CAPITOLUL 4

CALCULUL PROBABILITĂŢILOR

Scurtă prezentare teoretică Definiţia probabilităţilor

Aplicaţia P: P(E) R este o probabilitate dacă: a) 0 P(A) 1; b) P(E) = 1; c) P(AB) = P(A) + P(B) dacă AB = . Proprietatea c) se extinde: P(A1A2...An) = P(A1)+P(A2)+...+P(An), dacă A1, A2, ..., An sunt disjuncte două câte două. Dacă P este o probabilitate pe P(E), atunci: d) P(AB) = P(A) P(B), BA; e) P(AB) = P(A) P(AB); f) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB); g) );(1)( APAP P() = 1 P(E) = 0.

Dacă A={e1, e2,..., ek} şi ei sunt echiprobabile, atunci: nkAP )( , adică:

Probabilitatea unui eveniment A este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile lui A şi numărul total al cazurilor posibile ale experienţei. Definiţia probabilităţii condiţionate:

.0)(,)()()(

BPBP

BAPAPB

Evenimente independente: .)()()( BPAPBAP

Scheme de probabilitate: 1. Schema binomială generalizată (Poisson) Dacă A1, A2, ..., An sunt evenimente independente, atunci probabilitatea să

se realizeze k din cele n evenimente (şi să nu se realizeze nk) este coeficientul lui xk din polinomul:

(p1x+q1)(p2x+q2)...(pnx+qn), unde P(Ai) = pi, qi = 1 pi, (i = 1, 2, ..., n).

2. Schema binomială (Bernoulli)

74

Dacă în schema Poisson evenimentele Ai au acceeaşi probabilitate pi = p; qi = q = 1 p (i = 1, 2, ..., n), atunci probabilitatea să se realizeze k din cele n evenimente este coeficientul lui xk din polinomul (px + q)k, adică este egală cu

.knkkn qpC

3. Schema hipergeometrică: Dintr-o urnă, în care sunt a bile albe şi b bile roşii (a+b = N) se extrag n

bile, n N, fără ca să se pună după fiecare extragere bila extrasă înapoi în urnă. Probabilitatea ca din n extrageri, efectuate în modul pe care l-am arătat, să

obţinem bile albe este:

.)( nN

nba

n CCCP

Probleme rezolvate

1. O urnă conţine bile albe şi bile negre. Se extrag succesiv din urnă două bile. Cu ajutorul evenimentelor:

A = prima bilă extrasă este albă; B = a doua bilă extrasă este neagră.

să se scrie evenimentele: C = prima bilă este neagră; D = cel puţin o bilă este albă; F = ambele bile sunt negre; G = o bilă şi numai una este albă.

Soluţie Evenimentul “prima bilă este neagră” este contrariul evenimentului “prima

bilă este albă” adică: .AC Evenimentul “cel puţin o bilă este albă” înseamnă “prima bilă este albă”

sau “a doua bilă este albă” adică: D = AB. Evenimentul “ambele bile sunt negre” se poate exprima astfel: “prima bilă

este neagră” şi “a doua bilă este neagră”, adică: .BAF Se observă de asemenea că F este contrariul lui D: .BAF Evenimentul “o bilă şi numai una este albă” se poate scrie: “prima bilă este

albă” şi “a doua bilă este neagră” sau “prima bilă este neagră” şi “a doua bilă este albă”, adică: ).()( BABAG

Menţionăm că pentru oricare două evenimente A, B, BA se notează AB, iar (AB)(BA) se notează AB şi se numeşte diferenţa simetrică a lui A şi B. Deci putem scrie: .BAG

75

2. O urnă conţine 3 bile albe şi 4 bile negre, iar o altă urnă conţine 4 bile albe şi 5 bile negre. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă. Se consideră elementele: A = bila extrasă din prima urnă este albă; B = bila extrasă din a doua urnă este albă. Să se calculeze:

P(AB), P(AB), P(AB), ).(AP Soluţie

Evident avem: 73)( AP , .9

4)( BP

Experienţa constând în extragerea celor două bile are 79 = 63 cazuri egal posibile. Deci:

.74

731)(1)(

;215

2149

214

73)()()(

;6343

214

94

73)(

;)()()()(

;214

6343)(

APAP

BAPAPBAP

BAP

BAPBPAPBAP

BAP

3. Se dau 3 urne: U1 (3 bile albe, 4 bile negre), U2 (4 bile albe, 5 negre), U3 (5 bile albe, 6 negre). Din una dintre aceste urne se extrage o bilă. Să se calculeze probabilitatea evenimentelor: A = bila extrasă este albă; A1 = extragerea se face din U1;

A2 = extragerea se face din U2; A3 = extragerea se face din U3.

