4 Metode matriceale

71

4. METODE MATRICEALE Date fiind condiţiile iniţiale şi mărimile de excitaţie ale unui circuit, determinarea curenţilor laturilor implică scrierea şi rezolvarea unui sistem de ecuaţii. Dacă se operează cu impedanţe, sistemul poate fi obţinut în formele compacte (3.38) sau (3.40), iar dacă se folosesc admitanţele se ajunge la una din formele compacte (3.42) sau (3.44). Volumul de calcul implicat de rezolvarea acestor ecuaţii este relativ mare, motiv pentru care se apelează la metode matriceale ce reduc sensibil numărul necunoscutelor, deci dimensiunile matricelor de lucru. 4.1. Metoda curenţilor coardelor

În digraful circuitului analizat, se consideră un sistem complet de curbe închise, fiecare curbă închisă conţinând o singură coardă. Alegând sensul de referinţă al curbei pozitiv asociat cu sensul coardei, se poate defini matricea de incidenţă Γ, astfel încât să admită partiţionarea (2.4).

Ecuaţia (3.37) se poate scrie în forma

0UUIZ += , (4.1)

în care

00 IZEU −= (4.2)

este vectorul tensiunilor la mers în gol ale laturilor. Se defineşte vectorul tensiunilor la mers în gol al contururilor ca fiind:

00 UΓU =c . (4.3)

Prin înmulţire la stânga cu matricea Γ , ecuaţia (4.1) devine

0ΓUUΓIZΓ += , (4.4)

în care primul termen din membrul drept este nul, conform relaţiei (3.32). Ţinând seama de relaţia (3.29), care exprimă curenţii laturilor în funcţie de vectorul cI al curenţilor coardelor, ecuaţia (4.4) capătă forma

METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE

72

0t UΓIΓZΓ =c , (4.5)

sau

ccc 0UIZ = , (4.6)

în care

tΓZΓZ =c (4.7)

este matricea impedanţelor operaţionale ataşate contururilor, iar

00 IZΓEΓU −=c (4.8)

este vectorul tensiunilor la mers în gol al contururilor. Ecuaţia matriceală (4.6) permite calculul curenţilor coardelor, apoi din

relaţia (3.29) se obţine vectorul curenţilor laturilor:

01t UΓZΓI −= c . (4.9)

De exemplu, pentru circuitul din fig. 4.1.a, căruia i se asociază digraful din

fig. 4.1.b, se obţine matricea de incidenţă a laturilor la contururile I şi II:

111111−

=Γ .

În construcţia digrafului s-a considerat că ),( 011 IR şi ),( 023 IR formează laturi complete de circuit.

Matricea impedanţelor contururilor ataşate coardelor este:

544

44321RRR

RRRRRc +−

−+++=Z ,

Fig. 4.1

I3

R5 E5

(a)

I2 I1

I4

I5

R4

R3

R2

R1

I02

I01

E4 II

1 I

2

3

4

5

(b)

4. Metode matriceale

73

iar vectorul tensiunilor la mers în gol ale laturilor este:

t542031010 EEIRIR=U .

De remarcat că matricea cZ şi vectorul 0U se pot scrie direct, prin simpla

inspectare vizuală a circuitului dat. Curenţii laturilor circuitului din fig. 4.1.a rezultă în continuare prin aplicarea

formulei (4.9). Exemplificarea modului de aplicare a metodei pentru circuite cu cuplaje

mutuale, caz în care matricea impedanţă nu mai este simetrică, se va face considerând schema echivalentă la joasă frecvenţă a unui transformator divizor de putere, utilizat în circuitele radio de bandă largă (fig. 4.2.a). Se poate arăta că pentru gRRR 221 == şi MLL == 21 , intensităţile curenţilor în rezistenţele de intrare 21, RR ale etajelor amplificatoare pe care debitează generatorul de radiofrecvenţă sV sunt egale.

Digraful asociat circuitului (fig. 4.2.b) are precizate sensurile contururilor I

şi II adoptate. Matricea de incidenţă este:

1111=Γ ,

iar matricea impedanţă este

11

22LsRMs

MsLsRRg

++=Z .

Pentru valorile particulare menţionate, relaţia (4.7) conduce la matricea

Fig. 4.2

(b) (a)

I2

I1 Rg

R2

R1

VS

I3

L1

L2 M

*

*

1 I

2

3

II


74

MsRMsRMsRMsR

gg

ggc +−

−+= 3

3Z ,

iar relaţia (4.8) la vectorul

t0 SSc VV=U .

