58234087-EEA-Bidian

Dan BIDIAN

2008 – 2009

REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV

1

I N T R O D U C E R E

1. OBIECTUL CURSULUI DE

ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ

Electrotehnica studiază fenomenele electrice şi magnetice cu scopul

utilizării lor în tehnică. Problemele studiate se împart în două categorii: probleme

de electroenergetică şi probleme de electrocomunicaţii.

Electroenergetica studiază tehnica producerii, transportului şi utilizării

energiei electromagnetice (tehnica curenţilor tari).

Electrocomunicaţiile studiază producerea, transmisia, reproducerea şi

înregistrarea semnalelor electromagnetice purtătoare de informaţii. Cele două

categorii de probleme intervin împreună în aplicaţiile tehnice. O linie modernă de

montaj este compusă din instalaţii electroenergetice (transformatoare electrice,

motoare electrice, aparataj electric, linii electrice de alimentare etc.) şi instalaţii de

protecţie, măsură, comandă, control, semnalizări etc., care primesc, prelucrează şi

transmit informaţii privitoare la modul în care se fac acţionarea, reglajul şi

comanda procesului tehnologic.

Câmpul electromagnetic are energie cu proprietăţi remarcabile cum ar fi:

- se obţine uşor din alte forme de energie;

- se transformă uşor şi cu randamente ridicate în alte forme de energie;

- se transmite uşor, economic şi practic instantaneu la mari distanţe;

- se distribuie foarte uşor şi cu randamente ridicate la un număr mare de

consumatori de puteri diferite cu ajutorul reţelelor electrice.

Datorită acestor proprietăţi energia electromagnetică este utilizată pe scară

largă în majoritatea aplicaţiilor tehnice.

Acest curs de "Electrotehnică şi electronică " se adresează studenţilor

facultăţii de Inginerie Tehnologică specialitatea: Inginerie economică industrială,

învăţământ la distanţă, precum şi celor care vor să înţeleagă modul în care se

transmite energia electromagnetică, cum se pot calcula circuitele electrice precum

şi elemente sumare de electronică. Cursul cuprinde două părţi principale:

Electrotehnica (Electrostatica, Electrocinetica, Electrodinamica, Teoria circuitelor

electrice în regim permanent sinusoidal (curent alternativ)) şi Electronică

(semiconductoare: dioda semiconductoare, tranzistorul, tiristorul, redresoare,

invertoare, amplificatoare).

2

I. E L E C T R O T E H N I C A

1. ELECTROSTATICA

Electrostatica este capitolul care studiază stările electrice invariabile în

timp şi neânsoţite de curenţi electrici de conducţie, respectiv de dezvoltare de

căldură, căldură care caracterizează aceşti curenţi. În regimul electrostatic, mărimile de stare ale câmpului electric sunt

invariabile în timp, deci derivatele lor parţiale în raport cu timpul sunt nule, iar

curentul electric de conducţie este nul. Regimul electrostatic este regimul în care

fenomenele electrice se pot studia independent de fenomenele magnetice.

1.1. FENOMENE DE ELECTRIZARE

Dacă se freacă un baston de sticlă cu o bucată de mătase şi apoi se separă

cele două corpuri, se constată că atât între ele cât şi asupra corpurilor uşoare din

apropiere, se exercită acţiuni ponderomotoare (forţe şi cupluri) care nu existau

înainte. Se spune că sistemul format din cele două corpuri s-a electrizat, iar acestea

se află într-o nouă stare numită stare de electrizare.

Se numeşte starea de electrizare a corpurilor, acea stare a lor în care ele

sunt capabile să exercite acţiuni ponderomotoare de natură electrică asupra

altor corpuri. Ea se explică microscopic printr-un surplus sau un minus de

electroni.

Electrizarea corpurilor prin frecare, de

exemplu a bastonului de sticlă, se obţine

prin trecerea unui număr de electroni

periferici de pe bastonul de sticlă pe

bucata de mătase. Sarcina electrică a

electronului fiind qe = -1,602.10-19

C,

Fig.1.1 - Electrizarea corpurilor prin

influenţă electrostatică.

bastonul de sticlă rămâne încărcat cu sarcina pozitivă ca urmare a plecării

electronilor, iar mătasea se va încărca cu sarcină electrică negativă, ca urmare a

trecerii electronilor de pe baston pe ea.

Corpurile se mai pot electriza prin contact cu corpurile electrizate, prin

influenţa electrostatică (fig.1.1), prin iradiere cu radiaţii Roentgen sau ultraviolete,

prin deformare (efect piezoelectric), prin încălzire (efect piroelectric), prin efecte

chimice, prin efecte fotoelectrice etc.

1.2. SARCINA ELECTRICĂ. DENSITĂŢI DE SARCINĂ

ELECTRICĂ

Sarcina electrică q este mărimea primitivă scalară de stare a corpurilor,

care caracterizează la scară macroscopică starea de electrizare a acestora,

fiind independentă de poziţia şi orientarea lor.

Prin convenţia stabilită de fizicianul american B. Franklin (1706-1790) ca

3

sarcina electronului să fie negativă, se numeşte sarcină electrică pozitivă cea

obţinută prin lipsă de electroni şi sarcină electrică negativă cea obţinută printr-un

surplus de electroni. Unitatea de măsură a sarcinii electrice este Coulombul (C).

Pentru caracterizarea locală a stării de electrizare a corpurilor s-au definit

densităţile de sarcină electrică.

Dacă sarcina unui corp este repartizată în volumul lui (corp izolant sau

semiconductor), densitatea de volum ρv a sarcinii electrice se defineşte prin

limita raportului dintre sarcina Δq şi volumul ΔV în care se găseşte (fig.1.2),

când acest volum tinde către zero şi când limita există:

. m

C

V

q =

V

q lim =

3

0Vv

d

dρ

(1.1)

Fig.1.2 - Explicativă la calculul

densităţii de volum a sarcinii electrice.

În cazul unei repartiţii a sarcinii

electrice pe suprafeţe subţiri sau pe corpurile

electroconductoare, se defineşte densitatea

de suprafaţă ρs a sarcinii electrice prin

limita raportului dintre sarcina Δq şi

suprafaţa ΔS pe care se găseşte, când

această suprafaţă tinde către zero şi când

limita există:

. m

C

S

q =

S

q lim =

Ss

2

0 d

dρ

(1.2)

Dacă sarcina electrică este repartizată pe fire electroconductoare subţiri, se

defineşte densitatea de linie ρl a sarcinii electrice prin limita raportului dintre

sarcina Δq şi lungimea Δl pe care se găseşte, când această lungime tinde către

zero şi când limita există:

. m

C

l

q =

l

q lim =

l l

d

dρ

0 (1.3)

În relaţiile de mai sus, s-au considerat domeniile ΔV, ΔS, Δl suficient de

mici pentru ca mărimile macroscopice să aibă o variaţie neglijabilă în cuprinsul lor.

Cunoscând dependenţa în spaţiu a densităţilor de sarcină, ρ(x,y.z), se poate

calcula sarcina totală a corpului, cu relaţiile:

. l =q ; S = q ; V = q lC

sS

vV

dρdρdρ (1.4 a,b,c)

1.3. CÂMPUL ELECTRIC ÎN VID

După cum s-a constatat experimental, între corpurile electrizate sau între un

corp electrizat şi corpurile uşoare, apar acţiuni ponderomotoare de natură electrică.

Exercitarea unor astfel de acţiuni, pune în evidenţă existenţa unui nou sistem fizic

4

în spaţiul din jurul corpurilor încărcate electric, numit câmp electric. Deoarece se

consideră că acţiunea dintre corpuri nu se poate realiza de la distanţă (concepţia

acţiunii prin continuitate), i se atribuie câmpului electric proprietatea de a transmite

la distanţă acţiunile ponderomotoare. Sub aspect energetic, câmpul electrostatic

este produs prin consum de energie. O parte din energia consumată se regăseşte ca

energie a câmpului electric, energie pusă în evidenţă de lucrul mecanic pe care îl

pot efectua forţele de natură electrică.

Câmpul electric este un sistem fizic diferit de substanţă, care există în

jurul corpurilor electrizate şi în regiunile din spaţiu în care se exercită acţiuni

ponderomotoare de natură electrică şi care permite transmiterea acestor

acţiuni.

1.3.1. Intensitatea câmpului electric în vid

Pentru caracterizarea câmpului electrostatic în vid, se introduce o mărime

vectorială primitivă de stare numită intensitate a câmpului electric în vid în

regim electrostatic vE .

Experimental s-a constatat că forţa ce se exercită asupra unui corp

punctiform încărcat cu o sarcină electrică q, aflat într-un câmp electric, este egală

cu produsul dintre sarcina electrică şi intensitatea câmpului electric din acel punct:

. E q = F v (1.5)

Relaţia (1.5) fiind obţinută prin generalizarea unor date experimentale, este o

lege generală a naturii numită legea acţiunii ponderomotoare în câmpul

electrostatic asupra corpurilor punctiforme, încărcate cu sarcină electrică şi

exprimă matematic procesul de interacţiune dintre câmpul electric şi corpurile

punctiforme electrizate.Vectorul intensitate a câmpului electric în vid vE se poate

calcula în orice punct al câmpului electrostatic cu rela ţia:

. q

F = E v

(1.6)

Unitatea de măsură pentru intensitatea

câmpului electric este Voltul pe metru

(V/m).Pentru explorarea câmpului electrostatic

se foloseşte un corp de probă realizat dintr-o

sferă metalică sau metalizată, practic

punctiformă, încărcată cu o sarcină electrică q

variabilă în timp şi de valoare foarte mică,

pentru a nu modifica câmpul electric studiat.

a) b)

Fig.1.3 – Spectrele liniilor de câmp

electric produs de o sarcină electrică

punctiformă : a) pozitivă; b) negativă.

Liniile de câmp electric sunt curbe care au proprietatea că sunt tangente în

fiecare punct al lor la direcţia locală a vectorului intensitate a câmpului electric.

Liniilor de câmp li se atribuie un sens identic cu sensul vectorului intensităţii

5

câmpului electric. Numărul de linii de câmp pe unitatea de suprafaţă transversală

este proporţional cu mărimea vectorului vE ; unde vE este mai mare, liniile de

câmp sunt mai dese, iar unde vE este mai mic, liniile sunt mai distanţate. Liniile

de câmp electric sunt linii deschise pornind de la corpurile încărcate pozitiv şi

venind la corpurile încărcate negativ.

În figura 1.3. s-au reprezentat spectrele liniilor câmpului electric produs de

un corp punctiform încărcat cu sarcină electrică pozitivă (fig.1.3a), respectiv

negativă (fig.1.3b).Liniile de câmp sunt orientate radial plecând de la sarcina

pozitivă şi venind spre sarcina negativă (s-a considerat că nu există decât acest

corp electrizat în întreg spaţiul).

În figura 1.4 s-au reprezentat spectrele liniilor câmpului electric produs de

două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice de acelaşi semn (fig.1.4a) şi

de semne contrare (fig.1.4b).

Fig.1.4 - Spectrele liniilor câmpului electric produs de două sarcini electrice punctiforme vecine:

a) de aceleaşi semne; b) de semne contrare.

1.3.2. Formula lui Coulomb

Fizicianul francez Ch. Coulomb (1736-1806) a măsurat în anul 1785 cu

ajutorul unei balanţeelectrice de torsiune forţele de interacţiune dintre două corpuri

punctiforme, situate în vid şi încărcate cu sarcină electrică. El a stabilit formula:

. r r

qq

= F 123

12

21

021

επ4

1

(1.7)

Fig.1.5 - Explicativă la forţa lui

Coulomb.

Forţa 21 exercitată în vid de un corp

punctiform încărcat cu sarcina electrică q1

asupra altui corp punctiform încărcat cu

sarcina electrică q2, este proporţională cu

produsul sarcinilor electrice şi invers

proporţională cu pătratul distanţei r12 dintre

ele, fiind dirijată după dreapta care le

uneşte(fig.1.5).

Sensurile forţelor sunt astfel încât, corpurile încărcate cu sarcini de acelaşi

semn se resping, iar cele încărcate cu sarcini de semne contrare se atrag.

În relaţia (1.7), ε0 este o constantă universală referitoare la vid, numită

6

permitivitatea vidului, având valoarea:

. m

F =

10 9 π4

1 ε 9 0

(1.8)

1.3.3. Relaţii de calcul pentru intensitatea câmpului electric în vid

a) Câmpul electric produs de un corp punctiform încărcat cu sarcina q.

Se consideră un corp punctiform încărcat cu sarcina q situat în vid (fig.1.6).

Intensitatea câmpului electric în vid într-un punct P situat la distanţa r de sarcină,

va fi raportul dintre forţa care acţionează asupra unui mic corp de probă electrizat,

plasat în acest punct, şi sarcina q' a acestuia:

. r r

q =

q

F = E 3

0v

ε π4

1

(1.9)

b) Câmpul electric produs în vid

de către un corp de formă oarecare

având sarcina repartizată în volum, pe

suprafaţă sau liniar.

Fig.1.6 - Explicativă la calculul intensităţii

câmpului electric produs de o sarcină

punctiformă.

Fie un corp masiv, de o formă oarecare, cu sarcina q repartizată continuu şi

uniform în volum având densita-tatea de volum a sarcinii electrice ρv cunoscută

(fig.1.6). Un element de volum dV având sarcina dq=ρvdV poate fi considerat ca

un corp punctiform şi conform relaţiei (1.9) câmpul electric elementar creat de

sarcina dq în punctul P este:

. r r

V = E

3

v

0

v

d ρ

ε π4

1d

(1.10)

Intensitatea câmpului electric vE rezultă prin integrarea pe întregul volum al

corpului a relaţiei 1.10:

. V r

r = E d

ρ

ε π4

13

v

V0v

(1.11)

Dacă corpul este încărcat cu sarcină electrică numai la suprafaţă, având de nsitatea

de suprafaţă a sarcinii electrice ρs, câmpul electric vE se obţine în mod analog:

, S r

r = E

s

S

dρ

ε π4

13

0v

(1.12)

iar pentru corpuri filiforme, având densitatea de sarcină electrică liniară ρl,

intensitatea câmpului electric va fi:

7

. l r

r = E

l

C

dρ

ε π4

13

0v

(1.13)

Dacă într-o regiune a spaţiului există corpuri încărcate cu sarcini electrice

având densităţile de volum ρv, superficiale ρs şi liniare ρl, precum şi corpuri

punctiforme încărcate cu sarcinile qk, intensitatea câmpului electric în vid, într-un

punct oarecare, se obţine prin superpoziţia câmpurilor:

.r r

+ l r

r + S

r

r + V

r

r =E k

k

kn

1 = k

l

C

s

SVv

3333

v

0

qd

ρd

ρd

ρ

ε π4

1

(1.14)

1.3.4. Inducţia electrică în vid

Cu ajutorul permitivităţii vidului ε0 şi al vectorului intensitate a câmpului

electric în vid vE se defineşte inducţia electrică în vid v ca fiind:

. E = Dv v0 (1.15)

Unitatea de măsură a inducţiei electrice este Coulomb pe metru pătrat (C/m2).

1.3.5. Tensiunea electrică în vid

Fie un câmp electric în vid, al cărui spectru de linii de câmp este reprezentat

în figura 1.7 şi o curbă C aflată în acest câmp. Se defineşte tensiunea electrică între

două puncte A şi B de-a lungul curbei C, mărimea fizică derivată definită prin

integrala de linie a intensităţii câmpului electric în vid, între cele două puncte, de-a

lungul curbei C:

. cos l E = l E=U v

B

) C ( A

B

) C ( A) C ( B A αddv

(1.16)

Din relaţia de definiţie, se observă că

tensiunea electrică depinde de sensul de

integrare şi ca urmare:


tensiunii electrice.

. U - = U A BB A (1.17)

Sensul de integrare (sensul lui d) se mai numeşte şi sens de referinţă şi se

indică printr-o săgeată pe curba C.

Tensiunea electrică are o semnificaţie fizică. Dacă se înlocuieşte în relaţia

(1.17) vectorul vE cu expresia forţei electrice dată de relaţia (1.6), se obţine:

,q

L = l F

q

1 = l

q

F = l E = U

B AB

) C ( A

B

) C ( Av

B

) C A( B A ddd

(1.18)

relaţie care arată că tensiunea electrică între punctele A şi B este numeric egală cu

8

raportul dintre lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului electric pentru a

transporta o sarcină q de la A la B şi valoarea acestei sarcini.

Unitatea de măsură pentru tensiunea electrică este Voltul (V).

1.4. CÂMPUL ELECTRIC ÎN DIELECTRICI

1.4.1. Dielectricii. Momentul electric. Polarizaţie

Dielectricii (izolanţii) au particulele elementare legate în atomi şi molecule,

astfel încât electronii nu se pot separa de atom ca în cazul conductoarelor. Sub

acţiunea forţelor câmpului electric, au loc deplasări limitate ale particulelor

elementare care transformă atomul sau molecula într-un dipol electric elementar.

Se numeşte dipol electric, un sistem

de sarcini egale şi de semne contrare (+q şi

-q) situate la o distanţă mică l (fig.1.9).

Dipolul se caracterizează prin momentul

dipolului pd: vectorul l fiind orientat de la

sarcina negativăla sarcina pozitivă.

Fig.1.9 - Dipolul electric.

lqpd , (1.18)

Există dielectrici cu molecule polare (HCl, H2O, NO2), ale căror molecule se

prezintă sub forma unor dipoli electrici elementari orientaţi în toate direcţiile, în

mod dezordonat. Prin introducerea acestora într-un câmp electric, moleculele

polare se orientează după direcţia câmpului electric (fig.1.9). Există dielectrici (O 2,

N, Si, Ge) la care dipolii elementari apar numai prin deformarea atomilor când

aceştia sunt introduşi într-un câmp electric.

Fenomenul de orientare a dipolilor electrici elementari după o anumită

direcţie se numeşte polarizare. Polarizarea poate fi temporară, dacă orientarea dipolilor elementari depinde

de intensitatea câmpului electric în care este situat dielectricul şi încetează la

dispariţia câmpului electric şi este permanentă, dacă nu depinde de intensitatea

câmpului electric şi rămâne şi după dispariţia câmpului electric.

Polarizarea permanentă poate apărea sub forma: polarizării piezoelectrice

(apare prin deformare mecanică la unele cristale); polarizării piroelectrice (apare

la unele cristale prin încălzire); polarizării permanente a electreţilor (răşini,

plexiglas).

Pentru caracterizarea stării de polarizare a unui mic corp dielectric se

utilizează o mărime fizică vectorială primitivă numită moment electric , definită

prin relaţiile:

,E X p = C v (1.19)

. ) E p ( grad = F v (1.20)

9

Fig.1.10 - Explicativă la

calculul polarizaţiei electrice.

În relaţiile (1.19) şi (1.20) vE reprezintă

intensitatea câmpului electric în vid în punctul în

care se află corpul, C - cuplul electric care

acţionează asupra corpului orientându-l după direcţia

câmpului electric, p - momentul electric, F - forţa ce

se exercită asupra corpului introdus într-un câmp

neuniform (gradientul acţionând numai asupra

intensităţii câmpului electric).

Vectorul moment electric se obţine din suma momentului electric permanent pp şi

a momen tului electric temporar tp:

. p + p = p

tp (1.21)

Starea locală de polarizare a unui corp masiv se caracterizează cu ajutorul

unei mărimi fizice vectoriale derivate numită polarizaţie electrică P definită prin

relaţia:

,

V

p =

V

p lim = P

d

d

0V

(1.22)

unde Δ p = Σ pi reprezintă suma vectorială a momentelor electrice din volumul

ΔV a corpului considerat (fig.1.10). Ţinând seama de relaţia (1.21) se poate scrie:

,P + P = P tp (1.23)

unde Pp reprezintă vectorul polarizaţie permanentă, iar P t -vectorul

polarizaţie temporară.

Unitatea de măsură a momentului electric este Coulomb metru (Cm), iar a

polarizaţiei este Coulomb pe metru pătrat (C/m2).

1.4.2. Generalizarea relaţiilor obţinute pentru câmpul electric din

vid pentru dielectrici Dacă experienţele lui Coulomb s-ar fi efectuat într-un gaz sau într-un lichid

izolant, s-ar fi constatat că modulul forţelor de interacţiune este mai mic. Se

defineşte permitivitatea relativă εr a unui mediu ca raportul dintre forţa de

interacţiune dintre două sarcini punctiforme aflate în vid şi forţa de

interacţiune dintre cele două sarcini aflate în acel mediu şi la aceeaşi distanţă. Într-un mediu oarecare omogen, relaţiile (1.5), (1.7), (1.14), (1.15) se vor

putea scrie:

10

. E = D

,r r

ql+

r

r S+

r

r ρV+

r

r =E

; r r

qq = F

; E q = F

kk

kn

= k3

l

C

s

S3

ε

dρ

ddρ

ε π4

1

ε π4

1

31

3

v

V

12312

2121

(1.24...1.27)

unde E , D reprezintă intensitatea, respectiv inducţia câmpului electrostatic

stabilite în dielectrici, ε = εrε0 - permitivitatea dielectricului, εr - permitivitatea

relativă a dielectricului.

În tabelul 1.1 sunt date valorile permitivităţii relative şi a rigidităţii

dielectrice Ed pentru câteva materiale izolante folosite în construcţia maşinilor şi

aparatelor electrice.

Rigiditatea dielectrică reprezintă valoarea maximă a intensităţii

câmpului electric din material pentru care acesta îşi păstrează proprietăţile

izolante.

Tabelul 1.1

Nr.

Crt

Materialul εr Ed

[V/m.105]

1 Bachelită 2,8 200

2 Preşpan 3,4...4,3 110...300

3 Ulei de transformator 2...2,5 80...120

4 Aer uscat 1,0006 45

5 Sticlă 4...17 120...200

6 Cuarţ 4...4,2 170...200

7 Mică 7 2500...350

0

8 Porţelan glazurat 5...6,5 300...380

9 Steatită glazurată 5...6,4 200...300

10 Micafoliu 4...5 300...400

1.5. RELAŢIILE FUNDAMENTALE ALE

ELECTROSTATICII

Pentru rezolvarea problemelor de electrostatică se utilizează relaţiile

generale ale electrostaticii dintre care unele sunt legi generale, altele sunt legi de

11

material, iar altele sunt teoreme. În electrostatică sunt patru legi, din care una

(legea acţiunii ponderomotoare) a fost enunţată prin relaţiile 1.5 şi 1.24.

1.5.1. Legea polarizaţiei temporare

Experimental s-a stabilit că pentru materiale izotrope şi liniare, polarizaţia

temporară este proporţională cu intensitatea locală a câmpului electric:

,E = P et χε 0 (1.28)

unde χe este o mărime adimensională constantă care depinde de material şi se

numeşte susceptivitate electrică.

Relaţia (1.28) reprezintă legea polarizaţiei electrice temporare.

1.5.2. Legea legăturii dintre inducţia electrică, intensitatea

câmpului electric şi polarizaţie.

Tot experimental s-a dedus că între, E D şi P există următoarea relaţie:

,P + E = D ε0 (1.29)

relaţie care reprezintă legea legăturii dintre inducţie, intensitate şi polarizaţie în

câmpul electric.

În cazul dielectricilor cu polarizaţie temporară, relaţia (1.29) devine:

. E = E = E ) + ( = E + E = D ree εεεχ1 εχε ε 0000 (1.30)

Materialele dielectrice se împart în:

- materiale diaelectrice, care au molecule nepolare, susceptivitatea foarte

mică şi practic independentă de temperatură, permitivitatea relativă foarte

apropiată de unitate şi deci ε ε0;

- materiale paraelectrice, au molecule polare, susceptivitatea relativă mare

şi invers proporţională cu temperatura absolută.

1.5.3. Legea fluxului electric

Se defineşte fluxul electric printr-o suprafaţă S (deschisă sau închisă) ca

integrala de suprafaţă a vectorului inducţie electrică D prin această

suprafaţă (fig.1.11):

. S D = S D = SS

S α cosddΨ (1.31)

Se verifică experimental că fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Σ

este numeric egal cu sarcina totală qΣ conţinută în interiorul acelei suprafeţe:

12


calculul fluxului electric.

.q = S D = S D =

α cosddΨ (1.32)

Relaţia (1.23) reprezintă forma integrală a legii

fluxului electric.

În cazul în care sarcina qΣ este repartizată în

întregul volum, având densitate de volum a sarcinii

electrice ρv, se poate scrie:

. V ρ = q = S D v ddV

(1.33)

Aplicând primei integrale din relaţia (1.33) o transformare Gauss-

Ostrogradski, se obţine:

,V = V D div d ρd vVV

(1.34)

de unde rezultă forma locală a legii fluxului electric:

. = D div vρ (1.35)

Divergenţa inducţiei electrice în orice punct din câmpul electric

omogen, este egală cu densitatea de volum a sarcinii electrice .

Aplicaţie.

Să se calculeze câmpul electric creat de un plan P încărcat electric uniform

cu densitatea de suprafaţă ρs a sarcinii electrice.

Se consideră suprafaţa închisă Σ formată din suprafaţa laterală a unui cilindru

circular drept şi suprafeţele bazelor S, egal depărtate de planul P. Cilindrul are

generatoarea perpendiculară pe plan. Din motive de simetrie inducţia electrică D

este perpendiculară pe planul P (fig.1.12). Ca urmare, fluxul electric prin suprafaţa

laterală a cilindrului este zero ( SD d ), tot fluxul reducându-se la fluxul prin

suprafeţele bazelor de arii egale. Din legea fluxului electric rezultă:

. S = q = D S = S D = S D = S

ρ 2d2d Ψ sΣΣ

Din relaţia de mai sus rezultă inducţia

electrică D:

D = ρs / 2 , D = ρsn / 2 , unde n este

versorul normalei la suprafaţă.

Se observă că vectorul inducţie electrică D

este perpendicular pe planul P şi are modulul

constant nedepinzând de distanţa dintre punct şi

plan, deci, câmpul electric este omogen. Ca urmare

a acestui fapt, între armăturile unui condensator

plan câmpul electric este uniform şi constant.

Fig.1.12 - Explicativă la cal-culul

câmpului electric produs de un

plan încărcat uniform cu

densitatea de sarcină electrică ρs.

13

1.5.4. Teorema conservării sarcinilor electrice

La electrizarea corpurilor neutre din punct de vedere electric, prin frecare,

unul dintre corpuri se încarcă cu sarcina +q (bastonul de sticlă) iar celălalt cu

sarcina -q (mătasea). Sistemul format de cele două corpuri electrizate rămâne cu

sarcina totală zero.

Experienţa arată că în fenomenele de electrizare, apariţia unei sarcini de un

semn pe un corp sau pe un sistem izolat de corpuri este însoţită de apariţia unei

sarcini electrice egale şi de semn contrar pe alt corp sau alte corpuri ale sistemului.

Rezultă că sarcina totală a unui sistem izolat de corpuri este constantă:

. const = q = q k

n

= kt

1 (1.36)

Relaţia (1.36) este o consecinţă a legii conservării sarcinii electrice, care se

va studia la electrocinetică (paragraful 2.6.1).

1.5.5. Teorema potenţialului electrostatic

S-a stabilit experimental că un câmp electrostatic odată stabilit se menţine

fără a mai fi nevoie de un aport de energie din exterior. Ca urmare, în aceste

câmpuri, nu se poate obţine (consuma) lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de

transformări reversibil.


calculul lucrului mecanic.

Dacă luăm un corp punctiform încărcat cu

sarcina electrică q şi-l purtăm pe un contur închis Γ

(fig.1.13) situat într-un câmp electrostatic, lucrul

mecanic efectuat de forţa electrică , care se exercită

asupra corpului va fi:

, = W - W = l E q = l F = L if 0dd

deoarece

energia finală Wf a câmpului este egală cu energia

iniţială Wi.

Deoarece sarcina electrică q este diferită de zero, rezultă:

. = l E 0d (1.37)

Relaţia (1.37) reprezintă forma integrală a teoremei potenţialului

electrostatic, care afirmă că în câmpul electrostatic, circulaţia vectorului

intensităţii câmpului electric este nulă pe orice curbă închisă. Teorema potenţialului electrostatic are următoarele consecinţe:

a) Într-un câmp electrostatic nu există linii de câmp închise.