Soluţie

Rezultă imediat că: .115)(;9

4)(;73)(

321 APAPAP AAA

4. O urnă conţine 6 bile albe şi 5 bile negre. Se extrag succesiv trei bile (fără întoarcerea bilei extrase). Care este probabilitatea ca prima bilă să fie albă şi celelalte două negre? Soluţie Fie A1 = evenimentul ca prima bilă să fie albă; A2 = evenimentul ca a doua bilă să fie neagră; A3 = evenimentul ca a treia bilă să fie neagră. Evenimentul cerut este A1A2A3 şi avem:

76

.996

91123

94

105

116)()()()( 321321 211

APAPAPAAAP AAA

5. Să se scrie câmpul de evenimente ataşat experienţei de aruncare a unui zar. Soluţie

Câmpul de evenimente este: Emlkjilkjikjijiko ,,,,,,,,,,,,,,,, Acesta se notează cu {E, K}. Aici i, j, k, l, m iau independent toate valorile

de la 1 la 6. Am notat cu {k} apariţia feţei cu numărul k, cu {i, j} evenimentul că a ieşit sau faţa cu i puncte sau faţa cu j puncte, adică {i, j} = {i}{j} etc.

Sunt

6

1

66 6421

s

sC evenimente.

6. Dintr-o urnă cu 15 bile numerotare de la 1 la 15 se extrage la întâmplare o bilă. Se cere probabilitatea ca numărul înscris pe bila extrasă să fie: a) un număr prim; b) un număr par; c) un număr divizibil cu 3. Soluţie Numărul cazurilor posibile pentru fiecare punct din problemă este acelaşi şi

anume 15. Să găsim numărul cazurilor favorabile pentru fiecare punct în parte.

a) Cazuri favorabile: 6; numerele: 2, 3, 5, 7, 11, 13 şi 52

156)( AP ;

b) Cazuri favorabile: 7; numerele: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, deci 157)( BP ;

c) Cazuri favorabile: 5; numerele: 3, 6, 9, 12, 15, deci 31

155)( CP .

7. Zece bile numerotate de la 1 la 10 se aşează la întâmplare una după alta într-un şir. Care este probabilitatea ca după bila numerotată cu 5 să urmeze bila numerotată cu 6? Soluţie Cazurile posibile sunt P(10) = 10!, cazuri favorabile: 98! Într-adevăr, bila numerotată cu 5 poate fi aşezată în oricare din primele 9

locuri, după ea urmând bila numerotată cu 6, sunt deci 9 cazuri diferite de aşe-zări ale bilelor 5 şi 6 una după alta, celelalte opt bile rămase pot fi aşezate pe cele 8 locuri rămase în 8! moduri diferite, deci fiecărui caz de aşezare a bilelor 5 şi 6 una după alta, i se asociază câte 8! moduri de aşezare a celorlalte bile, deci în total sunt 98! moduri diferite de aşezare a bilelor cu condiţia ca bilele 5 şi 6 să fie aşezate una după alta.

Prin urmare .101

!10!89)(

AP

77

8. Se aruncă două zaruri de n ori. Se cere probabilitatea ca dubla 6 să apară cel puţin o dată. Soluţie În această problemă este mai uşor să calculăm probabilitatea evenimentului

contrar, adică a evenimentului ca aruncând de n ori două zaruri să nu apară niciodată dubla 6.

Cazuri posibile: (36)n. Într-adevăr la fiecare aruncare a două zaruri sunt 36 de cazuri posibile, deoarece fiecare din cele 6 feţe ale primului zar se poate combina cu oricare din cele 6 feţe ale celui de-al doilea zar, deci în total 66 = 36. În n aruncări ale celor două zaruri sunt posibile (36)n cazuri diferite.

Cazuri favorabile: (35)n. Acelaşi raţionament.

Deci n

AP

3635)( şi .