Ţinând seama de relaţiile (4.8) şi (4.9), rezultă

t

442 g

S

g

S

g

SR

VR

VR

V=I ,

ceea ce confirmă afirmaţia iniţială, adică 32 II = .

4.2. Metoda curenţilor de ochiuri

Bazată pe teorema superpoziţiei, metoda curenţilor de ochiuri (Maxwell) presupune, prin definiţie, că intensitatea curentului din fiecare latură a circuitului este suma algebrică a curenţilor de ochiuri ce trec prin acea latură. Fiecărui ochi al circuitului (buclă independentă) i se asociază un curent ciclic ce parcurge laturile acestuia, într-un sens arbitrar ales. Curenţii de ochiuri formează un set de necunoscute auxiliare, grupate în vectorul oI .

Aplicarea metodei se face relativ simplu pentru circuitele ale căror eventuale surse comandate sunt de tipul STC.

Utilizând matricea de incidenţă definită conform relaţiei (2.6), intensităţile curenţilor laturilor se exprimă în funcţie de intensităţile curenţilor de ochiuri astfel:

oIBI t= . (4.10)

Presupunând că, în general, circuitul este format din laturi complete, din ecuaţia matriceală (3.37) rezultă:

0BZIBEBZIBU +−= , (4.11)

de unde, ţinând seama de relaţiile (3.36) şi (4.10) se obţine

)( 0ZIEBIZ −=oo . (4.12)

S-a folosit notaţia

tBZBZ =o , (4.13)


75

matricea astfel definită numindu-se matricea impedanţelor ciclice ale ochiurilor. Pentru circuitele fără surse de curent, relaţia (4.12) devine

BEIZ =oo , (4.14)

rezultând pentru curenţii laturilor

BEZBI 1t −= o . (4.15)

Definind matricea t.e.m. ciclice ca fiind

BEE =o , (4.16)

se obţine pentru vectorul curenţilor laturilor expresia

oo EZBI 1t −= . (4.17)

Unul din avantajele metodei constă în aceea că matricele oZ şi oE pot fi scrise imediat, ca urmare a unei simple inspecţii vizuale a circuitului. 4.3. Metoda tensiunilor ramurilor Plecându-se de la ecuaţia în admitanţe (3.24), satisfăcută de curenţii şi tensiunile laturilor unui circuit electric, rezultă )( 0IYEΣΣYUΣI −+= , (4.18) în care membrul stâng este nul, conform relaţiei (3.26). Ţinând seama de relaţia (3.35), conform căreia tensiunile ramurilor constituie o bază de calcul pentru toate tensiunile laturilor, din relaţia (4.18) se obţine scrrr IUY −= , (4.19)

în care

tΣYΣY =r , (4.20) este matricea admitanţelor suprafeţelor ataşate ramurilor, respectiv )( 0IYEΣI −=scr (4.21) este vectorul curenţilor de scurtcircuit ai ramurilor. Relaţia (3.35) şi (4.19) conduc la formula de calcul pentru tensiunile laturilor


76

scrr IYΣU 1t −= . (4.22) Dacă între laturile circuitului există cuplaje magnetice, obţinerea matricei Y necesită inversarea matricei impedanţă Z . Din acest motiv, în astfel de cazuri se preferă metoda curenţilor coardelor. Pentru a exemplifica aplicarea metodei, se consideră reţeaua de corecţie a unui amplificator tranzistorizat de bandă largă (fig. 4.3) folosită pentru a realiza un nivel de excitare crescător cu frecvenţa, precum şi pentru adaptarea cu impedanţa echivalentă a generatorului. Schema echivalentă în admitanţe operaţionale, pentru condiţii iniţiale nule, este dată în fig. 4.4.a, iar digraful corespunzător schemei a fost reprezentat în fig. 4.4.b. Matricea admitanţă este diagonală ]diag[ 621 YYY L=Y . Alegând suprafeţele de secţionare 321 ,, ΣΣΣ (fig. 4.4.b), se obţine matricea de incidenţă

11

1111111

−−−

=Σ ,

Fig. 4.4

I6

I2

Y2

Y1

I5

Y3 U3 Y5

Y6

I3

I4 I1

Eg

Y4

(a)

4

5

1 Σ1 Σ2 Σ3 6

2 3

(b)

Eg

Fig. 4.3

R2

I2

L2

L1

I5

U1

U2

C5 C6

R6

U6

I4 I6 I3

Rg U3

I1


77

apoi, conform relaţiei (4.20), rezultă

636

6654254

54541

YYYYYYYYYY

YYYYYr

+−−++++

+++=Y .

