #uncţie de gradul de în #uncţie de gradul de

reprezentativitate calitativ %ireprezentativitate calitativ %i

cantitativ al e%antioanelor" înscantitativ al e%antioanelor" îns

niciodat nu sunt identice.niciodat nu sunt identice.


41/66

Cu a!utorul indicatorilor de e%antion se estimeazCu a!utorul indicatorilor de e%antion se estimeaz

parametrii colectivitţilor generale. -stimatulparametrii colectivitţilor generale. -stimatulrezultat pe baza indicatorilor de e%antion poartrezultat pe baza indicatorilor de e%antion poart

un caracter aleator. Ca atare valorile eacte aleun caracter aleator. Ca atare valorile eacte ale

parametrilor colectivitţii generale rm'nparametrilor colectivitţii generale rm'n

necunoscute. (n scOimb se poate precizanecunoscute. (n scOimb se poate preciza

intervalul valoric în care se va situa mediaintervalul valoric în care se va situa media

colectivitţii generale +F& ; media absolut," încolectivitţii generale +F& ; media absolut," în

!urul creia" în acel interval valoric se vor !urul creia" în acel interval valoric se vordistribui mediile de e%antion" cu o anumitdistribui mediile de e%antion" cu o anumit

probabilitate.probabilitate.


42/66

)ac într6o colectivitate general)ac într6o colectivitate general

etragem mai multe e%antioane"etragem mai multe e%antioane"

valorile medii ale acestora vor fvalorile medii ale acestora vor f

#oarte apropiate de valoarea#oarte apropiate de valoareamediei absolute" distribuţiamediei absolute" distribuţia

acestora" în !urul mediei absolute"acestora" în !urul mediei absolute"

#îc'ndu6se con#orm aceleia%i curbe#îc'ndu6se con#orm aceleia%i curbe

Gauss6Daplace.Gauss6Daplace.


43/66

-roarea standard sau eroarea medie a-roarea standard sau eroarea medie a

mediilor.mediilor.

Constanta care ne permite s stabilimConstanta care ne permite s stabilim

intervalul valoric în care se gse%te mediaintervalul valoric în care se gse%te media

absolut %i în !urul creia se distribuieabsolut %i în !urul creia se distribuie

valorile medii de e%antion" cu o anumitvalorile medii de e%antion" cu o anumit

probabilitate" se nume%te eroare standardprobabilitate" se nume%te eroare standard

+-S, sau eroare medie a valorilor medii de+-S, sau eroare medie a valorilor medii de

e%antion #aţ de media universului.e%antion #aţ de media universului.


44/66

Kormula de calcul0 -S ; IKormula de calcul0 -S ; Iσ

√

n"n"

în care -s – eroarea standard7 în care -s – eroarea standard7 σ 6 abaterea6 abaterea

standard7 n – numrul de unitţi statisticestandard7 n – numrul de unitţi statistice

(n situaţia în care numrul de unitţi ale(n situaţia în care numrul de unitţi ale

e%antionului este mai mic de 12" atuncie%antionului este mai mic de 12" atunci

sigma se raporteaz la numrul desigma se raporteaz la numrul de

#recvenţe minus 1 +n61, %i #ormula devine0#recvenţe minus 1 +n61, %i #ormula devine0-S ; I-S ; I

σ

√

n61.n61.


45/66

)ispunem de urmtoarele date în dou e%antioane0)ispunem de urmtoarele date în dou e%antioane0

Brimul e%antion +valorile tensiunii arteriale, – mediaBrimul e%antion +valorile tensiunii arteriale, – media

aritmetic ponderat este 14"9mmPg" abatereaaritmetic ponderat este 14"9mmPg" abaterea

standard – E"29" numrul de unitţi statistice – 12.standard – E"29" numrul de unitţi statistice – 12.

(n primul e%antion -S ; I E"29(n primul e%antion -S ; I E"29√

12 ; I "9


46/66

Valoarea erorii standard" adugatValoarea erorii standard" adugat

sau sczut din valoarea medieisau sczut din valoarea mediei

e%antionului" ne permite se%antionului" ne permite s

obţinem limitele intervalului înobţinem limitele intervalului încare se gse%te valoarea medieicare se gse%te valoarea mediei

absolute %i în !urul ei distribuiteabsolute %i în !urul ei distribuite

mediile e%antioanelor" cu omediile e%antioanelor" cu o

anumit probabilitate.anumit probabilitate.