36351)(

nAP

9. Să se arate că probabilitatea de a obţine cel puţin un 6 atunci când se aruncă un zar de patru ori este mai mare decât probabilitatea de a se obţine cel puţin o dublă 6, atunci când se aruncă două zaruri de 24 de ori. (Această problemă are o importanţă istorică fiind prima problemă de probabilităţi rezolvată de Blaise Pascal (16231662), celebru matematician şi fizician francez care împreună cu Pierre Fermat (16011665), celebru matematici-an francez, au pus bazele calculului probabilităţilor. Soluţie Fie A evenimentul ca aruncând de patru ori un zar să obţinem cel puţin o

dată şase puncte şi B evenimentul ca aruncând de 24 de ori două zaruri să apară cel puţin o dată dubla şase. Avem, raţionând la fel ca la problema precedentă:

.4914,0

36351)(

;5177,0651)(

24

4

BP

AP

10. Zece elevi, dintre care 5 fete şi 5 băieţi, sunt aşezaţi la întâmplare câte doi într-o bancă. Se cere probabilitatea ca în fiecare bancă să fie un băiat şi o fată. Soluţie

Cazuri posibile: 52!10 ; să numerotăm băncile de la 1 la 5. În prima bancă se

pot aşeza oricare din cele 210C perechi de elevi care se pot forma din cei zece

elevi, în banca a doua se pot aşeza oricare din cele 28C perechi de elevi care se

pot forma din cei 8 elevi rămaşi ş.a.m.d. Deci, în total, pentru cele 5 bănci sunt:

78

522

24

26

28

210 2

!10212

234

256

278

2910 CCCCC cazuri posibile.

Cazuri favorabile: (5!)2. Într-adevăr în prima bancă se pot aşeza oricare din cele 52 perechi (o fată şi un băiat) care se pot forma în toate modurile posibile, un băiat cu o fată din cei 10 elevi (sunt 55 = 25 posibilităţi). Apoi, în a doua bancă se pot aşeza oricare din cele 42 perechi (o fată şi un băiat) care se pot forma ..., judecând la fel în ultima bancă sunt 12 posibilităţi.

Deci, în total sunt: 5242322212 = (5!)2 posibilităţi de aranjare a celor 10 elevi, câte doi într-o bancă astfel ca în fiecare bancă să fie câte o fată şi un băiat. Deci, probabilitatea cerută este:

.!10

)!5(2)(25

AP

11. Un copil are 3 discuri vopsite pe ambele feţe în felul următor: un disc are ambele feţe vopsite în alb, un disc are o faţă vopsită în alb şi una în negru, un disc are ambele feţe vopsite în negru. Se alege un disc la întâmplare şi se constată că una din feţe este albă. Care este probabilitatea ca şi a doua faţă să fie tot albă? Soluţie Fie A evenimentul ca prima faţă să fie albă şi B evenimentul ca şi a doua

faţă a aceluiaşi disc să fie tot albă.

Avem de calculat probabilitatea condiţionată )()()/( AP

BAPABP . Deoa-

rece 21)( AP (pentru că sunt 6 feţe posibile din care 3 albe) şi

31)( BAP

(sunt trei discuri dintre care numai unul are feţele albe), rezultă că .32)/( ABP

12. Trei tunuri trag simultan asupra unei ţinte. Probabilităţile de nimerire în ţintă pentru cele trei tunuri sunt respectiv p1 = 0,6; p2 = 0,8; p3 = 0,7. Se cere probabilitatea ca ţinta să fie nimerită cel puţin o dată. Soluţie Fie A1, A2, A3 evenimentele ca primul, al doilea, respectiv al treilea tun să

nimerească ţinta. Se cere probabilitatea evenimentului A1A2A3. Evenimen-tele Ai (i = 1, 2, 3) sunt independente şi compatibile, deci P(A1A2A3) = =P(A1)+ P(A2) + P(A3) P(A1A2) P(A1A3) P(A2A3) + P(A1A2A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) P(A1)P(A2) P(A1)P(A3) P(A2)P(A3) + P(A1) P(A2)P(A3) = 0,6 + 0,8 + 0,7 0,60,8 0,60,7 0,80,7 + 0,60,80,7 = 0,976. 13. Dintr-o urnă cu 20 de bile, dintre care 8 albe, 6 negre şi 6 roşii se extrag pe

rând 5 bile, punându-se de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă. Care este probabilitatea ca între cele 5 bile să fie 2 albe, 1 neagră şi 5 roşii?