Vectorul curenţilor de scurtcircuit ai ramurilor se obţine cu relaţia (4.21):

g

g

scr EYEY

4

4−−

=I .

Inversând matricea rY şi aplicând relaţia (4.22) se obţine vectorul tensiunilor ramurilor:

g

g

g

rEYYYEYYY

EYYYYY

Δ641

3341

633324 )(1

+=U ,

unde s-au folosit notaţiile:

.,

,)())((

54126333

1263311212333162

YYYYYY

YYYYYYYYYYYΔ

+=+=

++++=

Pentru tensiunea la ieşirea reţelei de corecţie se obţine

gEΔ

YYYU 6413 = .

Cu relaţia (4.22) se poate obţine vectorul tensiunilor laturilor, sau numai componente ale sale. Dacă, de exemplu, interesează amplificarea în tensiune α, se va calcula doar elementul 5 al vectorului U , adică gEYYYYYYYU )( 6333233145 ++= , rezultând imediat

633321

61

5

3)( YYYYYYY

UU

++==α .


78

4.4. Metoda matricei incidenţelor esenţiale Conform relaţiilor (2.2), (2.4) şi (2.5), părţi ale matricelor Σ şi Γ pot fi reduse la câte o matrice unitate, informaţia esenţială fiind purtată de matricea Λ . Ţinând seama de partiţionările (3.25), precum şi de modul în care pot fi divizate matricele parametrilor:

,,ccr

rcr

ccr

rcrYYYYYZZ

ZZZ == (4.23)

se obţin ecuaţia satisfăcută de vectorul curenţilor coardelor

[ ] rcccrrrcc 0t

0tt )( UΛUIΛZZΛZΛZ −=−+− (4.24)

şi ecuaţia satisfăcută de vectorul tensiunilor ramurilor

[ ] sccscrrrcccrr ΛIIUΛYΛYΛYY −−=+++ t)( , (4.25) în care s-au folosit următoarele notaţii:

)( cc YZ - matricea impedanţelor (admitanţelor) coardelor; )( rr YZ - matricea impedanţelor (admitanţelor) ramurilor; crrc ZZ , - matrice ale impedanţelor de cuplaj între ramuri şi coarde; crrc YY , - matrice ale admitanţelor de cuplaj între ramuri şi coarde; )( 00 cr UU - vectorul tensiunilor de mers în gol ale ramurilor (coardelor); )( sccscr II - vectorul curenţilor de scurtcircuit ai ramurilor (coardelor).

Calculând curenţii coardelor din ecuaţia (4.24), se obţin uşor curenţii ramurilor din relaţia (3.27). Tensiunile ramurilor se pot obţine din ecuaţia (4.25), rezultând apoi tensiunile coardelor cu relaţia (3.34). Deşi ecuaţiile (4.24) şi (4.25) sunt formal mai complicate decât ecuaţiile metodelor prezentate anterior, ele prezintă două avantaje esenţiale:

- se operează cu matrice de dimensiuni reduse; - volumul calculelor este redus la strictul necesar.

Exemplificarea metodei matricei incidenţelor esenţiale se face apelând la schema electrică a unui variator de tensiune continuă (chopper) cu două tiristoare (fig. 4.5).

Schema operaţională din fig. 4.6.a corespunde fazei de funcţionare în care conduce tiristorul principal 3T , încărcarea condensatorului 2C prin latura 22 , LD fiind accelerată cu ajutorul laturii 44 , LD .


79

Digraful asociat schemei operaţionale este prezentat în fig. 4.6.b, rezultând

matricea incidenţelor esenţiale 111 −=Λ . Partiţiile matricei impedanţă vor fi

,],,diag[, 4321 ZZZsLR cr =+= ZZ

unde

.,,)( 444331

2222 sLRZRZsCsLRZ +==++= −

Schema nu prezintă cuplaje mutuale, nici surse plasate în laturile coardă. În consecinţă

.,, 0 0U0Z0Z === ccrrc

Ecuaţia (4.24) capătă, în aceste condiţii, forma particulară

Fig. 4.5

E D2

C2 T5

T3

L4 D4

L2

L1

D6 R1

(a)