Presupunând că ar exista o linie de câmp închisă Γ, din relaţia (1.37) rezultă,

ţinând seama că E ld :

lE d=

.lE 0d

14

Dar ldE > 0, şi deoarece o sumă de termeni pozitivi nu poate fi nulă,

rezultă că presupunerea existenţei unei linii de câmp închisă Γ este falsă.

b) Tensiunea electrică între două puncte nu depinde de drum.

Aplicând teorema potenţialului curbei închise Γ formată din curbele deschise C1 şi

C2 rezultă (fig.1.14):

, = l E- l E= l E l E= lEB

) C ( A

B

) C ( A

A

) C ( B

B

)C ( A

0ddddd2121

sau:

. l E = l E = UB

)C ( A

B

)C A(B A dd

21

(1.38)

c) Se poate defini o mărime scalară de

punct V numită potenţial electric scalar.

Cu ajutorul acestui potenţial se poate

determina intensitatea câmpului electric cu

formula: Fig.1.14 - Explicativă la independenţa

valorii tensiunii electrice de drum

. k z

V + j

y

V + i

x

V = V - = k E+ j E + i E =E zyx

grad

(1.39)

Potenţialul electric al unui punct se determină cu relaţia:

,l E + ) P ( V = l E - ) P ( V = ) P ( VP

P

P

P

dd0

0

00 (1.40)

unde V(P0) reprezintă potenţialul punctului de referinţă P0.

Din relaţia (1.40) rezultă că potenţialul electric al unui punct din câmpul

electric, este determinat numai cu aproximaţia unei constante (valoarea

potenţialului din punctul de referinţă). În probleme, se consideră punctul de

referinţă la infinit sau la suprafaţa pământului, iar valoarea lui se consideră zero.

Diferenţa de potenţial dintre două puncte A şi B din câmpul electrostatic

este:

.U = l E = l E - P V - l E + P = V - V B A

B

A

P

B

P

ABA

0

ddd0

00 (1.41)

Din relaţia (1.41) rezultă că tensiunea electrică dintre două puncte este egală

cu diferenţa potenţialelor electrice ale celor două puncte.

Aplicaţie.

Să se calculeze potenţialul unui punct P aflat în câmpul electrostatic produs

de un corp punctiform încărcat cu sarcina electrică q. Se consideră punctul de

15

referinţă P0 la infinit şi având potenţialul zero.

Din relaţia (1.40) rezultă:

. R

q =

R

R

q = l

R

R

q = l E = P V

R

RP ε π4

d

ε π4d

ε π4d

23

(1.42)

Extinzând relaţia (1.42) pentru cazul în care câmpul electric este produs de

corpuri încărcate cu sarcini distribuite în volum, pe suprafaţă, pe corpuri filiforme,

ale căror densităţi de sarcină electrică sunt cunoscute, şi de către corpuri

punctiforme, rezultă:

. r

q +

r

l +

r

S +

r

V

1 = V

k

kn

= k

l

C

s

S

v

V

1

dρdρdρ

ε π4 (1.43)

1.6. CONDIŢIA DE ECHILIBRU ELECTRO-STATIC

Experienţa arată că la atingerea stării de echilibru electrostatic, intensitatea

câmpului electric se anulează în interiorul conductoarelor omogene şi neaccelerate:

. = E 0 (1.44)

Relaţia (1.44) se poate explica astfel: în conductoare există particule libere

încărcate cu sarcină electrică. Asupra acestor particule aflate într-un câmp electric

de intensitate E s-ar exercita forţe de natură electrică Fe = q E şi ca urmare,

particulele ar avea o mişcare ordonată, deci nu s-ar găsi în regim electrostatic.

Condiţia ca să se păstreze regimul electrostatic impune ca valoarea forţei rezultante

ce acţionează asupra particulelor să fie nulă, deci eF = 0, E = 0. Pentru

conductoare neomogene sau care se găsesc la temperaturi neuniforme sau sunt

accelerate, regimul electrostatic se atinge când intensitatea câmpului electric ia

anumite valori determinate de starea fizico-chimică şi de natura conductorului.

Această proprietate se caracterizează cu ajutorul mărimii vectoriale de material

numită intensitatea câmpului electric imprimat iE , definită de valoarea cu

semn schimbat a intensităţii câmpului electric care se stabileşte în conductori, la

atingerea stării de echilibru:

. = E + E sau ,E - = E ii 0 (1.45)

Relaţia (1.45) reprezintă condiţia de echilibru electrostatic în

conductoarele neomogene sau accelerate, iar relaţia (1.44) pentru conductoarele

omogene neaccelerate.

Explicarea relaţiei (1.45) este următoarea: asupra unei particule libere din

conductor, având sarcina q, câmpul electric E exercită o forţă electrică e = q E .

Datorită neomogenităţii locale, a diferenţelor de temperatură sau a accelerării

corpului, asupra particulei se va exercita şi o forţă de natură neelectrică Fn.

16

Condiţia de echilibru electrostatic impune lipsa unei mişcări ordonate a particulelor

încărcate electric, adică anularea valorii medii a forţelor rezultante exercitate

asupra particulei:

.FF ne 0 (1.46)

Împărţind relaţia de mai sus cu q şi făcând notaţia:

,q

F = E

ni

(1.47)

rezultă condiţia (1.45).

Din punct de vedere microscopic, intensitatea câmpului electric imprimat

iE reprezintă intensitatea unui câmp electric echivalent ce ar acţiona cu o forţă

electrică egală cu forţa neelectrică medie ce se exercită asupra unei particule libere,

din conductor. Câmpul electric imprimat nu este un câmp electric propriu-zis, ci o

mărime ce exprimă acţiunile de natură neelectrică exercitate asupra particulelor

încărcate electric.

Din condiţia de echilibru electrostatic pentru conductoare omogene şi

neaccelerate (1.45) rezultă următoarele consecinţe:

a) Toate punctele de pe suprafaţa sau din interiorul unui conductor

omogen şi neaccelerat au acelaşi potenţial. Deoarece E = 0, tensiunea

între două puncte A şi B (fig.1.15) va fi:

. V = V , = l E = V - V = U BA

B

ABAB A 0d

( 1.48)

b) Sarcina electrică de pe conductoare este

repartizată numai pe suprafaţa acestora.

Fie o suprafaţă închisă Σ în interiorul conductorului

(fig.1.15) aflat în echilibru electrostatic ( E = 0). Din

legea fluxului electric rezultă:

. = q ,q = S E = S D = 0dε dΨΣ

(1.49)

c) Liniile de câmp din exteriorul conductorului

nu pătrund în interiorul cavităţilor goale (efectul de

ecran).


de-monstrarea

consecinţelor echi-librului

electrostatic în corpu-rile

metalice.

Pentru cavitatea din figura 1.15,considerăm că ar exis ta în interior linii de

câmp. Una dintre acestea începe în punctul C şi se sfârşeşte în punctul D.

Tensiunea electrică între aceste două -puncte ar fi:

17

, = V - V = l E = l E = U DC

D

C

D

CD C 0dd

conform consecinţei a. Pentru ca relaţia de sus să fie adevărată, implică E = 0 în

fiecare punct al curbei, deci în interiorul cavităţilor nu există linii de câmp. Corpul

conductor cu cavitate constituie un ecran electrostatic.

d) Sub acţiunea unui câmp electrostatic exterior, un conductor iniţial

neîncărcat, se încarcă superficial cu sarcini electrice. Pentru ca să fie îndeplinită

condiţia de echilibru electrostatic, este necesar să apară în interiorul conductorului

un câmp electric propriu al repartiţiei de sarcini care să compenseze câmpul

exterior:

. = E + E propriuext 0 (1.50)

Acest fenomen se numeşte influenţă electrostatică, iar conductorul se

spune că s-a electrizat prin influenţă (fig.1.1)

1.7. CAPACITATE ELECTRICĂ. CONDENSA-TOARE

Sistemul format din două conductoare (omogene şi neaccelerate) încărcate

cu sarcini electrice şi de semne contrare, între care există un dielectric omogen sau

neomogen, neîncărcat şi fără polarizaţie permanentă se numeşte condensator

electric. Cele două conductoare încărcate electric poartă numele de armăturile

condensatorului.

Raportul C pozitiv, dintre valoarea sarcinii electrice q a unuia dintre

conductoare şi diferenţa de potenţial dintre el şi cel de al doilea, se numeşte

capacitate electrică:

. U

q =

V - V

q =

V - V

q = C

12

2

21

1

(1.51)

Unitatea de măsură a capacităţii este Faradul (F).

1.7.1. Calculul capacităţii condensatoarelor

Pentru calculul capacităţii condensatoarelor se procedează astfel:

-se presupun armăturile condensatorului încărcate cu sarcinile

+ q şi - q;

-se determină intensitatea câmpului electric cu ajutorul legii fluxului

electric;

-se calculează tensiunea dintre armături;

-se determină capacitatea condensatorului cu relaţia (1.51).

Capacitatea condensatorului plan. Condensatorul plan este format din

două armături plane paralele, de diferite forme, de arii S, separate printr-un

dielectric de grosime d şi permitivitate ε (fig.1.16). Aplicând legea fluxului electric

suprafeţei Σ (fig.1.16) care are forma paralelipipedică şi cuprinde numai armătura

încărcată cu sarcina + q, rezultă:

18

deoarece fluxul prin suprafaţa laterală Sl

este nul ( D d S ), iar prin suprafaţa bazei

de sus Sbs este tot nul deoarece D = 0 în

exterior.

Tensiunea electrică dintre cele două

armături, de-a lungul unei linii de câmp, va

fi:

Fig.1.16 - Condensatorul plan.

. S

d q = l

S

q = l E = l E = V - V = U

2

d

εdd

2

1

2

11212 1

Aplicând relaţia (1.51) rezultă: .

d

S = C

(1.52)

Condensatoarele plane, ca în figura 1.16, se construiesc numai pentru

capacităţi mici şi tensiuni mari, dielectricul fiind în general sticla sau materialele

ceramice.

Pentru a obţine capacităţi mari, dar la

tensiuni mici, armăturile se fac din foiţe

subţiri din hârtie metalizată care se rulează

sub forma unor cilindri.

Capacitatea unui condensator cilindric este:

.

R

R

l =

U

q = C

i

eln

ε π2

(1.53)

Fig.1.17 – Condensatorul cilindric

1.7.2. Gruparea condensatoarelor

În practică pentru a se obţine capacitatea electrică dorită, condensatoarele se

grupează în serie, paralel sau mixt.

Fig.1.17 - Condensatorul echivalent

Pentru un sistem de condensa-toare

(fig.1.17), se numeşte capaci-tate echivalentă

raportul dintre sar-cina qA primită pe la borna

A (egală şi de semn contrar cu cea primită pe la

borna B) de sistemul de condensatoare iniţial

neîncărcat şi tensiunea dintre bornele A şi B:.

. U

q =

U

q =

U

q = C

e

A B

B

B A

Ae

(1.54)

a) Legarea în paralel a condensatoarelor.

Sarcina echivalentă a bateriei de condensatoare (fig.1.18) este:

19

. U C +...+ U C + U C = q +...+ q + q = q B AnB AB Ane 2121

Folosind relaţia (1.54) capacitatea echivalentă va fi:

. C = C k

n

= kp e

1 (1.55)

Fig.1.18- Conexiunea paralel.

Fig.1.19- Conexiunea serie.

b) Legarea în serie a condensatoarelor.

Sarcina echivalentă a bateriei de condensatoare (fig.1.19)

este:. q = q = ... = q = q = q ne 21

Încărcarea condensatoarelor are loc astfel: sarcina +q care intră pe la borna

A apare pe prima armătură (pozitivă) a condensatorului C1. Această sarcină

determină prin influenţă apariţia sarcinii -q pe cea de a doua armătură. Conform

teoremei conservării sarcinii electrice, apare sarcina q2 = +q pe prima armătură a

condensatorului doi. Procesul se repetă până la armătura a doua a ultimului

condensator, care se încarcă cu -q de la sursă. Tensiunea UAB este:

. C

q + ... +

C

q +

C

q = U + ... + U + U =

C

q = U

nn

eB A

2121

Capacitatea echivalentă rezultă:

. C

= C k

n

= k se

11

1

(1.56)

Capacitatea echivalentă este mai mică decât cea mai mică capacitate legată în serie .

1.8. ENERGIA ŞI FORŢELE CÂMPULUI

ELECTROSTATIC

1.8.1. Energia câmpului electrostatic

În jurul unui sistem de corpuri încărcate electric există un câmp electric.

Dacă în acest câmp electric se introduce un corp încărcat cu sarcină electrică,

asupra lui se vor exercita acţiuni ponderomotoare de natură electrică, care vor duce

la deplasarea şi rotirea lui, deci se va produce un lucru mecanic. Aceasta presupune

existenţa unei energii a câmpului electrostatic preluată de la sursele de energie

exterioară în procesul de încărcare a corpurilor cu sarcină electrică.

20

Se consideră câmpul electrostatic produs de n conductoare încărcate cu

sarcinile q1,q2,...,qn şi aflate la potenţialele V1,V2,...,Vn (fig.1.20). La starea finală s-

a ajuns printr-o creştere proporţională a tuturor sarcinilor electrice, pornind de la o

stare iniţială în care sarcinile erau nule şi deci şi câmpul electric era nul în orice

punct. Creşterea sarcinilor s-a făcut suficient de lent pentru a se păstra regimul

electrostatic. O stare intermediară este caracterizată prin sarcinil q'k = λqk şi

potenţialele electrice V'k = λVk ale corpurilor, unde λ [0, 1].

Lucrul mecanic cheltuit pentru creşterea cu dq'k = qkdλ a sarcinii

conductorului k, (sarcina dq'k fiind adusă de la infinit unde potenţialul electric este

zero) este dată de relaţia (1.40):

λλ dVqVdd kkKqkLk ,'


energiei câmpului electric

Pentru toate conductoarele, rezultă:

. V q = L = L kk

n

1 = kk

n

1 = k

λ dλdd

Energia câmpului electrostatic va fi egală

cu lucrul mecanic efectuat pentru atingerea stării

finale (λ=1) pornind de la starea iniţială (λ=0):.

. V q = V q = L = L = W kk

n

= kkk

n

= ke

1

1

01

1 =λ

0 =λ 2

1λ d λd

(1.57)

Aplicaţie.

Să se calculeze energia electrică a unui condensator electric având

capacitatea C, încărcat cu sarcina electrică q.

Conform relaţiei (1.57) energia câmpului electric va fi:

.C

q = U C = U q = V q - V q = V q + V q = W

e

22

212211 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Relaţia (1.57) nu indică localizarea corectă a energiei câmpului electrostatic.

Pentru aceasta se defineşte densitatea de volum a energiei câmpului electric we:

.

V

W =

V

Wlim = w

ee

Ve

d

d

0

(1.58)

Pentru determinarea densităţii de volum a energiei în funcţie de mărimile de

stare ale câmpului, se consideră câmpul omogen din interiorul unui condensator

plan, pentru care:

,D E

=E

= V

E S =

V

E d d

S

= V

U C

=V

W =w

d

2

d

2

d

d

ee

22

ε

2

dε

2

1

2

12

22

(1.59)

unde Vd=Sd reprezintă volumul dielectricului dintre armături. Energia câmpului

21

electrostatic localizată într-un volum V este:

. V D E

= V w = WV

eV

e d2

d (1.60)

1.8.2. Teoremele forţelor generalizate

Metoda generală de determinare a forţelor în câmpul electrostatic se bazează

pe considerente energetice. Calculul forţelor se face prin intermediul lucrului

mecanic care s-ar efectua la o deplasare oarecare a corpurilor încărcate asupra

cărora se exercită aceste forţe. Metoda utilizează noţiunile de coordonate şi forţe

generalizate.

Coordonatele generalizate sunt variabilele scalare cu ajutorul cărora se

caracterizează complet configuraţia geometrică a unui sistem de corpuri.

Numărul minim al acestora, reprezintă numărul de grade de libertate al sistemului.

Coordonatele generalizate, care se vor nota cu xk, pot fi distanţe, unghiuri, arii,

volume etc.

Când coordonatele generalizate au variaţii elementare dxk, forţele

generalizate Xk, care se exercită asupra celor n corpuri, efectuează un lucru

mecanic elementar (fig.1.20):

. x X = L kk

n

= k

dd1

(1.61)

Mărimile scalare Xk care intervin se numesc forţe generalizate. Forţa

generalizată nu este o forţa propriu-zisă. Dacă, de exemplu, xk este o deplasare, Xk

este componenta unei forţe după direcţia deplasării; dacă xk este un unghi de

rotaţie, Xk este momentul forţelor în raport cu axul de rotaţie etc.

Presupunem că toate cele n corpuri sunt fixe în afară de corpul i care poate

să-şi modifice doar coordonata xk. Lucrul mecanic efectuat de sursele de energie

exterioară pentru variaţia cu dqk a sarcinilor celor n corpuri trebuie să acopere

creşterea de energie a câmpului electric şi lucrul mecanic efectuat de forţa

generalizată Xk asupra corpului i:

. x X + W = q V kkekk

n

1 = k

ddd (1.62)

a) Dacă sistemul de corpuri este izolat de surse, sarcinile corpurilor nu se

pot modifica în decursul deplasării dxk, deci dqk=0 şi se obţine:

. x

W - = X

k

e

.const = q

k

(1.63)

Forţa generalizată Xk, corespunzătoare coordonatei genera-lizate xk este

egală cu derivata parţială, cu semn schimbat, a energiei electrostatice în

raport cu coordonata generalizată, dacă sarcinile corpurilor sunt constante şi

dacă energia câmpului s-a exprimat numai în funcţie de coordonatele

22

generalizate şi sarcinile cu care sunt încărcate corpurile.

Semnul minus arată că lucrul mecanic se face pe seama scăderii energiei

câmpului electrostatic (sursele exterioare sunt deconectate).

b) Dacă sistemul de corpuri este conectat la surse, acestea vor menţine

constante potenţialele Vk ale corpurilor şi atunci:

q V

= q V + q V q V ) W (

kk

n

= k

kk

n

= kkk

n

= kkk

n

= k.const = Ve

d2

1

dd2

1

2

1dd

1

111

şi:

. x

W = X ,x X + W = W

k

e

.const = V

kkkee

ddd 2

(1.64)

Forţa generalizată Xk, corespunzătoare coordonatei gene-ralizate xk,

este egală cu derivata parţială a energiei electrostatice în raport cu

coordonata generalizată, dacă potenţialele corpurilor s-au considerat

constante şi dacă energia câmpului s-a exprimat numai în funcţie de

coordonatele generalizate şi potenţialele corpurilor.

Cele două expresii (1.63) şi (1.64) sunt echivalente reprezentând cele două

teoreme ale forţelor generalizate în câmpul electrostatic.

Aplicaţie.

Să se determine forţa ce se exercită între armăturile unui con-densator plan

având aria armăturilor S şi distanţa dintre armături x.

Energia câmpului electric al condensatorului este :. C U =

C

q = W

e2

2

2

1

2

1

Dacă aplicăm relaţia (1.63) rezultă:

.x

C

U =

x

C

C

q=

x

C

C-

q-=

x

W - =F = X

e

.const = q d

d

2d

d

2d

d1

2

2

2

2

2

2

Dacă se utilizează relaţia (1.64) rezultă aceeaşi expresie:

x

A

U -

x

C

U =

x

W = F = X

e

.const = V2

22 ε

2d

d

2

(1.65)

Folosind expresia capacităţii condensatorului plan rezultă:

Semnul minus arată că forţa este de atracţie, adică în sens contrar creşterii

coordonatei generalizate x.

23

2. ELECTROCINETICA

2.1. GENERALITĂŢI

Electrocinetica studiază stările electrice ale conductoarelor parcurse de

curenţi electrici de conducţie. În Electrocinetică se prezintă mărimile fizice

care caracterizează starea electrocinetică, legile şi fenomenele caracteristice

pentru regimul staţionar cât şi pentru regimul nestaţionar.

Trecerea curentului electric prin conductoare determină o stare specifică a

acestora, denumită stare electrocinetică, caracterizată printr-o transformare a

energiei electromagnetice în alte forme de energie. Starea electrocinetică poate fi

pusă în evidenţă prin o serie de efecte, dintre care cele mai importante sunt:

a)-efectele calorice, evidenţiate prin căldura dezvoltată la trecerea

curentului electric prin conductoare;

b)-efectele electrochimice, care constau în reacţiile chimice ce au loc la

trecerea curentului prin electroliţi;

c)-efectele mecanice (forţe şi momente), exercitate între conductoarele)

parcurse de curent (interacţiuni electrodinamice) sau între conductoarele

parcurse de curent şi câmpul electromagnetic (interacţiuni electromagnetice);

d)-efectele luminoase, care apar în becurile cu incandescenţă sau în cele cu

descărcări electrice în gaze;

e)-efectele magnetice, care apar în jurul conductoarelor parcurse de curent

electric (apariţia unui câmp magnetic - devierea acului busolei când se află lângă

un conductor parcurs de curent electric);

f)-efectele electrice, care apar la descărcarea unui condensator.

În Electrotehnică se disting trei regimuri: static, staţ ionar şi nestaţionar.

Regimul static, caracteristic stărilor electrostatice sau magnetostatice este

caracterizat prin mărimi de stare ale câmpului electromagnetic constante în timp

(derivatele acestora în raport cu timpul sunt nule) şi prin faptul că nu există

posibilitatea transformării energiei electromagnetice în alte forme de energie.

Regimul staţionar este şi el caracterizat prin mărimi de stare ale câmpului

electromagnetic constante în timp (derivatele acestora în raport cu timpul sunt

nule), dar în acest regim apare posibilitatea transformării energiei electromagnetice

în alte forme de energie.

Regimul nestaţionar este caracterizat prin mărimi de stare ale câmpului

electromagnetic variabile în timp şi prin posibilitatea transformării energiei

electromagnetice în alte forme de energie.

2.2. INTENSITATEA ŞI DENSITATEA CURENTULUI

ELECTRIC

2.1.2. Intensitatea şi densitatea curentului electric de conducţie

Curentul electric reprezintă o deplasare ordonată a particulelor

încărcate cu sarcină electrică. Mişcarea particulelor încărcate electric se poate

24

face în interiorul corpurilor sau în vid.

Curentul electric de conducţie este reprezentat de mişcarea într-un corp

conductor a unor particule încărcate cu sarcini electrice, ce se pot deplasa

liber în raport cu un sistem de referinţă solidar cu corpul în care se află aceste

particule.

La metalele în stare solidă, electronii din ultimul strat au posibilitatea de a

părăsi atomii. Aceşti electroni se numesc electroni liberi. Ionii pozitivi care rămân,

formează reţeaua cristalină a metalului. Mişcarea electronilor este o mişcare

haotică, astfel că se poate considera că electronii liberi formează un gaz electronic.

Dacă în metal apare un câmp electric, conform legii acţiunii ponderomotoare apare

o forţă electrică care va duce la o deplasare ordonată a electronilor liberi, deci, la

un curent electric de conducţie.


intensităţii curentului electric

de conducţie: a) de speţa întâi;

b) de speţa a doua.

Caracterizarea cantitativă a stării

electrocinetice se face cu ajutorul intensităţii

curentului electric de conducţie i, mărime

primitivă scalară care se defineşte pe o suprafaţă

orientată S .

În cazul conductoarelor de secţiune constantă, S este

suprafaţa secţiunii transversale a conductorului (fig.

2.1 a) sau a băii electrolitice în cazul conduc-toarelor

de speţa a doua (fig. 2.1 b).

Intensitatea curentului electric de conducţie i, este limita raportului

dintre suma algebrică a sarcinilor electrice, Δq ale particulelor microscopice

libere care traversează secţiunea transversală a conductorului într-un anumit

interval de timp şi durata Δt a intervalului, când ultima tinde către zero şi

când limita există:

.

t

q =

t

q = i

t d

dlim

0

(2.1)

Unitatea de măsură a intensităţii curentului electric este Amperul [A].

Intensitatea curentului electric de conducţie este o mărime scalară, de aceea

poate avea semnul plus sau minus. Se defineşte sensul pozitiv al curentului,

sensul deplasării sarcinilor electrice pozitive. În metale, unde curentul electric

este un flux de electroni, sensul curentului va fi contrar sensului de deplasare a

electronilor.

Pentru caracterizarea locală a stării electrocinetice s-a introdus o mărime

fizică vectorială numită densitatea curentului electric de conducţie J . Fluxul

vectorului densitate de curent printr-o suprafaţă oarecare a conductorului S este

egal cu intensitatea curentului electric de conducţie prin acea suprafaţă (fig. 2.2a):

. S n J = S J = iSS

S dd (2.2)

25

În cazul conductoarelor

omogene rectilinii şi filiforme, de

secţiune constantă S, iar curentul

care îl străbate este continuu şi

uniform repartizat pe secţiunea

conductorului

(fig. 2.2b), se poate defini densitatea

de curent de conducţie astfel:

,n J = n S

i = J s

(2.3)

Fig.2.2 – a) Explicativă la determinarea

densităţii de curent; b) Tub de curent.

unde: S este secţiunea transversală a conductorului, J - modulul densităţii

curentului electric de conducţie, n - versorul normalei secţiunii transversale a

conductorului.

Unitatea de măsură a densităţii de curent electric este Amperul pe metru

pătrat (A/m2). În practică se foloseşte des un multiplu al ei numit Amper pe

milimetru pătrat (A/mm2).

Liniile de curent sunt liniile tangente în fiecare punct la direcţia locală a

vectorului densitate de curent.

Volumul limitat de suprafaţa tubulară formată dintr-un ansamblu de

linii de curent ce trec printr-o curbă închisă Γ se numeşte tub de curent (fig. 2.2b).

2.2.2. Intensitatea şi densitatea curentului electric de convecţie

Prin deplasarea unui corp încărcat cu sarcina electrică q', cu viteza faţă de

un sistem fix, apare o deplasare ordonată a sarcinii electrice, deci un curent electric

(fig. 2.3).

Fig.2.3 - Explicativă la calculul intensităţii

curentului electric de convecţie.

Intensitatea curentului electric

de convecţie, se defineşte ca limita

raportului dintre suma algebrică a

sarcinilor electrice (Δq') care

traversează o suprafaţă fixă S (prin

mişcarea întregului corp) într-un

interval de timp şi durata Δt a

intervalului, când ultima tinde către

zero şi când limita există:

,S J = t

q =

t

q = i vS

t v d

d

dlim

0

(2.4)

unde vJ este vectorul densitate a curentului electric de convecţie definit prin

relaţia: . v = J vv ρ (2.5)

26

În relaţia (2.5) ρv reprezintă densitatea de volum a sarcinii electrice a

corpului care se mişcă cu viteza faţă de sistemul fix (faţă de suprafaţa S).

2.3.CONDUCTOARE IZOLANŢI,

SEMICONDUCTOARE

Starea electrocinetică permite clasificarea materialelor electrotehnice în trei

clase: materiale conductoare, materiale izolante şi materiale semiconductoare.

a)-Materialele conductoare permit trecerea curentului electric de

conducţie. La aceste materiale, sarcina electrică produsă printr-o metodă oarecare

se răspândeşte rapid pe toată suprafaţa corpului. Rezistivitatea are valori între 810 şi

510m. Materialele conductoare se subîmpart în două specii:

- conductoare de specia întâi, la care curentul electric reprezintă o deplasare

ordonată a electronilor liberi din structura lor. Din această categorie fac parte, în

general, materialele metalice (cupru, aluminiu etc.). Deplasarea electronilor prin

material dă naştere curentului electric de conducţie, din care motiv aceste materiale

se numesc materiale electroconductoare cu conductivitate electronică.

- conductoare de specia a doua, la care curentul electric este datorat

deplasării ordonate a ionilor. Din această categorie fac parte sărurile topite,

soluţiile de săruri, acizi sau baze (electroliţii). Curentul electric este o deplasare

ordonată a ionilor, deci, odată cu deplasarea sarcinii are loc şi o deplasare de

material. Aceste conductoare se mai numesc şi conductoare electrice cu

conductivitate ionică.