79

Soluţie Se aplică schema lui Bernoulli cu mai multe stări, adică formula:

....!...!!!),,,,( 1

121

21sm

sm

ss ppmmm

nmmmnP

În cazul nostru s = 3, n = 5, m1 = 2, m2 = 1, m3 = 2, ,103,5

221 pp

103

3 p , deci:

.129,0103

103

52

!2!1!2!5)2,1,2;5(

212

P

14. Se experimentează 4 prototipuri de aparate, câte unul din fiecare prototip. Probabilitatea ca un prototip să corespundă este 0,8; 0,7; 0,9 şi respectiv 0,85. Se cere probabilitatea ca toate cele 4 aparate experimentate să corespundă. Soluţie Se aplică schema lui Poisson, probabilitatea cerută fiind coeficientul lui x4

din polinomul: P(x) = (0,8x + 0,2)(0,7x + 0,3)(0,9x + 0,1)(0,85x + 0,15).

Deci P = 0,80,70,90,85 = 0,4284. 15. La un concurs de pian se prezintă 12 concurenţi dintre care 8 pianişti şi 4

pianiste. Prin tragere la sorţi cei 12 concurenţi sunt împărţiţi în grupe de câte 4, fiecare grupă prezentându-se la concurs într-o zi. Care este probabi-litatea ca în prima zi de concurs să se prezinte în faţa juriului 3 pianiste? Soluţie

Se aplică schema bilei neîntoarse: .)1,3( 412

18

34

8,4 CCCP

Probleme propuse 1. În rucsacul unui geolog se găsesc 7 săculeţe identice cu probe, 3 cu granit,

2 cu gresie şi 2 cu calcar. Care este probabilitatea ca un săculeţ ales la în-tâmplare să conţină o probă de granit?

.73)( AP

2. Fiecare din primele 20 de numere naturale se scriu pe un carton. Se ames-tecă cartonaşele şi se aşează apoi unul după altul. Care este probabilitatea ca numărul 5 să apară imediat după numărul 15?

.!20!1819)(

AP

3. Se aruncă o monedă de 4 ori. Care este probabilitatea ca: a) Stema să apară de 2 ori? b) Stema să apară cel puţin o dată?

80

a) 246)( AP ; b) .16

11)(1)( APAP

4. Se aruncă două zaruri de n ori. Pentru ce valori ale lui n probabilitatea ca să

apară cel puţin o dată dubla şase este mai mare decât ?21

5. Se aruncă două zaruri. Se cere probabilitatea ca: a) Să obţinem o dublă; b) Suma punctelor obţinute să fie divizibilă prin 3; c) Suma punctelor obţinute să fie un număr par; d) Suma punctelor obţinute să fie mai mare decât 10.

a)61 ; b) 26

12 ; c)3618 ; d) .

632

6. Într-o urnă sunt 3 bile albe şi 5 bile negre. Se extrage din urnă de două ori câte o bilă fără a se repune bila extrasă înapoi. Se cere probabilitatea ca cele două bile extrase să fie: a) albe; b) negre; c) una albă şi una neagră.

a) ;72

83 b) ;

79

85 c) .7

583

7. Fie A şi B două evenimente aleatoare independente. Să se arate că eveni-mentele A şi B sunt independente.

8. Fiind cunoscute probabilităţile P(A), P(B) şi P(AB) să se găsească urmă-toarele probabilităţi: a) );( BAP b) );( BAP c) );( BAP d) );( BAP e) );( BAP

f) );( BAP g) ));(( BAAP h) )).(( BAAP 9. Un lot de 100 de produse este supus controlului de calitate. Lotul este

respins dacă se găseşte măcar un rebut între patru piese controlate luate la întâmplare din lot. Ştiind că lotul conţine 2% piese defecte, care este proba-bilitatea ca lotul să fie respins?

10. Consumul energiei de-a lungul a 24 ore nu întrece normele stabilite cu probabilitatea 0,8. Să se găsească probabilitatea ca din 5 zile consecutive consumul energiei electrice să nu depăşească normele stabilite 3 zile.