Fig. 4.6

b

E

R2 I2

)0(11 −iL

R3 I3

R4

sL2

sL1

I4

R1

sL4

a

)(1 2sC

1

4

3

2

Σ

b

(b)

a


80

( ) ,0tt

rcrc UΛIΛZΛZ −=+ sau, cu expresiile concrete ce corespund circuitului analizat,

.)0(

)0()0(

11

11

11

4

3

2

4

3

2

−

−

−

−−+−−

=+−

−+−−+

iLEiLEiLE

III

ZZZZZZZZ

ZZZZ

rrr

rrr

rrr

Inversând matricea din membrul stâng, se obţin curenţii coardelor

,)]0([

)]0([)]0([1

1132

1142

1143

4

3

2

−

−

−

+−++−

==iLEZZ

iLEZZiLEZZ

ΔIII

cI

cu notaţia

.)()( 432243 ZZZZZZZZΔ rr +++=

Imaginea curentului din latura 1 (ramură) se calculează cu relaţia (3.27). Se obţine

.)]0()[(1112443321 −+++= iLEZZZZZZ

ΔI

4.5. Metoda potenţialelor nodurilor Se consideră potenţialele nodurilor circuitului, în raport cu un nod de referinţă, grupate într-un vector auxiliar V (vectorul potenţialelor nodurilor). Rezultă:

VAU t−= , (4.26) expresie care înlocuită în ecuaţia (3.41) conduce la

0t )( IEVAYI −+−= . (4.27)

Ţinând seama de (3.31), ecuaţia (4.27) devine:

)( 0t IYEAVAYA0 −+−= . (4.28)

Dacă se notează cu

tAYAY =n . (4.29)


81

matricea admitanţă asociată nodurilor şi cu )( 0IYEAI −=nsc (4.30) vectorul curenţilor de scurtcircuit injectaţi în cele )1( −n noduri de potenţial nenul de către laturile incidente scurtcircuitate, ecuaţia (4.28) capătă forma nscn IVY = . (4.31) Rezolvarea acestei ecuaţii matriceale conduce la valorile potenţialelor nodurilor (necunoscute auxiliare). În continuare se pot calcula tensiunile laturilor, cu relaţia (4.26), respectiv intensităţile curenţilor laturilor, cu relaţia (4.27). Metoda se aplică eficient pentru circuite fără cuplaje mutuale, ale căror eventuale surse comandate sunt de tipul SCT. Pentru exemplificare, se consideră circuitul din fig. 4.7.a şi digraful asociat (fig. 4.7.b). Se alege nodul (4) ca referinţă, potenţialul acestuia considerându-se nul. Examinarea digrafului conduce la matricea de incidenţă

,1111111−−−

−=A

pentru scrierea căreia s-a considerat că ),( 011 IR , respectiv ),( 066 IR , formează laturi complete de circuit. Matricea admitanţă a nodurilor rezultă cu relaţia (4.29):

,)()(

622

2543254

54541

GGGGGGGGGG

GGGGGn

+−−++++−

+−++=Y

Fig. 4.7

(b)

6

5 4

3 2

(1) 1 (3)

(2)

(3)

(a)

I5

R2

I2

R3

I3

R4

E5

I1 I4 R1

E4

I6 (1)

(2)

R5

R6

I01 I06 (4) (4)


82

iar vectorul curenţilor de scurtcircuit se poate scrie în urma examinării vizuale a circuitului

.02

5544

554401

IGEGE

GEGEInsc +−

−+=I

Adoptând valorile concrete ,6,5,5,2,0,1 4321 Ω=Ω=Ω=Ω= RRRR

V17A,5,57A,50,8,0,14 4020165 ===Ω=Ω= EIIRR şi V425 =E , se obţine vectorul potenţialelor nodurilor (în volţi) cu relaţia (4.31)

,2,414048 t=V

apoi vectorul curenţilor laturilor (în amperi) cu relaţia (4.27)

.257,043,1862 t=I

Analiza nodală stă la baza majorităţii programelor de simulare a circuitelor electrice, în care se consideră că fiecare element dipolar ideal de circuit constituie o latură. Se acceptă nodurile în sens larg, la care sunt incidente doar două laturi. Evitându-se operaţii matriceale intermediare, pe baza datelor de intrare se construiesc direct matricele nY şi nscI . Contribuţiile aduse la formarea matricelor anterior menţionate pot fi direct stabilite pentru rezistoare, bobine fără cuplaje mutuale, condensatoare, surse independente de curent şi surse comandate de tipul SCT. Pentru celelalte surse comandate, ca şi pentru giratoare, transformatoare ideale, bobine cuplate magnetic şi surse independente de tensiune este necesară substituţia prin modele adecvate sau utilizarea matricei nedefinite a admitanţelor 0Y (matricea admitanţelor nodurilor dacă nodul de referinţă este exterior circuitului). Obţinerea matricei nY se face, în acest din urmă caz, suprimând linia şi coloana corespunzătoare nodului de referinţă. Astfel, dacă pentru girator se consideră modelarea prin două surse comandate de tipul SCT (fig. 1.32.b), matricea nedefinită va fi:

.0

gggg

gggg

−−

−−

=Y

Modelarea elementelor ideale de circuit incompatibile cu metoda potenţialelor nodurilor este prezentată în tabelul 4.1, elementul diport folosit pentru modelare fiind giratorul ideal.