Din punct de vedere electrostatic, corpurile mici conductoare neîncărcate

electric sunt atrase de corpurile electrizate, iar după ce vin în contact cu acestea

sunt respinse, deoarece se încarcă cu electricitate de acelaşi fel.

b)-Materialele izolante (dielectricii) nu permit trecerea curentului electric

de conducţie. La aceste materiale, sarcina electrică apărută prin electrizare rămâne

localizată în porţiunea supusă electrizării un timp îndelungat. Din această clasă fac

parte uleiurile minerale, sticla, porţelanul, cauciucul etc. Din punct de vedere

electrostatic, corpurile izolante sunt atrase de corpurile electrizate şi rămân lipite

de acestea. Rezistivitatea lor are valori între 810 şi

1810 m.

c)-Materialele semiconductoare sunt materialele ce ocupă din punct de

vedere al conductibilităţii electrice o poziţie intermediară între substanţele

conductoare şi cele izolante. La aceste materiale (germaniu, siliciu etc.) trecerea

curentului electric se face prin deplasarea electronilor şi golurilor (vezi 2.10.1).

2.4. CÂMPUL ELECTRIC ÎN SENS LARG. TENSIUNEA

ELECTRICĂ TENSIUNEA ELECTROMOTOARE

2.4.1. Intensitatea câmpului electric în sens larg

Se consideră o particulă imobilă încărcată cu sarcină electrică foarte mică q,

astfel încât aceasta să nu influenţeze asupra câmpului electric rezultant.

27

Intensitatea câmpului electric în sens larg El, într-un punct, se defineşte ca

raportul între forţa totală care acţionează asupra particulei aflate în acel punct şi

sarcina electrică q cu care este încărcată:

. q

F = E l

(2.6)

După natura componentelor forţei , intensitatea câmpului electric în sens

larg El poate avea trei componente:

a) intensitatea câmpului electric coulombian Ec, care rezultă datorită

existenţei sarcinilor electrice şi a fost studiat la electrostatică;

b) intensitatea câmpului electric solenoidal (indus) Es, care apare în urma

fenomenului de inducţie electromagnetică. Acest câmp apare numai în regim

nestaţionar şi este definit prin relaţia:

, B x v rot + t

B - = E rot s )(

(2.7)

unde B este vectorul inducţie magnetică, iar viteza de deplasare;

c) intensitatea câmpului electric imprimat Ei, care apare în mediile

neomogene din punct de vedere fizico-chimic sau în mediile accelerate. Câmpul

electric imprimat este o mărime convenţională, introdusă pentru a exprima în

limbaj electric forţele de natură neelectrică ce produc deplasarea sarcinilor

electrice în conductoare.

Rezultă expresia câmpului electric în sens larg:

,E + E = E + E + E = E nciscl (2.8)

unde En = Es + Ei reprezintă intensitatea câmpului electric necoulombian.

2.4.2. Tensiunea electrică, tensiunea electromotoare

Integrala de linie a intensităţii câmpului electric în sens larg în lungul unei

curbe între două puncte A şi B se numeşte tensiune electrică în sens larg între

cele două puncte în lungul acestei curbe:

. l E = u l

B

CA C B A d

)()(

(2.9)

Tensiunea electromotoare (t.e.m.) de contur se defineşte ca integrala de

linie pe o curbă închisă Γ a intensităţii câmpului electric în sens larg:

. l E = l E + E = l E = u nise

dd)(d (2.10)

28


calculul tensiunii elec-trice în

sens larg.

T.e.m. obţinută prin integrarea intensităţii

câmpului electric în sens larg, în lungul unei curbe

închise Γ, coincide cu integrala componentei

necoulombiene a intensităţii câmpului electric în

lungul aceleiaşi curbe închise, deoarece integrala

componentei coulombiene a intensităţii câmpului

electric în lungul unei curbe închise este nulă.

În regimul electrocinetic al conductoarelor imobile, se păstrează caracterul

potenţial al intensităţii câmpului electric şi ca urmare există o teoremă a

potenţialului electric staţionar care are aceeaşi formă cu teorema potenţialului

electrostatic: t.e.m. de contur a câmpului electric E este nulă de-a lungul

oricărei curbe închise:

. = l E = l E cl 0 dd (2.11)

În regim electrocinetic staţionar, t.e.m. este dată numai de câmpul electric

imprimat, deoarece intensitatea câmpului electric solenoidal este nulă:

. l E = l E + E = l E = u iisle

dd)(d

(2.12)

Integrala de linie a intensităţii câmpului electric coulombian Ec, de la o

bornă A a unui circuit electric dipolar, la cealaltă bornă B de-a lungul unei linii

oarecare dintre borne se numeşte tensiune la borne sau diferenţă de potenţial la

borne:

. V - V = l E = u BAc

B

C Ab d

)(

(2.13)

Unitatea de măsură a tensiunii electrice şi a tensiunii electromotoare este

Voltul (V).

În regim electrocinetic staţionar (curent continuu), tensiunea, t.e.m. şi

intensitatea curentului se pot nota cu litere mari sau cu litere mici. În lucrarea de

faţă se va utiliza notarea acestor mărimi cu litere mari pentru regimul staţionar

(c.c.) iar pentru regimul nestaţionar (c.a.), cu litere mici.

2.5. CÂMPURILE ELECTRICE IMPRIMATE

Intensitatea câmpului electric imprimat Ei nu este un câmp electric propriu-

zis ci o mărime echivalentă cu ajutorul căreia se exprimă acţiunile forţelor de

natură neelectrică ce acţionează asupra particulelor electrizate. Câmpurile

imprimate pot fi localizate într-un întreg domeniu (câmpuri imprimate de volum)

sau numai pe anumite suprafeţe de discontinuitate (câmpuri imprimate pe

interfeţe sau de contact).

29

2.6. RELAŢIILE FUNDAMENTALE ALE REGIMULUI

ELECTROCINETIC

2.6.1. Legea conservării sarcinii electrice

Se consideră un condensator electric încărcat cu sarcină electrică q, ale cărui

armături se leagă printr-un conductor metalic având rezistenţa R şi o suprafaţă

închisă Σ ce conţine numai armătura încărcată cu sarcina +q (fig.2.11).

Fig.2.11 - Explicativă la legea

conservării sarcinii electrice.

La închiderea întreruptorului a, potenţialul

conductorului nu mai este constant (datorită

potenţialelor diferite ale armăturilor) şi ca urmare

nu se mai menţine echilibrul electrostatic, prin

conductor apărând o deplasare ordo-nată a

sarcinilor electrice.

S-a constatat experimental că intensitatea

curentului electric de

conducţie ce trece prin circuit în timpul descărcării condensa-orului,este egală cu

viteza de scădere a sarcinii electrice qΣ de pe armătura condensatorului din

interiorul suprafeţei Σ, adică:

. t

q - = i

d

d

(2.18)

Relaţia (2.18) se poate generaliza considerând că avem şi corpuri încărcate

electric în mişcare şi ca urmare pe lângă intensitatea curentului electric de

conducţie există şi intensitate a curentului electric de convecţie:

. t

q - = i + i v

d

d

(2.19)

Suma dintre intensităţile curentului electric de conducţie iΣ şi a

curentului electric de convecţie ivΣ, care ies dintr-o suprafaţă închisă Σ, fixă,

este egală în fiecare moment cu viteza de scădere a sarcinii electrice qΣ

localizată în interiorul suprafeţei.

Relaţia (2.19) reprezintă forma integrală a legii conservării sarcinii electrice

şi este valabilă în orice regim.

În regim electrocinetic staţionar (curent continuu), în care mărimile sunt invariabile

în raport cu timpul, legea conservării sarcinii electrice devine:

. = t

q - = i 0

d

d

(2.20)

30

Relaţia (2.20) reprezintă

teorema continuităţii liniilor de

curent, adică, intensitatea curentului

electric de conducţie ce trece printr-

o suprafaţă închisă este nulă sau

altfel spus, intensitatea curentului care

iese din suprafaţa închisă este egală cu

intensitatea curentului care intră în su-

Fig.2.12 - Explicativă la conservarea

intensităţii curentului printr-un tub de curent.

prafaţa respectivă (prima teoremă a lui Kirchhoff).Liniile de curent sunt linii

închise, deci curentul continuu circulă numai prin circuite electrice închise.

Consecinţă. Dacă se consideră un tub de linii de curent şi se aplică relaţia

(2.20) suprafeţei închise Σ, compusă din suprafeţele transversale S1 şi S2 şi

suprafaţa laterală Sl (unde SJ d ), se obţine (fig.2.12):

. i = i = i + i - = S J + S J + S J= S J = iSSS

2121 0dddd2l1

(2.21)

Curentul continuu are aceeaşi intensitate de-a lungul unui tub de curent şi în

particular de-a lungul unui conductor electric neramificat (de exemplu latura unei

reţele electrice).

În regim electrostatic iΣ = 0, rezultând qΣ = constant, adică sarcina electrică

a unui sistem izolat de conductori este constantă (teorema conservării sarcinii

electrice din electrostatică, paragraful 1.5.4).

2.6.2. Legea conducţiei electrice

În regim electrocinetic existând o deplasare ordonată de sarcini electrice,

rezultă că forţa rezultantă ce acţionează asupra acestor particule încărcate electric

va fi diferită de zero:

. E + E q = F + F = F i 0)(neelel (2.22)

S-a constatat experimental că suma vectorială dintre intensi-tatea

câmpului electric E şi intensitatea câmpului electric imprimat iE este

proporţională cu densitatea curentului de conducţie J :

. J = E + E i ρ (2.23)

Relaţia reprezintă forma locală a legii conducţiei electrice. Factorul de

proporţionalitate ρ se numeşte rezistivitatea mate-rialului şi depinde atât de

material cât şi de temperatură. Deci legea conducţiei electrice este o lege de

material.

În conductoarele omogene şi neaccelerate unde nu există câmp electric

imprimat, relaţia (2.23) devine: . J q = E (2.24)

31

Într-un mediu omogen, izotrop şi neaccelerat, vectorul densităţii de curent

coincide ca direcţie şi sens cu vectorul intensităţii câmpului electric (rel. 2.24), iar

liniile de curent coincid cu liniile câmpului electric.

Inversul rezistivităţii materialului se numeşte conductivitatea materialului σ:

. = ρ

1σ

(2.25)

Cu notaţia (2.25) relaţiile (2.23) şi (2.24) devin:

. E = J , E + E = J i σ)(σ (2.26)

Fig.2.13 - Explicativă la calculul formei

integrale a legii conducţiei electrice.

Pentru circuite filiforme, pentru care

densitatea curentului electric este con-stantă

în toate punctele unei secţiuni transversale,

se foloseşte forma integrală a legii conducţiei

electrice. Pentru aceasta se consideră o

porţiune de circuit filiform în care se găseşte

o sur-să de câmp electric imprimat iE

(fig.2.13).

Integrând forma locală a legii conducţiei (2.23) pe curba C (axa

conductorului) între punctele 1 şi 2, rezultă:

. l J = l E + E C

i C

dρd)(2

) (1

2

)( 1

(2.27)

Deoarece circuitul este filiform: J = i / S şi J d S , rezultă:

,S

l i = l J = l J

ddd

(2.28)

unde S este secţiunea conductorului, iar i - intensitatea curentului prin circuitul

filiform.

Ţinând seama de (2.28), relaţia (2.27) devine:

.

S

l i = l E + l E

Ci

C C

dρdd

2

1

2

) 1(

2

)1(

(2.29)

Se fac următoarele notaţii:

-pentru tensiunea în lungul firului:

l E = u = u C

f d2

)( 12 1

,

-pentru tensiunea electromotoare imprimat:

l E = u = u i C

ei e d2

)(112

,

32

-pentru rezistenţa electrică a porţiunii de circuit:

S

l = R

C

dρ

2

) ( 12 1

. Cu notaţiile de mai sus, se obţine forma integrală a legii conducţiei electrice:

,R i = u + u e 1212 12 (2.30)

care se enunţă astfel: pentru o porţiune neramificată de circuit filiform, suma

dintre tensiunea electrică în lungul firului şi tensiunea electrică imprimată a

surselor ce se găsesc în acea porţiune de circuit, este egală cu produsul dintre

intensitatea curentului i şi o mărime scalară R, caracteristică circuitului,

numită rezistenţă electrică.

Pentru un circuit închis (u12 = 0, ue12 = ue), relaţia (2.30) devine:

,i R = ue (2.31)

unde ue este t.e.m. de contur.

Relaţia (2.31) arată cauza fizică care stabileşte curentul electric de conducţie

printr-un circuit închis şi anume t.e.m. ue, care poate fi produsă fie de câmpuri

electrice imprimate (elemente galvanice) fie de câmpuri electrice solenoidale

(generatoare electrice).

În regim staţionar (curent continuu) tensiunea în lungul firului este tensiunea

la borne U b , iar tensiunea imprimantă este t.e.m. Ue, deci legea conducţiei electrice

se scrie (mărimile se scriu cu litere mari):

. I R = U + U eb (2.32)

Pentru o porţiune de circuit fără surse de câmp electric imprimat (porţiune

pasivă), legea are forma:

. I R = U b (2.33)

Relaţia (2.33) este cunoscută sub denumirea de legea lui Ohm şi se enunţă

astfel: tensiunea electrică la bornele unei porţiuni de circuit pasiv, de curent

continuu, este egală cu produsul dintre intensitatea curentului şi rezistenţa

circuitului.

Rezistenţa electrică a conductoarelor. Din legea lui Ohm rezistenţa unui

conductor este numeric egală cu raportul dintre tensiunea electrică continuă

aplicată conductorului şi curentul care îl străbate:

.

I

U = R b

(2.34)

Rezistenţa electrică a unui conductor filiform, omogen, de secţiune

constantă S şi de lungime l este:

. S

l =

S

l = R

σρ

(2.35)

33

Mărimea inversă rezistenţei se numeşte conductanţă şi se notează cu G:

. l

S =

l

S =

R

l =G

ρσ

(2.36)

În sistemul internaţional de unităţi, rezistenţa electrică are ca unitate de

măsură Ohmul (Ω), iar conductanţa - Siemensul (S).

Rezistivitatea ρ a materialelor conductoare depinde liniar de temperatură,

dacă diferenţele de temperatură sunt mici. Relaţia de calcul a rezistivităţii ρθ la

temperatura θ în funcţie de rezistivitatea ρ0 de la temperatura de referinţă θ0 este:

, + = ]) θ - θ(1[ ρρ 00 (2.37)

unde α este coeficientul de creştere a rezistivităţii cu temperatura. Coeficientul α

poate fi pozitiv (la majoritatea metalelor) sau negativ (la cărbune, constantan,

electroliţi).

Pentru anumite metale, rezistivitatea lor se anulează brusc la temperaturi

foarte joase, de ordinul câtorva kelvini. Acest fenomen a fost descoperit în anul

1911 de către Kammerling-Ones (1853 - 1926) şi a fost denumit

supraconductibilitate.

În tabelul 2.2 se dau rezistivităţile ρ, conductivităţile σ şi coeficienţii de

temperatură ai rezistivităţii α pentru θ0= 20C, ale unor materiale uzuale din

electrotehnică.

Tabelul 2.2.

Materialul ρ [Ωm] σ

[S/m]

α

[1/K]

Argint (1,59...1,7)10-8

(5,9...6,3)107 3,8.10

-3

Cupru (1,7...1,78)10-8

(5,6...5,9)107 3,9.10

-3

Aluminiu (2,8...3,0)10-8

(3,3...3,6)107 3,7.10

-3

Fier (9...15)10-8

(0,67...1,1)107 4,5.10

-3

Alamă (7...9)10-8

(1,1...1,4)107 1,5.10

-3

Nichelină 4,3.10-7

2,33.106 1,3.10

-4

Manganină 4,3.10-7

2,33.106 1.10

-5

Constantan 4,9.10-7

2,04.106 -5.10

-6

Cărbune (6...8)10-5

(1,25...1,67)104 -(2...8)10

-4

Dacă se amplifică relaţia (2.37) cu raportul l/S, se obţine:

, - + 1 R = R ])(α[ 00θ

(2.38)

care reprezintă dependenţa rezistenţei conductoarelor de temperatură.

34

Elementul de circuit carac-terizat complet

prin rezistenţa electrică se numeşte rezistor.

Rezistoarele a căror rezistenţă este constantă

se numesc rezis-toare fixe (fig.2.14a), iar

cele la care rezistenţa poate fi modi-ficată cu

ajutorul unui cursor, se numesc reostate

variabile sau potenţiometre (fig.2.14b). Fig.2.14 - Simbolizarea rezistoare de

valori: a) fixe; b) variabile.

2.6.3. Legea transformării energiei în conductoare

Starea electrocinetică este caracterizată prin existenţa unui curent electric şi

printr-o transformare a energiei câmpului electromagnetic în alte forme de

energie. J.P.Joule (1818 - 1889) şi E.H.Lenz(1804 - 1865) au stabilit

experimental că în orice conductor electric parcurs de curent electric se dezvoltă

căldură.

S-a stabilit experimental că puterea electromagnetică p cedată unităţii de

volum a conductorului în procesul de conducţie de către câmpul

electromagnetic este egală cu produsul scalar

dintre intensitatea câmpului electric E şi densitatea curentului electric de

conducţie J : . J E = p (2.39)

Relaţia (2.39) reprezintă forma locală a legii transformării energiei în

conductoare, lege general valabilă, sub această formă, pentru conductoare

omogene, neomogene, izotrope, anizotrope, liniare sau neliniare.

Integrând relaţia (2.39) pe volumul V al unei porţiuni de conductor filiform,

de secţiune S, în care E , J şi d l sunt paraleli, se obţine puterea totală P cedată de

câmpul electromagnetic conductorului în procesul de conducţie al curentului

electric:


puterii totale absorbite de o

porţiune neramificată de circuit.

. u i = l E i= l E SJ =

l S E J = V p = P

f

VV

dd

)d(d

2

1

2

1

2.40)

Relaţia (2.40) exprimă forma integrală a

legii transformării energiei în conductoare care se

enunţă astfel:

Puterea electromagnetică primită de un conductor filiform de la câmpul

electromagnetic în procesul de conducţie este egală cu produsul dintre

tensiunea electrică în lungul conductorului şi intensitatea curentului electric

din conductor. Exprimând tensiunea electrică în lungul firului prin relaţia (2.33), rezultă:

. P - P = u i - i R = ) u - i R i = u i = P GReef2(

(2.39)

35

Primul termen al relaţiei (2.39), PR = R i2 este mereu pozitiv şi reprezintă

puterea disipată ireversibil sub formă de căldură în conductor de către câmpul

electromagnetic.

Dezvoltarea de căldură este caracteristică stării electrocinetice şi poartă numele

de efect electrocaloric sau efect Joule-Lenz. Al doi-lea termen al relaţiei, PG = i

ue, poate fi pozitiv sau negativ şi repre-zintă puterea primită sau cedată de sursa de

câmp electric imprimat.

În figura 2.17 sunt redate sugestiv cazurile în care o sursă de tensiune

electrică imprimată cedează (PG > 0) sau primeşte energie (PG < 0) de la câmpul

electromagnetic.

Unitatea de măsură a puterii este

Wattul [W], iar a energiei Joulul [J]. În

electrotehnică se foloseşte pentru

energie o unitate mai mare,

Kilowattora [kWh]:

1 kWh = 103 W 3600 s = 3,6 10

6 J

Fig.2.17 – Explicativă la puterea unei surse:

a) debitată; b) absorbită. Efectul electrocaloric al curentului electric are largi aplicaţii în tehnică ca de

exemplu la:

- iluminatul electric;

- încălzirea electrică în cuptoarele electrice cu rezistenţă, cu arc electric sau

prin inducţie;

- sudura electrică;

- tratamentele termice prin metode electrice (călirea prin curenţi de medie şi

înaltă frecvenţă).

Siguranţele fuzibile sunt aparate de protecţie contra supracurenţilor şi în

special contra curenţilor de scurtcircuit. Ele au proprietatea de a întrerupe

instantaneu circuitul electric când intensitatea curen-tului depăşeşte o valoare

limită impusă, ca urmare a topirii elemen-tului fuzibil (filiform sau lamelar) prin

efectul termic al curentului. Materialele din care se execută elementele fuzibilele

sunt argintul, cuprul, zincul şi aliajele de staniu cu cadmiu. Materialele pentru

fuzibile trebuie să aibă o temperatură de topire joasă, o rezistivitate electrică mică,

o inerţie termică mică şi să fie inoxidabile.

Lampa electrică cu incandescenţă. Partea activă a unei lămpi electrice cu

incandescenţă este filamentul, un conductor, care se încălzeşte la trecerea

curentului electric până la temperaturi în jur de 2000 C. La această temperatură,

filamentul emite o radiaţie lumi-noasă apropiată de cea albă. Filamentul se

realizează din sârmă foarte subţire de wolfram, care are o temperatură de topire

foarte înaltă, o evaporare lentă şi o rezistenţă mecanică mare. Randamentul

lămpilor cu incandescenţă este foarte scăzut. Numai (4...6)% din energia electrică

absorbită se transformă în energie luminoasă, restul se transformă în energie

calorică. Funcţionarea lămpii cu incandes-cenţă se întrerupe când filamentul

sublimează (se arde) în punctul cu temperatura cea mai mare.

36

2.7.CIRCUITE LINIARE DE CURENT CONTINUU

2.7.1. Definiţii

Circuitul electric se defineşte ca un ansamblu de elemente capabile să

conducă curentul electric. În curent continuu (c.c.), elementele de circuit sunt

sursele de t.e.m. (elementele active) şi rezistoarele (elementele pasive). Rezistenţa electrică a rezistorului, t.e.m. şi rezistenţa interioară a sursei de t.e.m., se numesc parametrii elementelor respective. După proprietăţile de material ale elementelor circuitului electric, circuitele se împart în circuite electrice liniare şi neliniare. Circu-itul electric liniar are parametrii independenţi de valorile curenţilor şi tensiunilor, iar cel neliniar are parametrii dependenţi de valorile curenţilor şi tensiunilor şi nu i se poate aplica legea conducţiei electrice sub formă integrală. Din punct de vedere al repartiţiei densităţii de curent electric în secţiunea conductoarelor, circuitele electrice se clasifică în circuite electrice filiforme, la care repartiţia curentului electric în secţiune este uniformă (densitatea curentului este constantă în secţiunea conductorului) şi în circuite electrice masive, la care densitatea curentului electric nu este constantă în secţiunea conductoarelor. După regimul de funcţionare, circuitele electrice se clasifică în circuite de curent continuu (c.c.), caracterizate prin existenţa numai a curentului electric de conducţie în conductoare şi avînd mereu acelaşi sens şi circuite de curent alternativ (c.a.), caracterizate de regimul cvasistaţionar, existând curent electric de conducţie în conductoare şi curent electric de deplasare în dielec-tricul condensatoarelor din circuit; la aceste circuite într-o secţiune a conductorului, intensitatea curentului variază periodic în timp (sinusoidal sau nesinusoidal). Reţeaua electrică este un ansamblu de circuite electrice conectate într-un mod oarecare. Din punct de vedere topologic, elementele principale ale unei reţele electrice sunt nodurile, laturile şi ochiurile. Nodul este punctul de conexiune a cel puţin trei elemente de circuit. Numărul nodurilor ale unei reţele se notează cu N. Latura (ramura) este o porţiune neramificată de circuit, formată din elemente conectate în serie (cel puţin un element) parcurse de acelaşi curent şi cuprinsă între două noduri vecine. Numărul de laturi ale unei reţele se notează cu L. Ochiul (bucla) este un contur închis realizat de-a lungul laturilor reţelei, începând de la un nod şi ajungând la acelaşi nod, fără a parcurge o latură de două ori. Se numeşte ochi de reţea independent faţă de un sistem de ochiuri dat, ochiul de reţea a cărui existenţă nu poate fi dedusă din cunoaşterea ochiurilor sistemului dat, sau altfel spus, ochiul independent conţine cel puţin o latură de reţea care nu a fost conţinută de celelalte ochiuri ale sistemului de ochiuri ale reţelei. L. Euler (1707 - 1783) a demonstrat că numărul de ochiuri independente O ale unei reţele electrice este:

. + N - L = O 1 (2.40)

37

Fig.2.18. - a) Reţea electrică.

- b) Schema echivalentă.

În figura 2.18a se reprezintă o reţea electrică. Nodurile reţelei electrice sunt A

sau G, B, C, D, E sau F, H, rezultând N=6. Nodurile A şi G respectiv E şi F nu

reprezintă noduri distincte deoarece au acelaşi potenţial (între ele neexistând nici

un element). Schema reţelei se poate reprezenta ca în figura 2.18b în care se

observă mai clar atât nodurile cât şi laturile reţelei. AG sau EF nu reprezintă laturi

deoarece nu conţin nici un element de circuit. Laturile acestei reţele electrice sunt:

GF, GE, FD, ED, DC, AB, AH, HB, HC, BC, deci L=10. Un sistem de ochiuri

independente este format din ochiurile: GEFG, EFDE, GEDCBHG, HABH,

BCHB. Un circuit de excepţie este circuitul serie, neramificat (fig.2.18c), care are

o singură latură şi un singur nod.

Circuitul care are numai două

borne de acces cu exteriorul se numeşte

dipol, circuitul care are patru borne de

acces cu exteriorul se numeşte cuadripol

etc. Fig.2.18 c – Circuit simplu neramificat.

2.7.2. Sensuri de referinţă în circuitele de curent continuu

Generatoarele de t.e.m. continuă au două borne de acces: borna pozitivă şi

borna negativă. Dacă generatorul nu este conectat la un circuit exterior, borna

pozitivă se va încărca cu sarcina electrică pozitivă, iar borna negativă cu sarcina

negativă. Între sarcina pozitivă de la borna pozitivă şi sarcina negativă de la borna

negativă se stabileşte un câmp electric coulombian, a cărui integrală de linie este

diferenţa de potenţial dintre cele două borne, numită tensiune la borne. Sensul

câmpului electric coulombian este de la borna pozitivă la borna negativă şi deci

sensul tensiunii la bornele generatorului este sensul câmpului electric.Curentul

electric debitat de generatorul electric iese pe la borna pozitivă şi intră pe la borna

negativă Se stabileşte pentru generatorul electric regula de asociere a intensităţii

curentului şi a tensiunii din figura 2.19a, numită convenţie de semne pentru

generatoare.

Rezistorul este străbătut de un curent electric care intră pe la bor-

Fig.2.19 - Convenţia de semne de la:

a) generatoare; b) receptoare.

na pozitivă şi iese pe la borna negativă,

sensul tensiunii fiind tot de la borna

pozitivă la cea negativă, rezultând o altă

regulă de asociere a sensurilor tensiunii şi a

intensităţii curentului, numită convenţia de

semne pentru receptoare (fig.2.19b).

38

Un circuit dipolar având convenţia de semne de la generatoare este generator

dacă puterea debitată P = Ub.I este pozitivă şi este receptor dacă puterea debitată

este negativă. Un circuit dipolar având convenţia de semne de la receptoare este

receptor, dacă puterea absorbită P = Ub.I este pozitivă şi este generator, dacă

puterea absorbită este negativă.

Regula de asociere a sensurilor tensiunii la borne şi a curentului pentru

dipolii activi şi pasivi se poate generaliza şi pentru dipolii alimentaţi în curent

alternativ, indiferent de sensul pe care l-ar avea la un moment dat tensiunea şi

curentul.

2.7.3. Teoremele lui Kirchhoff

a) Prima teoremă a lui Kirchhoff. Se consideră un nod N al unei reţele

electrice de c.c. (fig.2.20), înconjurat de suprafaţa închisă Σ. Din legea conservării

sarcinii electrice, aplicată suprafeţei Σ, pentru regimul electrocinetic staţionar,

rezultă:

. = t

q - = S J = I 0

d

dd

(2.41)

Fig.2.20 - Explicativă la demonstrarea

primei teoreme a lui Kirchhoff.

Notând cu S1, S2, ... , S5,

suprafeţele deschise rezultate din

intersecţia conductoarelor cu suprafaţa

Σ, integrala vectorului densitate de

curent pe suprafaţa Σ, devine:

,= I - I - I + I- I = S J+ +SJ + S J= S JSSS

0dddd 54321

5 21

(2.42)

deoarece pe restul suprafeţei Σ, vectorul este nul, iar fluxul vectorului prin

suprafaţa secţiunii transversale a unui conductor este intensitatea curentului electric

prin conductorul respectiv.