47/66

:ntervalul de siguranţ:ntervalul de siguranţ

:ntervalul valoric" determinat cu a!utorul erorii:ntervalul valoric" determinat cu a!utorul erorii

standard" în care se estimeaz a se a8a mediastandard" în care se estimeaz a se a8a media

absolut" se nume%te interval de siguranţ sau deabsolut" se nume%te interval de siguranţ sau de

încredere statistic. (n acest interval de siguranţ" încredere statistic. (n acest interval de siguranţ"

determinat de media e%antionului plus>minus eroareadeterminat de media e%antionului plus>minus eroarea

standard" media absolut se va gsi într6o proporţiestandard" media absolut se va gsi într6o proporţie

de E"2E=" deci probabilitatea ca media absolut sde E"2E=" deci probabilitatea ca media absolut s

se gseasc în intervalul acestui interval este dese gseasc în intervalul acestui interval este de

E"2E=.E"2E=.

+H – -S,+H – -S, > iiii


48/66

(n primul nostru eemplu" media ponderat(n primul nostru eemplu" media ponderat

find 14"9 mmPg iar eroarea standard "9


49/66

Bragul de semnifcaţieBragul de semnifcaţie

Contraprobabilitatea sau probabilitatea ca mediileContraprobabilitatea sau probabilitatea ca mediilede e%antion s dep%easc limitele – maim %ide e%antion s dep%easc limitele – maim %i

minim – intervalului de încredere" situ'ndu6se înminim – intervalului de încredere" situ'ndu6se în

a#ara lor" se nume%te prag de semnifcaţie. (na#ara lor" se nume%te prag de semnifcaţie. (n

cazul c'nd intervalul de siguranţ este determinatcazul c'nd intervalul de siguranţ este determinat

de H I -S" atunci contraprobabilitatea +pragul dede H I -S" atunci contraprobabilitatea +pragul de

semnifcaţie, se obţine scîz'nd din 1 valoareasemnifcaţie, se obţine scîz'nd din 1 valoarea

probabilitţii" deci0probabilitţii" deci0

B ; 1 – E"2E ; 31"


50/66

(n eemplul nostru" media(n eemplul nostru" media

find de 9"4 dinţi iar eroareafind de 9"4 dinţi iar eroarea

standard "14" intervalul destandard "14" intervalul de

încredere va f 9"4 I "14" încredere va f 9"4 I "14"

deci cuprins între 9"< %i 9"5deci cuprins între 9"< %i 9"5

dinţi.dinţi.


51/66

)ac vrem ca valoarea contraprobabilitţii" a)ac vrem ca valoarea contraprobabilitţii" a

posibilitţii de a gre%i" s fe mai mic" atunci trebuieposibilitţii de a gre%i" s fe mai mic" atunci trebuie

s mrim intervalul de încredere" adug'nd %i scz'nds mrim intervalul de încredere" adug'nd %i scz'nd

din valoarea mediei valoarea dubl a erorii standard.din valoarea mediei valoarea dubl a erorii standard.

H I 2-S ; 9"4 I 2+"14, ; 9"4 I "2H I 2-S ; 9"4 I 2+"14, ; 9"4 I "2

:ntervalul de încredere va f cuprins între 9"9E %i E"12.:ntervalul de încredere va f cuprins între 9"9E %i E"12.(n acest interval" ceva mai mare" valoarea mediei(n acest interval" ceva mai mare" valoarea mediei

absolute se va gsi cu o probabilitate mai mare dec'tabsolute se va gsi cu o probabilitate mai mare dec't

în primul caz" de 59"49=" iar pragul de semnifcaţie în primul caz" de 59"49=" iar pragul de semnifcaţie

sau posibilitatea de a se situa în a#ara acestui intervalsau posibilitatea de a se situa în a#ara acestui interval

se reduce la 4"99= +B ; 1 – 4"99 ; 59"49,.se reduce la 4"99= +B ; 1 – 4"99 ; 59"49,.


52/66

)ac vrem s reducem %i mai mult)ac vrem s reducem %i mai mult

probabilitateade a gre%i" atunci mrim intervalulprobabilitateade a gre%i" atunci mrim intervalul

de siguranţ" adug'nd %i scz'nd din valoareade siguranţ" adug'nd %i scz'nd din valoarea

mediei tripla valoare a erorii standard.mediei tripla valoare a erorii standard.

H I 3-S ; 9"4 I 3+"14, ; 9"4 I "42H I 3-S ; 9"4 I 3+"14, ; 9"4 I "42

:ntervalul de încredere va f cuprins între 9"42 %i:ntervalul de încredere va f cuprins între 9"42 %i

E"2E. (n acest interval" mult mai mare" mediaE"2E. (n acest interval" mult mai mare" media

absolut se va gsi cu o probabilitate de 55"


53/66

&st#el" intervalul de siguranţ nu are limite&st#el" intervalul de siguranţ nu are limite

fe. -le se modifc în #uncţie de dorinţa cufe. -le se modifc în #uncţie de dorinţa cucare vrem s asigurm rezultatele noastre.care vrem s asigurm rezultatele noastre.