83

Tab. 4.1

Elementul

Modelul

Relaţia specifică

SIT

EU =1

STT

2

1

1

2gg

UU

==α

STC

31

2

1

3gg

gI

Ur ==

SCC

1

2

1

2gg

II

==β

Transformator ideal

1

2

2

1gg

UUn ==

Din tab. 4.1 se poate observa că modelele introduse pentru elementele de

circuit incompatibile cu analiza nodală conduc la apariţia unor noduri suplimentare. Potenţialele acestora se calculează, deşi nu prezintă interes practic, ceea ce implică un efort de calcul nejustificat.

Dacă laturile surselor incompatibile cu metoda potenţialelor nodurilor sunt înseriate cu rezistenţe (sau impedanţe), atunci se recomandă folosirea schemelor de substituţie (tab. 4.2). Sursele comandate de tipul STT, STC şi SCC sunt substituite

U3 g2U2

U2

I1 → g1 1

1’

U1

2

2’

→ g3

gE → g

U1

1

1’

2

2’

g1U1 U2

→ g2 1

1’

U1

g2U2 U2

I1 → g1 1

1’

U1

2

2’

I2

2

2’

U1

→ g1 1

1’

→ g2

U2


84

prin scheme ce conţin o sursă de tipul SCT, compatibilă cu analiza nodală. A doua schemă de substituţie, prezentată în tab. 4.2, presupune despicarea

unui nod terminal al laturii de tipul SIT. Se elimină astfel o situaţie incompatibilă cu metoda potenţialelor nodurilor, curentul I calculându-se în modul indicat.

Tab. 4.2

Schema iniţială

Schema de substituţie

Relaţia Specifică

RUI =0

21 III +=

2Rg α=

21RRrg =

1Rg β=

Exemplificând, pentru schema echivalentă a unui tranzistor funcţionând cu

emitorul la masă (fig. 4.8.a), despicarea nodului (a) elimină incompatibilitatea introdusă de SIT având t.e.m. egală cu cE (fig. 4.8.b). În continuare, alegând nodul (e) drept referinţă (potenţialul 0=eV ), va rezulta bb EV = , scrierea ecuaţiilor

R I

E U R I0 U

I

n3 R1 I1

E

I

R2 I2 n1 n2 R1 I1

E E

R2 I2 n1 n2

1Uα

R2 I2

U1 U2 1gU

R2

I2

U1 U2

R1

I1

1rI

R2

U1 U2 1gU

R1

I1

R2 U1 U2

I2

1Iβ

R1

I1 U1 U2 1gU

R1

I1

U1 U2


85

necesare calculului potenţialelor cV şi dV încadrându-se în procedura normală.

Inconvenientele ridicate de prezenţa laturilor SIT, într-un număr oarecare, pot fi înlăturate utilizând teorema surselor de tensiune cu acţiune nulă (Vaschy). În urma determinării potenţialelor nodurilor, curenţii laturilor se calculează cu o relaţie de tipul (4.27), excepţie făcând curenţii din laturile SIT, pasivizate în urma aplicării procedurii Vaschy. Aceşti curenţi se calculează, în ultima etapă, utilizând teorema întâia a lui Kirchhoff.

4.6. Metoda nodală modificată

Atunci când curenţii anumitor laturi nu pot fi exprimaţi în funcţie de potenţialele nodurilor printr-o relaţie de tipul (4.27), pentru a evita inconvenientele implicate de modelările cu giratoare, se recurge la analiza nodală modificată. În cadrul acesteia, se pot admite ca necunoscute suplimentare:

- curenţii SIT; - curenţii porţilor STT; - curenţii porţilor SCC; - curenţii bobinelor cuplate magnetic; - curenţii rezistoarelor neliniare controlate în curent.

Fig. 4.8

biβ

(a)

R2

R1

ib

Ec

Eb

Re

(b)

(d)

(e) (c) (a)

R

Rc

(b)

biβ

R1 R2

ib

Ec

Eb

Re

(b)

(d)

(e) (c)

R

Rc

Ec


86

Toţi curenţii menţionaţi anterior se grupează într-un vector mI , având m elemente.