Generalizând relaţia de mai sus, rezultă:

. = IkN k

0 (2.43)

Relaţia (2.43) constituie prima teoremă a lui Kirchhoff, care se enunţă

astfel: În orice moment suma algebrică a curenţilor care străbat laturile unui

circuit ce converg într-un nod este egală cu zero, dacă se consideră curenţii

care ies din nod cu un semn, iar cei care intră în nod cu semn contrar. Prima teoremă a lui Kirchhoff este valabilă şi în cazul circuitelor de c.a.,

deoarece legea conservării sarcinii electrice rămâne valabilă şi în regim

cvasistaţionar. Deci: , = ik

N k

0 (2.44)

39

adică: suma algebrică a valorilor instantanee ale curenţilor din laturile unui

circuit ce converg într-un nod de reţea este nulă.

b) A doua teoremă a lui Kirchhoff.

Se consideră un ochi de reţea

q,având un anumit număr de laturi

(fig.2.24) Integrând forma locală a legii

conducţiei (2.23) de-a lungul curbei Γ ce

trece prin axa conductorilor care

formează ochiul q, se obţine:

Fig.2.24 - Explicativă la demonstrarea celei

de a doua teoreme a lui Kirchhoff

.lJlEE i dρd)( (2.45)

În regim staţionar:

0d lE şi

,UlEqk

kei

d

(2.46)

unde Uek reprezintă t.e.m. a sursei din latura k a ochiului q.

Membrul drept al relaţiei (2.45) devine:

qk

kkqk l

ki ,RIS

lIlE

k

dρd

(2.47)

unde Rk reprezintă rezistenţa laturii k a ochiului q, Ik - intensitatea curentului

electric din aceeaşi latură. Folosind relaţiile (2.46) şi (2.47), relaţia (2.45) devine:

,R I = U kkq k

k eq k

(2.48)

care reprezintă expresia matematică a celei de-a doua teoremă a lui Kirchhoff:

suma algebrică a t.e.m. ale surselor din laturile unui ochi de reţea este egală

cu suma algebrică a căderilor de tensiune din laturile ochiului.

Căderile de tensiune, respectiv t.e.m. se iau cu semnul plus dacă sensurile lor

coincid cu sensul de integrare, numit sens de referinţă (marcat cu o săgeată curbă

în interiorul ochiului) şi cu semnul minus în caz contrar.

Teorema a doua a lui Kirchhoff se poate aplica şi la ochiuri de reţea de c.a.,

enunţându-se astfel: suma algebrică a valorilor instantanee ale t.e.m. ale

generatoarelor din laturile unui ochi de reţea este egală cu suma algebrica a

căderilor de tensiune instantanee din laturile respective.

2.7.4. Gruparea rezistoarelor

Rezistorul este elementul de circuit electric caracterizat prin rezistenţa

sa electrică, el neavând inductivitate sau capacitate şi nu este sediul unei t.e.m.

imprimate. În reţelele electrice, rezistoarele pot fi grupate în serie, paralel, mixt,

stea sau triunghi.

Rezistenţa echivalentă Re este definită pentru o reţea de c.c. cu două borne

40

de acces, ca raportul pozitiv dintre tensiunea între aceste borne Ub şi

intensitatea I a c.c. care intră în reţea pe la una din borne şi iese prin cealaltă:

. >

I

U = R

be 0

(2.49)

a) Gruparea în serie a rezistoarelor. Considerăm n rezistoare de rezistenţe R1,

R2, ... Rn, legate în serie (străbătute de acelaşi curent de intensitate I) ca în figura

2.22. Conform teoremei a doua a lui Kirchhoff aplicată ochiului q, rezultă:

Fig.2.22 - Explicativă pentru calculul

rezistenţei echivalente la gruparea în serie

021 = U - U +...+ U + U bn

R I = U = R +...+ R + R I sebn )( 21

R = R k

n

= k se

1 (2.50)

În cazul legării în serie a rezistoarelor, rezistenţa echivalentă este

egală cu suma rezistenţelor rezistoarelor componente.Pentru n rezistoare identice

având rezistenţa R fiecare, rezistenţa echi-valentă, la legarea în serie este:

. R n = R se (2.51)

b) Gruparea în paralel a rezistoarelor. Considerăm n rezistoare de rezistenţe R1,

R2,..., Rn legate în paralel (având aceeaşi tensiune la borne) ca în figura 2.23.

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff

nodului A, rezultă:

,R

U +...+

R

U +

R

U

= I +...+I+I = R

U = I

n

bbb

ne

b

21

21

Fig.2.23 - Explicativă pentru calculul

rezistenţei echivalente la gruparea paralel.

de unde rezultă:

. R

= R k

n

= kp e

11

1

(2.52)

În cazul legării în paralel (derivaţie) a rezistoarelor, inversul rezistenţei

echivalente este egal cu suma inverselor rezistenţelor rezistoarelor componente.

Inversul rezistenţei se notează cu G şi se numeşte conductanţă, deci:

. G = G k

n

= ke

1 (2.53)

Conductanţa echivalentă în cazul legării în paralel este egală cu suma

conductanţelor elementelor legate în paralel.

Pentru n rezistoare identice, având rezistenţa R = 1/G fiecare, rezistenţa

echivalentă, respectiv conductanţă echivalentă vor fi:

41

.G n = G ,n

R = R p e p e

(2.54)

2.7.5. Rezolvarea reţelelor electrice prin metoda teoremelor lui

Kirchhoff

Fiind dată o reţea electrică la care se cunosc valorile t.e.m. şi ale

rezistenţelor laturilor, se pune problema determinării prin calcul a intensităţilor

curenţilor care trec prin laturile reţelei. Dacă se cunosc o parte din valorile t.e.m.,

ale rezistenţelor şi o parte a curenţilor din laturi, se pot determina prin calcul

celelalte mărimi necunoscute (t.e.m., curenţi, rezistenţe).

Pentru rezolvarea unei reţele prin metoda teoremelor lui Kirchhoff se

procedează astfel:

a)-se stabileşte numărul N de noduri ale reţelei;

b)-se stabileşte numărul L de laturi ale reţelei;

c)-se aleg sensuri de referinţă pentru curenţii şi t.e.m. necunos-cute din laturi

şi se figurează pe schema electrică;

d)-se stabilesc ochiurile independente şi sensurile de referinţă pentru ele;

e)-se scriu N-1 ecuaţii cu ajutorul primei teoreme a lui Kirchhoff aplicată

nodurilor reţelei şi O = L - N + 1 ecuaţii cu ajutorul celei de a doua teoreme a lui

Kirchhoff aplicată celor O ochiuri funda-mentale. Se obţine un sistem de L ecuaţii

cu L necunoscute;

f)-se rezolvă sistemul de ecuaţii obţinut la punctul e. Curenţii a căror valoare

a rezultat pozitivă din rezolvarea sistemului de ecuaţii, au sensul real cel stabilit la

punctul c, iar cei ale căror valori sunt negative, au sensurile reale opuse celor

stabilite la punctul c;

g)-se verifică corectitudinea rezultatelor prin metodele:

1. - se scrie prima teoremă a lui Kirchhoff pentru nodul al N-lea (cel

nefolosit). Relaţia obţinută trebuie să fie verificată cu ajutorul curenţilor găsiţi prin

calcul;

2. - se scrie cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru un ochi nefolosit.

Relaţia obţinută trebuie să fie verificată cu ajutorul curenţilor găsiţi din calcul;

3. - se scrie tensiunea electrică între două puncte oarecare pe mai multe

drumuri diferite, rezultatele obţinute trebuind să fie aceleaşi pentru valorile

curenţilor găsiţi;

4. - se face bilanţul puterilor. Suma algebrică a puterilor debitate de sursele

reţelei este egală cu suma puterilor ce se pierd prin efect Joule-Lenz în rezistenţele

reţelei:

R I = I U k k

L

= kkk e

L

= k

2

11

(2.55)

Produsele Uek Ik se scriu cu semnul plus (+) dacă sensurile lui Uek şi Ik

coincid prin latura k şi cu semnul minus (-) în caz contrar.

42

2.8. CURENTUL ELECTRIC PRIN ELECTROLIŢI

Se numesc conductori de specia a doua (electroliţi), conduc-torii în care

trecerea curentului electric este însoţită de reacţii chimice şi de un transport de

substanţă. Prin topirea la temperaturi înalte sau prin dizolvarea în anumite medii

(apă, alcool, amoniac etc.), unele substanţe devin electroliţi. Aceste substanţe

netopite sau nedizolvate, în stare pură, au conductibilitatea electrică foarte mică,

adică sunt izolanţi. Mediile lor de soluţie (solvenţii puri) au şi ei de asemenea

conductibilitatea electrică foarte mică, deşi soluţia obţinu-ă prin dizolvarea

electrolitului are o conductibilitate apreciabilă.

2.8.1. Disociaţia electrolitică

Dacă într-un vas cu apă se introduce sare de bucătărie (NaCl), aceasta se

dizolvă şi majoritatea moleculelor de clorură de sodiu se desfac în ioni de sodiu

pozitivi (Na+) şi ioni de clor negativi (

Cl ):

. Cl + Na NaCl + (2.56)

Fenomenul de desfacere a moleculelor dizolvate, în ioni, independent de

prezenţa sau absenţa curentului electric, se numeşte disociaţie electrolitică. Prin dizolvarea substanţei, nu toate moleculele disociază. Se numeşte grad de

disociere α, raportul dintre numărul de molecule disociate şi numărul total de

mole-cule dizolvate. La electroliţii tari, cum sunt acizii, bazele şi sărurile, 1

(adică majoritatea moleculelor dizolvate sunt disocia-te) iar la electroliţii slabi, α

<< 1 (disocierea moleculelor este slabă).

Disociaţia electrolitică se datorează faptului că moleculele solventului

slăbesc forţele electrice coulombiene care leagă ionii substanţei dizolvate (pentru

apă forţele sunt de 80 ori mai mici).

Starea de echilibru a soluţiei, pentru un anumit grad de disociere α, este de

natură statistică: există disocieri şi recombinări simultane condiţionate de agitaţia

termică.

Electroliţii au o conductibilitate ionică. Curentul electric prin electroliţi este

un flux de ioni pozitivi în sensul curentului şi un flux de ioni negativi în sens

contrar. Purtătorii de sarcină sunt fragmente de moleculă, conductibilitatea

electrolitică este legată şi de un transport de substanţă, deoarece ionii ajungând la

electrozii vasului se descarcă de sarcina pe care o au (primind sau cedând

electroni) şi se transformă (reacţionând sau nu cu electrozii) în molecule neutre.

2.8.2. Electroliza

Reacţiile chimice produse într-o soluţie de electrolit la trecerea

curentului electric se numeşte electroliză. În toţi electroliţii ionii pozitivi (de

hidrogen, metale sau radicali care au rol de metal) se deplasează în sensul

curentului, iar ionii negativi (formaţi din atomii restului sării, acidului sau bazei),

se deplasează în sens invers.

43

Cei doi electrozi (conductori de specia întâi) introduşi în vasul cu electrolit

se numesc: anod - electrodul de intrare a curentului în electrolit şi catod -

electrodul de ieşire a curentului (fig.2.24). Ionii negativi din soluţie sunt atraşi de

către electrodul pozitiv (anod) şi din acest motiv se numesc anioni, iar ionii

pozitivi sunt atraşi de electrodul negativ (catod), numindu-se cationi.

Fig.2.24 - Deplasarea ionilor în electrolit.

Ionii ajunşi la electrozi se neutralizează

(se descarcă de sarcina electrică)

obţinându-se în vecinătatea electrozilor

molecule sau radicali neutri, din punct de

vedere electric, din substanţa respectivă.

2.8.2.1. Legea electrolizei. Legea electrolizei înglobează cele două relaţii stabilite de Faraday şi arată

relaţia care există între masa unui element sau radical chimic care apare la unul

dintre electrozii unei băi electrolitice şi sarcina electrică care trece prin baie.

Conform acestei legi, masa m de substanţă care se depune în timpul t la un

electrod al băii electrolitice, este proporţională cu sarcina electrică ce trece prin

baie şi cu echivalentul chimic al elementului depus:

,q A

F

= t i A

F

= mt +t

t

00

1d

1 0

0 (2.57)

unde A este masa unui atom gram de substanţă depusă, υ - valenţa produsului

depus, F0 - o constantă universală numită constanta lui Faraday (F0 = 96 490

C/echivalent gram), A/υ - echivalentul chimic al substanţei depuse, q - sarcina

electrică ce trece prin baia electrolitică în timpul t.

Constanta lui Faraday nu depinde de natura electrolitului. Ea reprezintă

cantitatea de sarcină electrică ce trebuie să treacă printr-o baie electrolitică pentru a

se depune la un electrod un echivalent chimic de substanţă. În electrochimie F0 =

96 490 C este considerată ca unitate de sarcină electrică şi este denumită Faraday.

Electroliza are numeroase aplicaţii în industrie:

-producerea sau rafinarea unor metale ca de exemplu a aluminiului sau a

cuprului electrolitic;

-acoperirea obiectelor cu un strat subţire dintr-un metal (galvanostegie), ca

de exemplu nichelarea, cromarea, zincarea, argintarea etc.;

-reproducerea formei unui obiect (galvanoplastie);

-obţinerea unor produse chimice ca de exemplu a oxigenului, hidrogenului,

clorului etc.

Electroliza are şi efecte dăunătoare cum este de exemplu coro-ziunea

electrolitică. La trecerea curentului printr-o piesă ce se află într-un mediu umed, se

petrec fenomene analoge cu cele de la catodul unei băi electrolitice în punctul în

care curentul iese din piesă. Aceste fenomene duc la distrugerea treptată a piesei în

aceste puncte (se corodează).

44

2.8.3. Pile electrice (elemente galvanice)

La introducerea unui electrod într-un electrolit, în stratul de contact dintre

electrod şi electrolit apare un câmp electric imprimat galvanic şi o tensiune de

contact între electrod şi soluţia electrolitică, care depind de natura electrodului, de

valenţa lui, de concentraţia electrolitului, de temperatură etc. (vezi paragraful

2.5.2.3.).

Tensiunea ce apare între electrod şi soluţie se numeşte tensiune de electrod

sau potenţial de electrod. Potenţialele de electrod se măsoară în raport cu un

electrod normal de hidrogen. În tabelul 2.3. sunt indicate tensiunile de electrod ale

unor elemente, când electrolitul este o soluţie a unei săruri a aceluiaşi element, iar

electrodul de referinţă este electrodul normal de hidrogen.

Tabelul 2.3

Ele-

men

tul

Li Na Zn Fe Ni Pb Sn H Cu Hg Ag Pt Au

Ten-siu-

nea

[V]

–3,02

–2,70

–0,76

–-0,43

–0,23

–-0,15

–-0,14

0 +

0,34 +

0,76 +

0,8 +

1,2 +

1,7

Se numeşte pilă electrică (element galvanic) un generator de curent

continuu electrochimic, constituit în principal din doi electrozi de natură diferită

(conductori de specia întâia) introduşi într-un electrolit. T.e.m. obţinută este mare

dacă tensiunile de electrod ale celor doi electrozi sunt mult diferite.

Elementul Leclanché este format dintr-un electrod de cărbune şi unul de zinc

cufundaţi într-o soluţie de clorură de amoniu. Electrodul de cărbune este intro-dus

într-un vas poros umplut cu bioxid de mangan, având rolul de depolarizant.

T.e.m. a elementului Leclanché este de 1,5V, iar rezistenţa sa

interioară de 0,3 Ω. Elementul Leclanché este utilizat sub

formă de pilă electrică uscată. Electrodul de zinc are forma

unui vas de formă cilindrică, în care se află electrolitul

(clorura de amoniu) sub formă de pastă. Electrodul de

cărbune se află pe axul vasului, într-un săculeţ de pânză ce

conţine ca depolarizant bioxidul de mangan

Fig.2.25 - Elementul

Leclanché (fig.2.25). Rezistenţa interioară este de 0,1 Ω. La noi în ţară se fabrică astfel de pile

electrice (baterii) de diverse tipuri şi mărimi la întreprinderea "Electrobanat"

Timişoara.

Elementele galvanice se mai numesc şi elemente primare. Ele sunt

caracterizate prin rezistenţe interne mari, curenţi mici şi prin faptul că reacţiile

chimice ce au loc sunt ireversibile. Readucerea unei pile galvanice epuizate în stare

de funcţionare se poate face numai prin reînnoirea substanţelor active.

2.8.4. Acumulatoare electrice

Acumulatoarele electrice sunt elemente secundare, reversibile, deoarece

45

reacţiile chimice ce au loc în interiorul lor sunt reversibile şi depind de sensul

curentului. La aceste elemente în timpul încărcării lor, energia electrică se

transformă în energie chimică, iar în perioada de descărcare, energia chimică se

transformă în energie electrică.

Cele mai utilizate acumulatoare sunt acumulatoarele acide (cu plumb) şi

acumulatoarele alcaline (feronichel).

2.8.4.1. Acumulatoarele acide (cu plumb).

Electrozii sunt executaţi din grătare de plumb, care în stare iniţială

(neformată) sunt acoperite cu o pastă de oxizi de plumb (miniu Pb3O4, litargă

PbO).

Electrozii sunt cufundaţi într-o soluţie apoasă de acid sulfuric. Prin operaţia

de "formare" (care constă înalimentarea acumulatorului la o sursă de t.e.m. de

c.c.) pasta electrozilor se transformă în PbO2 de culoare cafenie la plăcile pozitive

şi în plumb spongios de culoare cenuşie la plăcile negative. Vasul acumulatorului

se execută din sticlă sau ebonită.

Descărcarea acumulatorului comportă următoarele reacţii chimice:

Electrodul pozitiv Electrodul negativ - starea înainte

de descărcare PbO2 Pb

- sensul

curentului în

element

H2SO4

- circulaţia

ionilor 2H

+ SO4

--

- reacţii chimice PbO2 + 2H

+ + H2SO4

= PbSO4 +2 H2O - 2e Pb+SO4

--= PbSO4 + 2e

- starea finală PbSO4 PbSO4

În urma descărcării acumulatorului starea finală a electrozilor este aceeaşi,

deci nu mai poate debita curent, concentraţia acidului scade la descărcare,

electrolitul ajungând la o densitate de 1.18 103 kg/m

3.La încărcarea acumulatorului

reacţiile chimice sunt inverse:

Electrod pozitiv Electrod negativ - starea înainte

deîncărcare PbSO4 PbSO4

- sensul

curentului în

element

H2SO4

- circulaţia ionilor SO4-- 2H

+

- reacţii chimice

PbSO4 + SO4-- +

2H2O =

= PbO2 + 2H2SO4

+ 2e

PbSO4 + 2H

+

= Pb + H2SO4 - 2e

- starea finală PbO2 Pb

Prin încărcarea acumulatorului se stabileşte starea iniţială şi concen-traţia

electrolitului creşte, densitatea lui ajungând la 1,21 103 kg/m

3.

46

Un element de acumulator încărcat are o tensiune de cca 2,2 V. La

funcţionare tensiunea scade repede la Ud = 1,95 ... 2 V, rămânând un timp

constantă, după care scade brusc. Când tensiunea ajunge la 1,8 V trebuie să se

oprească descărcarea elementului deoarece reacţiile chimice devin ireversibile. La

încărcare, tensiunea elementului creşte mai întîi rapid pînă la Uî= 2,2 V, care se

menţine un timp constantă, după care la sfârşitul încărcării să crească brusc la 2,6

V (fig.2.26a). În figura 2.26b este redată circulaţia ionilor la descărcarea şi la

încărcarea acumulatorului.

Fig.2.26. a) Variaţia tensiunii la borne la încărcarea şi la descărcarea unui element;

b) circulaţia ionilor la descărcare şi la încărcare.

Principalele caracteristici tehnice ale unui acumulator cu plumb sunt:

-tensiunea acumulatorului determinată de numărul de elemente legate în

serie;

-capacitatea acumulatorului pentru o anumită durată de descăr-care.

Capacitatea scade cu creşterea curentului debitat deoarece la curenţi mari reacţ iile

chimice au loc numai la suprafaţa masei active.

Capacitatea acumulatorului este dată în Amper-oră (Ah);

-curentul de descărcare respectiv încărcare maxim admisibil;

-randamentul energetic, având valori de 0,7 ... 0,8;

-randamentul în cantitate de electricitate cu valori de 0,85…0,9;

-rezistenţa internă a unui element care variază între 0,1 Ω la acu-mulatoarele

mici, la 0,0001 Ω la acumulatoarele mari de tracţiune;

-durata de funcţionare, care depinde de construcţia acumula-torului şi

condiţiile de exploatare. Numărul de cicluri de încărcare-descărcare este de 100 ...

1 000.

Un acumulator neutilizat mai multă vreme se descarcă lent şi se

deteriorează. De aceea, acumulatoarele se păstrează un timp mai îndelungat prin

înlocuirea electrolitului cu apă distilată, iar pentru perioade mai scurte, prin

încărcarea lui periodică.

2.8.4.2. Acumulatoare alcaline (fero-nichel).

Electrozii acestui tip de acumulator sunt executaţi din grătare de oţel

nichelat în care se presează masa activă (Ni(OH)3 la electrodul pozitiv şi fier

spongios la electrodul negativ). Electrozii sunt cufundaţi într-o soluţie apoasă de

hidroxid de potasiu (KOH). Vasul acumulatorului este din tablă de oţel inoxidabil.

Descărcarea acumu-latorului comportă următoarele reacţii chimice globale:

47

Electrod pozitiv Electrod negativ - starea înainte de

descărcare Ni(OH)3 Fe

- sensul curentului

în element 2KOH

- circulaţia ionilor 2K+ 2OH

-

- reacţii chimice 2Ni(OH)3 + 2K

+=

=2Ni(OH)2+ 2KOH -2e Fe+2OH

=

=Fe(OH)2 + 2e

- starea finală Ni(OH)2 Fe(OH)2

În urma descărcării acumulatorului, concentraţia electrolitului rămâne

constantă. La încărcarea acumulatorului, reacţiile chimice sunt inverse:

Electrod pozitiv Electrod negativ - starea înainte de

încărcare Ni(OH)2

Fe(OH)2

- sensul curentului în

element 2KOH

- circulaţia ionilor 2OH- 2K

+

- reacţii chimice

2Ni(OH)2 + 2OH-

=

=2Ni(OH)3 + 2e

Fe(OH)2 + 2K

+ =

=Fe + 2KOH - 2e

- starea finală Ni(OH)3 Fe

Tensiunea unui element este de 1,45 V. Descărcarea lui este per-

misă până la 1,15 V. Randamentul acestor acumulatoare este redus (0,52 ... 0,55).

Acumulatoarele alcaline prezintă următoarele avantaje: au greutatea mai

mică şi sunt mai uşor de transportat; nu suferă de pe urma trepidaţiilor; nu necesită

o îngrijire pretenţioasă, fiind executate într-o formă închisă etanş; nu degajă vapori

nocivi; rezistă mai uşor la şocuri de sarcină având rezistenţa internă mai mare.

Acumulatoarele electrice se utilizează ca surse de c.c. Princi-palele domenii

de aplicaţie sunt: alimentarea circuitelor de protecţie, automatizare, semnal izare

din centrale şi staţii electrice; în telefonie; la antrenarea motoarelor electrice mici;

la iluminat de siguranţă, la alimentarea electromobilelor şi electrocarelor.

48

3. ELECTRODINAMICA

Electrodinamica studiază câmpul magnetic precum şi interde-pendenţa

dintre acesta şi câmpul electric, în regim variabil.

3.1. CÂMPUL MAGNETIC ÎN VID. LINII DE CÂMP

MAGNETIC.

Din antichitate s-a observat că unele minereuri au proprietatea de a atrage

obiecte din fier. Deoarece minereurile cu această proprietate proveneau din oraşul

antic Magnesia din Asia Mică, corpurile care aveau proprietatea de a atrage obiecte

din fier s-au numit magneţi şi fenomenul în sine magnetism. Pământul este şi el un

magnet deoarece are proprietatea de a orienta acul magnetic al busolei. Însuşirile

magnetice se transmit prin contact sau prin influenţă anumitor metale sau aliaje,

din care unele o păstrează definitiv. Aceste metale devin magneţi artificiali.

Considerând un magnet sub formă de bară, se constată că proprietăţile magnetice

se manifestă numai la capetele barei, care constituie polii magnetului. Tăind în

două bara, polii nu se separă, ci apar doi magneţi, fiecare cu doi poli (fig.3.1).

Acest lucru infirmă ipoteza că magnetismul s-ar datora unor sarcini magnetice.

În anul 1820 H. Ch. Oersted (1777-1851) a stabilit că în jurul

conductoarelor parcurse de curent electric au loc fenomene magnetice, făcând

legătura între magnetism şi electricitate. Feno-menele magnetice produse în urma

trecerii curentului electric prin conductoare se numesc fenomene

electromagnetice. Aceste feno-mene încetează în general la anularea curenţilor

electrici care le-au produs. Fenomenele magnetice cauzate de unele minereuri se

numesc fenomene magnetice naturale.

Magnetismul natural se manifestă nelimitat şi

de aceea a mai fost numit magnetism

permanent. Există unele materiale (de exemplu

oţelul) care în mod obişnuit nu au pro-prietăţi

magnetice dar care pot căpăta proprietăţi

magnetice permanente sub influenţa curentului

electric sau a magnetismului permanent.

Fig.3.1 - Apariţia a doi magneţi la

secţionarea unui magnet în formă

de bară. În jurul corpurilor magnetizate şi a conductoarelor parcurse de curent

electric, există un spaţiu cu proprietăţi speciale, de a transmite acţiuni

ponderomotoare asupra acului magnetic sau asupra conduc-toarelor parcurse de

curent electric. S-a creat un câmp magnetic prin intermediul căruia se transmit

acţiunile ponderomotoare de natură magnetică. Ca şi câmpul electric, câmpul

magnetic este un câmp de forţe cu repartiţie continuă în spaţiu.

Fig.3.2 - Bucla de curent.

Pentru explorarea câmpului magnetic se

utilizează bucla de curent (fig.3.2).Ea este o spiră

de dimensiuni mici ce se caracteri-zează prin

vectorul momentul buclei bm , definit astfel:

,n Si = S i = mb (3.1)

49

unde S este aria suprafeţei închise de spiră; n - versorul normal la suprafaţă, având

sensul dat prin regula burghiului drept (sensul de înaintare a burghiului, dacă e

răsucit în sensul curentulu i). Prin introducerea buclei într-un câmp magnetic aflat

în vid, se constată că asupra ei va acţiona un cuplu, în raport cu centrul ei de masă,

a cărei expresie este proporţională cu momentul buclei şi cu o mărime vectorială de

stare a câmpului magnetic în vid numită inducţia magnetică în vid:

,B m = C vb (3.2)

unde vB reprezintă inducţia magnetică în vid şi este o mărime primitivă

vectorială de stare a câmpului magnetic ce caracterizează complet câmpul

magnetic în vid.

Unitatea de măsură a inducţiei magnetice este Tesla [T].

Intensitatea câmpului magnetic în vid Hv este o mărime derivată de stare

a câmpului magnetic şi este definită prin relaţia:

,B

= Hv

v0 (3.3)

unde μo este o constantă universală, numită permeabilitate magnetică a vidului şi

are valoarea: m/H7

0 10μ4μ , (3.4)

unde H este Henry, unitatea de măsură a inductivităţii.

În vid, oricare dintre vectorii vH sau vB caracterizează complet câmpul

magnetic.

Unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului magnetic este

Amper/metru [A/m].

Se numesc linii de câmp magnetic, liniile la care în fiecare punct al lor,

vectorul inducţie magnetică (intensitate a câmpului magnetic) este tangent.

Liniile de câmp magnetic sunt linii închise. Liniile se reprezintă astfel încât

numărul lor pe unitatea de suprafaţă transversală să fie proporţional cu modulul

inducţiei magnetice, formând astfel spectrul câmpului magnetic.

Spectrul câmpului magnetic creat de un

conductor rectiliniu, filiform şi foarte lung, străbătut

de un curent electric este format din cercuri situate în

plane perpendiculare pe direcţia conductorului şi

având centrul pe axul conductorului (fig.3.3). Sensul

liniilor este dat de regula burghiului drept (sensul în

care trebuie rotit burghiul pentru ca înainta rea lui să

fie în sensul curentului).

Fig.3.3 -. Spectrul liniilor de

câmp magnetic produs de un

conductor infinit lung.