(n cazul în care acceptm un prag de(n cazul în care acceptm un prag de

semnifcaţie mai mare" atunci intervalul desemnifcaţie mai mare" atunci intervalul de

încredere este mai mic. Cu c't vrem s încredere este mai mic. Cu c't vrem s

lucrm mai precis" deci s gre%im mai puţin"lucrm mai precis" deci s gre%im mai puţin"cu at't intervalul de siguranţ cre%te.cu at't intervalul de siguranţ cre%te.


54/66

Lestul de semnifcaţieLestul de semnifcaţie

Frimea intervalului de încredere depinde deFrimea intervalului de încredere depinde de

#aptul dac în !urul mediei lum o singur dat" de#aptul dac în !urul mediei lum o singur dat" de

dou ori sau de trei ori valoarea erorii standard.dou ori sau de trei ori valoarea erorii standard.

Fultiplul erorii standard +1" 2 sau 3," careFultiplul erorii standard +1" 2 sau 3," care

determin mrimea intervalului de încredere" sedetermin mrimea intervalului de încredere" senume%te test de semnifcaţie %i se noteaz cunume%te test de semnifcaţie %i se noteaz cu

litera QtR. Ca atare" la o probabilitate de E"2E= %ilitera QtR. Ca atare" la o probabilitate de E"2E= %i

un prag de semnifcaţie de 31"


55/66

(n mod obi%nuit" noi nu garantm(n mod obi%nuit" noi nu garantm

rezultatele sau concluziile" obţinuterezultatele sau concluziile" obţinute

pe e%antion" cu probabilitatea cu carepe e%antion" cu probabilitatea cu care

acestea se gsesc în interiorulacestea se gsesc în interiorul

intervalului de încredere ci cuintervalului de încredere ci cu

contraprobabilitatea" cucontraprobabilitatea" cu

probabilitatea de a gre%i" deci cuprobabilitatea de a gre%i" deci cu

pragul de semnifcaţie.pragul de semnifcaţie.


56/66

(n medicin %i biologie pragurile de semnifcaţie(n medicin %i biologie pragurile de semnifcaţie

de 31"


57/66

&ceste valori ale lui t rm'n nemodifcate dac&ceste valori ale lui t rm'n nemodifcate dac

lucrm pe e%antioane cu un numr mai mare delucrm pe e%antioane cu un numr mai mare de

12 de unitţi statistice. )ac numrul de unitţi12 de unitţi statistice. )ac numrul de unitţi

statistice este sub 12" atunci valoarea testuluistatistice este sub 12" atunci valoarea testului

de semnifcaţie se modifc %i se ia din tabelulde semnifcaţie se modifc %i se ia din tabelul

testului t. Labelul menţionat este #ormat din 4testului t. Labelul menţionat este #ormat din 4

coloane0 prima pentru gradul de libertate iarcoloane0 prima pentru gradul de libertate iar

celelalte trei corespund celor trei praguri decelelalte trei corespund celor trei praguri de

semnifcaţie0 9=" 1=" "1=. Brin grad de libertatesemnifcaţie0 9=" 1=" "1=. Brin grad de libertate înţelegem numrul de unitţi ale e%antionului – înţelegem numrul de unitţi ale e%antionului –

GD ; n – 1.GD ; n – 1.


58/66


59/66

-roarea standard procentual.-roarea standard procentual.

-roarea standard procentual în cazul valorilor-roarea standard procentual în cazul valorilormedii este eprimat în unitţi de msurmedii este eprimat în unitţi de msur

di#erite" ca %i deviaţia standard. -a nu poatedi#erite" ca %i deviaţia standard. -a nu poate

servi deci la compararea a dou sau mai multeservi deci la compararea a dou sau mai multee%antioane" sub aspectul omogenitţii. (ne%antioane" sub aspectul omogenitţii. (n

asemenea situaţii se calculeaz eroareaasemenea situaţii se calculeaz eroarea

standard procentual" pentru a putea scpa destandard procentual" pentru a putea scpa de

in8uenţa unitţii di#erite de msur.in8uenţa unitţii di#erite de msur.