Prezenţa elementelor de circuit incompatibile cu metoda "clasică" a potenţialelor nodurilor conduce la apariţia unor linii şi coloane care bordează matricea nY , ecuaţia (4.31) fiind înlocuită prin ecuaţia matriceală:

,m

nsc

mmm

mnEI

IV

ZαβY = (4.32)

în care: nY - matricea admitanţelor nodale; mβ - matrice de dimensiuni mn ×− )1( , ale cărei elemente sunt –1, 0, 1 sau

amplificări în curent ale surselor comandate; mα - matrice de dimensiuni )1( −× nm , elementele sale fiind –1, 0, 1 sau

amplificări în tensiune ale surselor comandate; mZ - matrice pătrată de dimensiuni mm× , ale cărei elemente nenule sunt

impedanţe de transfer ale surselor comandate, sau impedanţe proprii şi de cuplaj mutual ale bobinelor cuplate magnetic;

V - vectorul celor )1( −n potenţiale ale nodurilor; nscI - vectorul curenţilor de scurtcircuit injectaţi în cele )1( −n noduri; mE - vector ale cărui elemente nenule corespund t.e.m. ale SIT.

Tab. 4.3

Elementul de circuit

Con

tribuţia

la

mat

ricea

SIT

STT

STC

SCC

Pereche de bobine cuplate

magnetic mα

11 −

kj

11

'22'11

−− αα

1111

'22'11

−−

11

'22'11

−

1111

'22'11

−−

mβ

11−k

j

11

'22'1

12

−

I

11

11

'22'1

121

−

−

II

ββ−

−11

'22'1

11I

11

11

'22'1

121

−

−

II

mZ

0

0

Z

'22'11

0

2

1

'22'11

sLsMsMsL

−−−−

mI

jkI

2I 2

1II

1I 2

1II

mE jkE− 0 0 0 0


87

Fiecare din elementele incompatibile ale circuitului aduce propria sa contribuţie la constituirea matricelor ecuaţiei (4.32). Precizările sunt făcute în tab. 4.3, considerând poarta de intrare 11/ şi cea de ieşire 22/ pentru fiecare din elementele diport menţionate.

Metoda nodală modificată conduce la acelaşi număr de necunoscute ca şi metoda "clasică" a potenţialelor nodurilor, dar curenţii introduşi ca necunoscute suplimentare pot prezenta interes practic.

Utilizată frecvent, ca metodă de simulare pe calculator a circuitelor electrice, metoda nodală modificată prezintă aspecte particulare (pentru circuitele de c.c. sau pentru cele de c.a.), precum şi posibilităţi de extensie (la analiza circuitelor electrice neliniare modelate discret).

Pentru a exemplifica scrierea ecuaţiilor în cadrul metodei nodale modificate, se consideră un circuit de c.c. cu surse comandate şi latură SIT (fig. 4.9).

Necunoscutele ecuaţiei (4.32) sunt: potenţialele nodurilor, grupate în

vectorul

t54321 VVVVV=V ,

curentul 6I din latura SIT, curenţii laturilor sursă comandată de tensiune, 8I şi 9I , curentul de comandă al sursei comandate de curent şi curentul de comandă al sursei 8E , grupaţi în vectorul

t115986 IIIIIm =I .

Întrucât vectorul curenţilor de scurtcircuit injectaţi în noduri este

Fig. 4.9

I2

I03

R10 (5)

1112 II β=

(2)

(3)

(1)

(4)

58 rIE =

R1

R2

I1 I8 I7

E6

E1

06 =V

79 UE α=

(6)

U7

R7

I6

I10 I11

I5

R4

I4

I9


88

t031103 IEGInsc −+=I ,

folosind conductanţele elementelor pasive de circuit în exprimarea matricei nY , se obţine ecuaţia (4.32) în forma:

G1+G2+G7+G10 –G2 –G7 –G10 1 V1 I03+G1E1

–G2 G2+G4 –G4 –1 –1 V2 –I03 –G4 G4 1 V3

–G7 G7 –1 –1 –β V4 –G10 –G10 1 V5

–1 I6 –E6

1 r I8

α –1 – α I9 1 –1 I5 –1 1

×

I11

=

În ecuaţia anterioară, s-au pus în evidenţă partiţiile specifice formulării (4.32) a metodei. Anumite aspecte particulare ale matricelor mα şi mβ apar întrucât nodul (6) a fost ales ca referinţă )0( 6 =V . Din acest motiv, de exemplu, linia corespunzătoare sursei 6E din matricea mα conţine doar un singur element nenul, ca şi coloana respectivă din matricea mβ . Justificări similare sunt valabile pentru abaterea de la forma standard, prezentată în tab. 4.3, a liniilor şi coloanelor ce corespund surselor comandate, având toate un acces comun - nodul (6).