Spectrul liniilor de câmp magnetic, creat de o

spiră circulară, străbătută de un curent electric este

reprezentat în figura 3.4. Liniile de câmp magnetic

sunt situate în plane perpendiculare pe axul spirei

trecând prin centrul ei. Spectrul liniilor de câmp al

unui solenoid străbătut de un curent electric este dat

Fig.3.4 - Spectrul liniilor de

câmp magnetic produs de o

spiră circulară.

50

în fig.3.5. Solenoidul este o bobină care se

obţine prin înfăşurarea unui conductor pe

suprafaţa laterală a unui cilindru. Câmpul

magnetic din interiorul bobinei se poate

considera omogen dacă lungimea bobinei

este mult mai mare decât diametrul ei.

Fig.3.5 - Spectrul liniilor de câmp

magnetic produs de un solenoid. Sensul liniilor de câmp magnetic este dat de regula burghiului drept.

3.2. CÂMPUL MAGNETIC ÎN CORPURI

3.2.1. Caracterizarea stării de magnetizare a corpurilor

Prin introducerea corpurilor într-un câmp magnetic, acestea trec într-o stare

nouă, numită stare de magnetizare, în care sunt supuse unor acţiuni

ponderomotoare suplimentare faţă de cele condiţionate de starea lor electrocinetică

sau de starea lor de mişcare.

Starea de magnetizare a unui corp mic se caracterizează printr-o mărime

vectorială de stare numită moment magnetic. Asupra acestui corp, introdus într-un

câmp magnetic din vid, vor acţiona un cuplu şi o forţă , date de relaţiile:

. B m = F

,B m = C

v

v

)(grad

(3.5a,b)

Momentul magnetic caracterizează complet starea de magne-tizare a

corpurilor. Direcţia lui se numeşte direcţia de magnetizare a corpului, iar dreapta

suport a vectorului, orientată în sensul acestuia - axă de magnetizare.

Din relaţiile (3.5a,b) se observă cum corpul mic tinde să se orien-teze pe

direcţia câmpului magnetic şi că forţa se exercită numai în câmpuri neuniforme şi

este îndreptată spre regiunile de câmp intens.

Dacă momentul magnetic se anulează în lipsa câmpului magnetic exterior, el

se numeşte moment magnetic temporar t, iar dacă la anularea câmpului magnetic

exterior mai rămâne un moment magne-tic, acesta se numeşte moment magnetic

permanent p. În general:

.mmm pt (3.6)

Starea de magnetizare a unui corp de dimensiuni mari se caracterizează local

printr-o mărime derivată, numită magnetizare , egală cu densitatea de volum a

momentului magnetic:

.V

m =

V

m = M

V d

dlim

0 (3.7)

Analog cu relaţia (3.6) vom avea:

. M + M = M pt (3.8)

Dacă se cunoaşte magnetizaţia unui corp, momentul său magnetic va fi:

. V M = mV corp

d

(3.9)

51

Unitatea de măsură a momentului magnetic este Amper metru pătrat

(Am2) şi cea a magnetizaţiei este Amper/metru (A/m).

Magnetizarea corpurilor se poate explica prin mişcările electro-nilor din

cadrul unui atom sau al unei molecule, pe orbite în jurul nucleului (mişcare

orbitală) şi în jurul axelor proprii (mişcare de spin). Un electron în mişcarea sa

orbitală constituie o buclă de curent, căreia îi corespunde un moment magnetic 0m

şi la fel în mişcarea de spin îi corespunde un moment magnetic sm .

Momentul magnetic al unui atom este determinat de suma vectorială a

momentelor magnetice orbitale şi a momentelor de spin.

Moleculele la care momentul magnetic rezultant este nul în lipsa unui câmp

magnetic exterior se numesc molecule nepolare, iar moleculele la care acest

moment magnetic rezultant este nenul în lipsa câmpului magnetic exterior, se

numesc molecule polare. Chiar dacă moleculele sunt polare, în lipsa unui câmp

magnetic exterior, orientările momentelor magnetice ale diferitelor molecule sunt

repartizate haotic din cauza agitaţiei termice şi ca urmare magnetizarea

macroscopică e nulă.

3.3. RELAŢIILE FUNDAMENTALE ALE

ELECTRODINAMICII

3.3.1. Legea magnetizaţiei temporare

Legea magnetizaţiei temporare arată că în orice punct al mate-rialului,

magnetizaţia temporară tM este proporţională cu intensitatea câmpului

magnetic în acel punct:

,H = M mt

(3.10)

unde factorul χm se numeşte susceptivitate magnetică.

3.3.2. Legea legăturii între inducţia magnetică , intensitatea câmpului

magnetic şi magnetizaţie

În orice punct dintr-un corp inducţia magnetică este proporţio-nală cu suma

vectorială dintre intensitatea câmpului magnetic şi magnetizaţie:

. M + H = B 0 (3.11)

În cazul general, magnetizaţia are atât componentă temporară Mt, cât şi

componentă permanentă Mp (relaţia 3.8), deci legea legă-turii devine:

.M+H=M+H+=M+M+H= B ppmpt 0000 1

(3.12)

Pentru medii fără magnetizaţie permanentă:

HHB rμμμ 0

. (3.13)

Coeficientul μr=1+χm se numeşte permeabilitate magnetică relativă a

materialului, iar μ=μoμr - permeabilitate magnetică absolută.

3.3.3. Legea fluxului magnetic

Se numeşte flux magnetic printr-o suprafaţă SΓ, integrala de suprafaţă a

vectorului inducţie magnetică pe suprafaţă SΓ:

52

,S B = S

S d

(3.14)

unde d S este elementul de suprafaţă considerat ca vector, orientat

după normala la suprafaţă, într-un sens arbitrar, numit sens de referinţă sau sens

pozitiv convenţional al fluxului magnetic.

Unitatea de măsură a fluxului magnetic este Weberul [Wb].

Fluxul magnetic prin orice suprafaţă închisă Σ este întotdeauna nul,

oricare ar fi natura şi starea de mişcare a mediilor prin care trece suprafaţa Σ

şi oricare ar fi variaţia în timp a inducţiei magnetice:

. = S B = 0d

(3.15)

Relaţia (3.15) exprimă forma integrală a legii fluxului magnetic.

Aplicând formula lui Gauss-Ostrogradski relaţiei (3.15) se obţine:

. = B div , = V B div = S B V

00dd (3.16)

Relaţia (3.16) exprimă forma locală a legii: în orice punct divergenţa

vectorului inducţie magnetică este nulă.

Consecinţe ale legii fluxului magnetic.

1. Fluxul magnetic depinde numai de conturul pe care se sprijină suprafaţa.

Fig.3.6 - Explicativă la prima

consecinţă a legii fluxului magnetic.

Dacă se consideră o curbă închisă Γ

aflată într-un câmp magnetic şi două suprafeţe

deschise SΓ1 şi SΓ2 care se sprijină pe această

curbă (fig.3.6), fluxul magnetic prin suprafaţa

închisă Σ (SΓ1SΓ2) este nul conform legii

fluxului magnetic:

. = ,S B = S B

, =S B+S B- =S B+S B=S B

SSS

1S

SSSS

2

21

1

2121

2

21

dd

0ddddd

(3.17)

Conform relaţiei (3.17), fluxul magnetic are aceeaşi valoare prin toate

suprafeţele deschise care se sprijină pe acelaşi contur.

2. Liniile de câmp magnetic sunt linii închise. Dacă aceste linii ar porni sau

ar sfârşi într-un punct, atunci fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă care

înconjoară punctul ar fi diferit de zero.

3. Fluxul magnetic se conservă în lungul unui tub de linii de câmp

Aplicând legea fluxului magnetic unui tub de flux (volumul delimitat de

totalitatea liniilor de câmp care trec prin punctele unei curbe închise Γ)

rezultă:

53

Fig.3.7 - Fluxul magnetic printr-un tub de flux.

183dd

0dddddd

21

21l

21

121

. , = ,S B = S B

,=S B+S B-=SB+S B+S B= S B

2S

1S

SSSSS 2l

deoarece pe suprafaţa laterală fluxul este nul ( SB d ).

3.3.4. Legea circuitului magnetic

Se consideră patru circuite filiforme închise, parcurse de curenţii de

conducţie i1, i2, i3, i4 şi o curbă închisă Γ care înlănţuie două din cele patru circuite

(fig.3.8). Se definesc:

- Tensiunea magnetică între două puncte A şi B ale curbei Γ ca integrala de

linie a vectorului intensitate a câmpului magnetic în lungul curbei Γ:

. l H = uB

) ( Am B A

d (3.19)

- Tensiunea magnetomotoare

(t.m.m.) a curbei Γ, circulaţia

vectorului intensitate a câmpului

magnetic în lungul curbei Γ:

Fig.3.8 - Explicativă la legea circuitului magnetic.

. l H = umm

d (3.20)

T.m.m. şi tensiunea magnetică depind de conturul Γ.

Solenaţia printr-o suprafaţă deschisă, mărginită de conturul Γ ca suma

algebrică a curenţilor din conductoarele care trec prin suprafaţa respectivă:

,i w = kkS

(3.21)

unde curenţii se consideră pozitivi când sensul în care ei înlănţuie conturul Γ se

asociază după regula burghiului drept cu sensul pozitiv de parcurgere al conturului

(sensul în care se face integrarea pentru calculul t.m.m.). Pentru figura 3.8,

solenaţia este θSΓ = 3i1 - 2i3.

În cazul general, solenaţia se calculează cu relaţia:

. S J = S

S dθ

(3.22)

54

Legea circuitului magnetic s-a stabilit experimental şi se poate enunţa astfel:

în orice moment, t.m.m. ummΓ, de-a lungul oricărei curbe închise Γ este egală

cu suma dintre solenaţia θSΓ prin conturul Γ şi derivata în raport cu timpul a

fluxului electric ΨSΓ care străbate o suprafaţă deschisă oarecare SΓ, mărginită

de acest contur:

. t

+ = u

SS m m

d

dθ

(3.23)

Ţinând seama de relaţiile (3.20),(3.22) şi (1.32), rezultă:

. S vD+S D v+S t

D+S J =

= S D t

d + S J = l H

SSSS

SS

drotddivdd

dd

dd

(3.24)

În aceste relaţii, sensul de referinţă a t.m.m. (al elementului d l ) este asociat

cu sensul fluxului electric (al elementului d S ), conform regulii burghiului drept.

În relaţia (3.24) ultimele trei integrale au dimensiuni de curent şi se numesc

intensitatea curentului electric de deplasare, de con-vecţie şi respectiv

Roentgen. Experimental s-a dedus că în termenul al treilea din membrul drept al

relaţiei (3.24) în locul inducţiei electrice D este necesar să se introducă polarizaţia

electrică P .

Din forma integrală a legii circuitului magnetic (rel.3.24) rezultă cauzele

care produc câmp magnetic: curenţii electrici de conducţie (starea electrocinetică a

corpurilor), curenţii de deplasare (variaţia în timp a câmpului electric), curenţii de

convecţie (mişcarea corpurilor încărcate cu sarcini electrice), curenţii Roentgen

(mişcarea dielec-tricilor polarizaţi).

În regim staţionar (dΨSΓ / dt = 0), legea circuitului magnetic va avea forma

cunoscută şi sub numele de teorema lui Ampére:

. S J = = l H S

S dd

(3.25)

3.3.6. Legea inducţiei electromagnetice

Se numeşte inducţie electromagnetică producerea unei t.e.m. într-un

circuit sau, în general, în lungul unei curbe închise, datorită variaţiei în timp a

fluxului magnetic care străbate orice suprafaţă ce se sprijină pe acea curbă.

S-a constatat experimental că: t.e.m. produsă prin inducţie

electromagnetică, în lungul unei curbe închise Γ, este egală cu viteza de

scădere a fluxului magnetic prin orice suprafaţă sprijinită pe această curbă:

. S B t

- = t

- = l E = u

S

Se d

d

d

d

dd

(3.29)

Sensul t.e.m. induse este astfel încât efectele ei se opun cauzei care a produs -

o (regula lui Lenz). Pentru exemplificare, se consideră un circuit traversat de un

55

flux magnetic variabil în timp Φ (fig.3.11) în intervalul de timp în care fluxul

inductor Φ creşte (dΦ/dt>0), în

Fig.3.11 - Explicativă la regula lui Lenz.

circuit apare o t.e.m. indusă ce dă naştere

unui curent i care produce un flux Φr (de

reacţie) ce se opune creşterii fluxului

inductor (sens contrar fluxului Φ), iar la

scăderea fluxului inductor Φ (dΦ/dt < 0),

fluxul de reacţie Φr are acelaşi sens cu

fluxul inductor.

Pentru aplicarea legii inducţiei electromagnetice trebuie să se ţină seama de

următoarele reguli:

- curba închisă Γ este luată, în general, în lungul conductoarelor electrice,

însă poate fi dusă şi prin izolanţi sau vid;

- dacă mediul este în mişcare, curba Γ este ataşată corpurilor în mişcare;

- sensul de integrare pe curba Γ (sensul lui d l ) şi normala la suprafaţa SΓ

(sensul lui d l ) sunt asociate după regula burghiului drept. Dacă s-ar utiliza

regula burghiului stâng, ar dispare semnul minus din legea inducţiei

electromagnetice, dar apare în legea circuitului magnetic la derivata fluxului

electric;

- dacă conturul Γ este luat în lungul conductorului unei bobine cu N spire

practic suprapuse, fluxul magnetic care intervine în calculul t.e.m. induse este

fluxul magnetic printr-o suprafaţă ce se sprijină pe întregul contur, adică fluxul

prin toate spirele. Dacă se notează fluxul magnetic fascicular Φf (fluxul printr-o

singură spiră), în legea inducţiei intervine fluxul total Φ = N Φf:

. t

N - = u

f

ed

d

(3.30)

În regim staţionar sau static, când fluxul magnetic nu variază în timp, t.e.m.

indusă este nulă, deoarece derivata fluxului magnetic în raport cu timpul este zero,

rezultând:

, = l E 0d

care arată că teorema potenţialului electrostatic este o formă particulară a legii

inducţiei electromagnetice. Dezvoltând membrul drept al relaţiei (3.29) rezultă:

,l B v + S t

B -

= S v B + B v+ t

B - = lE

S

S

dd

drotdivd

(3.31)

deoarece div B = 0, din legea fluxului magnetic.

Relaţia (3.31) arată că t.e.m. apare ca urmare a variaţiei inducţiei magnetice

în timp (primul termen din membrul drept care este t.e.m. de transformare) şi

datorită unei mişcări (cel de al doilea termen din membrul drept care este t.e.m. de

56

mişcare). Prima apare la transfor-matoarele electrice, iar a doua în maşinile

electrice.

Câmpurile electrice induse prin inducţie electromagnetică (câmpuri

solenoidale) având circulaţia diferită de zero (rot E 0), sunt câmpuri rotaţionale,

cu linii de câmp închise.

Legile circuitului magnetic şi a inducţiei electromagnetice arată

interdependenţa dintre câmpul magnetic şi cel electric în regim nestaţionar.

Aplicaţii.

Curenţii turbionari. Conform legii inducţiei electromagnetice, în spaţiul în

care fluxul magnetic este variabil, apare un câmp electric ale cărui linii de câmp

sunt închise şi se află în plane perpendiculare pe direcţia fluxului magnetic. Dacă

spaţiul în care fluxul magnetic variază se află corpuri electroconductoare (oţel,

cupru etc.), atunci câmpul electric variabil creează în aceste conductoare curenţi

induşi numiţi curenţi turbionari. De exemplu, la trecerea curentului alternativ

printr-o bobină cu miez de fier masiv, în miez se vor induce t.e.m. ce vor da

naştere unor curenţi turbionari, care se închid în plane perpendiculare pe vectorul

inducţie magnetică (fig.3.12). Aceşti curenţi provoacă pe de o parte încălzirea

miezului prin efect Joule - Lenz, micşorînd randamentul instalaţiei electrice, iar pe

de altă parte, potrivit regulei lui Lenz, exercită o acţiune demagnetizantă la

creşterea fluxului magnetic. Pentru micşorarea pierderilor, miezurile se fabrică din

tole izolate între ele, micşorîndu-se astfel secţiunea circuitului şi valoarea

curenţilor turbionari. Pentru o serie de dispozi-

Fig.3.12 – Circuit

magnetic din tole

electrotehnice.

Fig.3.13.-.Circuit magnetic a)

masiv; b) din tole electro-tehnice.

Fig.3.14 - Contorul electric.

tive, curenţii turbionari pot fi folosiţi raţional pentru funcţionarea lor. În fig.3.14

este reprezentat discul de aluminiu al unui contor de energie electrică, care se

roteşte între polii unui magnet permanent. În timpul funcţionării contorului, la

rotirea discului, în el apar curenţi turbionari. Din interacţiunea acestor curenţi cu

câmpul magnetic al magnetului apar forţe care contribuie la frânarea discului,

creând astfel cuplul rezistent, proporţional cu viteza de rotire a discului.

Curenţii turbionari sunt utilizaţi în practică la încălzirea metalelor în vederea

forjării sau a călirii lor superficiale.

Principiul de funcţionare al generatorului de curent alterna-tiv. Se

consideră o bobină plană dreptunghiulară cu N spire, ce se roteşte în jurul unei axe

de simetrie cu n rot/sec, într-un câmp magnetic omogen, de inducţie B ,

perpendicular pe axa de rotaţie (fig.3.15). Aplicând legea inducţiei

electromagnetice şi ţinând seama că B = const., apare numai o t.e.m. de mişcare:

57

. l B v N = l B v = u

spe dd

Se induc t.e.m. numai în laturile AB şi CD, deoarece pentru laturile BC şi

DA, produsul mixt dintre viteză, inducţie şi elementul dl este (v x B )d l = 0,

cei trei vectori fiind coplanari. Ca urmare

t.e.m. indusă în spiră rezultă:

,t N = l vBN+

+ l vBN = u

m

D

C

B

Ae

sindsin

dα - πsin

(3.32) Fig.3.15 - Principiul de funcţionare al

generatorului sincron. unde: v = ω a = 2πna, Φm = B.S = B.2al (fluxul maxim care străbate spira), iar α

este unghiul dintre şi normala la planul spirei.

3.4. CLASIFICAREA MATERIALELOR DIN PUNCT DE

VEDERE MAGNETIC

Din legea legăturii dintre B , H şi M se ştie că între intensitatea câmpului

magnetic şi inducţia magnetică există relaţia:

. H = H = B μ μ μ ro

În funcţie de valorile permeabilităţii magnetice relative, materialele se

clasifică în:

a)-materiale diamagnetice la care momentul magnetic atomic sau

molecular este nul (materiale cu molecule nepolare). Dacă se introduc aceste

materiale într-un câmp magnetic exterior, apare un moment magnetic orbital

suplimentar, la fiecare moleculă în parte, în sens contrar câmpului magnetic

exterior, astfel încât câmpul magnetic din interiorul materialului este mai slab ca

cel exterior şi ca urmare μr< 1, χm < 0 (de ordinul a 10-5

). Din această categorie fac

parte: hidrogenul, gazele inerte, carbonul, cupru, argintul, zincul, aurul etc;

b)-materiale paramagnetice la care momentele magnetice orbitale şi de

spin nu sunt nule (materiale cu molecule polare). Magnetizarea macroscopică

este însă nulă datorită agitaţiei termice. Prin introducerea acestor materiale într -un

câmp magnetic exterior, are loc o orientare a momentelor magnetice, astfel încât

acestea să devină omoparalele cu direcţia câmpului magnetic exterior. Ca urmare,

câmpul magnetic interior este mai intens, deci μr >1, χm > 0 (de ordinul a 10-3

). Din

această categorie fac parte: aluminiu, platina, cromul, azotul etc.

Deoarece permeabilităţile relative ale acestor două clase de materiale sunt

foarte apropiate de unitate, în calculele practice se iau pentru ele 1μ r şi 0μμ ;

c)-materiale feromagnetice. Din această clasă fac parte fierul, nichelul,

cobaltul şi unele aliaje ale acestora, la care relaţia B = f(H) nu mai reprezintă o

dreaptă ca la materialele para sau diamagnetice, permeabilitatea magnetică a lor

fiind dependentă de intensitatea câmpului magnetic şi de starea lor anterioară de

58

magnetizare. La aceste materiale apare un efect cuantic numit cuplaj de schimb,

care face ca între atomii vecini să apară un cuplaj magnetic rigid (momentele lor

magnetice să devină paralele), chiar dacă agitaţia termică se opune acestui cuplaj.

Dacă temperatura creşte peste o valoare limită, denumită temperatură

Curie, cuplajul de schimb dispare brusc, rămânând doar efectul paramagnetic.

Pentru fier, temperatura Curie este de 1043 K, iar pentru nichel 633 K.

Un corp feromagnetic introdus într-un câmp magnetic exterior, determină un

câmp magnetic propriu în acelaşi sens şi foarte intens în raport cu câmpul magnetic

exterior, astfel încât câmpul magnetic interior rezultant este foarte intens.

Pentru trasarea curbei B=f(H) (fig.3.16) se procedează astfel: se introduce

materialul nemagnetizat într-un câmp magnetic variabil. La început se constată că

la o creştere a intensităţii câmpului magnetic (care iniţial avea valoare zero), apare

o creştere rapidă a inducţiei magnetice din material, după care creşterea este mai

lentă şi la un moment dat, inducţia magnetică rămâne practic constantă.

Fig.3.16 - Ciclul de histerezis

magnetic.

Se spune că materialul s-a saturat. Dacă se

micşorează valoarea intensităţii câmpului magnetic,

se constată că inducţia mag-netică scade lent şi se

ajunge ca la H = 0 inducţia magnetică să fie diferită

de zero, B = Br. Valoarea Br reprezintă inducţia

magnetică remanentă. Dacă se schimbă sensul

câmpului magnetic şi se creşte intensitatea acestui

câmp, se constată că inducţia magnetică va scădea

brusc şi va

lua valoarea zero pentru o anumită valoare a intensităţii câmpului magnetic, - Hc,

numită intensitatea câmpului magnetic coercitiv. Crescând în continuare

valoarea intensităţii câmpului magnetic, se constată o creştere a inducţiei

magnetice, dar având sensul schimbat. Când intensitatea câmpului magnetic ia

valoarea - Hm, se constată că inducţia magnetică rămâne practic constantă

(materialul s-a saturat). Micşorând intensitatea câmpului magnetic până la anulare,

schimbând apoi sensul lui şi crescându-l până la valoarea Hi, se obţine o curbă

închisă numită ciclu de histerezis. în timpul descrierii ciclului de histerezis,

materialul absoarbe o cantitate de energie de la câmpul electromagnetic, energie

care se transformă în energie calorică. Această energie reprezintă pierderile prin

histerezis, pierderi a căror valoare este proporţională cu aria delimitată de ciclul de

histerezis.

3.5. CIRCUITE MAGNETICE

Liniile de câmp magnetic sunt curbe închise care conform teoremelor refracţiei liniilor de câmp magnetic, sunt practic tangenţiale pe faţa interioară a suprafeţelor corpurilor feromagnetice şi perpendiculare pe aceste suprafeţe la ieşirea din ele. Deoarece componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului magnetic se conservă la suprafaţa corpurilor feromagnetice, componenta tangenţială a inducţiei magnetice din corpul feromagnetic Bt = μ Ht este mult mai mare ca în exterior (μ>>μ0) şi se poate considera că liniile de câmp magnetic sunt

59

conduse prin corpurile feromagnetice cum este condus curentul electric prin conductoare. Se numeşte circuit magnetic un sistem de corpuri feromagnetice

despărţite eventual prin aer (întrefieruri), care permite închiderea liniilor de

câmp magnetic (fig.3.17). Majori-tatea liniilor de câmp se închid prin fier şi

întrefier, adică prin porţiunile utile ale circuitului magnetic şi creează fluxul

magnetic Liniile de câmp care se închid parţial prin aer şi parţial circuitul magnetic

se numesc linii de dispersie, iar fluxul creat de ele se numeşte flux de dispersie.

Calculul circuitelor magnetice constă

în determinarea solenaţiei necesare pentru a

stabili un anumit flux util sau a fluxului util

când se cunoaşte solenaţia. în general se

consideră fluxul magnetic uniform

repartizat în secţiunea circuitului magnetic

şi dispersia nulă. Fig.3.17 - Circuit magnetic cu întrefier.

3.5.1. Reluctanţa magnetică. Permeanţa magnetică.

Se consideră un tub de flux magnetic, suficient de subţire, pentru a putea

consideră fluxul magnetic uniform în secţiune. Tensiunea

Fig.3.18 - Tub de flux

magnetic.

magnetică între două puncte A şi B, în lungul curbei C

(axa tubului), va fi (fig.3.18):

unde s-a considerat curba C ca o linie de câmp şi deci

lH d = H ld .

Deoarece fluxul magnetic se conservă printr-un

tub de flux, tensiunea magnetică dintre punctele A şi B

va fi:

,l

S = l

S

SB = l H= l H= u

fB

C A

B

C A

B

C A

B

C AB A m dddd

.

S

l = u

B

C AfB A m

d

(3.33)

Reluctanţa magnetică Rm se defineşte ca mărimea pozitivă a raportului

dintre tensiunea magnetică şi fluxul magnetic fascicular:

B

CAf

mABmAB

S

luR

μ

d

, (3.34)

Reluctanţa magnetică depinde de natura materialului şi de caracteristicile

circuitului magnetic, fiind o mărime de material analogă rezistenţei electrice.

Pentru o porţiune omogenă de circuit (μ=const., S=const.) reluctanţa magnetică va

fi:

60

S

lRm

μ

(3.35)

unde l reprezintă lungimea medie a unei linii de câmp magnetic.

Permeanţa magnetică Λm este inversa reluctanţei magnetice şi este analogă

conductanţei electrice:

. u

= R

= m

f

mm

1

(3.36)

Unitatea de măsură a reluctanţei magnetice este Amper/Weber [A/Wb], iar

a permeanţei magnetice - Weber/Amper [Wb/A].

Relaţia (3.33) se poate scrie şi sub forma:

,R = u mfm

(3.37)

care reprezintă "legea lui Ohm" pentru circuitele magnetice, fiind analogă legii lui

Ohm pentru circuitele electrice.

3.5.2.Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

3.5.2.1. Prima teoremă a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. Se

consideră un nod al unui circuit magnetic. Dacă se aplică legea fluxului magnetic

unei suprafeţe închise Σ care încon-joară acest nod (fig.3.19), rezultă neglijând

fluxurile de dispersie:

, = S B + S B

+ S d B + S B + S B = S B

SS

SSS

0dd

dd d

54

321

sau:

. = - - - - f f f f1f 05432

Generalizând relaţia de mai sus pentru un

nod oarecare N:


demonstrarea primei teoreme a lui

Kirchhoff.

. = k fN k

0 (3.38)

Suma algebrică a fluxurilor magnetice care trec prin laturile unui

circuit magnetic ce converg într-un nod al acestuia este nulă.

3.5.2.2. Teorema a doua a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice. Se

consideră un ochi de circuit magnetic şi un sens arbitrar de referinţă corespunzător

sensului de integrare a lui (fig.3.20). Se aplică legea circuitului magnetic curbei Γ

(linia mediană a circuitului magnetic) pentru regim staţionar:

, R

=u= l H , = l H

fkk m k

k m k

S

j

j

0

0

dd

sau:

61

. R = k fk m k

k k jj

00 (3.39)

Suma algebrică a solenaţiilor care înlănţuie

laturile unui ochi de circuit magnetic este

egală cu suma algebri-că a produselor

reluctanţelor latu-rilor cu fluxurile

magnetice fascicu-lare care trec prin ele.


celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff.

Solenaţiile şi fluxurile magnetice care au acelaşi sens cu sensul de integrare

prin latură se iau cu semnul plus, celelalte cu semnul minus.

Din analiza teoremelor lui Kirchhoff pentru reţele electrice şi pentru reţele

magnetice rezultă posibilitatea rezolvării circuitelor magnetice cu ajutorul

teoremelor lui Kirchhoff. Pentru simplificare, se poate figura schema electrică

echivalentă a schemei magnetice, în care, sursele de t.e.m. sunt înlocuite cu

solenaţiile corespunzătoare, curenţii electrici - prin fluxurile fasciculare din laturi,

iar rezistenţele laturilor - prin reluctanţele magnetice.