-S= ; I +-S-S= ; I +-S H,H,

11


60/66

(n general" se consider c o eroare standard(n general" se consider c o eroare standard

procentualcu valori sub 1= este acceptabil" înprocentualcu valori sub 1= este acceptabil" în

!urul lui 2= dubioas %i peste 3= inacceptabil" !urul lui 2= dubioas %i peste 3= inacceptabil"

evidenţiind un e%antion neomogen" decievidenţiind un e%antion neomogen" deci

necorespunztor pentru a lucra pe el %i a generalizanecorespunztor pentru a lucra pe el %i a generaliza

rezultatele.rezultatele.(n primul nostru eemplu" -S= va f0(n primul nostru eemplu" -S= va f0

I +"9


61/66

-roarea maim admis-roarea maim admis

-ste eroarea pe care o acceptm anticipat în-ste eroarea pe care o acceptm anticipat înalegerea e%antionului" în #uncţie de naturaalegerea e%antionului" în #uncţie de natura

cercetrii" de precizia cu care vrem scercetrii" de precizia cu care vrem s

garantm rezultatele %i de volumul saugarantm rezultatele %i de volumul sau

mrimea e%antionului.mrimea e%antionului.

Kormula de calcul0Kormula de calcul0∆

; t; t

-S" în care0-S" în care0

∆

6 eroarea maim admis76 eroarea maim admis7L – testul de semnifcaţie7L – testul de semnifcaţie7

-S – eroarea standard-S – eroarea standard


62/66

Bornind îns de la #ormula erorii standard"Bornind îns de la #ormula erorii standard"

observm c valoarea erorii limit admisobservm c valoarea erorii limit admis

este direct proporţional cu valoarea luieste direct proporţional cu valoarea lui

sigma %i invers proporţional cu rdcinasigma %i invers proporţional cu rdcina

ptrat din numrul unitţilor. &ceastaptrat din numrul unitţilor. &ceasta

însemn c urmrind o scdere a erorii însemn c urmrind o scdere a erorii

standard de QnR ori" numrul de unitţi înstandard de QnR ori" numrul de unitţi în

e%antion va trebui s creasc de Qne%antion va trebui s creasc de Qn22R ori.R ori.


63/66

)e eemplu" dac am e#ectuat o cercetare pe)e eemplu" dac am e#ectuat o cercetare pe

1 de cazuri clinice %i am stabilit o1 de cazuri clinice %i am stabilit o σ ; I; I"4. eroarea standard va f I "4. Bentru a"4. eroarea standard va f I "4. Bentru a

reduce eroarea standard de dou ori" de lareduce eroarea standard de dou ori" de la

"4 la "2" numrul de variante trebuie s"4 la "2" numrul de variante trebuie screasc de 2creasc de 222 ori" deci de la 1 la 4 cazuri.ori" deci de la 1 la 4 cazuri.

)acvrem s reducem de 4 ori valoarea erorii)acvrem s reducem de 4 ori valoarea erorii

standard" numrul de cazuri trebuie sstandard" numrul de cazuri trebuie screasc de 4creasc de 422 ori" deci de la 1 la 1Eori" deci de la 1 la 1E

cazuri.cazuri.


64/66

(n general valoarea erorii(n general valoarea erorii

maime admise nu trebuie smaime admise nu trebuie s

fe mare de 1" atunci c'ndfe mare de 1" atunci c'nd

lucrm cu valori absolute" saulucrm cu valori absolute" sau

de 1=" atunci c'nd lucrm cude 1=" atunci c'nd lucrm cu

valori procentuale.valori procentuale.


65/66

Compararea a dou valori mediiCompararea a dou valori medii

prin criteriul testului Studentprin criteriul testului Student

Semnifcaţia sau lipsa deSemnifcaţia sau lipsa de

semnifcaţie a dou valori medii"semnifcaţie a dou valori medii"obţinute pe e%antioane" se poateobţinute pe e%antioane" se poate

stabili cu a!utorul testului Student0stabili cu a!utorul testului Student0

ttcalc.calc. ; +H; +H11 – H– H22,, √ -S-S2211 @ -S@ -S2222


66/66

)up calcul se stabile%te valoare lui Qt)up calcul se stabile%te valoare lui Qt

tabelarR con#orm tabelului menţionat anterior.tabelarR con#orm tabelului menţionat anterior.:nterpretarea se #ace în modul urmtor0 dac:nterpretarea se #ace în modul urmtor0 dac

Qt calculatR este mai mare dec't Qt tabelarRQt calculatR este mai mare dec't Qt tabelarR

atunci di#erenţa între cele dou valori mediiatunci di#erenţa între cele dou valori medii

este semnifcativ.este semnifcativ.

)ac Qt calculatR este mai mic dec't Qt)ac Qt calculatR este mai mic dec't Qt

tabelarR di#erenţa dintre valori nu estetabelarR di#erenţa dintre valori nu este

semnifcativ.semnifcativ.

5.analiz-Variatiei

Documents

Transcript of 5.analiz-Variatiei