Se poate constata că matricele de lucru nu sunt dense, numărul relativ ridicat de elemente nule recomandând tehnici de calcul specifice matricelor "rare".

4.7. Analiza schemelor cu nulori

Nulorul a fost definit în §1.3.6 ca un element diport anormal, format prin asocierea dintre un nulator şi un norator.

Anumite metode matriceale prezintă dezvoltări avantajoase pentru circuitele formate exclusiv din elemente dipolare. De aceea, uneori se preferă modelarea elementelor diport (giratoare, surse comandate etc.) prin scheme cu nulori.

4.7.1. Scheme echivalente cu nulori

În general, un element diport poate fi reprezentat prin mai multe scheme echivalente cu nulori, în tab. 4.4 fiind prezentate cele mai simple. Întrucât nu prezintă interes realizabilitatea practică a elementelor acestor scheme sau a ansamblului, se admite prezenţa rezistenţelor negative sau a unor impedanţe cu parte reală negativă.


89

Tab. 4.4

Elementul de circuit

Schema echivalentă cu nulori

STT

STC

SCT

SCC

Giratorul

Transformatorul ideal

Pentru multe aplicaţii, prezintă interes conexiunea surselor ideale comandate

ca tripoli, bornele 1/ şi 2/ fiind în acest caz suprapuse. Schemele cu nulori adecvate se obţin prin particularizarea celor prezentate în tab. 4.4.

12 rIU =

–r

I1 r I2

21 rIU =

2’

2 1

1’

rα

2’

12 UU α= r U1

2 1

1’

2’

12 rIU = r

I1 2 1

1’

U1

2’

12 gUI =g

2 1

1’

rβ−

2’

12 II β=r

I1 2 1

1’

121Un

U =

–r I1

nr

12 nII =

–r

nr

U1

2’

2 1

1’


90

4.7.2. Graful de curent şi graful de tensiune Pentru analiza circuitelor cu nulori se folosesc două digrafuri: - graful de curent IG , obţinut din graful G al circuitului, considerând

nulatoarele ca întreruperi şi noratoarele ca scurtcircuite; - graful de tensiune UG , obţinut din graful G al circuitului, dacă se

consideră nulatoarele ca scurtcircuite şi noratoarele ca întreruperi. Dacă 0n este numărul nulorilor circuitului, atunci IG şi UG au un număr de

laturi cu )2( 0n mai mic decât G şi un număr de noduri cu 0n mai mic decât numărul nodurilor grafului G. Aceasta constituie avantajul operării cu cele două grafuri în cazul schemelor cu nulori.

Pentru a exprima relaţiile dintre curenţii laturilor se foloseşte IG , iar pentru scrierea ecuaţiilor satisfăcute de tensiunile laturilor se va utiliza UG .

De exemplu, schemei cu nulori şi surse comandate din fig. 4.10.a îi corespund graful IG din fig. 4.10.b şi graful UG din fig. 4.10.c.

Se definesc matrice de incidenţă în cele două grafuri, IG şi UG , cu denumiri

şi semnificaţii similare celor definite în cap. 2, notaţia fiind însoţită de indicii inferiori I sau U, după cum definirea s-a făcut în graful curenţilor sau în cel al tensiunilor.

(a)

6'Ug

10

U5

9 1

U6

5

4

3

2

8

7

6

5"Ug

1

Fig. 4.10 (b)

6

5

4

3

1 2

10

9

8

7

6

(c)

5

4

3

2

10

9

8

7


91

4.7.3. Metoda curenţilor buclelor din GI

Un set de curenţi fictivi, grupaţi în vectorul bI , se ataşează buclelor din

graful IG . Curenţii laturilor circuitului se exprimă cu relaţia:

bI IΓI t= . (4.33)

Dacă Z este matricea impedanţelor (complexe sau operaţionale) laturilor, se defineşte matricea impedanţelor buclelor astfel:

tIUb ΓZΓZ = . (4.34)

Un element ijZ al matricei bZ este egal cu suma algebrică a impedanţelor

laturilor comune buclelor (i) din UG şi (j) din IG . Impedanţele laturilor comune la două bucle intervin în sumă cu semnul plus, dacă sensurile de parcurs ale buclelor coincid în latura considerată şi cu semnul minus în caz contrar.