3.5.3. Gruparea reluctanţelor magnetice

Reluctanţa magnetică echivalentă a unei porţiuni de circuit magnetic cu

două borne de acces şi fără solenaţii pe laturi, este egală cu raportul dintre

tensiunea magnetică aplicată între cele două borne şi fluxul magnetic

fascicular care intră prin prima bornă şi iese pe partea cealaltă:

. u

= Rf

me m

(3.40)

3.5.3.1. Gruparea serie a reluctanţelor magnetice. Aplicând teorema a

doua a lui Kirchhoff pentru circuite magnetice, circuitului magnetic din figura

3.21, rezultă:

,R = R = R = u = u se mfk m

n

= kfk fk m

n

= kk m

n

= km

111 deoarece se neglijează fluxurile magnetice de dispersie şi deci fluxul magnetic este

acelaşi prin toate laturile. Din relaţia de mai sus rezultă că reluctanţa magnetică

echivalentă a mai multor laturi, conectate în serie, este egală cu suma reluctanţelor

laturilor:

. R = R k m

n

= k se m

1 (3.41)

Fig.3.21 - Explicativă la legarea în serie a reluctanţelor.

Fig.3.22 - Explicativă la legarea în paralel a

reluctanţelor magnetice.

62

3.5.3.2. Gruparea în paralel a reluctanţelor magnetice. Apli-când prima

teoremă a lui Kirchhoff nodului N din fig.3.22 se obţine:

. R

u =

R u =

R

u = =

p e m

m

k mN km

k m

m

N kk f

N kf

1

Din relaţia de mai sus rezultă:

. = ,R

= R

k mN k

p e mk mN kp e m

11

(3.42)

Din relaţiile (3.42) rezultă că inversa reluctanţei magnetice echivalente a n

laturi fără bobine, conectate în paralel, este egală cu suma inverselor reluctanţelor

laturilor sau, permeanţa echivalentă a n laturi conectate în paralel este egală cu

suma permeanţelor laturilor.

3.6. INDUCTANŢE (INDUCTIVITĂŢI)

Se consideră un circuit închis C (fig.3.23), străbătut de un curent cu

intensitatea i. Fluxul magnetic ΦSΓ, care străbate orice suprafaţă deschisă mărginită

de conturul Γ, este:

. S B = S

S d

Intensitatea câmpului magnetic creat de

curentul i din circuitul C, este proporţională cu

valoarea intensităţii curentului i şi dacă mediul este

neferomagnetic, inducţia magnetică B şi fluxul

magnetic vor fi proporţionale cu i. Deci putem

scrie:

Fig.3.23 - Explicativă la definirea

inductanţei.

. i

= L ,i L = SS

(3.43)

Mărimea L definită ca raportul dintre fluxul magnetic care străbate

orice suprafaţă limitată de conturul unui circuit şi intensitatea curentului

care-l produce, se numeşte inductanţă sau inductivitatea circuitului.

Inductanţa unui circuit depinde de forma, dimensiunile şi poziţia relativă a

circuitelor, precum şi de valoarea permeabilităţii magnetice a mediului. Pentru

medii liniare, inductanţa este constantă, iar pentru medii feromagnetice (μ

dependent de H, deci de i ), inductanţa circuitului este funcţie de curent.

Unitatea de măsură pentru inductanţă este Henry [H].

3.6.1. Inductanţe proprii şi inductanţe mutuale

Se consideră două circuite cu N1 şi N2 spire (fig.3.24) şi se presupune că

numai primul circuit este străbătut de curent (curentul i1). Se notează cu Φf11

fluxul magnetic fascicular produs de circuitul 1 care trece printr-o spiră a

circuitului 1 şi cu Φf21 fluxul magnetic fascicular produs de circuitul 1 care străbate

63

o spiră a circuitului 2.

Prin convenţie, fluxurile

se notează cu doi indici,

primul arată circuitul

prin a cărui suprafaţă se

calculează fluxul, iar al

doilea indice arată

circuitul care a produs

fluxul respectiv.

Fig.3.24 - Explicativă la calculul inductanţelor proprii şi mutuale.

Se consideră, de asemenea, că sensul de referinţă al fiecăruia dintre fluxuri să fie

asociat după regula burghiului drept cu sensul de referinţă de pe circuitul înlănţuit

de acest flux. Rezultă că fluxul Φf11 este mereu pozitiv, iar fluxul Φf21 poate fi

pozitiv sau negativ.

Fluxul magnetic fascicular de dispersie (de scăpări) al circuitului 1 faţă de

circuitul 2, Φσf21, este fluxul magnetic fascicular produs de circuitul 1 care nu

străbate circuitul 2.

Se numeşte inductanţă proprie L11 a circuitului 1, raportul pozitiv dintre

fluxul total Φ11 ce străbate circuitul 1 şi intensitatea curentului i1 care-l

produce:

. > i

N = i

= L f

01

111

1

1111

(3.44)

La fel se poate defini inductanţa proprie a circuitului 2, considerându-se

i2 0 şi i1=0:

. > i

N = i

= Lf

02

2 2 2

1

2 22 2

(3.45)

Deoarece intensitatea câmpului magnetic produs de un circuit este

proporţională cu numărul de spire N, rezultă că fluxul magnetic fascicular este

proporţional cu N, iar inductanţa proprie va fi proporţională cu pătratul numerelor

de spire, N2.

Se defineşte inductanţa mutuală L21 între circuitele 1 şi 2 ca raportul

dintre fluxul total Φ21 produs de circuitul 1 care străbate circuitul 2 şi

intensitatea curentului i1 care îl produce:

i

N = i

= L f

1

1 22

1

1 21 2

0. (3.46)

Analog se defineşte inductanţa mutuală între circuitele 2 şi 1:

i

Ni

= L f

2

2 11

2

2 12 1

0. (3.47)

Se poate demonstra că inductanţele mutuale sunt egale pentru medii liniare.

Dacă nu există fluxuri magnetice de dispersie:

. L L = M= L = L 2 2111 212 (3.48)

64

Circuitele electrice care au inductanţe mutuale diferite de zero se numesc

circuite cuplate magnetic.

Fig.3.25 - a) Bobine cuplate magnetic; b) simbolizarea lor în schemele electrice

În fig.3.25a se arată cuplajul între trei bobine şi semnele inductanţelor

mutuale. Între circuitele 1 şi 2 fluxul mutual Φ12>0 şi deci L12>0, între circuitele 1

şi 3, Φ13<0 şi deci L13<0, iar între circuitele 2 şi 3, Φ23<0 deci L23<0. în schemele

electrice pentru a putea determina semnul inductanţelor mutuale, se adoptă

următoarea convenţie: cele două bobine au câte o bornă însemnată cu asterisc

(bornă polarizată), dacă sensurile curenţilor prin cele două bobine sunt orientate în

acelaşi mod faţă de aceste borne, inductanţa mutuală este pozitivă (L12 din

fig.3.25b), iar în caz contrar, inductanţa mutuală este negativă (L23, L13 din

fig.3.25b).

. a

d

l =

i = L

t lnπ

μ0l

(3.49)

3.7. ENERGIA ŞI FORŢELE ÎN CÂMPUL MAGNETIC

3.7.1. Energia câmpului magnetic produs de circuite electrice parcurse de

curenţi Se consideră n circuite filiforme străbătute de curenţii i1,i2...in, conţinând şi

surse de t.e.m. ue1,ue2,...,uen (fig.3.26). Conform legii conservării energiei, energia

totală debitată de surse dWG în intervalul de timp dt va fi egală cu suma pierderilor

de energie prin efect Joule-Lenz, dQR, în rezistenţele circuitelor, a creşterii

energiei câmpului magnetic a sistemului dWm şi a lucrului mecanic efectuat de

forţele magnetice dL în acelaşi interval de timp dt:

.L+Wt+ i R=t i u L,+W+Q= W mkk

n

= kkk e

n

= kmRG dddddddd 2

11

..(3.59)

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff circuitului k se obţine:

. t

+i R = u ,i R = t

- uk

kkk ekkk

k ed

d

d

d

Înmulţind relaţia de mai sus cu ikdt şi adunând pentru cele n circuite rezultă:

. i+ t i R= t i u kk

n

= kkk

n

= kkk e

n

= k ddd

1

2

11

(3.60)

Fig.3.26 - Explicativă la calculul energiei

câmpului magnetic.

65

Înlocuind relaţia (3.60) în relaţia (3.59) se obţine:

L+W m dd

. i kk

n

= k d

1 Considerând circuitele imobile, dL=0, şi rezultă:

. i= W kk

n

= km dd

1 (3.61)

Fluxul total Φk care străbate circuitul k este:

. i L = jj k

n

1 =j k

(3.62)

Pe baza legii conservării energiei se poate afirma că energia magnetică Wm

nu depinde de ordinea stabilirii curenţilor în circuite. Presupunem că se ajunge în

starea finală ik, Φk printr-o creştere proporţională a curenţilor de la valoarea iniţială

zero, la starea finală, astfel că la un moment dat curentul va fi: i'k=λik cu λ[0,1].

Fluxurile fiind proporţionale cu curenţii, rezultă că fluxul magnetic va fi în acelaşi

moment Φ’k=λΦk, iar dΦ’k=Φkdλ.

Suma variaţiilor de energie din momentul iniţial, în care nu exista câmp

magnetic, până în momentul final, este energia magnetică Wm a sistemului:

. i = i= i =W kk

n

= kkk

n

= kkk

n

= km

1

1

011

1

0 2

1dd

(3.63)

Energia înmagazinată de câmpul magnetic al unui sistem de circuite

parcurse de curenţi electrici, este egală cu semisuma produsului dintre

curenţii din circuite şi fluxurile totale ce străbat suprafeţele limitate de

contururile circuitelor respective.

Energia magnetică a unui sistem de circuite parcurse de curenţi este

repartizată în tot volumul în care există câmpul. Se defineşte densitatea de volum

a energiei magnetice wm:

. V

W =

V

W = w

mm

Vm

d

dlim

0

(3.64)

Se poate demonstra că densitatea de volum a energiei are expresia:

.

B H = wm

2

(3.65)

Energia totală a câmpului magnetic se poate determina astfel:

. V B H = WV

m d2

1

(3.66)

3.7.2. Teoremele forţelor generalizate în câmpul magnetic

Dacă configuraţia geometrică a sistemului de circuite din fig.3.26 este fixă,

cu excepţia unui singur circuit ce se poate deplasa pe direcţia coordonatei

generalizate xk sub acţiunea forţei generalizate Xk, rezultă din relaţia (3.61):

. i = x X + W kk

n

= kkkm ddd

1 (3.67)

66

a) Dacă se consideră fluxurile magnetice constante, dΦk=0 şi rezultă:

. x

W - = X , = x d X + W .const =

k

mkkkm )(0d

k

(3.68)

Forţa generalizată Xk este egală cu derivata cu semn schimbat a energiei

câmpului magnetic, exprimată în funcţie de coordo-natele generalizate şi

fluxurile magnetice, în raport cu coordo-nata generalizată, când fluxurile

magnetice sunt constante prin circuite.

b) Dacă se consideră curenţii electrici constanţi, dik=0 şi rezultă din (3.63):

. W ii= i+ iW mkk

n

= kkk

n

= kkkkk

n

= km d2dd

2

1dd

2

1d

111

(3.69)

Înlocuind relaţia (3.69) în relaţia (3.67) rezultă:

,x X = W kkm dd

de unde se obţine:

. x

W = X .const = i

k

mk

k

)(

(3.70)

Forţa generalizată Xk, care tinde să mărească coordonata generalizată

xk, este egală cu derivata în raport cu coordonata generalizată xk a energiei

câmpului magnetic, la curenţi constanţi în circuite, dacă energia este exprimată

în funcţie de coordonatele generalizate şi curenţii din circuite.

Aplicaţie.

Forţa portantă a unui electromagnet. Forţa portantă a unui electromagnet

este forţa necesară pentru a îndepărta armătura de polii electromagnetului

(fig.3.27), x fiind lungimea întrefierului. Forţa portantă se determină din teorema

forţelor generalizate (se consideră permeabilitatea circuitului magnetic infinită, ) Folosind relaţia (3.68):

. x

L

L =

L

x - =

x

W - = X = F .const =

m

d

d

2)

2(

d

d)(

2

22

Inductanţa electromagnetului este:

,x

S N

x +

S N =

R

N = L

r

Fee m

2

μ

2μ

l

μ o2

02 2

Înlocuind şi derivând inductanţa în raport cu

x, rezultă forţa portantă:


forţei portante.

. x

L i - =

x L - = F = X

22

22

(3.71)

Semnul minus al forţei portante, arată că această forţă este de atracţie

(îndreptată în sens opus sensului creşterii lui x).

Acelaşi rezultat s-ar fi obţinut şi dacă se exprima energia câmpului magnetic

în funcţie de curent şi s-ar fi folosit relaţia (3.70) pentru determinarea forţei

portante.

67

3.7.3. Forţele electromagnetice

În prezenţa câmpurilor magnetice, conductoarele parcurse de curenţi

electrici de conducţie, sunt supuse unor forţe numite forţe electromagnetice. Se

consideră un conductor de o formă oarecare parcurs de curentul electric i şi aflat

într-un câmp magnetic de inducţie . Se consideră o deplasare virtuală d a unui

element de conductor d l , produsă de forţa d (fig.3.27). Din teorema forţelor

generalizate, rezultă:

. r

W =

r

W = F mm

d

ddd

2

(3.72)

Variaţia energiei magnetice are expresia:

. r B l i = l r B i = S B i = i = W m ddddddd

222

Înlocuind în (3.72) relaţia de mai sus, se obţine forţa ce se exercită asupra

elementului d l :

. B li = u F = F ,u B li = r

r B li = F rr ddddd

ddd

(3.73)

Forţa exercitată asupra întregului contur este:

. B l i = FL

d

(3.74)

Direcţia forţei este perpendiculară pe planul format de vectorii d l şi B , iar

sensul corespunde sensului de înaintare al burghiului drept, dacă se roteşte

elementul d l peste B cu un unghi mai mic de 180.

În cazul unui conductor rectiliniu de lungime l, aflat într-un câmp magnetic

omogen de inducţie magnetică , forţa va fi:

. sin l i B = F ,B l i = F (3.75)

Dacă liniile de câmp magnetic sunt şi perpendiculare pe conductor forţa este:

. l i B = F (3.76)

3.7.4. Forţele electrodinamice Forţele electrodinamice sunt forţele care se

exercită între două conductoare parcurse de curent electric de conducţie. Se

consideră două conductoare rectilinii, paralele şi de lungime l foarte mare în raport

cu distanţa d dintre ele (fig.3.28). Conductoarele sunt parcurse de curenţii i1 şi i2.

Curentul i1 din conductorul 1 stabileşte în orice punct situat pe al doilea conductor

un câmp magnetic de inducţie magnetică 21, normal pe planul conductoarelor:

. d

i = B2

μ 121

(3.77)

Fig.3.28 -

Explicativă la calculul forţelor electrodinamice.

Conductorul 2 parcurs de curentul

i2 se află în câmpul magnetic de

inducţie 21 şi asupra lui va acţiona

forţa electromagnetică (3.76):

68

. d

l i i = l i B = F

2

2121 21 2

(3.78)

Forţele electrodinamice sunt forţe de atracţie dacă curenţii care străbat cele

două conductoare sunt de acelaşi sens şi de respingere în caz contrar. Ele aparţin

planului format de cele două conductoare paralele.

Pe baza relaţiei (3.78) se defineşte amperul. Amperul este intensitatea unui

curent electric constant care, menţinut în două conductoare paralele infinit

lungi aflate în vid la distanţa de un metru ar produce între acestea o forţă de 2 710newtoni pe un metru lungime.

69

4. CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV

În capitolele precedente s-a studiat curentul continuu, adică curentul cu

sensul invariabil şi cu intensitatea constantă în timp. În tehnică, curenţii variabili în

timp au o mai mare aplicabilitate. Circuitele electrice de curent alternativ sunt

circuitele electrice alimentate cu tensiuni electromotoare (t.e.m.) alternative.

Aceste circuite prezintă avantaje în producerea t.e.m., în transportul şi utilizarea

energiei.

Cele mai simple generatoare electrice sunt cele de curent alternativ (c.a.),

deoarece nu necesită dispozitive de redresare, simpla rotire uniformă a unei spire

într-un câmp magnetic constant dă naştere unei t.e.m. alternative. Cele mai simple

şi mai robuste motoare electrice sunt motoarele asincrone care sunt alimentate tot

la tensiuni alternative.

Pentru transmiterea energiei electrice se folosesc liniile electrice ale căror

pierderi, prin efect Joule-Lenz, sunt invers proporţionale cu pătratul tensiunii.

Pentru curenţii continui, tensiunea nu mai poate fi modificată, dar pentru curenţii

alternativi, tensiunea se poate modifica uşor cu un randament ridicat cu ajutorul

transformatoarelor electrice.

Semnalele radio şi cele din telecomunicaţii sunt practic suprapuneri de

semnale alternative de înaltă frecvenţă.

Dacă unui circuit electric nedeformant i se aplică o tensiune alternativă

sinusoidală, curenţii din laturile circuitului vor fi tot de formă sinusoidală având

aceeaşi frecvenţă cu frecvenţa tensiunii de alimentare. Reţelele industriale de c.a.

din ţara noastră au frecvenţa de 50 Hz.

4.1. DEFINIŢII GENERALE

Se numeşte mărime sinusoidală (mărime armonică) o mărime

alternativă a cărei expresie funcţie de timp este de forma: , + tT/ A=tA= +tA =a mmm απ2sinαπν2sinαωsin (4.1)

unde: - Am reprezintă modulul valorii maxime a mărimii sinusoidale;

- a - valoarea instantanee a mărimii;

- ωt + α - faza mărimii, se exprimă în radiani;

- α - faza iniţială, la momentul t = 0, cu valori cuprinse între -π şi π;

- ω = 2π = 2π/T - pulsaţia;

- - frecvenţa, se exprimă în hertzi [Hz];

- T - perioada, se exprimă în secunde [s].

Mărimile sinusoidale au următoarele proprietăţi:

- valoarea medie pe o perioadă este nulă:

0;αωcosαωωcosω

dαωsin1

=t+T+tT

AttA

T=a~ m

m

T+t

t

(4.2)

- mărimea medie pe o semiperioadă este:

70

; A = t + t AT

= a mm

T + -

-π

2dαωsin

2 2ω

α

ω

αd e m

(4.3)

- valoarea efectivă (valoarea medie pătratică), notată totdeauna cu literă mare:

.A

t t+

TAtt+ A

TA m

Tt

tm

Tt

tm

2d

2

αω2cos11dαωsin

1 22

(4.4)

Ţinând seama de relaţia (4.4), o mărime sinusoidală se poate scrie:

. + t A = + t A = a m αωsin 2αωsin (4.5)

Dacă se face substituţia t = t’ - α/ω, rezultă:

. t A = + - t A = a ωsin2ααωsin2 (4.6)

Expresia (4.6) nu conţine faza iniţială şi cum alegerea originii timpului este

arbitrară, rezultă că faza iniţială nu caracterizează proprietăţile mărimii periodice a.

Într-o problemă are importanţă numai diferenţa fazelor iniţiale ale mărimilor.

Pentru aceasta, se alege pentru o mărime faza iniţială zero (mărime numită origine

de fază), iar celelalte mărimi vor avea fazele iniţiale luate în raport cu aceasta.

Se consideră două mărimi sinusoidale de aceeaşi frecvenţă:

. + t A = a , + t A = a αωsin2αωsin2 222111

Se numeşte defazajul 12 dintre două mărimi sinusoidale diferenţa fazelor

lor. Dacă frecvenţele celor două mărimi sunt egale, defazajul este egal cu diferenţa

fazelor iniţiale:

. -= -t - + t= α ααωαω 212112 (4.7)

Fig.4.1 - Explicativă la defazajele mărimilor alternative a1 şi a 2: a) a1 defazată înainte;

b) a1 şi a2 în fază; c) a2 defazată înainte.

Dacă 12 > 0, mărimea a1 este defazată înaintea mărimii a2 (fig.4.1a), pentru

12 = 0, mărimile a1 şi a2 sunt în fază (fig.4.1b), iar pentru 12 < 0 mărimea a1

este defazată în urma mărimii a2 (fig.4.1c). Dacă 12 = π/2 mărimile sunt în

cuadratură, iar pentru 12 = π sunt în opoziţie.

4.2. CIRCUITE SIMPLE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

Fiind cunoscută valoarea instantanee a tensiunii la bornele unui circuit liniar

şi pasiv:

71

, + t U =u αωsin2 (4.8)

se cere să se determine valoarea intensităţii curentului în regim permanent, de

forma:

. + t I = i sin2 (4.9)

Raportul dintre valoarea efectivă a tensiunii şi valoarea efectivă a

curentului se numeşte impedanţa circuitului şi se notează cu Z:

.

I

U = Z

(4.10)

Defazajul dintre U şi I (defazajul circuitului) se notează cu :

. - = 0 (4.11)

La calculul circuitelor se presupun următoarele ipoteze simplificatoare:

- circuitele sunt filiforme, curentul este uniform repartizat în secţiunea

conductorului;

- elementele de circuit sunt ideale, rezistoarele au numai rezistenţă, bobinele

numai inductanţe, condensatoarele numai capacitate;

- circuitele au parametrii concentraţi, în rezistor este concentrată întreaga

rezistenţă, în bobină întreaga inductivitate şi în condensator întreaga capacitate a

circuitului;

- circuitul este izolat de influenţa electromagnetică a altor circuite;

- parametrii circuitului (R,L,C) sunt liniari, nu depind de valoarea intensităţii

curentului sau a tensiunii.

4.2.1. Circuit cu rezistor ideal Se consideră un circuit simplu format dintr-un rezistor ideal (fig.4.2),

alimentat cu o tensiune la borne sinusoidală. Se consideră curba închisă Γ cu

sensul de parcurgere astfel ales încât să fie în sensul curentului prin latură şi invers

sensului tensiunii la borne. Aplicând legea inducţiei electromagnetice curbei Γ,

rezultă:

, = = = , 0 = - d dd fbf RS uiRuuuu ,t / - = l E

(4.12)

sau: ,) + t(

R

U =

R

u = i αωsin2

(4.13)

deoarece fluxul magnetic este nul, inductanţa circuitului fiind nulă (L=0).

S-a presupus iniţial intensitatea curentului de formă sinusoidală:

i = 2 I sin (ωt+β) şi rezultă:

- intensitatea curentului este în fază cu tensiunea:

0 , (4.14)

- valoarea impedanţei este egală cu valoarea rezistenţei rezistorului:

Z = R; (4.15)

72

Fig.4.2 - a) Circuit simplu cu rezistor;

b) dependenţa de timp a curentului şi tensiunii.

- valoarea efectivă a intensităţii

curentului nu depinde de frecvenţa

tensiunii la borne:

I = U/R; (4.16)

- căderea de tensiune pe un rezistor

este în fază cu intensitatea curentului şi

se numeşte cădere de tensiune rezistivă

(fig.4.2b).

4.2.2. Circuit cu bobină ideală Se consideră o bobină ideală (fig.4.3), având inductanţa L, alimentată cu

tensiunea sinusoidală u = 2 U sin(ωt+α). Se consideră conturul închis Γ şi se

aplică legea inducţiei electromagnetice:

,t

lES

d

dd ,

t

i L - =u - u f

d

d

sau: ,

t

i L = u =u L

d

d

(4.17)

Fig.4.3 - a) Circuit cu bobină ideală; b) dependenţa curentului şi tensiunii de timp.

Bobina fiind ideală, rezistenţa ei este nulă,deci uf = Ri = 0 şi:

. / + t L

U

= t+ UL

- =ttUL

=tuL

i

2 π- αωsin2ω

αωcos2ω

1dαωsin2

1d

1

(4.18)

Prin identificarea relaţiei (4.18) cu (4.9) rezultă:

-intensitatea curentului este defazată în urma tensiunii cu π/2 :

; 2 / = (4.19)

-valoarea impedanţei este egală cu produsul dintre pulsaţia curentului şi

inductanţa bobinei şi se numeşte reactanţa bobinei. Ea este dependentă de

frecvenţă:

;ω X = L = Z L (4.20)

-valoarea efectivă a intensităţii curentului este egală cu raportul dintre

valoarea efectivă a tensiunii la borne şi valoarea reactanţei inductive XL:

; X

U = I

L (4.21)

73

-căderea de tensiune pe o bobină ideală va fi todeauna defazată cu π/2

înaintea curentului (fig.4.3b) şi se numeşte cădere de tensiune inductivă.

4.2.3. Circuit cu condensator ideal Se consideră condensatorul ideal de capacitate C (fig.4.4) alimentat cu o

tensiune sinusoidală u = 2 U sin(ωt+α). Dacă circuitul ar fi alimentat cu o

tensiune continuă, intensitatea curentului din circuit ar fi zero:

, = U

= R

U = I

C

0

deoarece între plăcile condensa-

torului se află un dielectric, care are

rezistenţa infinită (RC = ).

Aplicând o tensiune sinu-

soidală condensatorului, acesta se va

încărca şi descărca periodic cu

frecvenţa egală cu frecvenţa tensiunii

aplicate şi deci, prin circuit va trece

Fig.4.4 - a) Circuit simplu cu conden-sator; b)

dependenţa de timp a curen-tului şi a tensiunii.

un curent electric alternativ. Acest lucru lasă impresia că în regim sinusoidal,

curentul electric trece prin condensator.

Aplicând legea inducţiei electromagnetice conturului închis Γ, rezultă:

,

C

q =u = u , =u - u ,

t - = l E CC

S 0d

dd

(4.22)

unde q reprezintă sarcina electrică a unei armături a condensatorului.

Conform legii conservării sarcinii electrice, aplicate suprafeţei închise Σ (fig.4.4),

rezultă:

. t i

C = u ,t i = q ,

t

q = i C d

1d

d

d

(4.23)

Introducând în relaţia (4.23), relaţia (4.22) rezultă:

, + + t CU = + t U C = t

u C = i

2sin2cos2

d

d

(4.24)

Prin identificarea relaţiei (4.24) cu relaţia (4.9), rezultă:

-intensitatea curentului este defazată înaintea tensiunii cu π/2:

, / - = 2 (4.25)

-valoarea impedanţei este dependentă de frecvenţă şi este egală cu inversul

produsului dintre capacitatea condensatorului şi pulsaţia tensiunii de alimentare şi

se numeşte reactanţă capacitivă:

;

1CX =

C = Z (4.26)

-valoarea efectivă a intensităţii curentului este egală cu câtul dintrevaloarea

efectivă a tensiunii la borne şi reactanţa capacitivă XC:

74

;ω U C = X

U = I

C (4.27)

-căderea de tensiune pe condensator va fi defazată cu π/2 în urma intensităţii

curentului (fig.4.4b) şi se numeşte cădere de tensiune capacitivă.

4.2.4. Circuit cu rezistor, bobină şi condensator, legate în serie

Se consideră circuitul din figura 4.5, unde toate elementele de circuit sunt

ideale. Se aplică la borne tensiune sinusoidal u= 2 U sin(ωt+α). Aplicând legea

inducţiei electromagnetice conturului închis Γ, se obţine:

. t

i L - =u - u + u ,

t - = lE Cf

S

d

d

d

dd

(4.28)

Înlocuind în relaţia (4.28) relaţiile (4.12),(4.17) şi (4.23) se obţine:

.d

1

d

dti

Ct

iLiRu

(4.29)

Fig.4.5 - Circuit serie cu rezistor,

bobină şi condensator.

Căutăm pentru ecuaţia integro-diferenţială

(4.29) o soluţie de forma:

. + t I = i βωsin2 (4.30)

Înlocuind în relaţia (4.29) relaţiile (4.30) şi (4.8) rezultă:

. + t C

I + + t I L

+ + t RI = + t U

2

π - βωsin2

2

π+ βωsin ω2

βωsin2αωsin 2

(4.31)

Relaţia (4.31) fiind o identitate, ea trebuie să fie adevărată în orice moment,

deci şi pentru momentele:

C

IILUU,t

ωωsinβαsin0βω

(4.32a)

IRUU,/t cosβαcos2πβω (4.32b)

Prin împărţirea relaţiilor (4.32a) şi (4.32b) se obţine:

.