11. Un lot de 20 porumbei călători sunt trimişi spre o destinaţie. Probabilitatea ca un porumbel să se întoarcă este p = 0,6 şi este aceeaşi pentru toţi po-rumbeii. Se cere probabilitatea ca: a) să se întoarcă 14 porumbei; b) să se întoarcă cel puţin 8 porumbei; c) să se întoarcă cel puţin 18 porumbei; d) să se întoarcă cel puţin 10 porumbei şi cel mult 16 porumbei.

81

12. Să se găsească cel mai probabil număr de succese într-o schemă Bernoulli,

când n = 50, .31p

13. Probabilitatea ca un portar al unei echipe de fotbal să prindă mingea la o lovitură liberă de pedeapsă de la 11 m este p = 0,3. Se cere: a) probabilitatea ca din 3 lovituri să prindă mingea la toate loviturile; b) probabilitatea ca din 3 lovituri să primească cel mult două goluri; c) numărul cel mai probabil de goluri, atunci când se execută 4 lovituri.

14. Un muncitor produce cu probabilităţile 0,96; 0,03 şi 0,01 respectiv o piesă bună, o piesă cu un defect remediabil şi un rebut. Muncitorul a produs trei piese. Care este probabilitatea ca între cele trei piese să fie cel puţin o piesă bună şi cel puţin un rebut?

15. La o tombolă sunt 400 de bilete dintre care 4 câştigătoare. O persoană cumpără 10 bilete. Care este probabilitatea să găsească cel puţin un bilet câştigător?

16. Într-o urnă sunt 36 de bile de două culori, albe şi negre, în proporţia de o bilă albă la 8 bile negre. Se extrag deodată 3 bile. Se cere probabilitatea ca printre bilele extrase să fie o bilă albă.

17. Într-o urnă sunt 40 de bile dintre care 10 albe, 10 negre, 10 roşii şi 10 verzi. Se extrag deodată 2 bile. Care este probabilitatea ca printre bilele extrase să fie cel puţin o bilă albă?

18. La o tombolă cu 10000 de bilete, 100 sunt câştigătoare. O persoană cum-pără m bilete. Să se găsească cel mai mic m, astfel ca probabilitatea ca persoana să găsească cel puţin un bilet câştigător să fie mai mare decât 0,5.

19. Într-un depozit se găsesc 3 loturi cu câte 50 de piese; în fiecare dintre aceste loturi se găsesc şi piese defecte: 5 în primul lot, 6 piese în al doilea lot, şi 3 piese în al treilea lot. Dacă luăm câte o piesă din fiecare lot, care este probabilitatea să obţinem două piese bune şi una defectă?

20. Trei sportivi trag asupra unei ţinte. Care este probabilitatea ca ţinta să fie atinsă exact de 2 ori, dacă primul sportiv nimereşte ţinta cu probabilitatea

41 , al doilea cu probabilitatea

54 şi al treilea cu probabilitatea ?

43

21. Considerăm trei urne cu următoarea compoziţie: U1: 5 bile albe şi 3 negre; U2: 4 bile albe şi 2 negre; U3: 3 bile albe şi 5 negre.

Care este probabilitatea ca luând la întâmplare câte o bilă din fiecare urnă să obţinem două bile albe şi una neagră?

22. La o lucrare scrisă sistem grilă se dau 9 întrebări, fiecare cu câte 4 răspunsuri corecte. Pentru fiecare răspuns bun la o întrebare elevul primeşte 4 puncte, iar pentru un răspuns incorect i se scade un punct. Elevul răspunde la întâmplare la fiecare din cele 10 întrebări. Aflaţi probabilitatea de a obţine: a) 20 de puncte; b) cel puţin 24 de puncte.

82

23. Un grup de 30 de elevi sunt la o preselecţie pentru participarea la concursul de muzică. Probabilitatea ca un elev să câştige preselecţia este p = 0,4. Se cere probabilitatea ca: a) Să câştige 10 elevi; b) Să câştige cel puţin 8; c) Să câştige cel puţin 10 şi cel mult 20.

24. Se aruncă 2 zaruri de 7 ori. Care este probabilitatea să apară de 3 ori suma 7? 25. Se aruncă o monedă de 10 ori. Care este probabilitatea să apară de 7 ori

faţa şi de 3 ori reversul? 26. Se aruncă un zar de cinci ori. Să se determine probabilitatea de a obţine

faţa 2 cel puţin odată.