Curenţii buclelor rezultă din ecuaţia:

EΓIZ Ubb = . (4.35)

Alegerea buclelor astfel încât un număr cât mai mare de bucle din UG şi IG să coincidă este avantajoasă, pentru circuitele determinate numărul minim de bucle diferite fiind egal cu numărul 0n al nulorilor.

Se calculează mai întâi curenţii buclelor, din ecuaţia (4.35), apoi curenţii laturilor cu relaţia (4.34).

Se va exemplifica aplicarea metodei, considerând circuitul cu nulori din fig. 4.11, în care elementele de circuit au valorile:

V10,2,1 21654321 ==Ω=Ω===== EERRRRRR .

Grafurile IG , respectiv UG , sunt reprezentate în fig. 4.11.b, respectiv fig.

4.11.c. Se obţine pentru matricea impedanţelor buclelor:

)(21131

13

61

55211

1431Ω

−−−

−=

−−++−

−++=

RRRRRRR

RRRRbZ .

Vectorul ce grupează tensiunile la mers în gol ale buclelor este:

(V)10

12

1

0 =−== EEE

Ub EΓU .


92

Cu ecuaţia (4.35) se găseşte vectorul curenţilor buclelor

(A)42410

813363126

151

01 === −

bbb UZI .

Matricea de incidenţă a laturilor la buclele de curent este:

11111

111

−−=IΓ .

Vectorul curenţilor laturilor rezultă cu relaţia (4.33):

(A)244422 ttt654321 === bIIIIIII IΓI .

4.7.4. Metoda tensiunilor secţiunilor din GU

Se consideră un set complet de suprafeţe închise de secţiune ataşate ramurilor din UG . Vectorul ΣU al tensiunilor între punctele din interiorul şi din exteriorul suprafeţelor ce secţionează ramurile verifică ecuaţia

ΣΣΣ IUY = , (4.36)

în care matricea ΣY se calculează astfel:

tUI ΣYΣY =Σ . (4.37)

Fig. 4.11

R2 E1

E2

R3

(a)

R1

R4 R5

R6

I3

I6

I4 I5

I2

(b)

III

II I

5

1

3

6

4

2

5

III

II I 2 3

6

4

1

(c)

I1


93

Vectorul curenţilor de scurtcircuit ai secţiunilor este calculabil cu relaţia

scI IΣI −=Σ , (4.38)

în care scI este vectorul curenţilor de scurtcircuit ai laturilor secţionate. Calculând vectorul ΣU din ecuaţia (4.36), se obţine imediat vectorul

tensiunilor laturilor:

ΣUΣU tU= . (4.39)

Pentru a exemplifica aplicarea metodei, se consideră schema echivalentă cu nulori a unui amplificator cu tranzistor bipolar (fig. 4.12.a).

Trasând IG (fig. 4.12.b) şi UG (fig. 4.12.c) pentru schema considerată, apoi

alegând suprafeţele de secţiune 321 ,, ΣΣΣ , se obţine din IG matricea de incidenţă

111111

111

−−−=IΣ ,

respectiv din UG matricea de incidenţă

111111

1111

−−−−=UΣ .

Fig. 4.13

Y2

Y4

(a)

Y1 Y5 Y6

I01

U3

Y3

U5

(c)

Σ2

5 1

6

4 2

3

Σ1 Σ3

Σ2

5 1

6

4 2

3

Σ1 Σ3

(b)


94

Cu relaţia (4.37) se obţine matricea admitanţă a secţiunilor

6436446

454254

454541

YYYYYYYYYYYYYYYYYYY

++−−++−−

−−−++=ΣY .

Vectorul curenţilor de scurtcircuit ai secţiunilor este:

t01I=ΣI .

În continuare, se poate calcula ΣU din ecuaţia (4.36), apoi tensiunile laturilor cu relaţia (4.39). 4.7.5. Metoda potenţialelor nodurilor Ecuaţia (4.31) rămâne valabilă, dar matricea admitanţă asociată nodurilor se calculează cu relaţia

tUIn AYAY = , (4.40)

iar vectorul curenţilor de scurtcircuit, injectaţi în )1( −n noduri de către laturile incidente scurtcircuitate, rezultă:

)( 0IEYAIAI −== IscInsc . (4.41)

Tensiunile laturilor se calculează cu relaţia:

VAU tU−= , (4.42)

iar curenţii laturilor se obţin grupat cu relaţia matriceală

0t )( IEVAYI −+−= U . (4.43)

4 Metode matriceale

Documents

Transcript of 4 Metode matriceale