R

C - L

= ,R

C - L

= ω

1ω

arctgω

1ω

tg (4.33)

Ridicând la pătrat relaţiile (4.32) şi adunând membru cu membru, rezultă:

.

X - X + R

U =

C

- L + R

U = I

, C

- L + R I = U

CL

222

2

2

222

ω

1ω

ω

1ω

(4.34)

75

Valoarea instantanee a intensităţii curentului va fi:

. R

X -X + t

X - X + R

U = i CL

CL

arctg - αωsin

)(2

22

(4.35)

Intensitatea curentului este defazată în urma tensiunii la borne cu unghiul

dat de relaţia (4.33).

Dacă: > 0, (XL > XC), circuitul are caracter inductiv;

= 0, (XL = XC), circuitul are caracter pur rezistiv;

< 0, (XL < XC), circuitul are caracter capacitiv.

Valoarea impedanţei este egală cu radicalul de ordinul doi din suma

pătratului rezistenţei rezistorului şi pătratul diferenţei dintre reactanţa inductivă şi

cea capacitivă:

. X - X + R = C

- L + R = Z CL

22

2

2 1

(4.36)

Relaţiile obţinute pentru cazul general, pot fi particularizate. Astfel,

considerând XC=0, se obţin relaţiile pentru rezistorul şi bobina ideale legate în

serie, iar dacă XL=0 se obţin relaţiile pentru legarea în serie a rezistorului şi

condensatorului ideali.

4.3. MĂRIMILE CARACTERISTICE CIRCUITELOR

LINIARE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

Un circuit de c.a. sinusoidal poate fi caracterizat cu ajutorul a doi parametri,

pentru o anumită frecvenţă a tensiunii de alimentare.

4.3.1. Impedanţa şi defazajul

a.) Impedanţa circuitului pasiv Z este prin definiţie raportul dintre

valoarea efectivă a tensiunii la bornele circuitului şi valoarea efectivă a

intensităţii curentului ce intră pe la borne:

. >

I

U = Z 0

(4.37)

Impedanţa este o funcţie de parametri circuitului şi de frecvenţa tensiunii de

alimentare, Z=f(R,L,C,f).

Fig.4.6 – Triunghiul

im- pedanţelor.

Unitatea de măsură este Ohmul [Ω].

b) Defazajul circuitului se defineşte ca diferenţa

dintre faza tensiunii la bornele circuitului şi faza

intensităţii curentului ce intră pe la o bornă şi iese pe la

cealaltă. Deoarece frecvenţa tensiunii şi a curentului este

aceeaşi, defazajul este diferenţa dintre fazele iniţiale ale tensiunii şi intensităţii

curentului:

. - = (4.38)

76

Defazajul depinde de parametrii circuitului şi de frecvenţă = = (R, L, C,

f). Valorile defazajului sunt cuprinse între -π/2 şi +π/2, deci cos 0.

Dacă se cunosc Z şi , curentul este univoc determinat:

. - + t

Z

U = i sin2

(4.39)

4.3.2. Rezistenţa şi reactanţa circuitului

a) Rezistenţa circuitului R este definită astfel:

, Z=

I

U = R 0cos

cos

(4.40)

unde, U cos este componenta activă a tensiunii. Rezistenţa circuitului nu trebuie

confundată cu rezistenţa dată în c.c de relaţia (2.35), ele se confundă numai în

cazuri particulare.

b) Reactanţa circuitului X este definită astfel:

, Z=

I

U = X 0sin

sin

(4.41)

unde U sin este componenta reactivă a tensiunii.

Dacă se dau rezistenţa şi reactanţa, se pot determina defazajul şi impedanţa

circuitului:

. Z

R = ,

Z

X = ,X + R = Z ,

R

X cossin arctg = 22

(4.42)

Relaţiile(4.42) pot fi ţinute uşor minte, cu ajutorul triunghiului impedanţelor

(fig.4.6).

Unitatea de măsură pentru rezistenţa şi reactanţa circuitului este Ohmul [Ω].

Cunoscând valorile date de relaţiile (4.42), valoarea instantanee a curentului

este:

. R

X + t

X + R

U = i

arctg - αωsin2

22 (4.43)

4.3.3. Admitanţa şi defazajul

a).-Admitanţa circuitului Y se defineşte ca inversa impedanţei circuitlui:

. >

U

I =

Z = Y 0

1

(4.44)

Unitatea de măsură a admitanţei este Siemensul [S].

b).-Defazajul circuitului a fost

definit în paragraful 4.3.1.

Cunoscând admitanţa şi defazajul se poate

scrie uşor valoarea instantanee a curentului:

Fig.4.7 - Triunghiul admitanţelor.

. + t U Y = i - αωsin 2 (4.45)

4.3.4. Conductanţa şi susceptanţa

77

a) Conductanţa circuitului G, este definită astfel:

, Y =

U

I =G 0 cos

cos

(4.46)

unde I cos reprezintă componenta activă a curentului.

b) Susceptanţa circuitului B, este definită astfel:

, Y =

U

I = B 0sin

sin

(4.47)

unde I sin reprezintă componenta reactivă a curentului.

Cunoscându-se conductanţa şi susceptanţa circuitului se pot deduce relaţiile:

. Y / B = Y, /G = G , / B = ,B + G = Y sin cos tg22 (4.48)

Relaţiile (4.48) pot fi ţinute uşor minte cu ajutorul triunghiului admitanţelor

(fig.4.7).

Valoarea instantanee a intensităţii curentului va fi:

. G

B + t B + G U = i

arctg - αωsin2 22

(4.49)

Unitatea de măsură pentru conductanţă şi susceptanţă este Siemensul [S].

4.4. PUTERI ÎN CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV Puterea primită instantaneu de un circuit cu două borne de acces are

expresia:

. iu = p (4.50)

Fig.4.8 - Dependenţa tensiunii, curentului

şi puterii instantanee de timp

Relaţia (4.50) exprimă puterea

primită de circuit dacă sensurile tensiunii la

borne u şi a curentului absorbit i sunt

asociate după regula de la receptoare sau

puterea cedată de circuit, dacă asocierea s-a

făcut după regula de la generatoare.

Considerând tensiunea şi curentul de forma:

, + t I = i , + t U =u βωsin 2αωsin2 rezultă puterea instantanee:

. + + t - UI

+ t + tUI p

2cos cos

sin sin 2

(4.51)

Puterea instantanee este o mărime periodică, având o componentă constantă

(U I cos ) şi o componentă alternativă cu frecvenţa dublă faţă de frecvenţa

tensiunii de alimentare.

În fig.4.8 s-au reprezentat tensiunea la borne, intensitatea curentului şi

puterea instantanee. Se observă că puterea instantanee nu are mereu acelaşi semn.

Dacă convenţia de semne este de la receptoare, se constată că există perioade de

timp în care puterea este negativă (circuitul cedează putere reţelei de alimentare) şi

78

perioade de timp în care puterea este pozitivă (circuitul absoarbe putere). Rezultă

că puterea instantanee nu poate caracteriza din punct de vedere energetic circuitul.

4.4.1. Puterea activă

Puterea activă P se defineşte ca valoarea medie pe un număr întreg de

perioade a puterii instantanee:

524cos

dβ+αω2coscos1

d1

00

. I U =

= t+t UI-UIT n

tp T n

p~PT nT n

Din relaţia (4.52) rezultă că în regim sinusoidal, puterea activă a unui dipol

electric este egală cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii şi intensităţii

curentului amplificat cu cosinusul unghiului de defazaj dintre tensiune şi curent .

Pentru un circuit receptor pasiv (care nu conţine surse), puterea activă va fi:

, UG = I R = I Z= I U = P 0 cos cos 222 (4.53)

deoarece [-π/2, π/2].

Puterea activă este nulă numai în circuitele nedisipative (R=0) şi este mereu

pozitivă pentru circuitele receptoare. Ea se transformă în căldură în rezistoarele din

circuit şi în putere mecanică în motoarele electrice de curent alternativ.

Unitatea de măsură pentru puterile activă şi instantanee este Wattul [W].

Puterea medie pe un interval de timp τ .>> T este practic egală cu puterea

activă şi de aceea aparatele de măsură a puterii (wattmetrele), indică valoarea

medie a puterii instantanee deci, puterea activă.

4.4.2. Puterea aparentă

Puterea aparentă S se defineşte ca produsul dintre valorile efective ale

tensiunii şi curentului:

. U Y = I Z= I U = S 22 (4.54)

Unitatea de măsură pentru puterea aparentă este Voltamperul [VA].

Puterea aparentă reprezintă valoarea maximă pe care o poate lua puterea

activă pentru U şi I constante şi cos variabil. Ea este o mărime caracteristică

transformatoarelor şi generatoarelor deoarece, valoarea maximă a curentului este

limitată de încălzirea maşinii, iar valoarea maximă a tensiunii, de condiţiile de

izolaţie.

4.4.3. Puterea reactivă

Puterea reactivă se defineşte ca produsul dintre valorile efective ale

tensiunii şi curentului amplificat cu sinusul unghiului de defazaj dintre

tensiune şi curent:

. UB = I Z= UI = Q 0sinsin 22 (4.55)

Pentru convenţia de semne de la receptoare, Q > 0 reprezintă puterea

reactivă absorbită de receptor, iar Q < 0 -puterea reactivă cedată de receptor reţelei

de alimentare.

79

Pentru convenţia de semne de la generatoare, Q > 0 reprezintă puterea

reactivă debitată, iar Q < 0 - puterea reactivă absorbită.

Unitatea de măsură pentru puterea reactivă este Voltamperul reactiv [var].

Între puterile P, Q şi S există următoarele relaţii:

. P = Q , S= Q , S= P ,Q + P = S tgsin cos222

(4.56)

Fig.4.9 - Triunghiul puterilor

Relaţiile (4.56) se ţin uşor minte cu

ajutorul triunghiului puterilor

(fig.4.9).

Puterea activă, respectiv energia activă, absorbite de circuite mai complexe

(conţinând şi motoare electrice) se transformă parţial în lucru mecanic şi parţial în

căldură.

Puterea reactivă are o semnificaţie fizică, reprezentând o măsură a

schimburilor interioare de energie între câmpul electric şi cel magnetic. De

exemplu pentru un circuit serie R,L,C avem:

. W~ - W

~ = Q ,t uC

T

-t i L

T

=

= UC

- I L

= I C

- L = IX = Q

emC

T T

C

ω2d2

1d

2

12

22ω2

ω

1ω

2

0

2

0

2222

(4.57)

Din relaţia (4.57) rezultă că puterea reactivă primită de un circuit pasiv este

proporţională cu diferenţa dintre valoarea medie a energiei câmpului magnetic al

bobinelor circuitului şi valoarea medie a energiei câmpului electric al

condensatoarelor din circuit. Dacă valorile lor medii sunt egale, variaţiile acestor

energii se compensează reciproc în cadrul circuitului şi ca urmare puterea reactivă

absorbită este nulă

4.4.4. Factorul de putere

Factorul de putere kp al unui circuit este raportul pozitiv subunitar dintre

puterea activă şi puterea aparentă:

.

S

P = k p 0

(4.58)

În regim sinusoidal, nedeformant, pentru un dipol pasiv, rezultă:

. = k p cos (4.59)

Pentru ca o instalaţie să funcţioneze în condiţii optime, puterea activă

absorbită trebuie să fie maximă şi este necesar ca factorul de putere să fie apropiat

de unitate

4.5. CALCULUL CIRCUITELOR DE CURENT

ALTERNATIV PRIN METODE SIMBOLICE La calculul circuitelor electrice de c.a. sinusoidal, apar sisteme de ecuaţii

integro-diferenţiale de forma (4.29), ale căror soluţii se deduc foarte greu prin

80

metode matematice uzuale. Pentru simplificarea rezolvării acestor sisteme de

ecuaţii, s-au elaborat diferite metode de reprezentare simbolică a mărimilor

sinusoidale.

Fiecărei mărimi sinusoidale i se asociază biunivoc, după o anumită regulă,

un simbol denumit imaginea mărimii respective. În loc de a rezolva ecuaţiile

integro-diferenţiale cu mărimile sinusoidale se vor rezolva ecuaţii mai simple cu

simboluri. Folosind apoi metoda de reprezentare în sens invers, se determină

mărimile sinusoidale din simbolurile lor determinate anterior. Pentru ca o metodă

simbolică să fie avantajoasă este necesar ca:

- reprezentarea să fie biunivocă;

- transformarea directă şi inversă să se facă fără dificultate;

- fiecărei operaţii cu mărimi sinusoidale să-i corespundă biunivoc o operaţie

cu simboluri, la care calculul să fie mai simplu.

4.5.1. Reprezentarea în complex simplificat a funcţiilor sinusoidale de timp

Un număr complex z poate fi scris sub trei forme diferite:

- forma algebrică: z = a + jb; (4.60)

- forma trigonometrică : z = ρ(cosα + j sinα); (4.61)

- forma exponenţială : z = ρejα

. (4.62)

În relaţia (4.60) a şi b sunt numere reale, a fiind partea reală a numărului

complex, iar b partea imaginară. Notaţia unităţii imaginare se face cu j 1 nu

cu i, pentru a nu se confunda cu intensitatea curentului.

În relaţiile (4.61) şi (4.62), ρ reprezintă modulul numărului complex şi este

un număr real pozitiv, α - argumentul numărului complex. Între a, b, ρ şi α există

următoarele relaţii:

. / b = , / a = ,b + a = ραsin ρα cosρ 22(4.63 a,b,c)

Un număr complex scris sub formă exponenţială este determinat dacă i se

cunosc modulul şi argumentul său. O funcţie sinusoidală de timp, de frecvenţă

dată, este univoc determinată dacă i se cunoaşte valoarea efectivă şi faza iniţială.

Deci, putem asocia fiecărei mărimi sinusoidale un număr complex, asocierea fiind

biunivocă.

Considerăm mărimea sinusoidală:

. + t A = t a τω sin2)( (4.64)

Imaginea sa în complex simplificat numită mărime complexă, notată cu

A este un număr complex având modulul egal cu valoarea efectivă a mărimii

sinusoidale şi argumentul egal cu faza iniţială a mărimii sinusoidale :

. e A = A a j τ (4.65)

Valoarea instantanee a mărimii se determină amplificând imaginea cu 2 e j ω t

: .+t j+ + t AeAe A + t j t j τ ωsinτωcos222 τωω (4.66)

Din relaţia (4.66) se observă că partea imaginară este tocmai valoarea

instantanee a mărimii sinusoidale, deci:

81

. Ae m I = t a t j ω2)( (4.67)

În planul complex (planul lui Gauss), mărimea sinusoidală se reprezintă

printr-un vector fix, numit fazor, având modulul egal cu valoarea efectivă a

mărimii sinusoidale şi argumentul egal cu faza iniţială a mărimii sinusoidale

(fig.4.10).

Fig.4.10 - Reprezentarea fazorială

a trei mărimi sinusoidale.

Mărimile sinusoidale cu faza iniţială zero (τ=0)

se numesc mărimi sinusoidale origine de fază şi

au fazorii suprapuşi axei reale (fazorul A1 din

figura 4.10). Defazajul este 23 = τ2 - τ3 dintre două

mărimi sinusoidale a2 = 2 A2 sin(ωt+τ2) şi a3 = 2

A3 sin(ωt+τ3) este egal cu diferenţa argumentelor

imaginilor în complex, adică, argumentul raportului

lor:

. A

A =

3

23223 arg

(4.68)

În prezentul curs se lucrează numai cu reprezentarea în complex simplificat,

chiar dacă nu se precizează acest lucru.

4.5.2. Corespondenţa operaţiilor cu mărimi sinusoidale în timp şi

operaţiile cu imaginile lor în complex

a) Sumei a două mărimi sinusoidale îi corespunde suma imaginilor în

complex a mărimilor:

. A + A a + a 2121 (4. 69)

b) Amplificării cu un scalar λ a unei mărimi sinusoidale îi corespun-de

amplificarea cu un scalar a imaginii în complex a mărimii:

. A a λλ (4.70)

c) Derivării în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale îi corespunde

înmulţirea imaginii în complex a mărimii cu jω:

Dacă mărimea sinusoidală este a = 2 A sin(ωt+τ), derivata sa este:

. A j t

a

d

d

(4.71)

. A j = e e A = e A

+ + t A = + t A = t

a

jj j ω ωω

2

π τωsin ω2τω cosω2

d

d

/2 τ /2 + τ

Prin derivare se obţine un fazor amplificat cu ω şi rotit în planul complex în sens

trigonometric cu π/2 (fig.4.11).

d) Integrării în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale îi corespunde

împărţirea imaginii ei în complex cu jω:

82

Integrând mărimea a, se obţine:

. j

A t a

d

(4.72)

. j

A = e

A - + t

A

= + t A

-= t + t A = t a

) - (j

ωω2

πτωsin

ω2

τωcosω

2dτωsin2d

2

π

(4.73)

Prin integrare se obţine un fazor cu

modulul de ω ori mai mic şi rotit în planul

complex în sens invers trigonometric cu π/2

(fig.4.11).

Metoda reprezentării mărimilor sinu-soidale

în complex simplificat prezin-tă avantajul

transformării ecuaţiilor integro-diferenţiale

în ecuaţii algebrice liniare ale imaginilor în

complex ale tensiunilor şi curenţilor.

Fig.4.11 - Reprezentarea fazorială a unei

mărimi sinusoidale, a derivatei şi a

integralei sale.

Metodologia de rezolvare a circuitelor de c.a., folosind reprezentarea în

complex, este următoarea:

a)-se scriu ecuaţiile integro-diferenţiale ale circuitelor, în valori instantanee;

b)-se determină imaginile în complex ale mărimilor sinusoidale date şi ale

relaţiilor integro-diferenţiale, înlocuind derivarea cu înmulţirea cu jω, iar

integrările prin împărţirea cu jω a imaginilor în complex ale mărimilor derivate

respectiv integrate;

c)-se rezolvă ecuaţiile liniare obţinute, în raport cu imaginile funcţiilor

necunoscute;

d)-se reprezintă în planul complex fazorii corespunzători mărimilor

cunoscute şi necunoscute, obţinându-se aşa numitele "diagrame de fazori", care

dau o imagine sugestivă a mărimilor şi defazajelor dintre mărimi;

e)-se determină valorile instantanee sinusoidale ale mărimilor necunoscute

cu ajutorul relaţiei (4.67).

Aplicaţie.

Să se calculeze valoarea instantanee a intensităţii curentului ce trece printr-

un circuit serie R,L,C (fig.4.12), alimentat la borne cu o tensiune sinusoidală u

= 2 U sin(ωt+α), prin metoda reprezentării în complex simplificat. Să se

reprezinte diagrama de fazori.

a)-Ecuaţia integro-diferenţială a circuitului este (4.29):

. ) + t ( U = t i

C +

t

i L + i R αωsin2d

1

d

d

83

Se trec în complex simplificat mărimile şi se obţine:

. U = I C j

+ I L j + I R

1

Fig.4.12 - a) Circuit serie R,L,C; b) diagrama de fazori; c) diagrama de fazori luând

curentul ca origine de fază.

b)-Se determină imaginea în complex I a curentului:

.

C - L j + R

e U =

C j + L j + R

U = I

j

11

α

c)-Diagrama de fazori se reprezintă în figura 4.12b. Deoarece prezintă

importanţă numai defazajele dintre diferitele mărimi, se poate lua curentul ca

origine de fază şi se obţine diagrama de fazori din figura 4.12c.

e)-Se determină valoarea instantanee a curentului:

,

e ) C

- L ( + R

e e U m I = e I m I = i

R

C - L

j

t j j t j

ω

1ω

arctg22

ωαω

ω

1ω

22

. R

C - L

- + t

C

- L + R

U = i

ω

1ω

arctgsin

1

22

2

S-a regăsit mult mai uşor relaţia (4.35).

4.5.3. Caracterizarea în complex a circuitelor electrice liniare de curent

alternativ

Circuitele electrice liniare de c.a. au fost caracterizate în paragraful 4.3. prin

doi parametri reali (Z, ; Y, ; etc.), iar regimul lor energetic în paragraful 4.4.

prin puterile activă P, reactivă Q şi aparentă S.

Pentru caracterizarea circuitelor la a căror rezolvare se utilizează metoda

reprezentării în complex, se folosesc parametrii complecşi (impedanţa şi

admitanţa complexă) şi puterea complexă.

84

4.5.3.1. Impedanţa complexă Z se defineşte ca raportul dintre tensiunea

complexă şi intensitatea complexă. Dacă tensiunea şi curentul au valorile

instantanee:

u = 2 U sin(ωt+α) şi i = 2 I sin(ωI+β) rezultă impedanţa complexă Z:

. Xj+R = j + Z= e Z

=e I

U =

e I

e U =

I

U =Z

j

j j

j

sin cos

β - αα

(4.74)

Impedanţa complexă este un număr complex având modulul egal cu

impedanţa circuitului şi argumentul egal cu defazajul circuitului, partea reală

este rezistenţa circuitului iar partea imaginară reactanţa circuitului (fig.4.13a).

Fig.4.13 - a) Planul complex al impedandanţelor;

b) planul complex al admitanţelor.

Impedanţa complexă este un

parametru complex de calcul care

permite determina-rea tuturor

parametrilor reali ai circuitului şi deci

valoarea instantanee a curentului când

se cunoaşte tensiunea de alimentare şi

elementele com-ponente ale

circuitului.

4.5.3.2. Admitanţa complexă Y se defineşte ca raportul dintre curentul

complex şi tensiunea complexă, fiind deci egală cu valoarea inversă a

impedanţei complexe:

. jB-G= jY=eY

U

I =

e U

e I

Z

U

I Y

j -

j -

j

j

sin - cos

1

) β - (α

α

β

(4.75)

Admitanţa complexă este un număr complex având modulul egal cu

admitanţa circuitului şi argumentul egal cu defazajul circuitului cu semn

schimbat, partea reală egală cu conductanţa circuitului iar partea imaginară

egală cu susceptanţa circuitului cu semn schimbat.

Impedanţa şi admitanţa complexă se pot reprezenta grafic în planul complex

al impedanţelor, respectiv al admitanţelor. Deoarece R şi G sunt întotdeauna

pozitive, rezultă că nu se folosesc decât cadranele I şi IV.

4.5.3.3. Puterea complexă S se defineşte ca produsul dintre tensiunea

complexă şi curentul complex conjugat:

. jQ+P j+ SeS

eUIeIeUI US

j

j j -j *

sin cos

β - αβα

(4.76)

Puterea complexă este un număr complex al cărui modul este egal cu

puterea aparentă şi argumentul egal cu defazajul circuitului, partea reală este

puterea activă, iar partea imaginară puterea reactivă . Ea are în funcţie de

parametrii circuitului expresiile:

85

. U Bj -G =IXj + R

U Y U Y U IZI I ZI U S * * *

22

22

(4.77)

Puterea complexă S se poate

reprezenta în planul complex al puterilor

(fig.4.14). În cazul circuitului pasiv,

puterea activă P este pozitivă, deci

fazorul S se află în cadranele I sau IV.

Pentru circuitele ce conţin surse de

t.e.m., fazorul S poate fi în orice cadran. Fig.4.14 - Reprezentarea puterii complexe.

4.5.4.Teorema lui Joubert

În regim sinusoidal, datorită faptului că apar t.e.m. induse şi datorită

prezenţei condensatoarelor, relaţiile 2.25 şi 2.26 din electrocinetică:

,i R = u u ,i R = u beb

nu mai sunt valabile în valori instantanee.

Din relaţia de definiţie a impedanţei complexe pentru dipoli liniari şi pasivi

(4.74), rezultă:

,I Z = U (4.78)

relaţie analogă cu legea lui Ohm stabilită pentru circuite de c.c. şi se numeşte

forma complexă a legii lui Ohm pentru circuite liniare şi pasive.

Se consideră o latură activă a unui

circuit electric (fig.4.15) care conţine un

rezistor cu rezistenţa R, o bobină ideală

cu inductanţa L, un condensator cu

capacitatea C şi un generator având t.e.m.

instantanee ueG cu sensul acelaşi cu al

curentu-lui prin latură. Tensiunea

instanta-nee la bornele laturii este ub.


teoremei lui Joubert.

Aplicând legea inducţiei electromagnetice conturului Γ format de latură şi

linia tensiunii la borne, rezultă:

. u - t i

C + i R =

t

- u ,u +

t

- = l E b

SG eG e

S d1

d

d

d

dd

(4.79)

Fluxul magnetic ΦSΓ este fluxul care străbate orice suprafaţă ce se sprijină

pe conturul Γ şi este compus din fluxul propriu al bobinei (L i) şi din fluxul

exterior Φext:

. + i L = extS

(4.80)

Înlocuind relaţia (4.80) în relaţia (4.79), rezultă:

86

. t i

C +

t

i L + i R = u +

t

- u bG e d

1

d

d

d

d ext

(4.81)

Trecând relaţia de mai sus în complex simplificat, se obţine:

. I Z = I C

- L j + R = U + j - U b G e

1ext

(4.82)

Relaţiile (4.81) şi (4.82) reprezintă teorema lui Joubert sub formă

instantanee şi complexă (forma complexă generalizată a legii lui Ohm).

Dacă latura nu este cuplată inductiv cu alte laturi, Φext=0 şi deci:

. I Z = U + U bG e (4.83)

Relaţia (4.83) este analogă formal cu relaţia (2.25). În cazul în care

convenţia de semne adoptată nu este cea de la receptoare ci cea de la generatoare,

relaţiile (4.81), (4.82) şi (4.83) sunt valabile prin înlocuirea lui ub respectiv Ub cu -

ub, -Ub.

4.5.5. Forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff

4.5.5.1. Prima teoremă a lui Kirchhoff. Se consideră un nod oarecare de

reţea N (fig.4.16) şi o suprafaţă Σ care înconjoară acest nod. Aplicând legea

conservării sarcinii electrice pentru regim cvasistaţionar, se obţine în valori

instantanee şi în complex:

. = I , = i k

N kk

N k

00 (4.84)

Suma algebrică a imaginilor în complex ale curenţilor din laturile unei

reţele ce converg într-un nod de reţea este nulă.

Fig.4.16 - Explicativă la demon-strarea

primei teoreme a lui Kirchhoff.

Observaţie. Relaţia nu este valabilă pentru

modulele sau valorile efective ale curenţilor.

Ea se va aplica la N - S noduri, unde S este

numărul de sub-reţele (reţele care nu au o

continuitate galvanică, dar au între ele o

cuplare magnetică).

4.5.5.2. Teorema a doua a lui Kirchhoff. Aplicând teorema lui Joubert

laturii j a ochiului Op (fig.4.17) se obţine în complex:

. j + I C

- L j + I R = U + U j jj

jjjjj bj e

ext

1

(4.85)

Fluxul magnetic Φextj este produs de cuplajele magnetice ce există între

această latură şi celelalte laturi ale reţelei, deci:

.ILjjL

jkk

kkj j

1

ext

(4.86)

Procedând analog pentru toate laturile ochiului Op şi însumând membru cu

membru, rezultă:

87

, C

- L j + R = Z :

, ILj + I Z = U + U

jjj jj

L

jkk

kkj jjOj

j bO j

j eO j

ppp

ω

1ωunde

ω1

reprezintă impedanţa complexă a laturii j. Din teorema potenţialului electric rezultă

că suma tensiunilor de pe o curbă închisă este zero şi deci:

. I Lj + I Z = UL

jk = k

kkj jjO j

j eO j

pp

1

ω

(4.87)

Relaţia (4.87) reprezintă forma

complexă a celei de a doua teoreme a

lui Kirchhoff: suma algebrică a

imaginilor în complex ale t.e.m. ale

generatoarelor din laturile aparţinând

unui ochi de reţea, este egală cu suma

algebrică a căderilor de tensiune

complexe din laturile respective.

Fig.4.17 - Explicativă la demonstrarea celei de a

doua teoreme a lui Kirchhoff.

T.e.m. se ia ca semnul plus dacă există concordanţă între sensul t.e.m. şi

sensul de parcurgere al ochiului şi cu semnul minus în caz contrar. Căderea de

tensiune Zj Ij se ia cu plus dacă sensul de parcurgere al ochiului coincide prin

latură cu sensul curentului. Căderea de tensiune pe inductanţele mutuale se iau cu

plus dacă curenţii Ij şi Ik au acelaşi sens faţă de bornele polarizate şi dacă sensul lui

Ij prin latură coincide cu sensul de parcurgere al laturii. Orice schimbare modifică

semnul, deci două schimbări păstrează semnul plus (vezi aplicaţia de mai jos).

Aplicaţie.

Să se rezolve reţeaua electrică din figura 4.18, fiind date t.e.m., impedanţele

laturilor şi inductanţele mutuale.

Reţeaua are trei noduri, două subreţele, şi patru laturi. Pe cele patru

laturi ale reţelei se figurează curenţii I1, I2 ,I3 şi I4 cu sensurile arbitrare alese.

Prima teoremă a lui Kirchhoff aplicată nod ului A şi cea de a doua teoremă a lui

Kirchhoff ochiurilor 1,2 şi 3, dau sistemul de patru ecuaţii cu patru necunoscute de

valori complexe: ;0321 = I - I - I

Fig.4.18 - Schema electrică rezolvată la aplicaţie.

Prin rezolvarea sistemului de

ecuaţii se determină imaginile în

complex ale curenţilor din laturi, iar cu

ajutorul regulii de trecere inverse (4.67)

se obţin valorile instantanee ale

curenţilor.

88

;ωω

1ω

;ωωω

434121

33

3322

1212122221111

ILj-ILj+

+IC

j-L j +R + I Lj+R- =U -

ILjI Lj-I Lj+R+ILj+R=U

2 3 e

e

4.6. REZONANŢA ÎN CIRCUITELE ELECTRICE DE

CURENT ALTERNATIV

În circuitele electrice de c.a. care conţin elemente reactive (bobine şi

condensatoare) există cazuri în care reactanţa echivalentă este nulă şi deci

defazajul dintre tensiune şi curent va fi nul. În aceste cazuri se spune că circuitul

este în rezonanţă. La rezonanţă, puterea reactivă absorbită sau cedată de circuit este

nulă, deoarece puterea reactivă absorbită de bobine este compensată de puterea

reactivă cedată de condensatoare. În circuitele rezonante, amplitudinea intensită ţii

curentului absorbit de circuit are un maxim sau un minim.

4.6.1. Rezonanţa în circuitele serie (rezonanţa de tensiune)

Se consideră un circuit serie R,L,C la care se aplică o tensiune sinusoidală

(fig.4.21a). Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, în complex, rezultă:

Fig.4.21 - a) Circuit serie R, L, C; b) diagrama de fazori la rezonanţă

. I Xj + R = I C

- L j + R = U + U + U = U eeCLR

ω

1ω

Circuitul este rezonant dacă reactanţa echivalentă Xe este nulă:

.

C = L , =

C - L = X e

ω

1ω0

ω

1ω

(4.92) Din relaţia

(4.92) se constată că rezonanţa se poate realiza variind frecvenţa tensiunii de

alimentare. Frecvenţa şi pulsaţia la care se produce rezonanţa sunt date de

formulele lui Thomson:

.

C L = ,

C L = f

1ω

π2

100

(4.93 a,b)

Rezonanţa se poate obţine şi variind capacitatea condensatorului sau

inductanţa bobinei. La rezonanţă:

./RX,IU/RI,ZRZ e ee 0arctgmaxmin (4.94a,b,c)

Diagrama fazorială a circuitului rezonant este dată în figura 4.21b, unde s-a

luat curentul ca origine de fază. Se observă că:

89

. U = U ,I R = U = U LCR (4.95 a,b)

Căderea de tensiune inductivă este compensată de căderea de tensiune

capacitivă, motiv pentru care rezonanţa serie se mai numeşte şi rezonanţa

tensiunilor. Dacă ω0L =(1/ω0C)>> R, rezultă: UL = UC >> UR = U, deci în circuitul

rezonant apar supratensiuni care rămân un timp şi după deconectarea circuitului de

la reţea. Aceste tensiuni reprezintă un pericol pentru cei care, vin în contact cu

bornele condensatorului. Se defineşte factorul de calitate al circuitului Q:

. C

L

R =

I R

I L =

U

U = Q

R

L 11ωo

ωω0

(4.96)

În electronică se construiesc circuite rezonante cu Q (100,1000) pentru

amplificarea tensiunilor slabe, având frecvenţa egală cu frecvenţa de rezonanţă a

circuitelor.

În fig.4.22a s-a reprezentat

variaţia valorii efective a curentului în

funcţie de pulsaţia tensiunii de

alimentare pentru diferite valori ale

factorului de calitate Q, iar în figura

4.22b, dependenţa defazajului

circuitului de pulsaţie.

Fig.4.22 – Dependenţa de pulsaţie şi de factorul

de calitate a:.a) valorii efective a curentului;

b.) a defazajul circuitului Pentru pulsaţii mai mici decât pulsaţia de rezonanţă (ω<ω0), circuitul are

caracter capacitiv ( ωL<1/ωC, <0), la rezonanţă (ω=ω0) caracter pur rezistiv

( =0), iar la pulsaţii mai mari decât pulsaţia de rezonanţă (ω>ω0), caracterul este

inductiv (ωL>1/ωC, >0).

4.6.2. Rezonanţa în circuite derivaţie (rezonanţa de curent)

Se consideră un circuit format dintr-o bobină reală de rezistenţă R şi

inductanţă L conectată în paralel cu un condensator de capacitate C (fig.4.23a).

Admitanţa complexă este:

.

L + R

L - L + R C j + R

=L j + R

RCjC+ L - =Cj+

L j + R=Y +Y =Y Cbe

222

222

2

ω

ω)ω(ω

ω

ωω1ω

ω

1

Curentul absorbit de circuit este UYI e are valoarea efectivă şi defazajul:

.

R

L / C R - C L - L

,L + R

C R + C L U= I

22

222

2222

1ωarctg=

ω

ωω - 1

(4.97a,b)

În majoritatea cazurilor din practică R2<<ω

2L

2 şi se obţin:

90

. C L -

R

L

,L

C R + C -

L U I

)ω1(ω

arctg =

ωω

1

2

2

222

(4.98a,b)

Fig.4.23 - a) Circuit rezonant derivaţie;

b) diagrama de fazori

Din relaţia (4.98b) rezultă pulsaţia

aproximativă de rezonanţă:

. LC/ = ,=LC - 1ω0 ω1 020 (4.99)

La rezonanţă, curentul absorbit de circuit

trece printr-o valoare minimă; impedanţa

printr-o valoare maximă L/RC, iar defazajul

prin zero. În figura 4.23b s-a reprezentat

diagrama de fazori a curenţilor,

luându-se tensiunea ca origine de fază.

Fig.4.24 - Dependenţa valorii efective a

curentului absorbit (a) şi a defazajului (b).

În fig.4.24a s-a repre-zentat variaţia

valorii efective a curentului absorbit de

circuit, iar în figura 4.24b variaţia

defazajului circuitului de pulsaţia tensiunii

de alimentare.

Factorul de calitate este definit ca:

. C

L

R =

I

U C =

I

I = Q C 1ω

00ω =ω ω=ω

(4.100)

Fenomenul de rezonanţă are numeroase aplicaţii în telecomunicaţii şi

electroenergetică, dintre care amintim:

-realizarea oscilatoarelor de înaltă frecvenţă utilizate la emiţătoarele şi

receptoarele radio;

-realizarea telefoniei multiple, adică efectuarea concomitentă a mai multor

convorbiri utilizând o singură pereche de conductoare, cu ajutorul filtrelor bazate

pe circuite rezonante;

-măsurarea frecvenţei şi a lungimii de undă a oscilaţiilor în radiotehnică ;

-compensarea factorului de putere în instalaţiile de alimentare a

receptoarelor de energie electrică, prin montarea în paralel a unor condensatoare.

4.8. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE

Transmiterea energiei electromagnetice de la locul de producere a acesteia

(centrale electrice) la locurile de utilizare se face prin linii electrice. În cazurile

cele mai simple, transmisia se face cu o linie electrică cu două conductoare

alimentate la plecare cu o t.e.m. alternativă. Acest sistem de transmisie reprezintă

sistemul monofazat. În cazul în care linia electrică are 3 sau 4 conductoare,

alimentate de trei t.e.m. alternative de aceeaşi frecvenţă dar defazate între ele,

91

transmisia se realizează printr-un sistem trifazat.

Circuitele trifazate realizează un transport de energie electrică mai economic

şi permit folosirea în acţionările electrice a motoarelor asincrone trifazate, mai

simple şi mai economice decât cele monofazate.

4.8.1. Sisteme trifazate simetrice

Se numeşte sistem trifazat un ansamblu de trei mărimi sinusoidale de

acelaşi fel, de aceeaşi frecvenţă şi defazate între ele. Dacă mărimile au valorile

efective egale şi sunt defazate astfel încât fiecare să fie defazată în urma

precedentei cu 2π/3, sistemul se numeşte sistem trifazat simetric direct. Valorile

instantanee ale unui astfel de sistem vor fi:

. + t A = + t A = a

, + t A = a

, + t A = a

3

2π + βωsin2

3

π4 βωsin2

3

π2 βωsin2

βωsin 2

3

2

1

(4.105)

Dacă mărimile au valorile efective egale dar fiecare este defazată înaintea

precedentei cu 2π/3, sistemul se numeşte sistem trifazat simetric invers. Valorile

lor instantanee sunt:

.+ t A = + t A = a

, + + t A = a , + t A = a

) 3

π2 β (ωsin 2)

3

π4 + β (ωsi 2

) 3

2π β(ωsin 2βωsin 2

3

21

(4.106)

Fig.4.27 - a) Sistem trifazat simetric de succesiune directă; b) sistem trifazat simetric de

succesiune inversă.

În figura 4.27a sunt reprezentate mărimile unui sistem trifazat simetric

direct, iar în figura 4.27b cele ale unui sistem trifazat simetric invers, în funcţie de

timp. În continuare se vor trata numai sistemele trifazate simetrice de succesiune

directă. Imaginile în complex ale mărimilor sistemului trifazat simetric direct sunt:

. e A = e A = A ,e A

= e A = A ,A = e A = A

j j j -

j j

3 / π2) 3 / π2 + β (3

3 / π2

) 3 / π2 - β ( 2

β1

(4.107)

Se notează cu a numărul complex:

, j + - = e = a j

2

3

2

13

π2

4.108)

numit operator de rotaţie sau operatorul lui Steinmetz. Acest operator are

modulul egal cu unitatea şi argumentul 2π/3. Înmulţirea cu a unui fazor, înseamnă

rotirea acestui fazor cu 2π/3 radiani în sens trigonometric.

92

Pentru operatorul lui Steinmetz

sunt valabile relaţiile:

,j - - = e = e = aj-j

2

3

2

13

π2

3

π42

. = a + a + = a 01 , 1 23

(4.109)

Fig.4.28 - Fazorii unui sistem trifazat

simetric direct. Cu ajutorul operatorului lui Steinmetz, mărimile sistemului trifazat simetric

direct se scriu în complex astfel:

. A a = A ,A a = A ,A = A 3

221 (4.110)

Adunând relaţiile 4.110, rezultă:

, = a + a + a , = a + a + A = A + A + A 001 3212

321 (4.111)

adică suma mărimilor unui sistem trifazat simetric direct este nulă atât în complex,

cât şi în valori instantanee.

În planul complex, cele trei mărimi simetrice directe se reprezintă prin trei

fazori egali ca modul, dar rotiţi cu 2π/3 radiani în sens invers trigonometric

(fig.4.28).

4.8.2. Producerea tensiunilor electromotoare trifazate simetrice

Dacă se fixează pe acelaşi ax trei cadre dreptunghiulare, bobinate cu N spire

fiecare, având planurile decalate succesiv cu câte 2π/3 (fig.4.29) şi dacă se rotesc

cu turaţie constantă n (rot/s) în jurul unei axe paralele cu una din laturi, într-un

câmp magnetic omogen de inducţie magnetică B0, perpendicular pe axa de rotaţie,

se obţine un sistem trifazat simetric de t.e.m.

Fig.4.29 - Producerea unui sistem trifa-zat

simetric de tensiuni electromotoare.

Vom studia pentru început t.e.m.

indusă în cadrul dreptunghiular 1,

unde pentru simplificare s-a figurat în

figura 4.29 doar o singură spiră.

Dacă unghiul făcut de normala α1 la

planul spirei 1 este la momentul t = 0,

α0 = πnt + α1, iar As este aria spirei,

fluxul magnetic instantaneu prin cele

N spire ale cadrului 1 este:

, + t n B A N = s α π2cos Φ 101 (4.112)

iar t.e.m. instantanee indusă în cadru va fi:

t+U

nt+BAnNt

-u

e

s e

).αsin(ω2

)α2π(sin2πd

Φd

1

101

1

(4.113)

Această t.e.m. are pulsaţia, faza iniţială şi valoarea efectivă:

93

, N f , = U

, B ,n = ,n = f

fe

= t

0

01 01

444

)( α = α π2 π2 = ω

(4.114a,b,c)

în care Φf0 = As B0 este valoarea maximă a fluxului fascicular al unei spire.

T.e.m. ue1 poate alimenta un circuit exterior prin două perii (1 şi 1') în

contact cu inelele colectoare, fixate pe axul de rotaţie şi conectate la capetele

înfăşurării cadrului.

În cazul celor trei cadre dreptunghiulare, fluxurile magnetice instantanee

care vor traversa cele trei cadre vor diferi numai prin unghiurile făcute de

normalele planurilor cadrelor respective cu direcţia liniilor de câmp magnetic în

momentul iniţial (t=0). Aceste unghiuri vor fi respectiv:

. , , =

3

π2 + α =

3

π4 α = α

3

π2 α = ααα 321

(4.115)

Pentru t.e.m. induse în cele trei cadre se vor obţine expresiile:

. + t U = + t U = u

, + t U = u , + t U = u

ee e

e ee

) 3

π2+ α(ωsin 2)

3

π4 α (ωsin 2

) 3

π2 α(ωsin 2 ) α(ωsin 2

3

21 e

(4.116)

în care t.e.m. efectivă Ue este dată de relaţia (4.114c), pulsaţia ω de relaţia

(4.114a), iar faza iniţială α de relaţia (4.114b). Relaţiile (4.116) arată că t.e.m.

induse în cele trei cadre formează un sistem trifazat simetr ic direct.

Generatoarele de curent alternativ trifazat (generatoarele sincrone) se

construiesc pe baza acestui principiu, cu următoarele deosebiri mai importante:

- în locul celor trei cadre dreptunghiulare există trei înfăşurări mai complexe,

decalate între ele în spaţiu, numite faze;

- înfăşurările sunt fixe, iar câmpul magnetic inductor este un câmp magnetic

învârtitor obţinut pe cale mecanică.

4.8. CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE 4.8.3.1.Conexiunea independentă. Fiecare fază a unui generator trifazat

poate alimenta câte un receptor independent, deci, generatorul poate alimenta trei

receptoare diferite prin intermediul a şase conductoare de legătură (fig.4.30).

Fig.4.30 - Conexiunea independentă.

Se spune că în acest caz, fazele

generatorului funcţionează indepen-dent.

Dacă impedanţele complexe ale

receptorului trifazat sunt egale (receptorul

este echilibrat):

,e Z= Z = Z = Z j 321 (4.117)

rezultă că şi curenţii din cele trei circuite vor

avea aceleaşi valori efective şi aceleaşi

defazaje faţă de t.e.m. care i-au produs:

94

. ,I = I = I = I = = = 321321 (4.118)

În cazul unor t.e.m. ce formează un sistem simetric direct şi a unui receptor

echilibrat, curenţii din cele trei faze ale generatorului vor forma de asemeni un

sistem trifazat simetric direct:

. + t I = i

, + t I = i

, + t I = i

) 3

π2 + α(ωsin 2

) 3

π2 α(ωsin 2

) α(ωsin 2

3

2

1

(4.119)

Puterea transmisă de un conductor la un factor de putere egal cu unitatea

este:

3) 2, 1,(pentru

2 = k ,

I U = P kk

(4.120)

Fiecare circuit independent se mai numeşte circuit monofazat. Acest sistem

de trei circuite monofazate independente nu este utilizat în practică, deoarece prin

conexiuni speciale se poate micşora numărul conductoarelor necesare transmisiei

energiei electrice la trei sau patru, obţinându-se astfel un circuit (reţea) trifazat, la

care puterea transmisă pe un conductor este mai mare decât cea transmisă în

conexiunea independentă (rel.4.120).

4.8.3.2.Conexiunea în stea. Se leagă împreună bornele 1',2',3' ale

generatorului, formând un punct O - numit neutrul sau nulul generatorului şi

respectiv bornele a',b',c' ale receptorului, formând un punct N - numit neutrul sau

nulul receptorului. Cele trei linii de întoarcere a'1', b'2' şi c'3' ale celor trei

circuite monofazate se pot înlocui printr-un singur conductor NO, numit

conductor neutru. Conductoarele a1,b2,c3 se numesc conductoare de linie. Se

obţine astfel un sistem trifazat cu conexiunea în stea atât la generator cât şi la

receptor (fig.4.31). Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff nodului N, rezultă

curentul din conductorul neutru:

Fig.4.31 - Tensiunile şi curenţii la

conexiunea stea.

. i + i + i = i 3210 (4.121)

Dacă sistemul de t.e.m. este simetric iar

receptorul este echilibrat, sistemul de

curenţi absorbiţi de receptor este un sistem

simetric şi conform relaţiei (4.111)

curentul din conductorul neutru este nul:

. = i 00 (4.122)

Pe baza relaţiei (4.122) se deduce că pentru sistemele trifazate în stea, cu

receptor trifazat echilibrat şi tensiuni la borne simetrice, conductorul neutru poate

lipsi. În acest caz, transportul energiei electrice se va face numai cu ajutorul a trei

conductoare.

La conexiunea stea se disting două sisteme de tensiuni:

-tensiunile de fază u1, u2, u3 dintre un conductor de linie şi conductorul de

95

nul (tensiunile pe cele trei impedanţe ale receptorului);

-tensiunile de linie u12, u23, u31 dintre două conductoare de linie. Aceste

tensiuni se mai numesc şi tensiuni între faze, deoarece conductoarele de linie se

mai numesc în terminologia curentă, faze.

Din figura 4.31 rezultă că tensiunile de linie sunt egale cu diferenţele

tensiunilor de fază respective:

. uuu ,uuu ,uuu 133132232112 (4.123)

Trecând în complex relaţiile (4.123), se obţine:

. U - U = U ,U - U = U ,U - U = U 13133222112 (4.124)

Din relaţiile (4.123) şi (4.124) rezultă că suma tensiunilor de linie în valori

instantanee sau în complex este nulă indiferent dacă sistemul este simetric sau nu:

. = U + U + U , = u + u + u 00 133221133221 (4.125)

Pe baza relaţiilor (4.124) se pot reprezenta în planul complex, fazorii

corespunzători acestor tensiuni de fază şi de linie (fig.4.32). Dacă sistemul de

tensiuni de fază este simetric direct, triunghiul 1,2,3 este echilateral şi tensiunea de

linie complexă U12 va fi:

. e U = j +U

=U a - U = U -U = U

j

6

π

11

12

12112

3) 2

1

2

3 (- 3

(4.126)

Din figură se observă că şi sistemul tensiunilor de linie este un sistem

simetric direct.

Fazorul tensiunii de linie U12 se

obţine amplificând cu 3 fazorul

tensiunii de fază U1 şi rotindu-l cu un

unghi de π/6 radiani în sens

trigonometric.

Introducând notaţiile: Fig.4.32 - Diagrama de fazori la conexiune stea.

,U = U = U = U ,U = U = U = U f3211133221 (4.127)

rezultă din (4.126) pentru sisteme simetrice:

. U = U fl 3 (4.128)

La conexiune stea cu receptor echilibrat, alimentată cu un sistem simetric de

tensiuni, valoarea efectivă a tensiunilor de linie este de 3 ori mai mare decât

valoarea efectivă a tensiunilor de fază.

Conexiunea în stea cu fir neutru permite obţinerea a două sisteme de tensiuni

diferite, permiţând funcţionarea receptoarelor construite pentru tensiuni nominale

diferite (de exemplu 380/220 V; 220/127 V).

Reţeaua care nu are conductor neutru, nu dispune decât de sistemul de

96

tensiuni de linie. Tensiunile de linie standardizate în România sunt: 220, 380 şi 500

V; 1, 3, 6, 10, 15, 35, 60, 110, 220 şi 400 kV.

Curenţii care străbat conductoarele de linie se numesc curenţi de linie

(Il), iar curenţii din fazele generatorului sau receptorului se numesc curenţi de

fază (If). În cazul conexiunii în stea, curenţii de fază sunt egali cu curenţii de linie.

Dacă avem un sistem simetric de curenţi:

,I = I fl (4.129)

adică valoarea efectivă a curenţilor de linie este egală cu valoarea efectivă a

curenţilor de fază, pentru conexiunea stea echilibrată, alimentată cu tensiuni

simetrice.

4.8.3.3. Conexiunea în triunghi. Dacă se leagă sfârşitul unei faze a

generatorului cu începutul fazei următoare (1' cu 2, 2' cu 3, 3' cu 1), iar borna de

sfârşit a fiecărui receptor la borna de început a receptorului de pe faza următoare

(a' cu b, b' cu c, c' cu a) se obţine şi la generator şi la receptor (fig.4.33)

conexiunea triunghi. În acest caz tensiunile de linie sunt egale cu tensiunile pe

fazele generatorului sau receptorului.

În cazul sistemelor simetrice şi receptor echilibrat, este adevărată relaţia:

. U = U fl (4.130)

Între curenţii de linie (i1 , i2 , i3) ce străbat conductoarele de linie şi curenţii

de fază (i12 i23, i31) ce străbat impedanţele consumatorului, există următoarele

relaţii deduse din prima teoremă a lui Kirchhoff aplicată nodurilor 1(a), 2(b), 3(c)

de la receptor:

. i - i = i ,i - i = i ,i - i = i 321332132213211 (4.131)

Trecând în complex relaţiile (4.131) rezultă:

. I - I = I ,I - I = I ,I - I = I 1 3 21 332 3 221 32 11 (4.132)

Fig.4.33 - Tensiunile şi curenţii la conexiunea triunghi.

Pe baza relaţiilor (4.131) şi

(4.132) rezultă că suma

curenţilor de linie în valori

instantanee sau în complex este

nulă indiferent dacă siste-mul

este simetric sau nu:

. = I + I + I , = i + i + i 00 321321 ] (4.133)

Pe baza relaţiilor (4.132) se pot

reprezenta în planul complex fazorii

corespunzători acestor curenţi (fig.4.34). Dacă

sistemul de curenţi de fază este simetric direct,

triunghiul 1,2,3 este echilateral şi curenţii de

linie vor forma şi ei un sistem simetric direct. I1

va fi:

Fig.4.34 - Diagrama de fazori a

curenţilor la conexiunea triunghi.

97

. eI = j - I= a -I =I -I =I j - 6

π

2 12 12 11 32 11 3)2

1

2

3 (3)(1

(4.134)

Fazorul curentului de linie I1 este defazat în urma fazorului curentului de

fază I12 cu π/6 radiani, iar modulul său este de 3 ori mai mare.

În cazul unui sistem simetric de curenţi există următoarele relaţii între

valorile efective ale curenţilor de linie Il şi de fază If:

. I = I ,I = I = I = I ,I = I = I = I ff 311 33 22 11321 (4.135)

Se pot realiza şi conexiuni în triunghi la generator şi în stea la receptor sau

invers.

Sistemele trifazate prezintă numeroase avantaje faţă de cele monofazate:

-transmiterea energiei electrice se face în condiţii mai economice;

-au posibilitatea de a dispune la utilizare de două sisteme de tensiuni diferite

pentru consumatorii monofazaţi (conexiunea în stea cu fir neutru);

-permit producerea câmpurilor magnetice învârtitoare care sunt utilizate la

funcţionarea celor mai simple şi mai economice motoare electrice, motoarele

asincrone.

4.8.4. Puterile în reţelele trifazate

Calculul puterilor în sistemele trifazate se face după aceleaşi principii ca la

curentul alternativ monofazat. Puterile activă, reactivă şi aparentă absorbite de

receptorul trifazat vor fi egale cu sumele puterilor active, reactive sau aparente

absorbite de fiecare fază în parte.

Considerând un receptor conectat în stea, cu tensiunile de fază u1, u2, u3,

care formează, în general, un sistem nesimetric şi curenţii de fază (de linie) i1, i2, i3

nesimetrici, defazaţi faţă de tensiunile corespunzătoare cu unghiurile 1,

2,

3,

putem scrie expresiile puterilor activă, reactivă şi aparentă absorbite de receptor:

,I U + I U + I U = S

, I U + I U + I U = Q

, I U + I U + I U = P

332211

333222111

333222111

sinsinsin

cos coscos

(4.136)

unde U1, U2, U3 sunt valorile efective ale tensiunilor de fază iar I1, I2, I3

Fig.4.35 Măsurarea puterii unei reţele

trifazate cu trei wattmetre.

sunt valorile efective ale curenţilor de fază

(linie). În figura 4.35 este dată schema de

măsurare a puterii active unei reţele

trifazate conectate în stea cu ajutorul a trei

wattmetre.

La conexiunea în triunghi, dacă u12, u23, u31 sunt tensiunile pe fazele

receptorului (egale cu tensiunile de linie), iar i12, i23, i31 curenţii de fază şi 21 ,

23 ,

13 defazajele respective, puterile activă, reactivă şi aparentă absorbite de

98

receptorul trifazat vor avea expresiile:

,I U + I U + I U = S

, I U + I U + I U = Q

, I U + I U + I U = P

1 31 33 23 22 12 1

1 31 31 33 23 23 22 12 12 1

1 31 31 33 23 23 22 12 12 1

sinsin sin

coscoscos

(4.137)

unde U12, U23, U31 sunt valorile efective ale tensiunilor de fază (de linie), iar I12,

I23, I31 valorile efective ale curenţilor de fază.

Dacă sistemele de tensiuni şi curenţi sunt simetrice vom avea următoarele

relaţii:

- pentru conexiunea în stea:

;

,I = I = I = I = I

,

U = U = U = U =U

f

f

= = =

3

321

1321

1321

(4.138)

- pentru conexiunea în triunghi:

.

,

I = I = I = I = I

,U = U = U = U = U

lf

lf

= = =

3

1 3 3 2 2 1

1 33 22 1

133 22 1

(4.139)

Ţinând seama de relaţiile (4.138) şi (4.139) rezultă pentru conexiunea în stea:

; I U = S

, I U = Q

, I U = I

U = I U = P

ll

ll

llll

ff

3

sin3

cos 3cos3

3cos 3

iar pentru conexiunea triunghi:

. I U = S

, I U = Q

, I U =

I U = I U = P

ll

ll

lll

lff

3

sin3

cos 3cos 3

3cos 3

Comparând expresiile obţinute pentru conexiunile stea şi triunghi se constată că în

sistemele simetrice şi echilibrate, calculul puterilor se face cu aceleaşi relaţii,

indiferent de conexiune:

. I U = S , I U = Q , I U = P llllll 3sin3cos3 (4.140)

În sistemele simetrice, echilibrate, se pot folosi relaţiile cunoscute de la

circuitele monofazate.

Puterea complexă, în cazul reţelelor trifazate, poate fi scrisă sub forma:

- pentru conexiunea în stea cu fir neutru:

99

,I U + I U + I U = S ***

332211 (4.141)

- pentru conexiunea în triunghi:

,I U + I U + I U = S *

*

* 1 31 33 23 22 12 1 (4.142)

unde partea reală reprezintă puterea activă absorbită, iar partea imaginară, puterea

reactivă.

Pentru sisteme simetrice, puterile absorbite pe cele trei faze vor fi egale şi ca

urmare puterea complex absorbită va fi pentru cele două conexiuni:

. I U = S ,I U = S *

*

2 12 111 33 (4.143)

Puterea activă absorbită de receptor este egală cu de trei ori indicaţia

wattmetrului.

În cazul sistemelor trifazate fără fir ne-utru se

poate demonstra că se poate măsura puterea şi

cu ajutorul a numai două wattmetre conectate

ca în figură. Puterea absorbită fiind egală cu

suma algebrică a indicaţiilor celor două watt-

metre (se va ţine seama şi de semn).

Fig.4.36 - Măsurarea puterii active a

unei reţele trifazate cu ajutorul a două

wattmetre.

58234087-EEA-Bidian

Documents

Transcript of 58234087-EEA-Bidian